第二章 2.4 第2课时 等比数列的性质【教师版】
第二章 2.4 第2课时 等比数列的性质
一、选择题 1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( ) A．a1，a3，a9 成等比数列 B．a2，a3，a6 成等比数列 C．a2，a4，a8 成等比数列 D．a3，a6，a9 成等比数列
2．在等比数列{an}中，若 a2 019＝8a2 016，则公比 q 的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．8
q 知识点二 等比数列常见性质 (1)对称性：a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…＝am·an－m＋1(n>m 且 n，m∈N*)； (2)若 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak·al＝am·an； (3)若 m，p，n 成等差数列，则 am，ap，an 成等比数列；
(4)在等比数列{an}中，连续取相邻 k 项的和(或积)构成公比为 qk(或 qk2 )的等比数列；
2
4．在 1 与 2 之间插入 6 个正数，使这 8 个数成等比数列，求插入的 6 个数的积的值．
5．已知 an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？
1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法． 2．所谓通式通法，指应用通项公式，前 n 项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)， 求出基本量． 3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
2．等比数列{an}中，若公比 q<0，则{an}一定不是单调数列．(
)
3．若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．(
)
4．若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列．(
)
1
题型一 等比数列通项公式的推广应用 例 1 等比数列{an}中． (1)已知 a4＝2，a7＝8，求 an； (2)若{an}为递增数列，且 a25＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通项公式 an.
人教版高中数学必修五课件：第二章 数列2-4-2 等比数列的性质
【所以自主{an解2}答是】首1项.因为为1，an公=2比n-为1，4所的以等a比ann数122 列，22nn=故1 242a，n2=4n-1.
答案：an2=4n-1
2.由a4·a7=-512，得a3·a8=-512.
由
解得a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4(舍).
所以aaq33 =a8a
am·an=ak·al
2.等比数列的单调性
(1)当a1>0，_q_>_1_或a1<0，_0_<_q_<_1_时，{an}为递增数列. (2)当____，0<q<1或a1<0，____时，{an}为递减数列. (3)当_a_1>_0_时，{an}为常数列q.>1
q=1
1.在等比数列{an}中，a6=6，a9=9，则a3=( )
(3)若m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)，那么aman=apal吗？ 提示：相等，aman=2m-1×2n-1=2m+n-2， apal=2p-1×2l-1=2p+l-2，因为m+n=p+l， 所以m+n-2=p+l-2，所以aman=apal.
探究2：对任意的等比数列{an}，若有m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)， 那么aman=apal吗？ 提示：相等，设等比数列{an}的公比为q，则am=a1qm-1， an=a1qn-1，ap=a1qp-1，al=a1ql-1，aman= a1qm-1×a1qn-1=a12 qm + n-2， apal= a1qp-1×a1ql-1=a12qp + l-2， 因为m+n=p+l，所以aman=apal.
高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列(二)课件 新人教A版必修5
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地 解决问题．
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4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
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课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中 项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二 设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16， 由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3， 或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，
高中数学新人教A版必修5第二章 2.4 第二课时 等比数列的性质
第二课时 等比数列的性质预习课本P53练习第3、4题，思考并完成以下问题 等比数列项的运算性质是什么？[新知初探] 等比数列的性质(1)若数列{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，则{a n ·b n }也是等比数列．特别地，若{a n }是等比数列，c 是不等于0的常数，则{c ·a n }也是等比数列．(2)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q .(3)数列{a n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积． (4)在等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为q k ＋1.(5)当m ，n ，p (m ，n ，p ∈N *)成等差数列时，a m ，a n ，a p 成等比数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积( ) (2)当q >1时，{a n }为递增数列．( ) (3)当q ＝1时，{a n }为常数列．( )解析：(1)正确，根据等比数列的定义可以判定该说法正确． (2)错误，当q >1，a 1>0时，{a n }才为递增数列．(3)正确，当q ＝1时，数列中的每一项都相等，所以为常数列． 答案：(1)√ (2)× (3)√2．由公比为q 的等比数列a 1，a 2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，…是( )A ．等差数列B ．以q 为公比的等比数列C ．以q 2为公比的等比数列D ．以2q 为公比的等比数列解析：选C 因为a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n ＝q 2为常数，所以该数列为以q 2为公比的等比数列．3．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 8的值为( )A ．35B ．63C ．21 3D ．±21 3解析：选B ∵{a n }成等比数列． ∴a 4，a 6，a 8成等比数列∴a 26＝a 4·a 8，即a 8＝2127＝63.4．在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________.解析：∵a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， ∴a 24＋a 28＝41，又a 4a 8＝4，∴(a 4＋a 8)2＝a 24＋a 28＋2a 4a 8＝41＋8＝49，∵数列各项都是正数， ∴a 4＋a 8＝7. 答案：7等比数列的性质[典例] (1)在1与100之间插入n 个正数，使这n ＋2个数成等比数列，则插入的n 个数的积为( )A ．