第4章 分子对称性
结构化学第四章分子的对称性习题及答案
一、填空题
1.群的表示可分为可约表示和不可约表示。
2.判断分子有无旋光性的标准是是否具有反轴。
3. 分子有无偶极矩与分子对称性有密切关系，只有属于C n和C nv这两类点群的分子才具有偶极矩，而其它点群的分子偶极矩为0。
二、选择题
1. CO2分子没有偶极矩，表明该分子是【D 】
A. 以共价键结合的
B. 以离子键结合的
C. V形的
D. 线形的，并且有对称中心
2. 根据分子的对称性，可知CCl4分子的偶极矩等于【A 】
A. 0
B. 1.03
C. 1.85
D. 1.67
3. 组成点群的群元素是什么【A 】
A. 对称操作
B. 对称元素
C. 对称中心
D. 对称面
4. CH4属于下列哪类分子点群【A 】
A. T d
B. D h
C. C3v
D. C s
5. H2O属于下列哪类分子点群【 A 】
A. C2v
B. C3v
C. C2h
D. O h
三、回答问题
1. 找出H2O分子和NH3分子的对称元素和对称操作及其所属点群，并建立其对称操作的乘积表。
课本第125页：表4.2.1和表4.2.2
课本第142页：表4.6.3。
914708-结构化学-第四章
(x‘, y’, z‘) 的变换, 可用下列矩阵方程表达:
x' a b c x
y'
d
e
f
y
z' g h i z
图形是几何形式 矩阵是代数形式
x ' ax by cz
y
'
dx
ey
fz
z ' gx hy iz
8
恒等元素 E 和恒等操作 Ê
此操作为不动动作，也称主操作或恒等操作。任何分 子都存在恒等元素。恒等操作对向量（x, y, z）不产生任何 影响。对应单位矩阵。
Cˆ64 Cˆ32
11
旋转操作是实动作，可以真实操作实现。 若将 z 轴选为旋转轴，旋转操作后新旧坐标间的关系为:
y
(x', y')
x'
x cos sin 0 x
α
(x, y)
y'
Cˆ
(
)
y
sin
z'
z 0
cos
0
0
y
1 z
x
x ' x cos y sin
3.存在一恒等元素 若AG, E G,则EA AE A E为恒等元素
4.每个存在逆元素 若AG,则必存在B G,且AB BA E B为A的逆元素，记作A1 B
37
4.2.2 群的乘法表
以NH3分子为例
c
b
y
x
a
1. 写出所有对称操作：表头，表列
C3v E C31 C32 a b c
一个Cn轴包含n个旋转操作 ：
Cˆn
,
Cˆn2
,
Cˆn3
,
结构化学基础-4分子的对称性
S3 = h + C 3
S 4：
ˆ1 ˆ 1 ˆ 1 S 4 hC4
ˆ2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ1 S 4 h C4 C2 ˆ4 ˆ 4 ˆ 4 ˆ S 4 h C4 E
ˆ3 ˆ 3 ˆ 3 ˆ ˆ 3 S 4 h C4 h C4
S S 5：ˆ
S 4 的操作中既没有h，也没有C4，是真正的映轴
ˆ1 C4
4 3
iˆ
4 3 3 4 2 1
iˆ
2 1
ˆ1 C4
对称元素的独立性
• 分子中的某一对称元素，不依赖于分子内 的其它元素或元素的结合而独立存在。
不同轴次的I所包含的操作
I 1：
ˆ ˆ ˆ1 ˆ I11 i 1C1 i 1
ˆ ˆ1 ˆ I 2 i 1C 2 h
ˆ ˆ ˆ ˆ I12 i 2C12 E ˆ2 ˆ ˆ 2 ˆ I 2 i 2C 2 E
I 6 C3 h
由此可知：对于反轴In有 Cn + i In ＝ 2n个操作 n为奇数
Cn/2 + h n个操作 n为偶数但不是4的倍数
In n个操作 n为4的倍数(同时有Cn/2与
之重叠)
旋转反映操作和映轴
旋转反映操作：绕轴转360/n，接着按垂直于轴的镜面 进行反映
