高等数学a)下期末试卷及答案
(完整版)高等数学下册期末考试试题及答案,推荐文档
又
1 zx2
z
2 y
a
a2 x2 y2 ，…..………【３】
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高数
故
dS z
Dxy
adxdy a2 x2 y2
a
2 d
0
a2 h2 0
d a2 2
2
a
1 2
ln(a2
2
)0
a2 h2
2 a ln a ..【7】 h
三、【9 分】解：设 M (x, y, z) 为该椭圆上的任一点，则点 M 到原点的距离为 d x2 y2 z2 ……【1】
n1
n
4、设 z f (xy, x ) sin y ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 z ,
2z
．
y
x xy
5、计算曲面积分 dS , 其中 是球面 x2 y2 z2 a2 被平面 z h (0 h a) 截出的顶部．
z
三、（本题满分 9 分） 抛物面 z x2 y2 被平面 x y z 1 截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离
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的最大值与最小值．
高数
（本题满分 10 分）
计算曲线积分 (ex sin y m)dx (ex cos y mx)dy ， L
其中 m 为常数， L 为由点 A(a, 0) 至原点 O(0, 0) 的上半圆周 x2 y2 ax (a 0) ．
四、（本题满分 10 分）
xn
3 , 1 2
3 ,2
3),
1 M2( 2
3 , 1 2
3 ,2
3). …………………【7】
又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．
高等数学期末考试A(附答案)
-------------------------------------密-----------------------封-----------------------线---------------------------------系部___________ 班级___________ 考场_________ 姓名______________ 学号_________高等数学期末试卷（A ）一、选择题（共25小题，每题2分，共计50分） 1．下列各对函数定义域相同的是（ ）.A.2)()(,)(x x g x x f ==B.x x g x x f ==)(,)(2C.x x g x x f lg 2)(,lg )(2== D.11)(,1)(2--=+=x x x g x x f2．下列函数在其定义域内不是奇函数的是（ ）. A.x y sin = B.x y cos = C.x y tan = D.x x y -=33．函数)(x f 在0x x =处有定义是0x x →时)(x f 有极限的（ ）. A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D.无关条件 4．下列各式中正确的是（ ）. A.0sin lim0=→x x x B.1sin lim =∞→x x x C.e n n x =+∞→)11(lim D.e nx =+→)11(lim 05．=+→xx x 1)41(lim ( ).A.4-eB.4e C.41e D.41-e6．=→xxx 5tan 3tan lim( ). A .1 B.53 C.35D.07．设)2(x f y -=，则='y ( ).A.)2(x f 'B.)2(x f -'-C.)2(x f -'D.)2(2x f -'-8．设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x ，是),(+∞-∞上的连续函数，则)(=aA. 0B.1C.1-D.2 9．下列各式错误的是( ).A.1-)(μμμx x ='B.a a a x x ln )(⋅='C.x x cos )(sin ='D.x x sin )(cos =' 10．函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 处可导的( ).A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件 11．函数2)(-=x x f 在点2=x 处的导数为( ). A.1 B.0 C.1- D.不存在12．设x 为自变量，当,1=x 0=∆x .1时，=)(3x d ( ). A.3.0 B.0 C.01.0 D.03.013．设)(),(x v v x u u ==都是可微函数，则=)(uv d ( ). A.vdv udu + B.du v dv u '+' C.vdu udv + D.vdu udv -14．设曲线22++=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为( ). A.）（4,1 B.）（1,4 C.)0,1( D.)1,0( 15．已知函数⎩⎨⎧>≤-=-,0,0,1)(x e x x x f x 则)(x f 在0=x 处( ).A.间断B.连续但不可导C.1)0(-='fD.1)0(='f 16．若)(x f 在点a x =的邻域内有定义，且除去点a x =外恒有0)()()(2>--a x a f x f ，则以下结论正确的是( ).A.)(x f 在点a 的邻域内单调增加B.)(x f 在点a 的邻域内单调减少C.)(a f 为函数)(x f 的极大值D.)(a f 为函数)(x f 的极小值 17．函数)(x f y =在点0x 处取极大值，则必有( ).A.0)(0='x fB.0)(0<''x fC.0)(0='x f ,0)(0<''x fD.0)(0='x f 或)(0x f '不存在 18．下列函数在其定义域内不是单调递增的是( ).A.x x x f 2)(3+=B.)1ln()(2x x x f +-=C.x x x f cos )(+=D.3)1)(1()(+-=x x x f 19．下列极限计算正确的是（ ）.A.626lim )2(223lim )2(42lim 222232==--=---→→→x x x x x x x x x B.6122lim 222lim )2()22)(2(lim )2(42lim 222222232=+=-++=-++-=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x C.