2017年高考文科数学天津卷及答案解析

数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前天津市2017年普通高等学校招生考试数学(文史类)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷参考公式：如果事件A ,B 互斥,那么()()()P A B P A P B =+.棱柱的体积公式V Sh =.其中S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高.球的体积公式343V R π=.其中R 表示球的半径.一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}1,2,6A =,{}2,4B =，{}=1,2,4C ，则()C A B = ( ) A .{}2B .{}1,2,34，C .{}1,246，，D .{}1,2,346，， 2.设x R ∈,则“20x -≥”是“11x -≤”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A .45B .35C .25D .154.阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为19,则输出的值为 ( )A .0B .1C .2D .35.已知双曲线2222=1(0,)x y a b a b-＞＞0的右焦点为F ,点A 在双曲线的渐近线上,OAF △是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为 ( ) A .22=1412x y -B .22=1124x y - C .22=13x y -D .22=13y x -6.已知奇函数()f x 在R上是增函数.若0.8221=(log ),=(log 4.1),=(2)5a fb fc f -,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .a b c ＜＜ B .b a c ＜＜ C .c b a ＜＜ D .c a b ＜＜7.设函数()=2s i n ()R f x x x ωϕ+∈,,其中0ωϕπ＞，＜.若5π()=28f ,11π()=08f ,且()f x 的最小正周期大于2π，则毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）( )A .2π=,=312ωϕ B .211π=,=312ωϕ-C .111π=,=324ωϕ-D .17π=,=324ωϕ8.已知函数2,1,2, 1.()=x x x x x f x ++≥⎧⎨⎩＜设a R ∈,若关于x 的不等式在x()a 2f x ≥+上恒成立,则a 的取值范围是( )A .[]2,2-B.⎡⎤-⎣⎦ C.2,⎡-⎣D.⎡-⎣第Ⅱ卷二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.已知R α∈,i 为虚数单位,若i2iα-+为实数,则a 的值为 .10.已知R α∈,设函数()=ln f x x x α-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 .11.已知一个正方形的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .12.设抛物线2=4y x 的焦点为F ,准线为l .已知点C 在l 上,以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若120FAC ∠=,则圆的方程为 .13.若,a b R ∈,0ab ＞,则4441a b ab++的最小值为 .14.在ABC △中,60A ∠=,3AB =,2AC =.若=2BD BC uu u r uu u r ,AE AC ABλ=-uu u r uuu r uu u r(R λ∈),且=4AD AE ⋅-uuu r uu u r，则λ的值为 .三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知s i n =4s i na Ab B,222)ac a b c --. (I )求cos A 的值；(II )求sin(2)B A -的值.16.(本小题满分13分)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ,y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(I )用x ,y 列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域；数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）(II )问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多？17.(本小题满分13分)如图,在四棱锥P ABCD -中,AD PDC ⊥平面,AD BC ∥,PD PB ⊥,=1AD ,3BC =,4CD =,2PD =.(I )求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； (II )求证：PD PBC ⊥平面；(III )求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.18.(本小题满分13分)已知{}n a 为等差数列,前n 项和为*n (N )S n ∈,{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2312b b +=,3412b a a =-,114=11S b . (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(Ⅱ)求数列{}2n n a b 的前n 项和*(N )n ∈.19.(本小题满分14分)设,R a b ∈，a 1≤.已知函数32()=63(4)b f x x x a a x ---+,()=()x g x e f x . (Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ)已知函数=()y g x 和=x y e 的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线，(i )求证：()f x 在0=x x 处的导数等于0；(ii )若关于x 的不等式()x g x e ≤在区间[]001,1x x -+上恒成立,求b 的取值范围.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题-----------------无---------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页）20.(本小题满分14分)已知椭圆()2222=10x y a b a b+＞＞的左焦点为(,0)F c -,右顶点为A ,点E的坐标为(0,)c ,EFA △的面积为22b .(I )求椭圆的离心率；(II )设点Q 在线段AE 上,3=2FQ c ,延长线段FQ 与椭圆交于点P ,点M ,N 在x 轴上,PM QN ∥,且直线PM 与直线QN 间的距离为c ,四边形PQNM 的面积为3c . (i )求直线FP 的斜率； (ii )求椭圆的方程.2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1．