电势计算方法
物理 电磁学 第11讲 电势叠加原理及电势的计算
[例] 均匀带电直线，长 l，带电为 Q，求其延长 线上离杆 B 端距离为 a 的 P 点的电势。
r
解：取 dq
Q dq = dx dx a l 1 dq 1 dx dx d P 4π 0 r 4π 0 l a x l dx 1 Q la ln P 点电势 P 4 π 0 l a 0 4 π 0 l a x
（一）已知电荷分布求电势
1. 点电荷 2. 点电荷系
q 4π 0 r i
n qi i 1 4 π 0 ri
dq d 3. 电荷连续分布的带电体 4π 0 r 电势零点 （二）已知电场分布求电势 E dl
（1）零点的选取 注意 （2）最方便的路径 （3）E 分区时，分区积分
点电荷电势
此处
讨论
E=0
[例] 求均匀带电圆环轴线上的电势 (R，q)。 另解： 圆环轴线上任一点的场强为：
E
4π 0 x 2 R 2
qx
ˆ i 32
方向沿轴线指向无限远
O x 距环心为 x 处 P 点的电势为： R P E dl P Edx qx x dx 3 2 2 2 4π 0 x R q 4π 0 x 2 R 2
d
Q
Q
4π 0 2 x 2
dq
2
1
d
Q
Q
4π 0 x
2
dq
2
2
1
讨论
当 x = 0 时， 盘
R 0
Q 2π d 2 πR 4 π 0 x
2
电动电势计算公式
电动电势计算公式
1. 电动电势（ζ电势）的基本概念。
- 电动电势是指胶粒在移动时，胶粒与分散介质之间的电势差。
它反映了胶粒带电的程度以及胶粒与周围介质之间的电学性质。
2. 电动电势的计算公式（斯莫鲁霍夫斯基公式，适用于较稀的电解质溶液）
- 对于球形粒子：ζ=(eta u)/(varepsilon E)
- 其中，ζ为电动电势，eta为分散介质的黏度（单位：Pa· s），u为胶粒的电泳速度（单位：m/s），varepsilon为分散介质的介电常数（单位：F/m），E为电场强度（单位：V/m）。
电场强度E = (U)/(L)，U为外加电压（单位：V），L为两极间距离（单位：m）。
- 推导过程（简单了解）：
- 根据电泳实验现象，当胶粒在电场中移动时，胶粒所受的电场力F_E = qE （q为胶粒所带电量），同时胶粒在介质中移动受到黏滞阻力F_f = 6πeta ru（r为胶粒半径）。
在稳定状态下F_E = F_f，再结合一些电学和物理化学的理论推导得出上述公式。
3. 影响电动电势的因素。
- 电解质浓度：随着电解质浓度的增加，更多的反离子进入胶粒的扩散层，使得扩散层变薄，电动电势降低。
- 离子价数：反离子价数越高，对电动电势的影响越大，能更有效地降低电动电势。
- 温度：温度会影响分散介质的黏度eta和介电常数varepsilon，从而间接影响电动电势。
一般来说，温度升高，eta降低，varepsilon也会有一定变化，进而影响ζ的值。
物理 电磁学 第11讲 电势叠加原理及电势的计算
R2
Q1 Q2 4 π R 4 π R ( r R1 ) 0 1 0 2 Q2 Q1 ( R1 r R2 ) 4 π r 4 π R 0 0 2 Q1 Q2 4 π r ( r R2 ) 0
[例] 均匀带电球层 ，内外半径为 R1，R2，求：A、B 两点的电势。 解：取带电球面 1. 求 A
Q1 ( r R ) 1 4 π R 0 1 1 Q1 ( r R ) 1 4 π 0 r
Q2 ( r R ) 2 4 π R 0 2 2 Q2 ( r R ) 2 4 π 0 r
Q2
区域 r < R1 R1 < r < R2 r > R2
Q1 O R1
R2
外壳贡献 总电势
内壳贡献
Q1 1内 4π 0 R1
Q1 1外 4π 0 r Q2 2外 4π 0 r
Q2 2内 4π 0 R2
1内 2内
1外 2内
1外 2外
解： 总电势分布为
