数学经典回眸

一、集合与简易逻辑考点1. 研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素。

如：{}|lg x y x =与{}|lg y y x =及{}(,)|lg x y y x =代表元素是函数关系中自变量的取值？还是函数值？还是曲线上的点？练习1.2{}{(,)23}____________x y x x y y x =⋂=+= Ф练习2.已知函数()f x 的定义域是[0,1]，则函数12()[log (3)]F x f x =-的定义域为 5[2,]2考点2.∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，解题时最易忽略。

①分析A B φ⋂=时，你是否注意到“极端”情况：A=Ф或B=Ф；②求集合子集时是否忘记Ф。

练习3.已知2{10}{0},x x ax x x ++<⊆>则实数a 的取值范围是____________ （ 2a ≤ ）练习4.集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B = ，则实数a ＝ （10,1,2a =） 考点3.集合有关结论： ①含n 个元素的集合的子集个数为2n ，真子集个数为2n－1；②;A B A B A A B B ⊆⇔=⇔= U U A B C A C B ⊆⇔⊇③()()()()card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂④集合运算对偶律：()U U U C A B C A C B = ，()U U U C A B C A C B =考点4. 你清楚“≥”的含义吗？练习6.不等式“2≥1”、 “1≥1”正确吗？ （ 正确 ）练习7.不等式2-2)(3)0x x +>（的解集是{3}x x ≥-对吗? (3,2)(2,)-⋃+∞ 二、函数考点5.从集合A 到B 的映射:f A B →:只要求A 中的每一个元素在B 中有唯一的象，B 中元素在A 中不一定有原象，且A 中不同元素在B 中可以有相同的象。

象的集（值域）C B ⊆ 练习8.直线x=a 与函数y=f(x)最多有 个交点。

（ 1 ）考点6.函数的定义域：①分母不为0； ②零次幂的底数不为零； ③偶次根式被开方数非负；④指数、对数底数大于零且不等于1 ⑤对数真数大于0； ⑥正切函数的定义域为,,2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭； ⑦解决函数问题时注意优先分析定义域：如判断函数单调性、奇偶性、对称性等；⑧求函数的解析式和函数的反函数时要标注该函数的定义域练习9.函数21(1)y x x =+≤-的反函数是___________ 2)y x =≥考点7.求函数值域的常用方法：观察法、配方法、换元法、判别式法、利用反函数、利用函数的有界性、构造斜率、利用函数的单调性、利用导数等考点8.反函数常用的结论：①1()();f a b f b a -=⇔=求f -1(m)⇔令f(x)=m ，求x②1(2)f a -+是1()y f x -=在x=2+a 处的函数值；或为1()y f x a -=+在x=2处的函数值。

③y=f(x+a)的反函数是1()y f x a -=-，而不一定是1()y f x a -=+；④原函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域；⑤y=f(x)与1()y f x -=在对应各自定义域的区间上单调性相同。

⑥奇函数的反函数也是奇函数； ⑦周期函数不存在反函数；⑧设f(x)的定义域为A ，值域为B ，则有1(()),f f x x x B -=∈, 1(()),f f x x x A -=∈练习10.设1()42x x f x +=-,则1(0)f -=_____ ( 1 ) 练习11.设1()42x x f x +=+，不等式1()0f x ->的解集为________ {3}x x >练习12.y=f(x)过（4，1），则1(2)y f x -=+必过____________ (-1,4)考点9.函数的单调性①用定义证明函数的单调性的规范格式是：任取两值12,x x ；作差12()()f x f x -；判正负。

②导数与函数单调性：若()0()f x f x '>⇒单调增；若()0()f x f x '<⇒单调减。

若f(x)是增函数，则()0f x '≥；若f(x)是减函数，则()0f x '≤练习13.3()f x x ax =+在[0，1]上是减函数，在[1,2]上是增函数，则a=______ （ -3 ） 考点10.不等式恒成立、有解问题①a ≥f(x) 恒成立⇔a ≥［f(x)］max,; a ≤f(x) 恒成立⇔a ≤［f(x)］min②a ≥f(x) 有解⇔a ≥［f(x)］min,; a ≤f(x) 有解⇔a ≤［f(x)］max③二次函数恒成立；二次函数在区间上恒成立；二次项系数含参时注意讨论④数形结合；分类讨论；分离参数；反客为主（或称变更主元）⑤注意比较：y=log a f(x)的定义域为P ⇔f(x)>0的解集为Py=log a f(x)在x ∈P 上有意义⇔f(x)>0对x ∈P 恒成立考点11.对于2y ax bx c =++（＝0，>0）你是否注意到分0a ≠与0a =两种情况讨论？练习14.关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件是_________1a ≤考点12.实根分布问题： 2()0(0)f x ax bx c a =++=>的两根12,x x注意从开口方向、、对称轴和端点函数值等价分析。

