(完整)高等数学下册试题及答案解析,推荐文档
(完整版)高等数学下册期末考试试题及答案,推荐文档
又
1 zx2
z
2 y
a
a2 x2 y2 ，…..………【３】
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高数
故
dS z
Dxy
adxdy a2 x2 y2
a
2 d
0
a2 h2 0
d a2 2
2
a
1 2
ln(a2
2
)0
a2 h2
2 a ln a ..【7】 h
三、【9 分】解：设 M (x, y, z) 为该椭圆上的任一点，则点 M 到原点的距离为 d x2 y2 z2 ……【1】
n1
n
4、设 z f (xy, x ) sin y ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 z ,
2z
．
y
x xy
5、计算曲面积分 dS , 其中 是球面 x2 y2 z2 a2 被平面 z h (0 h a) 截出的顶部．
z
三、（本题满分 9 分） 抛物面 z x2 y2 被平面 x y z 1 截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离
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的最大值与最小值．
高数
（本题满分 10 分）
计算曲线积分 (ex sin y m)dx (ex cos y mx)dy ， L
其中 m 为常数， L 为由点 A(a, 0) 至原点 O(0, 0) 的上半圆周 x2 y2 ax (a 0) ．
四、（本题满分 10 分）
xn
3 , 1 2
3 ,2
3),
1 M2( 2
3 , 1 2
3 ,2
3). …………………【7】
又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．
高等数学下册试题及答案解析
高等数学下册试题及答案解析一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= . 2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 .3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 .4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds .5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ .6、微分方程x yxy dx dy tan+=的通解为 . 7、方程04)4(=-y y 的通解为 . 8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 .二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） yy x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 22000000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x y y x f x y x f z y x y x .2、设),()(x yxf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ∂∂+∂∂等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 .3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdVI 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdrr d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdrr d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20213cos sin drr d d ； （D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20013cos sin drr d d .4、球面22224a z y x =++与柱面ax y x 222=+所围成的立体体积V=（ ）（A ）⎰⎰-20cos 202244πθθa drr a d ； （B ）⎰⎰-20cos 202244πθθa dr r a r d ； （C ）⎰⎰-20cos 202248πθθa drr a r d ；（D ）⎰⎰--22cos 20224ππθθa drr a r d .5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则⎰=+LQdy Pdx )(（A ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x Q y P )(； （B ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy x P y Q )(；（C ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y Q x P )(； （D ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy y P x Q )(.6、下列说法中错误的是（ ）（A ） 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； （B ） 方程x y dx dy x dx dy ysin =+是一阶微分方程； （C ） 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； （D ） 方程x y x dx dy 221=+是伯努利方程. 7、已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，则曲线的方程为=y （ ）（A ）x e x 2sin -； （B ）)2cos 2(sin x x e x -； （C ）)2sin 2(cos x x e x -； （D ）x e x 2sin .8、设0lim =∞→n n nu , 则∑∞=1n nu（ ）（A ）收敛； （B ）发散； （C ）不一定； （D ）绝对收敛. 三、求解下列问题（共计15分）1、（7分）设g f ,均为连续可微函数.)(),,(xy x g v xy x f u +==，求y u x u ∂∂∂∂,.2、（8分）设⎰+-=t x t x dzz f t x u )(),(，求t ux u ∂∂∂∂,.四、求解下列问题（共计15分）.1、计算=I ⎰⎰-2022xy dye dx .（7分）2、计算⎰⎰⎰Ω+=dVy x I )(22，其中Ω是由x 21,222===+z z z y 及所围成的空间闭区域（8分）.五、（13分）计算⎰++-=L y x ydxxdy I 22，其中L 是xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点)0,0(O 的封闭曲线的逆时针方向.六、（9分）设对任意)(,,x f y x 满足方程)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+，且)0(f '存在，求)(x f .七、（8分）求级数∑∞=++--11212)2()1(n n nn x 的收敛区间. 高等数学（下册）试卷（二）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，则=∂∂+∂∂y zx z .2、=+-→→xyxy y x 93lim 00 .3、设⎰⎰=202),(x xdyy x f dx I ，交换积分次序后，=I .4、设)(u f 为可微函数，且,0)0(=f 则⎰⎰≤+→=++222)(1lim 223t y x t d y x f t σπ .5、设L 为取正向的圆周422=+y x ，则曲线积分 ⎰=-++Lx x dy x ye dx ye y )2()1( .6、设→→→+++++=k xy z j xz y i yz x )()()(222，则=div .7、通解为xx e c e c y 221-+=的微分方程是 .8、设⎩⎨⎧<<<≤--=ππx x x f 0,10,1)(，则它的Fourier 展开式中的=n a .