1 2
Q2
Q1 O R1
P
[例] 己知：均匀带电圆盘，总电量 Q，半径 R。 求：圆盘轴线上任意点 P 处的电势。 解：利用电势积分法。
1.分割合适电荷元
dq dS Q π R2 dS 2π d
O d
r x P dq
2.电荷元 dq 在 P 处电势 3.总电量 Q 在 P 处电势
dq d 4π 0 r
1 q 4π 0 r
OP r
P r+
r- r
[例] 求距电偶极子相当远处的电势。
电势能公式
电势能公式
1电势能各类公式电势与电势差：UAB＝φA-φB，UAB＝WAB/q＝-ΔEAB/q 电势能：EA＝qφA｛EA:带电体在A点的电势能(J)，q:电量(C)，φA:A点的电势(V)｝电势能的变化ΔEAB＝EB-EA｛带电体在电场中从A位置到B位置时电势能的差值｝电场力做功与电势能变化ΔEAB ＝-WAB＝-qUAB(电势能的增量等于电场力做功的负值) 2计算电势的方法一般说来，计算电势的方法有两种。
第一种方法是由电势的定义式通过场强的线积分来计算；另一种方法是下面马上就要介绍的电势叠加原理。
对不同的带电体系，本质上讲上述两种方法都能够计算出电势，但是选择不同的方法计算的难易程度是大不相同的。
1、点电荷电场的电势：点电荷电场中任意一点的电势大小，称作点电荷电势公式。
公式中视q的正负，电势V可正可负。
在正点电荷的电场中，各点电势均为正值，离电荷越远的点，电势越低，与r成反比。
在负点电荷的电场中，各点的电势均为负，离电荷越远的点，电势越高，无穷远处电势为零。
容易看出，在以点电荷为心的任意球面上电势都是相等的，这些球面都是等势面。
2、电势的叠加原理：E表示总电场，E1，E2，…为单个点电荷产生的电场。
根据电势的定义式，并应用场强叠加原理，电场中a点的电势可表示为上式最后面一个等号右侧被求和的每一个积分分别为各个点电荷单独存时在a点的电势。
即有式中Vai是第i个点电荷单独存在时在a点产生的电势。
电势的分布计算公式
电势的分布计算公式电势是描述电场中某一点的电势能的大小，它是一个标量，用来描述电场的强弱和方向。
在物理学中，电势的分布计算公式是非常重要的，它可以帮助我们理解电场中电势的变化规律，从而应用到各种电场问题的求解中。
电势的分布计算公式可以通过库仑定律来得到。
库仑定律是描述两个点电荷之间相互作用力的大小的定律，它可以表示为：\[ F = k\frac{q_1q_2}{r^2} \]其中，F是两个点电荷之间的作用力，k是库仑常数，q1和q2分别是两个点电荷的电荷量，r是两个点电荷之间的距离。
根据库仑定律，我们可以得到电势的分布计算公式。
电势的分布计算公式可以表示为：\[ V = k\frac{q}{r} \]其中，V是电势，k是库仑常数，q是点电荷的电荷量，r是点电荷到某一点的距离。
这个公式告诉我们，电势与点电荷的电荷量成正比，与点电荷到某一点的距离成反比。
这也符合我们对电势的直观理解，电势是描述电场中某一点的电势能的大小，与点电荷的电荷量和距离都有关系。
在电场中，如果有多个点电荷，我们可以通过叠加原理来计算电势的分布。
叠加原理告诉我们，多个点电荷产生的电势可以简单地叠加在一起。
因此，对于多个点电荷，电势的分布计算公式可以表示为：\[ V = k\sum_{i=1}^{n}\frac{q_i}{r_i} \]其中，n是点电荷的个数，qi是第i个点电荷的电荷量，ri是第i个点电荷到某一点的距离。
这个公式告诉我们，多个点电荷产生的电势可以通过各个点电荷产生的电势叠加在一起来计算。
除了点电荷外，我们还可以通过电荷分布来计算电势的分布。
对于电荷分布，我们可以将电荷分布看作是由无穷小的点电荷组成的，然后利用积分来计算电势的分布。
电荷分布产生的电势可以表示为：\[ V = k\int\frac{dq}{r} \]其中，dq表示电荷分布的微元电荷，r表示微元电荷到某一点的距离。
