大学医用高等数学习题2
大学医用高等数学习题
解的存在唯一性定理
在一定条件下，微分方程存在唯一解的定理。
一阶常微分方程
1 2
线性一阶微分方程
形如y'=f(x,y)的一阶微分方程，其中f是x和y的已 知函数。
一阶常系数线性微分方程
形如y'=f(x)的一阶微分方程，其中f是x的已知函 数。
3
一阶微分方程的通解和特解
满足给定初始条件和边界条件的微分方程的解。
生物信息学
基因组学、蛋白质组学等生物信息学领域，通过高等数学方法对大规 模数据进行处理和分析，挖掘疾病与基因、蛋白质之间的关系。
药物研发
药物动力学模型、药效学模型等高等数学模型在药物研发过程中用于 预测药物在体内的分布、代谢和排泄情况。
医学中常用的高等数学概念
微积分
微积分是医学中应用最广泛的高等数学概念，包括极限、连续 性、导数和积分等，用于描述生物体内物质分布、生理过程和
药物作用等的动态变化。
线性代数
线性代数在医学数据处理和统计分析中发挥重要作用，如矩阵 运算、特征值和特征向量等，用于表示和处理医学图像、基因
表达数据等。
概率论与数理统计
概率论与数理统计是医学研究中不可或缺的数学工具，用 于描述随机现象、进行假设检验和预测疾病发生风险等。
02
函数与极限
函数定义与性质
复合函数的导数
对于复合函数，需要先对内层函 数求导，再将结果与外层函数的 导数相乘，得到复合函数的导数。
隐函数的导数
对于由方程确定的隐函数，可以 通过对方程两边求导的方法来求 得其导数。
微分及其应用
微分的定义
微分是函数在某一点的变化率的线性近似，用符号“d”表示。
微分的几何意义
微分可以理解为函数图像在某一点处的切线的斜率。
医用高等数学题库
医用高等数学题库第一章函数与极限1．设，求，并作出函数的图形。
2．设，，求，并作出这两个函数的图形。
3．设，求。
4．试证下列函数在指定区间内的单调性：（1）（2）5．下列函数中哪些是是周期函数对于周期函数，指出其周期：（1）（2）6．设。
试求下列复合函数，并指出x的取值范围。
7．已知对一切实数x均有，且f(x)为单调增函数，试证：8．计算下列极限：（1）（2）（3）9．（1）设，求常数a，b。
（2）已知，求a，b。
10．计算下列极限：（1）（2）（x为不等于零的常数）（3）（4）（5）（k为正整数）11．计算下列极限：（1）（2）（3）（4）（k为常数）（5）（6）（7）（8）（a>0，b>0，c>0）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）12．当时，无穷小1-x和（1）（2）是否同阶是否等价13．证明：当时，有（1）（2）14．利用等价无穷小的性质求下列极限：（1）（n，m为正整数）（2）15．试确定常数a，使下列各函数的极限存在：（1）（2）16．讨论下列函数的连续性：（1）的连续性（2）在x=0处的连续性17．设函数在[0，2a]上连续，,试证方程在[0，a]内至少存在一个实根。
18．设函数在开区间（a，b）内连续，，试证：在开区间(a，b)内至少有一点c，使得（其中）。
第二章导数与微分1．讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性：（1）（2）2．设存在，求3．设，问a，b为何值时，在x=0处可导4．已知，求及，并问：是否存在5．证明：双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于。
6．问当系数a为何值时，抛物线与曲线相切7．求下列各函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（a>0）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）8．求曲线在点处的切线方程和法线方程。
医用高等数学教材答案
医用高等数学教材答案[注意：以下为虚构内容，并非真实的医用高等数学教材答案]第一章：微积分基础1. 解答：a) 设医学函数f(x)表示患者血压变化情况。
根据观察数据，当时间t 以分钟为单位递增时，血压p以毫米汞柱为单位递减。
则可用函数f(x) = -0.1x + 180来描述患者血压的变化规律，其中x为时间，f(x)为血压值。
b) 患者血压在15分钟内的平均变化率为：平均变化率 = (p2 - p1) / (t2 - t1)假设15分钟内血压从 p1 = 180mmHg 下降到 p2 = 160mmHg，则平均变化率为：平均变化率 = (160 - 180) / (15 - 0) = -4mmHg/min因此，患者血压在15分钟内的平均变化率为-4mmHg/min。