考点13.复合函数的有关问题①研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

②复合函数定义域求法：若已知()f x 的定义域为［a ，b ］,其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域（即 f(x)的定义域）；③复合函数的单调性由“同增异减”判定④函数y=log a f(x)在某区间P 上单调递增：a>1时()()0f x P f x x P ⎧⇔⎨>∈⎩在上单调递增对恒成立 0<a<1时()()0f x P f x x P ⎧⇔⎨>∈⎩在上单调递减对恒成立 考点14.函数的奇偶性①定义域关于原点对称是函数为奇函数、偶函数的必要不充分条件；②偶函数⇔f(x)=f(－x)⇔f(x)－f(－x)=0在定义域内恒成立，③奇函数⇔f(x)=－f(－x)⇔f(x)＋f(－x)=0在定义域内恒成立④若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=()f x ;⑤奇函数在x=0有定义，则f(0)=0（可用于求参数值）；⑥两个偶函数的和（或差）为偶函数;两个奇函数的和（或差）为奇函数；⑦f(x)·g(x)(或()()f x g x ，(()0)g x ≠)同名为偶，异名为奇；⑧多项式函数为偶函数⇔奇次项系数全为0；多项式函数为奇函数⇔偶次项系数全为0 ⑨奇函数在对称单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称单调区间内有相反的单调性； 练习15.函数1()ln 1ax f x x+=-是奇函数，则a=_______ （ 1 ） 练习16.已知函数(1)(1)22()log log ()x x f x a a R +-=+∈的图像关于原点对称，则a=______ （ -1 ） 考点15.函数的对称性① f(x)关于直线x=a 对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x)；()()f a x f b x +=-⇔ f(x)关于直线2a b x +=对称 ②曲线C 1：y=f(x)关于x=a 的对称曲线C 2的方程为y=f(2a-x);③二次函数f(x)关于x=a 对称⇔()()0f x f a a ≥⎧⎨>⎩或()()0f x f a a ≤⎧⎨<⎩，⇔f(x)=0的根12,x x 满足122x x a += ④f(x)关于点（a ，0）对称⇔f(a+x)=－f(a-x)⇔ f(2a-x)=－f(x)⑤f(x)关于点（a ，b ）对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b ⇔ f(x) + f(2a-x) =2b⑥证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在该图像上； ⑦证明图像C 1与C 2的对称性，即证明C 1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C 2上，再证反之亦然；⑧求曲线C 1:f(x,y)=0关于点（轴）的对称曲线C 2方程：设曲线C 2上任意一点P(x,y) ，则P 关于点（轴）的对称的Q(x 0,y 0)在曲线C 1:f(x,y)=0上；练习17.若函数2()(0)f x ax bx c a =++>对一切实数x 都有()(0)f x f ≥，则b=___ （ 0 ）考点16.抽象函数背景下的单调性、奇偶性练习18.奇函数f(x)在定义域R 内是增函数，则不等式2(15)(5)0f x x f --+>的解集为___________ {123x x -<<或<x<6}练习19.已知f(x)是偶函数，且f(x)在(0,)+∞上是增函数，对任意的1[,1]2x ∈，不等式 (1)f (2)f ax +≤-恒成立，则实数a 的取值范围是______ 31a -≤≤考点17.指对函数①要注意底数讨论；注意底数大于零且不等于1；对数函数真数大于零；化同底；换元法。

②log a b ⇔>0(a-1)(b-1)>0， log a b ⇔<0(a-1)(b-1)<0 ③log b a N b a N =⇔=； ④log log m n a a n b b m=；log log n n a a b b = ⑤ log a N =log log b b N a ； ⑥log log a N N aa a = ( a>0,a ≠1,N>0 ) 练习20.函数()f x ________ {02}x x <≤练习21.函数22log log x x y =+的值域是_________ {2y 2}y ≤-≥或练习22.若239log log x =，则x=_______ （）练习23. 函数211x y x +=+的对称中心是____ (-1,2),单调增区间是_______ (,1),(1,)-∞--+∞ 考点18.函数(0)ay x a x =+>与(0)a y x a x =->①都关于原点对称，渐近线为y x =和y 轴 ②函数(0)a y x a x=+>的图象如图实线，单调区间为：(,,[),-∞+∞ ③函数(0)ay x a x =->的图象如图虚线， 单调区间为：在(,0)(0,)-∞+∞和为增函数六、不等式考点1 分式不等式()(0)()f x a ag x >≠的一般解题思路是：移项、通分、根轴法；注意最高次数项系数正负及不等式两边同乘负数时不等号变向。