2017年第33届中国数学奥林匹克试题(图片版)
中国数学奥林匹克竞赛试题【CMO】[1987-2003]
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CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题1987第二届年中国数学奥林匹克1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整除。
2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。
已知i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。
ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。
试求3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。
4.所有结点上数的总和S。
3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。
结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。
4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。
5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们两两相切。
如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。
6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。
1.设a1, a2, ... , a n是给定的不全为零的实数，r1, r2, ... , r n为实数，如果不等式r1(x1-a1)+r2(x2-a2)+...+r n(x n-a n)≦√(x12+ x22+ ... + x n2) + √(a12+ a22+ ... + a n2)对任何实数x1, x2, ... , x n成立，求r1, r2, ... , r n的值。
2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A卷)试题及答案考点分析
2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A 卷)试题及答案考点分析2017年全国高中数学联合竞赛一试卷〉参考答案及评分标准说明孑1.评阅试卷时*请依据本评分标淮.填空趣只设S 分和o 分两档1其他备题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.N 如果考生的解??方法和本解答不同+只要思路合理"步骤1E 确，在评卷时训 参苇本评分标准适为划分档次评仆.解芥题中第9小题*分対--个栉次.第10. 11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次*一、填空题；本大题共*小题，每小題*分，共64分.设八龙)屣走文任H 上的噌数，对任意实^xfTf(x+3)f(x-4) = -l.又 当0冬“V7时・/(x)=log 3(9-x)・则/X-100)的値为 ____________________________ ・答案；■齐比庄平面現角坐标系xQy 中.fffiEfC 的方程为芝■ +匚=1, F 为C 的上煉点，A 的右顶点.戶是(?上位丁第象限内的別点*则四边Jg OAPF 的面积 的燧大值为 ”解：易知#(3,0), F(O,D.设尸的酸掠圧(3ws 罠JTB 抽叭，w九秤=孔加 V S s^r- = | ■ 3 ■sin 0 + | ■ I ■ 3 cos!〔中 y ： — arctan —.当（9 — arctanVTo 时.四边形OAPF iff | 积的fit 大備为卫■土*解：由篆件知，/U + 14） = ---------------- = f （x} t 所以./<x + 7）2.若实数工j 满足”F 4- 2 cosy = 1 .则x — cos y 的収值范围足i _______ 答案:H1,広+ 1].解：由 +.Y 1- 1 -2cos yG[-l > 故GX 时F 可以収？Th 由于扌U+1)'—1的恤域筍-h J5 + 1］，从而X-CGSJ 的耿值范围是［一匕J5 + 1］・si n （ 4 *} +4. 若一个三位数中任总两个相邻数码的差均不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是____________ ・答案：75. _解：考虑平稳数赢.若6 = 0,则。
第33届中国数学奥林匹克获奖名单
第33届中国数学奥林匹克获奖名单第33届中国数学奥林匹克获奖名单一等奖（128人）编号姓名性别年级省市学校M17001 欧阳泽轩男高三浙江浙江省温州中学M17002 韩新淼男高一浙江乐成寄宿中学M17003 周天男高三山东山东省菏泽第一中学M17004 倪弘康男高三上海华东师大二附中M17005 孔鼎问男高三北京中国人民大学附属中学M17006 焦宇翔男高三北京中国人民大学附属中学M17007 叶皓天男高三广东广州大学附属中学M17008 胡云棚男高三湖北华师一附中M17009 叶安宁男高三重庆重庆市巴蜀中学校M17010 叶奇男高三浙江乐成寄宿中学M17011 黄哲宇男高三浙江苍南嘉禾中学M17012 朱昦曈女高二上海华东师大二附中M17013 金及凯男高一上海华东师大二附中M17014 洪昊男高三辽宁大连育明高级中学M17015 杨诚远男高一北京中国人民大学附属中学M17016 李一笑男高二江苏江苏省天一中学M17017 赵子瑜男高三浙江绍兴市第一中学M17018 姚嘉敏男高二上海华东师大二附中M17019 