浙教版-数学-九年级上册-《相似三角形的性质及其应用(2)》导学案
九年级数学上册 4.4 相似三角形的性质及其应用教案(2) 浙教版
4.4相似三角形的性质及其应用（2）教学目标：1、能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题.2、进一步检验数学的应用价值.重点与难点：1、本节教学的重点是运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.2、由于学生缺乏一定的生活经验，让他们设计测量树高的方案有一定的难度，所以例3的方案设计是本节教学的难点.知识要点：1、若物体的高度和宽度不能被直接测量，则一般思路是根据题意和所求，建立相关的相似三角形的模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系可求得.2、在同一时刻两个物体的高度和它的影长是成比例的.重要方法：1、在测量物体的高时，物体与水平面是垂直的.2、在测量宽度时，可采用下面的方法.教学过程：一、复习提问我们已经学习相似三角形的性质有哪些？1、相似三角形对应角相等。
∵△A′B′C′∽△ABC ∴∠A= ∠A′，∠B= ∠B′∠C= ∠C′2、相似三角形对应边成比例。
∵△ABC∽△ABC ∴ABA′B′＝BCB′C′＝CAC′A′3、相似三角形的周长之比等于相似比；4、相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
5、相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比.思考：你能够将上面生活中的问题转化为数学问题吗？二、例题讲解1、校园里有一棵大铁树，要测量树的高度，你有什么方法？把长为2.40m的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为2.80m，标杆的影长为1.47m。
这时树高多少？你能解决这个问题吗？分别根据上述两种不同方法求出树高（精确到0.1m）请你自己写出求解过程，并与同伴探讨，还有其他测量树高的方法吗？2、如图，屋架跨度的一半OP=5m ，高度OQ=2. 25 m 。
现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度 AC=1. 20m ，AB 在水平位置。
求AB 的长度。
（结果保留3个有效数字）三、练一练1、课内练习步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距离OE 为80cm ，步枪上准星宽度AB 为2mm ，目标的正面宽度CD 为50cm ，求眼睛到目标的距离OF 。
4.5 相似三角形的性质及其应用第2课时 相似三角形的性质(2)浙教版数学九年级上册课件
三角形相似的 性质（2）
周长比 =相似比 面积比 =相似比的平方
1.填空： （1）如果三角形的边长扩大到原来的100倍，那么三角 形的周长扩大到原来的____1_0_0倍；面积扩大到原来的 ___1_0_0_0倍0 . （2）如果三角形的周长扩大到原来的100倍，那么三角 形的边长扩大到原来的____1_0_0倍. （3）如果三角形的面积扩大到原来的100倍，那么三角 形的边长扩大到原来的_____1_0倍.
3
5
4
10 6
8
相似比
3
5
4
10 6
8
相似三角形的周长和面积有以下性质：
相似三角形的周长之比等于相似比； 相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
A
B
C
A′
B′
C′
A
如图，分别作△ABC，△A′B′C′的BC，
B
B′C′边上的高线AD，A′D′.
∵△ABC∽△A，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上， DE∥BC. 如果BC=8 cm，AD:DB=1:3，则△ADE的周长等 于___6___cm，△ADE的面积等于______cm2.
感谢观看！
∵AD，A′D′分别是BC， B′C′边上的高线，
∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，
B′
DC A′
C′ D′
A B DC
A′
B′
C′
D′
解：（1）在△ABC和△ADE中， ∵∠CAB=∠EAD（公共角）， ∠B=∠ADE（已知）， ∴△ABC∽△ADE.
如图，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE=∠B， AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F. 若AD=3，AB=5，求： （2）△ADE与△ABC的周长之比. （3）△ADE与△ABC的面积之比.