通过对电荷分布进行积分，我们可以得到电荷分布产生的电势分布。
电势计算公式
电势计算公式
电势计算公式是φA=Ep/q。
在静电学里，电势（electric potential）（又称为电位）定义为：处于电场中某个位置的单位电荷所具有的电势能与它所带的电荷量之比。
电势只有大小，没有方向，是标量，其数值不具有绝对意义，只具有相对意义。
（1）单位正电荷由电场中某点A移到参考点O（即零势能点，一般取无限远处或者大地为零势能点）时电场力做的功与其所带电量的比值。
所以φA=Ep/q在国际单位制中的单位是伏特（V)。
（2）电场中某点相对参考点O电势的差，叫该点的电势。
电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷在那一点所具有的电势能。
公式：ε＝qφ（其中ε为电势能，q为电荷量，φ为电势），即φ＝ε／q。
电势差相关信息
1、电势差概念的建立：
在重力场中物体在重力作用下做功越多，则两点间高度差越大。
在电场中电荷在电场力作用下做功越多，则称这两点间“电势差”越大。
从而建立了重力场中的高度差和电场中的电势差之间的类比关系。
2、电势差的计算问题：
（1）电势能除了与电场有关外，还跟放入的电荷有关，和重力势能类似。
（2）电势差则与放入的电荷无关，仅取决于电场本身性质，对于一个确定的电场来说，某两点间的电势差是不变的。
静电场的电势差和电势计算
静电场的电势差和电势计算静电场是指一种没有电流的电场，其中电荷在空间中静止或静止地流动。
静电场中存在两个重要的物理量：电势差和电势。
电势差是指在电场中从一点到另一点所需的能量变化，而电势是指单位正电荷在该点所具有的电势能。
1. 电势差的定义与计算在静电场中，电势差（ΔV）定义为单位正电荷从一个点移到另一个点时所需的功。
即：ΔV = W/q其中，ΔV表示电势差，W表示所需的功，q表示正电荷的大小。
2. 电势差的计算方法对于电势差的计算，可以使用两种常见的方法：路径积分法和场强法。
2.1 路径积分法路径积分法是通过沿着电场路径逐点计算电场强度的变化来计算电势差。
具体步骤如下：(1) 选择一个起点和终点，以及途径的路径；(2) 在路径上选择无穷小的位移量∆s，计算该点处的电场强度E；(3) 计算电场强度在位移量∆s上的投影E·∆s；(4) 对所有位移量上的投影进行累加，得到总的电势差ΔV。
2.2 场强法场强法是通过电场强度的定义来计算电势差。
电场强度（E）定义为单位正电荷在该点所受到的电力。
即：E = F/q其中，E表示电场强度，F表示电力，q表示正电荷的大小。
通过电场强度的定义，可以得到电势差与电场强度的关系：ΔV = E·d其中，ΔV表示电势差，E表示电场强度，d表示两点间的距离。
3. 电势的计算电势（V）是单位正电荷所具有的电势能。
电势与电势差之间的关系为：V = ΔV/q其中，V表示电势，ΔV表示电势差，q表示正电荷的大小。
对于电势的计算，可以使用两种常见的方法：电势差累加法和电场积分法。
3.1 电势差累加法电势差累加法是通过在电场中沿着路径逐点计算电势差的变化来计算电势。
具体步骤如下：(1) 选择一个起点和终点，以及途径的路径；(2) 在路径上选择无穷小的位移量∆s，计算该点处的电场强度E；(3) 计算电场强度在位移量∆s上的投影E·∆s；(4) 对所有位移量上的投影进行累加，得到总的电势差ΔV；(5) 将总的电势差ΔV除以正电荷的大小q，得到电势V。
静电场的电势分布与计算方法
静电场的电势分布与计算方法静电场是物理学中的一个重要概念，它描述了电荷在不动的情况下所产生的电场。
在静电场中，电势分布是一个关键参数，它决定了电荷在电场中的运动和相互作用。
本文将探讨静电场的电势分布及其计算方法。
一、电势的概念与性质电势是描述电场中某一点的特性，它表示单位正电荷在该点所具有的能量。
