2019年上海市中考数学试卷(含答案与解析)

数学试卷 第1页（共10页） 数学试卷 第2页（共10页）

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上海市2019年初中毕业统一学业考试

数 学

一、选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)

【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1.下列运算正确的是 （ ）

A .2

325x x x += B .32x x x -= C .326x x x =g

D .2

323

x x ÷= 2.如果m n ＞，那么下列结论错误的是

（ ）

A .22m n ++＞

B .22m n --＞

C .22m n ＞

D .22m n --＞

3.下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是

（ ）

A .3

x

y =

B .3

x y =-

C .3y x

=

D .3y x

=-

4.甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图1所示，下列判断正确的是

（ ）

图1

A .甲的成绩比乙稳定；

B .甲的最好成绩比乙高；

C .甲的成绩的平均数比乙大；

D .甲的成绩的中位数比乙大。

5.下列命题中，假命题是

（ ）

A .矩形的对角线相等

B .矩形对角线交点到四个顶点的距离相等

C .矩形的对角线互相平分

D .矩形对角线交点到四条边的距离相等

6.已知A e 与B e 外切，C e 与A e 、B e 都内切，且5AB =，6AC =，7BC =，那么

C e 的半径长是

（ ）

A .11

B .10

C .9

D .8

二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7.计算：()

2

2

2a = 。

8.己知()21f x x =-，那么()1f -= 。

9.如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是 。

10.如果关于x 的方程20x x m -+=没有实数根，那么实数m 的取值范围是 。 11.一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数之和大于4的概率是 。

12.《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛。”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛 斛米。（注：斛是古代一种容量单位）

13.在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6 ℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是2 ℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x 千米时，所在位置的气温是 y ℃，那么y 关于x 的函数解析式是 。

14.小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该校区50户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图2所示），根据以上信息，估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约 千克。

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________

________________ _____________

-------------在

--------------------此--------------------

卷--------------------

上--------------------

答--------------------

题--------------------

无--------------------效---

-------------

数学试卷 第3页（共10页）

数学试卷 第4页（共10页）

15.如图3，已知直线12l l ∥，含30o 角的三角板的直角顶点C 在1l 上，30o 角的顶点A 在

2l 上，如果边AB 与1l 的交点D 是AB 的中点，那么1∠= 度。

16.如图4，在正边形ABCDEF 中，设BA a =uu r v ，BC b =uu u r r ，那么向量BF uu u r 用向量a r 、b r

表示为 。

17.如图5，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，ABE △沿BE 翻折，点A 落在点F 处，联结DF ，那么EDF ∠的正切值是 。

18.在ABC △和111A B C △中，己知190C C ∠=∠=?，113AC AC ==，4BC =，112B C =，点D 、1D 分别在边AB 、11A B 上，且111ACD C A D △≌△，那么AD 的长是 。 三、解答题(共7题，满分78分) 19.（本题满分10分）

计算：2

33126823

--?+

--。

20.（本题满分10分） 解方程：228

122x x x x

-=--。

21.（本题满分10分，每小题满分各5分）

在平面直角坐标系xOy 中（如图6），己知一次函数的图像平行于直线1

2

y x =，且经过点()2,3A ，与x 轴交于点B 。

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）设点C 在y 轴上，当AC BC =时，求点C 的坐标。 22.（本题满分10分，每小题满分各5分）

图7-1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE 可以绕点A 逆时针旋转，当旋转角为60o 时，箱盖ADE 落在AD E ''的位置（如图7-2所示）。已知90 cm AD =，30 cm DE =，40 cm EC =。 （1）求点D '到BC 的距离； （2）求E 、E '两点的距离。

23.（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）

已知：如图8，AB 、AC 是O e 的两条弦，且AB AC =，D 是AO 延长线上一点，联结BD 并延长交O e 于点E ，联结CD 并延长交O e 于点F 。 （1）求证：BD CD =；

（2）如果2AB AO AD =g ，求证：四边形ABDC 是菱形。

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24.（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）①小题满分3分，第（2）②小题满分5分）

在平面直角坐标系xOy 中（如图9），已知抛物线22y x x =-，其顶点为A 。 （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况； （2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”。

①试求抛物线22y x x =-的“不动点”的坐标；

②平移抛物线22y x x =-，使所得新抛物线的顶点B 是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x 轴交于点C ，且四边形OABC 是梯形，求新抛物线的表达式。

图9

25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分6分）

如图10，AD 、BD 分别是ABC △的内角BAC ∠、ABC ∠的平分线，过点A 作AE AD ⊥，交BD 的延长线于点E 。

（1）求证：12

E C ∠=∠；

（2）如图11，如果AB AE =，且:2:3BD DE =，求cos ABC ∠的值；

（3）如果ABC ∠是锐角，且ABC △与ADE △相似，求ABC ∠的度数，并直接写出

ADE

ABC

S S △△的值。

-------------在

--------------------此--------------------

卷--------------------

上--------------------答--------------------题--------------------

无--------------------

效---

-------------

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________

________________ _____________

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上海市2019年初中毕业统一学业考试

数学答案解析

一、选择题 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】C 二．填空题 7．【答案】64a 8．【答案】0 9．