浙教版数学九年级上册4.3《两个三角形相似的判定》教学设计2
浙教版数学九年级上册4.3《两个三角形相似的判定》教学设计2一. 教材分析浙教版数学九年级上册4.3《两个三角形相似的判定》是本册教材中的重要内容，是对相似三角形判定公式的深入讲解。
本节课的内容包括：相似三角形的定义、判定方法以及相似三角形的性质。
通过本节课的学习，学生能够掌握相似三角形的判定方法，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质，对三角形有了一定的了解。
但是，对于相似三角形的判定，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索相似三角形的判定方法，提高学生的动手操作能力和逻辑思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握相似三角形的定义和判定方法，能够运用相似三角形的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的动手操作能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形的定义和判定方法。
2.难点：相似三角形的判定方法的灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置问题情境，引导学生自主探索相似三角形的判定方法。
2.动手操作法：让学生通过实际操作，加深对相似三角形判定方法的理解。
3.合作学习法：引导学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示相似三角形的定义、判定方法和性质。
2.学习材料：准备相关的学习材料，如三角形模型、判定卡片等。
3.教学场地：准备一个宽敞的教学场地，以便学生进行实际操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾三角形的相关知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师利用课件呈现相似三角形的定义和判定方法，引导学生观察、思考，并解释判定方法的背后原理。
3.操练（10分钟）学生分组进行实际操作，运用判定方法判断给出的三角形是否相似。
2024年浙教版数学九年级上册4.5《相似三角形的性质及应用》教学设计
2024年浙教版数学九年级上册4.5《相似三角形的性质及应用》教学设计一. 教材分析《相似三角形的性质及应用》是浙教版数学九年级上册第4.5节的内容。
本节主要介绍相似三角形的性质，包括相似三角形的对应边成比例、对应角相等以及相似比的概念。
同时，通过实际例题让学生了解相似三角形在实际问题中的应用。
本节内容是学生学习几何知识的重要环节，为后续学习相似多边形、三角函数等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本知识，具备一定的逻辑思维能力。
但是，对于相似三角形的性质及应用，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要关注学生的认知水平，注重引导，激发学生的学习兴趣，提高学生的动手操作能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例、对应角相等。
2.学会运用相似三角形的性质解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.培养学生的观察能力、动手操作能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.相似三角形的性质及其证明。
2.相似三角形在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究相似三角形的性质。
2.利用多媒体辅助教学，展示相似三角形的动态变化，增强学生的直观感受。
3.运用实例分析法，让学生了解相似三角形在实际问题中的应用。
4.小组讨论，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.教学课件。
3.练习题及答案。
4.三角板、直尺等绘图工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示两组三角形，让学生观察并判断它们是否相似。
通过直观的展示，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍相似三角形的定义及其性质，包括对应边成比例、对应角相等。
通过示例和证明，让学生理解和掌握相似三角形的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组进行动手操作，利用三角板、直尺等工具，绘制一组相似三角形，并验证它们的性质。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
浙教版数学九年级上册《相似三角形的性质及其应用》教学设计
浙教版数学九年级上册《相似三角形的性质及其应用》教学设计一. 教材分析浙教版数学九年级上册《相似三角形的性质及其应用》是本学期的重点内容，主要让学生了解相似三角形的性质，并能运用相似三角形的性质解决一些实际问题。
本节课的内容对于学生来说比较抽象，需要通过实例让学生感知相似三角形的性质，从而达到理解并掌握知识的目的。
二. 学情分析九年级的学生已经有了一定的数学基础，对于图形和几何有一定的认识。
但是，对于相似三角形的性质及其应用，还需要通过实例和活动来引导学生理解和掌握。
