2020年山东济南市中区山东省实验中学(主校区)高三一模数学试卷的答案
2020届山东省实验中学高三上学期第一次诊断性数学试题(解析版)
2020届山东省实验中学高三上学期第一次诊断性数学试题一、单选题1．若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 中元素个数是（ ） A.4 B.5C.6D.7【答案】B【解析】两个”我”字只算一个. 【详解】根据集合中元素的互异性,可得S 中元素个数是5. 故选B. 【点睛】本题考查了集合中元素的互异性,属于基础题. 2．已知函数f(x)=1x,则f′(-2)= ( ) A.4 B.14 C.-4 D.-14【答案】D 【解析】()()211,24f x f x '--'==-. 3．己知命题p ：,21000n n N ∃∈>，则p ⌝为（ ） A.,21000n n N ∀∈< B.,21000n n N ∀∉< C.,21000n n N ∀∈≤ D.,21000n n N ∀∉≤【答案】C【解析】先改存在量词为全称量词,再否定结论. 【详解】p ⌝:,21000n n N ∀∈≤.故选C. 【点睛】本题考查了含有一个量词的命题的否定,属于基础题. 解题方法:先改量词,再否定结论.4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若sin sin sin a A b B c C +<，则ABC ∆的形状是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【答案】C【解析】利用正弦定理将sin sin sin a A b B c C +<角化边得222a b c +< ,再用余弦定理可得cos 0C <,进一步可得C 为钝角. 【详解】因为sin sin sin a A b B c C +<,由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C ===(其中R 为三角形ABC 外接圆的半径), 得sin 2a A R =,sin 2b B R=,sin 2c C R =, 所以有222222a b c R R R +<,即222a b c +<, 所以222cos 02a b c C ab+-=<,因为角C 为三角形的内角,所以角C 为钝角. 故选C. 【点睛】本题考查了利用正弦定理角化边以及余弦定理,属于基础题.一般地,在三角形中,已知条件出现边角混合时,可以考虑使用正余弦定理角化边或边化角达到统一,从而有利于解决问题.5．已知()[]3=sin 1,2,2f x x x x ππ-+∈-，若()f x 的最大值为M ，()f x 的最小值为N ，则M +N 等于（ ） A.0 B.2 C.4πD.38π【答案】B【解析】构造奇函数3()sin g x x x =-,利用奇函数的最大值和最小值互为相反数可得.【详解】设3()sin g x x x =-,因为3()sin()()g x x x -=---3sin x x =-+()g x =-,所以()g x 为[2,2]ππ-上的奇函数.由已知可得()g x ()1f x =-的最大值为1M -,最小值为1N -,所以110M N -+-=, 所以2M N +=. 故选B. 【点睛】本题考查了奇函数的最大值与最小值的和为零这条性质,属于基础题.6．在ABC ∆中，角,B C 所对的边分边为,b c ，已知40,20,60b c C ===︒，则此三角形的解的情况是（ ） A.有一解 B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定 【答案】C【解析】由三角形正弦定理sin sin b c B C =可知4020sin sin sin 60B B B =∴=无解，所以三角形无解，选C.7．若一扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则扇形的面积为（ ）． A ．240πcm B ．280πcmC ．240cmD ．280cm【答案】D【解析】根据弧度制与角度制的互化，得到2725π=，再利用扇形的面积公式，即可求解． 【详解】扇形的圆心角为2π725︒=， ∵半径等于20cm ，∴扇形的面积为212π40080πcm 25⨯⨯=， 故选B ． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，其中熟记弧度制与角度制互化公式和扇形的面积公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．8．20世纪初，辽东半岛大连普兰店东部发现古莲子，其寿命在千年以上，至今大部分还能发芽开花，己知碳14半衰期为5730年(注：半衰期为放射性元素残留量降为原来的一半所需要的时间)，若1单位的碳14经过x 年后剩余量为y 单位，则y 关于x 的函数表达式是（ ） A.57302xy -=B.57302x y =C.573012x y -=- D.()573012xy -=-【答案】A【解析】先设出1单位的碳14经过1年后剩余量a 单位,再根据半衰期可求得a ,从而可求得y 关于x 的函数表达式. 【详解】设1单位的碳14经过1年后剩余量为a 单位,则经过x 年后剩余量为x y a =,根据半衰期的定义可得,5730x =时,12y =, 所以573012a =,所以157301()2a =157302-=, 所以157305730(2)2xx y --== . 故选A. 【点睛】本题考查了求函数解析式以及指数幂的运算,属于中档题.解题关键是求出1单位的碳14经过1年后剩余量.9．计算22sin 13cos 582sin13cos58++等于（ ）A.12B.2C.2D.2【答案】A【解析】根据诱导公式将cos58化为sin32 ,再利用降幂公式和积化和差公式变形,然后利用和差化积公式变形后化简可得. 