蒋天泽男高一上海上海市上海中学M17020 魏澜男高二北京中国人民大学附属中学M17021 宋嘉瑞男高三山西山大附中M17022 黄柏贺男高三辽宁东北育才学校M17023 郭子棋男高三四川成都七中M17024 王天洋男高二北京中国人民大学附属中学M17025 张坤隆男高三广东深圳中学M17026 谭健翔男高三广东华南师范大学附属中学M17027 田翊男高三四川成都七中M17028 刘易男高三湖南长沙市一中M17029 刘润声男高三广东华南师范大学附属中学M17030 王泽宇男高二陕西西北工业大学附属中学M17031 陈伊一男高三湖南雅礼中学M17032 彭永坚男高三湖南长郡中学M17033 徐文波男高三浙江浙江省温州中学M17034 于惠施女高三北京中国人民大学附属中学M17035 李文杰男高三浙江杭州学军中学M17036 俞然枫男高一江苏南师附中M17037 陈远洲男高二北京北师大附属实验中学M17038 蔡子熙男初二广东深圳外国语学校M17039 施奕成男高三湖北华师一附中M17040 韩序舜男高三辽宁大连育明高级中学M17041 魏宇辰男高三北京清华大学附属中学M17042 邓明扬男初三北京中国人民大学附属中学M17043 陈宇轩男高三四川绵阳中学M17044 朱天明男高一湖北武汉二中M17045 徐中炜男高三浙江乐成寄宿中学M17046 谢卓凡男高三北京清华大学附属中学M17047 陈天择男高三湖南湖南师大附中M17048 陈昶侃男高三福建莆田一中M17049 樊普男高三河北邯郸一中M17050 邵约翰男高三浙江乐成寄宿中学M17051 刘予培男高三湖南长郡中学M17052 于凯旭男高三河北衡水中学M17053 孙孟越男高三上海华东师大二附中M17054 徐浩轩男高二北京北师大附属实验中学M17055 程一宸男高三湖北黄冈中学M17056 杨舍男高三北京中国人民大学附属中学M17057 姚睿男高三湖北华师一附中M17058 于卓男高三吉林东北师大附中M17059 池卓倪男高三重庆重庆南开中学M17060 郑皓天男高二湖北华师一附中M17061 胡苏麟男高一广东华南师范大学附属中学M17062 周弘毅男高一广西南宁三中M17063 徐培石男高二上海华东师大二附中M17064 陈泰杰男高二河南郑州外国语学校M17065 王佳泓男高三吉林东北师大附中M17066 魏昕女高三湖北武汉二中M17067 蔡予诚男高三上海上海市上海中学M17068 陈芷芮女高三湖北武汉二中M17069 李文烨男高二河南郑州外国语学校M17070 李震之男高三山西太原市第五中学M17071 洪昕男高三福建莆田一中M17072 张天越男高三江苏启东中学M17073 郭若一男高三山西山大附中M17074 黄轶之男高二四川成都七中M17075 陈泉霖男初三北京中国人民大学附属中学M17076 寇一雯女高三辽宁东北育才学校M17077 熊子睿男高三湖北华师一附中M17078 陈可达男高三浙江浙江省温州中学M17079 石元峰男高三四川成都七中M17080 杨泓暕男高三北京中国人民大学附属中学M17081 何世航男高一湖北华师一附中M17082 黄硕董男高三浙江乐成寄宿中学M17083 范易扬男高一上海上海市上海中学M17084 张金城男高三重庆重庆市巴蜀中学校M17085 李章颂男高二浙江浙江省温州中学M17086 冯煜阳女高三湖南湖南师大附中M17087 陈泓宇男高三四川成都七中M17088 何雨桐男高三辽宁东北育才学校M17089 杨向谦男高三北京中国人民大学附属中学M17090 李云隆男高二上海上海市上海中学M17091 马晓阳男高二安徽合肥一中M17092 熊诺亚男高一重庆重庆市巴蜀中学校M17093 吴恒男高三江苏江苏省兴化中学M17094 马致远男高三上海华东师大二附中M17095 秦珺辉男高三湖南长郡中学M17096 张质源男高三广东华南师范大学附属中学M17097 李正浩男高三湖南雅礼中学M17098 梁渝涛男高三重庆重庆市巴蜀中学校M17099 仇傲男高二北京中国人民大学附属中学M17100 王炜皓男高二广东华南师范大学附属中学M17101 李霖男高一重庆重庆市巴蜀中学校M17102 邢芳榕男高二广东深圳高级中学M17103 邵飞瑜男高三浙江乐成寄宿中学M17104 孙云泽男高二浙江杭州学军中学M17105 冯语凡男高三浙江杭州二中M17106 韩笑男高二上海上海市上海中学M17107 刘翊臣男高三重庆重庆南开中学M17108 杨至文男高三天津天津市南开中学M17109 颜冠霞女高三浙江温州育英国际实验学校M17110 王聿昊男高三山东山东莱芜一中M17111 朱志涛男高三浙江乐成寄宿中学M17112 吴雨澄男高三湖南湖南师大附中M17113 陈聪男高三浙江乐成寄宿中学M17114 詹赜源男高二吉林长春吉大附中实验学校M17115 侯雨廷男高三山西山大附中M17116 陈晓越男高三上海上海市七宝中学M17117 冯梓轩男高二北京中国人民大学附属中学M17118 周鼎昌男高二北京中国人民大学附属中学M17119 虞家伟男高三江西南昌市第二中学M17120 朱子晗男高三陕西西安高新第一中学M17121 陈尧男高二江苏江苏省海门中学M17122 张昊坤男高二广东深圳中学M17123 张江昊男高三甘肃西北师范大学附属中学M17124 王渤男高三辽宁大连市第二十四中学M17125 张澄女高二上海上海市上海中学M17126 刘原实男高三吉林长春吉大附中实验学校M17127 杨茗男高三四川成都七中嘉祥外国语学校M17128 郑子和男高三广东深圳中学二等奖（142人）编号姓名性别年级省市学校M17129 贾雨祺男高三山西山大附中M17130 包淳男高三江苏江苏盐城中学M17131 郑陈畅男高二浙江温州育英国际实验学校M17132 俞译峰男高三河北衡水第一中学M17133 何振宇男高二湖北华师一附中M17134 王艺纯女高三吉林长春吉大附中实验学校M17135 刘凡男高三陕西西北工业大学附属中学M17136 戴陈骁男高三湖北武钢三中M17137 李通甲男高三河南郑州一中M17138 刘泽楠女高三吉林东北师大附中M17139 