同时，学生需要培养观察、思考、解决问题的能力，提高他们的逻辑思维和空间想象力。
三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，并掌握相似三角形的判定方法。
2.能够运用相似三角形的性质解决一些实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形的性质及其应用。
2.难点：相似三角形的判定方法，以及如何运用相似三角形的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、思考、解决问题。
2.运用多媒体辅助教学，通过动画和实例，让学生更直观地理解相似三角形的性质。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.相似三角形的相关实例和图片。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的实例，如建筑设计、地图绘制等，引导学生思考这些实例中是否存在相似三角形。
让学生认识到相似三角形在生活中的重要性。
2.呈现（10分钟）利用多媒体展示相似三角形的定义和性质，让学生直观地感受相似三角形的特点。
同时，通过动画演示相似三角形的判定方法，让学生理解和掌握。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组找一个实例，运用相似三角形的性质进行解答。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）出示一组练习题，让学生独立完成。
题目难度逐步提高，让学生在解决问题中巩固相似三角形的性质。
九年级数学上册 第4章 相似三角形 4.5 相似三角形的性质及其应用教案(新版)浙教版
4.5相似三角形的性质及其应用教材分析本节课是初中浙教版九年级上册“相似形〞这章的重点内容之一，是在学完相似三角形的定义及判定的根底上，进一步研究相似三角形的特性，以完成对相似三角形的全面研究。
它是全等三角形性质的拓展，也是研究相似多边形的根底，这些性质是解决有关实际问题的重要工具。
教学目标【知识与能力目标】经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质。
利用相似三角形的性质解决一些实际问题.【过程与方法目标】培养学生的探索精神和合作意识；通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.在探索过程中开展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质.【情感态度价值观目标】在探索过程中开展学生积极的情感、态度、价值观，表达解决问题策略的多样性.教学重难点【教学重点】相似三角形的性质定理.【教学难点】相似三角形性质定理的应用．课前准备教师准备：课件、多媒体；学生准备：课本，练习本，三角板；教学过程一、导入新课在前面我们学习了相似三角形的定义和判定条件，知道相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质.二、新课学习在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A /B /C /，CD 和C /D /分别是它们的立柱。
（1） 试写出△ABC 与△A /B /C /的对应边之间的关系，对应角之间的关系。
（2） △ACD 与△A /C /D /相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。
（3） 如果CD=1.5cm ，那么模型房的房梁立柱有多高？（4） 据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？ ［生］解：〔1〕B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=21 /A A ∠=∠/,B B ∠=∠///,B C A ACB ∠=∠〔2〕△ACD ∽△A ′C ′D ′∵////,B A D C AB CD ⊥⊥∴0///90,=∠=∠C D A ADC∵/A A ∠=∠∴△ACD ∽△A ′C ′D ′〔两个角分别相等的两个三角形相似〕 ∴//C A AC =//D A AD =//D C CD =21 〔3〕∵D C CD ''=21，CD=1.5cm ∴C /D /=3cm〔4〕相似三角形对应高的比等于相似比目的：通过学生熟悉的建筑模型房入手，激发学生学习兴趣，层层设问，引发学生思维层层递进，从相似三角形的最根本性质展开研究.使学生明确相似比与对应高的比的关系.效果：通过层层设问，引导学生剥开问题的外表看到了相似三角形的性质：对应高的比等于相似比.第二环节：类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比过渡语：刚刚我们利用相似的判定与根本性质得到了相似三角形中一种特殊线段的关系，即对应高的比等于相似比，相似三角形中除了高是特殊线段，还有哪些特殊线段？它们也具有特殊关系吗？下面让我们一起探究:内容：探究活动二：〔投影片〕如图：△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，AD 平分∠B AC ，A /D /平分∠B /A /C /；E 、E /分别为BC 、B /C /的中点。
浙教版九级上数学.相似三角形的性质及其应用同步导学练(含答案)2