ˆ ˆ ˆ S C n h h C n 旋转轴Cn和垂直于Cn镜面h的组合
绕轴转360n接着按垂直于轴的镜面进行反映的组合不同轴次的s所包含的操作n个操作n为偶数但不是4的倍数2n个操作n为奇数n个操作n为4的倍数2nn为奇数n为4的倍数对称操作对称元素旋转第一类对称操作实操作旋转轴第一类对称元反演第二类对称操作虚操作对称中心第二类对称元反映镜面旋转反演在一定的坐标系下对物体进行对称操作使得其对应的坐标发生改变对这种坐标的变化关系可以使用矩阵来描述
分子点群
I 6 S3 C3
S 6 I 3 C3 i
负号代表逆操作，即沿原来的操作退回去的操作。
习题P216:1,3,4,6
4.2. 群的基本概念
1. 群：
按一定的运算规则，相互联系的一些元素的集合。
其中的元可以是操作、矩阵、算符或数字等。
将分子按其对称性分为点群——分子点群——分子对称元素的组合
分子为有限图形，其质心对所有对称元素必须为不变的, 分子所有对称元素必须至少通过一点，故称分子点群
分子点群的分类：5 类，16 个群
4.3. 分子点群
1. 无轴群——无Cn轴或Sn轴的群，如 C1，Ci，Cs群
ˆ 1) C1群：元素 E；操作 E
O Cl Cl
H
H
NH3
H
H
H C Cl C
H
O Xe
F F
F F
F F
Cl
F F
v
O
4.3. 分子点群
3) Cnh群 产生：Cn + h
元素：Cn群＋h (Cn,h)(Sn)(n为even i)
ˆ ˆk 操作： E, Cn (k
阶数：2n
ˆ ˆ ˆl 1,n 1), h , hCn (l 1,n 1) ˆ (n 1)个Sn
4.1. 对称操作和对称元素
2 反映操作和对称面,镜面
3O
ˆ
2H
3O
数学表示：矩阵表示
1H
2H
1H
x x ˆ ( xz) y y z z
z
1 0 0 ˆ ( xz) 0 1 0 0 0 1
第4章分子对称性和点群
物理化学 I
第四章 分子对称性和点群
10. I, Ih
Ih — 6C5 , 10C3, i ; g =120
C60
2016/8/10 复旦大学化学系
C180
57
物理化学 I Th, T, O, I
第四章 分子对称性和点群
Th
h =24
2016/8/10
T
h =12
复旦大学化学系
O
h =24
58
C
O
2016/8/10
复旦大学化学系
52
物理化学 I
第四章 分子对称性和点群
8. T, Th, Td
Td — 4C3 , 3C2, 6d ;
g =24
H H C H H
2016/8/10 复旦大学化学系 53
物理化学 I
第四章 分子对称性和点群
C3
Cl
C3
Cl Cl
C3
Cl
C3
CCl4
C10H16 (adamantance)
47
物理化学 I
第四章 分子对称性和点群
7. Dnd
d Cn n d
Dn + d d C2 S2n
g=4n
2016/8/10
复旦大学化学系
48
物理化学 I
第四章 分子对称性和点群
D2d (E, 2S4, C2, 2C2’, 2d)
C2'
H C H
2016/8/10
C2'
C
F
C1
B r I Cl
CFClBrI
2016/8/10
复旦大学化学系
27
物理化学 I
第四章 分子对称性和点群
结构化学 第四章习题(周公度)
第四章分子的对称性1、HCN和CS2都是线性分子。