∞=--=---→→)2(223lim )2(42lim 22232x x x x x x x D.不存在2232232)2(lim )42(lim )2(42lim---=---→→→x x x x x x x x x20．当0→x 时，1)1(212-+ax与x cos 1-为等价无穷小，则=a ( ).x2A.1 B.0 C.1- D.常数21．设)(x f 是可导函数，则))(('⎰dx x f 为( ). A.)(x f B.C x f +)( C.)(x f ' D.C x f +')( 22．下列等式中成立的是( ).A.⎰=)()(x f dx x f dB.⎰=dx x f dx x f dxd)()(C.⎰+=c x f dx x f dxd)()( D.dx x f dx x df )()(= 23．在区间),(b a 内，如果)()(x g x f '='，则下列各式中一定成立的是( ). A.)()(x g x f = B.1)()(+=x g x f C.))(())(('='⎰⎰dx x g dx x f D.⎰⎰'='dx x g dx x f )()( 24．)(x f 在区间[]b a ,上连续，则⎰⎰-babadt t f dx x f )()(( ).A. 小于零B.等于零C.大于零D.不确定25．用定积分表示右图x y 2=，2=x 和x 轴围成的面积，正确的是( A.⎰212xdx B.⎰22xdx C.⎰xtdt 02 D.⎰22xtdt二、填空题（共5小题，每题2分，共计10分） 26．(=dx ))32(x d - )()(xxe d dx e --=．27．设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( ，则[]=')0(f ．28．若函数bx ax x f +=2)(在点1=x 处取极大值2，则=a ，=b ．29．设⎰=xx e dt t f 02)(，则=)(x f ．30．判断下列两个定积分的大小，⎰12dx x⎰13dx x ． 三、判断题（共5小题，每题2分，共计10分） 31．驻点一定是极值点．（ ）32．可导一定连续，连续不一定可导．( )33．设函数)(x f 在0x 处具有二阶导数,且0)(,0)(00≠''='x f x f ，则当0)(0<''x f 时，)(x f 在点0x 处取极大值．（ ）34．若函数)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，则在),(b a 内至少存在一点)(b a <<ξξ，使得0)(='ξf ．( )35．1)21(211122222-=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰--x dx x ．( )四、求下列各式的极限（共2小题，每题4分，共计8分）36．xe e xx x 20lim-→- 37．xdt txa tx ⎰++∞→)11(lim )0(>a五、计算下列不定积分（共2小题，每题4分，共计8分） 38．⎰+dx x )23sin( 39．⎰xdx x cos六、计算下列定积分（共1小题，共计4分）40．⎰-17)12(dx x七、综合题（共1小题，共计10分）41．平面图形D 由抛物线2x y =，1=x 和x 轴组成，请 （1）画出D 的草图 （2）求D 的面积答案：一、选择题（共25小题，每题2分，共计50分）1．B 2．B 3．D 4．C 5．B 6．B 7．D 8．B 9．D 10．A. 11．D 12．A 13．C 14．A 15．C 16．D 17．D 18．D 19．C 20．A 21．A. 22．D 23．C 24．B 25．B二、填空题（共5小题，每题2分，共计10分）26．31- - 27．0 28．=a -2 =b 4 29．=)(x f x e 22 30．>三、判断题（共5小题，每题2分，共计10分） 31．× 32．√ 33．√ 34．× 5．× 四、求下列各式的极限（共2小题，共计8分）36．x e e xx x 20lim -→-=1)2(lim 20x e e x x x ---→————3分=1————————————1分37．x dt t xa t x ⎰++∞→)11(lim )0(>a =1)11(lim x x x ++∞→——3分 =e ————1分五、计算下列不定积分（共2小题，共计8分） 38．⎰+dx x )23sin(=⎰++)23()23sin(31x d x ——2分 =C x ++-)23cos(31————2分39．⎰xdx x cos =⎰x xd sin ——2分=⎰-xdx x x sin sin ————1分 =C x x x ++cos sin ————1分六、计算下列定积分（共1小题，共计4分）40．⎰-107)12(dx x =⎰--107)12()12(21x d x ——2分=108])12(81[21-⋅x ————1分 =0]11[161=-————1分七、综合题（共1小题，共计10分） 41．（1）略————5分（2）⎰=12dx x D ————3分=10331⎥⎦⎤⎢⎣⎡x ————1分 =31——————1分。
高等数学A(下册)期末考试试题答案【B卷】
高等数学A(下册)期末考试试题【B 卷】（补考卷）参考答案与评分标准 2009年6月（8月）一. 填空题【共5小题，每小题4分，共20分】 1、3π； 2、612x x y C e C e -=+； 3、113210x y z ---==-； 4、14xy +； 5、12a ．二. 试解下列各题【共5小题，每小题7分，共35分】1、解：该平面的法线向量12137231ij kn i j k =-=---- (3)∴所求的平面方程为(1)3(2)7(3)0x y z -+-+-=，即37280x yz ++-= (7)2、解：令 1t x =-，则级数化为为nn∞=..…【1】 1lim1n n n n a a ρ+→∞===，………………..…【3】 1R ⇒=，收敛区间1t <即02x << (4)当2x =时，级数成为1n ∞=0x =时，级数成为1n n ∞=，收敛....