2. 解答：a) 医学函数f(x)描述了人体内一种物质的浓度变化规律。
根据观察数据，当时间t以小时为单位递增时，物质浓度c以毫升为单位递增。
则可用函数f(x) = 0.2x + 3来描述物质浓度的变化规律，其中x为时间，f(x)为物质浓度。
b) 物质浓度在4小时内的平均变化率为：平均变化率 = (c2 - c1) / (t2 - t1)假设4小时内物质浓度从 c1 = 3ml 下降到 c2 = 5ml，则平均变化率为：平均变化率 = (5 - 3) / (4 - 0) = 0.5ml/h因此，物质浓度在4小时内的平均变化率为0.5ml/h。
第二章：概率与统计1. 解答：a) 使用二项分布模型可以描述医学试验中的二元结果。
设试验成功的概率为p，失败的概率为q = 1-p。
则试验重复n次，成功k次的概率可由二项分布公式计算：P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中C(n,k)表示从n次试验中选择k次成功的组合数。
b) 假设一种药物在治疗特定疾病时的成功率为80%（p=0.8），现在进行了100次治疗试验。
则治疗成功50次的概率为：P(X=50) = C(100,50) * 0.8^50 * 0.2^50 ≈ 0.079因此，治疗成功50次的概率约为0.079。
医用高数精选习题含答案
医用高数精选习题含答案医学生需要学习数学，尤其是高数。
然而，高数知识对于许多医学生来说是非常困难的。
因此，许多医学生需要精选的高数练习题目来加强他们的高数技能。
这里，我们提供一些医用高数精选习题和答案，这些习题涵盖了各种高数问题：导数、极值、曲率、微积分和微分方程。
1. 给出函数f(x) = 3x^2 + 2x的导函数答案：f’(x) = 6x + 2解析：对f(x)求导即可得到f’(x)。
2. 给出函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 45的极值点答案：f(x)在x=-3和x=5处达到极小值和极大值解析：对f(x)求导，令f’(x)=0，解得x=-3和x=5，分别代入f(x)求得f(-3)和f(5)，即得到极值。
3. 给出函数f(x) = sin(x)，在x = 0处的曲率答案：f”(x) = -sin(x)，因此，f”(0) = 0，所以曲率为0。
解析：对f(x)求两次导即可得到曲率公式f”(x) = -sin(x)，将x=0代入公式即可得到曲率为0。
4. 求以下函数的不定积分：f(x) = 6x^2 - 8x + 9答案：∫f(x)dx = 2x^3 - 4x^2 + 9x + C（其中C为常数）解析：对f(x)进行积分，即可得到不定积分。
5. 给出微分方程dy/dx = 9x^2 - 12x，求其通解答案：y = 3x^3 - 6x^2 + C（其中C为常数）解析：对微分方程求解，得到y的一般解，再带入初始条件求得一个特定解。
练习以上高数习题能够帮助医学生们掌握高数知识并加强自己的技能。
如果你感到这些习题有些困难，可以不断的练习，直到完全理解并掌握。
只要你通过努力，这些数学技能就会变得相对容易了。
医用高等数学(第三版)习题解答
医用高等数学（第三版）习题解答习题一1( 求下列函数的定义域:(1)要使函数有意义，需且只需，即或，所以函数 (x，2)(x,1),0y,(x，2)(x,1)x,,2x,1的定义域为。
(,,,,2],[1,，,)(2)要使函数有意义，需且只需，即，所以函数 y,arccos(x,3),1,x,3,12,x,4。
的定义域为[2,4]x,1x,1,0(3)要使函数有意义，需且只需且，或，所以函数的定 x，2,0x,,2x,1y,lgx，2x，2义域为。
(,,,,2),(1,，,)ln(2，x),0,ln(2，x),y,2，x,0(4)要使函数有意义，需且只需，解之得函数的定义域为。
[,1,0),(0,4),(4,，,),x(x,4),x(x,4),0,2,2,x,01x,(5)要使函数有意义，需且只需，解之得函数的定义域为。
y,，arcsin(,1)[0,2),22,,1,x/2,1,12,x,xsinx,0y,(6)要使函数有意义，需且只需，即函数的定义域为。
D,{xx,R,x,k,,k为整数}sinx1111122f(),,f(0),f(lg),1，lg,1，(lg2)2(解，，。
222221,0,x，,1,1112，，3f(x，)，f(x,)) 要使函数有意义，需且只需3(解(1 解之得函数的定义域为。