张凯勃男高三北京北京十一学校M17140 何凯辰男高一湖南雅礼中学M17141 马行健男高三浙江镇海蛟川书院M17142 李肇基男高二上海上海市上海中学M17143 石恺宁男高三湖南湖南师大附中M17144 袁得恒男高三山西山大附中M17145 崔郝好男高三重庆重庆市巴蜀中学校M17146 吴蔚琰男高三安徽合肥168中学M17147 颜川皓男初三上海上海市市北初级中学M17148 刘赞辉男高三贵州贵阳一中M17149 叶焱华男高三浙江乐成寄宿中学M17150 董浩廷男高二黑龙江哈尔滨市第三中学校M17151 匡龙昊男高三江西江西吉安一中M17152 王本宇男高二黑龙江哈尔滨市第三中学校M17153 吴若凡男高三河北衡水中学M17154 李咏璋男高二四川成都树德中学M17155 罗智康男高三广东广州大学附属中学M17156 孙玉东男高三天津天津市耀华中学M17157 李禹桥男高三吉林长春吉大附中实验学校M17158 袁祉祯男高一湖北武钢三中M17159 魏润文男高三天津天津市南开中学M17160 李朴恒男高二上海上海市上海中学M17161 王淄勋男高三河北邯郸一中M17162 王霆浩男高三山西山大附中M17163 李国豪男高三山东泰安一中M17164 闫正邦男高二黑龙江哈尔滨市第三中学校M17165 马啸阳男高二上海上海市上海中学M17166 邹逸男高三重庆重庆市巴蜀中学校M17167 陈博文男高二江苏徐州市第一中学M17168 梁圣通男高三福建厦门双十中学M17169 徐洋男高三吉林东北师大附中M17170 王首樵男高三天津天津市耀华中学M17171 杨逸舟男高三安徽安徽省马鞍山市第二中学M17172 胡馨元女高三重庆重庆市巴蜀中学校M17173 陈雨涛男高三江西江西省鹰潭市一中M17174 王雪彤女高三河北衡水中学M17175 丁睿男高三安徽合肥一六八中学M17176 余龙林男高三湖北黄冈中学M17177 叶龙翔男高二安徽安庆市第一中学M17178 程恒轩男高三安徽安徽省马鞍山市第二中学M17179 熊昱滔男高三湖北武钢三中M17180 刘其灵男高三湖南湖南师大附中M17181 陈博洋男高二四川成都七中嘉祥外国语学校M17182 汪禄衡男高三贵州遵义市南白中学M17183 吴雨桐男高一江苏苏州中学M17184 程靖普男高三河南郑州外国语学校M17185 陈新杨男高三山东东营市一中M17186 穆禧龙男高三天津天津市南开中学M17187 黄楚昊男高三湖北武钢三中M17188 夏一航男高一江苏江苏省扬州中学M17189 杨鹏男高三甘肃西北师范大学附属中学M17190 应怀原男高三江苏江苏省扬州中学M17191 关震岳男高三河北石家庄市第二中学M17192 肖澍旸男高三湖南雅礼中学M17193 顾博森男高三北京北师大附属实验中学M17194 解尧平男高二天津实验中学M17195 胡逸隆男高三河北唐山一中M17196 黄海天男高二浙江杭州学军中学M17197 王毅然男高三河南河南省实验中学M17198 杨雨辰男高三河北唐山一中M17199 刘泽垣男高二河南郑州一中M17200 冯宣瑞男高一广东华南师范大学附属中学M17201 陈思锟男高三四川四川省南充高级中学M17202 张同力男高二安徽合肥一中M17203 江锐城男高三安徽安徽省马鞍山市第二中学M17204 陈若柠女高三湖北武钢三中M17205 季一尘男高三广东深圳中学M17206 郎柏鸣男高二吉林东北师大附中M17207 陈锐男高三河南郑州一中M17208 董雨霆男高三辽宁辽宁省实验中学M17209 张一博男高三山东山东省聊城第一中学M17210 朱子亦男高三湖北武汉外国语学校M17211 吴清玉女高三吉林东北师大附中M17212 古俊龙男高三江西江西师范大学附属中学M17213 陈嘉恒男高三河南河南省实验中学M17214 王渭臻男高三湖南长沙市一中M17215 唐宁男高三天津天津一中M17216 唐静吾男高二北京清华大学附属中学M17217 史庭潇男高二浙江杭州学军中学M17218 张起珉男高三辽宁大连育明高级中学M17219 俞汶佑男高三江西江西省鹰潭市一中M17220 吴大维男高三上海复旦附中M17221 龙雨晴女高三湖南雅礼中学M17222 冯天夏男高三江西江西省黎川县第二中学M17223 朱泽华男高三江西于都县第二中学M17224 张家祥男高三河南河南省实验中学M17225 何沛予男高三湖南长沙市一中M17226 张潆方女高三湖南长郡中学M17227 常弋阳男高二河南郑州一中M17228 解天敏男高三上海上海市上海中学M17229 何博航男高三湖南长沙市一中M17230 蔡炆沅男高二吉林长春吉大附中实验学校M17231 姜政彤男高二贵州贵阳一中M17232 常灿男高三江苏江苏省泰兴中学M17233 蔡思捷男高三安徽合肥一中M17234 吴韬男高三安徽安庆市第一中学M17235 王昊哲男高二河北衡水第一中学M17236 周子涵男高三天津天津市耀华中学M17237 赵宇珵男高三广东华南师范大学附属中学M17238 朱心一男高三江苏南京外国语学校M17239 连家睿男高三浙江乐成寄宿中学M17240 张益嘉男高二湖北华师一附中M17241 彭欣男高三江西江西吉安市白鹭洲中学M17242 吴松涵男高三江苏江苏省淮阴中学M17243 钱一程男高一江苏江苏省锡山高级中学M17244 闵睿男高三江西江西省景德镇一中M17245 张海翔男高三四川成都七中嘉祥外国语学校M17246 房鋆男高三江苏江苏省扬州中学M17247 张晟峻男高二黑龙江哈尔滨市第三中学校M17248 李嘉麒男高三陕西西安高新第一中学M17249 庞舜之男高三四川成都七中M17250 杜航男高二四川成都七中M17251 钱弘灿男高二福建福建师大附中M17252 周刚男高三福建厦门双十中学M17253 蔡笑寒男高三河北衡水第一中学M17254 代睿哲男高三河北石家庄市第二中学M17255 陈宇昂男高三吉林吉林市第一中学M17256 周子焜男高三重庆重庆南开中学M17257 赵振华男高三河南郑州外国语学校M17258 盛翊伦男高三北京中国人民大学附属中学M17259 