【6】 ∴所求的收敛域为[0,2).. (7)3、解：{}(,)01D xy x y=≤≤≤≤， (2)∴原式10dy =⎰ (4)133/210011(1)|29y y ==+=⎰ ………………【7】 4、解：2111()3212f x x x x x==-++++ (1)又01(1)(1)1n nn x x x ∞==-<+∑ (3)1001111(1)()(1)(2)221/2222n n n n n n n x x x x x ∞∞+====-=-<++∑∑………【5】 ∴21100011()(1)(1)(1)(1)(1)3222n n n n n n n n n n n x f x x x x x x ∞∞∞++=====---=--<++∑∑∑ (7)5、解：1222zxf yf x∂''=+∂ …………【2】 2zx y∂∂∂1112221222[(2)2]22[(2)2]x f y f x f y f y f x '''''''''=⋅-+⋅++⋅-+⋅ …………【6】 22212221124()4()f x y f xy f f '''''''=+-+- …………【7】 三、【9分】解：令23639026180x yf x y f y x ⎧=--=⎪⎨=-+=⎪⎩，得驻点(5,6)，(1,6)- (4)又6,6,2xx xy yy A f x B f C f ====-==.在驻点(5,6)处，2240,AC B -=>且300A =>，∴该函数在(5,6)处取得极小值(5,6)88f =-.….…【7】 在驻点(1,6)-处，2240,AC B -=-<∴该函数在(1,6)-处没有极值. ………………【9】 四、【10分】解：联立z =与22z x y =+消去z ，解得221x y +=，从而该立体Ω在xOy 面上的投影区域{}22(,)1xy D x y x y =+≤． (2)故所求的体积为221V dv d d πρθρρΩ==⎰⎰⎰⎰⎰ (6)1202)d πρρρ=⎰1423/20172(2)346ρπρπ⎡⎤=---=⎢⎥⎣⎦ (10)五、【10分】取1∑为1z =22(1)x y +≤的上侧，记Ω为由∑与1∑所围成的空间闭区域.由高斯公式，12222()x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑+∑Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰ (4)2()2x y dv zdv ΩΩ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2221002x y zzdzdxdy +≤=+⎰⎰⎰13022z dz ππ==⎰ (6)又221122221x y x dydz y dzdx z dxdy z dxdy dxdy π∑∑+≤++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (9)∴22I πππ=-=- (10)六、【10分】解：(1)证:令 211(,)[1()]()P x y y f xy yf xy y y=+=+，222(,)[()1]()x xQ x y y f xy xf xy y y=-=-. 则当0y >时，21()()P f xy xyf xy y y ∂'=-++∂，21()()Q f xy xyf xy x y∂'=+-∂. ……………【4】 从而P y ∂∂、Q x ∂∂在上半平面内处处连续，且恒有Q P x y∂∂=∂∂. ∴曲线积分I 在上半平面内与路径无关 (5)（2）由于I 与路径无关，故可取积分路径L 为由点2(3,)3A 到(3,2)B ，再到(1,2)C 的折线段，则2221[1()][()1]AB BC xI y f xy dx y f xy dy y y+=++-⎰212223331[(3)1][14(2)]2y f y dy f x dx y =-++⎰⎰……………….【8】 212122/333313(3)3[][]2(2)2x f y dy f x dx y =+++⎰⎰62264()()4f t dt f t dt =-++=-⎰⎰ (10)七、【6分】证明：所给级数的部分和11223341()()()(1)()n n n n s u u u u u u u u ++=+-+++-+-+111(1)n n u u ++=+- (3)又由lim 1n n nu →∞=，得1lim lim lim0n n n n n u nu n→∞→∞→∞=⋅=，……………【4】 从而1n s u → （n →∞） ∴ (5)因此，所给级数收敛. (6)。
高等数学A(下册)期末考试试题
高等数学A(下册)期末考试试题大题 一 二 三 四 五 六 七 小题1 234 5得分一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a r 、b r满足0a b +=r r r ，2a =r ，2b =r ，则a b ⋅=r r ．2、设ln()z x xy =，则32zx y∂=∂∂ ． 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰ ．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂． 5、计算曲面积分,dS z ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．（本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．四、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．五、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx zdxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．六、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]t F t z f xy z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中t Ω是由曲面z =与z =所围成的闭区域，求 3()lim t F t t +→．-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。