【详解】22sin 13cos 582sin13cos58++ 22sin 13sin 322sin13sin 32=++1cos 261cos 6422--=+1()[cos(1332)cos(1332)]2-+-- 1221(cos 26cos 64)cos 45cos19222=-+-+126642664212cos cos 222222+-=-⨯-⨯+,121cos 45cos(19)cos1922=---+12cos19cos19222=-+ 12=. 故选A. 【点睛】本题考查了三角函数式的求值,着重考查了降幂公式,积化和差与和差化积公式,属于较难题.10．函数()22ln 3f x x x x ax =+-+恰有一个零点，则实数a 的值为（ ）A.4B.3【答案】A【解析】将函数()22ln 3f x x x x ax =+-+恰有一个零点,转化为22ln 3x x x ax +-+0=,即32ln 0a x x x =++=在(0,)+∞上只有一个根,转化为函数32ln y x x x=++与函数y a =的图象只有一个交点,再利用导数研究函数的最值可得.【详解】因为函数()22ln 3f x x x x ax =+-+恰有一个零点,所以22ln 3x x x ax +-+0=,即32ln 0a x x x=++=在(0,)+∞上只有一个根, 所以函数32ln y x x x=++与函数y a =的图象只有一个交点 因为2231y x x '=+-22223(3)(1)x x x x x x+-+-==, 所以当01x <<时,0y '<, 所以32ln y x x x=++在(0,1)内递减; 当1x >时,0y '>,所以32ln y x x x=++在(1,)+∞内递增, 所以1x =时, 32ln y x x x=++取得最小值4. 所以函数32ln y x x x=++的图象如下:观察图象可知:4a =. 故选A. 【点睛】本题考查了已知函数的零点个数,求参数的值,解题关键是将函数零点个数的问题转化为函数图象交点的个数问题处理.本题属于难题. 11．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 【答案】D【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误．故选D.二、多选题12．给出下列关系，其中正确的选项是（ ） A.{}{}∅∈∅ B.{}{}∅⊆∅C.{}∅∈∅D.{}∅⊆∅【答案】BCD【解析】根据∈用于元素与集合之间的关系,⊆用于集合与集合之间的关系,逐项分析可得. 【详解】对于A,φ不是{{}}φ中的元素,故不正确; 对于B, φ是{{}}φ的一个子集,故正确; 对于C, φ是{}φ中的一个元素,故正确; 对于D, φ是{}φ的一个子集,故正确. 故选BCD 【点睛】本题考查了元素与集合之间,集合与集合之间的符号使用,属于基础题. 13．以下说法正确的是（ ）A.=B.已知()233y m m =--则m 的值为421log 23=- D.钝角是第二象限的角【答案】BD【解析】对于A,根据a 的符号分析可知;对于B,根据幂函数的概念分析可知;对于C,根据根式的性质分析可知;对于D,根据钝角定义以及第二象限角的定义分析可知. 【详解】对于A,因为10a ->,所以0a <,所以0<,0>,故A 不正确;对于B,因为函数()233y m m =--,所以2331m m --= ,即2340m m --= ,解得4,1m m ==-(舍去),故B 正确;对于C,2211log log 33+=+ 2222log 3log 322log 3=--=-2≠,故C 不正确;对于D,显然正确. 故选BD. 【点睛】本题考查了幂函数的概念,根式的性质以及象限角的定义,属于基础题.三、填空题14．设()ln x f x ae b x =+，且1'(1),'(1)f e f e=-=，则a b += . 【答案】1 【解析】【详解】 因为，所以，，故，，故a b +=1. 【考点】导数点评：本题先求导，再进行简单的解方程运算即可，属基础题. 15．已知曲线122:cos ,:sin 23C y x C y x π⎛⎫==+⎪⎝⎭，则为了得到曲线1C ，首先要把2C 上各点的横坐标变为到原来的____倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移____个单位长度；(本题所填数字要求为正数) 【答案】26π【解析】先将1:cos C y x =利用诱导公式变为112:sin()sin(2)2236C y x x πππ=+=⋅+-,然后根据三角函数的平移变换和周期变换结论可得. 【详解】因为曲线1C 1cos sin()sin(2)2236y x x x πππ2==+=⋅+-, 所以先将2C 上各点的横坐标变为原来的11212ω==倍,纵坐标不变,再把得到的曲线12sin(2)23y x π=⋅+向右平移6π个单位长度.故答案为:2;6π. 【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换和周期变换,注意分析清楚是由谁得到谁,本题属于基础题.16．若01x <<，则181x x+-的最小值是_______；【答案】9+【解析】将181x x +-变成18(1)18911x x x x x x x x x x+-+--+=++--后再用基本不等式可得. 【详解】 因为181x x +-18(1)x x x x x x +-+-=+11881x x x x-=++⋅+-9≥+(当且仅当11x x x x -=-,即12x =时,等号成立)9=+9=+故答案为:9+. 