考研积分上限的函数(变上限积分变限积分)知识点全面总结
考研积分上限的函数(变上限积分变限积分)知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则⎰=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。
> 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情况求导。
变上限定积分及微积分基本定理
dx 1
d
x
xf (t)dt
d
x
tf (t)dt
dx 1
dx 1
d
x
x
f (t)dt
d
x
tf (t)dt
dx 1
dx 1
x
x
f (t)dt xf ( x) xf ( x) f (t)dt
1
1
第6页/共15页
推广1： 若 f ( x)连续,( x)可导
则 d
(x)
f (t)dt
f [ ( x )] ( x )
dx a
推导：设( x)
(x)
f (t)dt
( x)u
u
f (t)dt
d
a
d du f (u)( x)
a
f [ ( x)] ( x)
dx du dx
推广2：
d ( x) f (t )dt f [ ( x )] ( x) f [ ( x )] ( x)
1 e t 2 dt
lim
x0Biblioteka cos xx2(0) 0
lim x0
ecos2 x ( sin x)
2x
1 2e
(
lim x
x et2dt)2
0
x e2t2dt
0
()
lim x
2
x et2dt
0
e x2
()
e2x2
lim x
2e x2 2x ex2
0
第8页/共15页
定理1（p119）（微积分基本定理）
证
x x
( x x) a f (t)dt
( x x) ( x)
( x)
变上限的定积分
1．变上限的定积分
设 f ( x) 在[a,b] 上连续，则对x[a,b] ，定积分
x a
f
(t
)dt
存在，这就确定了[a,b]
上的一个函数，记为
(
x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，即
(
x
)
x a
f (t )dt
,
x[a,b]
。积分
x a
f
(t )dt
称
为变上限的定积分。
2．定理 1 设 f ( x) 在[a,b] 上连续， c[a,b] ，则
x
( x) c f (t)dt
在[a,b] 上可导，且
(
x
)[
x c
f
(t )dt
]
f (x)
，x[a,b]
。
证明：设 x[a,b] ，且 x x[a,b] ，则
( x)( xx)( x)
x Δx
c f (t)dt
x
c f (t)dt
x
x Δx
x
x Δx
c f (t)dt x f (t)dt c f (t)dt x f (t)dt .
，在 (a,
b)
内有且只有一个根。
证明：令 F ( x)
x a
f
(t )dt
x b
dt f (t)
，
显然F ( x) C[a, b]，且 f ( x) 0 ,则 f ( x) 0或f ( x) 0，
不妨设 f (x) 0
F (a)
a b
dt 0, f (t)
b
F (b) a f (t)dt0,
定理
1
专题2——积分上限函数(变限积分)与不定积分之间的关系
1专题2——积分上限函数（变限积分）与不定积分之间的关系
注意积分上限函数（数学全书上成为变限积分）的定义：函数为区间上的连续函数，设()f x [,]a b 为区间上的一定点，积分，（这里的积分变量用表示而没有用表0x [,]a b 0()x
x f t dt ⎰[,]x a b ∈t x 示，主要是为了避免与积分上限产生混淆，在定积分中，积分变量的选取与定积分的指没有关系，x 即）定义了一个函数，令为，，且000()()()x
x x x x x f t dt f u du f x dx ==⎰⎰⎰0()()x
x x f t dt φ=⎰[,]x a b ∈有0()(())()
x
x x f t dt f x φ''==⎰由原函数的定义及可知，函数即为在区间0()(())()x
x x f t dt f x φ''==⎰()x φ0()x
x f t dt ⎰()f x 上的一个原函数，那么在区间上的不定积分（即在区间上的全体原函[,]a b ()f x [,]a b ()f x [,]a b 数）可以表示为：，，为任意常数。
0()()x
x f x dx f t dt C =+⎰⎰[,]x a b ∈C 所以，求函数在区间上的不定积分（亦即全体原函数），既可以用不定积分的方法()f x I 求出，也可以用定积分的方法求出。
()f x dx ⎰0()x
x f t dt C +⎰。
变上限积分函数及其导数
若x?a?取?x>0?则同理可证???(x)? f(a)?若x?b ?取?x<0?则同理可证???(x)? f(b)?
