幂函数与二次函数 知识点与题型归纳
二次函数与幂函数专题复习
学校：年级：教学课题：二次函数与幂函数学员姓名：辅导科目：数学学科教师：教学目标专题复习二次函数和幂函数的图像与性质教学内容一. 【复习目标】1.准确理解函数的有关概念.2.体会数形结合及函数与方程的数学思想方法.一、幂函数(1)幂函数的定义形如 (α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数(2)幂函数的图象函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0} 值域R [0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)时，增，x∈(－∞，0]时，减增增x∈(－∞，0)时，减定点(0,0)，(1,1) (1,1)例1.下列函数中是幂函数的是（ ）A ．y ＝2x 2B ．y ＝1x 2C ．y ＝x 2＋xD ．y ＝－1x例2. (2011·陕西高考)函数y ＝13x的图象是( )例3.幂函数y ＝x m 2－2m －3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且当x ＞0时，函数是减函数，则m 的值为( )． A ．－1＜m ＜3B ．0C ．1D ．2练习：已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎪⎫－2，12在幂函数y ＝g (x )的图象上，若f (x )＝g (x )，则x ＝________.已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝x －2C ．f (x )＝x 12xD ．f (x )＝12x-设α∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 （ ）A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3对于函数y ＝x 2，y ＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图象都是抛物线型．其中正确的有________．二、二次函数1、二次函数的三种形式【1】【2】【3】2.二次函数的图像和性质二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f 的图像是一条抛物线，对称轴的方程为 顶点坐标是（ ） 。
高三数学知识点总结9：二次函数和幂函数
（十一）二次函数一．二次函数解析式（1）一般式：).0()(2≠++=a c bx ax x f（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为),,(k h 则其解析式).0()()(2≠+-=a k h x a x f（3）交点式：若二次函数的图象与x 轴的交点为),0,(),0,(21x x 则),)(()(21x x x x a x f --= .0≠a二．二次函数的对称轴（1）对于二次函数)(x f y =的定义域内有21,x x 满足),()(21x f x f =则二次函数的对称轴为.221x x x += （2）对于一般函数)(x f y =对定义域内所有,x 都有)()(x a f x a f -=+成立，那么函数 )(x f y =图像的对称轴方程为：a x =.三．二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在],[n m 上的最值（1）0>a ① 最小值讨论三种情况 1.)(2min m f y m a b =≤-，；2.)2(2min a b f y n a b m -=<-<，；3.)(2min n f y n ab =≥-，. ② 最大值讨论两种情况 1.)(,22max n f y n m a b =+≤-；2.)(22max m f y n m a b =+>-，. （2）0<a ① 最大值讨论三种情况 1.)(2max m f y m a b =≤-，；2.)2(2max a b f y n a b m -=<-<，；3.)(,2max n f y n ab =≥-. ② 最小值讨论两种情况 1.)(,22min n f y n m a b =+≤-；2.)(22min m f y n m a b =+>-，. 四．三个二次的关系一元二次方程的根=一元二次函数的零点=一元二次不等式解集的端点.五．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的实根分布（1）数的角度：① 两实根异号等价于0<a c ；② 有两个正根等价于.0,0,0>>-≥∆a c a b ；③ 有两个负根等价于.0,0,0><-≥∆ac a b （2）形的角度：画出满足要求的图像，用“内有无，内无有”（开口内有端点则不需要考虑对称轴和，∆开口内无端点则需要考虑对称轴和.∆）。
二次函数与幂函数的知识点总结与题型归纳
二次函数与幂函数的知识点总结与题型归纳1．二次函数的定义与解析式(1) 二次函数的定义形如：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)的函数叫作二次函数．(2) 二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠ 0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠ 0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)_(a≠ 0)．2．二次函数的图象和性质3. 幂函数形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．4．幂函数的图象及性质(1) 幂函数的图象比较(2) 幂函数的性质比较1(1) 已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2) 已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式．(3) 已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．2． 幂函数的图象(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴，在 (1，＋ ∞) 上幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴．1(2)函数 y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 2，y ＝x －1 可作为研究和学习幂函数 图象和性质的代表．题型一 求二次函数的解析式例1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是8， 试确定此二次函数．思维启迪： 确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件 灵活运用．解 方法一 设 f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∴所求二次函数解析式为 f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.方法二 设 f(x)＝a(x －m)2＋n ，a ≠ 0.∵f(2)＝f(－1)，2＋ － 1 1 1 ∴抛物线对称轴为 x ＝ 2 ＝ 2.∴m ＝ 2. 又根据题意函数有最大值为 n ＝ 8，12∴y ＝f(x)＝a (x )2 ＋8.依题意有4a ＋2b ＋c ＝－1， a －b ＋c ＝－1， 4ac －b 2 4a ＝8， a ＝－4，解之，得 b ＝4， c ＝7，∵f(2)＝－1，∴a(x 1) ＋8＝－1，解之，得a＝－ 4.2∴f(x)＝－4(x 1)2＋8＝－4x2＋4x＋7.2方法三依题意知，f(x)＋1＝0 的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，a≠0.即f(x)＝ax2－ax－2a－1.4a －2a－1 －a2又函数有最大值y max＝8，即4a＝8，解之，得a＝－4或a＝0(舍去)．∴函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.探究提高二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．题型二二次函数的图象与性质例 2 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈［－4,6］．(1)当a＝－2 时，求f(x)的最值；(2)求实数 a 的取值范围，使y＝f(x)在区间［－4,6］上是单调函数；(3) 当a＝1 时，求f(|x|)的单调区间．思维启迪：对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．解：(1)当a＝－2 时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈［－4,6］，∴f(x)在［－4,2］上单调递减，在［2,6］上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在［－4,6］上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.(3) 当a＝1 时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈［－6,6］，x2＋2x＋3，x∈0，6］且f(x)＝2，x2－2x＋3，x∈［－6，0］∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6］，单调递减区间是［－6,0］．探究提高(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．题型三二次函数的综合应用例 3 若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋ c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间［－1,1］上，不等式f(x)>2x＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．思维启迪：对于(1)，由f(0)＝1可得c，利用f(x＋1)－f(x)＝2x恒成立，可求出a，b，进而确定f(x)的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得．解(1)由f(0)＝1，得c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴ a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，2a＝2，a＝1，即2ax＋a＋b＝2x，∴∴a＋b＝0，b＝－ 1.因此，f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)>2x＋m 等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在［－1,1］上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在［－1,1］上的最小值大于0 即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m 在［－1,1］上单调递减，∴g(x)min ＝g(1) ＝－m－1，由－m－1>0 得，m<－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式（尤其是恒成立）问题是高考命题的热点．题型四幂函数的图象和性质例 4 已知幂函数f（x）＝xm2－2m－3 （m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，＋∞ ）上是减函数，求满足（a＋1）－m3<（3－2a）－m3的 a 的取值范围．思维启迪：由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3<0，再结合m 是整数，及幂函数是偶函数可得m 的值．解∵函数在（0，＋∞）上递减，∴ m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，1∴m＝1.而f（x）＝x－3在（－∞，0），（0，＋∞）上均为减函数，11∴（a＋1）－3<（3 －2a）－3等价于a＋1>3－2a>0 或0>a＋1>3－2a 或 a＋1<0<3－2a.2 3 2 3解得a<－1 或3<a<2. 故 a 的取值范围为a|a<－1或3<a<2 .探究提高（1）幂函数解析式一定要设为y＝xα（α为常数的形式）；（2）可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性．方法与技巧1．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数 形结合来解，一般从 ①开口方向； ②对称轴位置； ③判别式； ④端点 函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时， 一般需借助于二次函数的图 象、性质求解．2． 与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax 2＋ bx ＋ c>0， a ≠ 0 恒成立的充要条件是(2)ax 2＋ bx ＋ c<0， a ≠ 0 恒成立的充要条件是3． 幂函数 y ＝x α(α∈R)，其中 α为常数，其本质特征是以幂的底 x 为自变 量，指数 α为常数．失误与防范1． 对于函数 y ＝ ax 2＋bx ＋ c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明 a ≠0时，就要讨论 a ＝0和 a ≠0两种情况. 2． 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象a>0 b 2－4ac<0a<0最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.。
二次函数与幂函数
二次函数与幂函数[考纲传真] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．【知识通关】1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )； 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象与性质 函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)图象定义域 R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上减， 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上增 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上增， 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上减 对称性 函数的图象关于直线x ＝－b2a对称 (1)定义：形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)五种常见幂函数的图象与性质函数 特征 性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1图象定义域 R RR {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶奇 单调性 增(－∞，0)减， (0，＋∞)增增增(－∞，0)和 (0，＋∞)减公共点 (1,1)1．幂函数y ＝x α在第一象限的两个重要结论 (1)恒过点(1,1)；(2)当x ∈(0,1)时，α越大，函数值越小；当x ∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大．2．研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在区间[m ，n ](m ＜n )上的单调性与值域时，分类讨论－b2a与m 或n 的大小． 3．二次函数图象对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．【基础自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( ) (3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( )(4)当α＞0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A .12B ．1C.32 D ．2C3.如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．a ＜c ＜bD 4．已知函数y ＝x 2＋ax ＋6在⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞内是增函数，则a 的取值范围为( ) A ．