物理 平抛运动的推论
平抛运动两个推论教学评课稿
平抛运动两个推论教学评课稿一、引言平抛运动是物理学中的一个重要概念，也是初中物理教学中的一个重要内容。
学习平抛运动的两个推论，有助于提升学生的物理思维能力和解决问题的能力。
本文将从理论和实践两个方面，探讨平抛运动两个推论的教学方法及评课。
二、平抛运动简介平抛运动是指物体在一个平面上以一定的初速度和一定的角度进行抛掷，物体在抛出后受到重力的作用，沿着抛出的方向进行运动。
平抛运动的两个推论是指在平抛运动中，我们可以得到两个重要的结论。
2.1 第一个推论：抛射体的运动轨迹是一个抛物线在平抛运动中，当抛射体的初速度和抛射角度确定后，抛射体的运动轨迹是一个抛物线。
这个结论可以通过理论推导和实验验证得到。
2.2 第二个推论：抛射体的飞行时间只与竖直方向初速度分量有关在平抛运动中，抛射体的飞行时间只与竖直方向的初速度分量有关，与水平方向的初速度分量无关。
这个结论可以通过理论推导和实验验证得到。
三、教学方法为了有效地教授平抛运动的两个推论，我们可以采取以下教学方法。
3.1 概念讲解首先，我们应该对平抛运动的概念进行讲解，包括平抛运动的定义、特点和相关公式。
通过概念讲解，让学生对平抛运动有一个初步的了解，为后续的学习打下基础。
3.2 理论推导然后，我们可以进行平抛运动的理论推导，详细讲解平抛运动的两个推论的推导过程。
通过理论推导，让学生理解推论的原理和推导过程，提升学生的物理思维能力。
3.3 实验演示在理论讲解后，我们可以进行实验演示，展示平抛运动的实际情况。
通过实验演示，让学生亲眼观察抛射体的飞行轨迹，进一步加深对平抛运动的理解。
3.4 计算练习最后，我们可以进行计算练习，让学生通过计算来巩固所学知识。
可以设计一些不同难度的计算题目，让学生独立完成，并及时进行讲解和订正，帮助学生掌握平抛运动的计算方法。
四、评课为了有效评估学生对平抛运动两个推论的理解和掌握程度，我们可以采用以下评课方法。
4.1 课堂测试可以设计一些选择题、判断题和计算题，用于课堂测试。
平抛运动的推论及与斜面结合问题(课件)-高中物理(人教版2019必修第二册)
到斜面上
速度方向
vy＝gt
θ 与 v0、t 的关系：
vx v0
tan θ＝ ＝
vy gt
分解位移，构建位移三角形
θ 与 v0、t 的关系：
运动情形
题干信息
vx v0
tan θ＝ ＝
vy 分析方法
gt
分解速度，构建速度三角形
分解位移，构建位移三角形
从空中水平抛出垂直落
从斜面水平抛出又落到
到斜面上
斜面上
这些极值点也往往是临界点。
2.求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)若有必要,画出临界轨迹。
37°＝ ，
03
平抛运动的临界问题
1.临界点的确定
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程中存在着
“起止点”,而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程中存在着极值,
C. a 的水平速度比 b 的小
D. b 的初速度比 c 的大
4.做平抛（或类平抛）运动的物体，设其位移偏向角为α，速度偏向角
为θ，则在任意时刻、任意位置有tanθ=2tanα。
证明：
v x v0
v y gt
x v0 t
1
y
gt 2
2
O
vy
gt
tan
vx
v0
1 2
gt
y 2
第五章 抛体运动
5.4.2平抛运动的推论
7平抛运动的两个推论
平抛运动的两个重要推论考点规律分析(1)推论一：做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
(2)推论二：做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度、位移与水平方向的夹角分别为θ、α，则tan θ＝2tan α。
例题讲解如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v 1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v 2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，则(不计空气阻力)( )A ．当v 1>v 2时，α1>α2B ．当v 1>v 2时，α1<α2C ．无论v 1、v 2关系如何，均有α1＝α2D ．α1、α2的关系与斜面倾角θ有关[规范解答] 小球从斜面某点水平抛出后落到斜面上，小球的位移与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即tan θ＝y x ＝12gt 2v 0t ＝gt 2v 0，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角为θ＋α，则tan(θ＋α)＝v y v x ＝gt v 0，故可得tan(θ＋α)＝2tan θ，只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向夹角就总是θ，则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是θ＋α，故速度方向与斜面的夹角就总是相等，与v 0的大小无关，C 项正确。