2020-2021大学《高等数学》(下)期末课程考试试卷A2(含答案)
2020-2021《高等数学》（下）期末课程考试试卷A2适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 判断题(每小题2分，共10分)1．二元函数(),z f x y =在平面区域上的积分为二重积分。
（ ）2．二元函数(),z f x y =的极值点只能是使得0z zx y∂∂==∂∂的点。
（ ）3．二元函数z =在()0,0点连续但偏导数不存在。
（ ）4．闭区域上的二元连续函数一定存在最大最小值，且一定可积。
（ ）5．二元函数z =在()0,0点连续但偏导数不存在。
（ ）二.单项选择题(每小题2分，共20分)1.平面2y = （ ） A.垂直于xOz 平面 B.平行于xOy 平面 C.平行于xOz 平面 D. 平行于Oy 轴2. 二元函数(),z f x y =在某点()00,x y 连续，那么(),z f x y =在该点一定 （ ）A .极限存在 B.两个偏导存在 C.可微 D.以上都不对3. 极限()(),0,0lim x y xyx y→+的结果为 （ ）A.0B.∞C. 12D.不存在4.若区域D 是由1x y +≤与12x y +≥所围成，则积分()22ln Dx y d σ+⎰⎰的值（ ）A.大于零B. 小于零C.等于零D. 不存在 5.下列绝对收敛的级数是 （ ）A.∑∞=--1n nn1n 23)1( B.∑∞=--1n 1n n )1(C.∑∞=--1n 51n n)1(D.∑∞=--1n n 21)1(6. 下列无穷级数中发散的无穷级数是 （ ）A.∑∞=+1n 221n 3n B. ∑∞=+-1n n 1n )1(C. ∑∞=--3n 1n n ln )1(D. ∑∞=+1n 1n n32 7. 点（0，0，1）到平面z=1的距离为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38. 积分2011dx x +∞+⎰的结果为 （ ）A.0B. 2πC. 2π-D.不存在9. 函数()arctan f x x =在 []0,1上，使拉格朗日中值定理成立的ξ是（ ）A.-10.设()f x 在(),a b 内满足()'0f x <，()''0f x >，则曲线()f x 在(),a b 内是（ ）A.单调上升且是凹的B. 单调下降且是凹的C.单调上升且是凸的D. 单调下降且是凸的三.填空题(每小题2分，共10分) 1. 设函数z x y =-，则xz∂∂=___________。
高等数学(A)下期末试卷及答案(优选.)
南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为（c ）(A ) ⎰⎰x e dx y x f dy ln 01),( (B )⎰⎰1),(dx y x f dy e e y(C )⎰⎰eeydx y x f dy ),(10(D )⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),(2、锥面22y x z +=在柱面x y x 222≤+内的那部分面积为 （D ）(A )⎰⎰-θππρρθcos 2022d d (B )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d(C )⎰⎰-θππρρθcos 202222d d (D )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d3、若级数∑∞=-1)2(n nn x a 在2-=x 处收敛，则级数∑∞=--11)2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （A ）(A ) ∑∞=-1)13(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n 5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （c ）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面方程为624=-+z y x2、已知)0(:222>=+a a y x L ，则=-+⎰Lds xy y x )]sin([22 32 a π 3、Ω是由曲面22y x z +=及平面)0(>=R R z 所围成的闭区域，在柱面坐标下化三重积分⎰⎰⎰+Ωdxdydz y x f )(22为三次积分为⎰⎰⎰RR dz f d d ρπρρρθ)(20204、函数x x f =)()0(π≤≤x 展开成以2π为周期的正弦级数为nx nx n n sin )1(211+∞=-=∑，收敛区间为π<≤x 05、=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2,解：2112yg g y f x x z ++'=∂∂ … 3分=∂∂∂yx z2f xy ''4113122221g y x g y xyg g --++ 5分四、(本题8分）在已知的椭球面134222=++z y x 内一切内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。
高等数学期末试卷(下)A3-B3及参考答案
首页) 专业班级： 学号： 姓名： 教务处试卷编号：A3备注：试卷背面为演草区（不准用自带草纸） 装 订 线大连海事大学2004——2005第二学期 《高等数学》试卷（A3）一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 由方程2222=+++zy x xyz 所确定的函数),(y x z 在点(1,0,-1)处的全微分=dz dy dx 2-2. 函数)ln(22y x z +=在点(1,0)处的梯度为_}0.2{ 3.数项级数∑∞=121n nn 的和为2ln4.设)(x f 以2π为周期，它在(-π,π)上定义为⎩⎨⎧≤<+≤<--=ππx x x x f 0,10,1)(2,则)(x f 的傅里叶级数在x=π处收敛于22π5.通解为21c e c x+的微分方程是0'''=-y y 二、选择题（每小题3分，共15分）1. 函数),(y x f 在点),(00y x 处连续是函数),(y x f 在该点处（ D ）（A ）偏导存在的必要条件 (B) 偏导存在的充分条件 (C) 可微的充分条件 (D) 可微的必要条件2. 