10nB ．n 10C ．100nD ．n 100(2)在等比数列{a n }中，a 3＝16，a 1a 2a 3…a 10＝265，则a 7等于________． [解析] (1)设这n ＋2个数为a 1，a 2，…，a n ＋1，a n ＋2， 则a 2·a 3·…·a n ＋1＝(a 1a n ＋2)n 2＝(100)n 2＝10n .(2)因为a 1a 2a 3…a 10＝(a 3a 8)5＝265，所以a 3a 8＝213， 又因为a 3＝16＝24，所以a 8＝29. 因为a 8＝a 3·q 5，所以q ＝2. 所以a 7＝a 8q ＝256.[答案] (1)A (2)256有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a 1和q 的方程组，先解出a 1和q ，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．[活学活用]1．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5D ．－7解析：选D 因为数列{a n }为等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以q 3＝－12或q 3＝－2，故a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7·q 3＝－7.2．在等比数列{a n }中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，则a 10＝________. 解析：由a 4·a 7＝－512，得a 3·a 8＝－512.由⎩⎪⎨⎪⎧a 3·a 8＝－512，a 3＋a 8＝124， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝－4，a 8＝128或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝128，a 8＝－4.(舍去)． 所以q ＝5a 8a 3＝－2.所以a 10＝a 3q 7＝－4×(－2)7＝512. 答案：512灵活设元求解等比数列问题[典例] (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．[解析] (1)设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列．即⎩⎪⎨⎪⎧2(aq －1)＝(a －1)＋(aq 2－4)，2(aq 2－4)＝(aq －1)＋(aq 3－13)，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a (q －1)2＝3，aq (q －1)2＝6，解得a ＝3，q ＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45. [答案] 45(2)解：法一：设前三个数为aq ，a ，aq ，则a q ·a ·aq ＝216， 所以a 3＝216.所以a ＝6. 因此前三个数为6q ，6,6q . 由题意知第4个数为12q －6. 所以6＋6q ＋12q －6＝12，解得q ＝23.故所求的四个数为9,6,4,2.法二：设后三个数为4－d,4,4＋d ，则第一个数为14(4－d )2，由题意知14(4－d )2×(4－d )×4＝216，解得4－d ＝6.所以d ＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为aq ，a ，aq . 推广到一般：奇数个数成等比数列设为： …a q 2，aq，a ，aq ，aq 2… (2)四个符号相同的数成等比数列设为： a q 3，aq，aq ，aq 3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为： …a q 5，a q3，aq ，aq ，aq 3，aq 5… (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a ，aq ，aq 2，aq 3. [活学活用]在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或352B ．4或352C ．4D ．1712解析：选B 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22.由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20.∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5. 当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝352.等比数列的实际应用问题[典例] 某工厂2018年1月的生产总值为a 万元，计划从2018年2月起，每月生产总值比上一个月增长m %，那么到2019年8月底该厂的生产总值为多少万元？[解] 设从2018年1月开始，第n 个月该厂的生产总值是a n 万元，则a n ＋1＝a n ＋a n m %， ∴a n ＋1a n＝1＋m %.∴数列{a n }是首项a 1＝a ，公比q ＝1＋m %的等比数列．∴a n ＝a (1＋m %)n －1.∴2019年8月底该厂的生产总值为a 20＝a (1＋m %)20－1＝a (1＋m %)19(万元)．数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．[活学活用] 如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝⎛⎭⎫22n ，故a 7＝2×⎝⎛⎭⎫226＝14. 答案：14层级一 学业水平达标1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24解析：选A 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 设等比数列的公比为q ，因为a 6a 3＝a 9a 6＝q 3，即a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．故选D.3．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.32解析：选D 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5. 解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝⎝⎛⎭⎫622＝32.4．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( )A.13 B ．3 C ．±13D ．±3解析：选B 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0.则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )·(a 1＋5d )，化简得d 2＝－2a 1d ， ∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.5．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100 B ．－100 C ．10 000D ．－10 000解析：选C ∵a 3a 8a 13＝a 38，∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6.∴a 8＝100.又a 1a 15＝a 28＝10000，故选C.6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．解析：设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，(a －6)2＝3b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27. 答案：3或277．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________.解析：由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝⎛⎭⎫12＋32×32＝18. 答案：188．