注：(1)变上限积分函数的导数其结果为被积函数 本身
（2）若 ，则称函数?(x)为f(x)在[a?b]上的一个原函数?此定理说明连续函数一定存在原函数，它其中的一个原函数就是一个变上限积分函数.
1、变上限积分函数
定义：设函数f(x)在区间[a?b]上连续?并且设x为[a?b]上的一点，
考察定积分 ，如果上限 在区间 上任意变动，则对于每一个取定的 ，定积分都有一个相应的积分值与之对应.因此它在 上定义了一个函数，称为变上限积分函数，记作
?(x) ?
为明确起见，常记作?(x)? 。
说明：当 ，利用定积分的几何意义可以直观地看到积分上限的函数所表示的意义：积分 表示图1中阴影部分的面积.
?(x)
图1
下面讨论这个函数的可导性
定理1如果函数f(x)在区间[a?b]上连续?则函数
?(x)
在[a?b]上具有导数?并且它的导数为
??(x) (a?x<b)?
(选讲)证明：若x?(a?b)?取?x使x??x?(a?b)?
????(x??x)??(x)
?
应用积分中值定理?有???f (?)?x?
其中?在x与x??x之间??x?0时???x ?于是
模块基本信息
一级模块名称
积分学
二级模块名称
基础模块
三级模块名称
变上限积分函数及其导数
模块编号
4-4
先行知识
1、定积分的概念
模块编号
4-2
2、定积分的性质
模块编号
4-3
知识内容
关于积分上限函数的小结
关于积分上限函数积分上限函数（或变上限定积分）()()xa F x f t dt =⎰的自变量是上限变量x ，在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。
1． 关于积分上限函数的理论定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上连续.定理2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xadt t f x F )()(在],[b a 上可导，且).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3)()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰2． 积分限函数的几种变式（1） 比如 ⎰-=xdt t f t x x F 0)()()((被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-xxxxdt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0)()()()(的形式，再对x 求导。
上限积分函数
上限积分函数
[∫[0,x] f(t)dt]'=f(x)
即：变动上限积分对变动上限的导数，等于将变动上限带入被积函数。
例：
F(x)=∫[0,x] sint/t dt 尽管sint/t 的原函数F(x) 无法用初等函数表示，但F(x)的导数却可以根据【变动上限积分求导法则】算出：
[F(x)]'=[∫[0,x] sint/t dt ]'=sinx/x
一般形式的【变动上限积分求导法则】为：
【∫[φ(x) ,ψ(x)] f(t)dt】' = f(φ(x))φ'(x)-f(ψ(x))ψ'(x)
设函数y=f(x) 在区间[a，b]上可积，对任意x∈[a，b]，y=f(x)在[a，x] 上可积，且它的值与x构成一种对应关系（如概述中的图片所示），称Φ(x)为变上限的定积分函数。
扩展资料：
如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。
一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。
定义某些特殊的函数：在某些积分的定义下这些函数不可积分，但在另一些定义之下它们的积分存在。
然而有时也会因为教学的原因造成定义上的差别。
最常见的积分定义是黎曼积分和勒贝格积分。
3、积分上限函数
0
ax sin x
a 1
1 2 x 1 cos x 1 2 lim lim 2 2 x 0 x 0 x x 2
y t x
例5：求由 0 e dt 0 cos tdt 0 所确定的函数 y f ( x) 的导数y/
e dt cos tdt 0
2
x
2 F ( x ) x cos x
2 2 F cos 4 8 4 4
例4：确定常数a,b,c的值，使 lim
x 0
ax sin x
x
b
ln(1 t )dt
2
c(c 0)
c 0b0
a cos x a cos x lim x lim lim c0 2 2 x 0 x 0 ln(1 x ) x 0 2 x ln(1 t ) dt