设有空间闭区域{}0,1|),,(2221≥≤++=Ωz z y x z y x ，{}0,0,0,1|),,(2222≥≥≥≤++=Ωz y x z y x z y x ,则 ( C )(A)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xdv xdv (B)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=114zdv ydv ( C)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=114ydv xdv (D)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xyzdv xyzdv3. 函数322)(3x y x z -+=的极值点是( A )(A)(0,0) (B)(2,0) (C)(0,0) 与(2,0) (D) 无极值点 4.将=I ⎰⎰-22021),(xx dy y x f dx 改变积分次序，则=I ( C )(A) ⎰⎰-+11102),(ydx y x f dy (B)⎰⎰--11102),(ydx y x f dy( C)⎰⎰-+11112),(ydx y x f dy (D)⎰⎰+-11112),(ydx y x f dy5. 设∑为球面1222=++z y x 的外侧，则⎰⎰∑zdydx =( B )(A)π32 (B)π34 ( C)1 (D)0三、计算下列各题（每题9分，共18分） 1.已知f 具有二阶连续偏导,),(22xy y x f z +=,求yx z ∂∂∂22.求微分方程23''2y y =满足初始条件1)2(',1)2(-=-=-y y 的特解解：'2'12yf xf xz +=∂∂………………………………………………….3分 解： 设p y =',则dydp py =''…………………………………………..3分)2()2(2''22''21'2''12''112xf yf y f xf yf x yx z ++++=∂∂∂ …………………3分 原方程变形为：232y dydp p=,解得132C y p+=因为f 具有二阶连续偏导，所以 ''21''12ff = 将初始条件代入得：01=C ,所以23y p -=, ………………….3分故''22'2''1222''112)(24xyff fy x xyfyx z ++++=∂∂∂……………….3分, 解得,2212C x y+-=--,将初始条件代入得:42-=C所以，所求特解为y x )4(2+=………………………..……………3分试卷A3 第1页 共3页专业班级： 学号： 姓名：教务处试卷编号：A3备注：试卷背面为演草区（不准用自带草纸） 装 订 线四、计算dxdy y x D)(+⎰⎰,其中D 是由1=+y x 所围成的闭区域.(8分)解：由对称性知： 原式=⎰⎰≥≥≤+)0,0(18y x y x xdxdy………………………………..2分⎰⎰-=10108xdy xdx………………………………2分⎰-=10)1(8dx x x ………………………………2分34=……………………………………………2分五、计算⎰-+-=L x x dy y e dx y y e I )2cos ()2sin (,其中L 为上半圆周0,1)1(22≥=+-y yx ,沿逆时针方向 (8分).解：设y y e P x2sin -=,2cos -=y e Q x,点)0,2(A ,点)0,0(O ,则 d x d y yP xQ D)(∂∂-∂∂=⎰⎰…………………………..3分2c o s ,c o s -=∂∂=∂∂y e yP y e xQ xx………………………….3分 d x d y D⎰⎰=2(D 为曲线所围区域)⎰⎰+-+=+OAOAL Qdy PdxQdy PdxI π=……………………………………………..2分六、计算⎰⎰∑++222zy x dS ,其中∑是界于平面z=0及z=1之间的圆柱面122=+y x .（8分）解：设区域D 为{}11,10|),(≤≤-≤≤x z z x ，21x y -±=原式dS z⎰⎰∑+=2112…………………………..2分 dz zdx x⎰⎰+-=-1211211112…………………………..2分d x d z xxzD22211112-++=⎰⎰…………….2分 22π=……………………………………..……………..2分七、将)2ln(+x 展开为含1-x 的幂级数.(8分)解：)13ln()2ln(-+=+x x ……………………………………………..………..…...2 )311(3ln -+=x (2)nn n x n∑∞=---+=11)31()1(3ln )42(≤<-x (4)八、求原点到1)(22=--z y x 的最短距离(8分) 解：设曲面上一点为),,(z y x .原点到此点的距离为222zy x d ++=则问题转化为:在1)(22=--z y x 条件下,求d 的最小值……………………………….2分试卷A3 第2页 共3页专业班级： 学号： 姓名：教务处试卷编号：A3备注：试卷背面为演草区（不准用自带草纸） 装 订 线令]1)[(222---+=z y x d F λ,则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=--=∂∂=∂∂=∂∂1)(00022z y x z FyF x F……………………………….…..2分 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-=--=-+1)(0220)(220)(2222z y x z z y x y y x x λλλ…………………………………….2分解得:21±=x , 21=y ,0=z ，故所求最短距离为22…………………………………….2分九、求方程xe y y y -=++3'4''的通解(7分)解：特征方程为:0342=++r r ，其根为3,121-=-=r r ………………………………. 1分 故可设非齐次方程的特解为x ae y x -=*, .故齐次方程03'4''=++y y y 的通解为x x e C e C Y 321--+=…………………………..……2分 将其代入到原方程中，得21=a ………………….