,,,,13333，，,0,x,,13,0,sinx,1(2)要使函数有意义，需且只需，即为整数，所以函数的定2k,,x,(2k，1),,kf(sinx)D,{xx,[2k,,(2k，1),],k为整数}义域为。
,1,1[e,1]e,x,1(3)要使函数有意义，需且只需，即，所以函数f(lnx，1)的定义域为。
0,lnx，1,1220,x,1[,1,1](4)要使函数有意义，需且只需，即，所以的定义域为。
f(x),1,x,1312sin332x2y,lgtan(x，1)4(解(1); (2) ; (3) ; (4) 。
大学医用高等数学习题
求解复杂函数的极限、导数、积分等，以及解决 一些实际问题。
解析方法
通过分析题目要求，引导学生逐步推导和证明， 让学生掌握解题思路和方法。
答案与解析
答案与解析
提供习题的答案和解析，帮助学生自我检测和巩固所学知识。
内容
包括每道习题的答案和详细的解析过程，让学生能够对照答案进行自我评估和纠正错误。
05 总结与展望
01
随着大数据和人工智能的兴起，医学高等数学将更多地应用于
数据分析和机器学习等领域。
跨学科融合
02
医学高等数学将与生物学、物理学、化学等其他学科进一步融
合，促进多学科交叉研究。
数学建模在医学研究中的应用
03
数学建模在医学研究中具有重要地位，未来将有更多复杂模型
应用于医学领域。
对未来学习的建议
01
02
流行病学模型是利用数学方法描述疾病在人 群中传播规律的模型，通过对疾病流行趋势 的预测和分析，为防控措施的制定提供依据。 流行病学模型在传染病防控、慢性病管理等 领域有广泛应用。
医学影像处理中的数学方法
总结词
利用数学方法对医学影像进行分析和处理的 手段。
详细描述
医学影像处理中的数学方法包括图像增强、 图像分割、特征提取和模式识别等技术。这 些技术可以帮助医生更准确地解读和分析医 学影像，提高诊断的准确性和可靠性。在放 射学、病理学和医学成像等领域，医学影像
不定积分与定积分
不定积分概念
不定积分是求函数原函数的运算，不定 积分的结果是一组原函数，它们之间相 差一个常数。不定积分的基本公式和运 算法则是学习定积分的基础。
VS
定积分概念
定积分是求函数在某个区间上的积分和的 运算。定积分的值与被积函数和积分的区 间有关，可以用来计算面积、体积等实际 问题。
医科高等数学 教材答案
医科高等数学教材答案1. 引言医科高等数学是医学生必修的一门数学课程，主要涵盖了微积分、概率统计等数学内容，是医学生综合素质培养的重要组成部分。
本文将为大家提供医科高等数学教材的一些答案，希望对学生们在学习中有所帮助。
2. 微积分部分2.1 极限与连续性2.1.1 极限的基本概念与性质- 问题1: 计算极限 $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$。
- 解答: 根据已知极限 $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1$。
2.1.2 函数的连续性- 问题2: 判断函数 $f(x) = \begin{cases}x^2, & x\neq1 \\ 2, &x=1\end{cases}$ 的连续性。
- 解答: 函数在 $x=1$ 处连续，其他点处连续。
2.2 导数与微分2.2.1 导数的概念与性质- 问题3: 计算函数 $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ 的导数。
- 解答: $f'(x) = 6x - 4$。
2.2.2 高阶导数与高阶微分- 问题4: 计算函数 $f(x) = e^x \sin x$ 的二阶导数。
- 解答: $f''(x) = e^x(\sin x + 2\cos x)$。
3. 概率统计部分3.1 随机事件和概率3.1.1 随机试验与事件- 问题5: 已知一枚硬币被抛掷，求出现正面的概率。
- 解答: 假设硬币均匀，正面出现的概率为 $\frac{1}{2}$。
3.1.2 概率的性质与公式- 问题6: 已知事件 $A$ 的概率为 $P(A) = \frac{1}{3}$，求事件$\overline{A}$ 的概率。
- 解答: $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$。
3.2 随机变量与概率分布3.2.1 随机变量的概念与分类- 问题7: 将一枚骰子投掷一次，定义随机变量 $X$ 表示出现的点数，求随机变量 $X$ 的概率分布。
医学高等数知识学习题集解答(2,3,6)
第一章 函数、极限与连续习题题解(P27)一、判断题题解1. 正确。
设h (x )=f (x )+f (-x ), 则h (-x )= f (-x )+f (x )= h (x )。