a ≤－5 B ．a ≤5 C ．a ≥－5 D ．a ≥5 C5．函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0,3])的值域是________． [－1,3]【题型突破】幂函数的图象及性质1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D2.幂函数y ＝x m 2－4m (m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3C3．若(a ＋1) 12＜(3－2a ) 12，则实数a 的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23[方法总结] (1)求解与幂函数图象有关的问题，应根据幂函数在第一象限内的函数图象特征，结合其奇偶性、单调性等性质研究.(2)利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.求二次函数的解析式【例1】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________．(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. (1)f (x )＝x 2－2x ＋3 (2)－2x 2＋4 [方法总结] 求二次函数解析式的方法试确定该二次函数的解析式． [解] 法一(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴函数图象的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12. ∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数的最大值是8，即4a (－2a －1)－(－a )24a ＝8，解得a ＝－4，∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.二次函数的图象与性质►考法1 二次函数的单调性【例2】 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0] D ．[－3,0]D[母题探究] 若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. －3►考法2 二次函数的最值【例3】 求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． [解] f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a . (1)当－a ＜12，即a ＞－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5； (2)当－a ≥12，即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a .综上，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5，a ＞－12，2－2a ，a ≤－12.►考法3 二次函数中的恒成立问题 【例4】 (1)已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，若对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )＞0都成立，则实数a 的取值范围为( ) A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B .⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[－4，＋∞)D ．(－4，＋∞)(2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________． (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0[方法总结] 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围． [解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．(2)由题意知，x2＋2x＋1＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k＜x2＋x＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]．g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k＜1，故k的取值范围是(－∞，1)．。
考点06 高中数学-二次函数与幂函数-考点总结及习题
考点06二次函数与幂函数【命题趋势】此知识点也是高考中的常考知识点，注意：（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数12321,,,y x y x y x y y x x=====的图象，了解它们的变化情况.【重要考向】一、求二次函数和幂函数的解析式二、幂函数的图像与性质的应用三、二次函数的图像与性质的应用二次函数与幂函数的解析式1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x－1图象性质定义域R R R {x |x ≥0}{x |x ≠0}值域R {y |y ≥0}R {y |y ≥0}{y |y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R 上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)2．二次函数的概念形如2()(0)f x ax bx c a =++≠的函数叫做二次函数.3．表示形式(1)一般式：f (x )=ax 2＋bx ＋c (a ≠0).(2)顶点式：f (x )=a (x −h )2＋k (a ≠0)，其中(h ，k )为抛物线的顶点坐标.(3)两根式：f (x )=a (x −x 1)(x −x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标.【巧学妙记】1.已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．【答案】f (x )＝x 2－2x ＋3解析由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b2＝1，∴b ＝2，∴f (x )＝x 2－2x ＋3.2.已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________.【答案】x 2＋2x解析设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a ＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .3.若函数()f x 是幂函数，且满足()()432f f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．13B ．3C ．13-D ．−3【答案】A【解析】由题意可设()(f x x αα=为常数），因为满足()()432f f =，所以432αα=，所以2log 3α=，所以()2log 3f x x =，所以2log 311223f -⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选A ．幂函数的图像与性质①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．②幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0，1时，幂函数y =x α在第一象限的图象特征如下：αα>10<α<1α<0图象特殊点过(0，0)，(1，1)过(0，0)，(1，1)过(1，1)凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y =x 212y x =1y x -=、12y x-=【巧学妙记】4.若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是()A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD ．a >b >d >c 【答案】B【解析】由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a >b >c >d ，故选B.5.已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23n nx －(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为()A ．－3B ．1C ．2D ．1或2【答案】B【解析】由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意，故选B.6.若(a＋1)13－<(3－2a)13－，则实数a的取值范围是____________．【答案】(－∞，－1)【解析】不等式(a＋1)13－<(3－2a)13－等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或23<a<32.二次函数图像与性质的应用函数解析式2()(0)f x ax bx c a=++>2()(0)f x ax bx c a=++<图象(抛物线)定义域R值域24[,)4ac ba-+∞24(,]4ac ba--∞对称性函数图象关于直线2bxa=-对称顶点坐标24(,)24b ac ba a--奇偶性当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在(,]2ba-∞-上是减函数；在[,)2ba-+∞上是增函数.在(,]2ba-∞-上是增函数；在[,)2ba-+∞上是减函数.最值当2bxa=-时，2min4()4ac bf xa-=当2bxa=-时，2max4()4ac bf xa-=【巧学妙记】7.一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是()【答案】C【解析】若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，从而－b2a<0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B ，选C.8.函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是()A ．[－3,0)B ．(－∞，－3]C ．[－2,0]D ．[－3,0]【答案】D【解析】当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．9.已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值．解f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.10.已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．【答案】(－∞，－1)【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m －54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.1.已知[1,1]a ∈-时不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为（）A.(－∞，2)∪(3，＋∞)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)2.设函数()21f x mx mx =--，若对于[]1,3x ∈，()2f x m >-+恒成立，则实数m 的取值范围（）A.()3,+∞ B.3,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.(),3-∞ D.3,7⎛⎫+∞⎪⎝⎭3.已知函数2()2()f x x ax a R =-+∈在区间[1,+∞)上单调递增，则a 的取值范围为（）A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.(－∞,2)D.(－∞,2]4.函数()22f x x ax =++在()3,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.6a =- B.6a ≥- C.6a >- D.6a ≤-5.已知幂函数a y k x =⋅的图象过点(4,2)，则k a +等于（）A.32B.3C.12D.26.若幂函数f (x )的图象过点21,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则函数()()x f x g x e =的递增区间为（）A.()0,2 B.()(),02,-∞+∞ C.()2,0- D.()(),20,-∞-+∞ 7.若四个幂函数a y x =，b y x =，c y x =，d y x =在同一坐标系中的部分图象如图，则a 、b 、c 、d 的大小关系正确的是（）A.1a b >>B.1a b >>C.0b c>> D.0d c>>8.已知幂函数()y f x =的图象过点13(,)33，则3log (81)f 的值为（）A.12B.12-C.2D.2-9.（多选题）已知点2(1)A ，在函数()3f x ax =的图象上，则过点A 的曲线():C y f x =的切线方程是（）A.640x y --=B.470x y -+=C.470x y -+=D.3210x y -+=二、填空题10.已知函数()223f x x ax =-++在区间(),4-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.11.已知直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是___________.12.已知函数23()(1)m f x m m x +=+-是幂函数，且该函数是偶函数，则m 的值是____13.幂函数()24222m y m m x --=--在(0,+∞)上为增函数，则实数m =_______.14.已知幂函数223()()m m f x x m Z +-=∈是奇函数，且()51f <，则m 的值为___________.一、单选题1．（2013·浙江高考真题（文））已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（）A ．a >0，4a ＋b ＝0B ．a <0，4a ＋b ＝0C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝02．（2007·湖南高考真题（文））函数244 1(){431x x f x x x x -≤=-+>，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是A ．1B ．2C ．3D ．43．（2008·江西高考真题（文））已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ．[4,4]-B ．(4,4)-C ．(,4)-∞D ．(,4)-∞-4．（2011·上海高考真题（文））下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（）A ．2y x-=B ．1y x-=C ．2y x=D ．13y x=二、填空题5．（2017·北京高考真题（文））已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.6．（2012·山东高考真题（文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m x =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝______.三、解答题7．（2014·辽宁高考真题（文））设函数()211f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ；（2）当x M N ∈⋂时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.一、单选题1．（2021·北京高三二模）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．1y x -=C ．2(1)y x =-D ．ln y x=2．（2021·新疆高三其他模拟（文））若实数m ，n 满足m n >，且0mn ≠，则下列选项正确的是（）A ．330m n ->B ．1122m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()lg 0m n ->D ．