赵宇轩男高三湖北武汉外国语学校M17260 蔡雨雷男高三重庆重庆市巴蜀中学校M17261 张逸辰男高三山东东营市一中M17262 杨东润男高三云南云南师大附中M17263 王子豪男高三重庆重庆市巴蜀中学M17264 刘皓辰男高三陕西西北工业大学附属中学M17265 安金旭男高三天津天津市南开中学M17266 叶沐青男初三上海上海市民办华育中学M17267 李响1 男高三陕西西安市铁一中学M17268 宣涵潇男高三四川成都七中M17269 胡浩宇男高二广东华南师范大学附属中学M17270 王子安男高三湖南雅礼中学三等奖（86人）编号姓名性别年级省市学校M17271 高哲荃男高一上海复旦附中M17272 初君涵男高三辽宁大连市第二十四中学M17273 宋子萌男高二北京清华大学附属中学M17274 滕博男高二吉林东北师大附中M17275 申武杰男高三山西太原市第五中学M17276 李瀚男高三河北邯郸一中M17277 王一鸣男高二北京中国人民大学附属中学M17278 赵梓淇男高三陕西西北工业大学附属中学M17279 牛钰涵男高三海南海南中学M17280 胡博怡女高三湖北襄阳五中M17281 邢蓝翔男高三新疆乌鲁木齐市第一中学M17282 王运泽男高二吉林吉林市第一中学M17283 孙大琨男高二贵州贵阳一中M17284 陈恒宇男高三福建福州一中M17285 申炜男高三河南郑州外国语学校M17286 李乔波男高三广东华南师范大学附属中学M17287 管梓强男高三河南郑州外国语学校M17288 刘禹潇男高三重庆重庆南开中学M17289 于飞洋男高二黑龙江哈师大附中M17290 陈汉博男高三黑龙江佳木斯一中M17291 郝治男高三陕西西安市铁一中学M17292 柴文健男高三云南云南师大附中M17293 王俊骁男高三辽宁东北育才学校M17294 梁展照男高三广西广西师范大学附属外国语学校M17295 尹麒龙男高三山东济南市历城二中M17296 刘喆天男高三广西广西师范大学附属中学M17297 单航男高三黑龙江哈师大附中M17298 王毅铖男高三浙江杭州学军中学M17299 温胜伦男高三黑龙江哈尔滨市第三中学校M17300 卢伊豪男高三福建福建省厦门第一中学M17301 陈可然女高三安徽安徽师范大学附属中学M17302 周瑞松男高二福建福州一中M17303 董佳林男高二黑龙江哈师大附中M17304 宁皓阳男高三吉林东北师大附中M17305 蒲俊凯男高二海南海南中学M17306 郭语涵男初三河南郑州一中M17307 丁一锋男高三重庆重庆市第八中学M17308 林璇男高三福建福建师大附中M17309 刘宇浩男高三江西南昌县莲塘一中M17310 王泽雨男高三陕西西安市铁一中学M17311 文杰女高三重庆重庆市第八中学M17312 朱辰宇男高二上海上海市上海中学M17313 安睿龙男高三天津实验中学M17314 徐晏辰男高二上海复旦附中M17315 王子嘉男高二黑龙江哈师大附中M17316 胡子晗女高二浙江乐成寄宿中学M17317 邵俊淇男高二黑龙江哈尔滨市第三中学校M17318 苏科男高三山东东营市一中M17319 高博文男高三河南郑州一中M17320 包文龙男高二吉林东北师大附中M17321 吴正诚男高三上海华东师大二附中M17322 陈俊麒男高三广西南宁三中M17323 黄之易男高二重庆重庆南开中学M17324 程礼棋男高三云南云南师大附中M17325 南之琛男高三湖北华师一附中M17326 周书涵男高一上海上海市上海中学M17327 陈子恒男高三新疆乌鲁木齐八一中学M17328 周益升男高三江西江西吉安一中M17329 孙汉存男高三吉林东北师大附中M17330 马宇轩男高三新疆克拉玛依市第一中学M17331 胡修远男高三天津天津市耀华中学M17332 张无忧男高二黑龙江鹤岗一中M17333 杨书颜男高一四川成都七中M17334 胡蕴璋男高三陕西西安交通大学附属中学M17335 林觉民男高三海南海口中学M17336 于灏男高三新疆乌鲁木齐市第一中学M17337 尤飞扬男高三湖北襄阳五中M17338 郑翔雨男高三山东山东省五莲县第一中学M17339 宋成越男高三陕西西北工业大学附属中学M17340 刘伊丰男高三广东广东惠州第一中学M17341 李硕学男高三甘肃西北师范大学附属中学M17342 孙韵翔男高三甘肃甘肃省兰州第一中学M17343 陈希男高三青海青海湟川中学M17344 边子恒男高三内蒙古鄂尔多斯市第一中学M17345 张史政男高二海南海南中学M17346 张鹤潇男高三内蒙古鄂尔多斯市第一中学M17347 李学轩男高三宁夏银川一中M17348 张文虎男高三宁夏银川一中M17349 于越女高三内蒙古赤峰二中M17350 赵雯玥女高三青海青海湟川中学M17351 张欣怡女高三宁夏石嘴市三中M17352 杨碧茹女高二云南云南师大附中M17353 张传睿男高三宁夏银川一中M17354 曹哲铭男高三甘肃甘肃省兰州第一中学M17355 钱辰宇男高三西藏拉萨中学M17356 刘殊辰女高三辽宁东北育才学校。
2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)全文
可编辑修改精选全文完整版2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数.对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时.)9(log )(2x x f -=.则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x .则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C 的方程为1109:22=+y x .F 为C 的上焦点.A 为C 的右顶点.P 是C 上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC 中.AB=1.AP=2.过AB 的平面α将其体积平分.