相似三角形的性质导学案
4.7相似三角形的性质导学案
一、自主学习：
1.如果两个三角形相似对应边、对应角，
2.相似判定：_______________________的两个三角形相似；________________________的两个三角形相似；_________________________的两个三角形相似。
2、合作探究：
1、已知：△ABC∽△A′B′C′，△ABC和△A′B′C′的相似比是2：3，
AD、A′D′是对应高（对应边上的高），（1）问△ABD与△A′B′D′相似吗?
(2)求：AD：A′D′
2、已知：△ABC∽△A′B′C′，△ABC和△A′B′C′的相似比是k，AD、A′D′是对应角平分线（对应角的角平分线），（1）问△ABD与△A′B′D′相似吗?
(2)求：AD：A′D′
3、已知：△ABC∽△A′B′C′，△ABC和△A′B′C′的相似比是k,AD、A′D′是对应中线(对应边上的中线），（1）问△ABD与△A′B′D′相似吗?(2)求：AD：A′D′
4、根据上述三个问题探究你能用准确的语言归纳出相应的结论吗？
三、课堂检测：
1.△ABC与△A'B'C'的相似比1:3，若BC＝5cm，则B'C'＝_____。
2.如果两个相似三角形的对应高的比为2:3，那么对应角平分线的比是__，对应边上的
中线的比是______。
3.△ABC与△A'B'C'的相似比3:4，若BC边上的高AD＝12cm，则B'C'边上的高
3.习题4.12第1题。
4.习题4.12第2题。
5.习题4.12第3题。
课后反思
A'D'＝_____。
4.7相似三角形的性质(1)经典导学案
九年级数学（上）导学案姓名：班级：日期：§4.7相似三角形的性质（1）【学习内容】相似三角形的性质（P106-P108页）【学习目标】经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质。
利用相似三角形的性质解决一些实际问题.【自研课】定向导学（15分钟）对子间等级评定：★（五星评定）对子间提出的问题：。
的比例建造了模型房梁△A B C，CD和C D分别是它们E【今日作业】（时段：午自习，时间20分钟）一填空：1、如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们对应高之比是 、对应角平分线之比是 、对应中线之比是 。
2、在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，∠B 的平分线交 AC 于D ， △BCD ∽△____。
3、△ABC ∽△A 1B 1C 1，，AB=4，A 1B 1=12，则它们对应边上的高的比是 ，若BC 边上的中线为1.5，则B 1C 1上的中线A 1D 1=_______ 。
4、在△ABC 中，BC=54cm ，CA=45cm ，AB=63cm ，若另一个与它相似的三角形的最短边长为15cm ，则最长边为_____5、在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，若BD=9，DC=4，则AD=_____，BC=_____ 二、解答题：6、△ABC ～△'''C B A ,AD 和''D A 是它们的对应角平分线，已知AD ＝8cm ，''D A ＝3cm ，求△ABC 与△'''C B A 对应高的比。
7、如图，小明自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm 。
他准备了一支长为20cm 的蜡烛，想要得到高度为5cm 的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方CD OBA8、如图，在△ABC 中，AB ＝5，D,E 分别是边AC 和AB 上的点，且∠ADE=∠B,DE ＝2，求BC AD 的值EDCBA9、如图，AD 是△ABC 的高，点P,Q 在BC 边上，点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，BC ＝60CM,AD ＝40CM,四边形PQRS 是正方形 （1）△ASR 与△ABC 相似吗？为什么？（2）求正方形PQRS 的边长ED QP R SCBA今天我知道了：我发现了： 我学会了： 【教师寄语】《新课堂，我展示，我快乐，我成功》-------。
相似三角形的性质导学案
相似三角形的性质姓名___________学号_________________学习目标：1. 理解相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比. 2. 理解相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．3.灵活运用相似三角形的相关性质进行计算与证明.活动一.温故知新1.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ：DB=1：3，则△ADE 与△ABC 的相似比为 。
2、已知：△ABC △∽A 'B 'C '，AB=2cm ，BC=3cm ，A 'B '=4cm ， A 'C '=2cm ，则AC= cm ， B 'C '= cm 。
3.思考：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，你认为还有其他的结论吗？活动二.探究新知探究（一）似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比如图：△ABC 和△A ′B ′C ′是两个相似三角形，相似比为k ，其中AD 、A ′D ′分别为BC 、B ′C ′边上的高，那么AD 与A ′D ′之间的比是多少呢？ 猜想：__________________ 证明：类比以上推导过程请你进一步猜想：相似三角形对应边上的中线、对应角的角平分线的比等于什么呢？ 猜想：________________________。