【答案】B【解析】由题意知{}1,2,4,6A B =，∴(){}1,2,4A B C =.2．【答案】B【解析】由x 11-≤，得0x 2≤≤，∵022x x ≤≤⇒≤，202x x ≤≠≤≤，故“2x 0-≥”是“x 11-≤”的必要而不充分条件，故选B . 3．【答案】C【解析】从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），（黄，蓝），（黄，绿），（黄，紫），（蓝，绿），（蓝，紫），（绿，紫）而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），共4种，故所求概率42105P ==. 4．【答案】C【解析】由程序框图可知，N 的取值依次为19,18,6,2.故输出N的值为2. 5．【答案】D数学试卷 第9页（共18页） 数学试卷 第10页（共18页）【解析】由OAF △是边长为2的等边三角形可知，2c =，tan 603ba ==又222c ab =+，联立可得1a=，b ，∴双曲线的方程为2213y x -=.6．【答案】C 【解析】由()f x 是奇函数可得，221(log )(log 5)5a f f =-=，∵0.8222l o g 5l o g 4.1l o g 422=＞＞＞，且函数()f x 是增函数，∴c b a ＜＜. 7．【答案】A 【解析】由5π()28f =，11π()08f =，()f x 的最小正周期2πT ＞，可得11π5π3π8844T -==，∴3πT =，∴2π2==3π3ω.再由5π()28f =及πϕ＜得π=12ϕ．8．【答案】A【解析】作出()f x 的图象如图所示，=||2xy a +的图象经过点(0,2)时，可知=2a ±.当2x y a =+的图象与2y x x=+的图象相切时，由22x a x x+=+，得2240x ax -+=，由=0∆，并结合图象可得2a =.要使()||2xf x a ≥+恒成立，当0a ≤时，需满足2a -≤，即20a -≤≤，当a ＞0时，需满足2a ≤，所以22a -≤≤.第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】2-【解析】因为i (i)(2i)21(2)i=2i (2i)(2i)5a a a a -----+=++-为实数，所以+2=0a ，即=2a -. 10．【答案】1【解析】因为'1()f x a x=-，所以'(1)1f a =-，又'(1)f a =，所以切线l 的方程为(1)(1)y a a x -=--，令=0x ，得=1y . 11．【答案】9π2【解析】设正方体的棱长为a ，则2618a=，得a =，设该正方体外接球的半径为R，则23R ==，得32R =，所以该球的体积为334439ππ()π3322R ==.12．【答案】22(1)(=1x y ++【解析】由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为(1,)C a -(0)a ＞则(0,)A a ,又(1,0)F ，所以(1,0)AC =-uu u r ，(1,)AF a =-uu u r ，由题意得AC uuu r 与AF uu u r的夹角为120，得1cos1202==-，解得a，所以圆的方程为22(1)(1x y ++=.13．【答案】4【解析】44334141=a b a b ab b a ab++++，由基本不等式得，33411144a b ab b a ab ab ab ++≥=+≥，当且仅当334a b b a=，14ab ab =同时成立时等号成立.14．【答案】311数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）【解析】因为2BD DC =uu u r uuu r，所以2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r，因为AE AC AB λ=-uu u r uuu r uu u r，所以22121212(+)()()333333AD AE AB AC AC AB AB AC AB AC λλλ⋅=⋅-=-++-⋅uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r ，因为60A ∠=，3AB =，2AC =，1212189λ4(λ)323λλ24333323AD AE ⋅=-⨯+⨯+-⨯⨯⨯=-++-=-uuu r uu u r ，解得3λ=11.三、解答题 15.【答案】(Ⅰ)5- (Ⅱ)5-【解析】(Ⅰ)由sin =4sin a A b B ，及=sin sin a bA B，得2a b =.由222)ac a b c --，及余弦定理，得2225cos =25b c a A bc ac +-==-.(Ⅱ)由(Ⅰ)，可得sin A ，代入sin 4sin a A b B =，得sin sin 4a A B b ==.由(Ⅰ)知，A为钝角，所以cos B .于是4sin 2=2sin cos =5B B B ，23cos 2=12sin =5B B -，故()43sin 2=sin 2cos cos 2sin =(55B A B A B A --⨯--16.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.【解析】(Ⅰ)由已知，x ，y 满足的数学关系式为7060600,5530,2,0,0,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩即7660620,0,0,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪-≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，， 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(Ⅱ)设总收入人次为z 万，则目标函数为=60+25z x y . 考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-+，这是斜率为125-，随z 变化的一族平行直线.25z 为直线在y 轴上的截距，当25z取得最大值时，z 的值最大.又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线6025z x y =+经过可行域上的点M 时，即z 最大.解方程组766020x y x y +=⎧⎨-=⎩，，，得点M 的坐标为(6,3).所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.17．【答案】(Ⅰ)数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页）(Ⅱ) 因为AD PDC ⊥平面，直线PD PDC ⊂平面，所以AD PD ⊥，又因为BC AD ∥，所以PD BC ⊥，又PD PB ⊥，所以PD PBC ⊥平面.(Ⅲ【解析】(Ⅰ)如图，由已知AD BC ∥，故D A P ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角.因为AD PDC ⊥平面，所以AD PD ⊥.在Rt PDA △中，由已知，得AP ==，故c o s AD DAP AP ∠==.所以，异面直线AP 与BC.