11m n<3．（2021·全国高三月考（文））已知()f x 为二次函数，且()()21f x x f x '=+-，则()f x =（）A ．221x x -+B ．221x x ++C ．2221x x -+D ．2221x x +-4．（2021·江西新余市·高三二模（文））已知a ，b 是区间[0,4]上的任意实数，则函数2()1f x ax bx =-+在[2,)+∞上单调递增的概率为（）A ．18B ．38C ．58D ．785．（2021·全国高一课时练习）已知函数()()2ln 23f x x x =--+，则()f x 的增区间为（）A ．（–∞，–1）B ．（–3，–1）C ．[–1，+∞）D ．[–1，1）6．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））若120x x <<，则下列函数①()f x x =；②2()f x x =；③3()f x x =；④()f x x =；⑤1()f x x=满足条件()()()121221()022f x f x x x f x x ++>>的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2021·江西高三二模（文））设ln 2a =，0.1b =，0.1c =，则下列关系中正确的是（）A ．b a c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．b c a>>8．（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数1a y ax b =-+-是幂函数，直线20(0,0)mx ny m n -+=>>过点(,)a b ，则11n m ++的取值范围是（）A ．11,,333⎫⎫⎛⎛-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭B ．(1,3)C ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题9．（2021·全国高一课时练习）有如下命题，其中真命题的标号为（）A ．若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()132f >B ．函数()(110x f x aa -=+>且)1a ≠的图象恒过定点()1,2C ．函数()21f x x =-在()0,∞+上单调递减D ．若函数()224f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[]1,2三、填空题10．（2021·全国高一课时练习）已知偶函数()24a af x x -=在()0∞+，上是减函数，则整数a 的值是________．11．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二月考（文））已知2()31f x ax x =-+，若对任意的[1,1]a ∈-，总有()0f x ≥，则x 的范围是______．12．（2021·千阳县中学高三其他模拟（文））给出以下几个不等式：①0.30.70.40.1<；②45log 3log 4<；③131sin sin 223<；④16181816<．其中不等式中成立序号为______．四、解答题13．（2020·上海高一专题练习）幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.参考答案跟踪训练1.【答案】：C 【分析】根据题意，转化为关于a 的函数()2(2)44f a x a x x =-+-+，得出()0f a >对于任意[1,1]a ∈-恒成立，即可求解.【详解】由题意，因为[1,1]a ∈-时不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，可转化为关于a 的函数()2(2)44f a x a x x =-+-+，则()0f a >对于任意[1,1]a ∈-恒成立，则满足()()2215601320f x x f x x ⎧-=-+>⎪⎨=-+>⎪⎩，解得1x <或3x >，即x 的取值范围为(,1)(3,)-∞+∞ .故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，其中解答中根据条件转化为关于a 的函数，结合其图象特征，列出不等式组是解答的关键，着重考查转化思想，以及运算与求解能力.2.【答案】：A 【分析】由题意变量分离转为231m x x >-+在[]1,3x ∈上恒成立，只需2max31m x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭->，求出最大值即可得到实数m 的取值范围.【详解】由题意，()2f x m >-+可得212mx mx m ->-+-，即()213m x x +>-，当[]1,3x ∈时，[]211,7x x -+∈，所以231m x x >-+在[]1,3x ∈上恒成立，只需2max31m x x ⎛⎫⎪+⎝⎭->，当1x =时21x x -+有最小值为1，则231x x -+有最大值为3，则3m >，实数m 的取值范围是()3,+∞，故选：A【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解决方法，常用变量分离转为求函数的最值问题，属于基础题.3.【答案】：D 【分析】直接根据二次函数性质，由对称轴和区间的位置关系即可得解.【详解】依题意对称轴12ax =≤，解得2a ≤，故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性，属于基础题.4.【答案】：B 【分析】根据函数()22f x x ax =++在()3,+∞上单调递增，则根据函数的图象知：对称轴必在x=3的左边，列出不等式求解即可．【详解】∵函数()22f x x ax =++在()3,+∞上单调递增，x=2a -∴32a-≤，即6a ≥-故选B【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴的求法与应用，属于基础题．5.【答案】：A 【分析】根据题意，由幂函数的定义可得1k =，将点(4,2)的坐标代入解析式，计算可得α的值，相加即可得答案．【详解】解：根据题意，函数y k x α=⋅为幂函数，则1k =，若其图象过点(4,2)，则有24α=，解可得12α=，则32k α+=；故选：A ．【点睛】本题考查幂函数的定义以及解析式的求法，注意幂函数解析式的形式，属于基础题．6.【答案】：A 【分析】设()f x x α=，代入点求出α，再求出()g x 的导数()g x '，令()0g x '>，即可求出()g x 的递增区间.【详解】设()f x x α=，代入点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则2122α⎛= ⎝⎭，解得2α=，()2x x g x e∴=，则()2222()x x x xx x xe x e g x e e --'==，令()0g x '>，解得02x <<，∴函数()g x 的递增区间为()0,2.故选：A.【点睛】本题考查待定系数法求幂函数解析式，考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.7.【答案】：B 【分析】根据幂函数的图象与性质，即可求解，得到答案.【详解】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在1x =的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可得100a b c d >>>>>>.故选：B.【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中熟记幂函数在第一象限的图象与性质是解答的关键，属于基础题.8.【答案】：C 【分析】设幂函数的解析式为()()f x x R αα=∈，根据幂函数的图象过点13()33，求得()12f x x =，结合对数的运算性质，即可求解.【详解】由题意，设幂函数的解析式为()()f x x R αα=∈，根据幂函数的图象过点13()33，可得31(33α=，解得12α=，即()12f x x =，所以12333log (81)log 81log 92f ===.故选：C .9.【答案】AD 【分析】先根据点2(1)A ，在函数()3f x ax =的图象上，可求出a ，再设出切点()00,P x y ，求出在点P处的切线方程，然后根据点A 在切线上，即可解出．【详解】因为点2(1)A ，在函数()3f x ax =的图象上，所以2a =．设切点()00,P x y ，则由()32f x x =得，()26f x x '=，即206k x =，所以在点P 处的切线方程为：()3200026y x x x x -=-，即230064y x x x =-．而点2(1)A ，在切线上，∴2300264x x =-，即()()()()222000002111210x x x x x ---=-+=，解得01x =或012x =-，∴切线方程为：640x y --=和3210x y -+=．故选：AD ．【点睛】本题主要考查过某点的曲线的切线方程的求法，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．二、填空题10.【答案】：[)4,+∞【分析】求出二次函数的对称轴方程，根据二次函数的单调区间，确定对称轴与区间的关系，即可求解.【详解】()223f x x ax =-++对称轴方程为x a =，()f x 在区间(),4-∞上是增函数，所以4a ≥.故答案为:[)4,+∞.【点睛】本题考查函数的单调性求参数，熟练掌握初等简单函数的性质是解题的关键，属于基础题.11.【答案】：514a <<【分析】直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点等价于方程21x x a =-+有四个解，即满足y a =和21y x x =-++有四个交点，画出函数图象即可求出.【详解】直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点等价于方程21x x a =-+有四个解，则21a x x =-++，满足y a =和21y x x =-++有四个交点，画出函数图象如下，观察图象可知，要使y a =和21y x x =-++有四个交点，需满足514a <<故答案为：514a <<.【点睛】本题考查利用函数图象求参数，属于基础题.12.【答案】：1【分析】由幂函数的定义可得211m m +-=，解出方程，最后根据该函数是偶函数确定m 的值.【详解】∵函数23()(1)m f x m m x +=+-是幂函数，∴211m m +-=，解得2m =-或1m =，又∵该函数是偶函数，当2m =-时，函数()f x x =是奇函数，当1m =时，函数4()f x x =是偶函数，即m 的值是1，故答案为1.【点睛】本题主要考查幂函数的定义与简单性质，函数奇偶性的判断，属于基本知识的考查．13.【答案】：－1【分析】利用幂函数定义和单调性可得2221m m --=且420m -->，联立求解即可.【详解】由幂函数定义得2221m m --=，解得：3m =或1m =-因为在()24222m y m m x--=--()0+∞，上为增函数，所以420m -->，即12m <-，所以1m =-故答案为：1-【点睛】本题考查了幂函数定义和单调性，属于基础题.14.【答案】：0【分析】由(5)1f <和m Z ∈，可确定1m =-或0m =，由()f x 是奇函数，可舍掉1m =-，即可得到本题答案.【详解】因为22323(5)5123012m m f m m m +-=<⇒+-<⇒-<<，又因为m Z ∈，所以1m =-或0m =，当1m =-时，2232m m +-=-，不符合题意，舍去；当0m =时，2233m m +-=-，符合题意.故答案为：0真题再现1．A 【分析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项.【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0，故选：A.【点睛】本题考查二次函数的对称轴，单调性，属于基础题.2．C 【详解】试题分析：解：在同一坐标系中画出函数的图象和函数g （x ）=log 2x 的图象，如下图所示：由函数图象得，两个函数图象共有3个交点，故选C.考点：1.函数的图象与图象变化；2.零点个数．3．C 【详解】当2160m ∆=-<时，显然成立当4,(0)(0)0m f g ===时，显然不成立；当24,()2(2),()4m f x x g x x =-=+=-显然成立；当4m <-时12120,0x x x x +，则()0f x =两根为负，结论成立故4m <,故选C.4．A 【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C 为偶函数，C.2y x =在区间(0,)+∞上单调递增函数，故选A ．考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．5．1[,1]2【详解】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x =时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，即0,0x y ≥≥，1x y +=表示线段，那么22x y+的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.6．14【详解】当1a >时，有214,a a m -==，此时12,2a m ==，此时()g x =不合题意.若01a <<，则124,a a m -==，故11,416a m ==，检验知符合题意7．（1）4|03M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）详见解析.【详解】试题分析：（1）由所给的不等式可得当1x ≥时，由()331f x x =-≤，或当1x <时，由()11f x x =-≤，分别求得它们的解集，再取并集，即得所求．（2）由4g x ≤（），求得N ，可得3{|0}4M N x x ⋂=≤≤．当x ∈M∩N 时，f （x ）=1-x ，不等式的左边化为211()42x --，显然它小于或等于14，要证的不等式得证．（1）33,[1,)(){1,(,1)x x f x x x -∈+∞=-∈-∞当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤，故413x ≤≤；当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<；所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤.（2）由2()16814g x x x =-+≤得2116()4,4x -≤解得1344x -≤≤，因此13{|}44N x x =-≤≤，故3{|0}4M N x x ⋂=≤≤.当x M N ∈⋂时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +=+2111()(1)()424xf x x x x ==-=--≤.考点：1.其他不等式的解法；2.交集及其运算．模拟检测1．D【分析】根据基本初等函数的性质依次判断选项即可.【详解】对于A 选项：指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，底数112<，所以函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(,)-∞+∞上单调递减；对于B 选项：幂函数1y x -=，10-<，所以幂函数1y x -=在(0,)+∞上单调递减；对于C 选项：二次函数2(1)y x =-，对称轴为1x =，所以二次函数2(1)y x =-在(0,1)上单调递减，在(1)+∞，上单调递增；对于D 选项：对数函数ln y x =，底数1e >，所以对数函数ln y x =在(0,)+∞上单调递增.故选：D.【点睛】本题主要考查基本初等函数的单调性，基本初等函数的函数性质是整个高中数学知识的奠基，和很多专题知识都有交融，是整个数学学习的基础.2．A【分析】利用幂函数、指数函数单调性和对数的运算可求解.【详解】解：∵函数3y x =，在R x ∈时单调递增，且m n >，∴330m n ->，故A 正确；∵函数1()2xy =，在R x ∈时单调递减，且m n >，∴11(()22m n <，故B 错误；当11,2m n ==时，()1lg lg 02m n -=<，故C 错误；当,11m n ==-时，1111m n=>=-，故D 错误；故选：A.3．B【分析】设()()20f x ax bx c a =++≠，根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式.【详解】设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+，由()()21f x x f x '=+-可得()2221ax bx c x ax b ++=++-，所以，121a b a c b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得121a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，()221f x x x =++.