……2分因x e x f -=)(，1-=λ是单根, 故原方程的通解为=y x x e C e C 321--++x ex-21……….2 分十、设)(x f 在0=x 的某一邻域内具有二阶连续偏导，且0)(lim=xx f ，证明)1(1∑∞=n n f 绝对收敛 (5分)证明：由所给条件0)(lim=∞→xx f n 知,0)0(=f (因f(x)在x=0连续),xx f n 2)('lim=∞→又xf x f f n )0()()0('lim-=∞→ 2)0(''f =………………………….…………………2 分所以 因此有0)0('=f ……………………………….2分|)0(''|211|)1(|2limf nnf n =∞→ 而2)(limxx f n ∞→ 由比较法极限形式知：)1(1∑∞=n nf 绝对收敛………………….1分试卷A3 第3页 共3页专业班级： 学号： 姓名：教务处试卷编号：B3备注：试卷背面为演草区（不准用自带草纸） 装 订 线大连海事大学2004——2005第二学期 《高等数学》试卷（B3）一、填空题（每小题3分，共15分）1.由方程1=++z e y x 所确定的函数),(y x z 全微分)(dy dx e dz z +-=-2.函数y x e z +=在点(1,0)处的梯度向量为},{e e3.数项级数∑∞=131n nn 的和为2ln 3ln -4.设)(x f 以2π为周期，它在(-π,π)上定义为⎩⎨⎧≤<+≤<--=ππx x x x f 0,10,1)(,则)(x f 的傅里叶级数在x=π-处收敛于2π5.通解为21c e c x +-的微分方程是0'''=+y y 二、选择题（每小题3分，共15分）1.函数),(y x f 在点),(00y x 处偏导存在是函数),(y x f 在该点处（ B ）（A ）可微的充分条件 (B) 可微的必要条件 (C) 连续的必要条件 (D) 连续的充分条件2. 设有空间闭区域{}1|),,(2221≤++=Ωz y x z y x ，{}0,0,0,1|),,(2222≥≥≥≤++=Ωz y x z y x z y x ,则 ( D )(A)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124zdv xdv (B)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124ydv ydv ( C)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=224zdv ydv (D)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=114yzdv xzdv3. 函数322)(3x y x z ++=的极值点是( B )(A)(-2,0) (B)(0,0) (C)(0,0) 与(-2,0) (D) 无极值点4.将=I ⎰⎰--22221),(xx xdy y x f dx 改变积分次序，则=I ( A )(A) ⎰⎰-+-11122),(yydx y x f dy (B)⎰⎰--11102),(ydx y x f dy( C)⎰⎰-+11112),(ydx y x f dy (D)⎰⎰++-12112),(yydx y x f dy5. 设∑为球面1222=++z y x 的外侧，则⎰⎰∑dydx z 2=( D )(A)41 (B)21 ( C)1 (D)0三、计算下列各题（每题9分，共18分） 1.已知f 具有二阶连续偏导,),(22xy y x f z -=,求yx z ∂∂∂22.求微分方程y y =''满足初始条件1)0(',1)0(-==y y 的特解解：'2'12yf xf xz +=∂∂………………………………………………….3分 解： 设p y =',则dydp py =''…………………………………………..3分)2()2(2''22''21'2''12''112xf yf y f xf yf x yx z +-+++-=∂∂∂ ………………3分 原方程变形为：y dydp p=,解得122C y p+=因为f 具有二阶连续偏导，所以 ''21''12f f = 将初始条件代入得：01=C ,所以y p -=, ………………….3分 故''22'2''1222''112)(24xyff f y x xyf yx z ++-+-=∂∂∂…………… .3分, 解得,xeC y -=2,将初始条件代入得：12=C所以，所求特解为xe y -=………………………………..…………3分试卷B3 第1页 共3页专业班级： 学号： 姓名：教务处试卷编号：B3备注：试卷背面为演草区（不准用自带草纸） 装 订 线四、计算dxdy x y x D)(++⎰⎰,其中D 是由1=+y x 所围成的闭区域.(8分)解：由对称性知： 原式=⎰⎰≥≥≤+)0,0(18y x y x xdxdy………………………………..2分⎰⎰-=10108xdy xdx………………………………2分⎰-=10)1(8dx x x ………………………………2分34=……………………………………………2分五、计算⎰-+-Lxxdy y e dx y y e )2cos ()2sin (,其中L 为上半圆周0,4)2(22≥=+-y y x ,沿逆时针方向 (8分).解：设y y e P x 2sin -=,2cos -=y e Q x,点)0,4(A ,点)0,0(O ,则 d x d y yP xQ D)(∂∂-∂∂=⎰⎰…………………………..3分2c o s ,c o s -=∂∂=∂∂y e yP y e xQ xx………………………….3分 d x d y D⎰⎰=2⎰⎰+-+=+OAOAL Qdy PdxQdy PdxI π4=……………………………………………..2分六、计算⎰⎰∑++222zy x dS ,其中∑是界于平面z=1及z=2之间的圆柱面122=+y x .（8分）解：设区域D 为{}11,21|),(≤≤-≤≤x z z x ，21x y -±=原式dS z⎰⎰∑+=2112…………………………..2分 dz zdx x⎰⎰+-=-21211211112………………………………………………..2分d x d z xxzD22211112-++=⎰⎰…………….2分 =)1a r c t a n 2(a r c t a n 2-π……………………………………..……………..2分七、将)2ln(+x 展开为含x 的幂级数.