请你在练习本上写出证明过程。
归纳：于是，我知道了_________________________________________________________________________________________________________________________________________。
探究（二）相似三角形的周长比，面积比 如图24．3．10中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似． （2）与（1）的相似比＝______，（2）与（1）的周长比=_____;（2）与（1）的面积比＝_____。
相似三角形的性质 导学案(含答案)
4.7相似三角形的性质 导学案 第1课时 相似三角形的性质定理(一)1、预习目标 1．三角形中除三条边外的主要线段有角平分线、高、中线．2．相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比． 2、课堂精讲精练【例1】如图，某同学拿着一把12 cm 长的尺子，站在距电线杆30 m 的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60 cm ，则电线杆的高度是(D)A ．2.4 mB ．24 mC ．0.6 mD ．6 m【跟踪训练1】若△ABC ∽△A ′B ′C ′，BD 和B ′D ′是它们的对应中线，已知BD ∶B ′D ′＝5∶2，AC ＝10 cm ，则A ′C ′＝4_cm ．【跟踪训练2】已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为4∶3，若△ABC 中∠A 的平分线AM ＝8，则△DEF 中∠D 的平分线DN ＝6．【例2】如图，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC ＝40 cm ，AD ＝30 cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G ，H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M.(1)求证：AM AD ＝HGBC ；(2)求矩形EFGH 的周长．解：(1)证明：∵四边形EFGH 为矩形，∴EF ∥GH.∴∠AHG ＝∠ABC ，∠AGH ＝∠ACB.∴△AHG ∽△ABC. ∵AD ⊥BC ，∴AM ⊥HG. ∴AM AD ＝HG BC. (2)设HE ＝x cm ，则MD ＝x cm ，HG ＝2x cm.∵AD ＝30 cm ，∴AM ＝(30－x)cm. ∵AM AD ＝HG BC ，∴30－x 30＝2x 40. 解得x ＝12.∴矩形EFGH 的周长为2(x ＋2x)＝72 cm.【跟踪训练3】如图，已知正方形DEFG 的顶点D ，E 在△ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB ，AC 上．如果BC ＝4，△ABC 的面积是6，那么这个正方形的边长是127．3、课堂巩固训练1．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3∶4，AD 与A ′D ′分别是△ABC 与△A ′B ′C ′的角平分线，则AD ∶A ′D ′等于(A)A ．3∶4B ．4∶3C ．9∶16D ．16∶92．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，BM ⊥CE ，则Rt △BEM 与Rt △BCM 斜边上的高的比为(C)A ．1∶3B ．2∶3C ．1∶2D ．3∶53．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，两腰BA 与CD 的延长线交于点P ，PF ⊥BC 于点F ，交AD 于点E.若AD ＝2，BC ＝5，EF ＝3，则PF ＝5．4．如图，在△ABC 中，BC ＝12，AD 是BC 边上的高，AD ＝8，P ，N 分别是AB ，AC 边上的点，Q ，M 是BC 上的点，连接PQ ，PN ，MN ，PN 交AD 于点E.若四边形PQMN 是矩形，且PQ ∶PN ＝1∶2，求PQ ，PN 的长．解：设PQ ＝y ，则PN ＝2y. ∵四边形PQMN 是矩形，∴PN ∥QM.∴∠APN ＝∠B ，∠ANP ＝∠C. ∴△APN ∽△ABC. ∴PN BC ＝AE AD ，即2y 12＝8－y 8. 解得y ＝247.∴PQ ＝247，PN ＝487.第2课时 相似三角形的性质定理(二)1、预习目标1．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．2．上述性质可推广到相似多边形，即相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 2、课堂精讲精练【例1】如图，点D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 上的一点，且DE ∥BC ，S △ADE ＝4，S 四边形DBCE ＝5，则△ADE 与△ABC 的相似比为(D)A ．5∶9B ．4∶9C ．16∶81D ．2∶3【跟踪训练1】如图，把△ABC 沿着BC 的方向平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半．若BC ＝3，则△ABC 移动的距离是(D)A.32B.33C.62D.3－62【跟踪训练2】如图，在▱ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 与BD 相交于点F.