二、选择题（每小题2分，共计16分）.1、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222422y x y x yx xy y x f ,则在点（0，0）处（ ） （A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在. 2、设),(y x u 在平面有界区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u 及 +∂∂22x u 022=∂∂y u ，则（ ）（A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部； （B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上；（C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上； （D ）最小值点在D 的内部，最大值点在D 的边界上. 3、设平面区域D ：1)1()2(22≤-+-y x ，若⎰⎰+=Dd y x I σ21)(，⎰⎰+=Dd y x I σ32)(则有（ ）（A ）21I I <； （B ） 21I I =； （C ）21I I >； （D ）不能比较. 4、设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间区域，则⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32 =（ ）（A ）3611； （B ）3621； （C ）3631 ； （D ）3641.5、设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ )(βα≤≤t ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ， 则曲线积分⎰=L ds y x f ),(（ ）(A)⎰βαψϕdtt t f ))(),((； (B)⎰'+'αβψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22 ；(C) ⎰'+'βαψϕψϕdtt t t t f )()())(),((22； (D)⎰αβψϕdt t t f ))(),((.6、设∑是取外侧的单位球面1222=++z y x ， 则曲面积分 ⎰⎰∑++zdxdyydzdx xdydz =（ ）(A) 0 ； (B) π2 ； (C)π ； (D)π4.7、下列方程中，设21,y y 是它的解，可以推知21y y +也是它的解的方程是（ ）(A) 0)()(=++'x q y x p y ； (B) 0)()(=+'+''y x q y x p y ； (C) )()()(x f y x q y x p y =+'+''； (D) 0)()(=+'+''x q y x p y .8、设级数∑∞=1n na为一交错级数，则（ ）(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若)0(0→→n a n ，则必收敛.三、求解下列问题（共计15分）1、（8分）求函数)ln(22z y x u ++=在点A （0，1，0）沿A 指向点B （3，-2，2）的方向的方向导数.2、（7分）求函数)4(),(2y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围成的闭区域D 上的最大值和最小值.四、求解下列问题（共计15分）1、（7分）计算⎰⎰⎰Ω+++=3)1(z y x dvI ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域.2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义⎰⎰⎰Ω++=dvy x f z t F )]([)(222，其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dt dF.五、求解下列问题（15分） 1、（8分）求⎰-+-=Lx x dym y e dx my y e I )cos ()sin (，其中L 是从A （a ，0）经2x ax y -=到O （0，0）的弧.2、（7分）计算⎰⎰∑++=dxdyz dzdx y dydz x I 222，其中∑是)0(222a z z y x ≤≤=+ 的外侧.六、（15分）设函数)(x ϕ具有连续的二阶导数，并使曲线积分⎰'++-'Lx dyx ydx xe x x )(])(2)(3[2ϕϕϕ与路径无关，求函数)(x ϕ.高等数学（下册）试卷（三）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、设⎰=yzxzt dte u 2， 则=∂∂z u .2、函数)2sin(),(y x xy y x f ++=在点（0，0）处沿)2,1(=的方向导数)0,0(lf∂∂= .3、设Ω为曲面0,122=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分⎰⎰⎰Ω=dvz y x f I ),,(化为先对z再对y 最后对x 三次积分，则I= .4、设),(y x f 为连续函数，则=I ⎰⎰=+→D t d y x f t σπ),(1lim 2，其中222:t y x D ≤+.5、⎰=+Lds y x )(22 ，其中222:a y x L =+.6、设Ω是一空间有界区域，其边界曲面Ω∂是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式： ， 该关系式称为 公式.7、微分方程96962+-=+'-''x x y y y 的特解可设为=*y . 8、若级数∑∞=--11)1(n pn n 发散，则p .二、选择题（每小题2分，共计16分）1、设),(b a f x '存在，则x b x a f b a x f x ),(),(lim0--+→=（ ）（A ）),(b a f x '；（B ）0；（C ）2),(b a f x '；（D ）21),(b a f x '.2、设2yx z =，结论正确的是（ ）（A ）022>∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ； （B ）022=∂∂∂-∂∂∂x y zy x z ；（C ）022<∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ； （D ）022≠∂∂∂-∂∂∂x y zy x z .3、若),(y x f 为关于x 的奇函数，积分域D 关于y 轴对称，对称部分记为21,D D ，),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰=Dd y x f σ),(（ ）（A ）0；（B ）2⎰⎰1),(D d y x f σ；（C ）4⎰⎰1),(D d y x f σ； (D)2⎰⎰2),(D d y x f σ.4、设Ω：2222R z y x ≤++，则⎰⎰⎰Ω+dxdydzy x)(22=（ ）（A ）538R π； （B ）534R π； （C ）5158R π； （D ）51516Rπ.5、设在xoy 面内有一分布着质量的曲线L ，在点),(y x 处的线密度为),(y x ρ，则曲线弧Ｌ的重心的x坐标x 为（ ）（Ａ）x =⎰L dsy x x M),(1ρ； （B ）x =⎰L dx y x x M ),(1ρ；（C ）x =⎰L ds y x x ),(ρ； （D ）x =⎰L xds M 1, 其中M 为曲线弧Ｌ的质量.６、设∑为柱面122=+y x 和1,0,0===z y x 在第一卦限所围成部分的外侧，则 曲面积分⎰⎰∑++ydxdzx xzdydz zdxdy y 22＝（ ）（A ）0； （B ）4π-； （C ）245π； （D ）4π.７、方程)(2x f y y ='-''的特解可设为（ ）（A ）A ，若1)(=x f ； （B ）x Ae ，若x e x f =)(；（C ）E Dx Cx Bx Ax ++++234，若x x x f 2)(2-=； （D ）)5cos 5sin (x B x A x +，若x x f 5sin )(=.８、设⎩⎨⎧≤<<≤--=ππx x x f 010,1)(，则它的Fourier 展开式中的n a 等于（ ） （A ）])1(1[2n n --π； （B ）0； （C ）πn 1； （D ）πn 4.三、（１２分）设tt x f y ),,(=为由方程 0),,(=t y x F 确定的y x ,的函数，其中F f ,具有一阶连续偏导数，求dx dy.四、（８分）在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短.五、（８分）求圆柱面y y x 222=+被锥面22y x z +=和平面0=z 割下部分的面积Ａ.六、（１２分）计算⎰⎰∑=xyzdxdyI ，其中∑为球面1222=++z y x 的0,0≥≥y x 部分 的外侧.七、（10分）设xx d x df 2sin 1)(cos )(cos +=，求)(x f .八、（10分）将函数)1ln()(32x x x x f +++=展开成x 的幂级数.高等数学（下册）试卷（四）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、由方程2222=+++z y x xyz 所确定的隐函数),(y x z z =在点（1，0，-1）处的全微分=dz .2、椭球面632222=++z y x 在点（1，1，1 ）处的切平面方程是 . 