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048. 答案：2 0489．在由实数组成的等比数列{a n }中，a 3＋a 7＋a 11＝28，a 2·a 7·a 12＝512，求q . 解：法一：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 7q －4＋a 7＋a 7q 4＝28， ①a 7q －5·a 7·a 7q 5＝512， ② 由②得a 37＝512，即a 7＝8. 将其代入①得2q 8－5q 4＋2＝0.解得q 4＝12或q 4＝2，即q ＝±142或q ＝±42.法二：∵a 3a 11＝a 2a 12＝a 27， ∴a 37＝512，即a 7＝8.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 11＝20，a 3a 11＝64，即a 3和a 11是方程x 2－20x ＋64＝0的两根，解此方程得x ＝4或x ＝16.因此⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝4，a 11＝16或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16，a 11＝4.又∵a 11＝a 3·q 8，∴q ＝±⎝⎛⎭⎫a 11a 318＝±418＝±42或q ＝±⎝⎛⎭⎫1418＝±142. 10．在正项等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100，求数列{a n }的通项公式．解：∵a 1a 5＝a 23，a 3a 7＝a 25， ∴由题意，得a 23－2a 3a 5＋a 25＝36， 同理得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (a 3－a 5)2＝36，(a 3＋a 5)2＝100.即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 5＝±6，a 3＋a 5＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝2，a 5＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 5＝2.分别解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝12，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12.∴a n ＝2n－2或a n ＝26－n .层级二 应试能力达标1．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1D ．a 5＝1解析：选B 由题意，可得a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝1，即(a 1·a 5)·(a 2·a 4)·a 3＝1，又a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23，所以a 53＝1，得a 3＝1.2．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选C 等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.3．已知数列{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3成等比数列，a 1＝1，则a 2 016＝( ) A ．5B ．1C ．0D ．－1解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 1，a 2，a 3成等比数列得(1＋d )2＝1＋2d ，解得d ＝0，所以a 2 016＝a 1＝1.4．设各项为正数的等比数列{a n }中，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝( )A ．230B ．210C ．220D ．215解析：选C ∵a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，∴a 301·q1＋2＋3＋…＋29＝a 301·q29×302＝230， ∴a 1＝2－272，∴a 3·a 6·a 9·…·a 30＝a 103·(q 3)9×102＝(2－272×22)10×(23)45＝220. 5．在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则此数列的前13项之积等于________． 解析：由于{a n }是等比数列，∴a 1a 13＝a 2a 12＝a 3a 11＝a 4a 10＝a 5a 9＝a 6a 8＝a 27，∴a 1a 2a 3…a 13＝(a 27)6·a 7＝a 137， 而a 7＝－2.∴a 1a 2a 3…a 13＝(－2)13＝－213. 答案：－2136．已知－7，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－4，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则a 2－a 1b 2＝________.解析：由题意，知a 2－a 1＝－1－(－7)3＝2，b 22＝(－4)×(－1)＝4.又因为b 2是等比数列中的第三项，所以b 2与第一项同号，即b 2＝－2，所以a 2－a 1b 2＝2－2＝－1. 答案：－17．已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，由{a n }中的部分项组成的数列ab 1，ab 2，…，ab n ，…为等比数列，其中b 1＝1，b 2＝5，b 3＝17.求数列{b n }的通项公式．解：依题意a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )，所以a 1d ＝2d 2，因为d ≠0，所以a 1＝2d ，数列{ab n }的公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4d a 1＝3，所以ab n ＝a 13n －1，①又ab n ＝a 1＋(b n －1)d ＝b n ＋12a 1，② 由①②得a 1·3n －1＝b n ＋12·a 1. 因为a 1＝2d ≠0，所以b n ＝2×3n －1－1.8．容器A 中盛有浓度为a %的农药m L ，容器B 中盛有浓度为b %的同种农药m L ，A ，B 两容器中农药的浓度差为20%(a >b )，先将A 中农药的14倒入B 中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A 中，恰好使A 中保持m L ，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?解：设第n 次操作后，A 中农药的浓度为a n ，B 中农药的浓度为b n ，则a 0＝a %，b 0＝b %.b 1＝15(a 0＋4b 0)，a 1＝34a 0＋14b 1＝15(4a 0＋b 0)；b 2＝15(a 1＋4b 1)，a 2＝34a 1＋14b 2＝15(4a 1＋b 1)；…；b n ＝15(a n －1＋4b n －1)，a n ＝15(4a n －1＋b n －1)．∴a n －b n ＝35(a n －1－b n －1)＝…＝35(a 0－b 0)·⎝⎛⎭⎫35n －1. ∵a 0－b 0＝15，∴a n －b n ＝15·⎝⎛⎭⎫35n .依题意知15·⎝⎛⎭⎫35n <1%，n ∈N *，解得n ≥6.故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.。
人教A版高中数学高二必修5课件2.4等比数列(二)
2.4 等比数列(二)
6
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项
“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝
2.4 等比数列(二)
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规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中， 特别要注意它们的区别，避免用错公式.(2)方程思想的 应用往往是破题的关键.