则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中.点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中.M 是边BC 的中点.N 是线段BM 的中点.若3π=∠A .ABC ∆的面积为3.则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a .对任意正整数n .有n n n a a a +=++12.n n b b 21=+.则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数.不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数.满足1321=++x x x .求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z .0)Re(2>z .且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图.在ABC ∆中.AC AB =.I 为ABC ∆的内心.以A 为圆心.AB 为半径作圆1Γ.以I 为圆心.IB 为半径作圆2Γ.过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a . ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数.n m ≥.n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数.且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x .均存在一个)1(n i i ≤≤.使得x m m x a i )1(2+≥.这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中.2a =.3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+.则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数.若2()f x x +是奇函数.()2xf x +是偶函数.则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中.若sin 2sin A C =.且三条边,,a b c 成等比数列.则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中.,E F 分别在棱,AB AC 上.满足3BE =.4EF =.且EF 与平面BCD 平行.则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中.点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-.在K 中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数.在平面直角坐标系xOy 中.二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4.则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥.则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立.求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列.数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-.1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠.并且存在正整数,s t .使得s t a b +是整数.求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中.曲线21:4C y x =.曲线222:(4)8C x y -+=.经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l .与2C 交于两个不同的点,Q R .求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=.令max{,,}d a b c =.证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m .证明：存在正整数k .使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A .每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同）.满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图.点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点.直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q .BQ 与AC 的交点为X .CP 与AB 的交点为Y .BQ 与CP 的交点为T .求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈.1220,,,{1,2,,10}b b b ∈.集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<.求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==.故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。