二、微积分基本定理：P160 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数
( x) f (t )dt
a
x
在[a,b]上可导，且
d x ( x) f (t )dt f ( x) dx a
a x b
说明：连续函数的原函数是存在的
d x f (t )dt f ( x) dx a
x2 0
(2) lim
x 0
1
cos x
et dt x2
2
lim
x 0
1
cos x
e dt
2
t 2
x
lim e
x 0
cos2 x
(cos x) 2x
lim
x 0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则⎰=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。
> 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情况求导。
>推论3 )()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰ <上下限都是变的时候，用上限的减去下限的。
>题型中常见积分限函数的变形和复合情况：（1）比如 ⎰-=xdt t f t x x F 0)()()((被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-xxxxdt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0)()()()(的形式，再对x 求导。
分离后左边的部分要按照(uv)＇=u ＇v + uv ＇进行求导！（重点） （2）比如 ⎰-=xdt x t tf x F 0)()(( f 的自变量中含x , 可通过变量代换将x 置换到f 的外面来)在求)(x F '时，先对右端的定积分做变量代换x t u -=（把x 看作常数），此时，du dt =，0=t 时，x u -=；x t =时，0=u ，这样，)(x F 就化成了以u 作为积分变量的积分下限函数：⎰⎰⎰---+=+=0)()()()()(xxxdu u uf du u f x du u f u x x F ，然后再对x 求导。
( 3 ) 比如 ⎰=1)()(dt xt f x F(这是含参数x 的定积分,在求)(x F '时，时，0=u ；1=t 时，x u =，于是，)(x F 就化成了以u 作为积分变量的积分上限函数：⎰=xdu u f x x F 0)(1)(，然后再对x 求导。
有积分限函数参与的题型举例 （1） 极限问题： 例1 ⎰⎰-→x x x dtt t t tdt23)sin (sin lim2（提示：0/0型，用洛必达法则，答：12）例2 xdt t xx ⎰+∞→0sin lim（提示：洛必达法则求不出结果，用夹逼准则，0=<|sinx|=<1。
答：π2）例3 已知极限1sin 1lim00=++-⎰→x x x dt ct t a bx e ，试确定其中的非零常数.,,c b a（答：.1,1,1==-=c b a ）（2） 求导问题例4 已知 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎰⎰.sin ,)cos 1(00tt udu y du u x 求.dx dy (参数方程，你懂的！答:)cos 1(2sin t t t -) 例5 已知 .0cos 0=+⎰⎰xyyt tdt dt e 求.dxdy(答: )cos()cos(xy x e xy y y+-) 例6 求⎰-x dt t x dxd 02)sin( (答: 2sin x ) 例7 设)(x f 在),(+∞-∞内连续且,0)(>x f 求证 ⎰⎰=x x dtt f dt t tf x 0)()()(ϕ 在),0(+∞内单调增加. （同济高数课本Unit5-3例题7）（3） 最大最小值问题例8 在区间],1[e 上求一点ξ, 使得下图中所示的阴影部分的面积为最小.(提示: 先将面积表达为两个变限定积分之和:⎰⎰-+=exxdt t tdt x A )ln 1(ln )(1, 然后求出)(x A ',再求出其驻点. 答:e =ξ.)例9 设0≥x ，n 为正整数. 证明 ⎰-=xn tdt t t x f 022sin )()( 的最大值不超过.)32)(22(1++n n(提示:先求出函数的最大值点, 然后估计函数最大值的上界.)(4) 积分问题例10 计算⎰10)(dx x xf ，其中⎰=21sin )(x dt ttx f .(提示: 当定积分的被积函数中含有积分上限函数的因子时, 总是用分部积分法求解, 且取)(x u 为积分上限函数. 