4.5 相似三角形的性质及其应用（2）相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．1.两个相似三角形的一组对应边分别为5cm和3cm，若它们的面积之和为136cm2，则较大的三角形的面积是(D).A.36cm2B.85cm2C.96cm2D.100cm22.如图所示，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE=1∶2，则下列等式中，一定成立的是(D).（第2题）（第3题）（第4题）3.如图所示，在ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC=3∶1，连结AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为(B).A.3∶4B.9∶16C.9∶1D.3∶14.如图所示，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC 的面积为1，则△BCD的面积为(C).A.1B.2C.3D.45.如图所示，如果△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么S△DEF∶S△ABC的值为 2 ．（第5题）（第6题）（第7题）6.如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO=90°，OA 与反比例函数y=x k (x<0)的图象交于点D ，且OD=2AD ，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C.若S 四边形ABCD =10，则k 的值为 -16 ．7.如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CM 是∠BCD 的平分线，且CM ⊥AB ，点M 为垂足，AM=31AB.若四边形ABCD 的面积为715，则四边形AMCD 的面积是 1 . 8.已知两个相似三角形的一组对应边长分别是35cm 和14cm.（1）若它们的周长相差60cm ，求这两个三角形的周长．（2）若它们的面积相差588cm 2，求这两个三角形的面积．【答案】(1)较大的三角形的周长为100cm ，较小的三角形的周长为40cm.(2)较大的三角形的面积为700cm 2，较小的三角形的面积为112cm 2.9.如图所示，△ABC 是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），请在正方形网格上按下列要求画一个与△ABC 相似的格点三角形，并填空.（1）在图1中画△A 1B 1C 1，使得△A 1B 1C 1的周长是△ABC 的周长的2倍，则ABB A 11= 2 ． （2）在图2中画△A 2B 2C 2，使得△A 2B 2C 2的面积是△ABC 的面积的2倍，则AB B A 22= 2 ．（第9题）【答案】(1)图略 2(2)图略2 10.如图所示，在△ABC 中，P 是BC 边上任意一点（点P 与点B ，C 不重合），AFPE 的顶点F ，E 分别在AB ，AC 上.已知BC=2，S △ABC =1.设BP=x ，平行四边形AFPE 的面积为y.（1）求y 关于x 的函数表达式.（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x 取何值时，y 有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由.（第10题）【答案】(1)∵四边形AFPE 是平行四边形，∴PF ∥CA.∴△BFP ∽△BAC.∴.∵S△ABC =1，∴S △BFP =42x .同理S △PEC =,∴y=. (2)上述函数有最大值，最大值为21.理由如下：∵y=-22x +x=-21（x -1）2+21，-21＜0， ∴y 有最大值.又∵0<x<2,∴当x=1时，y 有最大值，最大值为21.11.如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，AE ，CD 相交于点O ，若S △DOE ∶S △COA =1∶9，则S ，则S △BDE 与S △CDE 的比是(B ).A.1∶3B.1∶2C.1∶4D.1∶9（第11题） （第12题） （第13题） （第14题）12.如图所示，D ，E ，F ，G 为△ABC 两边上的点，且DE ∥FG ∥BC ，若DE ，FG 将△ABC 的面积三等分，则下列结论正确的是(C ).13.如图所示，在ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE 于点G ，BG=42，则△EFC 的周长为(D ).A.11B.10C.9D.814.如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 边上一点，DE ⊥AB 于点E ，∠ADC=45°，若DE ∶AE=1∶5，BE=3，则△ABD 的面积为 13 ．15.如图所示，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 1211 . （第15题） （第16题）16.如图所示，M 是△ABC 内-点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4，9.则△ABC 的面积是 36 ．17.如图所示，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A ，B ，D 三点.