(8分) 解：)21(2ln )2ln(x x +=+ (2))21l n (2ln x ++= (2)nn n xn∑∞=--+=11)2()1(2ln )22(≤<-x (4)八、求2x y =和直线x+y+2=0之间的最短距离(8分)解：设2x y =上一点为),(y x .此点到直线x+y+2=0之间的距离为2|2|++=y x d则问题转化为:在2x y =条件下,求2d 的最小值……………………………….2分 令)(22x y d F -+=λ,则试卷B3 第2页 共3页专业班级： 学号： 姓名：教务处试卷编号：B3备注：试卷背面为演草区（不准用自带草纸） 装 订 线⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂200x y y Fx F………………………………………..….…..2分 即⎪⎩⎪⎨⎧==+++=-++202022xy y x x y x λλ…………………………………….2分 解得:21=x , 41=y ,故所求最短距离为287………………………………………….…….2分九、求方程xey y y 22'3''-=++的通解(7分)解：特征方程为:0232=++r r ，其根为1,221-=-=r r ………………………………. 1分 故可设非齐次方程的特解为x ae y x2*-=,.故齐次方程02'3''=++y y y 的通解为xxeC e C Y 221--+=…………………………..……2分 将其代入到原方程中，得1-=a ………………….……2分因xe xf 2)(-=，2-=λ是单根, 故原方程的通解为=y x x eC e C 221--+x e x2--……….2 分十、设偶函数)(x f 的二阶导数在0=x 的某一邻域内连续，且2)0('',1)0(==f f ，证明)1)1((1-∑∞=n nf 绝对收敛 (5分)证明：因为)(x f 为可导的偶函数 =2)(''l i mx f n ∞→所以，0)0('=f ,又2)0('',1)0(==f f ， 2)0(''f =)(x f 的二阶导数在0=x 的某一邻域内连续，………………2分 1=……………………………………2分所以21)(l i mxx f n -∞→ 从而=-∞→2)1(|1)1(|limnnf n |21)(lim x x f n -∞→|=1 =xx f n 2)('lim∞→ 故由正项级数的比较法知)1)1((1-∑∞=n nf 绝对收敛……1分..试卷B3 第3页 共3页。
肇庆学院2023-2023学年第1学期《高等数学下)》期末考试试卷(A卷)及标准答案
肇庆学院2023-2023学年第1学期《高等数学下》期末考试试卷（A卷）及标准答案一、选择题（共40题，每题2.5分，共100分）1.在极坐标系下，点P的极坐标为(r, θ)，则P的直角坐标为（）。
A. (r, θ) B. (rcosθ, rsinθ) C. (rcosθ, θ) D.(rsinθ, θ)2.函数 y = ln(x^2 + 1) 的凸区间为（）。
A. (-∞,-1) B.(-1, ∞) C. (0,∞) D. (-∞,0)3.曲线 y = x^3 在点(1,1)处的切线方程为（）。
A. y =3x B. y = 3x - 2 C. y = 2x + 1 D. y = x4.函数 y = x + e^x 的最小值为（）。
A. -∞ B. 0 C. 1 D.无最小值5.设 y = sin(2x)，则y’ = （）。
A. 2cos(2x) B. 2cos(x)C. 2sin(2x)D. 2sin(x)6.函数 y = sin(x) 在 [-π/2,π/2] 上的最小值为（）。
A.-1 B. -π/2 C. 0 D. π/2……二、填空题（共10题，每题5分，共50分）1.设 A = {1, 2, 3, 4}，B = {2, 3, 4, 5}，则A ∪ B 的结果为 _______。
2.设f(x) = ∫(0, 2) x^2 dx，则 f(1) = _______。
3.设函数 f(x) 为偶函数，则其对称轴为 _______。
4.设函数 y = f(x) 在 x = a 处不可导，则 f(x) 在 x = a 处_______。
5.设函数 y = ln(x) + C 是函数 y = 1/x 的特解，则常数C = _______。
6.设 y = A * e^(-kx) 是函数 y = f(x) 的通解，则常数 A = _______。
7.设∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)，则 f(x) = _______。
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南京邮电大学2010/2011学年第二学期 《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为（c ）(A ) ⎰⎰x e dx y x f dy ln 01),( (B ) ⎰⎰1),(dx y x f dy e ey(C )⎰⎰eeydx y x f dy ),(1(D ) ⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),(2、锥面22y x z +=在柱面x y x 222≤+内的那部分面积为 （D ）(A )⎰⎰-θππρρθcos 2022d d (B ) ⎰⎰-θππρρθcos 20222d d(C ) ⎰⎰-θππρρθcos 202222d d (D ) ⎰⎰-θππρρθcos 20222d d3、若级数∑∞=-1)2(n nn x a 在2-=x 处收敛，则级数∑∞=--11)2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定4、下列级数中收敛的级数为 （A ）(A ) ∑∞=-1)13(n nn n (B ) ∑∞=+121n n n(C ) ∑∞=+111sin n n (D ) ∑∞=13!n n n5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （c ）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面方程为624=-+z y x2、已知)0(:222>=+a a y x L ，则=-+⎰Lds xy y x )]sin([22 32 a π3、Ω是由曲面22y x z +=及平面)0(>=R R z 所围成的闭区域，在柱面坐标下化三重积分⎰⎰⎰+Ωdxdydz y x f )(22为三次积分为⎰⎰⎰RR dz f d d ρπρρρθ)(20204、函数x x f =)()0(π≤≤x 展开成以2π为周期的正弦级数为nx nx n n sin )1(211+∞=-=∑，收敛区间为π<≤x 05、=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2,解：2112yg g y f x x z ++'=∂∂ … 3分=∂∂∂yx z2f xy ''4113122221g y x g y xyg g --++ 5分四、(本题8分）在已知的椭球面134222=++z y x 内一切内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。