故为偶函数。
2. 错。
y =2ln x 的定义域(0,+∞), y =ln x 2的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)。
定义域不同。
3. 错。
+∞=→21limx x 。
故无界。
4. 错。
在x 0点极限存在不一定连续。
5. 错。
01lim =-+∞→xx 逐渐增大。
6. 正确。
设A x f x x =→)(lim 0，当x 无限趋向于x 0,并在x 0的邻域内，有εε+<<-A x f A )(。
7. 正确。
反证法：设F (x )=f (x )+g (x )在x 0处连续，则g (x ) =F (x )-f (x )，在x 0处F (x )，f (x )均连续，从而g (x )在x =x 0处也连续，与已知条件矛盾。
8. 正确。
是复合函数的连续性定理。
二、选择题题解1. ())( 22)]([,2)(,)(222D x f x x x f x x x ====ϕϕ2. y =x (C )3. 01sinlim 0=→xx x (A )4. 0cos 1sinlim0=→xx x x (B ) 5. )1(2)(lim ,2)3(lim )(lim ,2)13(lim )(lim 11111f x f x x f x x f x x x x x ≠=∴=-==-=→→→→→++--Θ (B ) 6. 3092<⇒>-x x (D )7. 画出图形后知：最大值是3，最小值是-10。
(A )8. 设1)(4--=x x x f ,则13)2(,1)1(=-=f f ，)(x f 连续，由介质定理可知。
(D ) 三、填空题题解1. 210≤-≤x ⇒31≤≤x2. )arctan(3x y =是奇函数，关于原点对称。
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26. (4)
tan x sin x cos 3 x lim lim tan 3 x cos x sin 3 x x x
2 2
sin x cos 3 x lim lim sin 3 x cos x x x
2 2
3sin 3 x (1) lim ( 1) (3) 3 sin x x
y y0
y0 x0
( x x0 )
y
y0 x0
x y0 x0 y0 y0 ( x0 y0 ) a y0
y a y0 x a x0 1
14
化为截距式: 截距之和为
a ( x0
y0 ) a
16.求下列函数的二阶导数
(3) y=xx ln y=x ln x 1/y· y´=ln x+1 y´=xx(ln x+1)
y+xy´=ex+y(1+y´)
e y xy y y x y xe x xy
x y
13
x y a 上任一点处的切线, 15.试证明曲线 截两个坐标的截距之和为 a y 1 解: 对方程两边求导: 1 y 0, y 2 x 2 y x
切线方程:
9
12.(5)求导数
(x 2 x 1 1 2 x 2 x 4 x 8 x x
y x x x
y
x x x
x ) x
1 1 2 x x )
1 2 x 2 x x
(x x
x )
x
(1
x x x
x 2 x 1 x x x
10
13. (1) y=xlnx
7
e
[ln f ( x0 )]
e
8. 设曲线 y=2x-x3
(1) 求 (1, 1) 点处的切线方程及法线方程; (2) (x0, y0) 点处的切线通过 (0, -2) 点, 求 (x0, y0) 点及该点处的切线方程、法线方程.
(1) y'=2-3x3
y´|x=1=2-3=-1
x+y-2=0 x-y=0
f ( x ) y f ( x)
2 f ( x ) f ( x ) [ f ( x )] y [ f ( x )]2
17
19.一质点作直线运动, 其运动规律为 s t , 其中路程 s 的单位为米, 时间的单位为秒, 求质 点在第四秒末的速度与加速度?
s 1 2 t , s 1 4 t
8
切线方程: y-1= - (x-1) 法线方程: y-1= x-1
8.(2)
解: 过 (x0, y0) 的切线方程: y-y0=(2-3x02)(x-x0) 因 y0=2x0-x03 y-(2x0-x03)=(2-3x03)(x-x0) 过 (0,-2), x=0, y=-2 代入: -2-2x0+x03 =-2x03 +3x03 x03 =-1, x0=-1, y0=-1 切线方程: y+1=-x-1 即 x+y+2=0 法线方程: y+1=x+1 即 y=x
因此函数 f(x) 在 x=0 点处可导.
