理论力学基础(北师大)习题知识讲解
【理论力学课件@北师大】8-2广义动量积分和广义能量积分
s
∂T1 α = T1 , q ∑ α α =1 ∂q
s
∂T0 α = 0 q ∑ α α =1 ∂q
s
所以
∑p
α =1
s
α
α = 2T2 + T1 q
得
H = T2 − T0 + V
∂ r 若坐标 变换 方程不显含时 间 , 即 i / ∂t = 0 ,
则 T0 = 0 , T = T2 , H = T2 + V = E , 广义能量 H 为系统的 机械 能 . 系统的 机械 能守恒是广义能量 守恒的一种特殊情况. 例题 3 质量为 m 的小环 P 被限制在一个半径 为 R 的 光滑大圆 环上 , 大圆 环 绕 过 大 环 中 心 的 铅 垂轴以 ω 的角速度均匀转动. 已知初始时小环在大 环的 最高 点 , 相 对 大 环 静止 , 然 后 无初 速 滑 下 . 试 通过存在的第一积分 建立小 环 相 对 大 环的 运 动 微分方程. 解 以 小 环 作 为研究对 象 , 它 的 自 由度为 1, 选择图中的 θ 角为广义坐标. 质点的动能用球坐标
因 ∂L / ∂x = 0 , 所以
px =
∂L − maϕ sin ϕ = C (常量） = mx ∂x
表示在水平方向杆的动量守恒. =0 , 则 =0, ϕ 根据初始条件, t = 0 时, x C = 0 . 由上式得 = aϕ sin ϕ x 又因 ∂L / ∂t = 0 , 且 T = T2 , 所以杆的机械能守恒.
T = T2 + T1 + T0
∂ r 可 看出 , i / ∂t 是 否为 零 , 直接影响到 T1 和 T0
理论力学知识点总结(15篇)
理论力学知识点总结第1篇xxx体惯性力系的简化：在任意瞬时，xxx体惯性力系向其质心简化为一合力，方向与质心加速度(也就是刚体的加速度)的方向相反，大小等于刚体的质量与加速度的乘积，即。
平面运动刚体惯性力系的简化：如果刚体具有质量对称面，并且刚体在质量对称面所在的平面内运动，则刚体惯性力系向质心简化为一个力和一个力偶，这个力的作用线通过该刚体质心，大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度相反；这个力偶的力偶矩等于刚体对通过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与刚体角加速度的乘积，其转向与角加速度的转向相反。
即（10－3）定轴转动刚体惯性力系的简化：如果刚体具有质量对称面，并且转轴垂直于质量对称面，则刚体惯性力系向转轴与质量对称面的交点O简化为一个力和一个力偶，这个力通过O点，大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反；这个力偶的力偶矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，其转向与角加速度的转向相反。
即（10－4）理论力学知识点总结第2篇定点运动刚体的动量矩。
定点运动刚体对固定点O的动量矩定义为：（12－6）其中：分别为刚体上的质量微团的矢径和速度，为刚体的角速度。
当随体参考系的三个轴为惯量主轴时，上式可表示成（12－7）（2）定点刚体的欧拉动力学方程。
应用动量矩定理可得到定点运动刚体的欧拉动力学方程（12－8）（3）陀螺近似理论。
绕质量对称轴高速旋转的定点运动刚体成为陀螺。
若陀螺绕的自旋角速度为，进动角速度为，为陀螺对质量对称轴的转动惯量，则陀螺的动力学方程为（12－9）其中是作用在陀螺上的力对O点之矩的矢量和。
理论力学知识点总结第3篇牛顿第二定律建立了在惯性参考系中，质点加速度与作用力之间的关系，即：其中：分别表示质点的质量、质点在惯性参考系中的加速度和作用在质点上的力。
将上式在直角坐标轴上投影可得到直角坐标形式的质点运动微分方程（6－2）如果已知质点的运动轨迹，则利用牛顿第二定律可得到自然坐标形式的质点运动微分方程（6－3）对于自由质点，应用质点运动微分方程通常可研究动力学的两类问题。
北大理论力学第一章 静力学基础知识PPT课件
