数学分析(9-15)知识点总结

（ 2 ） U 对 于 区 间 a , b 具 有 可 加 性 ， 就 是 说，如果把区间 a , b分成许多部分区间，则 U 相应地分成许多部分量，而U 等于所有部 分量之和； （3）部分量U i 的近似值可表示为 f ( i )x i ；
就可以考虑用定积分来表达这个量U .
4、解题步骤
f ( x )dx 收敛 0, G a , u1 , u2 G , 有
u
b
u2
1
f ( x )dx .
a f ( x )dx 收敛（a是瑕点）
0, 0, u1 , u2 (a , a ), 有
u
u2
1
f ( x )dx .
r 2 ( )
o

x
o

x
1 A [ ( )]2 d 2
1 2 A [ 2 ( ) 12 ( )]d 2
(2) 体积
y
Vx [ f ( x )]2 dx
a b
o
x
y
d
x dx
x V y 2a xf ( x )dx
f ( x )在[1， 1]无界，从而不可积， 但f ( x )在[1， 1]的原函数是f ( x ),
即说明有原函数的函数不一定可积。
6、可积条件
必要条件 若函数f在[a,b]上可积，则f在[a,b]上必定有界。 充要条件（1） 函数f在[a,b]可积当且仅当：
0, 分割T，使
1）确定U的相关量（记为 x）的变化区间 [a , b]； 2）建立U的微元表达式
n 个小区间，取其中任一小区间 设想把区间[a , b] 分成 并记为[ x , x dx ]，求出相应于这小区间的部分量 U 的近似值.如果 U 能近似地表示为 [a , b] 上的一个 dx 的乘积， 连续函数在x 处的值 f ( x ) 与
充要条件（2） 函数f在[a,b]可积当且仅当：
、 0, 分割T , 使得属于T的所有小区间中，
i x i . T
对应于振幅 k 的那些小区间 k 的总长 xk .
k
7、可积函数类
1、在[a,b]上连续的函数在[a,b]可积。
a
b


f ( x )dx lim
b

u a
u
f ( x )dx
b

f ( x )dx lim f ( x )dx a f ( x )dx ulim a u 0 a
f ( x )dx f ( x )dx
当
a


a
f ( x )dx
d b( x ) f b ( x ) b ( x ) f a ( x ) a ( x) f ( t ) dt dx a ( x )
（2）牛-莱公式。
（3）可积函数不一定有原函数，有原函 数的函数不一定可积。 因为“含有第一类间断点的函数”都没有原函数，
而“含有有限个第一类间断点的函数”都可积。
a
b
f ( x)dx F (b) F (a) F ( x) |b a
3、定积分的几何意义 ——面积的代数和。
4、定积分的性质
线性、 关于积分区间的可加性、 保号性、 估值不等式、积分第一、第二中值定理。
5、定积分与不定积分的联系
（1）变上限积分的导数公式；
d x f ( t )dt f ( x ), a dx
p 1时，绝对收敛； 0 p 1时，条件收敛； p 0时，发散。
四、绝对收敛与条件收敛
定积分：
f在[a , b]可积 | f | 在[a , b]可积，
f 2在[a, b]可积 | f | 在[a, b]可积，
无穷积分：
a


| f ( x ) | dx 收敛

b
x ( y)
V y [ ( y )]2 dy
c
d
c
o
Vx 2 y ( y )dy
c
d
x
平行截面面积为已知的立体的体积
A( x )
V a A( x )dx
b
o
a
x x dx
b
x
由0 r r ( ), 0 绕极轴旋转 2 3 所成立体的体积为： V r ( ) sind . 3
r r ( )

） ）
(3) 平面曲线的弧长
A．曲线弧为 y f ( x )
弧长 s a 1 y dx
2 b
ds dx 2 dy (t ) B．曲线弧为 y (t )
o a x x dx b
x
( t )
且 U f ( x )x o( x )中的f ( x )一般来说不是唯一的
所以 U f ( x )dx 中的f ( x )也不是唯一的。
a b
直角坐标
平面图形的面积 弧微分 弧长 旋转体体积 旋转体侧面积
参数方程
极坐标
?
5、定积分应用的常用公式
(1) 平面图形的面积
直角坐标情形
b
b
b
2、定积分的计算
在已知定积分存在的前提下，可用下面两种方 法求出其值：
(1) 取特殊的分割T及特殊的点集{ i }, 求出
lim f ( i ) xi a f ( x )dx ||T || 0 i
b
通常对[a, b]n等分， i 取左端点或右端点。
（2） 利用牛顿-莱布尼兹公式。
x=g(y)
A
x=f(y)
——右曲线减左曲线对y积分。 c
O
（图5）
x
一般解题步骤：
（1）画草图，定结构； （2）解必要的交点，定积分限； （3）选择适当公式，求出面积（定积分）。 注意：答案永远为正。
参数方程所表示的函数
x (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y (t )
其中 ( t ), ( t ) 在[ , ] 上具有连续导数
弧长 s

2 2 ( t ) ( t )dt
C．曲线弧为 r r ( ) 弧长 s

2
( )
2 r ( ) r ( )d
(4) 旋转体的侧面积
y f ( x ) 0, a x b
第九章 定积分
一、主要内容
1、定积分的定义
该极限与T及{ i }的取法均无关。
定积分是个数，与被积函数在有限个点处的定义无关； 与积分变量记号的选择无关。
lim f ( i ) ( xi xi 1 ) a f ( x )dx ||T || 0 i
b
a f ( x )dx a f (t )dt a f (u)du
所以可积函数不一定有原函数。 1 2 x sin 2 , x 0且x [1,1] f ( x) x 0, x0 1 2 1 2 x sin 2 cos 2 , x 0且x [1,1] f ( x ) x x x 0, x0
即 U f ( x )x o(x )，
即dU dU ( x ) f ( x )dx， 其中f ( x) C[a ,b]
（此时，以简代繁、以直代曲、以静代动）。
则 U f ( x )dx 。
a b
通常要验证 U f ( x )x o( x )是非常困难的。
第10章
1、微元法的理论依据
设 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 则它的变上限积分 U ( x) 于是
a
x
f ( t )dt
(1)
是 f ( x ) 的一个原函数,即 dU ( x ) f ( x )dx,
a f ( x )dx a dU U
定积分.
b
b
( 2)
这表明连续函数的定积 分就是 (1) 的微分的
( x )dx 收敛 | f ( x ) | dx 收敛.
曲边梯形的面积 A ( t ) ( t )dt t
1
t2
（其中t1 和t 2 对应曲线起点与终点的参数值）
在[t1 ,t 2 ]（或[t 2 t , 1 ]）上 x ( t ) 具有连续导数，
y ( t ) 连续.
极坐标情形

r ( )
d

r 1 ( )
y
y f ( x)
y
y f2 ( x)
A
o
A
a
b a
b
x
o
b
a
y f1 ( x ) x b
A | f ( x ) | dx
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
——上曲线减下曲线对x积分。
y
A [ f ( y ) g ( y )]dy
c
d
d
y
y f ( x)
o
S侧
b
x
x dx
x
a
2 2f ( x ) 1 f ( x )dx
dS 2yds
(5) 变力所作的功
W dW
a b
F ( x )dx
a
b
oa
x
F ( x)
x dx
b
x
(6) 液体压力
P dP
a b b
xf ( x )dx a ( 为比重 )
2、名称释译
由理论依据 ( 2) 知, 所求总量 A 就是其微分 dU f ( x )dx 从 a 到 b 的无限积累(积分) : U f ( x )dx