答: ).11(cos 21-)例11 设)(x f 在),(+∞-∞内连续, 证明.])([))((0⎰⎰⎰=-x uxdu dt t f du u x u f(提示: 对右端的积分施行分部积分法.)例12 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤<-≤≤=.2,00,212,10)(x x x x x x x f 求⎰=Φx dt t f x 0)()(在),(+∞-∞内的表达式.(说明: 这类题在概论课中求连续型随机变量的分布函数时会遇到. 求表达式时, 注意对任一取定的x , 积分变量t 在],0[x 内变动.答: .21,21)2(211,1021,00)(22⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<--≤≤<=Φx x x x x x x )(5) 含有未知函数的变上限定积分的方程（称为积分方程）的求解问题 例13 设函数)(x ϕ连续，且满足.)()()(0⎰⎰-+=xxx dt t x dt t t e x ϕϕϕ 求).(x ϕ(答: )sin (cos 21)(x e x x x ++=ϕ) （说明：这类问题总是通过两端求导，将所给的积分方程化为微分方程，然后求解. 注意初值条件隐含在积分方程内. 答: x x x sin cos )(+=ϕ）例14 设)(x f 为正值连续函数, ,1)0(=f 且对任一0>x , 曲线)(x f y = 在区间],0[x 上的一段弧长等于此弧段下曲边梯形的面积, 求此曲线方程. (说明: 根据题设列出的方程将含有)(x f 的积分上限函数.答: ))0(2)(>+=-x e e x f xx (6) 利用积分上限函数构造辅助函数以证明积分不等式等.例15 设)(),(x g x f 均在],[b a 上连续, 证明以下的Cauchy-Swartz 不等式:.)()())()((222⎰⎰⎰≤bababadx x g dx x f dx x g x f说明: 本题的通常证法是从不等式0)]()([≥-⎰badx x tg x f 出发, 由关于t 的二次函数非负的判别条件即可证得结论. 但也可构造一个积分上限函数, 利用该函数的单调性来证明. 提示如下:令.)()(])()([)(222⎰⎰⎰⋅-=xaxaxadt t g dt t f dt t g t f x F 则.0)(=a F求出)(x F '并证明.0)(≤'x F 从而)(x F 单调减少, 于是得 .0)()(=≤a F b F 由此可得结论. 这种证法有一定的通用性. 例如下例.例16 设)(x f 在[0,1]上连续且单调减少. 证明: 对任一,10<<λ 有.)()(1⎰⎰≥dx x f dx x f λλ(提示: 即证.1)()(1⎰⎰≥dx x f dxx f λλ于是作,)()(0xdt t f x F x⎰=只需证)(x F 单调减少即可得结论.)利用积分上限函数构造辅助函数, 还常用于证明与微分中值定理有关 的某些结论. 比如下题.例17 设)(),(x g x f 在],[b a 上连续. 求证: 存在),(b a ∈ξ, 使 ⎰⎰=ξξξξabdx x f g dx x g f )()()()(.(提示: 令⎰⎰⋅=bxx adt t g dt t f x F )()()(. 对)(x F 在],[b a 上用Rolle 定理即可证得结论)关于积分限函数的奇偶性与周期性定理4 设()x f 连续，()()⎰=xdt t f x 0ϕ.如果()x f 是奇（偶）函数，则()x ϕ是偶（奇）函数；如果()x f 是周期为T 的函数，且()00=⎰Tdx x f ,则()x ϕ是相同周期的周期函数.证 设()x f 奇, 则()()()()()()()x du u f du u f u d u f dt t f x xf x x ut x ϕϕ==--=--==-⎰⎰⎰⎰-=-000奇,即()x ϕ为偶函数. 设()x f 偶, 则()()()()()()()x du u f du u f u d u f dt t f x xf xx ut x ϕϕ-=-=--=--==-⎰⎰⎰⎰-=-0偶,即()x ϕ为奇函数. 若()00=⎰Tdx x f ，则()()()()()()()x dt t f x dt t f dt t f dt t f T x TT x xx T x ϕϕϕ=+=+==+⎰⎰⎰⎰++0,即)(x ϕ为周期为T 的周期函数.例18 设)(x f 在),(+∞-∞内连续, ⎰-=xdt t f x t x F 0)()2()(. 证明:(a) 如果)(x f 是偶函数, 则)(x F 也是偶函数;(b) 如果)(x f 是单调减少函数, 则)(x F 也是单调减少函数.。