【点睛】本题考查了基本不等式求最小值,解题关键是利用11x x =+-将原式变为积为定值的形式,才能用基本不等式.本题属于中档题.17．已知1x 是函数()22xf x x =+-的一个零点，2x 是函数()()2log 13g x x x =-+-的一个零点，则12x x +的值为__________. 【答案】3【解析】可以将函数零点问题看成两个函数交点问题,结合函数关于y x =对称,计算结果,即可. 【详解】()f x 的零点问题可以转化成()21x h x =+与()3m x x =-的交点,而函数()g x 的零点问题可以看成()()2log 1t x x =-与()3m x x =-的交点,结合反函数的求解得出()h x 与()t x 互为反函数,关于y x =对称,绘制函数图像,得到结合对称可知,AE BD =,而045BGD ∠=,所以BD DG =,而12,AE x OD x ==,G 点坐标为()3,0,所以123x x += 【点睛】本道题考查了函数零点问题,关键将零点问题转化成函数交点个数问题,属于较难的题.四、解答题18．已知函数()log a g x x = (a >0且a ≠1)的图像过点(9，2) (1)求函数()g x 的解析式；(2)解不等式()()315g x g x ->-+． 【答案】（1）()3log g x x =（2）3,52⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】(1)利用函数图象经过点(9,2),解得a 的值,即可得到函数解析式; (2)根据对数的底数判断函数的单调性,利用单调性可解不等式. 【详解】(1)因为log 92a =，所以3a =，即()3log g x x = (2)因为()g x 单调递增，所以3150,x x ->-+> 即不等式的解集是3,52⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性解不等式,属于基础题. 易错点:容易忽视定义域.19．已知命题:11p x ∀-≤≤“，不等式2x x m --<0成立”是真命题． (I)求实数m 的取值范围；(II)若:44q m a -<-<是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（I ）()2,+∞（II ）[)6,+∞【解析】(Ⅰ)根据命题P 是真命题,得不等式恒成立,将不等式恒成立转化为最大值成立,即可得到;(Ⅱ)先化简命题:44q a m a -<<+,再根据q 是p 的充分不必要条件列式可解得. 【详解】（I ）由题意2m x x >-在11x -≤≤恒成立，所以2max ()m x x >-(11)x -≤≤,因为221124x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 所以2124x x -≤-≤，即2max ()2x x -=, 2m >，所以实数m 的取值范围是()2,+∞ （II ）由q 得44a m a -<<+， 因为q p ⇒，所以42a -≥，，即6a ≥ 所以实数a 的取值范围是[)6,+∞ 【点睛】本题考查了不等式恒成立转化为最值成立以及充分不必要条件的应用,属于中档题. 20．如图，在△ABC 中，边AB =2，1cos 3B =，且点D 在线段BC 上，(I)若34ADC π∠=，求线段AD 的长；(II)若BD =2DC ，sin sin BADCAD∠=∠，求△ABD 的面积.【答案】（I ）83AD =（II）3【解析】(I)由cos B 可得sin B ,由ADC ∠可得ADB ∠,然后在三角形ABD 中用正弦定理可得AD;(II)根据2BD DC =，得2BADCADS S ∆∆=,再根据面积公式和已知条件可得AC 的值,然后在三角形ABC 中用余弦定理求得BC 的值,从而可得BD 的值,最后用面积公式可得△ABD 的面积. 【详解】 （I ）由1cos 3B =可得sin 3B = 由34ADC π∠=,可得344ADB πππ∠=-=, 在三角形ADB 中,由正弦定理,sin sin AD ABABD ADB=∠∠=,所以83AD =. （II ）由2BD DC =，得2BADCADS S ∆∆=，所以1sin 221sin 2AB AD BADAC AD CAD ⋅∠=⋅∠，因为sin 2sin BADAB CAD∠==∠，所以AC =在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅， 即234840BC BC --=，可得6BC =或143BC =-（舍去），所以114sin 242233ABD BD S AB BD B ∆==⋅=⨯⨯⨯=，. 【点睛】本题考查了正弦定理,余弦定理以及三角形的面积公式,本题属于中档题.21．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B 以及CD 的中点P 处，已知AB =20km ，CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 内(含边界)，且与A ，B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为y km ．(I)设BAO θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式；(II)确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最短，并求出最短值． 