故选：B.4．D【分析】利用函数单调性求得a ，b 关系，结合几何概型即可求解．【详解】因为a ，b 是区间[0,4]上的任意实数，则函数2()1f x ax bx =-+在[2,)+∞上单调递增所以242≤⇒≤b b a a如图所示阴影部分：则所要求的概率为14414147244168⨯-⨯⨯===⨯P 故选：D5．B【分析】先求出函数的定义域，然后由复合函数的单调性可得出答案.【详解】由2230x x --+>，得31x -<<，当31x -<<-时，函数223y x x =--+单调递增，所以函数2()ln(23)f x x x =--+单调递增；当11x -<<时，函数223y x x =--+单调递减，所以所以函数2()ln(23)f x x x =--+单调递减，故选：B.6．D【分析】条件121221()()(0)22x x f x f x f x x ++⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭表明函数应是上凹函数或者是一次函数，结合幂函数的图象可作答．【详解】只有上凹函数或者是一次函数才满足题中条件，所以只有①②③⑤满足.故选：D.7．D【分析】利用指对函数的性质，结合中间量比较大小【详解】ln 2ln 1a e =<=Q，0.10.101b c =>=>=，b c a ∴>>．故选：D8．D【分析】由幂函数的性质求参数a 、b ，根据点在直线上得2m n +=，有14111n m m +=-++且02m <<，进而可求11n m ++的取值范围.【详解】由1a y ax b =-+-是幂函数，知：1,1a b =-=，又(,)a b 在20mx ny -+=上，∴2m n +=，即20n m =->，则1341111n m m m m +-==-+++且02m <<，∴11(,3)13n m +∈+.故选：D.【点睛】关键点点睛：根据幂函数的性质求参数，再由点在线上确定m 、n 的数量关系，进而结合目标式，应用分式型函数的性质求范围.9．BD【分析】由()f x 所过点可求得幂函数()f x 解析式，由此得到()132f <，知A 错误；由()12f =恒成立可知()f x 过定点()1,2，知B 正确；由二次函数的性质可知C 错误；由二次函数的最值可确定自变量的范围，即可确定m 的范围，知D 正确.【详解】对于A ，令()f x x α=，则122α=，解得：1α=-，()1f x x -∴=，()11332f ∴=<，A 错误；对于B ，令10x -=，即1x =时，()1112f =+=，()f x ∴恒过定点()1,2，B 正确；对于C ，()f x 为开口方向向上，对称轴为0x =的二次函数，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，C 错误；对于D ，令()4f x =，解得：0x =或2x =；又()()min 13f x f ==，∴实数m 的取值范围为[]1,2，D 正确.故选：BD.10．2【分析】由()24aa f x x -=在()0+∞，上是减函数，可得04a <<，进而可得结果.【详解】因为()24a a f x x -=在()0+∞，上是减函数，所以240a a -<，解得04a <<，又函数为偶函数，且a Z ∈，当1a =时，()-3f x x =为奇函数当2a =时，()4f x x -=为偶函数当3a =时，()3f x x -=为奇函数；所以2a =故答案为：211．31331322x +-+-≤≤【分析】把函数f (x )视为关于参数a 的一次型函数，在端点-1，1处的函数值不小于0，建立不等式组求解即得.【详解】令g (a )=x 2·a -3x +1，则g (a )是一次型函数，它在闭区间上图象为线段，则在闭区间上函数值不小于0，即对应图象不在x 轴下方，只需端点不在x 轴下方即可，22310[1,1],()0[1,1],()0310x x a f x a g a x x ⎧-+≥∴∀∈-≥⇔∀∈-≥⇔⎨--+≥⎩，解2310x x -+≥得：352x ≤或352x ≥，解2310x x --+≥得：31331322x --+≤≤，所以有3322x +-+-≤≤.答案为：3322x +-+-≤≤【点睛】在参数范围给定的含该参数的函数问题中，转换“主”、“辅”变元的位置是解题的关键.12．②③④【分析】利用幂函数的单调性可判断①的正误；利用对数函数的单调性结合作差法、基本不等式可判断②的正误；利用函数()sin x f x x=的单调性可判断③的正误；利用对数函数()ln x g x x=可判断④的正误.【详解】对于①，()()0.10.10.330.170.10.40.40.0640.10.0000001==>=，①错误；对于②，()()22245ln 3ln 5ln 4ln 3ln 5ln 4ln 3ln 42log 3log 4ln 4ln 5ln 4ln 5ln 4ln 5+⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=-=<(()22ln 40ln 4ln 5-=<，所以，45log 3log 4<，②正确；对于③，令()sin x f x x =，其中()0,1x ∈，则()2cos sin x x x f x x -'=，令()cos sin h x x x x =-，其中()0,1x ∈，则()sin 0h x x x '=-<，所以，函数()h x 在()0,1上单调递减，当()0,1x ∈时，()0h x <，则()0f x '<，所以，函数()f x 在()0,1上单调递减，因为110132<<<，则1123f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即112sin 3sin 23<，故131sin sin 223<，③正确；对于④，设()ln x g x x =，其中0x >，则()21ln x g x x-'=，当x e >时，()0g x '<，即函数()g x 在(),e +∞上单调递减，所以，()()1618g g >，即ln16ln181618>，所以，1816ln16ln18>，因此，16181816<，④正确.故答案为：②③④.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.13．25()f x x =或85()f x x =.【分析】根据幂函数的定义和性质得到关于t 满足的式子，即可求得t 的值.【详解】因为幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，所以322117320732t t t t t t ⎧-+=⎪+->⎨⎪+-⎩是偶数，解得1t =或1t =-，当1t =时，25()f x x =，当1t =-时，85()f x x =.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关幂函数的问题，能够正确解题的关键是熟练掌握幂函数的定义和幂函数的性质.。
考点16 高中数学二次函数与幂函数(解析版)
考点16 二次函数与幂函数【命题解读】二次函数为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质[常用结论与微点提醒]1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0时恒有f(x)>0；当⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0时，恒有f(x)<0.3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.1、幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是()【答案】C【解析】(1)设幂函数的解析式为y＝xα，因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝12.所以y＝x，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x<1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项，C 正确.2、已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0【答案】A【解析】由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0，故选A3、若二次函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k 的取值范围为( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，2)【答案】A【解析】二次函数y ＝kx 2－4x ＋2的对称轴为x ＝2k ，当k >0时，要使函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是增函数，只需2k ≤1，解得k ≥2.当k <0时，2k <0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k 的取值范围是[2，＋∞)．4、若函数y ＝x 2－3x ＋4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤74，4，则m 的取值范围为( )A ．(0，4]B.⎣⎡⎦⎤32，4C.⎣⎡⎦⎤32，3D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞【答案】C【解析】y ＝x 2－3x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋74的定义域为[0，m ]，显然，在x ＝0时，y ＝4，又值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4，根据二次函数图象的对称性知32≤m ≤3，故选C.5、不等式x 2+a |x |+4≥0对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[0，+∞）B ．[﹣4，+∞）C ．[﹣4，4]D ．（﹣∞，﹣4]【答案】B【解析】f （x ）＝x 2+a |x |+4为偶函数；当a ≥0，x ＞0时，函数化为f （x ）＝x 2+ax +4，对称轴x ＜0，f （0）＝4＞0，不等式恒成立； 当a ＜0时，x ＞0时，函数化为f （x ）＝x 2+ax +4，可得△＝a 2﹣16≤0显然成立解得﹣4≤a ＜0， 综上a ∈[﹣4，+∞）． 故选：B ．.6、(2017徐州、连云港、宿迁三检）已知对于任意的(,1)(5,)x ∈-∞+∞，都有22(2)0x a x a --+>，则实数a的取值范围是 ▲ ．【答案】 ]5,1(【解析】 当04)2(42<--=∆a a ，即0452<+-a a ，41<<a 时，满足题意； 当04)2(42≥--=∆a a ，即0452≥+-a a ，1≤a 或4≥a 时，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+--≥+--<---<0)2(1050)2(2152)2(2122a a a a a ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<5573a a a ，所以53≤<a ，又因为1≤a 或4≥a ，所以54≤≤a ，综上所述，实数a 的取值范围为]5,1(。
高考数学总复习(基础知识+高频考点+解题训练)二次函数与幂函数
第六节二次函数与幂函数[知识能否忆起]一、常用幂函数的图象与性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)二、二次函数1．二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．二次函数的图象和性质a>0a<0图象图象①对称轴：x＝－b2a ；②顶点：⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a[小题能否全取]1．若f (x )既是幂函数又是二次函数，则f (x )可以是( ) A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝5x 2C ．f (x )＝－x 2D ．f (x )＝x 2解析：选D 形如f (x )＝x α的函数是幂函数，其中α是常数．2．(教材习题改编)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析：选A 在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故α＝1,3.3．(教材习题改编)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎪⎫120，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0得a >120.4．(教材习题改编)已知点M ⎝⎛⎭⎪⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为________． 解析：设幂函数的解析式为y ＝x α，则3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33α，得α＝－2.故y ＝x －2. 答案：y ＝x －25．如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6.则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5. 答案：51.幂函数图象的特点(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性；(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内；(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 2．与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.[注意] 当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．幂函数的图象与性质典题导入[例1] 已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________. [自主解答] ∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1. [答案] －1由题悟法1．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．以题试法1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析：选B 由图①知，该图象对应的函数为奇函数且定义域为R ，当x >0时，图象是向下凸的，结合选项知选B.(2)(2013·淄博模拟)若a <0，则下列不等式成立的是( )A ．2a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >(0.2)aB ．(0.2)a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>2aC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >(0.2)a>2aD ．2a >(0.2)a>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 解析：选B 若a <0，则幂函数y ＝x a 在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >0.所以(0.2)a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>2a .求二次函数的解析式典题导入[例2] 已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且它有最小值－1. (1)求f (x )解析式；(2)若g (x )与f (x )图象关于原点对称，求g (x )解析式．[自主解答] (1)由于f (x )有两个零点0和－2， 所以可设f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 这时f (x )＝ax (x ＋2)＝a (x ＋1)2－a ， 由于f (x )有最小值－1，所以必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a ＝－1，解得a ＝1.因此f (x )的解析式是f (x )＝x (x ＋2)＝x 2＋2x .(2)设点P (x ，y )是函数g (x )图象上任一点，它关于原点对称的点P ′(－x ，－y )必在f (x )图象上， 所以－y ＝(－x )2＋2(－x )， 即－y ＝x 2－2x ，y ＝－x 2＋2x ，故g (x )＝－x 2＋2x .由题悟法求二次函数的解析式常用待定系数法．合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法．以题试法2．