2017全国数学竞赛一试word打印版
2017年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一，填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分1. 设()x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有()().143-=-⋅+x f x f 又当时70<≤x ，()()x x f -=9log 2，则()100-f 的值为__________.2. 若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是___________.3. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110922=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积最大值为____________.4. 若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是__________.5. 正三棱锥，，，中21==-AP AB ABC P α的平面过AB 将其面积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6. 在平面直角坐标系xOy 中，点集(){}1,0,1,,-==y x y x K 丨.在K 中随机取出三个点，则这三个点中存在两点之间距离为5的概率为_________.7. 在△ABC 中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ,△ABC 的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为________.8. 设两个严格递增的正整数数列{}{}2017,1010<=b a b a n n 满足：，对任意整数n,有n n n a a a +=++12，.______,2111的所有可能值为则b a b b n n +=+二，解答题：本大题共三小题，满分56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤9. （本题满分16分）设k,m 为实数，不等式[]b a x m kx x ,12∈≤--对所有成立。
证明：22≤-a b10. （本题满分20分）设,,,321x x x 是非负实数，满足1321=++x x x 求()⎪⎭⎫⎝⎛++++5353321321x x x x x x 的最小值和最大值. 11. （本题满分20分）设复数()()()()2Re Re 0Re ,0Re ,22212121==>>z z z z z z ，且满足（其中()z Re 表示复数z 的实部）.（1）()的最小值；求21Re z z（2）求的最小值212122z z z z --+++参考答案及解析一，填空题： 1. 【答案】21-【解析】由条件知，()()()x f x f x f =+-=+7114，所以()()()()214log 15127141001002-=-=-=-=⨯+--f f f f 2. 【答案】[]13,1+-，【解析】由于[]3,1cos 212-∈-=y x ，故[]3,3-∈x ，由21cos 2x y -=可知，()112121cos 22-+=--=-x x x y x .因此当1-=x 时，y x cos -有最小值-1（这时2π可以取y ）；当()π可以取这时有最大值时，y y x x 13cos 3+--.由于()11212-+x 的值域是[]131+-，，从而[]13,1cos +--，的取值范围是y x3. 【答案】2113 【解析】：易知()()10,0,3，F A .设P 的坐标是()⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0,sin 10,cos 3πθθθ则()()ϕθθθπθθ+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⋅⋅=+=∆∆sin 2113sin cos 10232,0,sin 10321OFP OAP OAPF S S S其中211310arctan .1010arctan 面积的最大值为时，四边形当OAPF ==θϕ 4. 【答案】75【解析】考虑平稳数abc{}个平稳数有则若2,1,0,1,0∈==c a b{}{}个平稳数有则，若632,2,1,0,2,11=⨯∈∈=c a b{}个平稳数有，则，若422,98,9=⨯∈=c a b综上可知，平稳数的个数是2+6+63+4=755. 【答案】1053 【解析】设AB,PC,的中点分别为K,M ，则易证平面ABM 就是平面α，由中线长公式知()()23241122141212222222=⨯-+=-+=PC AC AP AM 所以252123222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=AK AM KM 又易知直线PC 在平面α上的射影是直线MK ，而CM=1，23=KC ,所以 10535431452cos 222=-+=⋅-+=∠MC KM KC MC KM KMC 故棱PC 与平面α所成角的余弦值为1053 6. 【答案】74 【解析】易知K 中有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为8439=C 种.将K 中的点按右图标记为O A A A ,821，，，⋯,其中有8对点之间的距离为5.由对称性，考虑取41A A ，两点的情况，则剩下的一个点有7种取法，这样有5687=⨯个三点组（不计每组中三点的次序）.