[完美答案] C运用推论二的关键是找准位移偏向角与速度偏向角，再分析判断问题。
举一反三作业1.如图所示，墙壁上落着两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖A与竖直墙壁成53°，飞镖B与竖直墙壁成37°，两者相距为d。
假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离。
(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)答案24 7d解析飞镖与墙壁的夹角为平抛运动物体速度与墙壁所成的角，由于水平位移相同，故速度反向延长线必交于水平位移上的同一点。
平抛运动的五个推论
平抛运动的五个推论平抛运动是物理学中最基本的运动之一，常见于我们日常生活中的许多场合。
它是指当物体在水平平面上沿着一定初速度的轨迹飞行时，只受重力的垂直作用而不受其它外力作用的运动。
下面我们就通过五个推论来进一步了解平抛运动。
第一个推论是，平抛运动中，垂直方向受到的加速度是一定的。
这是因为重力始终垂直于运动轨迹，而加速度是与受力有关的，因此在平抛运动中，受到重力作用的物体的垂直方向加速度是不变的。
第二个推论是，平抛运动中，水平方向受到的加速度为0。
这是因为，在平抛运动中，物体在水平方向没有受到任何外力的作用，因此水平方向的运动速度是恒定的，加速度为0。
第三个推论是，平抛运动中，物体的轨迹为一个抛物线。
这是因为，物体在垂直方向上受到的加速度是不变的，而在水平方向上没有加速度。
因此，物体在运动中的路径就是一个抛物线。
第四个推论是，平抛运动中，物体的水平速度不断减小。
这是因为，物体在水平方向上没有受到任何作用力，而由于重力作用，在垂直方向上速度不断增加，导致物体所处的位置越来越高，同时也越来越远离出发点。
第五个推论是，平抛运动中，当物体飞行到最高点时，其垂直方向的速度为0。
这是因为，在到达最高点时，物体所处的高度达到峰值，重力作用向下，垂直速度开始减小，直到为0，然后又开始增加，但方向朝相反方向，导致物体向下运动。
同时，物体的总能量也达到最大值。
通过以上五个推论，我们可以进一步理解平抛运动的特点和规律。
在实际应用中，我们可以通过这些推论来预测物体的运动轨迹和速度等参数，也可以更好地掌握运动的规律，帮助我们更好地应对各种场景。
人教版A高一物理第五章第3讲 平抛运动及实验
第3讲平抛运动（二）一、知识梳理1．基本规律(1)速度关系(2)位移关系2.平抛运动的推论：⑴.平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，速度方向与水平方向的夹角θ，与位移与水平方向的夹角φ有关系：tan q=2tan j⑵.做平抛运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平抛出点到该时刻物体水平位移的中点。
3.类平抛运动：物体所受合外力为恒力，初速度与合外力方向垂直。
三、题型与方法：【平抛规律应用】1.一物体做平抛运动,在落地前1s内,它的速度与水平方向的夹角由30°变为45°,求物体抛出时的初速度和下落的高度。
(取g=10m/s2)2.跳台滑雪是一种极为壮观的运动，它是在依山势建造的跳台上进行的运动。
运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得较大速度后从跳台水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆。
如图所示，设某运动员从倾角为θ=37°的坡顶A 点以速度v=20m/s沿水平方向飞出，到山坡上的B点着陆，山坡可以看成一个斜面。
（g=10m/s2，sin37º=0.6，cos37º=0.8）求：⑴.运动员在空中飞行的时间t；⑵.AB间的距离s。
3.如图所示,在距地面高为H＝45m处,有一小球A以初速度v0＝10m/s水平抛出,与此同时,在A的正下方有一物块B也以相同的初速度v0同方向滑出,B与地面间的动摩擦因数为μ＝0.5,A、B均可看做质点,空气阻力不计,重力加速度g取10m/s2求:(1)A球从抛出到落地的时间和这段时间内的水平位移；(2)A球落地时,A、B之间的距离．【类平抛运动】4.如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：(1)物块由P运动到Q所用的时间t；(2)物块由P点水平入射时的初速度v0；(3)物块离开Q点时速度的大小v。
飞离跑道后逐渐上升,若飞机在此过程中水平5.质量为m的飞机以水平初速度V速度保持不变,同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供,不含重力).今测得当飞机在水平方向的位移为l时,它的上升高度为h,如图所示,求:(1)飞机受到的升力大小；(2)上升至h高度时飞机的速度。
微专题：平抛运动规律的应用