在静电场中，电势具有以下性质：1. 电势是标量量，没有方向性。
这意味着电势只有大小，没有方向。
2. 电势是与路径无关的。
无论电荷是如何从一个点移动到另一个点的，经过的路径不同，但电势的变化是相同的。
3. 电势是可叠加的。
当多个电荷同时存在时，它们各自产生的电势可以叠加。
二、电势分布的特点静电场中的电势分布具有以下特点：1. 电势随距离的变化而变化。
在电场中，电势随着距离电荷的远近而减小或增大。
2. 电势分布具有球对称性。
对于一个均匀分布的球体电荷，其电势分布在球面上是均匀的。
3. 电势在导体表面上是恒定的。
在导体表面上，电势是恒定的，因为导体内部的电荷会排斥导体表面上的电荷。
三、电势的计算方法1. 点电荷的电势计算方法。
对于一个点电荷，其电势可以通过库仑定律来计算。
库仑定律表示两个电荷之间的力与距离的平方成反比，即F= k * (q1 * q2) / r^2。
其中，F表示力，k表示库仑常数，q1和q2表示电荷的大小，r表示两个电荷之间的距离。
根据库仑定律，可以计算出点电荷在某一点产生的电势。
2. 多个点电荷的电势计算方法。
对于多个点电荷，它们各自产生的电势可以叠加。
因此，可以将每个点电荷在某一点产生的电势分别计算出来，然后将它们相加得到总的电势。
3. 连续分布电荷的电势计算方法。
对于连续分布的电荷，可以使用积分来计算电势。
根据电荷的密度分布函数，将电荷微元的电势相加即可得到总的电势。
四、电势分布的应用电势分布在物理学中有广泛的应用。
它可以用于计算电场的分布、电势能的计算、电势差的计算等。
在电场力学中，电势分布是解决电荷相互作用和电场能量转换的重要工具。
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6.4.5电势的计算方法
一般说来，计算电势的方法有两种。
第一种方法是由电势的定义
式通过场强的线积分来计算；另一种方法是下面马上就要介绍的电势叠加原
理。
对不同的带电体系，本质上讲上述两种方法都能够计算出电势，但是选
择不同的方法计算的难易程度是大不相同的。
通过后面内容的学习，大家要
注意对不同的带电体系选择不同的计算方法。
下面我们介绍电势迭加原理。
1、点电荷电场的电势
如右图所示，一个点电荷q处于O点处。
在q所产生
的电场中，距离O点为r处P点的电势，可以根据电势的
定义式计算得到。
选无穷远处作为电势零点，积分路径沿
O P方向由P点延伸到无穷远。
由于积分方向选取得与场强
点电荷的电势的方向相同，P点电势可以很容易地计算出来
此式给出点电荷电场中任意一点的电势大小，称作点电荷电势公式。
公式中视q的正负，电势V可正可负。
在正点电荷的电场中，
各点电势均为正值，离电荷越远的点，电势越低，与r成反比。
在负
点电荷的电场中，各点的电势均为负，离电荷越远的点，电势越高，
无穷远处电势为零。
容易看出，在以点电荷为心的任意球面上电势
都是相等的，这些球面都是等势面。
2、电势的叠加原理
在前面的知识点中，大家学习了场强叠加原理。
该原理告诉我们，任意一个静电场都可以看成是多个或无限多个点电荷电场的叠加，
即有
其中E表示总电场，E1，E2，…为单个点电荷产生的电场。
根据电势的定义式，并应用场强叠加原理，电场中a点的电势可表示为
上式最后面一个等号右侧被求和的每一个积分分别为各个点电
荷单独存时在a点的电势。
即有
式中V a i是第i个点电荷单独存在时在a点产生的电势。
显然，如果我们将带电体系分成若干部分（不一定是点电荷），上述结论
仍然是正确的。
即，任意一个电荷体系的电场中任意一点的电势，
等于带电体系各部分单独存在时在该点产生电势的代数和。
这个结
论叫做电势叠加原理。
若一个电荷体系是由点电荷组成的，则每个点电荷的电势可以按上式进行计算，而总的电势可由电势叠加原理得到，即
式中r i是从点电荷q i到a点的距离。