写出该分子的对称元素解：HCN分子构型为线性不对称构型，具有的对称元素有：C∞，nσV； CS2分子为线性对称性分子构型，具有对称元素有：C∞，nC2, nσV ,σh 2、写出H3CCl分子的对称元素解：H3CCl 的对称元素有：C3，3σV3、写出三重映轴S3和三重反轴I3的全部对称操作解：S31=C3σ; S32=C32 ; S33=σ; S34= C3 ; S35 = C32σI31= C3i ; I32=C32 ; I33= i; I34= C3 ; I35 = C32i4、写出四重映轴S4和四重反轴I4的全部对称操作解：S41=C4σ; S42=C2 ; S43=C43σ; S44= EI41= C4i ; I42=C2 ; I43=C43 i; I44= E5、写出σxz和通过原点并与x轴重合的C2轴的对称操作C21的表示矩阵解：σxz和C2轴所在位置如图所示(基函数为坐标)σxz(x，y，z)’=(x，-y，z)σxz的变换矩阵为C21(x，y，z)’=(x，-y，-z)C21的变换矩阵为6、用对称操作的表示矩阵证明(1) C2(z) σxy = i(2) C2(x)C2(y) =C2(z)(3) σyzσxz=C2(z)解：C2(x)，C2(y)，C2(z)，σxy，σyz，σxz，i对称操作的变换矩阵分别为，，，，，(1) C2(z) σxy = i=(2) C2(x)C2(y) =C2(z)=(3) σyzσxz=C2(z)=7、写出ClCH=CHCl(反式)分子的全部对称操作及其乘法表解：反式1,2-二氯乙烯的结构为：具有的对称元素为C2, I ; σh，σh即为分子平面，i位于C-C键中心C2与σh垂直。
分子为C2h群8、写出下列分子所隶属的点群：HCN，SO3，氯苯(C6H5)Cl，苯(C6H5)，萘(C10H8)解HCN(属于C∞V)，SO3(D3h)，氯苯(C6H5)Cl(C2v)，苯(C6H5)(D6h)，萘(C10H8)(D2h)9、判断下列结论是否正确，说明理由(1) 凡线性分子一定有C∞轴(2) 甲烷分子有对称中心(3) 分子中最高轴次(n)与点群记号中的n相同(4) 分子本身有镜面，它的镜像和它本身全同解 (1) 正确线性分子的分子轴为一个C∞轴(2) 错甲烷分子没有对称中心(3) 错在只含一根主旋转轴的分子点群记号中n与主轴次相同，而在T，I，O类群中不相同(4) 正确分子含镜面，镜面前后部分成镜像关系，整个分子与它的镜像等同。
结构化学第四章分子对称性精讲
共同对称元素：
6C5，10C3，15C2，等
对称操作：
E
12C5
i
12S10
12C52
20C3 15C2
12S103
20S6 15σ h=120
C60
四面体群Td
八面体群Oh
十二面体群 Id
11、线形分子
共同对称元素： C ，v 对于HCN，无对称中心，对称点群为 Cv 若有对称中心，如CO2，对称点群为Dh
ˆ n 1 , C ˆ (1) , C ˆ (1) , ,C n 2 2
ˆ (1) ,C 2
群阶：2n
D2 群
主轴C2垂直于荧光屏
6、Dnh点群 Cn+ nC2(Cn) + h Dnh
对称元素： Cn+ nC2(Cn) + h Dnh
n=偶数：Cn, nC2(Cn), h, In, nv, i n=奇数：Cn, nC2(Cn), h, I2n, nv
药物分子的不对称合成
对称性破缺在生命科学中产生了极为深远的影响，因为构成生命 的重要物质如蛋白质和核酸等都是由手性分子缩合而成，生物体中 进行的化学反应也受到这些分子构型的影响. 药物分子若有手性中心 ，则对映异构体对人体可能会有完全不同的作用，许多药物的有效 成份只有左旋异构体有活性, 右旋异构体无效甚至有毒副作用。例如 ，早期用于减轻妇女妊娠反应的药物酞胺哌啶酮因未能将R构型对映 体分离出去而导致许多胎儿畸形. 类似的情况还有很多，仅举几例, 它们的有效对映体和另一对映体的构型与作用如下：
手性有机化合物的合成方法主要有4种: （1）旋光拆分,（2）用 光学活性化合物作为合成起始物,（3）使用手性辅助剂,（4）使用手 性催化剂. 一个好的手性催化剂分子可产生10万个手性产物. 21世纪的第一个诺贝尔化学奖授予威廉· S· 诺尔斯、野依良治、 K· 巴里· 夏普莱斯, 就是表彰他们在手性催化反应方面的贡献.