10．【答案】14

m ＞

11．【答案】13

12．【答案】5

6

13．【答案】62y x =-+ 14．【答案】90 15．【答案】120

16．【答案】2a b +r r 17．【答案】2 18．【答案】5

3

三、解答题

19．

【答案】原式1243-+=-。 20．【答案】解：去分母，得22282x x x -=-。 移项、整理得2280x x +-=。

解这个方程，得12x =，24x =-。

经检验：12x =是增根，舍去；24x =-是原方程的根。 所以，原方程的根是4x =-。

21．【答案】解：（1）设一次函数解析式为y kx b =+（0k ≠）。

Q 一次函数的图像平行于直线1

2

y x =

，12k ∴=。

又Q 一次函数的图像经过点()2,3A ，1

322b ∴=?+，解得2b =。

所以，所求一次函数的解析式是1

22

y x =+。

（2）由122y x =+，令0y =，得1

202

x +=，解得4x =-。

∴一次函数的图像与x 轴的交点为()4,0B -。

Q 点C 在y 轴上，∴设点C 的坐标为()0,y 。

由AC BC =

=

12

y =-。

经检验：1

2

y =-

是原方程的根。 ∴点C 的坐标是10,2?

?- ??

?。

22．【答案】解：（1）过点D '作D H BC '⊥，垂足为点H ，交AD 于点F 。 由题意，得90 AD AD '==（厘米），60DAD '∠=o 。

Q 四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴P ，90AFD BHD ''∴∠=∠=o 。

在

Rt AD F '△中，sin 90sin 60D F AD DAD '''=∠=?=o g （厘米）。

又40 CE =Q （厘米），30 DE =（厘米），70 FH DC DE CE ∴=

=+=（厘米）。

()

70 D H D F FH ''∴=+=（厘米）。

答：点D '到BC 的距离是()

70厘米。

（2）联结AE 、AE '、EE '。由题意，得AE AE '=，60EAE '∠=o 。

AEE '∴△是等边三角形。EE AE '∴=。

Q 四边形ABCD 是矩形，90ADE ∴∠=o 。

在Rt ADE △中，90 AD =（厘米），30

DE =（厘米），

AE ∴===（厘米）。

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EE '∴=（厘米）。

答：E 、E '

两点的距离是

23．【答案】证明：（1）联结BC ，在O e 中，AB AC =Q ，?

?AB AC ∴=。 又Q AD 经过圆心O ，AD ∴垂直平分BC 。BD CD ∴=。

（2）联结OB 。2

AB AO AD =Q g ，AB AD

AO AB

∴=

。 又BAO DAB ∠=∠Q ，ABO ADB ∴△∽△。OBA BDA ∴∠=∠。

OA OB =Q ，OBA OAB ∴∠=∠。 OAB BDA ∴∠=∠，AB BD ∴=。

又AB AC =Q ，BD CD =，AB AC BD CD ∴===。 ∴四边形ABDC 是菱形。

24．【答案】解：（1）抛物线22y x x =-的开口向上，顶点A 的坐标是()1,1-， 抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的。 （2）①设抛物线2

2y x x =-的“不动点”坐标为(),t t 。

则22t t t =-，解得10t =，23t =。

所以，抛物线22y x x =-的“不动点”的坐标是()0,0、()3,3。 ②Q 新抛物线的顶点B 是其“不动点”，∴设点B 的坐标为(),m m 。 ∴对称轴为直线x m =，与x 轴的交点为(),0C m 。

Q 四边形OABC 是梯形，∴直线x m =在y 轴左侧。 Q BC 与OA 不平行，OC AB ∴P 。

又Q 点A 的坐标为()1,1-，点B 的坐标为(),m m ，1m ∴=-。 ∴新抛物线是由抛物线22y x x =-向左平移2个单位得到的。 ∴新抛物线的表达式是()2

11y x =+-。

25．【答案】（1）证明：AE AD ⊥Q ，90DAE ∴∠=o ，90E ADE ∠=-∠o 。

AD Q 平分BAC ∠，12BAD BAC ∴∠=∠，同理1

2

ABD ABC ∠=∠。

又ADE BAD ABD ∠=∠+∠Q ，180BAC ABC C ∠+∠=-∠o ，

()()11

18022

ADE BAC ABC C ∴∠=

∠+∠=-∠o 。 ()11

9018022

E C C ∴∠=-

-∠=∠o o 。 （2）解：延长AD 交BC 于点F 。

AE AB =Q ，ABE E ∴∠=∠。

BE Q 平分ABC ∠，ABE CBE ∴∠=∠，CBE E ∴∠=∠。

AE BC ∴P 。

90AFB FAE ∴∠=∠=o ，

BF BD

AE DE

=

。 又:2:3BD DE =Q ，2

cos 3

BF BF ABC AB AE ∴∠===。

（3）解：ABC Q △与ADE △相似，且90DAE ∠=o ，

ABC ∴△中必有一个内角等于90o 。 ABC ∠Q 是锐角，90ABC ∴∠≠o 。

①若90BAC DAE ∠=∠=o ，

12E C ∠=∠Q ，1

2

ABC E C ∴∠=∠=∠。

又90ABC C ∠+∠=o Q ，30ABC ∴∠=o

。这时，

2ADE

ABC

S S =-△△ ②若90C DAE ∠=∠=o ，则1452

E C ∠=∠=o ，45EDA ∴∠=o 。 又ABC Q △与ADE △相似，45ABC ∴∠=o

。这时，2ADE

ABC

S S =△△。 综上所述，30ABC ∠=o 或45ABC ∠=o ，

ADE

ABC

S S △△

的值2

或2