2.4 等比数列(二)
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跟踪演练4 已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列， Sn为{an}的前n项和. (1)求通项公式an及Sn； 解 因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an ＝19－2(n－1)＝－2n＋21，
的m的个数；若不存在，请说明理由.
解 若存在m，使b1，b4，bt成等差数列， 则2b4＝b1＋bt，
∴ 7 ×2＝ 1 ＋ 2t－1 ，
7＋m
1＋m 2t－1＋m
2.4 等比数列(二)
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7m＋1 7m－5＋36
∴t＝
＝
＝7＋
36
，
m－5
m－5
m－5
由于m、t∈N*且t≥5. 令m－5＝36,18,9,6,4,3,2,1， 即m＝41,23,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数. ∴存在符合题意的m值，且共有8个.
2.4 等比数列(二)
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(1)由 bn＝an＋an m(m∈N*)知 b1＝1＋1 m，b2＝3＋3 m，b8＝151＋5 m，
∵b1，b2，b8成等比数列，
等比数列的性质(教师版)
1 a7 a6a8 1 解：∵a2· a4· a6· a8· a10＝32，∴a6＝2，∴log2a7－ log2a8＝log2 ＝log2 ＝log2 a6＝log2 2＝ .[答案]D 2 2 a8 a8
-2-
考向四 两个重要性质的应用 例 4—1 若数列{an}为等比数列，则下列命题正确的是________． 1 ①{a2 k}(k≠0)为等比数列． n}，{a3n}均为等比数列；②{ban}为等比数列；③{ }，{|an|}均为等比数列；④{an± an 2 3 an＋1 an＋1 2 a3n＋1 a3n＋3 a3n· q 解析：设数列{an}的公比为 q，则① 2 ＝( ) ＝q2， ＝ ＝ ＝q3，∴{a2 n}，{a3n}均为等比数列． an an a3n a3n a3n ban＋1 an＋1 ②当 b＝0 时，数列{ban}不是等比数列；当 b≠0 时， ＝ ＝q.∴{ban}不一定是等比数列． ban an 1 an＋1 an 1 |an＋1| an＋1 1 ③ ＝ ＝ ， ＝| |＝|q|，∴{ }与{|an|}均为等比数列． 1 an an an＋1 q |an| an an＋1± k ④当 k≠0 时， 不是常数，∴{an± k}(k≠0)不是等比数列．答案：①③ an± k 例 4—2 在等比数列{an}中，若 a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，则 a99＋a100＝________. b9 解：因为{an}是等比数列，所以 a9＋a10，a19＋a20，…，a99＋a100 成等比数列，从而得 a99＋a100＝ 8. a (1)若{an}是等比数列，公比为 q，则数列 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公比为 qm 的等比数列； an 1 (2)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，其公比分别是 q1 , q2 ，则：{an· bn}，b ，{λan}(λ≠0)，{|an|}，a ，{a2 n}， n n { an}仍是等比数列。 变式 4—1 定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数 f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列， 则称 f(x)为“保等比数列函数”． 现有定义在(－∞， 0)∪(0， ＋∞)上的如下函数： ①f(x)＝x2； ②f(x)＝2x； ③f(x)＝ |x|； ④f(x)＝ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为 。 