FOy
FBx FBy
例１-5：A处是固定支座，B处为活动支座，D处
是与园盘连结的销钉，作各杆受力图。
C
FCB
C [二力杆]
FAy A
G
FAx F
F
D
[整] E
B
FB F
C FGx
FCB’
FGy G
[CD]
D
FBC B
F FD` y’
[盘]
E
F
P
P
FDx
FDy
FDx’ FD` y’ D FDx
A
FDx’
FAx FAy
FDy [销钉]
FBC’
G FGx’
B
FGy’
FB
[AB]
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
14
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX
时 间：XX年XX月XX日
15
F
5).无重链杆
二 力 杆
F1 F1
F2 F2
§1-4 受力分析、受力图
例１-2：作托架受力图
W
［托架］
ＦC
FCx
FCy
FBA’
C
FC
A
FAB
W
［整体］
B
FBA
1.取研究对像
三力汇交
FAB
理论力学完整讲义
理论力学一 静力学(平衡问题)01力的投影与分力 02约束与约束力 03二力构件04平面汇交力系的简化 05力矩与力偶理论06平面一般力系的简化：主矢和主矩 07平面一般力系的平衡方程 08零杆的简易判断方法 09刚体系统的平衡问题 10考虑摩擦时的平衡问题01力的投影与分力 基本概念：刚体：在力的作用下大小和形状都不变的物体。
平衡：物体相对于惯性参考系保持静止或均速直线运动的状态 力的三要素：力的大小、方向、作用点。
集中力：力在物体上的作用面积很小，可以看做是一个作用点，单位：N 。
分布力：小车的重力均匀分布在桥梁上面，这种力称为分布力（也称为均布荷载），常用q 表示，单位N/m ，若均布荷载q 作用的桥梁的长度是L ，则均布荷载q 的合力就等于q ×L ，合力的作用点就在桥梁的中点位置。
力的投影和分力 1)在直角坐标系： 投影(标量)：cos x F F α= cos y F F β=分力(矢量)cos x F F i α=u u r r cos y F F j β=u u r r2)在斜坐标系： 投影(标量)：cos x F F α= cos()y F F ϕα=-分力(矢量)(cos sin cot )x F F F i ααϕ=-u u r rsin sin y F F j αβ=u u r r02约束与约束力约束：对于研究对象起限制作用的其他物体。
约束力方向：总是与约束所能阻止物体运动的方向相反，作用在物体和约束的接触点处。
约束力大小：通常未知，需要根据平衡条件和主动力求解。
(1)柔索约束：柔索约束：由绳索、皮带、链条等各种柔性物体所形成的约束，称为柔索约束。
特点：只能承受拉力，不能承受压力。
约束力：作用点位接触点，作用线沿拉直方向，背向约束物体。
(2)光滑面约束光滑面约束：由光滑面所形成的约束称为光滑面约束。
约束性质：只能限制物体沿接触面公法线趋向接触面的位移。
特点：只能受压不能受拉，约束力F 沿接触面公法线指向物体。
北师大理论力学习题答案2第二章思考题
图s2.3第二章 刚体运动学思2.1 答：0R θ=-=A C υυi ，并不能说明0=A a 。
因为0R θ=-=A C υυi 所表示的A υ是A 在一定特定位置，即与地面接触点时的速度，下一时刻与地面的接触点就换为别的质点了，所以不是同一质点速度的表达式。
若要通过对υ求时间的导数去求A a ，必须先将A υ表示成时间的函数式()t A υ，()()d d t t t=A A υa ，然后将在与地面接触时的时刻t 代入()t A a ，才能求得A a 。
思2.2 答：对R θυ=并不能求得R a θ=。
因为按加速度定义=a υ，应该是对速度矢量求导得加速度矢量。
正确的方法应该是：R θυ=R υθ==C υi iR θ==C C a υi又已知a =-C a iR a θ∴=-思2.3 解：设当圆柱A 位于圆柱B 顶部时，''P 与'P 点接触。
由于A 与B 间无滑动，所以弧长'''PP PP =,故无滑条件可写为r R ϕθ=。