设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ，当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3,4)，且过点A (2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f (x )的草图； (3)写出函数f (x )的值域．解：(1)设顶点为P (3,4)且过点A (2,2)的抛物线的方程为y ＝a (x －3)2＋4，将(2,2)代入可得a ＝－2， 则y ＝－2(x －3)2＋4，即x >2时，f (x )＝－2x 2＋12x －14. 当x <－2时，即－x >2.又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝－2×(－x )2－12x －14， 即f (x )＝－2x 2－12x －14.所以函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式为f (x )＝－2x 2－12x －14.(2)函数f (x )的图象如图，(3)由图象可知，函数f (x )的值域为(－∞，4]．二次函数的图象与性质典题导入[例3] 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数．[自主解答] (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]． 所以f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，故f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.故a 的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．本例条件不变，求当a ＝1时，f (|x |)的单调区间． 解：当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，则f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，故f (|x |)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．由题悟法解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法．以题试法3．(2012·泰安调研)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________．解析：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 当a >1时，y max ＝a ；当0≤a ≤1时，y max ＝a 2－a ＋1； 当a ＜0时，y max ＝1－a .根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1. 答案：2或－1二次函数的综合问题典题导入[例4] (2012·衡水月考)已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围． [自主解答] (1)∃x ∈R ，f (x )<bg (x )⇒∃x ∈R ，x 2－bx ＋b <0⇒(－b )2－4b >0⇒b <0或b >4.故b 的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)． (2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4.①当Δ≤0，即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎪⎨⎪⎧m2≤0，－255≤m ≤255⇒－255≤m ≤0.②当Δ>0，即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)．若m2≥1，则x 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1，F 0＝1－m 2≤0⇒m ≥2；若m2≤0，则x 2≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0，F 0＝1－m 2≥0⇒－1≤m ≤－255.综上所述，m 的取值范围为[－1,0]∪[2，＋∞)．由题悟法二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们之间有着密切的联系，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关“三个二次”的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．以题试法4．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由f (0)＝1，得c ＝1.即f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，则a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1， 由－m －1>0得，m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．1．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：x 1 12 f (x )122则不等式f (|x |)≤2的解集是( ) A ．{x |0<x ≤2} B ．{x |0≤x ≤4} C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |－4≤x ≤4}解析：选D 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22⇒α＝12，即f (x )＝x 12，故f (|x |)≤2⇒|x |12≤2⇒|x |≤4，故其解集为{x |－4≤x ≤4}．2．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )解析：选D ∵a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0， ∴a >0，c <0.∴图象开口向上与y 轴交于负半轴．3．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1bB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1aD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b ) 解析：选C 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a .4．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( )A ．f (－3)<c <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<c <f (－3)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3)<cD ．c <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3) 解析：选D 由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称，则f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (2)＝f (0)＝c . 5．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]解析：选D 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)≤0，x ∈[0,1]，所以a >0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.6．若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－52B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，＋∞ 解析：选B 设f (x )＝x 2－2mx ＋4，则题设条件等价于f (1)<0，即1－2m ＋4<0，解得m >52.7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增； ③它们的图象关于直线y ＝x 对称； ④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)； ⑥两个函数的图象都是抛物线型． 其中正确的有________．解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较． 答案：①②⑤⑥8．(2012·北京西城二模)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f (x －1)<x 的解集为________．解析：因为f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，所以b ＝0，则f (x )＝x 2＋1，解不等式(x －1)2＋1<x ，即x 2－3x ＋2<0得1<x <2.答案：0 {x |1<x <2}9．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________． 解析：由x ≥0，y ≥0，x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12，令t ＝2x ＋3y 2＝3y 2－4y ＋2，则t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＋23.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34. 答案：3410．如果幂函数f (x )＝x －12p 2＋p ＋32(p ∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．求p 的值，并写出相应的函数f (x )的解析式．解：∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴－12p 2＋p ＋32>0，即p 2－2p －3<0.∴－1<p <3.又∵f (x )是偶函数且p ∈Z ， ∴p ＝1，故f (x )＝x 2.11．已知二次函数f (x )的图象过点A (－1,0)、B (3,0)、C (1，－8)． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在x ∈[0,3]上的最值； (3)求不等式f (x )≥0的解集．解：(1)由题意可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)， 将C (1，－8)代入得－8＝a (1＋1)(1－3)，得a ＝2. 即f (x )＝2(x ＋1)(x －3)＝2x 2－4x －6. (2)f (x )＝2(x －1)2－8，当x ∈[0,3]时，由二次函数图象知，f (x )min ＝f (1)＝－8，f (x )max ＝f (3)＝0.(3)f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1，或x ≥3}．12．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－m ·x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数， 故⎩⎪⎨⎪⎧f 3＝5，f2＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f 3＝2，f 2＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2.g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2，∵g (x )在[2,4]上单调， ∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.1．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13 B.12 C.34D ．1解析：选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.2．(2012·青岛质检)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－23．(2013·滨州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x >0，－f x ，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知得c ＝1，a －b ＋c ＝0，－b2a＝－1，解得a ＝1，b ＝2.则f (x )＝(x ＋1)2.则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x >0，－x ＋12，x <0.故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2，故－2≤b ≤0.1．比较下列各组中数值的大小． (1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)4.125，3.8－25，(－1.4)35；(4)0.20.5,0.40.3.解：(1)函数y ＝3x 是增函数，故30.8>30.7. (2)y ＝x 3是增函数，故0.213<0.233.(3)4.125>1,0<3.8－25<1，而(－1.4)35<0，故4.125>3.8－25>(－1.4)35.(4)先比较0.20.5与0.20.3，再比较0.20.3与0.40.3，y ＝0.2x 是减函数，故0.20.5<0.20.3；y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是增函数，故0.20.3<0.40.3.则0.20.5<0.40.3.2．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 当－b2a <0时，ab >0，从而c >0，可排除A ，C ；当－b2a >0时，ab <0，从而c <0，可排除B ，选D.3．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)试讨论函数f (x )的单调性；(2)若13≤a ≤1，且f (x )在[1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a )，求g (a )的表达式；(3)在(2)的条件下，求证：g (a )≥12.解：(1)当a ＝0时，函数f (x )＝－2x ＋1在(－∞，＋∞)上为减函数； 当a >0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向上，对称轴为x ＝1a，故函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1a 上为减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞上为增函数；当a <0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向下，对称轴为x ＝1a，故函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1a 上为增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞上为减函数．(2)∵f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a 2＋1－1a，由13≤a ≤1得1≤1a ≤3，∴N (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1－1a . 当1≤1a <2，即12<a ≤1时，M (a )＝f (3)＝9a －5，故g (a )＝9a ＋1a－6；当2≤1a ≤3，即13≤a ≤12时，M (a )＝f (1)＝a －1，故g (a )＝a ＋1a－2.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1a －2，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，9a ＋1a －6，a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.(3)证明：当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12时，g ′(a )＝1－1a 2<0，∴函数g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上为减函数；当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，g ′(a )＝9－1a 2>0， ∴函数g (a )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上为增函数，∴当a ＝12时，g (a )取最小值，g (a )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12.故g (a )≥12.。
