结构力学五章位移计算
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结构力学第05章 虚功原理与结构位移计算-3
6、把复杂图形分为简单图形 、 使其易于计算面积和判断形心位置） （使其易于计算面积和判断形心位置）
•
取作面积的图形有时是不规则图形， 取作面积的图形有时是不规则图形，面积 的大小或形心的位置不好确定。 的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形 分解为简单图形（规则图形） 分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠 加。
FP
⊿CV
l/2 l/2 AP FP l
3、正确的作法 、
AP1=1/2×FP l×l/2=FP l2/4 AP2=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 AP3=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 y1=l/3 y2=l/6 FP y3 = 0
⊿CV=∑AP·yC/EI
=(FP l2/4×l/3+ FP l2/8×l/6 × +FP l2/8 ×0) / EI =5FP l3/48EI (↓)
32
32
• θC=2[(1/2·80·5)·(2/3·5/8)+(1/2·80·5)·(2/3·5/8+1/3·1) • -(2/3·32·5)·(1/2·5/8+1/2·1)]/EI • kN·m m kN/m2 • =0.005867 （弧度） • 方向与虚拟力方向一致。
思考题:判断下列图乘是否正确?
由此可见，当满足上述三个条件时， 由此可见，当满足上述三个条件时，积分式 的值⊿就等于M 图的面积A乘其形心所对应 乘其形心所对应M 的值⊿就等于 P图的面积 乘其形心所对应 图上的竖标y 再除以EI。 图上的竖标 C，再除以 。 正负号规定： 正负号规定： A与yC在基线的同一侧时为正，反之为负。 与 在基线的同一侧时为正，反之为负。
第五章
虚功原理与结构位移 计算
结构力学第五章 位移法
反之为负
杆端线位移（结点线位移）Δ：杆端线位移是指杆件 两端垂直于 杆轴线方向的相对线位移，正负号则以 使整个杆件顺时针方向旋转规定为正反之为负 。
二、杆端内力的正负号规定 杆端弯矩M：对杆件而言，当杆端弯矩绕杆件顺时针方
向旋转为正，反之为负。
对结点而言，当杆端弯矩绕结点（或支座）逆时针方向 旋转为正，反之为负 杆端剪力Q：正负号的规定，同材料力学和本书中前面 的规定。
附加 刚臂
ql
q
附加 链杆
● 附加刚臂限制结点角位移，荷载作用下附加刚臂上产生 附加弯矩 ● 附加链杆限制结点线位移，荷载作用下附加链杆上产生 附加集中力
ql
q
由于有附加约束的作用，结构被隔离成几个单个 杆件的集合，由此可对各杆进行杆件分析。
如下例：
q B
C
EI . l
EI . l
计算附加链杆中产生的反力时。取横梁ABC部分为隔离 体用投影方程，可求得相应的系数和自由项
r22 12i / l
2
R2 P 0
r21 6i / l
将求得的系数和自由项代入典型方程，可得：
6i ql2 Z2 0 1 0iZ 1 l 8 6i Z 1 2i Z 0 1 2 2 l l
5
位
移
法
q
B
C
EI . l
EI . l
A
求得各杆件杆端弯矩值
杆件BC： M BC
4ql 2 56
(上边纤维受拉)
M CB 0
4ql 2 杆件BA： M BA 56
(左边纤维受拉)
M AB
结构力学§5-3、4 荷载作用下的位移计算与举例
3. 各种静定结构位移的计算公式 （1）梁、刚架 —只考虑弯曲变形 只考虑弯曲变形
MP M ∆ = Σ∫ ds o EI
l
（2）桁架 —只有轴向变形 只有轴向变形
FNP F N ∆=Σ L EA
（3）组合结构
FNP F N MP M ∆ = Σ∫ ds + Σ L o EI EA
l
（受弯构件） 受弯构件）
结 束
（第二版）作业：5—10 ，11, 13, 22 第二版）作业：
∆ CV
1 q q 1 qL x Lx − x 2 1.2 × − qx L L 2 2 2 2 2 dx = 2∫ 2 dx + 2∫ 2 0 0 EI GA 5qL4 κ qL2 = + 384 EI 8GA
（4）比较弯曲变形与剪切变形的影响
5qL 弯曲变形： 弯曲变形： ∆ M = 384 EI
两者的比值： 两者的比值： 若高跨比为： 若高跨比为：
∆Q ∆M = 11.52
4
剪切变形： 剪切变形： ∆ Q =
EI h = 2.56 GAL2 L
2
κ qL2
8GA
h 1 = L 10
则： ∆
∆Q
M
= 2.56%
结论：在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的跨度， 结论：在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的跨度， 一般形的影响。
l
截面剪应力 非均布修正系数
dη = k
FQP GA
ds
FNP dλ = ds EA
l k FQP F Q l F FN MP M 1× ∆ = Σ ∫ ds + Σ ∫ ds + Σ ∫ NP ds o o o EI GA EA
结构力学第五章位移法.ppt
NDA
NDB
2
2
NDC FNDB 2 FNDC 2 FNDA FP
建立力的 平衡方程
D Fp
EA(2 2L
2) FP
由方程解得： 2PL
(2 2)EA
位移法方程
把△回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力 ：
FNDB
2FP 2 2
FNDA
FNDC
P 2
发生一个顺时针的转角 A。
A
A EI,L B