北师大结构化学第4章分子对称性和群论
北师大结构化学第4章分子对称性和群论第4章分子对称性和群论是北师大结构化学课程的重要内容。
本章主要介绍了分子对称性和群论的基本概念，分子对称元素的分类，分子对称性的测定方法，以及如何利用群论分析分子的物理性质等内容。
首先，我们来介绍一下分子对称性的概念。
分子对称性是指分子在空间中具有对称性的特征。
对称性可以分为轴对称性和面对称性两种。
轴对称性是指分子围绕一个轴线旋转180°后能够重合，而面对称性是指分子能够分成两部分，在一个平面上旋转180°后能够重合。
根据分子对称元素的类型，分子可以分为三类：单反射面分子，具有一个反射面；多反射面分子，具有两个或更多的反射面；旋转反射面分子，具有一个旋转反射面。
这些分子对称元素的存在与否决定了分子的对称性。
测定分子对称性的方法有很多种，其中比较常用的是Infrared (IR)光谱法和微波光谱法。
IR光谱法是利用分子中特定的振动频率和对称性之间的关系来判断分子的对称性；微波光谱法则是利用分子的自由度和对称性之间的关系来判断分子的对称性。
利用群论分析分子的物理性质是分子对称性研究的一个重要方面。
群论是数学的一个分支，用来研究对称性和变换的关系。
在化学领域，群论应用广泛，可以用来描述分子中原子的位置和分子的振动等性质。
通过分子的对称群分析，可以确定分子的光谱活性、电子转移、化学反应的速率等一系列物理性质。
在分子对称性和群论的学习中，还需要了解一些基本的概念，如对称操作、置换、等价、置换群、分类、标识号等。
这些概念在群论分析中起到了重要的作用，可以帮助我们理解分子的对称性和群论的原理。
总的来说，第4章分子对称性和群论是北师大结构化学课程中的一章重要内容。
通过学习这一章，我们可以了解到分子对称性的基本概念和分类，以及如何利用群论分析分子的物理性质。
这对我们理解分子结构和性质，以及在化学研究中的应用具有重要意义。
分子的对称性
(1)封闭性：指A和B若为同一群G中的对称操作，则 AB=C C也是群G中的一个对称操作。 (2)主操作：在每个群G中必有一个主操作E，它与 群中任何一个操作相乘给出 AE=EA=A (3)逆操作：群G中的每一个操作A均存在逆操作A-1， A-1也是该群中的一个操作。逆操作是按原操作途径 退回去的操作。 AA-1=A-1A=E (4)结合律：对称操作的乘法符合下面的结合律(括 号中的2个对称操作表示先进行相乘)。 A(BC)=(AB)C
现以二氯乙烯分子为例，说明C2h点群。 H CI
CI
Ⅰ.C2旋转轴
H
Ⅱ.σh对称面 Ⅲ.C2h点群
该分子是一个平面分子。C=C键中点存在垂直于 分子平面的C2旋转轴(Ⅰ)，分子所在平面即为水平对 称面 σh(Ⅱ)，C=C键中点还是分子的对称中心i。所 以C2h点群(Ⅲ)的对称操作有四个：{E，C2，σh，i}， 若分子中有偶次旋转轴及垂直于该轴的水平平面， 就会产生一个对称中心。反式丁二烯等均属 C2h点群。
旋转操作是将分子绕通过其中心的轴旋转一 定的角度使分子复原的操作，旋转所依据的 对称元素为旋转轴。n次旋转轴的记号为C n . 使物体复原的最小旋转角（ 0度除外）称为 基转角（α）称为基转角 α，对C n轴的基转 角α= 3600/n。旋转角度按逆时针方向计算。 和C n轴相应的基本旋转操作为Cn1，它 为绕轴转 3600/n的操作。分子中若有多个旋 转轴，轴次最高的轴一般叫主轴。