二次函数与幂函数的知识点总结与题型归纳
二次函数与幂函数的知识点总结与题型归纳1．二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)的函数叫作二次函数．(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)_(a≠0)．2．二次函数的图象和性质－∞，＋∞－∞，＋∞ac－b24a，＋∞－∞，4ac－4a－∞，－b2a上单调递－b2a，＋∞上单调递－∞，－b2a上单调递b2a，＋∞上单调递减当b＝0时为偶函数，时为非奇非偶函数3.幂函数形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．4．幂函数的图象及性质(1)幂函数的图象比较(2)幂函数的性质比较y ＝x y ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ∈R 且x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ∈R 且y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x ∈[0，＋∞)时，增；x ∈(－∞，0]时，减增增x ∈(0，＋∞)时，减；x ∈(－∞，0)时，减1．二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式．(3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便．2．幂函数的图象(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(2)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1可作为研究和学习幂函数图象和性质的代表．题型一求二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数．思维启迪：确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用．解方法一设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，c＝－1，＝－1，8，＝－4，＝4，＝7，∴所求二次函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二设f(x)＝a(x－m)2＋n，a≠0.∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝2＋(－1)2＝12∴m＝12.又根据题意函数有最大值为n＝8，∴y＝f(x)＝a21(2x-＋8.∵f(2)＝－1，∴a21()2x-＋8＝－1，解之，得a＝－4.∴f(x)＝－421()2x-＋8＝－4x2＋4x＋7.方法三依题意知，f(x)＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，a ≠0.即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a＝8，解之，得a ＝－4或a ＝0(舍去)．∴函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.探究提高二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．题型二二次函数的图象与性质例2已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．思维启迪：对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．解：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.(3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )2＋2x ＋3，x ∈ 0，6]2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．探究提高(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．题型三二次函数的综合应用例3若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．思维启迪：对于(1)，由f (0)＝1可得c ，利用f (x ＋1)－f (x )＝2x 恒成立，可求出a ，b ，进而确定f (x )的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得．解(1)由f (0)＝1，得c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，a ＝2，＋b ＝0，＝1，＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减，∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．题型四幂函数的图象和性质例4已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m 3的a 的取值范围．思维启迪：由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3<0，再结合m 是整数，及幂函数是偶函数可得m 的值．解∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m 2－2m －3<0，解得－1<m <3.∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数的图象关于y 轴对称，∴m 2－2m －3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m ＝1.而f (x )＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a ＋1)－13<(3－2a )－13等价于a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a .解得a <－1或23<a <32.故a |a <－1或23<a 探究提高(1)幂函数解析式一定要设为y ＝x α(α为常数的形式)；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性．方法与技巧1．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．2．与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0>02－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0<02－4ac <0.3．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数．失误与防范1．对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况.2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解12---二次函数、幂函数
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第12讲二次函数、幂函数考向预测核心素养二次函数一般与其他知识综合考查，幂函数的考查以图象、性质为主，题型一般为选择题、填空题，中档难度.直观想象、逻辑推理、数学抽象一、知识梳理1．常见的五种幂函数的图象2．幂函数y＝xα的性质(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；(2)当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；(3)当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．3．二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 4．二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 RR值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x ＝－b2a对称 常用结论1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．2．(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.二、教材衍化1．(人A 必修第一册P 58T 6改编)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，120B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－120C.⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－120，0 解析：选C.由题意知⎩⎨⎧a >0，Δ<0，即⎩⎨⎧a >0，1－20a <0，解得a >120. 2．(人A 必修第一册P 91练习T 1改编)已知幂函数f (x )＝kx α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________．解析：因为函数f (x )＝kx α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32.答案：32一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝2x 12是幂函数．( )(2)根据二次函数的两个零点就可以确定函数的解析式．( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值是4ac －b24a.( )答案：(1)× (2)× (3)× 二、易错纠偏1．(二次函数性质不明致误)已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞) B.(－∞，3] C ．(－∞，－3)D.(－∞，－3]解析：选D.函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧，所以－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D.2．(二次函数图象特征不清致误)设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m －1)________0.(填“>”“<”或“＝”)解析：f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝12，且f (1)>0，f (0)>0，而f (m )<0，所以m ∈(0，1)，所以m －1<0，所以f (m －1)>0.答案：>3．(幂函数概念不清致误)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减．解析：设y ＝f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，代入解析式得α＝－12，则y ＝x －12，由性质可知函数y ＝x －12在(0，＋∞)上单调递减．答案：y＝x－12(0，＋∞)考点一幂函数的图象及性质(自主练透)复习指导：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x 12的图象，了解它们的变化情况．1．已知点⎝⎛⎭⎪⎫33，3在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是( )A．奇函数 B.偶函数C．定义域内的减函数 D.定义域内的增函数解析：选A.设f(x)＝xα，由已知得⎝⎛⎭⎪⎫33α＝3，解得α＝－1，因此f(x)＝x－1，易知该函数为奇函数．2．(链接常用结论2)已知函数f(x)＝(m2－m－1)·x m2－2m－3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m＝( )A．2 B.－1C.4D.2或－1解析：选A.由题意知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2，当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则f(x)在(0，＋∞)上为常数，不合题意．当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则f(x)＝x－3在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．所以m＝2.3.若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d >c >b >a B.a >b >c >d C ．d >c >a >bD.a >b >d >c解析：选B.由幂函数的图象可知，在(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a >b >c >d ，故选B.4．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的图象经过点(2，2)，则m ＝________，满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为________．解析：因为f (x )的图象过点(2，2)，所以2＝2(m 2＋m )－1，所以m 2＋m ＝2，又m ∈N *，所以m ＝1.即f (x )＝x 12，其定义域为{x |x ≥0}，且在定义域上函数为增函数， 所以由f (2－a )>f (a －1)得0≤a －1<2－a ，解得1≤a <32.答案：1 1≤a <32幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y ＝x α(α∈R )的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．考点二 二次函数的解析式(综合研析)复习指导：理解二次函数的定义，能够根据已知条件求二次函数的解析式．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，求二次函数f (x )的解析式．【解】 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的策略|跟踪训练|已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．解：因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， 所以y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称．又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为2－22＝1，2＋22＝3.所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0)．因此设f(x)＝a(x－1)(x－3)．又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，所以3a＝3，则a＝1.故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.考点三二次函数的图象和性质(多维探究)复习指导：理解二次函数的定义，能够根据二次函数的图象讨论性质，从数形结合的观点研究和二次函数有关的问题．角度1 二次函数的图象(1)(多选)(2022·济南月考)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，则( )A．b2＞4ac B.2a－b＝1C．a－b＋c＝0 D.5a＜b(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则( )A．f(m＋1)≥0 B.f(m＋1)≤0C．f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<0【解析】(1)因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确．