解：设顶点坐标为)0,,(),,(>z y x z y x ，xyz v 8=….2分令(8),,(λ+=xyz z y x F )134222-++z y x ….2分028),,(=+=x yz z y x F x λ，028),,(=+=y xz z y x F y λ，0328),,(=+=z xy z y x F z λ解得：1,31,32===z y x ， (3)分，316max =V ….1分五、(本题7分）⎰⎰+Dy x dxdy e22，其中)0(:222>≤+a a y x D .解： 原式=⎰⎰ad e d 020ρρθρπ….5分ae e 0)(2ρρρπ-= ]1)1[(2+-=a e a π….2分六、(本题8分）计算⎰+-+-Ldyy x x y dx x y xy )3sin 21()cos 2(2223，其中L 为抛物线22y x π=上由点(0,0)到)1,2(π的一段弧。
装 订 线 内不 要 答 题自觉遵 守考 试 规则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊证明：x y xy yP x Q cos 262-=∂∂=∂∂，所以曲线积分与路径无关….3分4)4321(0212220πππ=+-+=⎰⎰dy y y dx 原式….5分七、(本题8分）计算⎰⎰++∑dxdy z dzdx y dydz x 333，其中∑为上半球面221y x z --=的上侧。
解：补面),1(,0:221≤+=y x z ∑下侧 原式=⎰⎰+++1333∑∑dxdy z dzdx y dydz x⎰⎰++-1333∑dxdy z dzdx y dydz x⎰⎰⎰++=Ωdxdydzz y x )(32220-……5分=⎰⎰⎰14220sin 3dr r d d ϕϕθππ=π56………3分八、(本题8分）讨论级数∑∞=-2ln)1(nnnn的敛散性，若收敛则说明是绝对收敛还是条件收敛。
解：,1lnnnn>原级数不绝对收敛……3分又∑∞=-2ln)1(nnnn为交错级数，,0lim=∞→nnu……2分设,ln)(xxxf=2ln1)(xxxf-='当ex>时单调递减，所以}ln{}{nnun=当2>n时单调递减，……2分原级数条件收敛。
…1分九、（本题共12分，每题6分）1、将)1(1)(-=zzzf在区域+∞<-<|1|1z内展开成洛朗级数。
解：111)1(1)(-+-=z z z f1111)1(12-+⋅-=z z …..3分2)1(1-=z ∑∞=--0)1(1)1(n nnz∑∞=+--=02)1(1)1(n n nz …..3分2、沿指定曲线的正向计算下列复积分⎰=-2||2)1(z zd zz z e解：原式 =)]1),((Re )0),(([Re 2z f s z f s i +π…2分}])1()1[(lim )!12(1)1(lim {222120'-⋅--+-⋅=→→z z e z z z e z i zz z z π ……2 分i z e ze i z z z ππ2}1{212=-+==……2 分十、（本题6分）设,40π=a ，⎰⎰=++=-D n n n dxdy y x yn a )2,1()1)(1(arctan 221 其中}10,0|),{(≤≤≤≤=x x y y x D，（1）求出n a ;(2)求出幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛域及和函数。
解：⎰⎰++=-122110)1)(1(arctan y n n dx y x yn dy a 1)4(11++=n n π……2 分 ∑∑∞=+∞=+=010)4(11n n n n nn x n x a π，,4π=R 收敛域：)4,4[ππ-……2 分∑∑∞=+∞=+==010)4(11)(n nn n nn xn x a x S π⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠--=04)41ln(1x x x x ππ……2 分十、附加题（本题10分）强化班做，普通班不做（做了不得分）设函数)(x f 在]1,1[-内有连续的二阶导数，,0)(,0≠≠x f x 当0→x 时，)(x f 是x 的高阶无穷小，且|,)1()11(|||1nf n f b b nn +≤+证明级数∑∞=+11||n n n b b 收敛。
【证明】 因为当0→x 时，)(x f 是x 的高阶无穷小，所以,0)0()0(='=f f 又)(x f 的二阶导数)(x f ''在]1,1[-内连续，所以K x f ≤''|)(|,!2)()0()0()(2x f x f f x f ξ''+'+= ξ在0与x 之间 221)(1)0()0()1(n f n f f n f ξ''+'+=221)(nf ξ''=|)1(|n f ,22n K ≤ 所以∑∞=1n |)1(|n f 收敛，同理∑∞=1n |)11(|+n f 也收敛……5 分 由于|)1()11(|||||1n f n f b b n n +≤+|)1()11(||)11()1(|||1n f n f n f n f b n +-≤-|)11()11(|||1-+≤-n f n f b n≤≤ |)1()11(|||1f n f b +⇒∑∞=1n ||1+n b 收敛，由此得∑∞=1n ||n b 也收敛 又|)||(|21||11n n n n b b b b +≤++，所以∑∞=+11||n n n b b 收敛。
……5 分。