3、设D 是由曲线2,2+==x y x y 所围成，则二重积分⎰⎰=+=Ddxdy x I )1(2 .4、设Ω是由4,0,422===+z z y x 所围成的立体域，则三重积分 ⎰⎰⎰Ω+=dvy x I )(22= .5、设∑是曲面22y x z +=介于1,0==z z 之间的部分，则曲面积分⎰⎰∑=+=ds y x I )(22 .6、⎰⎩⎨⎧=++=++=22222z y x a z y x ds x .7、已知曲线)(x y y =上点M(0,4)处的切线垂直于直线052=+-y x ，且)(x y 满足微分方程02=+'+''y y y ，则此曲线的方程是 .8、设)(x f 是周期T=π2的函数，则)(x f 的Fourier 系数为 .二、选择题（每小题2分，共计16分）1、函数xyx yz +=arcsin 的定义域是（ ）（A ）{}0,|),(≠≤x y x y x ； （B ）{}0,|),(≠≥x y x y x ；（C ）{}0,0|),(≠≥≥x y x y x {}0,0|),(≠≤≤x y x y x Y ；（D ）{}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x Y .2、已知曲面224y x z --=在点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x ，则点P 的坐标是（ ）（A ）（1，-1，2）； （B ）（-1，1，2）；（C ）（1，1，2）； （D ）（-1，-1，2）.3、若积分域D 是由曲线2x y =及22x y -=所围成，则⎰⎰D d y x f σ),(=（ ）（A ）⎰⎰--22211),(x x dyy x f dx ； （B ）⎰⎰--22211),(x x dyy x f dx ；（C ）⎰⎰-y ydxy x f dy 210),(； （D ）⎰⎰--112),(22dxy x f dy x x .4、设;0,:22221≥≤++Ωz R z y x0,0,0,:22222≥≥≥≤++Ωz y x R z y x ， 则有（ ） （A ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xdvxdv ； （B ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124ydvydv ；（C ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xyzdvxyzdv ； （D ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124zdvzdv .5、设∑为由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成的立体的表面，则曲面积分⎰⎰∑+ds y x )(22=（ ）（A ）π221+； （B ）2π； （C ）π22； （D ）0 .６、设∑是球面2222a z y x =++表面外侧，则曲面积分⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333＝（ ）（A ）3512a π； （B ）5512a π； （C ）554a π； （D ）5512a π-.７、一曲线过点(e,1)，且在此曲线上任一点),(y x M 的法线斜率x y x xx k ln ln +-=，则此曲线方程为（ ）（A ）)ln(ln x x e x y +=； （B ）x x e xy ln +=；（C ）)ln(ln x x ex y +=； （D ）)ln(ln x e xy +=.８、幂级数∑∞=+1)1(n nxn 的收敛区间为（ ）（A ）（-1，1）； （B ）),(+∞-∞； （C ）（-1，1）； （D ）[-1，1].三、（１０分）已知函数)()(x yxg y x yf u +=，其中g f ,具有二阶连续导数，求 y x u yxu x ∂∂∂+∂∂222的值.四、（１０分）证明：曲面)0(3>=c c xyz 上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为一定值.五、（１４分）求抛物面224y x z ++=的切平面π，使得π与该抛物面间并介于柱面1)1(22=+-y x 内部的部分的体积为最小.六、（１０分）计算⎰-++=Lx x dyx y e dx y y e I )cos ()sin (，其中Ｌ为24x y --=由Ａ（２，０）至Ｂ（－２，０）的那一弧段.七、（８分）求解微分方程212y y y '-+''=0 .八、（８分）求幂级数∑∞=1n nn x 的和函数)(x S .高等数学（下册）试卷（五）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、设),(y x f z =是由方程0=+----xy z xe x y z 所确定的二元函数，则 =dz .２、曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点（１，１，１）处的切线方程是 .３、设Ω是由1222≤++z y x ，则三重积分⎰⎰⎰Ωdve z＝ .４、设)(x f 为连续函数，m a ,是常数且0>a ，将二次积分⎰⎰⋅-a yx a m dxx f e dy 0)()(化为定积分为 .５、曲线积分⎰+)(AB L QdyPdx 与积分路径)(AB L 无关的充要条件为 .６、设∑为222y x a z --=，则⎰⎰∑=++ds z y x )(222 .７、方程xe y y 23=+'的通解为 .８、设级数∑∞=1n na收敛，∑∞=1n nb发散，则级数∑∞=+1)(n n nb a必是 .二、选择题（每小题2分，共计16分）１、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(222y x y x yx yx y x f ，在点（０，０）处，下列结论（ ）成立.（Ａ）有极限，且极限不为0； （Ｂ）不连续； （Ｃ）)0,0()0,0(='='y x f f ； （Ｄ）可微.２、设函数),(y x f z =有222=∂∂y f，且1)0,(=x f ，x x f y =')0,(，则),(y x f =（ ）（Ａ）21y xy +-； （Ｂ）21y xy ++； （Ｃ）221y y x +-； （Ｄ）221y y x ++.３、设Ｄ：4122≤+≤y x ，f 在D 上连续，则⎰⎰+Dd y x f σ)(22在极坐标系中等于（ ）（Ａ）drr rf ⎰21)(2π； （Ｂ）drr rf ⎰212)(2π；（Ｃ）⎰⎰-102202])()([2dr r f r dr r f r π； （Ｄ）⎰⎰-10222])()([2dr r rf dr r rf π.４、设Ω是由0,0,0===z y x 及12=++z y x 所围成，则三重积分⎰⎰⎰Ω=)(),,(dv z y x xf（Ａ）⎰⎰⎰---y x ydyz y x xf dz dx 21021010),,(；（Ｂ）⎰⎰⎰--yx dzz y x xf dy dx 2101010),,(； （Ｃ）⎰⎰⎰---y x xdzz y x xf dy dx 21021010),,(；（Ｄ）⎰⎰⎰10110),,(dzz y x xf dy dx .５、设∑是由1,11,0,0,0======z y x z y x 所围立体表面的外侧，则曲面积分⎰⎰∑=++)(zdxdy ydzdx xdydz（Ａ）0； （Ｂ）1； （Ｃ）3； （Ｄ）2.６、以下四结论正确的是（ ）（Ａ）⎰⎰⎰≤++=++2222522234)(a z y x a dv z y x π；（Ｂ） ();442222222a ds z y x a z y xπ=++⎰⎰=++（Ｃ） ⎰⎰=++=++外侧222242224)(a z y x a dxdy z y x π；（Ｄ） 以上三结论均错误.７、设)(x g 具有一阶连续导数，1)0(=g .并设曲线积分⎰-Ldyx g xdx x yg )(tan )( 与积分路径无关，则⎰=-)4,4()0,0()()(tan )(ππdy x g xdx x yg（Ａ）π22； （Ｂ）π22-； （Ｃ）π82； （Ｄ）π82-. ８、级数∑∞=---1112)1(n n n 的和等于（ ）（Ａ）2/3；（Ｂ）1/3； （Ｃ）1； （Ｄ）3/2.三、求解下列问题（共计１５分）１、（８分）设,zyx u =求y u x u ∂∂∂∂,z u ∂∂.（７分）设),(z y y x f u =，f 具有连续偏导数，求du .四、求解下列问题（共计１５分）１、（８分）计算⎰⎰++=Dd y f x f y bf x af I σ)()()()(，其中222:R y x D ≤+.（７分）计算⎰⎰⎰Ω+++=dvz y x I )1(，其中2222:R z y x ≤++Ω.