(2)因为f(x)的对称轴为x＝－12，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示．由f(m)<0，得－1<m<0，所以m＋1>0，所以f(m＋1)>f(0)>0.【答案】(1)AD (2)C识别二次函数图象应学会“三看”角度2 二次函数的单调性与最值(1)若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A．[－3，0) B.(－∞，－3]C．[－2，0] D.[－3，0](2)若函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[1，2]上有最大值4，则a 的值为________． 【解析】 (1)当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意； 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a， 由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎨⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]． (2)f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .①当a ＝0时，函数f (x )在区间[1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； ②当a >0时，函数f (x )在区间[1，2]上单调递增，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；③当a <0时，函数f (x )在区间[1，2]上单调递减，最大值为f (1)＝3a ＋1＝4，解得a ＝1，不符合题意，舍去．综上可知，a 的值为38.【答案】 (1)D (2)38若本例(1)中函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________．解析：由题意知f (x )必为二次函数且a <0， 又3－a 2a ＝－1，所以a ＝－3. 答案：－3(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解．|跟踪训练|1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选D.由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c <0，所以函数图象开口向上，排除A ，C ；又f (0)＝c <0，排除B ，故选D.2．若函数y ＝x 2－3x ＋4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4，则m 的取值范围为( )A ．(0，4] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选C.y ＝x 2－3x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋74的定义域为[0，m ]，显然，在x ＝0时，y ＝4，又值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4，根据二次函数图象的对称性知32≤m ≤3.3．(多选)(2022·邯郸九校联盟期中)若函数f (x )＝x |x －a |在[0，2]上的最大值为2，则a 的取值可以为( )A ．1 B.3 C.2 2D.42－4解析：选AC.若a ≤0时，f (x )在[0，2]上单调递增，f (x )max ＝f (2)＝2|2－a |＝2，解得a ＝1(舍去)或a ＝3(舍去)． 若a >0时，f (x )＝⎩⎨⎧－x （x －a ），x ≤a ，x （x －a ），x >a ，当a2>2即a >4时，f (x )max ＝f (2)＝－2(2－a )＝2，解得a ＝3(舍去)． 当x >a 时，令f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，解得x ＝（2＋1）a 2(负值舍去)．当a2≤2≤（2＋1）a 2即4(2－1)≤a ≤4时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24＝2，解得a ＝2 2. 当2>（2＋1）a2即a <4(2－1)时，f (x )max ＝f (2)＝2(2－a )＝2.解得a ＝1.[A 基础达标]1．若幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B.[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞)D.(－∞，0)解析：选D.设f (x )＝x α，则2α＝14，α＝－2，即f (x )＝x －2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．2．若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·xm 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A．1或3 B.1C.3D.2解析：选B.由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，解得m＝1.3．(2022·潍坊模拟)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )A．a>0，4a＋b＝0 B.a<0，4a＋b＝0C．a>0，2a＋b＝0 D.a<0，2a＋b＝0解析：选A.由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－b2a＝2，所以4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，所以f(x)先减后增，于是a>0.4．(多选)(2022·淄博模拟)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，则函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是( ) A．f(－1) B.f(1)C.f(2)D.f(5)解析：选ACD.因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝2，当a＞0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a＜0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5)．5．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x n2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )A．－3 B.1C.2D.1或2解析：选B.由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意．6．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x ＝2对称．”根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( )A ．在x 轴上截得的线段的长度是2B ．与y 轴交于点(0，3)C ．顶点是(－2，－2)D ．过点(3，0)解析：选ABD.由已知得⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝0，－b 2a ＝2，解得b ＝－4a ，c ＝3a ，所以二次函数为y ＝a (x 2－4x ＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选ABD.7．(2022·山东烟台模拟)若二次函数y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的值域为[0，＋∞)，则m ＝________．解析：y ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m －1162＋m －7－8⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162， 因为值域为[0，＋∞)，所以m －7－8⎝⎛⎭⎪⎫m －1162＝0， 解得m ＝9或m ＝25. 答案：9或258．若(3－2m )12>(m ＋1)12，则实数m 的取值范围为________． 解析：因为y ＝x 12在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎨⎧3－2m ≥0，m ＋1≥0，3－2m >m ＋1，解得－1≤m <23.故实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，239．(2022·潍坊质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，－2≤x ≤c ，1x ，c <x ≤3.若c ＝0，则f (x )的值域是________；若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，则实数c 的取值范围是________．解析：当c ＝0时，即x ∈[－2，0]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，当x ∈(0，3]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞，所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞.作出y ＝x 2＋x 和y ＝1x 的图象如图所示，当f (x )＝－14时，x ＝－12；当x 2＋x ＝2时，x ＝1或x ＝－2；当1x ＝2时，x ＝12，由图象可知当f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2时，需满足12≤c ≤1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，110．已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1，2]上的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．解：(1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)，由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1， 根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋h a，所以|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝－4ha＝2，解得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1，2]上单调递增， 又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x . 所以g (x )的对称轴方程为x ＝k －22，则k －22≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．[B 综合应用]11．(多选)(2022·潍坊模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x －x 2，则下列说法正确的是( )A ．f (x )的最大值为14B ．f (x )在(－1，0)上是增函数C ．f (x )＞0的解集为(－1，1)D ．f (x )＋2x ≥0的解集为[0，3]解析：选AD.由题意，得当x ≥0时，f (x )＝x －x 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14；当x <0时，f (x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14，f (x )的最大值为14，A 正确；f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－12，0上是减函数，B 错误； f (x )＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)，C 错误； 当x ≥0时，f (x )＋2x ＝3x －x 2≥0的解集为[0，3]， 当x ＜0时，f (x )＋2x ＝x －x 2≥0无解，故D 正确．12．(2022·合肥质检)已知函数f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )＞0的解集为(－1，3)．若对任意的x ∈[－1，0]，f (x )＋m ≥4恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，2] B.[4，＋∞) C ．[2，＋∞)D.(－∞，4]解析：选B.因为f (x )＞0的解集为(－1，3)，故－2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－1，3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－c 2＝－1×3，b 2＝－1＋3，即⎩⎨⎧b ＝4，c ＝6，令g (x )＝f (x )＋m ，则g (x )＝－2x 2＋4x ＋6＋m ＝－2(x －1)2＋8＋m ，由x ∈[－1，0]可得g (x )min ＝m ，又g (x )≥4在[－1，0]上恒成立，故m ≥4.13．(多选)(2022·菏泽模拟)已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题，其中是真命题的是( )A ．若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上单调递增 B ．存在a ∈R ，使得f (x )为偶函数C ．若f (0)＝f (2)，则f (x )的图象关于x ＝1对称D ．若a 2－b －2＞0，则函数h (x )＝f (x )－2有2个零点解析：选AB.对于选项A ，若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2在区间[a ，＋∞)上单调递增，正确；对于选项B ，当a ＝0时，f (x )＝|x 2＋b |显然是偶函数，正确；对于选项C ，取a ＝0，b ＝－2，函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |化为f (x )＝|x 2－2|，满足f (0)＝f (2)，但f (x )的图象不关于x ＝1对称，错误；对于选项D ，如图，a 2－b －2＞0，即a 2－b ＞2，则h (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|－2有4个零点，错误．14．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2.若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥2f (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解：由题意知f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，则2f (x )＝f (2x )，因此原不等式等价于f (x ＋a )≥f (2x )．易知f (x )在R 上是增函数，所以x ＋a ≥2x ，即a ≥(2－1)x .又x ∈[a ，a ＋2]，所以当x ＝a ＋2时，(2－1)x 取得最大值(2－1)(a ＋2)，因此a ≥(2－1)(a ＋2)，解得a ≥ 2.故a 的取值范围是[2，＋∞)．[C 素养提升]15．(2022·兰州模拟)已知幂函数f (x )的部分对应值如表：x 112则不等式f (|x |)≤2的解集是________．解析：设幂函数为f (x )＝x α，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，所以α＝12，所以f (x )＝x 12.不等式f (|x |)≤2等价于|x |12≤2，所以|x |≤4， 所以－4≤x ≤4.所以不等式f (|x |)≤2的解集是[－4，4]． 答案：[－4，4]16．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f （b ）－f （a ）b －a ，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1，1]上的“平均值函数”，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的“平均值函数”，求实数m 的取值范围．解：设x 0为均值点，所以f （1）－f （－1）1－（－1）＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1，1)内有实数根，解方程得x 0＝1(舍去)或x 0＝m －1.所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0，2)．。