过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连结ED.（1）求证：ED ∥AC.（2）若BD=2CD ，设△EBD 的面积为S1，△ADC 的面积为S2，且S 21-16S 2+4=0，求△ABC 的面积.（第17题）【答案】(1)∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD=∠DAC.∵∠E=∠BAD ，∴∠E=∠DAC. ∵BE ∥AD ，∴∠E=∠EDA.∴∠EDA=∠DAC.∴ED ∥AC.(2)∵BE ∥AD ，∴∠EBD=∠ADC.又∵∠E=∠DAC ，∴△EBD ∽△ADC ，且相似比k=DC BD =2.∴21S S =k 2=4，即S1=4S2.∵S12-16S 2+4=0，∴16S22-16S2+4=0，即(4S2-2)2=0.∴S 2=21. ∵=3，∴S △ABC =23. 18.如图1所示，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3．（1）如图2所示，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，则S 1，S 2，S 3之间有什么关系？（不必证明）（2）如图3所示，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，请你确定S 1，S 2，S 3之间的关系并加以证明．（3）若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，为使S 1，S 2，S 3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？请证明你的结论．（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．（第18题） 【答案】设直角三角形ABC 的三边BC ，CA ，AB 的长分别为a ，b ，c ，则c 2=a 2+b 2.(1)S 1=S 2+S 3.(2)S1=S2+S3.证明:∵S1=43c 2，S2=43a 2，S3=43b 2，∴S2+S3=43 (a 2+b 2)= 43c 2=S 1.∴S 1=S 2+S 3. (3)当所作的三个三角形相似时，S 1=S 2+S 3.证明：∵所作的三个三角形相似，∴, ∴=1.∴S 1=S 2+S 3.(4)分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个相似图形，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，则S 1=S 2+S 3.19.【镇江】点E ，F 分别在ABCD 的边BC ，AD 上，BE=DF ，点P 在边AB 上，AP ∶PB=1∶n （n ＞1），过点P 且平行于AD 的直线l 将△ABE 分成面积为S 1，S 2的两部分，将△CDF 分成面积为S 3，S 4的两部分（如图所示）.有下列四个等式：①S 1∶S 3=1∶n ；②S 1∶S 4=1∶（2n+1）；③（S 1+S 4）∶（S 2+S 3）=1∶n ；④（S 3-S 1）∶（S 2-S 4）=n ∶（n+1）.其中成立的是(B ).A.①②④B.②③C.②③④D.③④（第19题） （第20题）20.【杭州】如图所示，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D 在边AC 上，AD=5，DE ⊥BC 于点E ，连结AE ，则△ABE 的面积等于 78 .【解析】∵在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，∴BC=22AC AB =25，S △ABC =21AB ·AC=21×15×20=150.∵AD=5，∴CD=AC -AD=15.∵DE ⊥BC ，∴∠DEC=∠BAC=90°.又∵∠C=∠C ，∴△CDE ∽△CBA.∴AC CE =CB CD ，即20CE =2515，解得CE=12.∴BE=BC -CE=13.∵S △ABE ∶S △ABC =BE ∶BC=13∶25，∴S △ABE =2513×150=78.21.如图所示，在△ABC 中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC ≌△DEF ，将△DEF 与△ABC 重合在一起，△ABC 不动，△DEF 运动，并满足：点E 在边BC 上沿点B 到点C 方向运动，且DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于点M ．（1）求证：△ABE ∽△ECM ．（2）在△DEF 的运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．（3）当线段AM 最短时，求重叠部分的面积．（第21题）【答案】(1)∵AB=AC ，∴∠B=∠C.∵△ABC ≌△DEF ，∴∠AEF=∠B.∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE ，∴∠CEM=∠BAE.∴△ABE ∽△ECM.(2)能.∵∠AEF=∠B=∠C ，∠AME ＞∠C ，∴∠AME ＞∠AEF.∴AE ≠AM.①当AE=EM 时，则△ABE ≌△ECM ，∴CE=AB=5.∴BE=BC -EC=1.②当AM=EM 时，则∠MAE=∠MEA ，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM ，即∠CAB=∠CEA.∵∠C=∠C ，∴△CAE ∽△CBA.∴AC CE =CB AC .∴CE=CB AC 2=625.∴BE=611.∴BE=1或611. (3)设BE=x.∵△ABE ∽△ECM ，∴.∴CM=-51（x -3）2+59.∴AM=5-CM=51（x -3）2+516.∴当x=3时，AM 最短为516.此时BE=21BC ，∴E 为BC 的中点.∴AE ⊥BC.∴AE=22BE AB =4.EF ⊥AC.∴EM=AE 2-AM 2=512.∴S △AEM =21×516×512=2596.。