a2 n an 2＝q2，符合题意； 解：设等比数列{an}的公比为 q，则对于 f(x)＝x2，f(an)＝a2 ，由等比数列定义得， 2 ＝ n an－1 an－1 2an x 而对于 f(x)＝2 ，f(an)＝2an，由等比数列定义得， ＝2(an－an－1)，不为定值，故不符合题意；对于 f(x)＝ |x|， 2an－1 |an| an ＝ |q|为定值，符合题意；对于 f(x)＝ln|x|，f(a )＝ln|a |，由等比数列定义得， f(an)＝ |an|，则 ＝ n n an－1 |an－1| ln|an| 并不为定值，故不符合题意；故①③正确． ln|an－1| 变式 4—2 在等比数列{an}中，存在正整数 m，有 am＝3，am＋5＝24，则 am＋35＝________. am＋5 5 am＋15 解析：∵ ＝q ＝8，又 ＝q10＝(q5)2＝82.∴am＋15＝24× 82＝1536. am am＋5 考向五 等比数列的证明 例 5—1 已知数列{an}满足 a1＝1， an＋1＝2an＋1(n∈N*)． 求证： 数列{an＋1}是等比数列， 并写出{an}的通项公式。 an＋1＋1 证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又 a1＝1，∴a1＋1＝2≠0，an＋1≠0，∴ ＝2， an＋1 ∴数列{an＋1}是首项为 2，公比为 2 的等比数列．∴an＋1＝2n，可得 an＝2n－1. 1 例 5—2 已知数列{an}中，a1＝ ，点(n,2an＋1－an)在直线 y＝x 上，其中 n＝1,2,3….，令 bn＝an＋1－an－1，求证数 2 列{bn}是等比数列； 1 3 3 1 3 解：由已知得 2an＋1＝an＋n，又 a1＝ ，∴a2＝ ，b1＝a2－a1－1＝ － －1＝－ ，又∵bn＝an＋1－an－1，∴bn＋1 2 4 4 2 4 an＋1＋ n ＋1 an＋n an＋1－an－1 － －1 2 2 2 bn＋1 an＋2－an＋1－1 1 ＝an＋2－an＋1－1，∴ ＝ ＝ ＝ ＝ . bn an＋1－an－1 an＋1－an－1 an＋1－an－1 2 3 1 ∴{bn}是以－ 为首项，以 为公比的等比数列． 4 2 an＋1 (1)定义法： ＝q(q 为非零常数)⟺数列{an}是等比数列； (2)中项公式法： a2 an＋2(n∈N*)且 an≠0⟺ n＋1＝an· an 数列{an}是等比数列。
高中数学人教A版必修五教学课件：第二章 《数列》 2.4 第2课时 等比数列的性质
－6 解析：a4a7＝a1· a10＝ ＝－2. 3
答案：B
3． 等比数列{an}中， 若 a9＝－2， 则此数列前 17 项之积为____________．
解析：由题意得 a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)· (a2a16)· (a3a15)· …· a9
17 17 ＝a17 9 ＝(－2) ＝－2 .
2 ∴a6 ＝a2· a10，
1 ∴a10＝162 × ＝13 122. 2
2
法三：由公式 ap· aq＝ap＋k· aq－k 得
2 a2· a10＝a2＋4· a10－4＝a6 .
1 ∴a10＝1622× ＝13 122. 2
答案：13 122
探究二
an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系
利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的 “下标”的指导作用，分析等比数列项 与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
1．在等比数列中，若 a2＝2，a6＝162，则 a10＝________.
解析：法一：∵a6＝a2q4，其中 a2＝2，a6＝162， ∴q4＝81， ∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122. 法二：∵2,6,10 三数成等差数列， ∴a2，a6，a10 成等比数列．
－
1n－1 4n－1 n－1 第 n 个图形的周长 3 ×(3×4 )＝3×3 .
[感悟提高]
(1)解决此类问题，需要抓住变中的不变量，即数据在改
变，但其变化规律不改变，事实上，给出的图形只是问题的载体，我 们只需从“形”中抽象出“数”，即可将问题归结为等比数列．
a1＝1， 1 ∴ 或 1 q ＝ . q＝2，
高中数学 2.4.2 等比数列的性质课件 新人教A版必修5
6-2log 8 = 0,
= 2,
∴
= 11.
