高等数学下册试题及参考答案

高等数学下册试题一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，|AB |=5)1(20222=-++.2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}.解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k .4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ）A ）2πB ）4πC ）3π D ）π 解 由公式（6-21）有21112)1(211)1(1221cos 2222222121=++⋅-++⨯-+⨯+⨯=⋅⋅=n n n n α，因此，所求夹角321arccos πα==．5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ．解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有⎩⎨⎧=+-=+020D B A D A解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程01=-+y x6．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。

A ．3B ．4C ．5D ． 27．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为(A )。

A ．3B ．5C ．4D ． 28．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( B )。

A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 9．微分方程323y y ='的一个特解是( B)。

A ．13+=x yB ．()32+=x yC ．()2C x y +=D ． ()31x C y += 10．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解(C)。

A ．0=+'y yB ．02=+'y yC ．0=+y y nD ． x y y cos =+'' 11．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的(A)，其中1C ，2C 为任意常数。

A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 12．y y ='满足2|0==x y 的特解是( B)。

A ．1+=xe y B ．xe y 2= C ．22x e y ⋅= D ． x e y ⋅=3 13．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( C )。

A ．x a y sin *= B ．x a y cos *⋅= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 14．下列微分方程中，( A )是二阶常系数齐次线性微分方程。

A ．02=-''y y B ．032=+'-''y y x y C ．045=-''x y D ． 012=+'-''y y15．微分方程0=-'y y 满足初始条件()10=y 的特解为( A )。

A ．x e B ．1-x e C ．1+x e D ． x e -216．在下列函数中，能够是微分方程0=+''y y 的解的函数是( C )。

A ．1=y B ．x y = C ．x y sin = D ． x e y =17．过点()3,1且切线斜率为x 2的曲线方程()x y y =应满足的关系是( C )。

A ．x y 2=' B ．x y 2='' C ．x y 2='，()31=y D ． x y 2=''，()31=y 18．下列微分方程中，可分离变量的是( B )。

A ．e x y dx dy =+ B ．()()y b a x k dx dy--=(k ,a ,b 是常数) C ．x y dxdy=-sin D ． x e y xy y ⋅=+'219．方程02=-'y y 的通解是( C )。

A ．x y sin =B ．x e y 24⋅=C ．x e C y 2⋅=D ．x e y = 20．微分方程0=+xdy y dx 满足4|3==x y 的特解是( A )。

A ．2522=+y x B ．C y x =+43 C ．C y x =+22 D ． 722=-y x21．微分方程01=⋅-y xdx dy 的通解是=y ( B )。

A ．xC B ．Cx C ．C x +1D ． C x +22．微分方程0=+'y y 的解为( B )。

A ．x eB ．x e -C ．x x e e -+D ． x e -23．下列函数中，为微分方程0=+ydy xdx 的通解是( B )。

A ．C y x =+B ．C y x =+22 C ．0=+y CxD ． 02=+y Cx 24．微分方程02=-dx ydy 的通解为( A )。

A ．C x y =-2B ．C x y =- C ．C x y +=D ．C x y +-= 25．微分方程xdx ydy sin cos =的通解是( D )。

A ．C y x =+cos sin B ．C x y =-sin cos C ．C y x =-sin cos D ． C y x =+sin cos 26．x e y -=''的通解为=y ( C )。

A ．x e --B ．x e -C ．21C x C e x ++-D ．21C x C e x ++--27．按照微分方程通解定义，x y sin =''的通解是( A )。