浙教版数学九年级上册_《相似三角形的性质及其应用(2)》精品教案
4．5相似三角形的性质及其应用(二)1．掌握“相似三角形的周长之比等于相似比”“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”和“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”的性质．2．能运用相似三角形的性质解决简单的几何问题．3．经历上述相似三角形的性质的探索过程，培养学生观察能力和综合运用知识的能力，体会探索的乐趣．重点：学习相似三角形的周长和面积的两个性质及对应高等线段具有的性质．难点：相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点．一、新课导入某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100 m2，周长为80 m的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30 m缩短成18 m．现在的问题是：被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？思考：你能够将上面生活中的问题转化为数学问题吗？二、新知学习看一看：如图，4×4正方形网格，△ABC与△A′B′C′有什么关系？为什么？(相似) 算一算：△ABC与△A′B′C′的相似比是多少？(2)△ABC与△A′B′C′的周长比是多少？(2)面积比是多少？(2)想一想：上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？结论：相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方．验一验：是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？巩固学习：让我们先回顾一下：已知，如图，△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k.求证：△ABC的周长△A′B′C′的周长＝k，△ABC的面积△A′B′C′的面积＝k2，【证明】∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，∴ABA′B′＝BCB′C′＝CAC′A′＝k，∴AB＝kA′B′，BC＝kB′C′，CA＝kC′A′，∴△ABC的周长△A′B′C′的周长＝AB＋BC＋CAA′B′＋B′C′＋C′A′＝kA′B′＋kB′C′＋kC′A′A′B′＋B′C′＋C′A′＝k（A′B′＋B′C′＋C′A′）A′B′＋B′C′＋C′A′＝k.如图，AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的高．∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′.∵AD，A′D′分别是BC，B′C′上的高，∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，∴△ABD∽△A′B′D′.∴ADA′D′＝ABA′B′＝k，∴△ABC的面积△A′B′C′的面积＝12BC·AD12B′C′·A′D′＝BCB′C′·ADA′D′＝k·k＝k2.归纳：相似三角形的性质共用：1．相似三角形对应角相等，对应边成比例．2．相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线的比等于相似比．3．相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方．三、新知应用【例1】已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为2∶1，又已知△ABC与△A′B′C′的面积之和为60 cm2，求△ABC与△A′B′C′的面积．【解】设△ABC的面积为x cm2，则△A′B′C′的面积为(60－x)cm2.∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为2∶1.∴x60－x＝(21)2，解得x＝48.∴△ABC的面积为48 cm2，△A′B′C′的面积为12cm2.说明：例1的目的是相似三角形性质的直接应用，需注意面积与周长跟相似比关系的区别．【例2】如图，在△ABC中，四边形DEFM是正方形，若S△ADE ＝1，S正方形DEFM＝4，求S△ABC.【分析】由DE∥BC，发现△ADE∽△ABC.又已知S△ADE，马上就联想到能否利用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”去解，故如何求得△ADE与△ABC的相似比成为解本题的关键．因为正方形DEFM的面积已知，从而可求得边长DE，而S△ADE ＝12DE·AP，所以AP可求得，而AQ也可求得，利用相似三角形对应高之比等于相似比，从而问题得以解决．