五、（１５分）确定常数λ，使得在右半平面0>x 上，⎰+-+Ldyy x x dx y x xy λλ)()(224224与积分路径无关，并求其一个原函数),(y x u .六、（８分）将函数3)1(1)(x xx f -+=展开为x 的幂级数.七、（７分）求解方程096=+'-''y y y .高等数学（下册）试卷（六）一、单选题（共15分，每小题3分）1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ．0lim (,)x x f x y →及0lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2．若xy z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B xln ln ln .ln x xy y C y ydx dyx + ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y +3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ）．212cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dzπθθθθ⎰⎰⎰21200cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dzπθθθθ⎰⎰⎰ 212002cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dzπθπθθθ-⎰⎰⎰21cos .(cos ,sin ,)xD d rdr f r r z dzπθθθ⎰⎰⎰4． 4．若1(1)nnn a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）.A. （-1，3，4）B.（3，-1，4）C. （-1，0，3）D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z = .2．交 换ln 1(,)e xI dx f x y dy=⎰⎰的积分次序后，I =_____________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .4. 已知0!n xn x e n ∞==∑，则xxe -= . 5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 .三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctany z y x =, 求z x ∂∂,zy ∂∂.2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量122l i j =+r r r 方向的方向导数.4. （本小题满分7分）将x x f 1)(=展开成3-x 的幂级数，并求收敛域.5．（本小题满分7分）求由方程08822222=+-+++z yz z y x 所确定的隐函数),(y x z z =的极值.6．（本小题满分7分）计算二重积分1,1,1,)(222=-=--=+⎰⎰y y y x D d y xD由曲线σ及2-=x 围成.7.（本小题满分7分）利用格林公式计算⎰-Lxy x y xy d d 22，其中L 是圆周222a y x =+（按逆时针方向）.8.（本小题满分7分）计算⎰⎰⎰Ωz y x xy d d d ，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面0,0,1===y x z 所围成且在第一卦限内的区域. .四、综合题（共16分，每小题8分）1．（本小题满分8分）设级数11,nnn n u v∞∞==∑∑都收敛，证明级数21()nn n uv ∞=+∑收敛.2．（本小题满分8分）设函数),(y x f 在2R 内具有一阶连续偏导数，且2fx x ∂=∂，证明曲线积分 2(,)L xydx f x y dy +⎰与路径无关．若对任意的t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,)t t xydx f x y dy xydx f x y dy+=+⎰⎰，求),(y x f 的表达式．高等数学（下册）试卷（一）参考答案一、1、当10<<a 时，1022≤+<y x ；当1>a 时，122≥+y x ；2、负号；3、23;110⎰⎰⎰⎰-+=Dy e eydx dy d σ； 4、dt t t )()(22ψϕ'+'；5、180π；6、Cx x y=sin；7、xxe C e C x C x C y 2423212sin 2cos -+++=； 8、1；二、1、D ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、B ； 7、A ； 8、C ；三、1、21f y f x u '+'=∂∂；)(xy x g x y u +'=∂∂；2、)()(t x f t x f x u --+=∂∂；)()(t x f t x f t u -++=∂∂； 四、1、)1(21420200220222-----===⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dx e dy dy e dx y y y x y ； 2、⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=πππθθ2020212022132233142r dz r dr d dz r dr d I 柱面坐标； 五、令2222,y x xQ y x y P +=+-=则x Qy x x y y P ∂∂=+-=∂∂22222)(，)0,0(),(≠y x ； 于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0，0）时，x Q y P ∂∂∂∂,在D 内连续.所以由Green 公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0，0）时，x Q y P ∂∂∂∂,在D 内除O （0，0）外都连续，此时作曲线+l 为)10(222<<=+εεy x ，逆时针方向，并假设*D 为+L 及-l 所围成区域，则 πε2)(222*=+∂∂-∂∂+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+++-++++y x D l l L l l L dxdy y Px Q Green I 公式六、由所给条件易得：0)0()0(1)0(2)0(2=⇒-=f f f f又x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0 =x x f x f x f x f x f x ∆-∆-∆+→∆)()()(1)()(lim 0 x f x f x f x f x f x ∆-∆⋅∆-+=→∆)0()()()(1)(1lim 20 )](1)[0(2x f f +'= 即 )0()(1)(2f x f x f '=+' c x f x f +⋅'=∴)0()(arctan 即 ])0(tan[)(c x f x f +'= 又 0)0(=f 即Z k k c ∈=,π ))0(tan()(x f x f '=∴七、令t x =-2，考虑级数∑∞=++-11212)1(n n nn tΘ212321232lim t n t n t n n n =++++∞→ ∴当12<t 即1<t 时，亦即31<<x 时所给级数绝对收敛；当1<t 即3>x 或1<x 时，原级数发散；当1-=t 即1=x 时，级数∑∞=++-11121)1(n n n 收敛；当1=t 即3=x 时，级数∑∞=+-1121)1(n nn 收敛；∴级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3].高等数学（下册）试卷（二）参考答案一、1、1； 2、-1/6； 3、⎰⎰⎰⎰+202/4222/),(),(y y y dxy x f dy dx y x f dy ； 4、)0(32f '；5、π8-；6、)(2z y x ++；7、02=-'+''y y y ； 8、0；二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、D ； 5、C ； 6、D ； 7、B ； 8、C ；三、1、函数)ln(22z y x u ++=在点A （1，0，1）处可微，且)1,0,1(221z y x xu A ++=∂∂2/1=；1)1,0,1(2222=+⋅++=∂∂z y y zy x y u A ；2/11)1,0,1(2222=+⋅++=∂∂zy z zy x zu A而),1,2,2(-==所以)31,32,32(-=οl ,故在A 点沿=方向导数为： =∂∂Alu A x u ∂∂αcos ⋅+A y u ∂∂βcos ⋅+A z u∂∂γcos ⋅ .2/13121)32(03221=⋅+-⋅+⋅=2、由⎪⎩⎪⎨⎧=--==-+--='0)24(0)1()4(22y x x f xy y x xy f y x 得D 内的驻点为),1,2(0M 且4)1,2(=f ， 又0)0,(,0),0(==x f y f而当0,0,6≥≥=+y x y x 时，)60(122),(23≤≤-=x x x y x f令0)122(23='-x x 得4,021==x x 于是相应2,621==y y 且.64)2,4(,0)6,0(-==f f),(y x f ∴在D 上的最大值为4)1,2(=f ，最小值为.64)2,4(-=f四、1、Ω的联立不等式组为⎪⎩⎪⎨⎧--≤≤-≤≤≤≤Ωy x z x y x 101010:所以⎰⎰⎰---++++=1010103)1(xyx z y x dzdy dx I⎰⎰--++=x dy y x dx 10210]41)1(1[21⎰-=--+=101652ln 21)4311(21dx x x 2、在柱面坐标系中⎰⎰⎰+=πθ200022)]([)(thrdz r f z dr d t F ⎰+=tdr r h r r hf 032]31)([2π所以]31)([232t h t t hf dt dF +=π]31)([222h t f ht +=π五、1、连接→OA ，由Green 公式得：。