由力法求得：
MAB
MBA
M AB
3
EI L
B
3iB
M BA 0
§8-3 杆端力与杆端位移的关系
5、一端固定一端铰结单元，在B端
发生一个向下的位移 。
A MAB
EI,L
B
△
由力法求得：
M
AB
3EI L2
3i L
MBA
M BA 0
两端固定单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端
弯矩表达式：
M AB
4i A
2iB
6i
L
M
F AB
M BA
4iB
2i A
6i
L
M
F BA
§8-3 杆端力与杆端位移的关系
一端固定一端铰结单元在荷载、支座位移共同作用下 的杆端弯矩表达式：
M AB
3iA
6EI L2
BC
qL2 12
M AB
船舶结构力学第五章 位移法
ki11 ki 2 2 kiii kis s M i
11
位移法正则方程式 整个结构n节点转动 位移法方程式
k111 k12 2 k133 k1n n M 1 k211 k22 2 k233 k2 n n M 2 k311 k32 2 k333 k3n n M 3 kn11 kn 2 2 kn 33 knn n M n
0 Q 1 1 P 2
转角引起的杆端弯矩 采用力法计算
i
j
i
lij
j
M 'ij
M ' ji
i
j
i
j
lij M ji lij M ij 4 EI ij 2 EI ij i j i M ij 3EI ij 6 EI ij lij lij lij M ji lij M ij M 2 EI ij 4 EI ij i j j 3EI ij 6 EI ij ji l l ij ij
19
6 EI ij 6 EI ij 2 vi 2 v j M ij lij lij M 6 EI ij v 6 EI ij v i j 2 2 ji l l ij ij 12 EI ij 12 EI ij N v vj i ij 3 3 lij lij N 12 EI ij v 12 EI ij v i j 3 3 ji l l ij ij
4
令
I I I I kii 4 E i1 i 2 i 3 is l l l l i i i is 1 2 3 2 EI ij 2 EI i1 2 EI i 2 , ki 2 , , kij ki1 li1 li 2 lij M i ( M i1 M i 2 M i 3 M is )
结构力学5-3结构位移计算的一般公式
FQP FNP MP , 0 k , 按照材料力学有： EA GA EI A S2 截面系数： k 2 A 2 dA I b
F Q FQP F N FNP MM P ds k ds ds 所以： K EA GA EI
⑴ 梁和刚架： K ⑶ 组合结构： K
例5-1 求C点的竖向位移和转角。
⒉ 求C点截面的转角。
由于简支梁在全跨均布荷载作用 下变形与内力都是对称的，所以梁中 点应无转角发生。 其虚拟力状态中的内力是反对称 的，按照式(5-5)进行积分同样可求得 转角位移：
C 0
1 2
1 2
M图
例5-2 求图示曲杆B端的竖向位移。 已知：EI、EA、GA均为常数，矩形截面，
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
yB F Q FQP MM P F N FNP ds ds k ds EI EA GA
例5-3 求图示桁架支座结点B的水平位移。各杆EA相同。
FP
0
2FP
FP
b h, h 1 , G 0.4 E R 10
解：⑴ 实际状态的内力。 M P FP R sin FNP FP sin , FQP FP cos ⑵ 虚拟状态的内力。
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
2FP
FP
0
0
0
0
1
0
1
0
FNP 图
解：⑴ 施加单位荷载。 ⑵ 求实际状态的内力。 ⑶ 求虚拟状态的内力。 ⑷ 求结点B的水平位移。
F Q FQP F N FNP MM P ds k ds ds 所以： K EA GA EI
⑴ 梁和刚架： K ⑶ 组合结构： K
例5-1 求C点的竖向位移和转角。
⒉ 求C点截面的转角。
由于简支梁在全跨均布荷载作用 下变形与内力都是对称的，所以梁中 点应无转角发生。 其虚拟力状态中的内力是反对称 的，按照式(5-5)进行积分同样可求得 转角位移：
C 0
1 2
1 2
M图
例5-2 求图示曲杆B端的竖向位移。 已知：EI、EA、GA均为常数，矩形截面，
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
yB F Q FQP MM P F N FNP ds ds k ds EI EA GA
例5-3 求图示桁架支座结点B的水平位移。各杆EA相同。
FP
0
2FP
FP
b h, h 1 , G 0.4 E R 10
解：⑴ 实际状态的内力。 M P FP R sin FNP FP sin , FQP FP cos ⑵ 虚拟状态的内力。
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
2FP
FP
0
0
0
0
1
0
1
0
FNP 图
解：⑴ 施加单位荷载。 ⑵ 求实际状态的内力。 ⑶ 求虚拟状态的内力。 ⑷ 求结点B的水平位移。
结构力学第五章-4(温度变化)
温度位移公式图示结构设外侧温度升高内侧温度升高求k点的竖向位移设温度沿杆件截面厚度为线性分布杆轴温度与上下边缘的温差另外温度变化时杆件可以自由地发生变形杆件不引起剪应变即dv将温度引起的变形代入公式可得上式中的正负号
§5-6 静定结构温度变化时的位移计算
(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes)
dut t0ds
t0
t1
h1 h
(t2