【解】作AQ⊥BC于点Q，交DE于点P，由正方形DEFM得DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC＝(APAQ)2.∵S正方形DEFM＝4，∴DE＝PQ＝2.又∵S△ADE ＝12DE·AP.∴AP＝2S△ADEDE＝2×12＝1.∴AQ＝AP＋PQ＝1＋2＝3，∴S△ADES△ABC＝(13)2＝19，∴S△ABC ＝9S△ADE＝9×1＝9.说明：例2在运用相似三角形的性质时，相似比的确定是解题的关键．四、巩固新知尝试完成下面各题．1．两个相似三角形的面积之比为1∶4，那么它们的对应角平分线之比为( C ) A．1∶4 B．4∶1C．1∶2 D．1∶162．如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则S△DOE ∶S△COB＝( A )A．1∶4 B．2∶3C．1∶3 D．1∶2,(第2题图)) ,(第3题图))3．如图，在△ABC中，DE∥BC，ADDB＝12，则下列结论中正确的是( C )A.AE AC＝12B.DE BC＝12C.△ADE的周长△ABC的周长＝13D.△ADE的面积△ABC的面积＝13.4．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为__1∶4__．5．△ABC∽△A′B′C′，ABA′B′＝12，AB边上的中线CD＝4 cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64 cm2，求：(1)A′B′边上的中线C′D′的长．(2)△A′B′C′的周长．(3)△ABC的面积．解：(1)∵△ABC∽△A′B′C′，ABA′B′＝12，AB边上的中线CD＝4 cm，∴CDC′D′＝12，∴C′D′＝4 cm×2＝8 cm，∴A′B′边上的中线C′D′的长为8 cm.(2)∵△ABC∽△A′B′C′，ABA′B′＝12，△ABC的周长为20 cm，C△ABCC△A′B′C′＝12，∴C△A′B′C′＝20 cm×2＝40 cm，∴△A′B′C′的周长为40 cm.(3)∵△ABC∽△A′B′C′，ABA′B′＝12，△A′B′C′的面积是64 cm2，S△ABCS△A′B′C′＝(12)2＝14，∴S△ABC＝64 cm2÷4＝16 cm2，∴△ABC的面积是16 cm2.五、课堂小结相似三角形的性质：1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．2．相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方．3．相似三角形的对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比．六、课后作业请完成本资料对应的课后作业部分内容．。
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4.5 相似三角形的性质及其应用（2）导学案
预习新知
1.如图，已知△ABC∽△DEF，其中∠A=∠D=90°，∠B=∠E=30°，AC=1，DF=2，
（1）求△ABC与△DEF的相似比；
（2）求△ABC与△DEF的周长之
比；
（3）求△ABC与△DEF的面积之
比.
2.某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？
例3: 如图,是某市部分街道图，比例尺为1：10 000；请估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积。
我求助：预习后，你或许有些疑问，请写在下面的空白处：
梳理知识点
个性反思：通过本节课的学习，你一定有很多感想和收获，请写在下面的空白处：
达标练习
1.两个相似三角形的面积之比是1：4，则它们的相似比是_________，周长之比是______.
2.两个相似三角形对应高的长分别为8和6，则它们的面积比是（ ）
A ．4：3 B.16：9 C.2：3 D. 3：2
3.用6倍的放大镜照一个面积为3的三角形，放大后的三角形面积是_______.
4.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的延长
线上一点，AB ：AE =2：5，若S △DFC =12cm 2,则
S △EFB =_______ cm 2
知识链接： 相似三角形对应边上的高之比等于 ；对应边上的中线之比等于 ；
5.如图，已知△ABC ∽△A ’B ’C ’，相似比为k ，AD 、A ’D ’分别为△ABC 、△A ’B ’C ’的角平分线，试证明''
AD A D =k.
6.如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，23AE EC ，S △ABC =25，求S 四边形BFED .
挑战自我
7.如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，且AD ：DB =4：3，则DE ：BC =__________，S △AED ：S 四边形DECB =__________.
8.如图，在平行四边形ABCD 中，AE ：EB =1：2.
（1）求△AEF 与△CDF 的周长之比；
（2）如果S △AEF =6cm 2,求S △CDF .
9.如图，在R t △ABC 中，有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形，则a ，b ，c 满足怎样的关系式？请写出来，并说明理由.。