C2v
图IV. 船式环已烷
图V. N2H4
C2v
NH3分子(图VII)是C3v点群典型例子。C3轴穿过 N原子和三角锥的底心，三个垂面各包括一个N-H 键。其它三角锥型分子PCl3、PF3、PSCl3、CH3Cl、 CHCl3等，均属C3v点群。P4S3(图Ⅷ)亦属C3v点群。
分子的对称性
x ' 1 0 0 x ' y y 0 1 0 z ' 0 0 1 z
n
连续进行两次反映操作等于主操作，
I n i Cn Cn i
n I i Cn
n n
n
E
n 为偶数
i n 为奇数
可以证明：只有 I4 是独立的对称元素（严格讲应是 I4n ）。其 它的 In 都可以用对称元素来代替。
上一内容 下一内容 结束放映
I3
包括 6 个对称操作
I I
3 3
上一内容
下一内容
结束放映
例子
C H
E C2 v' v''
对称元素
Cl
E C2
E C2(x) C2(y) C2(z) h v v’ i
h
i
上一内容
下一内容
结束放映
4.1.4 反轴(In )和旋转反演操作( Î ) n
这一个复合对称操作：先绕轴旋转3600/n(并未进入等价 图形)，接着按对称中心(在轴上)进行反演(图形才进入等价 图形)。对应的操作为:
// Cn ： 通过主轴且平分垂直主轴的 C2 轴，记为 d
（diagonal 对角线）
上一内容 下一内容
结束放映
镜面的分类
v 面：包含主轴 (vertical)
对称面
h 面：垂直于主轴 (horizontal) d 面： 包含主轴且平分 C2 轴夹角
(digonal)
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ˆ ˆ I i 1
ˆ ˆh I 2
ˆ ˆ I i
3 3 3
3
3
转900
ˆ C 4
(A)
iˆ
CH4没有C4，但存在I4
I3
H
H
H
H
H
H
ˆ2 ; I ˆ1 ; I ˆ2 ; I ˆ1 ; I ˆ1 ˆ2 C ˆ3 ˆ4 C ˆ5 ˆ6 E ˆ ˆ ˆ ˆ I C ; I C 6 3 6 3 6 6 3 6 3 6
4.2.2 群的乘法表
例：H2O的对称元素、对称操作和乘法表 对称元素： E，C2， v， v’
ˆ ˆ, C 对称操作： E
v’
2
ˆv , ˆv ' ,
C2v
v
C2
ˆ ˆ C E 2 ˆ ˆ C ˆ E E 2 ˆ ˆ C ˆ E C 2 2 ˆv ˆv ' ˆv ˆv ' ˆv ˆv '
帮助正确了解分子的性质.分
子对称性是联系分子结构和分 子性质的重要桥梁之一。 指导化学合成工作.
4.1对称元素和对称操作
对称操作：不改变图形中任 何两点的距离而能使图形复 原的操作叫做对称操作；
复原就是经过操作后，物体中每 一点都放在周围环境与原先相似 的相当点上，无法区别是操作前 的物体还是操作后的物体。
群的条件：
ˆ G, B ˆB ˆ G; ˆ G, 则A ˆ C (1) 封闭性：若A ˆ (B ˆ) (A ˆB ˆ; ˆC ˆ )C (2) 结合率：A ˆE ˆA ˆ; ˆE ˆA (3) 主操作：A ˆA ˆ A ˆA ˆE ˆ (4) 逆操作：A
群的阶次：群中元的数目（有限群，无限群）
分子中若存在一点,将每个原子通过这一 点引连线并延长到反方向等距离处而使 分子复原,这一点就是对称中心i,这种操 作就是反演.