选'O 为基点，绕基点的转动可以用由过基点方向固定的直线（称之为定线，'OQ ）到过基点且和刚体固连的运动直线（称之为动线，'''O P ）的夹角ψ来描述，刚体的角速度ωψ=。
由于'OO 方向不固定，所以刚体的角速度ωϕ≠。
思2.4 答：以瞬心为基点，设作为瞬心的那个点（基点）的瞬时加速度为0a ，则刚体上任一点的加速度为：20r r ωω=++n t a a e e思2.5 答：定点运动中的定点应是与刚体固连（可在刚体之外）且固定不动的点。
由于B 点不是与刚体固连的点，所以B 点不是定点。
根据瞬时轴的定义，因为B 点与刚体不固连，故BQ 和OB 均不是瞬时轴。
思2.6 答：解题时根据题目要求选择参考系，再根据具体情况建立适当的静止和运动坐标系。
例题3中选择地面做参考系，并在地面参考系中写出了相应的矢量表达式，只是为了计算方便才选择了动坐标系做矢量投影，所以P υ和P a 均是相对水平面的速度和加速度。
理论力学1知识点总结
理论力学1知识点总结一、牛顿定律牛顿定律是理论力学的基础，它描述了物体在受力作用下的运动规律。
牛顿第一定律也称惯性定律，它指出一个物体如果受到合外力为零的作用，将保持匀速直线运动或静止状态。
牛顿第二定律描述了物体所受合外力与它的加速度之间的关系，即F=ma，其中F为合外力，m为物体的质量，a为物体的加速度。
牛顿第三定律表明了物体间的相互作用力一定是相等而反向的。
二、动量与能量动量是描述物体运动状态的物理量，它等于物体的质量乘以其速度，即p=mv。
动量守恒定律指出，在一个系统内，如果没有合外力作用，系统总的动量将保持不变。
能量守恒定律则表明在一个封闭系统内，能量的总量是恒定的，能量可以相互转化，但总能量不会增加或减少。
三、碰撞和弹性碰撞碰撞是指两个或多个物体间发生的瞬时交互作用，碰撞可以分为完全弹性碰撞和非完全弹性碰撞。
在完全弹性碰撞中，动能和动量守恒定律都成立，碰撞前后系统的总动能和总动量均不变；而在非完全弹性碰撞中，只有动量守恒定律成立。
四、角动量角动量是描述物体旋转运动状态的物理量，它等于物体的转动惯量乘以其角速度，即L=Iω。
角动量守恒定律表明在一个封闭系统内，如果没有合外力矩作用，系统总的角动量将保持不变。
综上所述，理论力学是物理学中非常重要的一门学科，它揭示了自然界中物体运动的规律和特性。
牛顿定律、动量与能量、碰撞和弹性碰撞以及角动量是理论力学中的重要知识点，它们对于理解和应用物体运动规律具有重要意义。
通过学习这些知识点，可以更好地理解物体的运动行为，对于解决相关问题和开展科学研究都具有重要意义。
北京大学出版社理论力学部分习题解答
16 ΣM C = 0 ⇒ RD × 3 = 2× 4× 2 ⇒ RD = 3 kN ΣM A = 0 ⇒ RB × 4 + 6 + RD × 9 = 10 × 6 + 2 × 4 ×8 ⇒ RB = 17.5kN
29 ΣFy = 0 ⇒ RAy + RD + RB = 10 + 2 × 4 ⇒ RAy = − 6 kN
示：
2 ΣFx = 0 ⇒ F1 + F2 × 2 + FGH = 0
2 ΣFy = 0 ⇒ 50 Байду номын сангаас F2 × 2 = RE ΣM D = 0 ⇒ GGH = RE = 87.5 ∴ F1 = −125kN ； F2 = 37.5 2kN
F1 D 5 0 k N
E
F2
H RE FGH
对 H 点采用节点法;
反力。
ΣFx = 0 ⇒ N A = NB
ΣFy = 0 ⇒ T = G
ΣM = 0 ⇒ N A (orNB ) × 9 = G(orT ) × 2
∴ NA
=
NB
=
1000 3
N
习题 2.28 试求如图 3.40 所示多跨梁的支座反力。
(a)：
ΣM B = 0 ⇒ RA × 4 = 5× 4 × 2 ⇒ RA = 10kN ΣFy = 0 ⇒ RCy + RA = 5×8 +12 ⇒ RCy = 42kN ΣM C = 0 ⇒ M C + 5×8× 6 +12× 2 = 10 ×10 ⇒ M C = −164kN • m
s
联立可得：
tan θ
=
P2 P1
θ