A ．21sin C x C x ++- B ．21sin C C x ++- C ．21sin C x C x ++ D ． 21sin C C x ++一、单项选择题2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). CA. 若0lim (,)x xy y f x y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处z x ∂∂和zy ∂∂都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处z x ∂∂和zy∂∂存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ∂∂和22z y ∂∂都存在, 则. 22z x ∂∂=22zy ∂∂.6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-r r ，则a b =rr g （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 25．已知三点M （1，2，1），A （2，1，1），B （2，1，2） ，则→→•AB MA = （ C ） (A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2；6．已知三点M （0，1，1），A （2，2，1），B （2，1，3） ，则||→→+AB MA =（ B ）(A);2- (B) ; (C)2; (D)-2;7．设D 为园域222x y ax +≤ (0)a >, 化积分(,)DF x y d σ⎰⎰为二次积分的正确方法是_________. DA. 20(,)aa adx f x y dy -⎰⎰B. 202(,)adx f x y dy ⎰C. 2cos 0(cos ,sin )a a ad f d θθρθρθρρ-⎰⎰D. 2cos 202(cos ,sin )a d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰8．设3ln 10(,)x I dx f x y dy =⎰⎰, 改变积分次序, 则______.I = B A. ln30(,)y e dy f x y dx ⎰⎰ B. ln33(,)y edy f x y dx ⎰⎰C. ln330(,)dy f x y dx ⎰⎰ D. 3ln 1(,)x dy f x y dx ⎰⎰9． 二次积分cos 20(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰可以写成___________. DA. 1(,)dy f x y dx ⎰⎰B. 100(,)dy f x y dx ⎰C. 11(,)dx f x y dy ⎰⎰ D. 10(,)dx f x y dy ⎰10． 设Ω是由曲面222x y z +=及2z =所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分(,,)I f x y z dx dy dz Ω=⎰⎰⎰表示为三次积分，________.I = CA ． 2212000(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθ⎰⎰⎰B. 22220(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθρ⎰⎰⎰C ． 22222(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρθρθρ⎰⎰⎰D ． 222(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρθρθρ⎰⎰⎰11．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d y c a x L ≤≤=,:， 则()=⎰Ldx y x P ,（ C ）（A ） a （B ） c（C ） 0 （D ） d12．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d x c a y L ≤≤=,:，则()=⎰Ldy y x P ,（ C ）（A ） a （B ） c （C ） 0 （D ） d13．设有级数∑∞=1n nu,则0lim =∞→n n u 是级数收敛的（ D ）(A) 充分条件； (B) 充分必要条件； (C) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;14．幂级数∑∞=1n nnx的收径半径R =（ D ）(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D) 115．幂级数∑∞=11n n x n 的收敛半径=R（ A ）(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 316．若幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径为R ，则∑∞=+02n n nx a的收敛半径为（ A ）(A) R (B) 2R(C) R (D) 无法求得17. 若lim 0n n u →∞=, 则级数1n n u ∞=∑( ) DA. 收敛且和为B. 收敛但和不一定为C. 发散D. 可能收敛也可能发散 18. 若1n n u ∞=∑为正项级数, 则( )A. 若lim 0n n u →∞=, 则1n n u ∞=∑收敛 B. 若1n n u ∞=∑收敛, 则21n n u ∞=∑收敛BC. 若21n n u ∞=∑, 则1n n u ∞=∑也收敛 D. 若1n n u ∞=∑发散, 则lim 0n n u →∞≠19. 设幂级数1n n n C x ∞=∑在点3x =处收敛, 则该级数在点1x =-处( )AA. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不定 20. 级数1sin (0)!n nx x n ∞=≠∑, 则该级数( ) BA. 是发散级数B. 是绝对收敛级数C. 是条件收敛级数D. 可能收敛也可能发散二、填空题（每题4分，共20分）1. a ∙b = （公式）答案∣a ∣∙∣b ∣cos(∧b a ,)2. a =(a x ，a y ，a z )，b=(b x ，b y ，z b z )则 a ·b = （计算） 答案a x b x +a y b y +a z b z3. .=⨯b a ρρ答案zy xz yxb b b a a a kj i ρρρ 4. ][c b a ρρρ=答案xy z xy z xyza a ab b bc c c 5. 平面的点法式方程是 答案0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 6.设()xy y x z -+=22arcsin ，其定义域为 ((){}0,1,22≥>≤+x y y xy x )7.设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000sin ,2xy xy xyy x y x f ，则()=1,0x f (()11,0=x f )8.()y x f ,在点()y x ,处可微分是()y x f ,在该点连续的 的条件，()y x f ,在点()y x ,处连续是()y x f ,在该点可微分的 的条件. (充分，必要) 9.()y x f z ,=在点()y x ,的偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在是()y x f ,在该点可微分的 条件.(必要)10.在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 方程的名称是 答案 可分离变量微分方程；②()()022=-++dy y x y dx x xy 方程的名称是 答案 可分离变量微分方程； ③xyy dx dy xln ⋅=方程的名称是 答案 齐次方程；④x x y y x sin 2+='方程的名称是 答案 一阶线性微分方程；⑤02=-'+''y y y 方程的名称是答案 二阶常系数齐次线性微分方程.11. 在空间直角坐标系{O ;k j i ρρρ,,}下，求P (2,－3,－1)，M (a , b , c )关于 (1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标. [解]：M (a , b , c )关于xOy 平面的对称点坐标为(a , b , －c )，M (a , b , c )关于yOz 平面的对称点坐标为(－a , b , c )，M (a , b , c )关于xOz 平面的对称点坐标为(a ,－b , c )， M (a , b , c )关于x 轴平面的对称点坐标为(a ,－b ,－c )， M (a , b , c )关于y 轴的对称点的坐标为(－a , b ,－c )， M (a , b , c )关于z 轴的对称点的坐标为(－a ,－b , c ). 类似考虑P (2,－3，－1)即可.12.要使下列各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？（1-=+ （2+=+（3=+ （4+=-（5-=-[解]：（1）b a ,-=+；（2）b a ,+=+（3≥且b a ,=+（4）b a ,+=-（5）b a ,≥-=-13.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆（3）直线； （4）相距为2的两点二、填空题1．设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+，则 =')1,0(x f ___1___.2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则 )1,0('x f =____0______.3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρsin ,cos ,4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z f dxdydz z y x f ϕρρϕρϕρ,sin ,cos ,,5．柱面坐标下的体积元素 z d d d dv θρρ=6．设积分区域222:D x y a +≤, 且9Ddxdy π=⎰⎰, 则a = 3 。