专题平抛运动规律的应用[学习目标] 1.能熟练运用平抛运动规律解决问题.2.会分析平抛运动与其他运动相结合的问题.3.会分析类平抛运动.一、平抛运动的两个重要的推论及应用平抛运动的两个推论(1)某时刻速度、位移与初速度方向的夹角θ、α的关系为tan θ＝2tan α.(2)做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点.例1如图1所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上，物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(空气阻力不计)()图1A.tan φ＝sin θB.tan φ＝cos θC.tan φ＝tan θD.tan φ＝2tan θ答案 D解析物体从抛出至落到斜面的过程中，位移方向与水平方向夹角为θ，落到斜面上时速度方向与水平方向夹角为φ，由平抛运动的推论知tan φ＝2tan θ，选项D正确.【考点】平抛运动推论的应用【题点】平抛运动推论的应用二、与斜面有关的平抛运动与斜面有关的平抛运动，包括两种情况：(1)物体从空中抛出落在斜面上；(2)物体从斜面上抛出落在斜面上.在解答该类问题时，除要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度的关系，从而使问题得到顺利解决.两种情况的特点及分析方法对比如下：方法内容斜面飞行时间总结分解速度水平方向：v x＝v0竖直方向：v y＝gt特点：tan θ＝v xv y＝v0gtt＝v0g tan θ分解速度，构建速度三角形分解位移水平方向：x＝v0t竖直方向：y＝12gt2特点：tan θ＝yx＝gt2v0t＝2v0tan θg分解位移，构建位移三角形例2如图2所示，以9.8 m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的固定斜面上，这段飞行所用的时间为(不计空气阻力，g取9.8 m/s2)()图2A.23s B.223sC. 3 sD.2 s答案 C解析如图所示，把末速度分解成水平方向的分速度v0和竖直方向的分速度v y，则有tan 30°＝v0v y，v y＝gt，联立得t＝v0g tan 30°＝3v0g＝ 3 s，故C正确.【考点】平抛运动与斜面的结合问题【题点】对着斜面水平抛物问题本题中物体垂直落到斜面上，属于知道末速度方向的题目.此类题目的分析方法一般是将物体的末速度进行分解，由速度方向确定两分速度之间的关系.例3 如图3所示，AB 为固定斜面，倾角为30°，小球从A 点以初速度v 0水平抛出，恰好落到B 点.求：(空气阻力不计，重力加速度为g )图3(1)A 、B 间的距离及小球在空中飞行的时间；(2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？ 答案 (1)4v 023g 23v 03g (2)3v 03g 3v 0212g解析 (1)设飞行时间为t ，则水平方向位移l AB cos 30°＝v 0t ， 竖直方向位移l AB sin 30°＝12gt 2，解得t ＝2v 0g tan 30°＝23v 03g ，l AB ＝4v 023g .(2)方法一(常规分解)如图所示，小球的速度方向平行于斜面时，小球离斜面的距离最大，设经过的时间为t ′，则此时有tan 30°＝v y v 0＝gt ′v 0故运动时间为t ′＝v 0tan 30°g ＝3v 03g此时小球的水平位移为x ′＝v 0t ′＝3v 023g又此时小球速度方向的反向延长线交横轴于x ′2处，故小球离斜面的最大距离为H ＝12x ′sin 30°＝3v 0212g.方法二(结合斜抛运动分解)如图所示，把初速度v 0、重力加速度g 都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量.在垂直斜面方向上，小球做的是以v 0y 为初速度、g y 为加速度的“竖直上抛”运动. 小球到达离斜面最远处时，速度v y ＝0， 由v y ＝v 0y －g y t ′可得t ′＝v 0y g y ＝v 0sin 30°g cos 30°＝v 0g tan 30°＝3v 03g小球离斜面的最大距离y ＝v 0y 22g y ＝v 02sin 2 30°2g cos 30°＝3v 0212g .【考点】平抛运动与斜面的结合问题 【题点】从斜面顶端水平抛物问题1.物体从斜面抛出后又落到斜面上，属已知位移方向的题目，此类题的解题方法一般是把位移分解，由位移方向确定两分位移的关系.2.从斜面上开始又落于斜面上的过程中，速度方向与斜面平行时，物体到斜面的距离最大，此时已知速度方向，需将速度进行分解.针对训练 两相同高度的固定斜面倾角分别为30°、60°，两小球分别由斜面顶端以相同水平速率v 抛出，如图4所示，不计空气阻力，假设两球都能落在斜面上，则分别向左、右两侧抛出的小球下落高度之比为( )图4A.1∶2B.3∶1C.1∶9D.9∶1答案 C解析 根据平抛运动的规律以及落在斜面上的特点可知，x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，tan θ＝yx ，分别将30°、60°代入可得左、右两球平抛所经历的时间之比为1∶3，两球下落高度之比为1∶9，选项C 正确.【考点】平抛运动与斜面的结合问题 【题点】从斜面顶端水平抛物问题 三、类平抛运动类平抛运动是指物体做曲线运动，其运动可以分解为互相垂直的两个方向的分运动：一个方向做匀速直线运动，另一个方向是在恒定合外力作用下的初速度为零的匀加速直线运动. (1)类平抛运动的受力特点物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直. (2)类平抛运动的运动规律 初速度v 0方向上：v x ＝v 0，x ＝v 0t . 