t1 )
h2t1 h1t2 h
设温度沿杆件截面厚度为线性分布，杆轴
温度 t0 与上、下边缘的温差 t 为：
t0
h1t2
h2t1 h
t t2 t1
另外，温度变化时，杆件可以自由地发生
变 向du形 伸t ,长杆和件t0d截不s面引转起d角剪为t应：变，htd即s dvt=o,微段轴线 膨 胀 系
FAx
FAy
A FRici
(
1 l
By
1 2h
Bx
)
0.0075 rad
(
)
例 3：求 Cx ? 解：构造虚设力状态
B
FP=1 C
100C c3 l
c2
A
l
c1 实际位移状态
B
C
FP=1
A
FCy 1
FAx 1
FAy 1 虚拟力状态
同时考虑荷载、温度和支座位移的影响
Cx
FPl 3 16EI
各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m
解：构造虚拟状态
虚拟状态
实际状态
单位荷载内力图为：
§5-6 静定结构温度变化时的位移计算
(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes)
dut t0ds
t0
t1
h1 h
(t2
t1 )
h2t1 h1t2 h
设温度沿杆件截面厚度为线性分布，杆轴
温度 t0 与上、下边缘的温差 t 为：
t0
h1t2
h2t1 h
t t2 t1
另外，温度变化时，杆件可以自由地发生
变 向du形 伸t ,长杆和件t0d截不s面引转起d角剪为t应：变，htd即s dvt=o,微段轴线 膨 胀 系
FAx
FAy
A FRici
(
1 l
By
1 2h
Bx
)
0.0075 rad
(
)
例 3：求 Cx ? 解：构造虚设力状态
B
FP=1 C
100C c3 l
c2
A
l
c1 实际位移状态
B
C
FP=1
A
FCy 1
FAx 1
FAy 1 虚拟力状态
同时考虑荷载、温度和支座位移的影响
Cx
FPl 3 16EI
各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m
解：构造虚拟状态
虚拟状态
实际状态
单位荷载内力图为：
结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(温度位移、虚功、互等)
温度改变时的位移计算
结构位移计算的一般公式
普遍性
Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds- ∑FRK·cK
⑵ 变形因素：荷载、温度改变或支座移动引起的位移；
温度改变的位移计算公式
应用背景
Page 10
14:26
LOGO
温度改变时的位移计算
温度改变的位移计算公式
基本假设
FQ FN
dFN
pdx
0
dFQ qdx 0
dM FQdx 0
• 集M M 0 0
M
FQ FN
M
Page 22
q
FQ+ dFQ
p
FN+ dFN
O
x
M+ dM dx
y
dx
M0 O
Fx
Fy y
FQ+ ΔFQ FN+ ΔFN x
M+ ΔM
14:26
D 1
α=1×10-5，求D点的竖向位移ΔDV。
2m 2m
解：⑴ 在D点作用一向上的单位力F=1，
4m
作弯矩图 M 和轴力图 F N；
⑵ 由于各杆 α，t0，Δt，h 相同，
故可先计算
+1
1
M ds
1 2
4
4
4
4
24(m2
)
M
FN
F Nds 1 2 1 4 2(m)
Page 15
14:26
LOGO
结构力学I
第五章 虚功原理与 结构位移计算
2021年4月15日
LOGO
3-12(g)
指出弯矩图错误并改正；
作业点评
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i
B d A
m
a
a
i
B d
A
m
a
a
M
1
A
B
例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因
产生相对剪位移d，试求A点在i－i方向
的位移 Q。
i
B
d
A
Q
i
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
Q
1
A
a
a
Q
M 1 sin a
虚功方程：1 m M d 0 2020/7/11 m M d
Q 1 sin
1 Q Q d 0
7
Q Q d
( M N Q )ds
若结构的支座还有位移，则总的位移为：
( M N Q )ds Rkck
2020/7/11
11
( M N Q )ds Rkck
适用范围与特点：
1） 适于小变形，可用叠加原理。 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。 关于公式普遍性的讨论： （1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 （2）变形原因：荷载与非荷载。 （3）结构类型：各种杆件结构。 （4）材料种类：各种变形固体材料。
例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d 试求A点在
ｉ－ｉ方向的位移 N 。
i
B
A
由平衡条件：
d
N
i
N 1 cos
B
A
虚功方程：
N
1
N B N A
1 N N d 0
N N d
当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移，
即是三者的叠加，有：
2020/7/11 M Q N Md Qd Nd 8
2020/7/11
12
( M N Q )ds Rkck
位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。
K
t1 t2
c2
K
c1
ds
ds d ds
1
R1
ds
ds R2 ds
d
d
M