Cl H H
二氯乙烷 C2H4Cl2
H Cl H
表示矩阵
z
(-x,-y,-z)
x x ˆ i y y z z
C2 v1
H
O H
v2
v — 包 含 主 轴 的 对 称 面 h — 垂 直 主 轴 的 对 称 面 — 包 含 主 轴 且 平 分 主 轴 两 的个 二 重 轴 之 间 的 夹 角 d
ˆ ˆ ˆ ˆ E
2
C2
σd
E (n为偶数） n （n为奇数） ˆ 称为主操作，即恒等操作，不动操作。 E
D2 群
主轴C2垂直于荧光屏
D3：这种分子比较少见，其对称元素也不易看出.
[Co(NH2CH2CH2NH2)3]3+是一实例.
何其相似！
C2
唯一的C3旋转轴从xyz轴连成的 正三角形中心穿过, 通向Co; 三条C2旋转轴分别从每个N–N 键中心穿过通向Co. z C2 x y
C2
Dnh : 在Dn 基础上，还有垂直于主轴的镜面σh .
4.1.4 反轴和旋转反演操作
1.
反轴In :绕轴旋转360o/n, 接着按轴上的中心点 进行反演，是Cn和 i 相继进行的操作。
In反轴
ˆ ˆ i ˆ I C n n
1 1 ˆ ˆ ˆ I3 i C3 2 2 ˆ ˆ I C 4 1 ˆ ˆ I3 C3 5 2 ˆ ˆ ˆ I 3 i C3 6 ˆ ˆ I E
n为奇，2n个操作，Cn＋i 4倍数，In（Cn/2）
n为偶，
非4倍数，Cn/2＋ h
4.1.5 映轴和旋转反映操作
映轴Sn绕轴转360o/n，接着按垂直于轴的平
面进行反映。
例：CH4
Sn是非真旋转操作，为非真轴
ˆ ˆ ˆ S C 复合对称操作，复合对称元素 n h n S1 h ; S 2 i ; S3 C3 h ; S 4独立，包含C2 ; S 5 C5 h ; S 6 C 3 i
R2 R1
R2
R1
C2 群
C3群
C3通过分子中心且垂直于荧光屏
Cnh群 :
除有一条n次旋转轴Cn外，还有与之垂直的一个镜面σh .
C2h群: 反式二氯乙烯
C2h群: N2F2
C2垂直于荧光屏, σh 在荧光屏上
C3h 群
R
R
C3垂直于荧光屏, σh 在荧光屏上
R
Cnv群：
除有一条n次旋转轴Cn外，还有与之相包含的n个镜面σv .
PtCl4：其对称面如上图所示。
z
(x, -y, z)
(x, y, z) y x
x x ˆ ( xz) y y z z
1 0 0 ˆ ( xz) 0 1 0 0 0 1
H1
H2
H2
H1
H1
H2
等价构型
对称操作据以进行的几何要素叫做对称元素.
点
线
面
4.1.1 旋转轴和旋转操作
分子中若存在一条轴线，绕此轴旋转一定角度 能使分子复原，就称此轴为旋转轴, 符号为Cn . 旋转可以实际进行，为真操作；相应地，旋转 轴也称为真轴.