（应用这个公式时，电势
零点取在∞处）。
对一个电荷连续分布的带电体系，可以设想它由许多元电荷d q
所组成。
将每个元电荷都当成点电荷，就可以由叠加原理得到求电
势的积分公式
式中r是从元电荷d q到a点的距离。
（电势零点在∞处）。
3、计算电势的一般方法
计算电势一般有两种方法：根据已知电场强度计算电势和应用叠
加原理计算电势。
现分别介绍如下。
如果一个电场的场强为已知，应用电势的定义式，可以根据已知
的场强直接计算电势。
用这种方法计算电势时，电势零点可以任意
选定。
如果电荷分布可以分解为几个分布，而每个分布在考察点的
电势为已知，则可应用叠加原理来计算电势。
【例1】一个电偶极子电量为q，相距l。
点
电荷q0沿半径为R的半圆路径L从左端A点运
动到右端B点，如图所示，试求q0所受的电场力
所做的功。
【解】求解电场力做功，一般应该先求电势、
电势差，再通过电势差求做功。
首先，根据电势
电偶极子电势叠加原理和点电荷产生电势的公式，我们分别可
得电偶极子在A、B两点的电势为
电势差为
所以，点电荷q0沿半径为R的路径L从左端A点运动到右端B 点电场力所做的功为
若R>>l并利用电矩的定义，则上式可以写成：。
【例2】有一长度为L，电荷线密度为λ的均匀带电直线段（如下图所示），求其延长线上距离近端为R的P点的场强和电势。
【解】如图建立坐标系，将带电直线微
分，则有元电荷，它在P点处产生
的场强和电势分别为：
直线段外的场强和
电势
根据场强和电势的叠加原理，并考虑到场强方向都朝x轴方向，则有P点处的场强和电势分别为：
本题的电势也可以通过所求出的场强来计算。
方法是先选择从P 点沿x轴到无限远的一条路径，然后对场强进行积分。
在积分时考虑到距离R是一个变量，可以用x替换R，沿x进行积分。
这个结果表明，用不同方法计算的电势是一样的。
可以看出，用电势的叠加原理的计算过程要简单一些。
【例3】一半径为R的均匀带电细圆环，所带电量为q，求在圆环轴线上任意点P的电势。
带电圆环轴线上的电势
【解】
【例4】求均匀带电球面的电场中的电势分布。
球面半径为R，总带电量为q。
【解】
均匀带电球面的场强分布很有规律性，本题适
宜用电势的定义式通过对场强的积分来求电势。
以
无限远为电势零点。
若场点P在球面外，由于在球
面外直到无限远处场强的分布都和电荷集中到球心
处的一个点电荷的场强分布一样，因此，把场强从
P点积分到无穷远的计算结果应与点电荷电场中的
计算结果相同，即球面外任一点的电势应为
（r>R）
若P点在球面内（r<R），由于球面内、外
场强的分布不同，所以定义式中的积分要分两段进
行，即
【例5】下图表示两个同心的均匀带电球面，半径分别为R A=5c m，R B=10c m，分别带有电量，，求距离球心距离为r1=15c m，r2=6c m，r3=2c m处的电势。
带电同心球面的电势分布
【解】
【例6】求电荷线密度为λ的无限长均匀带电直线电场中的电势分布。
【解】
方向垂直于带电直线。
如果仍选无限
远处作为电势零点，则由积分的结
果可知各点电势都将为无限大而失去意
义。
这时我们可选距离带电直线为的
点（如图）为电势零点，则距带电直线为
r的P点的电势为
式中积分路径段与带电直线
平行，而段与带电直线垂直。
由于
段与电场方向垂直，所以上式等号右侧第
一项积分为零。
于是
【例7】求电偶极子的电场中的电势分布。
已知电偶极子中两点电荷间的距离为。
【解】
【例8】求电矩的电偶极子（如
图）在均匀外电场E中的电势能。
【解】由电势能公式可知，在均匀
外电场中电偶极子中正、负电荷（分别
位于A，B两点）的电势能分别为
电偶极子的电势能电偶极子在外电场中的电势能
为
即
式中是P与E的夹角。
上式表明，当电偶极子取向与外电场一致时，电势能最低；取向
相反时，电势能最高，当电偶极子取向与外电场方向垂直时，电势
能为零。