北师大理论力学习题答案6第六章思考题
图s6.1 图s6.4图s6.5 第六章 质点组动力学思6.1答：这个说法不对。
应注意质心是空间的一个位置矢量为i iC m M=∑r r 的几何点，质心速度为几何点的速度，并不是位于质心处的质点的速度。
O 为固定点，只说明位于O 的质点速度为零，此时质心速度并不为零。
思6.2答：从本质上说， 质心是一个空间几何点，不是一个具有一定质量的质点。
另一方面，我们为了使质点组整体运动的图像比较清晰和简化动量、角动量、动能的计算，我们假想一个质量为i M m =∑的质点位于质心，具有速度c υ。
这个假想质点的运动遵从质心运动定理，它的动量即为质点组的总动量，它对固定点的角动量为c c M ⨯r υ，并具有动能12c M υ。
引入假想质点是一种手段，它不反映问题的实质，所以并不意味着真有一个质点位于质心。
思6.3解：系统质心即为球心，按定义可知系统总动量 m =p υ思6.4答：由于半圆柱在水平方向不受力，质心的初速度为0，所以质心C 的运动轨迹是一条沿竖直方向的直线。
思6.5答：初始时系统对Oz 轴的总动量0z L =，从开始跑动后，人绕Oz 轴作圆周运动，角速度为11ω=ωk ，盘则沿相反的方向转动，其角速度22ω=-ωk 。
圆盘开始转动后，系统受轴承施与的摩擦力矩0z M >(系统所受其余外力对Oz轴力矩均为零)。
在外力矩z M 的作用下，系统动量矩z L 由零开始逐渐增大，到人停止跑动之时，z L 达最大值。
人在停止跑动过程中，圆盘也逐渐停止转动，人停止跑动后，人与盘一起将继续沿人跑动的方向绕Oz 轴转动。
人停止跑动后，圆盘的转动方向改变了，所以受到的摩擦力矩的方向也变为0z M '<，这时系统在外力矩z M '图s6.10 的作用下，总角动量逐渐减小而趋向于零，因此，人与圆盘一起将逐渐趋于静止。
思6.6答： 由于圆盘与轴间的相互作用比较复杂, 把轴包括在质点组内, 这样轴和盘之间的相互作用就可看作是内力。
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2.6. 教材中第二章例题3图2.16中的坐标系 为动坐标系. 甲认为求出的 和 是相对 系的速度和加速度. 乙认为题中要求的是相对水平面的速度和加速度, 所以选用动坐标系是不合适的. 你认为如何?
题1.9图
1.10. 试用数值计算方法, 在直角坐标系 中, 描绘教材中第一章例题1中质点运动的情况.
1.11. 试用数值计算方法, 描绘教材中第一章例题3中质点运动的情况.
第二章思考题
2.1. 教材中第二章例题1中(2)式是否说明 点加速度 ?
2.2. 教材中第二章例题1中对(3)式求时间导数是否可以得到 ?
2.3. 如思考题2.3图所示, 半径为 的圆柱 沿半径为 的固定圆柱 由最高点无滑动地滚下, 由于弧长 , 所以无滑条件可表示为 , 对 求导数可得 , 所以圆柱 的角速度为 , 上述各结论是否正确?
思考题2.3图
2.4. 有人认为: 由于每瞬时刚体的平面平行运动都可以看成是绕瞬心的纯转动, 所以刚体上任一点的加速度由向心加速度和切向加速度组成, , 为该点到瞬心的距离. 这种看法是否正确? 为什么?
1.3. 质点沿一与极轴 正交的直线以 做匀速运动, 如思考题1.3图所示. 试求质点运动加速度在极坐标系中的分量 和 .
思考题1.3图
1.4. 杆 在平面内绕固定端 以匀角速 转动. 杆上有一滑块 , 相对杆以匀速 沿杆滑动, 如思考题1.4图所示. 有人认为研究 的运动有如下结论: (1) =0, =0, 故 =0； (2) 为 转动中心, 所以在自然坐标法中向心加速度指向 点. 试分析上述结论是否正确.
2.7. 速度 是极矢量, 角速度 是轴矢量, 阅读参考书(赵凯华, 罗蔚茵. 新概念物理教程·力学), 说明它们的共性与差异.
第二章习题
2.1. 半径为 的线轴在水平面上沿直线做无滑滚动, 中部绕线轴的半径为 , 线无滑地绕在轴上, 线端点 以不变速度 沿水平方向运动, 如题2.1图所示. 求: (1)轴心 的速度和线轴的角速度; (2) 线轴与水平面接触点 的加速度.