4高中 必修一幂函数与二次函数 知识点+例题 全面
学科教师辅导教案―幂函数与二次函数[例4]幂函数pnmx y x y x y ===，，的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）A.m>n>pB.m>p>nC.n>p>mD.p>n>m[巩固]若图所示是函数)*(且互质、N n m x y nm ∈=的图象，则（ ）A ．m 、n 是奇数且n m <1 B ．m 是偶数，n 是奇数，且nm >1 C ．m 是偶数，n 是奇数，且n m <1 D ．m 、n 是奇数且nm>11、定义：一般地，我们把形如y=ax²+bx+c （其中a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数叫做二次函数2、二次函数解析式的三种形式(待定系数法)： ①一般式：y=ax²+bx+c （a ≠0） ②顶点式：y=a (x-k )²+h （a ≠0） ③交点式：y=a (x-x 1) (x-x 2) （a ≠0）3、（1）a 决定二次函数图象的开口方向；a>0，开口向上；a<0，开口向下；| a |越大，图象开口越大； （2）a 和b 决定二次函数图象对称轴（x=ab2-）的位置；a 、b 同号，对称轴在y 轴的左边； a 、b 异号，对称轴在y 轴的右边；（3）c 表示抛物线在y 轴上的截距.4、二次函数的图象及性质：a>0 a<0 开口向上向下知识模块2 二次函数图象与x 轴的交 点个数 2个1个无2个1个无顶点坐标（ab2-，a b ac 442-）对称轴x =ab 2-单调性在（-∞，a b2-）上单调递减； 在（a b2-，+∞）上单调递增 在（-∞，ab2-）上单调递增； 在（ab2-，+∞）上单调递减 最值有最小值，当x =a b2-，y min =a b ac 442-有最大值，当x =ab2-，y max =a b ac 442-5、二次函数与一元二次方程的的根的关系： 二次函数y=ax²+bx+c （a ≠0）与x 轴的交点就是对应一元二次方程ax²+bx+c=0（a ≠0）的根. 一元二次方程ax²+bx+c=0（a ≠0）的根的个数的判别：（1）△=b 2-4ac >0 方程有两个不相等的实数根 对应的二次函数与x 轴有两个交点 （2）△=b 2-4ac =0 方程有两个相等的实数根 对应的二次函数与x 轴有一个交点 （3）△=b 2-4ac <0 方程有没有实数根 对应的二次函数与x 轴没有交点6、如果二次函数与x 轴有交点，则x 1+x 2=a b -，x 1•x 2=ac，|x 1-x 2|=a ac b 42-7、y=x²既是二次函数又是幂函数[例1]已知二次函数的对称轴是直线x =-2，且过点（1，1）和（4，4），求次函数的解析式.[巩固1]二次函数的顶点坐标是（-1，3），并且图象与x 轴两交点间的距离为6，求函数的解析式.[例2]已知函数f (x )= ax²-6(a+1)x -3在(2，+∞)上单调递减，求实数a 的取值范围.经典例题透析。
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1●高考明方向1.了解幂函数的概念．2.结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12 的图象， 了解它们的变化情况．3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.★备考知考情1.幂函数、二次函数的图象与性质的应用是高考命题的 热点．2.常与一元二次不等式、一元二次方程等知识交汇命题， 考查数形结合思想．3.题型主要以选择题、填空题为主，另外在解答题中 常与导数的应用综合，属中高档题.一、知识梳理《名师一号》P21 注意：知识点一 幂函数1.定义：形如y ＝x α(α∈R)的函数叫幂函数， 其中x 是自变量，α是常数．注意：关注定义！．幂函数的性质2结合定义域及奇偶性分析《名师一号》P22 问题探究问题1幂函数图象有什么特点？(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，23一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性； (2)幂函数的图象最多只能经过两个象限； (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，那么交点一定是原点．特例： 11,2,3,,12α=-的幂函数的图象和性质图象：性质：一般地，对于幂函数y x α=，有如下性质：(1) 当0α>时， ① 图象都通过点(0,0),(1,1)；3=y x2=y x y x =1x -12x=4② 在[0,)+∞上是增函数，1α>时曲线下凹；01α<<时曲线上凸. (2) 当0α<时，① 图象都通过点(1,1)； ② 在(0,)+∞上是减函数；③ 在第一象限内，图象向上与y 轴无限接近， 向右与x 轴无限接近.注意：幂函数在其他象限的图象可由幂函数的性质 及奇偶性作出。
作出下列函数的图象（1）4y x = （2）5y x = （3）14y x = （4）1y x -= （5）23y x -=练习:作出下列函数的图象（1）13y x = （2）23y x =5（3）12y x -= （4）32y x =知识点二 二次函数 1.二次函数的三种形式一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )； 零点式（即两根式）：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)， x 1，x 2为f (x )的零点．⎣⎢⎡4ac －b 24a ，＋∞b6函数的图象关于x ＝－b2a对称注意：抓住开口方向、对称轴、顶点及与坐标轴的交点等分析《名师一号》P22 问题探究 问题2如何解决与二次函数有关的不等式恒成立问题？(1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎨⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎨⎧a <0，b 2－4ac <0.注意当题目条件中未说明a ≠0时， 就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．《名师一号》P22 问题探究 问题3 如何确定二次函数的对称轴？(1)对于二次函数y ＝f (x )，如果定义域内有不同两点 x 1，x 2且f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．二、例题分析：（一）幂函数的图像与性质例1.（1）《名师一号》P22 高频考点例1（1）幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是()A B C D令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝12，∴f(x)＝x12.故图象为C的图象．答案：C例1.（2）（补充）函数3222)1()(----=mmxmmxf是幂函数，且当),0(+∞∈x时是减函数，求实数m78[解析] 由题意知m 2－m －1＝1， 得m ＝－1或m ＝2，又由题意知m 2－2m －3<0，得m ＝2.注意：1、立足定义：y x α=叫幂函数，其中x 是自变量， α是常数.（1） x α的系数为1 （2）0α=时，1(0)y x =≠ 2、《名师一号》P22 高频考点 例1【规律方法】(1)幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： ①α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降． ②曲线的第一象限的凹凸性： α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸； α<0时，曲线下凸．练习：温故知新P28 第4题9例2. (补充)幂函数y ＝x α (α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连结AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA .那么，αβ＝()A ．1B ．2C ．3D ．无法确定[答案] A[解析] 由条件知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，∴13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23α，23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13β，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13αβ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13βα＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＝13， ∴αβ＝1.故选A.例3.（1）《名师一号》P22 高频考点 例1（2）10设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525 ，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵y ＝x 25(x >0)为增函数，∴a >c .∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x(x ∈R)为减函数，∴c >b ，∴a >c >b .答案：a >c >b注意：《名师一号》P22 高频考点 例1【规律方法】在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．例3.（2）(补充)(1) 温故知新P28 第10题已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，求m 的范围． (2)比较大小：0.80.7与0.70.8.11解析：(1)∵0<0.71.3<1,1.30.7>1，∴0.71.3<1.30.7考察幂函数y ＝x m 由(0.71.3)m <(1.30.7)m知y ＝x m 为(0，＋∞)上的增函数，∴m >0.(2)指数函数y ＝0.8x 是减函数，∴0.80.7>0.80.8又幂函数y ＝x 0.8在第一象限为增函数∴0.80.8>0.70.8，∴0.80.7>0.70.8.（二）二次函数的解析式例1.《名师一号》P22 高频考点 例2已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．方法一：(利用一般式)：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎨⎧ a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.方法二：(利用顶点式)：设f (x )＝a (x －m )2＋n .12∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12. ∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8. ∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 方法三：(利用零点式即两根式)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a＝8. 解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.注意：《名师一号》P22 高频考点 例2【规律方法】 求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法， 规律如下：（三）二次函数的图象及性质的应用例1.（1）《名师一号》P22 高频考点例3(1)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则()A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0解析:因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，即a>0，且其对称轴为x＝2，即－b2a＝2，所以4a＋b＝0.13例1.（2）《名师一号》P22 高频考点例3(2)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的是()A．②④B．①④C．②③D．①③解析:因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．注意：《名师一号》P23 高频考点例3【规律方法】分析二次函数的图象，有两个要点：一是看二次项系数的符号，它决定二次函数图象的开口方向；1415二是看对称轴和顶点，它决定二次函数图象的具体位置． 补充：有时还应关注图像与坐标轴的交点.如：周练11—21（2）21．已知函数1)1(ln )(+--=x x a x x f （R ∈a ，0≠a ），x x x g +=2)(．（2）若)(x f 在其定义域内单调递增，求a 的取值范围；（2） 21[1(1)]()(1)a x x f x x x +--'=-+212(1)a x x =-+22(22)1(0)(1)x a x x x x +-+=>+………6分()0f x '≥恒成立.则 2(22)10x a x +-+≥ (0,)x ∀∈+∞ 恒成立.……7分 (法一)由二次函数的图象(开口向上，过定点(0,1))可得10a -≤或100a ->⎧⎨∆≤⎩则 1a ≤或210(22)40a a ->⎧⎨--≤⎩得 2a ≤.（可验证2a =时)(x f 在其定义域(0,)+∞内单调递增） (法二)分离变量 122(0)a x x x ≤++>16 又12224x x++≥+= 所以 24a ≤， 则2a ≤（可验证 当2a =时)(x f 在其定义域(0,)+∞内单调递增）…9分基础测试5—55.已知函数x x g x a ax x f =+--=)(,1)3()(2，若对于任一实数x ， )(x f 与)(x g 至少有一个为正数，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．［0，3） B.［3，9） C.［1，9） D.［0，9） 问题等价于20,()(3)1x f x ax a x ∀≤=--+恒成立（1）0a =（2）0a ≠，则0a >（注意：此时函数图象开口向上，过定点(0,1) ) （四）二次函数的最值课后作业一、 计时双基练P221 基础1-9 培优1课本P22 变式思考1；二、 计时双基练P221基础10、11；培优2-4课本P22-23 变式思考2、3对应训练1、2三、 补充详见二次函数专题预习 第二章 第八节 函数的图像试卷更正17补充练习1:已知函数3234+⋅-=x x y 的值域为[]7,1，则x 的范围是（ ）A.[]4,2B.)0,(-∞C.[]4,2)1,0(⋃D.(][]2,10,⋃∞-答案:D练习2:已知方程9x －2·3x ＋3k －1＝0有两个实数解，试求实数k 的取值范围．[解析] 令t ＝3x ，则t >0.原方程有两个实数解，即方程t 2－2t ＋3k －1＝0有两个正实数解，则 ⎩⎨⎧ Δ＝(－2)2＋4(3k －1)≥0t 1＋t 2＝2>0t 1t 2＝3k －1>0，18解得13<k ≤23.练习3: 对任意的222(45)43411,()()33m x x mx m x x R -++-∈<恒成立，求m 的范围.解：1013<< 由题意即对任意的222,(45)434x R m x x mx m x ∈-++>-恒成立即对任意的,x R ∈22(45)(44)30m m x m x +-+-+>恒成立2222450450(44)12(45)0440m m m m m m m m ⎧⎧+->+-=⇔⎨⎨∆=--+-<-=⎩⎩或15151191m m m m m m ⎧><-==-⎧⎪∴⎨⎨<<=⎪⎩⎩或或或 119m ∴≤<练习4:已知函数)43lg(112x x x x y +-+-+=的定义域为M ，19（1）求M（2）当x M ∈ 时，求x x a x f 432)(2⨯+⋅=+ )3(->a 的最小值.解 (1)21011340x x xx x +⎧≥≠⎪-⎨⎪-+>⎩且由题可得[1,1)M =-可解得(2)2()234x x f x a +∴=⋅+⨯=22243(2)33x a a +- [1,1)x ∈-,1222x ≤<，, 3a >-，223a ∴-< ①若2132a -≤，即34a ≥-时，min ()f x =(1)f -=324a +， ②若12223a <-<，即334a -<<-时， 所以当22,3x a =-即22log ()3a x =-时，min ()f x =243a -20 min 2332()44()43(3)34a a f x a a ⎧+≥-⎪⎪∴=⎨⎪--<<-⎪⎩。