大学高等数学下考试题库(附答案)
大学高等数学下考试题库(附答案)一、填空题（每题2分，共20分）1. 设函数f(x)在区间I上单调递增，若a < b，则必有__________。
【答案】f(a) < f(b)2. 函数y = e^x在区间（-∞，+∞）上的最小值为__________。
【答案】03. 设函数f(x) = x^3 - 6x + 9，则f'(x) =__________。
【答案】3x^2 - 64. 设矩阵A = [a_{ij}]，则矩阵A的行列式det(A) = __________。
【答案】a_{11}a_{22}...a_{nn} -a_{11}a_{23}...a_{n2} + a_{12}a_{21}...a_{n3} - ... + (-1)^(n+1)a_{1n}a_{21}...a_{n1}5. 向量组α = (α1, α2, α3)和β = (β1, β2, β3)垂直的条件是__________。
【答案】α1β1 + α2β2 + α3β3 = 06. 设线性方程组Ax = b的解集为N，则N是__________。
【答案】向量空间7. 若函数f(x)在区间（a，b）上连续，且f(a) = f(b)，则函数f(x)在区间（a，b）上必有零点，此结论称为__________。
【答案】零点定理8. 设函数f(x)在区间I上单调递减，若a < b，则必有__________。
【答案】f(a) > f(b)9. 设函数f(x) = ln(x)，则f''(x) =__________。
【答案】1/x10. 设矩阵A = [a_{ij}]，则矩阵A的逆矩阵A^-1 = __________。
【答案】(1/det(A))[c_{ij}]，其中c_{ij} = (-1)^(i+j)det(A)/a_{ii}a_{jj}二、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数在区间（0，1）上单调递增的是__________。
高等数学(下册)试题及详细解答
高等数学2一．填空题(每小题3分，本大题满分30分)1．已知(1,2,3)a =，(3,2,1)b = ，则a b ⨯= (4,8,4)--.2．yOz 面上的抛物线21z y =-绕z 轴旋转一周所得曲面方程为221z x y =--.3．(,)(0,2)lim x y →=18. 4．对函数yz x =利用近似计算公式d z z ∆≈，则 2.02(1.04)≈ 1.08.5．曲线2211x ty t z t =⎧⎪=-⎨⎪=+⎩上点(2,3,5)处的切线方程为35244y z x ---==.6．将下列函数展开成(1)x -的幂级数：13x =-101(1)2n n n x ∞+=-∑，(13x -<<). 7．微分方程xy y e -'+=的通解为y =()x e x C -+.8．微分方程690y y y '''-+=的通解为y =312()xC C x e +.9．设2x f xy '=，2y f x '=，则(1,2)(0,0)f f -=2.10．已知L 为球面2222x y z R ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周，则2d Ly s =⎰323R π.二．解答下列各题(每小题8分，本大题满分16分)1．已知(,)z f x y =是由方程2sin z z x y +=确定的隐函数，求z x ∂∂和22zx∂∂.解：令2(,,)sin F x y z z z x y =+-，则2x F xy =-，cos 1z F z =+， 2cos 1x z z F xyx F z ∂=-=∂+， 。
（5分）2222(cos 1)2(sin )(cos 1)x z y z xy z z x z ∂+-⋅-⋅=∂+ 22232(cos 1)4sin (cos 1)y z x y z z ++=+. 。
（8分） 2．求函数2(,)624ln f x y x y xy y =+--的极值.解：解方程组2204620x yf x y f x y '=-=⎧⎪⎨'=--=⎪⎩， 得驻点(1,1)，(2,2). 。
大学高等数学下考试题库(附答案)39983
一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（ ）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a 与b垂直的充要条件是（ ）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（ ）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（ ）.A.22B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n pn收敛，则（ ）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域为（ ）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-2110.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设v e z usin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程xey y 23=-'在00==x y条件下的特解.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1，求此曲线方程试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （ ）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（ ）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（ ）.A.(){}10,22≤+≤y x y x B.(){}10,22<+<y x y x C.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为（ ）. A.0 B.1 C.1- D.21 6.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （ ）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（ ）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（ ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1-9.级数∑∞=14sin n n na是（ ）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x+的麦克劳林级数是______________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n nx .5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 四.应用题 1.316.《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（ ）4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（ ）A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22-,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（ ） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2A D 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（ ）A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（ ） A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（ ） A 、-2，-1 B 、2，1 C 、-2，1 D 、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。