思考题1.4图
第一章习题
1.1. 如题1.1图所示,曲柄连杆 以匀角速 转动, 已知长度 时 . 求连杆 的中点的运动学方程、轨道、速度和加速度.
题1.1图
1.2. 一质点沿圆锥曲线 运动 ( 为常数), 其速率为常量 . 求质点速度的 分量和y分量.
1.3. 一质点的径向与横向速度分别为 和 ( , 为常量). 试证其径向与横向加速度分别为 和 ).
题2.4图
2.5. 长为 的细杆 在 平面内运动, 的大小和方向已知, 且知道 的方向, 如题2.5图所示. 求: (1) 杆的角速度 及 的大小；(2)杆上某点 的位置, 刚好沿杆的方向.
题2.5图
2.6. 圆盘以角速度 绕水平轴 转动, 轴又以角速度 绕过盘心 的竖直 轴转动, 如题2.6图所示. 已知 , , 求圆盘角速度 及 .
第一章思考题
1.1. 如思考题1.1图所示, 岸距水面高为 , 岸上有汽车拉着绳子以匀速率 向左开行, 绳子另一端通过滑轮 连于小船 上 绳与水面交角为 , 小船到岸的距离为 . 则 与 的关系为:
(1) ；(2) ；(3) ；(4)
思考题1.1图
1.2. 在参考系上建立一个与之固连的极坐标系, 但其单位矢量 和 随质点位置变化而改变, 这是否与固连相矛盾? 是否说明极坐标系是动坐标系?
1.4. 一质点做平面运动, 其速率为常量 , 径向速度亦为常量 ( , ), 求质点的轨道方程. 设 时 , .
1.5. 一质点做平面曲线运动, 其径向速度为正值常量, ；其径向加速度为负值, 并与到极点的距离的三次方成反比, . 求质点的运动学方程. 设 时, , , 且运动中 .
1.6. 如题1.6图所示,已知一直管 保持其与竖直方向的夹角 不变, 绕过其 端的竖直轴以角速度 做均匀转动. 一质点从 点开始沿管做匀加速运动, 加速度的大小为 , 初速度为零. 试用柱坐标系求质点对地面的速度和加速度, 并用球坐标系求质点对地的速度.
题1.6图
1.7. 一质点的轨道曲线在 平面内, 其速度的 分量为正值常量 , 试证质点加速度的大小可表示为 , 其中 为速率, 为轨道曲率半径.
1.8. 质点沿半径为 的圆周运动, 初速度为 , 其加速度矢量与速度矢量间的夹角 保持不变, 求质点速率随时间的变化规律.
1.9. 已知质点运动的轨道为圆锥曲线 , 如题1.9图所示. 和 为正值常量. 已知 , 亦为正值常量. 试证质点加速度的方向必指向原点(即圆锥曲线的一个焦点), 其大小与 成反比.
题2.2图
2.3. 曲柄 以匀角速度 绕 点转动, 曲柄 借助连杆 推动滑块 沿轨道 运动. 设 , , 与 夹角为 , 如题2.3图所示. 求杆 的角速度和 点的速度.
题2.3图
2.4. 半径为 的圆柱夹在互相平行的两板间, 两板分别以不变的速度 反向运动, 如题2.4图所示. 设圆柱与两板间均无滑动, 求: (1) 瞬心位置；(2)圆柱上与上板的接触点 的加速度.
题2.1图
2.2. 半径为 的小圆盘在一半径为 的固定大圆盘的边缘上运动,两圆盘在水平面内, 为固定直角坐标系, 如题2.2图所示. 轴与两圆心连线 夹角的时间导数 已知, 求下列3种情况中小圆盘的角速度: (1) 小圆盘上某一确定半径的空间指向不变；(2) 小圆盘上某一确定半径始终指向 点; (3) 小圆盘在大圆盘上做无滑滚动.
题2.6图
2.7. 转轮 绕过轮心且与轮面垂直的 轴以角速度 转动, 而 绕竖直线 以角速度 转动. 已知转轮半径 , , , 如题2.7图所示. 试求转轮最低点速度 .
题2.7图
2.8. 高为 , 顶角为 的圆锥在水平面上做无滑滚动, 若此圆锥以不变角速度 绕竖直 轴转动, 如题2.8图所示. 试求: (1) 圆锥角速度； (2) 圆锥底面最高点 的速度 ; (3) 点的转动加速度和向轴加速度的量值 和 .