对每个()53,8,2,1++⋯=i i i A A K i A 中恰有，，两点与之距离为5（这里下标按模8理解），因而恰有{}()8,,2,1,,53⋯=++i A A A i i i 这8个三点组被计了两次，从而满足条件的三点组个数为56-8=48，进而所求概率为748448=7. 【答案】13+【解析】由条件知，()AC AB AN AC AB AM 4143,21+=+=,故().481414321⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+=⋅AC AB AC AB AC AB AN AM由于443sin 213==⋅==∆A S ABC ，进一步可得2cos =⋅=⋅A AC AB ,从而1321481+=⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+≥⋅AC AB AC AB AN AM1332,3244+⋅⨯==的最小值为，时AN AM8. 【答案】13,20【解析】有条件可知：121,,b a a 均为正整数，且21a a <，由于191051222017b b b =⋅=>，故{}3,2,11∈b .反复运用{}n a 的递推关系知122334455667788910213413218135835232a a a a a a a a a a a a a a a a a +=+=+=+=+=+=+=+=因此()34m od 1251221110101b b b a a ≡==≡而()34m od 262132113183421131111b b a a =⨯=⨯=+⨯=⨯故有，， ① 另一方面，注意到故有,512213455,112121b a a a a a =+<<1155512b a <② ()无解②分别化为，①，时当,55512,34mod 261111<==a a b ()551024,34mod 522111<==a a b 时，①，②分别化为当得到唯一的正整数181=a 20,11=+b a 此时()551536,34mod 783111<==a a b ，②分别化为，①时当，得到唯一正整数101=a ，此时 1311=+b a综上所述，11b a +的所有可能值为13,20 9. 【证明】()()③②，①，.122211222-≥-+⋅-⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤--=≤--=m b a k b a b a f m kb b b f m ka a a f③知，②由①⨯-+2 ……………………4分()()()42222≤⎪⎭⎫⎝⎛+-+=-b a f b f a f b a22≤-a b 故 ……………………16分10.【证明】解：由柯西不等式()()15533535323212332211321321=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++++x x x x x x x x x x x x x x x0,0,1321===x x x 时不等式等号成立，故欲求的最小值为1， ……………………5分因为()()()596662011063146201)355(534151)355)(53(515353232123212321321321321321321=++≤⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⋅≤++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x 分21,0,21321===x x x 当时不等式等号成立，故欲求的最大值为59.………………20分11，【答案】 解：（1）对()()()2Re ,0Re .,i ,2,1222==->=∈+==kkkk k x k k k k z y x z x R y x y x z k 由条件知设因此()()()()()()()2222i i Re e 21212122212121221121≥-+≥-++=-=++=y y y y y y y yy y x x y x y x z z R又当()()2Re .2Re 2212121的最小值为，这表明，时z z z z z z === ……………………5分的右支上均位于双曲线，2:2221=-'y x C P P . 设()()02,022121，，的左，右焦点，易知分别是，F F C F F - 根据双曲线定义，有222222122111+'='+=F P F P F P F P ，，进而得 2424222221222121121121212121≥'-'++='-'+=+-+++=+-+++P P F P F P P P F P F P z z z z z z z z………………15分等号成立当且仅当()的中点恰是时，例如，当上位于线段21221212i 22P P F z z P P F '+=='综上可知，24222121的最小值为z z z z +-+++ ……………………20分。
历年全国高中数学竞赛试卷及答案(77套)
4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有
命题甲：θ> ；
命题乙：a、b、c相交于一点．
则
A．甲是乙的充分条件但不必要B．甲是乙的必要条件但不充分
C．甲是乙的充分必要条件D．A、B、C都不对
化简得， ①
与抛物线方程联立，得
即 ②
此时，方程②有两个相等的根：
代入①，得
所以直线DE与此抛物线有且只有一个公共点 ……10分
（2） ……15分
设直线DE与x轴交于点G，令
解得
于是
所以 ……20分
16.解：取
（1）先证：
因为
……5分
（2）再证：
综上可知，α的最大值是3，β的最小值是3 ……20分
1988年全国高中数学联赛试题
（2）设直线DE与此抛物线的公共点F，记△BCF与△ADE的面积分别为 ,求 的值.