合外力方向上：a ＝F 合m ，v y ＝at ，y ＝12at 2.例4 如图5所示的光滑固定斜面长为l 、宽为b 、倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P 水平射入，恰好从底端Q 点离开斜面，试求：(重力加速度为g ，不计空气阻力)图5(1)物块由P 运动到Q 所用的时间t ； (2)物块由P 点水平射入时的初速度v 0； (3)物块离开Q 点时速度的大小v . 答案 (1)2lg sin θ(2)b g sin θ2l(3)(b 2＋4l 2)g sin θ2l解析 (1)沿斜面向下的方向有mg sin θ＝ma ，l ＝12at 2联立解得t ＝2lg sin θ. (2)沿水平方向有b ＝v 0t v 0＝b t＝bg sin θ2l. (3)物块离开Q 点时的速度大小 v ＝v 02＋(at )2＝(b 2＋4l 2)g sin θ2l.【考点】类平抛物体的运动 【题点】类平抛物体的运动1.(平抛运动规律的推论)如图6所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v 1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v 2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，则( )图6A.当v 1>v 2时，α1>α2B.当v 1>v 2时，α1<α2C.无论v 1、v 2关系如何，均有α1＝α2D.α1、α2的关系与斜面倾角θ有关 答案 C解析 小球从斜面某点水平抛出后落到斜面上，小球的位移与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即tan θ＝y x ＝12gt2v 0t ＝gt2v 0，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角的正切值tan β＝v y v x ＝gtv 0，故可得tan β＝2tan θ，只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向夹角就总是θ，则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是β，故速度方向与斜面的夹角就总是相等，与v 1、v 2的关系无关，C 选项正确.【考点】平抛运动与斜面的结合问题 【题点】从斜面顶端水平抛物问题2.(类平抛运动)A 、B 两个质点以相同的水平速度v 0抛出，A 在竖直平面内运动，落地点为P 1.B 沿光滑斜面运动，落地点为P 2，不计阻力，如图7所示，下列关于P 1、P 2在x 轴上远近关系的判断正确的是( )图7A.P 1较远B.P 2较远C.P 1、P 2一样远D.A 、B 两项都有可能答案 B解析 A 质点水平抛出后，只受重力，做平抛运动，在竖直方向有h ＝12gt 12.B 质点水平抛出后，受重力和支持力，在斜面平面内所受合力为mg sin θ，大小恒定且与初速度方向垂直，所以B 质点做类平抛运动.在沿斜面向下方向上h sin θ＝12g sin θ·t 22，由此得t 2＞t 1，由于二者在水平方向(x 轴方向)上都做速度为v 0的匀速运动，由x ＝v 0t 知x 2＞x 1. 【考点】类平抛物体的运动【题点】类平抛物体的运动3.(与斜面有关的平抛运动)如图8所示，运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上(未画出)获得一速度后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆.设一位运动员由斜坡顶的A 点沿水平方向飞出的速度v 0＝20 m/s ，落点在斜坡底的B 点，斜坡倾角θ＝37°，斜坡可以看成一斜面，不计空气阻力.(g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：图8(1)运动员在空中飞行的时间t ； (2)A 、B 间的距离s . 答案 (1)3 s (2)75 m解析 (1)运动员由A 点到B 点做平抛运动，则水平方向的位移x ＝v 0t 竖直方向的位移y ＝12gt 2又yx ＝tan θ，联立得t ＝2v 0tan θg ＝3 s (2)由题意知sin θ＝y s ＝12gt 2s得A 、B 间的距离s ＝gt 22sin θ＝75 m.【考点】平抛运动与斜面的结合问题 【题点】从斜面顶端水平抛物问题4.(与斜面有关的平抛运动)如图9所示，小球以15 m/s 的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上.不计空气阻力，在这一过程中，求：(g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)图9(1)小球在空中的飞行时间； (2)抛出点距撞击点的竖直高度. 