2 + 3log 8 = m.
故存在常数 c=2,使得对任意 n∈N*,an+logcbn 恒为常数 11.
第二十一页，共30页。
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KETANG HEZUO TANJIU
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tánɡ)检测
三个数或四个数成等比数列的设元技巧:
(1)若三个数成等比数列,可设三个数为 a,aq,aq2 或,a,aq;
(2)若四个数成等比数列,可设 a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,
可设 3 , ,aq,aq3.
第 2 课时
等比数列的性质
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预习(yùxí)
引导
学习目
记住等比数列的常见性质,并会用这些性质解答一些简单的等比数
标
列问题.
重点难
重点:等比数列的性质及应用;
点
难点:对等比数列性质的理解.
已知条件进行推理,从而得出结论.
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学习目标 1.灵活应用等比数列的通项公式推广形式及变形.2.理解等比数列的有关性质，并 能用相关性质简化计算．
知识点一 等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1① ＝amqn－m② ＝a1·qn③
q 其中当②中 m＝1 时，即化为①. 当③中 q＞0 且 q≠1 时，y＝a1·qx 为指数型函数．
又{an}各项均为正数，
∴a4a5a6＝5 2. 反思感悟 借助新数列与原数列的关系，整体代换可以减少运算量．
跟踪训练 3 等比数列{an}中，若 a12＝4，a18＝8，求 a36 的值．
解
由等比数列的性质可知，a12，a18，a24，a30，a36
成等比数列，且a18＝2，故 a12
a36＝4×24
.
答案 9
解析 因为数列{an}为等比数列，且 a3a5＋2a4a6＋a5a7＝81， 所以 a24＋2a4·a6＋a26＝81，所以(a4＋a6)2＝81，
又 an>0，所以 a4＋a6＝9.
10．已知等比数列{an}中，有 a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且 b7＝a7，则 b5＋b9＝
∵a1＝q，且{an}为递增数列，
a1＝2， ∴
q＝2.
∴an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)． 反思感悟 (1)应用 an＝amqn－m，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求 a1.
(2)等比数列的单调性由 a1，q 共同确定，但只要单调，必有 q>0.
跟踪训练 1 已知等比数列{an}满足 a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则 a3＋a5＋a7 等于( )
例 3 已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则 a4a5a6 等于( )
A．4 2 B．6 C．7 D．5 2
答案 D
解析 ∵{an}为等比数列，
∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9 也成等比数列， ∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9) ＝5×10，
一、选择题
1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( ) A．a1，a3，a9 成等比数列 B．a2，a3，a6 成等比数列 C．a2，a4，a8 成等比数列 D．a3，a6，a9 成等比数列 答案 D 解析 由等比数列的性质得，a3·a9＝a26≠0，因此 a3，a6，a9 一定成等比数列．故选 D. 2．在等比数列{an}中，若 a2 019＝8a2 016，则公比 q 的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．8
.
答案 8
解析 由等比数列的性质，得 a3a11＝a27，∴a27＝4a7.
∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝a7＝4.
再由等差数列的性质知 b5＋b9＝2b7＝8.
11．在等比数列{an}中，若 a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则 a41a42a43a44＝
.
答案 1 024
解析 设等比数列{an}的公比为 q， a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝a41·q6＝1，① a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a41·q54＝8，② ②÷①得 q48＝8，q16＝2， ∴a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43＝a41·q166＝a41·q6·q160＝(a41·q6)(q16)10＝210＝1 024. 三、解答题
7．(2018·济南模拟)在正项等比数列{an}中，已知 a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，
则 n 等于( )
A．12 B．13 C．14 D．15
答案 C
解析 设数列{an}q12，可得 q9＝3，an－1anan ＋1＝a31q3n－3＝324，因此 q3n－6＝81＝34＝q36，所以 n＝14.
答案 A
解析 ∵a2 019＝8a2 016＝a2 016·q3，∴q3＝8，∴q＝2.