H2O2中的C2
H O H O
N
NH3
基转角：能使物体复原的最小旋转角（ 00 除外） = 360o/n 主轴 NC C1 = E Ni NC C2, C3 ,C4, C5 , · · · · , C∞
(x,y,z)
1 0 0 ˆ C2 0 1 0 0 0 1
2k cos n 2k k ˆ sin C n n 0 2k sin n 2k cos n 0 0 0 1
4.1.2 对称中心和反演
ˆv ˆv '
ˆv ˆv ' ˆv ' ˆv ˆ ˆ C E 2 ˆ ˆ C E 2
例：NH3 ,对称元素，C3， va， vb , vc
a b c ˆ 1, C ˆ 2 , ˆ,C ˆ ˆ ˆ , , 对称操作 E 3 3 v v v
C3 vb va
ˆ C3v E ˆ E ˆ E
第4章 分子的对称性
自然界中普遍存在着对称性
对称：一个物体包含若干等同部分， 对应部分相等。
动物 植物 建筑
雕刻
绘画
生物界的对称性
建筑艺术中的对称性
微观分子和宏观物体一样具有对称性
H2O
NH3
CH4
C6H6
对称性概念和原理对化学十分重要.
简明地表达分子的构型. 简化分子构型的测定工作.
H2O中的C2和两个σv
C2v群：臭氧
C2v 群：菲
C2与两个σv 的取向参见H2O分子
C3v ：NF3
C3v ：CHCl3
C4v群 ：BrF5
C5v群：Ti(C5H5)
C∞v群：N2O
双面群：
包括Dn、Dnh、Dnd . 这类点群的共同特点是旋转轴除了 主轴Cn外，还有与之垂直的n条C2副轴. Dn 群: 除主轴Cn外，还有与之垂直的n条C2副轴( 但没有镜面).
3 c v a v b v
a ˆv
a ˆv c ˆv b ˆv
b ˆv
b ˆv a ˆv c ˆv
c ˆv
c ˆv b ˆv a ˆv
ˆ E ˆ2 C 3 ˆ1 C 3
ˆ1 C 3 ˆ E ˆ2 C 3
ˆ2 C 3 ˆ1 C 3 ˆ E
每个元素在同一行（同一列）中只出现一次。两实操作和 两虚操作的乘积都是实操作；一实一虚的乘积为虚操作。
俯视图
D5d : 交错型二茂铁
立方群：包括Td 、Th 、Oh 、Ih 等.
这类点群的共同特点是有多条高次(大于二次)旋转轴相交.
Td 群：属于该群的分子，对称性与正四面体完全相同。
CH4
P4 （白磷）
Td 群是24阶群： E ，8C3 ，3C2 ，6S4 ，6σd . 从正四面体上可以清楚地看出Td 群的对称性. 也可
1 0 0 ˆ 0 1 0 i 0 0 1
ˆ, ˆ 2n E i ˆ 2 n1 i ˆ i
y
x (x,y,z)
E (n为偶数) n i i (n为奇数)
4.1.3 镜面和反映操作
分子中若存在一个平面，将分子两半部互相反映而能使分 子复原，则该平面就是镜面σ，这种操作就是反映.
ˆ1 C 3 ˆ2 C
3
v
c
ˆ va ˆ vb ˆ vc
属6阶群
ˆ1 C 3 ˆ2 C 3 a ˆv b ˆv c ˆv
ˆ1 C 3 ˆ1 C 3 ˆ2 C 3 ˆ E
b ˆv c ˆv a ˆv
ˆ2 C 3 ˆ2 C 3 ˆ E ˆ1 C
ˆ ˆ ˆ
CH4中的映轴S4与旋转反映操作
注意: C4和与之垂直的σ都不独立存在
环辛四烯衍生物中的 S4
分子中心是S4的图形符号
对称操作与对称元素
旋转是真操作, 其它对称操作为虚操作.
4.2 对称操作群
对称元素的组合
-4.2.1- 群的定义
1. 群的定义：按照一定规律相互联系着的一些
元（操作、数字、矩阵或算符）的集合G.
两个对称元素组合必产生第三个对称元素
(1) 两个旋转轴的组合
交角为2/2n的两个C2轴相结合，在其交点上必定出 现一个垂直于这两个C2轴的Cｎ轴． 2 /2n = 90o n=2 3 2 1
由旋转轴Cn与垂直于它的C2轴组合，再垂直Cn的平面 内必有n 个C2轴，相邻2个轴间的夹角为2 /2n.
N H H H