答案 (1)2 s (2)20 m解析 (1)将小球垂直撞在斜面上时的速度分解，如图所示.由图可知θ＝37°，tan θ＝v 0gt ，则t ＝v 0g tan θ＝2 s.(2)h ＝12gt 2＝12×10×22 m ＝20 m.【考点】平抛运动与斜面的结合问题 【题点】对着斜面水平抛物问题一、选择题考点一 平抛运动推论的应用1.如图1所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t 到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g ，下列说法正确的是( )图1A.小球水平抛出时的初速度大小为gt tan θB.小球在t 时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ2C.若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长D.若小球初速度增大，则θ减小 答案 D解析 速度、位移分解如图所示，v y ＝gt ，v 0＝v y tan θ＝gt tan θ，故A 错.设位移方向与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α，α≠θ2，故B 错.平抛运动的落地时间由下落高度决定，与水平初速度无关，故C 错.由tan θ＝v yv 0知，v 0增大则θ减小，D 正确.【考点】平抛运动推论的应用 【题点】平抛运动推论的应用2.某军区某旅展开的实兵实弹演练中，某火箭炮在山坡上发射炮弹，所有炮弹均落在山坡上，炮弹轨迹简化为平抛运动，如图2所示，则下列选项说法正确的是()图2A.若将炮弹初速度减为v 02，炮弹落在斜面上速度方向与斜面夹角不变B.若将炮弹初速度减为v 02，炮弹落在斜面上速度方向与斜面夹角变小C.若将炮弹初速度减为v 02，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面夹角变大D.若将炮弹初速度减为v 02，炮弹位移变为原来的12答案 A解析 因为炮弹落在斜面上的位移方向不变，所以落在斜面上的速度方向不变，B 、C 项错误，A 项正确.由tan θ＝12gt 2v 0t 得：t ＝2v 0tan θg ，而h ＝12gt 2，故h ∝v 02，若将炮弹初速度减为v 02，则炮弹下落高度变为原来的14，位移也变为原来的14，D 项错误.【考点】平抛运动推论的应用 【题点】平抛运动推论的应用 考点二 与斜面有关的平抛运动3.如图3所示，在斜面顶端先后水平抛出同一小球，第一次小球落到斜面中点，第二次小球落到斜面底端，从抛出到落至斜面上(忽略空气阻力)( )图3A.两次小球运动时间之比t 1∶t 2＝1∶ 2B.两次小球运动时间之比t 1∶t 2＝1∶2C.两次小球抛出时初速度之比v 01∶v 02＝1∶2D.两次小球抛出时初速度之比v 01∶v 02＝1∶4 答案 A解析 平抛运动竖直方向为自由落体运动，h ＝12gt 2，由题意可知两次平抛的竖直位移之比为1∶2，所以运动时间之比为t 1∶t 2＝1∶2，A 对，B 错；水平方向为匀速直线运动，由题意知水平位移之比为1∶2，即v 01t 1∶v 02t 2＝1∶2，所以两次抛出时的初速度之比v 01∶v 02＝1∶2，选项C 、D 错.【考点】平抛运动与斜面的结合问题 【题点】从斜面顶端水平抛物问题4.如图4所示，从斜面上的A 点以速度v 0水平抛出一个物体，飞行一段时间后，落到斜面上的B 点，已知AB ＝75 m ，α＝37°，不计空气阻力，g ＝10 m/s 2，下列说法正确的是( )图4A.物体的位移大小为60 mB.物体飞行的时间为6 sC.物体的初速度v 0大小为20 m/sD.物体在B 点的速度大小为30 m/s 答案 C解析 物体的位移等于初、末位置的距离，位移大小l ＝AB ＝75 m ，A 错误.平抛运动的竖直位移h ＝AB sin α＝75×0.6 m ＝45 m ，根据h ＝12gt 2得，物体飞行的时间t ＝2h g＝2×4510s ＝3 s ，B 错误.物体的初速度v 0＝AB cos αt ＝75×0.83 m/s ＝20 m/s ，C 正确.物体落到B 点的竖直分速度v By ＝gt ＝10×3 m/s ＝30 m/s ，根据平行四边形定则知，物体落在B 点的速度v B ＝v 02＋v By 2＝400＋900 m/s ＝1013 m/s ，D 错误. 【考点】平抛运动与斜面的结合问题 【题点】从斜面顶端水平抛物问题5.在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v 和v2的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上.甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍答案 A解析 如图所示，可知：x ＝v t ， x ·tan θ＝12gt 2，则x ＝2tan θg ·v 2，即x ∝v 2，v y ＝gt ＝2tan θ·v甲、乙两球抛出速度为v 和v2，则相应水平位移之比为4∶1，由相似三角形知，下落高度之比也为4∶1，由自由落体运动规律得，落在斜面上竖直方向速度之比为2∶1，则可得落至斜面时速率之比为2∶1.6.