3．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则 a1·a15 的值为( )
A．100
B．－100
C．10 000
D．－10 000
答案 C
解析 ∵lg(a3a8a13)＝lg a38＝6， ∴a38＝106，∴a8＝102＝100.∴a1a15＝a28＝10 000. 4．等比数列{an}中，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6.则 a8 等于( ) A．64 B．128 C．256 D．512
q 知识点二 等比数列常见性质 (1)对称性：a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…＝am·an－m＋1(n>m 且 n，m∈N*)； (2)若 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak·al＝am·an； (3)若 m，p，n 成等差数列，则 am，ap，an 成等比数列；
(4)在等比数列{an}中，连续取相邻 k 项的和(或积)构成公比为 qk(或 qk2 )的等比数列；
题型一 等比数列通项公式的推广应用
例 1 等比数列{an}中．
(1)已知 a4＝2，a7＝8，求 an；
(2)若{an}为递增数列，且 a25＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通项公式 an.
解 (1)∵a7＝q7－4＝8，
a4
2
即 q3＝4，∴q＝3 4，
∴an＝a4·qn－4＝2·(3
＝(a1a8)3＝23＝8. 5．已知 an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 解 不是等比数列． ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22，∴数列{an}不是等比数列．
1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法． 2．所谓通式通法，指应用通项公式，前 n 项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)， 求出基本量． 3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
A．21 B．42 C．63 D．84
答案 B
解析 设等比数列{an}的公比为 q，则由 a1＝3，a1＋a3＋a5＝21 得 3(1＋q2＋q4)＝21，解得
q2＝－3(舍去)或 q2＝2，于是 a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选 B.
题型二 等比数列的性质及其应用
例 2 已知{an}为等比数列． (1)若 an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求 a3＋a5； (2)若 an>0，a5a6＝9，求 log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 的值． 解 (1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25
1 (5)若{an}是等比数列，公比为 q，则数列{λan}(λ≠0)，an ，{a2n}都是等比数列，且公比分别是 q，1，q2.
q an
(6)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是 p 和 q，那么{anbn}与 bn 也都是等比数 列，公比分别为 pq 和p.
q
1．an＝amqn－m(n，m∈N*)，当 m＝1 时，就是 an＝a1qn－1.( √ ) 2．等比数列{an}中，若公比 q<0，则{an}一定不是单调数列．( √ ) 3．若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．( × ) 4 ． 若 数 列 {an} 的 奇 数 项 和 偶 数 项 分 别 成 等 比 数 列 ， 且 公 比 相 同 ， 则 {an} 是 等 比 数 列．( × )
＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)根据等比数列的性质，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 ＝log3(a1a2…a9a10) ＝log395＝10. 反思感悟 抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．
1．在等比数列{an}中，若 a2＝8，a5＝64，则公比 q 为( ) A．2 B．3 C．4 D．8 答案 A 解析 由 a5＝a2q3，得 q3＝8，所以 q＝2. 2．等比数列{an}中，若 a2a6＋a24＝π，则 a3a5 等于( ) A.π B.π C.π D.4π
432 3 答案 C 解析 a2a6＝a24＝a3a5，∴a3a5＝π2. 3．已知等比数列{an}共有 10 项，其中奇数项之积为 2，偶数项之积为 64，则其公比是( ) A.3 B. 2 C．2 D．2 2
∵d≠0，∴d＝－2a1，∴a2＝－a1，a3＝－3a1，∴q＝aa32＝3. 6．(2018·长春模拟)公比不为 1 的等比数列{an}满足 a5a6＋a4a7＝18，若 a1am＝9，则 m 的值
为( )
A．8 B．9 C．10 D．11
答案 C
解析 由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∵a1am＝9，∴a1am＝a5a6，∴m＝10.
跟踪训练 2 设各项均为正的等比数列{an}满足 a4a8＝3a7，则 log3(a1a2…a9)等于( ) A．38 B．39 C．9 D．7
答案 C
解析 ∵a4·a8＝a5·a7＝3a7 且 a7≠0，∴a5＝3， ∴log3(a1a2…a9)＝log3a95＝log339＝9. 题型三 由等比数列衍生的新数列
2 答案 C 解析 奇数项之积为 2，偶数项之积为 64，得 a1a3a5a7a9＝2，a2a4a6a8a10＝64，则a2a4a6a8a10＝
a1a3a5a7a9 q5＝32，则 q＝2. 4．在 1 与 2 之间插入 6 个正数，使这 8 个数成等比数列，求插入的 6 个数的积的值． 解 设这 8 个数组成的等比数列为{an}，则 a1＝1，a8＝2. 插入的 6 个数的积为 a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)