(Ⅱ)因为AD PDC ⊥平面，直线PD PDC ⊂平面，所以AD PD ⊥，又因为BC AD ∥，所以PD BC ⊥，又PD PB ⊥，所以PD PBC ⊥平面.(Ⅲ)过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连结PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角.因为PD PBC ⊥平面，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以DFP∠为直线DF 和平面PBC 所成的角.由于AD BC ∥，DF AB ∥，故1BF AD ==，由已知，得2CF BC BF =-=.又AD DC ⊥，故BC D C⊥，在Rt DCF △中，可得DF ==，在Rt DPF △中，可得sin 5PD DFP DF ∠==.所以，直线AB 与平面PBC18．【答案】(Ⅰ)32n a n =-，2n b n =. (Ⅱ)()234216n n T n +=-+.【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由已知2312b b +=，得()2112b q q +=，而12b =，所以260q q +-=.又因为0q ＞，解得2q =，所以，2n b n =.由3412b a a =-，可得138d a -=①.由11411S b =，可得1516a d +=②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-.所以，{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2nn b =.(Ⅱ)设数列{}2n n a b 的前n 项和为n T ，由262n a n =-，有()2342102162622nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，()()23412421021626826-22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，上述两式相减，得()231124262626262212(12)4(62)212(34)216n n n n n n T n n n +++-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯⨯-=---⨯-=---得()234216n n T n +=-+.所以，数列{}2n n a b 的前n 项和为()234216n n +-+.19．【答案】(Ⅰ)12（2）（ⅰ）34（ⅱ）（1）递增区间为()a -∞，，()4a -+∞，，递减区间为()a 4a -，.（2）（ⅰ）()x f 在0x=x 处的导数等于0.（ⅱ）b 的取值范围是[]7,1-.22x y =11612+ 【解析】(Ⅰ)由32()63(4)f x x x a a x b =---+，可得[]'2()3123(4)3()(4)f x x x a a x a x a =---=---.令'()=0f x ，解得x a =，或4x a =-，由||1a ≤，得4a a -＜.数学试卷 第15页（共18页） 数学试卷 第16页（共18页）x '()f x ()f x 所以，()f x 的单调递增区间为()a -∞，，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -(Ⅱ)(i )因为'()(()())x g x e f x f x =+，由题意知000'0(),()x x g x e g x e ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以00000'00()(()())x xx x f x e e e f x f x e ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得0'0()1()0f x f x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以，()f x 在0x x =处的导数等于0.(ii )因为()x g x e ≤，00[11]x x x ∈-+，，由0x e ＞，可得()1f x ≤.又因为0(x )1f =，'0()0f x =，故0x 为()f x 的极大值点，由(Ⅰ)知0x a =. 另一方面，由于|1|a ≤，故14a a +-＜，由(Ⅰ)知()f x 在(1,)a a -内单调递增，在(,1)a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f x f a ≤=在[1,1]a a -+上恒成立，从而()x g x e ≤在00[1,1]x x -+上恒成立.由32()63(4)1f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤.令32()261t x x x =-+，[1,1]x ∈-，所以'2()612t x x x =-，令'()0t x=，解得2x =(舍去)，或0x =.因为(1)7t -=-，(1)3t =-，(0)1t =，因此，()t x 的值域为[7,1]-. 所以，b 的取值范围是[7,1]-.20．【答案】（1）12（2）（ⅰ）34（ⅱ）22x y =11612+【解析】(Ⅰ)设椭圆的离心率为e .由已知，可得21()22b c a c +=，又由222b a c =-，可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=，又因为01e ＜＜，解得12e =.所以，椭圆的离心率为12.(Ⅱ)(i )依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =-＞，则直线FP 的斜率为1m由(Ⅰ)知2a c =，可得直线AE 的方程为12x yc c+=，即220x y c +-=，与直线FP 的方程联立，可解得(22)2m cx m -=+，32c y m =+，即点Q的坐标为(22)3(,)22m c cm m -++. 由已知3||2c FQ =，有222(22)33[]+()()222m c c cc m m -+=++，整理得2340m m -=，所以43m =，即直线FP 的斜率为34.(ii )由2a c =，可得b =，故椭圆方程可以表示为2222143x y c c+=.由(i )得直线FP 的方程为3430x y c -+=，与椭圆方程联立22233430143x y c x y cc -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ,整理得2276130x cx c +-=，解得137cx =-(舍去)，或x c =. 因此可得点3(c,)2cP ,进而可得5||2cFP ==,所以53||||||22c cPQ FP FQ c =-=-=.由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP . 因为QN FP ⊥，所以339||||tan 248c cQN FQ QFN =⋅∠=⨯=，所以FQN △的面积为2127||||232c FQ QN =，同理FPM △的面积等于27532c ，由四边形PQNM 四边形的面积为3c ，得22752733232c c c -=，整理得22c c =，又由0c ＞，得2c =.所以，椭圆的方程为2211612x y +=.数学试卷第17页（共18页）数学试卷第18页（共18页）。