斜面上有P 、R 、S 、T 四个点，如图5所示，PR ＝RS ＝ST ，从P 点正上方的Q 点以速度v 水平抛出一个物体，物体落于R 点，若从Q 点以速度2v 水平抛出一个物体，不计空气阻力，则物体落在斜面上的( )图5A.R 与S 间的某一点B.S 点C.S 与T 间的某一点D.T 点 答案 A解析 平抛运动的时间由下落的高度决定，下落的高度越高，运动时间越长.如果没有斜面，增大速度后物体下落至与R 等高时恰位于S 点的正下方，但实际当中斜面阻碍了物体的下落，物体会落在R 与S 点之间斜面上的某个位置，A 项正确. 【考点】平抛运动与斜面的结合问题 【题点】对着斜面水平抛物问题7.如图6所示，B 点位于斜面底端M 点的正上方，并与斜面顶端A 点等高，且高度为h ，在A 、B 两点分别以速度v a 和v b 沿水平方向抛出两个小球a 、b (可视为质点)，若a 球落到M 点的同时，b 球恰好落到斜面的中点N ，不计空气阻力，重力加速度为g ，则( )图6A.v a ＝v bB.v a ＝2v bC.a 、b 两球同时抛出D.a 球比b 球提前抛出的时间为(2－1)2hg答案 B解析 据题意，由于a 球落到斜面底端M 点时b 球落到斜面中点，则可知a 球的水平位移和竖直位移都是b 球的两倍，即x a ＝2x b ，h a ＝2h b ，由h ＝12gt 2和x ＝v t 得v ＝xg 2h ，故v a v b ＝21，v a ＝2v b ，故选项A 错误，选项B 正确；由于抛出时两球所在的高度相同，下落高度不同，如果同时抛出，b 球应该先到达斜面中点，故选项C 错误；a 球的运动时间为：t a ＝2h g，b 球的运动时间为：t b ＝hg，a 球先运动，Δt ＝t a －t b ＝(2－1)hg，故选项D 错误. 【考点】平抛运动与斜面的结合问题 【题点】对着斜面水平抛物问题 考点三 平抛运动规律的综合应用8.如图7所示，B 为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O 的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A 点以速度v 0平抛，恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道.已知重力加速度为g ，则A 、B 之间的水平距离为( )图7A.v 02tan αgB.2v 02tan αgC.v 02g tan αD.2v 02g tan α答案 A解析 如图所示，对在B 点时的速度进行分解，小球运动的时间t ＝v y g ＝v 0tan αg ，则A 、B 间的水平距离x ＝v 0t ＝v 02tan αg，故A 正确，B 、C 、D 错误.【考点】平抛运动规律的综合应用 【题点】平抛运动和圆的结合9.如图8所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，O 为圆心，AB 为沿水平方向的直径.若在A 点以初速度v 1沿AB 方向平抛一小球，小球将击中坑壁上的最低点D 点；而在C 点以初速度v 2沿BA 方向平抛的小球也能击中D 点.已知∠COD ＝60°，则两小球初速度大小之比为(小球视为质点)( )图8A.1∶2B.1∶3C.3∶2D.6∶3答案 D解析 小球从A 点平抛击中D 点：R ＝v 1t 1，R ＝12gt 12；小球从C 点平抛击中D 点：R sin 60°＝v 2t 2，R (1－cos 60°)＝12gt 22，联立解得v 1v 2＝63，D 正确.【考点】平抛运动规律的综合应用 【题点】平抛运动和圆的结合10.(多选)如图9所示，从半径为R ＝1 m 的半圆AB 上的A 点水平抛出一个可视为质点的小球，经t ＝0.4 s 小球落到半圆上，已知当地的重力加速度g ＝10 m/s 2，则小球的初速度v 0可能为( )图9A.1 m/sB.2 m/sC.3 m/sD.4 m/s答案 AD解析 由于小球经0.4 s 落到半圆上，下落的高度h ＝12gt 2＝0.8 m ，位置可能有两处，如图所示，第一种可能：小球落在半圆左侧，v 0t ＝R －R 2－h 2＝0.4 m ，v 0＝1 m/s ，第二种可能：小球落在半圆右侧，v 0′t ＝R ＋R 2－h 2＝1.6 m ，v 0′＝4 m/s ，选项A 、D 正确.【考点】平抛运动推论的应用 【题点】平抛运动推论的应用 二、非选择题11.(平抛运动规律的综合应用)如图10所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在平台前一倾角为α＝53°的固定斜面顶端并刚好沿斜面下滑，已知平台到斜面顶端的高度为h ＝0.8 m ，不计空气阻力，g ＝10 m/s 2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求：图10(1)小球水平抛出的初速度大小v 0； (2)斜面顶端与平台边缘的水平距离x . 答案 (1)3 m/s (2)1.2 m解析 小球从平台运动到斜面顶端的过程中做平抛运动，由平抛运动规律有：x ＝v 0t ，h ＝12gt 2，v y ＝gt由题图可知：tan α＝v y v 0＝gtv 0代入数据解得：v 0＝3 m/s ，x ＝1.2 m. 