大学高等数学下考试题库附答案.docx
《高等数学》试卷1（下）一 . 选择题（ 3 分10）1. 点M12,3,1到点M22,7,4的距离M1M2（）.A.3B.4C.5D.62.向量 a i 2 j k , b2i j ，则有（） .A. a∥bB. a ⊥bC.a,b3D.a, b43.函数 y2x2y 2x 21的定义域是（） . y21A.,1x 2y22B.x, y1x2y22x yC. x, y 1x2y22D x, y 1 x 2y224. 两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A. a b0B. a b 0C. a b 0D. a b05. 函数z x3y33xy 的极小值是（）.A.2B.2C.1D.16. 设z x sin y ，则z＝（）. y1, 4A.2B.2C.2D.2227. 若p级数1p收敛，则（）. n 1 nA. p1B.p 1C.p 1D.p18. 幂级数x n的收敛域为（）.n 1nA.1,1B1,1 C.1,1 D.1,1x n9. 幂级数在收敛域内的和函数是（）.2n 0A.1B.2C.2D.12 x 1 x 2 x1x10. 微分方程xy y ln y 0 的通解为（）.A. y ce xB.y e xC.y cxe xD.y e cx二 . 填空题（ 4 分5）1.一平面过点 A 0,0,3 且垂直于直线AB，其中点 B 2, 1,1 ，则此平面方程为______________________.2. 函数z sin xy 的全微分是______________________________.3. 设z x3 y23xy3xy 1，则 2 z_____________________________.x y4.1的麦克劳林级数是 ___________________________.2 x5. 微分方程 y 4 y 4 y 0 的通解为 _________________________________.三 . 计算题（ 5 分 6）1. 设 z e usin v ，而 u xy, v x y ，求 z,z .xy2. 已知隐函数 zz x, y 由方程 x 22y 2z 24x 2z 5 0确定，求z , z .xy3. 计算sin x 2y 2 d ，其中 D :2x 2y 24 2 .D4. 如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径） .5. 求微分方程 y3ye 2 x 在 y x 0 0 条件下的特解 .四 . 应用题（ 10 分 2）1. 要用铁板做一个体积为 2 m 3 的有盖长方体水箱， 问长、宽、 高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？2.. 曲线 y f x 上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的 2 倍，且曲线过点 1, 1，求此曲线方程3.试卷 1 参考答案一. 选择题 CBCAD ACCBD二 . 填空题1. 2x y 2z 60 .2.cos xy ydx xdy .3. 6x2y9 y2 1 .4.1 nx n.2n 1n 05. y C1 C 2 x e 2x.三 . 计算题1.z e xy y sin x y cos x y ，ze xy xsin x y cos x y .x y2.z2x ,z2y .x z1y z 13.22d 6 2.d sin4.16R 3. 35.y e3x e2x.四 . 应用题1. 长、宽、高均为 3 2m时，用料最省.2. y1x 2 .3《高数》试卷2（下）一 . 选择题（ 3 分10）1. 点M14,3,1，M27,1,2的距离M1M2（）.A.12B.13C.14D.152. 设两平面方程分别为x 2y2z 10和 x y50 ，则两平面的夹角为（）.A.6B.4C.3D.23. 函数z arcsin x 2y 2的定义域为（） .A.,0x 2y21B.x, y 0 x2y21x yC.x, y 0 x 2y 22D.x, y 0 x2y 224. 点P1, 2,1 到平面 x 2 y 2 z 5 0 的距离为（）.A.3B.4C.5D.65. 函数z 2 xy 3x2 2 y 2的极大值为（）.A.0B.1C.1D.126. 设z x23xy y 2，则z1, 2（） . xA.6B.7C.8D.97. 若几何级数ar n是收敛的，则（）.n 0A. r 1B.r 1C.r 1D.r18. 幂级数n 1 x n的收敛域为（）.n 0A.1,1B.1,1C.1,1D.1,19. 级数sin na是（） .n 4n 1A. 条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定10. 微分方程xy y ln y 0 的通解为（）.A. y e cxB.y ce xC.y e xD.y cxe x二 . 填空题（ 4 分5）x3t1. 直线l过点 A 2,2, 1且与直线 y t平行，则直线 l 的方程为z12t__________________________.2. 函数z e xy的全微分为___________________________.3.曲面z 2x 24y 2在点2,1,4处的切平面方程为_____________________________________.14. 1x2的麦克劳林级数是______________________.5.微分方程xdy 3ydx 0在y x 11条件下的特解为______________________________.三 . 计算题（ 5 分6）1. 设a i 2 j k , b 2 j 3k ，求 a b.2. 设z u 2 v uv 2，而 u x cos y, v x sin y ，求z ,z . x y3. 已知隐函数z z x, y 由 x33xyz2确定，求z ,z .x y4. 如图，求球面x2y 2z24a 2与圆柱面 x2y 22ax （a0 ）所围的几何体的体积.5. 求微分方程y3y 2 y0 的通解.四 . 应用题（ 10 分2）1. 试用二重积分计算由y x, y 2 x 和x 4 所围图形的面积.2. 如图，以初速度v0将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律x x t .（提示：d 2 x g .当t0 时，有x x0， dx v0）dt 2dt试卷 2 参考答案一 . 选择题 CBABA CCDBA.二 . 填空题1.x 2y 2z 1 .1122. e xy ydx xdy .3. 8x 8 y z 4 .4.1 n x2 n .n 05. yx 3 .三 . 计算题1. ij 2k.8 32.z 3x 2sin y cos y cos y sin y ,z2 x3 sin y cos y sin y cos yx 3 sin 3 y cos 3 yxy.3. zyz ,zxz .xxy z 2y xy z 24. 32 a 32 2 .3 35. yC 1e 2 x C 2 e x .四 . 应用题1.16. 32. x 1 gt2v0 t x0.2《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10 小题，每题 3 分，共 30 分）1、二阶行列式 2 -3的值为（）4 5A、10B、20C、24D2、设 a=i+2j-k,b=2j+3k，则aA、i-j+2kB、8i-j+2k C 、 22与 b 的向量积为（、 8i-3j+2k D）、8i-3i+k3、点 P（ -1 、 -2 、 1）到平面 x+2y-2z-5=0 的距离为（）A、2B、3C、4D、54、函数 z=xsiny 在点（ 1，）处的两个偏导数分别为（）4A、2, 2 , B 、2,2 C 、22 D 、2 2 , 222222225、设x2+y2+z2 =2Rx，则z ,x z 分别为（ y）A、x R,y B 、x R ,y C 、x R , y D 、x R,y z z z z zz z z6、设圆心在原点，半径为 R，面密度为x2y 2的薄板的质量为（（）面积 A= R2）A、R2AB、2R2AC、3R2AD、1R2A27、级数( 1)n x n的收敛半径为（）n 1nA、2B、1C、1D、3 28、cosx 的麦克劳林级数为（）A、( 1)n x2n B 、( 1) n x2 n C 、( 1) n x2 n D 、( 1) n x 2n 1n 0(2n)!n 1( 2n)!n 0(2n)!n 0(2n 1)!45的阶数是（）9、微分方程 (y``)+(y`) +y`+2=0A、一阶B、二阶C、三阶D、四阶10、微分方程 y``+3y`+2y=0的特征根为（）A、-2 ，-1B、2，1C、-2，1D、1，-2二、填空题（本题共 5 小题，每题 4 分，共 20 分）12：x 1y 3z的夹角为___________。