若△DEF 的面积为2，则▱ABCD 的面积为24．【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点M 是斜边AB 的中点，MD ∥BC ，且MD ＝CM ，DE ⊥AB 于点E ，连接AD ，BD.(1)求证：△MED ∽△BCA ；(2)当S △BDM ＝13S △ABC 时，求S △BED ∶S △MED 的值．解：(1)证明：∵MD ∥BC ， ∴∠DME ＝∠CBA. ∵∠DEM ＝∠ACB ＝90°， ∴△MED ∽△BCA.(2)∵∠ACB ＝90°，点M 是斜边AB 的中点，∴MB ＝12AB.∵MC ＝MD ，∴MD ＝12AB.∵△MED ∽△BCA ，∴S △MED S △ABC ＝(DM AB )2＝14.∵S △BDM ＝13S △ABC ，∴S △MED S △BDM ＝34.又∵S △MED ＋S △BED ＝S △BDM ， ∴S △BED ∶S △MED ＝1∶3.【跟踪训练3】如图所示，在▱ABCD 中，点E 是CD 的延长线上一点，且DE ＝12CD ，BE 与AD交于点F.(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB ＝CD. ∴∠ABF ＝∠E. ∴△ABF ∽△CEB. (2)∵AD ∥BC ，∴△DEF ∽△CEB.∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2.∵DE ＝12CD ，AB ＝CD ，∴DE CE ＝13，DE AB ＝12.∴S △DEF S △ABF ＝14，S △DEF S △CEB ＝19. ∴S △ABF ＝8，S △CEB ＝18.∴S ▱ABCD ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.3、课堂巩固训练1．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ∶DB ＝1∶2，△ADE 的周长是6，则△ABC 的周长是(C)A ．6B ．12C ．18D ．242．已知△ABC 与△DEF 相似且周长的比为2∶3，则△ABC 与△DEF 的面积比为(D)A ．2∶3B ．16∶81C ．9∶4D ．4∶93．如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE∶AB＝2∶3，△BEF的面积为4，则▱ABCD 的面积为(A)A．30 B．27 C．14 D．324．如果两个相似三角形的周长比为1∶2，那么它们某一组对应边上的高之比为1∶2．5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，两腰的延长线相交于点P.若S△PAD∶S梯形ABCD＝1∶2，且BC＝26，求AD的长．解：∵S△PAD∶S梯形ABCD＝1∶2，∴S△PAD∶S△PBC＝1∶3.∵AD∥BC，∴△PAD∽△PBC.∴ADBC＝33.∴AD＝2 2.。
九年级数学下册27.2.2相似三角形的性质导学案
相似三角形的性质一、新课导入1.什么叫做相似比？2.已知：△ABC ∽△A′B′C′,根据相似的定义,我们有哪些结论？（从对应边上看；从对应角上看。
）二、学习目标1.理解相似三角形对应高的比，对应角平分线的比及对应中线的比都等于相似比.2.理解并初步掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方.三、研读课本认真阅读课本的内容，完成以下练习。
（一）划出你认为重点的语句。
（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
研读一、认真阅读课本探究相似三角形周长的比。
一边阅读一边完成检测一。
检测练习一、1、如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5倍，那么它的周长也扩大为原来的____倍。
2、如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，那么△ADE的周长︰△ABC的周长＝_______。
研读二、认真阅读课本探究相似三角形对应高的比，对应角平分线的比及对应中线的比都等于相似比.一边阅读一边完成检测二检测练习二、1、已知△ABC∽△A´B´C´，AD、A ´D ´分别是对应边BC、B ´C ´上的高，若BC＝8cm,B ´C ´＝6cm,AD＝4cm,则A ´D ´等于（）A 16cmB 12 cmC 3 cmD 6 cm2、两个相似三角形对应高的比为3∶7，它们的对应角平分线的比为（）A 7∶3B 49∶9C 9∶49D 3∶7研读三、认真阅读课本探究相似三角形面积的比。
一边阅读一边完成检测三。
检测练习三、在一张复印出来的纸上,一个多边形的一条边由原图中的2cm 变成了6cm ，这次复印的放缩比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样的变化？研读四、认真阅读课本完成例题。
研读五、问题探究：如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？解：设正方形PQMN 是符合要求的△ABC 的高AD 与PN 相交于点E 。
(导学案)27.2.2相似三角形的性质
（导学案）27.2.2相似三角形的性质
两个三角形相似的判断方法：
1、定义：两个三角形的，，这个两个三角形相似。
2、预备定理：于三角形一边的直线和其
他两边（或）相
交，所构成的三角形与原三角
形。
3、判定定理
1：。
4、判定定理2：。
5、判定定理3：。
【情景导入】
1、三角形除了三个角,三条边外,还有哪些要素?