【考点】平抛运动规律的综合应用 【题点】平抛运动规律的综合应用12.(与斜面有关的平抛运动)如图11所示，在倾角为37°的斜面上从A 点以6 m/s 的初速度水平抛出一个小球，小球落在B 点，求：(g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力)图11(1)A 、B 两点间的距离和小球在空中飞行的时间； (2)小球刚碰到斜面时的速度方向与水平方向夹角的正切值. 答案 (1)6.75 m 0.9 s(2)32解析 (1)如图所示，设小球落到B点时速度的偏转角为α，运动时间为t .则tan 37°＝h x ＝12gt 2v 0t ＝56t又因为tan 37°＝34，解得t ＝0.9 s所以x ＝v 0t ＝5.4 m则A 、B 两点间的距离l ＝xcos 37°＝6.75 m(2)在B 点时，tan α＝v y v 0＝gt v 0＝32.13.(与斜面有关的平抛运动)如图12所示，一个小球从高h ＝10 m 处以水平速度v 0＝10 m/s 抛出，撞在倾角θ＝45°的斜面上的P 点，已知AC ＝5 m.g ＝10 m/s 2，不计空气阻力，求：图12(1)P 、C 之间的距离；(2)小球撞击P 点时速度的大小和方向.答案 (1)5 2 m (2)10 2 m/s 方向垂直于斜面向下解析 (1)设P 、C 之间的距离为L ，根据平抛运动规律有AC ＋L cos θ＝v 0t ，h －L sin θ＝12gt 2联立解得L ＝5 2 m ，t ＝1 s(2)小球撞击P 点时的水平速度v 0＝10 m/s 竖直速度v y ＝gt ＝10 m/s所以小球撞击P 点时速度的大小v ＝v 02＋v y 2＝10 2 m/s设小球撞击P 点时的速度方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝v yv 0＝1解得α＝45°故小球撞击P 点时速度方向垂直于斜面向下. 【考点】平抛运动与斜面的结合问题 【题点】对着斜面水平抛物问题14.(平抛运动规律的综合应用)如图13所示，斜面体ABC 固定在地面上，小球p 从A 点静止下滑.当小球p 开始下滑时，另一小球q 从A 点正上方的D 点水平抛出，两球同时到达斜面底端的B 处.已知斜面AB 光滑，长度l ＝2.5 m ，斜面倾角θ＝30°.不计空气阻力，g 取10 m/s 2，求：图13(1)小球p 从A 点滑到B 点的时间. (2)小球q 抛出时初速度的大小. 答案 (1)1 s (2)534m/s解析 (1)设小球p 从斜面上下滑的加速度为a ，由牛顿第二定律得：a ＝mg sin θm ＝g sin θ①设下滑所需时间为t 1，根据运动学公式得 l ＝12at 12② 由①②得 t 1＝2lg sin θ③ 解得t 1＝1 s ④(2)对小球q ：水平方向位移x ＝l cos θ＝v 0t 2⑤ 依题意得t 2＝t 1⑥ 由④⑤⑥得v 0＝l cos θt 1＝534m/s.【考点】平抛运动和直线运动的物体相遇问题 【题点】平抛运动和直线运动的物体相遇问题。
高一物理：平抛运动规律(两个推论、临界问题、类平抛运动)
必考点16平抛运动规律（两个推论、临界问题、类平抛运动）题型一平抛运动的规律及应用如图所示，在同一竖直面内，小球a 、b 从高度不同的两点，分别以初速度v a 和v b 沿水平方向抛出，经过时间t a 和t b 后落到与两抛出点水平距离相等的P 点。
若不计空气阻力，下列关系式中正确的是（）A ．v a ＞v bB ．t a ＞t bC ．v a ＝v bD ．t a ＜t b【解题技巧提炼】如图，以抛出点O 为坐标原点，以初速度v 0方向（水平方向）为x 轴正方向，竖直向下为y 轴正方向．1.飞行时间由t ＝2h g知，时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关。
2.水平射程x ＝v 0t ＝v 02h g ，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定，与其他因素无关。
3.落地速度v ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋2gh ，以θ表示落地速度与水平正方向间的夹角，有tan θ＝v y v x ＝2gh v 0，落地速度与初速度v 0和下落高度h 有关。
题型二平抛运动规律（两个推论）如图所示，xOy 是平面直角坐标系，Ox 水平、Oy 竖直，一质点从O 点开始做平抛运动，P 点是轨迹上的一点.质点在P 点的速度大小为v ，方向沿该点所在轨迹的切线.M 点为P 点在Ox 轴上的投影，P 点速度方向的反向延长线与Ox 轴相交于Q 点.已知平抛的初速度为20m/s ，MP =20m ，重力加速度g 取10m/s 2，则下列说法正确的是A ．QM 的长度为10mB ．质点从O 到P 的运动时间为1sC ．质点在P 点的速度v 大小为40m/sD ．质点在P 点的速度与水平方向的夹角为45°【解题技巧提炼】1．平抛运动物体的速度变化量因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g ，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt 是相同的，方向恒为竖直向下，如图2所示．