湖南省长沙市长郡中学高中数学(人教版)课件选修4-4 第二章 第三节《直线的参数方程》《2.3.

2.利用直线参数方程中参数t的几何 意义处理有关距离问题，是一个重要的 解题技巧，在解析几何中有着广泛的应 用，其中合理选取点(x0，y0)是正确解 题的关键.
x x0 ta 3.参数方程 （t为参数） y y0 tb
x x 0 与 y y 0 at a b （t为参数）表示 bt
探究（一）：直线参数方程的基本形式
思考1：过点M0(x0，y0)，倾斜角为 α (α ≠90°)的直线l的普通方程是什么？
y y0 tan ( x x0 )
思考2：将上述直线l的方程写成 y y0 sin ，令 y y0 t sin ， x x0 cos 则直线l的参数方程是什么？
x x0 t cos （t为参数） y y0 t sin
思考3：在直线l上任取一点M(x，y) ，设 uuuuuu r e为直线l的单位方向向量，则向量 M 0 M 和e的坐标分别是什么？ l M uuuuuu r y M 0 M ＝(x－x0，y－y0)
e
e＝(cosα，sinα)
思考4：根据上述关系，参数方程 x x0 a （λ 为参数）可变形为什么？ y y0 b 2 2 x x0 a b cos （λ 为参数） 2 2 y y0 a b sin
思考5：对于直线l的两种参数方程 x x0 t cos （t为参数）和 y y0 t sin
参数t有什么关系？
x x0 a （ λ 为参数），参数 λ 和 y y0 b

t a b
2 2
x 5 3t 练习：设直线的参数方程为 (t为参数） y 10 4t 将该参数方程化为标准形式。
理论迁移
例1 已知直线l：x＋y－1＝0与抛物 线y＝x2相交于A，B两点，求线段AB的长 和点M(－1，2)到A，B两点的距离之积.
y y0 b 思考2：将上述直线l的方程写成 x x0 a 令 y y0 b ，则直线l的参数方程是什 么？ x x0 a （λ 为参数）
b y y0 ( x x0 ) a
y y0 b
b 思考3：由 tan ，可得cosα ， a sinα 分别等于什么？ b a cos , sin 2 2 2 2 a b a b
问题提出
2
x y 2＝2px 1( a 0, b 0) 和抛物线 y 2 2 a b
x y 1.椭圆 2 2 1(a b 0)，双曲线 a b 2
2
1 5730 p 2
t
2
(p＞0)的基本参数方程分别是什么？ x a cos 椭圆 （φ 为参数）， y b sin x a sec 双曲线 （φ 为参数）， y r 思考 4：因为 M 0 M ∥e，则存在实数t使 uuuuuu r 得 M 0 M ＝te，利用坐标运算得到什么结 论？ l
x＝x0＋tcosα ， y＝y0＋tsinα .
O
y
e α M0
M
x
uuuuuu r 思考5：由 M 0 M ＝te得参数t的几何意义 l 是什么？
2 2
a b
2
2
同一条直线，但两个参数方程中的参数t 具有不同的几何意义，二者不可混为一 谈.
uuuuuu r | M 0 M || t |
y e α
M
uuuuuu r 当 M 0 M 方向向上时， t＞0； O uuuuuu r 当 M 0 M 方向向下时， t ＜0 ；
M0
x
当点M与M0重合时，t＝0.
探究（二）：直线参数方程的拓展形式
b 思考1：过点M0(x0，y0)，斜率为 的直 a 线l的普通方程是什么？
例4 如图，AB，CD是中心为点O的椭 圆的两条相交弦，交点为P，两弦AB，CD 与椭圆长轴的夹角分别为∠1，∠2，且 ∠1＝∠2，求证：|PA|· |PB|＝ |PC|· |PD|.
y
C
2
B A O P
1
x
D
小结作业
1.直线的参数方程也有多种形式，但 只要求掌握“点角式”参数方程，其中 参数t表示有向距离.
y
B M
|AB|＝|t1－t2|＝ 10 ， |MA|· |MB|＝|t1t2|＝2.
A
O x
例2 过点M(2，1)作直线l，交椭圆
线段AB的中点，求直线l的方程.
y
x y 1于A，B两点，如果点M恰好为 16 4
x＋2y－4＝0
2
2
B
M A x
O
例3 当前台风中心P在某海滨城市O 向东300km处生成，并以40km/h的速度向 西偏北45°方向移动.已知距台风中心 250km以内的地方，都属于台风侵袭的范 围，那么约经过多长时间后该城市开始 受到台风侵袭？受台风侵袭的持续时间 y 有多长？ l B 大约经过2h后该城 A 135° 市开始受到台风侵 O x 袭，受台风侵袭的 P 持续时间约6.6h.
抛物线
x 2 pt （t为参数）. y 2 pt
2
2.利用圆锥曲线的参数方程解决实 际问题的核心思想是什么？
将圆锥曲线上点的坐标用参数形式表示.
3.对圆，椭圆，双曲线和抛物线等 二次曲线的参数方程已分别进行了研究， 由于直线是解析几何的一个重要研究对 象，因此，如何建立直线的参数方程也 就成为当务之急.