2、如果三角形相似，那么,三角形的这些要素有一些怎样的性质呢?
【新知探究】
探究一、
已知：△ＡＢＣ∽△Ａ１Ｂ１Ｃ１相似，相似比为k，AF,A1F1为角平分线
ＡＥ，A1E1为中线
定理：相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比
探究二、
已知：△ＡＢＣ∽△Ａ１Ｂ１Ｃ１相似，相似比为k，求它们的面积比。
探究三、
例 1 如图，在△ABC 和△DEF 中，AB=2DE,AC=2DF, ∠A=∠D ，BC边上的高为6，面积是5
12，求△DEF的边EF上的高和面积。
【知识梳理】
本节课你学习了什么知识？
【随堂练习】
1、如果把一个三角形按照下面的条件改成和它相似的三角形：
（１）把边长扩大为原来的１００倍，那么面积扩大为原来的多少倍？
（２）把面积扩大为原来的１００倍，那么边
长扩大为原来的多少倍？
2、求三角形的三条中位线所围成的三角形与原三角形的面积的比．
3、如果两个相似三角形的面积之比为1:9,则它们对应边的比为对应高的比为。
周长的比为
4、如果两个相似三角形的面积之比为2:7,较大三角形一边上的高为，则较小三角形对应边上的高为。
《相似三角形的性质》 导学案
《相似三角形的性质》导学案一、学习目标1、理解相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、掌握相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比。
3、了解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
二、学习重难点1、重点（1）相似三角形的性质的理解和应用。
（2）相似三角形的对应线段的比、周长比、面积比与相似比的关系。
2、难点相似三角形性质的综合应用，特别是涉及到面积比与相似比的关系。
三、知识回顾1、什么是相似三角形？三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2、相似三角形的判定方法有哪些？（1）两角分别相等的两个三角形相似。
（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
（3）三边成比例的两个三角形相似。
四、新课导入我们已经知道了如何判断两个三角形相似，那么相似三角形又有哪些性质呢？这就是我们今天要学习的内容。
五、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等因为两个三角形相似，所以它们的对应角是相等的。
例如，若△ABC∽△A'B'C'，则∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'。
2、相似三角形的对应边成比例若△ABC∽△A'B'C'，则有：AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝ AC/A'C'，这个比例值就是它们的相似比。
3、相似三角形的对应线段的比等于相似比（1）相似三角形对应高的比等于相似比如图，△ABC∽△A'B'C'，AD 和 A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的高。
因为∠B ＝∠B'，∠ADB ＝∠A'D'B' ＝90°，所以△ABD∽△A'B'D'，所以 AD/A'D' ＝ AB/A'B'，即相似三角形对应高的比等于相似比。
九年级数学下册27.2.2相似三角形的性质导学案
相似三角形的性质一、新课导入1.什么叫做相似比？2.已知：△ABC ∽△A′B′C′,根据相似的定义,我们有哪些结论？（从对应边上看；从对应角上看。
）二、学习目标1.理解相似三角形对应高的比，对应角平分线的比及对应中线的比都等于相似比.2.理解并初步掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方.三、研读课本认真阅读课本的内容，完成以下练习。
（一）划出你认为重点的语句。
（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
研读一、认真阅读课本探究相似三角形周长的比。
一边阅读一边完成检测一。
检测练习一、1、如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5倍，那么它的周长也扩大为原来的____倍。