2．两个重要推论（1）做平抛运动的物体在任意时刻（任意位置）处，有tan θ＝2tan α.推导：tan θ＝v y v 0＝gt v 0tan α＝y x ＝gt 2v 0θ＝2tan α（2）做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点，如图所示，即x B ＝x A 2.推导：tan θ＝y A x A －x B tan θ＝v y v 0＝2y A xAx B ＝x A 2题型三平抛运动的临界、极值问题如图所示为足球球门，球门宽为L ，一个球员在球门中心正前方距离球门线s 处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角（图中P 点）。
平抛运动知识点总结及解题方法归类总结
三.平抛运动及其推论一、知识点巩固：1•定义：①物体以一定的初速度沿水平方向抛出，②物体仅在重力作用下、加速度为重力加 速度宙 这样的运动叫做平抛运动。
2•特点：①受力特点：只受到重力作用。
② 运动特点：初速度沿水平方向，加速度方向竖直向下，大小为宙 轨迹为抛物线。
③ 运动性质：是加速度为g 的匀变速曲线运动。
注：（1） 平抛运动是一个同时经历水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自山落体运动的合运动。
2（2） 平抛运动的轨迹是一条抛物线，其一般表达式为V 二銘+&+Q 。
（3） 平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，加速度a = ^恒定，所以竖直方向上在相 等的时间内相邻的位移的高度之比为可：旳：53 = 1:3:5… 竖直方向上在相等的时间内相邻 的位移之差是一个恒量畅二畝'仃表示相等的时间间隔）。
（4） 在同一时刻，平抛运动的速度（与水平方向之间的夹角为a ）方向和位移方向（与水平方向之间的夹角是0）是不相同的，其关系式taneQ2taii& （即任意一点的速度延长线必 交于此时物体位移的水平分量的中点）。
3•平抛运动的规律：①速度公式:v v =v 0 v v = gt合速度:v z = J"； +彳=尿+（g/）,顶点在原点（0、0）,开口向下的抛物线方程。
②位移公式：竽③轨迹方程:③任何相等的时间速度改变量AP=gAr 相等，且S =方向竖直向下。
④ 以不同的初速度，从倾角为0的斜面上沿水平方向抛出的物体，再次落到斜面上时速 度与斜面的夹角a 相同，与初速度无关。
（飞行的时间与速度有关，速度越大时间越长。
）如上图：所以心如⑶怡 g所以tan （d + &） = 2tan&, 0为定值故a 也是定值，与速度无关。
⑤ 速度V 的方向始终与重力方向成一夹角，故其始终为曲线运动，随着时间的增加，⑹“ 变大，&T,速度V 与重力 的方向越来越鼎近，但永远不能到达。
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平抛运动的推论应用
例1.如右图所示，从倾角为θ的足够长的斜面上的A点，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初
速度为v1，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹
角为α1，第二次初速度为V2，球落到斜面
上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为
α2，若v1> v2，则
A.α1＞α2
B. α 1=α2
C. α 1<α2
D. 无法确定
【解析】1）由题意知两次小球都落在斜面上，则落在
斜面上时的位移与水平方向的夹角均为β 。
设两次小球
落回斜面瞬间的速度与水平方向的夹角分别为α1 ，α
2 ，根据推论1可知： tanα1=2tanβ，tanα=2tanβ，
则可得α1=α2。
α是一定值，与初速度v0的大小无关。
选项B正确。
2）如图5，根据上面的结论可知A是OB的中点，由几何关系可得tanβ=2tanθ，α=β-θ。
小球两
次水平抛出，θ一样，所以落在斜面上两次速度的
偏转角相等，即β1=β2，进而推出α1=α2，也就是
两次小球落在斜面上的速度方向相同，与初速度无关。
例2．如图2所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同
一位置水平射出的，飞镖A与竖直墙壁成530，飞镖B与竖
直墙壁成370，两者相距为d。
假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离。
（sin370=0.6， cos370=0.8）
解析：由题意可知，飞镖A、B从同一点做平抛运动，其速度方向的反向延长线的交点C为水平位移的中点，如图3。
设飞镖的水平位移为x，根据几何关系得：
，
Ya=x/2tan53°=3/8x，Yb=x/2tan37°=2/3x
又已知
解得，即射出点离墙壁的水平距离为24d/7
例题3.作平抛运动的物体，当它的水平速度与竖直速度的要大小之比为1:2时，其水平位移与竖直位移的大小之比_________
解析：设平抛运动物体的初速度为V0，从O点水平抛出，经过一段时间，到达A点。
由图所示。
根据平抛运动的运动规律可得：。