4
x 1 (2) f ( x) 1 e x 0
x0 x0
f(x) 在 x=0 处连续, 由导数定义有: x 0 1 x f (0 x) f (0) 1 e lim lim lim x 0 x 0 x 0 x x
2 2 2
20
e e 2x e e 2 (1) lim lim x 0 x 0 x sin x 1 cos x x x x x e e e e lim lim 2 x 0 x 0 sin x cos x (2)
x x
x
x
26. (3)
x 2
xe lim x x e x
1 x 2 x 1 y x (ln x 1) x x (ln x 1) x x
x 2 x
15
y 16.(4) ln x y arctan x
2 2
两边对 x 求导:
( x y )( x y ) ( x y )( x y ) (1 y)( x y ) (1 y )( x y) y 2 ( x y) ( x y)2 x y 2x 2 y 2 x 2 yy x y 2 x 2 4 xy 2 y 2 16 2 2 3 ( x y) ( x y) ( x y)
(8 ) y ( x sin x ) 1 e
1 y 2
x
x
ln y=1/2[ln x+lnsin x+1/2ln(1-ex)]
1 e xsinx 1- e [ cot x ] 11 x x 2(1 e )
x
14.求由下列方程确定的隐函数的导数.
(1) y=1+xey y´=ey+xeyy´ (1+xey)y´=ey
1 f ( x0 ) f ( x0 ) 1 n (3) lim n[ f ( x0 ) f ( x0 )] lim f ( x0 ) n n 1 n 2 n
f ( x0 t ) f ( x0 t ) (4) lim t 0 h f ( x0 t ) f ( x0 ) [ f ( x0 t ) f ( x0 )] lim t 0 t f ( x0 t ) f ( x0 ) f ( x0 t ) f ( x0 ) lim lim t 0 t 0 t t ( ) f ( x0 )
y´=[elnxlnx]´=elnxlnx· 2lnx· 1/x=xlnx· 2lnx/x (5) y = x2x+(2x)x y´=[e2xlnx+exln(2x)]´ =e2xlnx(2xlnx)´+exln(2x)[xln(2x)]´ = 2x2x(lnx+1)+(2x)x[ln(2x)+1]
2
2 sec x tan x
2
lim
e
e
x
2
lim
cos x sin 2 x
e
x
2
e 1
0
26. (8)
e x 1 x 1 x 1 lim ln( e x x ) x0 x
lim(e x) e
x 0
e
x e lim x x0 1
(2) y=tan(x+y)
e y y 1 xe
y
y´=sec2(x+y)(1+y´)
[1-sec2(x+y)]· y´=sec2(x+y)
sec ( x y ) sec ( x y) 2 y 2 csc ( x y ) 2 sec ( x y) 1 tan ( x y)
1 f ( x0 ) n ]n } ln{ lim [ n f ( x0 )
1 [ln f ( x0 )ln f ( x0 )] n 1 lim n n
e e
e
1 lim n[ln f ( x0 ) ln f ( x0 )] n n f ( x0 ) f ( x0 )
3
s t 4
1 , 4
s t 4
1 32
答: 4 秒末的速度为1/4 米/秒, 加速度为 -1/32 米/秒2
18
20. 许多肿瘤的生长规律为
v v0e
A (1e at ) a
其中, v 表示 t 时刻的肿瘤的大小(体积或重量), v0 为开始 (t=0) 观察时肿瘤的大小, a 和 A 为 正常数. 问肿瘤 t 时刻的增长速度是多少?
x x
e 1 lim x x x 0 2e xe 2
x
23
26. (7)
lim(tan x)
x
2cos x
lim e
x
2cos x ln(tan x )
e
x
ln tan x lim 2 1
2 cos x
2 sec 2 x lim 2 tan x sec x tan x x
x yy xy y 2 2 2 2 x y x y x y x yy xy y , y x y
xy y 2 1 2 x 2 yy x 2 2 y 2 2 x y 1 ( ) x
17.设 f (x) 存在, 求下列函数的二阶导数 (1) y=f (x+e-x) y=f(x2) · 2x y=2f(x2)+f(x2) · 4x2 (2) y=ln[f(x)]
v v0 e
A (1 e at ) a
A at e (a ) a e
at
19
v0 Ae
A (1 e at ) a
26.利用 L´Hospital 法则求下列函数极限
cos x 2 ln sin x csc x 1 sin x lim lim lim 2 ( 2 x ) 4( 2 x ) 8 8 x x x
x 2 x 2
x 2
1 xe 1 x e 1 xe 2 2 lim lim lim x x x x x x e x x 1 e e 2 e2 1 2 lim 0 x x x 1 e 2 1 e2 2 2
21
x 0
1 1 e
1 xlimຫໍສະໝຸດ 1 1 e1 x 1, 而 lim
x 0
1 1 e
1 x
0
5
因此 f(x) 在 x=0 处不可导.