2、如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，那么△ADE的周长︰△ABC的周长＝_______。
研读二、认真阅读课本探究相似三角形对应高的比，对应角平分线的比及对应中线的比都等于相似比.一边阅读一边完成检测二检测练习二、1、已知△ABC∽△A´B´C´，AD、A ´D ´分别是对应边BC、B ´C ´上的高，若BC＝8cm,B ´C ´＝6cm,AD＝4cm,则A ´D ´等于（）A 16cmB 12 cmC 3 cmD 6 cm2、两个相似三角形对应高的比为3∶7，它们的对应角平分线的比为（）A 7∶3B 49∶9C 9∶49D 3∶7研读三、认真阅读课本探究相似三角形面积的比。
一边阅读一边完成检测三。
检测练习三、在一张复印出来的纸上,一个多边形的一条边由原图中的2cm 变成了6cm ，这次复印的放缩比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样的变化？研读四、认真阅读课本完成例题。
研读五、问题探究：如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？解：设正方形PQMN 是符合要求的△ABC 的高AD 与PN 相交于点E 。
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《相似三角形的性质》导学案
一、复习旧知：你知道的相似三角形的有关知识有哪些？
二、自主探究：
1、已知：△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 和△A ′B ′C ′的相似比是2：3，
AD 、A ′D ′是对应高（对应边上的高），（1）问△ABD 与△A ′B ′D ′相似吗?
(2)求：AD ：A ′D ′2、已知：△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 和△A ′B ′C ′的相似比是k ，AD 、A ′D ′是对应角平分线（对应角的角平分线），（1）问△ABD 与△A ′B ′D ′相似吗? (2) 求：AD ：A ′D ′3、已知：△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 和△A ′B ′C ′的相似比是k, AD 、A ′D ′是对应中线(对应边上的中线），（1）问△ABD 与△A ′B ′D ′相似吗?(2) 求：AD ：A ′D ′4、根据上述三个问题探究你能用准确的语言归纳出相应的结论吗？
三、拓展应用
（一）基础篇：
1、△ABC 与△A'B'C'的相似比1:3，若BC ＝5cm ，则B'C'＝_____ 。
2、如果两个相似三角形的对应高的比为2:3，那么对应角平分线的比是__ ，对应边上的中线的比是______ 。
3、△ABC 与△A'B'C'的相似比3:4，若BC 边上的高AD ＝12cm ，则B'C'边上的高A'D'＝_____ 。
（二）提高篇：
1、电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB ∥CD ，AB=2m,CD=5m ，
（1）若点P 到CD 的距离为3m 。
求P 到AB 的距离？
（2）若PE ⊥CD 于D 交AB 于F ，EF=1m ，求PF B C D A
A ′
C ′
D ′B ′ D
E F C A B
P C D A
B A ′
C ′
D ′B ′C D A
B A ′
C ′
D ′B ′
（三）拓展篇：
如图所示，在△ABC 中,边BC=60cm,高AD=40cm,正方形PQRS 的一边PQ 在BC 上，另两个顶点S ，R 分别在AB ，AC 上，SR 与AD 相交于点E.
(1) △ASR 与△ABC 相似吗?为什么?
(2)求正方形PQRS 的边长？四、课堂检测：
1、△ABC ∽△A`B`C`，AD 和A`D`分别是BC 和B`C`边上的高，AE 和A`E`分别是BC 边和B`C`边上的中线，AD ：A`D`=3：5，则AE ：A`E`=_______，△ A`B`C 和△ABC 的相似比是_________.
2、如图所示：△ABC 中，AD ⊥BC ，AD ⊥MN ，MN 交AB 于M ，交AC 于N ，已知MN=3，BC=5，ED=1，则AE=_______。
B A D R
S
C
P Q E B
M D
C N
E A。