16.设 为实数，若对任意的实数 恒成立，其中
求 的最大值和 的最小值
2017年全国高中数学联赛（四川初赛）试题
草考答案及评分标准
一，选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1.A 2.B 3.C 4.C 5.B 6.A
5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴M∪N∪P=I； ⑵N≠Ø． ⑶M≠Ø． ⑷P≠Ø中，正确的表达式的个数是
A．1B．2C．3D．4
解：均正确，选D．
⑴ 点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；
中国数学奥林匹克(CMO)历届试题及解答(1986-2005)
过P2 作 平 行 于BC 的 直 线
EP2 P3 . ABC .证毕.
DP2 P3 ,也就不大于S
5.能否把1,1,2,2,. . . ,1986,1986这些数排成一行, 使得两个1之间夹着1个数,两个2之间夹着2个数,. . . , 两 个1986之间夹着1986个数.请证明你的结论. 解:不能.假设可以做出这样的排列,将已排好的数按顺序编号为1,2,. . . ,3972. 当n为奇数时,两个n的编号奇偶性相同;当n为偶数时,两个n的编号奇偶性不同. 而1到1986之间有993个 偶数,所以一共有2k + 993个编号为偶数的数.(k ∈ N∗ ) 但是1到3972之间有1986个偶数,k = 496.5.矛 盾.所以不能按要求排成这样一行. √ 6.用任意的方式,给平面上的每一点染上黑色或白色. 求证:一定存在一个边长为1或 3的正三角形,它的
3
第二届中国数学奥林匹克(1987年)
北京 北京大学
1.设n为自然数,求证方程z n+1 − z n − 1 = 0有模为1的复根的充分必要条件是 n + 2可被6整除. 证明:当6|n + 2时,令z = ei 3 = ∴ z n+1 − z n − 1 = e ∴z
n+1 n −i π 3
π
1 2
2 2 a1 x2 1 + a2 x2 + · · · + an xn ; 2 2 a1 x2 1 + a2 x2 + · · · + an xn
0(i = 1, 2, . . . , n),则显然有a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn 0, ai −a1 > 0(i = 2, 3, . . . , n). ∴
2017年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2 2 1 AM AN 3 AB AC 4 AB AC ， 8
由 3 S ABC
1 3 AB AC sin A AB AC 得 AB AC 4 2 4
2
所以 AB AC 2 ，所以 3 AB
AC 8 3 ，当且仅当 AB
x x1 3x 2 5 x3 x1 2 3
★解析：由柯西不等式
x3 的最小值和最大值。 5 x2 5 x3 3 x3 5 1
2
x x x1 3x 2 5 x3 x1 x1 3 x 2 x1 2 3 3 5
当 x1 1 ， x 2 0 ， x 3 0 时取等号，故所求的最小值为 1 ； 又 x1 3 x 2 5 x 3 x1
x 2 x3 1 5x x1 3 x 2 5 x 3 5 x1 2 x 3 3 5 5 3
2
512 b1 ② 55
★证明：记 f ( x ) x kx m ， x a, b ，则 f ( x ) 1,1 。于是
2
f (a ) a 2 ka m 1 ①； f (b) b 2 kb m 1 ② ab ab 2 ab )( ) k( ) m 1 ③ 2 2 2 ①+②- 2 ③知 f(
2017 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）
一、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 8 分，共 64 分。 2017A1、设 f ( x ) 是定义在 R 上函数，对任意的实数 x 有 f ( x 3) f ( x 4) 1 ，又当 0 x 7 时， f ( x ) log 2 (9 x ) ，则 f ( 100) 的值为 ◆答案：