N
Q
外虚功：We 1 Rk ck 内虚功：Wi M N Q ds
变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和Wi ，等于荷载在位
广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：T=SΔ 1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量
2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角β。
3）若广义力是等值、反向的一对力P
T P A P B P( A B ) P P
AP t
B
P
这里Δ是与广义力相应的广义位移。
第五章
2020/7/11
1
§5-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
一、结构位移计算概述
计算位移的目的：（1）刚度验算，（2）超静定结构分析的基础
产生位移的原因：（1）荷载（2）温度变化、材料胀缩（3）支座沉降、制造误差
c
t1
c t2 t1
以上都是绝对位移
AV
BV
以上都是相对位移
广义位移
2020/7/11 位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便
1、实功与虚功
Δ 2020/7/11 Kj
实功是力在自身引起的位移上所作的功。如 T11，T22， 实功恒为正。
虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如T12， 如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。
产生位移的原因
3
位移发生的位置
2、广义力与广义位移
作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力S。与位移有 关的因素，称为广义位移Δ。
2
二、虚功原理
荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零增大到 Δ11，对线弹性体系P与Δ成正比。
P1 Δ11 P2
元功： dT P d P
B
1
T11 dT 2 P111
dT P1 Δ
Δ12
Δ22
再加P2，P2在自身引起的位移Δ22上作的功为：
O
Δ11
A
T22
1 2
P2 22
在Δ12过程中，P1的值不变， T12 P112 Δ12与P1无关
d M N Q Md Nd Qd
2020/7/11 或 d ( M N Q )ds
10
二、结构位移计算的一般公式
i
d ( M N Q )ds
i
一根杆件各个微段变形引起的位移总和：
d ( M N Q )ds
如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：
§5-2 结构位移计算的一般公式 ——变形体的位移计算
{ 由变形体虚功原理来推导；
推导位移计算公式的两种途径 由刚体虚功原理来推导－局部到整体。
一、局部变形时的位移计算公式
基本思路：在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形
所引起的位移。
d
i
ds
ds d ds
ds
d d
d
R
d
i
R
d
2020/7/11
mΔA
t
β ΔB Δ
表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。
mA
Bm
4）若广义力是一对等值、反向的力偶 m
T m A mB m( A B ) m
这里Δ是与广义力相应的广义位移。 表20示20/A7/1B1两截面的相对转角。
Δ
A
B
4
三、虚力原理 ——虚设力系求刚体体系位移
c1 A
C
B
（1）三种变形：
1
R
9
d
i
ds
ds d ds
ds
d
d
d
R
d
R
i
d
1
M ,N ,Q
（2）微段两端相对位移：
d ds ds
R
d ds d ds
续基本思路：设 ds 0, 微段的变形以截面B左右两端的相对位移的
形式出现，即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。
（3）应用刚体虚功原理求位移d－即前例的结论。
已知 c1 求
? 设虚力状态
a
b
b R1 a P b 0 R1 a
P=1
虚功方程
A
C
B
1 R1 c1 0
R1
a
b
b a
c1
小结：（1）形式是虚功方程，实质是几何方程；
（2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相
应的支座反力。构造一个平衡力系；
（3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。
所得正号表明位移方 向与假设的单位力方向 一致。
求 （1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；
骤 解 （2）建立虚功方程 1 Rk ck 0
2020/7/11 步 （3）解方程得 Rk ck 定出方向。
6
例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因
产生相对转角d，试求A点在i－i方向的
位移 m。
2020/7/11 单位荷载其虚功正好等于拟求位移。
5
四、支座位移时静定结构的位移计算
已知位移 c A 求:（1）C点的竖向位移 c （2）杆CD的转角
cA A
C c D
B
l
l
2l
3
3
1
D
A
1 3
B
C
4
3
1
1
1 c
1 3
cD
0
c
1 3
c
A
2
1
1 2l
cA
0
1 2l
cA
A
1 2l
B
C
2
l
D
3 2l