高等数学试卷含答案下册
高等数学II 试题一、填空题每小题3分,共计15分1．设(,)z f x y =由方程xzxy yz e -+=确定,则 zx ∂=∂ ;2．函数232u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l = 的方向导数最大;3．L 为圆周224x y +=,计算对弧长的曲线积分⎰+L dsy x 22= ;4．已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=,则点P 的坐标为 或 ;5．设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间(1, 1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 ;二、解答下列各题每小题7分,共35分1．设) ,(y x f 连续,交换二次积分1201(,)x I dx f x y dy-=⎰⎰的积分顺序;2．计算二重积分D,其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域;3．设Ω是由球面z =与锥面z =围成的区域,试将三重积分222()I f x y z dxdydzΩ=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分;4．设曲线积分[()]()xLf x e ydx f x dy--⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)1f =,求()f x ;5．求微分方程2xy y y e -'''-+=的通解;三、10分计算曲面积分2y dzdx zdxdy∑+⎰⎰,其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧;四、10分计算三重积分()x y z dxdydzΩ++⎰⎰⎰,其中Ω由22z x y =+与1z =围成的区域;五、10分求221z x y =++在1y x =-下的极值; 六、10分求有抛物面221z x y =--与平面0z =所围立体的表面积;七、10分求幂级数113n nn x n -∞=∑的收敛区间与和函数;高等数学II 试题解答一、填空题每小题3分,共计15分1．设(,)z f x y =由方程xzxy yz e -+=确定,则 z x∂=∂xz xzxe y zey --++-; 2．函数232u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l =4,0,-12 的方向导数最大; 3．L 为圆周224x y +=,计算对弧长的曲线积分⎰+L ds y x 22=8π;4．已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=,则点P 的坐标为(1,1,1)--或111(,,)3927--;5．设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间(1, 1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于32;二、解答下列各题每小题7分,共35分6．设) ,(y x f 连续,交换二次积分1201(,)xI dx f x y dy-=⎰⎰的积分顺序;解：1201122010(,)(,)(,)x y I dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx--==+⎰⎰⎰⎰⎰7．计算二重积分D,其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域;解：2sin 220169Dd r dr πθθ==⎰⎰8．设Ω是由球面z =与锥面z =围成的区域,试将三重积分222()I f x y z dxdydzΩ=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分;解：9．设曲线积分[()]()xLf x e ydx f x dy--⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)1f =,求()f x ;解：[()]x P f x e y =-,()Q f x =-;由[()]()x L f x e ydx f x dy --⎰与路径无关,得x y Q P ''=,即()()0xf x f x e '+-=;解微分方程xy y e '+=,得其通解12x xy ce e -=+;又(0)1f =,得21=c ;故xx e e x f 2121)(+=-10． 求微分方程2xy y y e -'''-+=的通解;解：20y y y '''-+=的通解为12()xy c c x e =+; 设原方程的一个特解*xy ce -=,代入原方程,得14c =;其通解为三、10分计算曲面积分2y dzdx zdxdy∑+⎰⎰,其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧;解：补上221:0 (4)z x y ∑=+≤下侧; 四、10分计算三重积分()x y z dxdydzΩ++⎰⎰⎰,其中Ω由22z x y =+与1z =围成的区域;解：五、10分求221z x y =++在1y x =-下的极值; 解：222(1)1222z x x x x =+-+=-+令420z x '=-=,得12x =;40z ''=>,12x =为极小值点;故221z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)22,极小值为32;六、10分求有抛物面221z x y =--与平面0z =所围立体的表面积; 解：221 (0)z x y z =-->的面积为平面0z =部分的面积为π;故立体的表面积为π+;七、10分求幂级数113n nn x n -∞=∑的收敛区间与和函数;解：收敛区间为[3,3)-;设11()3n n n x s x n -∞==∑,1111(())()333n n n nn n x x xs x n x -∞∞==''===-∑∑;故⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0310)3ln(13ln )(x x x x x x s ;。
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6、设 是一空间有界区域，其边界曲面
是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果
函数 P( x, y, z) ， Q ( x, y, z) ， R(x, y, z) 在 上具有一阶连续偏导数， 则三重积分与
第二型曲面积分之间有关系式：
式称为
公式。
7、微分方程 y 6 y 9 y x2 6 x 9 的特解可设为 y*
dx dx
（ C） 方程 ( x 2 2xy 3) dx ( y2 3 x 2 y 2 ) dy 0 是全微分方程；
（ D） 方程 dy
1x
2y
是伯努利方程。
dx 2 x
7、已知曲线 y y(x) 经过原点， 且在原点处的切线与直线 2x y 6 0 平行，而 y(x)
满足微分方程 y 2 y 5 y 0 ，则曲线的方程为 y （
6
高等数学（下册）试卷（三）
一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）
1、设 u
yz et2 dt ， 则 u
。
xz
z
2、函数 f ( x, y) xy sin( x 2 y) 在点（ 0， 0）处沿 l (1,2) 的方向导数
f
l (0 ,0 ) =
。
3 、 设 为 曲 面 z 1 x2
y2 ,z
2a cos
r
4a 2
r 2 dr ；
0
（C） 8 2 d 0
2a cos
r
4a 2
r 2 dr ；
0
（D） 2 d
2
2 a cos
r
4a 2
0
r 2 dr 。
5、设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成， L 取正向，函数 P( x, y), Q ( x, y) 在 D
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高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20013cos sin dr r d d 。
4、球面22224a z y x =++与柱面ax y x 222=+所围成的立体体积V=（ ）（A ）⎰⎰-20cos 202244πθθa dr r a d ；（B ）⎰⎰-20cos 202244πθθa dr r a r d ；（C ）⎰⎰-20cos 202248πθθa dr r a r d ；（D ）⎰⎰--22cos 20224ππθθa dr r a r d 。
5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则⎰=+LQdy Pdx )(（A ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x Q y P )(； （B ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy x P y Q )(； （C ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y Q x P )(； （D ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y P x Q )(。
6、下列说法中错误的是（ ）（A ） 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； （B ） 方程x y dxdyx dx dy ysin =+是一阶微分方程； （C ） 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； （D ） 方程xy x dx dy 221=+是伯努利方程。
7、已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，则曲线的方程为=y （ ）（A ）x e x2sin -； （B ）)2cos 2(sin x x e x-； （C ）)2sin 2(cos x x e x-； （D ）x e x2sin 。
8、设0lim =∞→n n nu , 则∑∞=1n nu（ ）（A ）收敛； （B ）发散； （C ）不一定； （D ）绝对收敛。
三、求解下列问题（共计15分）1、（7分）设g f ,均为连续可微函数。
)(),,(xy x g v xy x f u +==，求yu x u ∂∂∂∂,。
2、（8分）设⎰+-=t x tx dz z f t x u )(),(，求tux u ∂∂∂∂,。
四、求解下列问题（共计15分）。
1、计算=I ⎰⎰-2022xy dy e dx 。
（7分）2、计算⎰⎰⎰Ω+=dV y x I )(22，其中Ω是由x 21,222===+z z z y 及所围成的空间闭区域（8分）。
五、（13分）计算⎰++-=L yx ydxxdy I 22，其中L 是xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点)0,0(O 的封闭曲线的逆时针方向。
六、（9分）设对任意)(,,x f y x 满足方程)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+，且)0(f '存在，求)(x f 。
七、（8分）求级数∑∞=++--11212)2()1(n n nn x 的收敛区间。
高等数学（下册）试卷（二）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，则=∂∂+∂∂yz x z 。
2、=+-→→xyxyy x 93lim0 。
3、设⎰⎰=202),(x xdy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。
4、设)(u f 为可微函数，且,0)0(=f 则⎰⎰≤+→=++222)(1lim 223t y x t d y x f t σπ 。
5、设L 为取正向的圆周422=+y x ，则曲线积分⎰=-++Lx x dy x ye dx ye y )2()1( 。
6、设→→→+++++=k xy z j xz y i yz x A )()()(222，则=A div 。
7、通解为xxe c e c y 221-+=的微分方程是 。
8、设⎩⎨⎧<<<≤--=ππx x x f 0,10,1)(，则它的Fourier 展开式中的=n a 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）。
1、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222422y x y x yx xy y x f ,则在点（0，0）处（ ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。
2、设),(y x u 在平面有界区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u及 +∂∂22x u 022=∂∂yu ，则（ ）（A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部； （B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上；（C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上； （D ）最小值点在D 的内部，最大值点在D 的边界上。
3、设平面区域D ：1)1()2(22≤-+-y x ，若⎰⎰+=Dd y x I σ21)(，⎰⎰+=Dd y x I σ32)(则有（ ）（A ）21I I <； （B ） 21I I =； （C ）21I I >； （D ）不能比较。
4、设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间区域，则⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy32=（ ） （A ）3611； （B ）3621； （C ）3631 ； （D ）3641。
5、设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ )(βα≤≤t ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ， 则曲线积分⎰=Lds y x f ),(（ ）(A) ⎰βαψϕdt t t f ))(),((； (B)⎰'+'αβψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22 ；(C)⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22； (D)⎰αβψϕdt t t f ))(),((。
6、设∑是取外侧的单位球面1222=++z y x ， 则曲面积分⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz =（ ）(A) 0 ； (B) π2 ； (C)π ； (D)π4。
7、下列方程中，设21,y y 是它的解，可以推知21y y +也是它的解的方程是（ ） (A) 0)()(=++'x q y x p y ； (B) 0)()(=+'+''y x q y x p y ； (C) )()()(x f y x q y x p y =+'+''； (D) 0)()(=+'+''x q y x p y 。
8、设级数∑∞=1n na为一交错级数，则（ ）(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若)0(0→→n a n ，则必收敛。
三、求解下列问题（共计15分） 1、（8分）求函数)ln(22z y x u ++=在点A （0，1，0）沿A 指向点B （3，-2，2）的方向的方向导数。
2、（7分）求函数)4(),(2y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围成的闭区域D 上的最大值和最小值。
四、求解下列问题（共计15分） 1、（7分）计算⎰⎰⎰Ω+++=3)1(z y x dvI ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域。
2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义⎰⎰⎰Ω++=dv y x f zt F )]([)(222，其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dtdF 。
五、求解下列问题（15分） 1、（8分）求⎰-+-=Lx x dy m y e dx my y e I )cos ()sin (，其中L 是从A （a ，0）经2x ax y -=到O （0，0）的弧。
2、（7分）计算⎰⎰∑++=dxdy z dzdx y dydz x I 222，其中∑是)0(222a z z y x ≤≤=+ 的外侧。
六、（15分）设函数)(x ϕ具有连续的二阶导数，并使曲线积分⎰'++-'Lx dy x ydx xe x x )(])(2)(3[2ϕϕϕ与路径无关，求函数)(x ϕ。