【答案】（I ）2010sin 10,0cos 4y θπθθ-⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭（II ）污水处理厂的位置为点P 位于线段AB的中垂线上且距离AB处，)10km + 【解析】(I)在直角三角形AOQ 中,利用AQ =10,BAO θ∠=可以求得OA 和OQ ,从而可得OP =10-OQ ,然后可得y OA OB OP =++,并写上θ的范围,即可得到. (II)利用导数得到函数的单调性,根据单调性可求得函数的最值. 【详解】（I ）由条件PQ 垂直平分AB ，若BAO θ∠=，则10cos cos AQ OA θθ==， 故10cos OB θ=，又tan 10tan OQ AQ θθ==,所以1010tan OP θ=-, 所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-， 所求函数关系式为2010sin 10,0cos 4y θπθθ-⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭（II ）2210cos cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)cos cos y θθθθθθθ-----'==,令0y '=,得1sin 2θ= ,04πθ≤≤,所以6πθ=,当(0,)6πθ∈时,0y '<,y 是θ的减函数,当(,)64ππθ∈时,0y '>, y 是θ的增函数,所以当6πθ=时,min 12010y -⨯=1010+=,此时点O 位于线段AB 的中垂线上,且距离AB边3km 处.所以三条排污管管道总长最短为)10km + 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最小值.本题属于中档题.22．设函数()cos F x x x =+，直线y mx n =+是曲线()y F x =的切线， (I)当02x π≤≤时，求m n -的极大值；(II)曲线()y F x =是否存在“上夹线”，若存在，请求出()F x 的“上夹线”方程；若不存在，请说明理由．（注）设直线():l y g x =，曲线():S y F x =，若直线l 和曲线S 同时满足下列条件： ①直线l 和曲线S 相切且至少有两个切点；②对任意的x ∈R ，都有直线()()g x F x ≥．则称直线l 为曲线S 的“上夹线”． 【答案】（I ）322π+（II ）存在，()1g x x =+ 【解析】(I)设切点的横坐标为0x ,利用导数的几何意义求出曲线()F x 的切线方程,与已知切线方程比较可得到,m n 的值,进而可得m n -,再构造函数,利用导数可求得m n -的极大值;(II)假设还有另一个切点(,())t F t 0()t x ≠,则1sin cos sin m tn t t t =-⎧⎨=+⎩，且0001sin cos sin m x n x x x =-⎧⎨=+⎩， 由此分析可得. 【详解】（I ）()()cos ,1sin F x x x F x x '=+=-，所以函数()F x 在()()00,x F x 处的切线是()()()0000cos 1sin y x x x x x -+=--， 即()00001sin cos sin y x x x x x =-++， 所以01sin m x =-,000cos sin n x x x =+, 所以00001sin cos sin m n x x x x -=--- 设()()1sin cos sin ,02u x x x x x x π=---≤≤所以()()()cos sin sin cos cos 1u x x x x x x x x '=-+-+=-+由()0cos 0u x x '>⇔<，即322x ππ<<所以()u x 在02骣琪琪桫，p 单调递减，在322ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，在322ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减， 由33=222u ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，得m n -的极大值是322π+. （II ）假设曲线()y F x =存在“上夹线” ():l g x mx n =+，由（I ）知，00001sin cos sin m x n x x x =-⎧⎨=+⎩，因为直线l 和曲线S 相切且至少有两个切点，所以存在0t x ≠，使得1sin cos sin m t n t t t=-⎧⎨=+⎩，所以0sin sin t x =, 所以存在02t x π=+ ,使得00cos sin cos sin o t t t x x x +=+成立, 所以000000cos(2)(2)sin(2)cos sin x x x x x x πππ++++=+, 所以000000cos (2)sin cos sin x x x x x x π++=+, 即0000(2)sin sin x x x x π+=, 即02sin x π =0, 所以0sin 0x =. 所以0sin sin 0t x ==, 所以cos 1t =±,所以11m n =⎧⎨=±⎩，又因为对任意的x ∈R ，都有直线()()g x F x ≥， 则()1g x x =+是()y F x =的上夹线. 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程,利用导数求函数的极大值,还考查了对新定义的理解,关键是正确理解新定义.本题属于难题. 23．已知函数：()()21ln ,12x f x x a x a g x e x =--=-- (I)当[]1,x e ∈时，求()f x 的最小值；(II)对于任意的[]10,1x ∈都存在唯一的[]21,e x ∈使得()()12g x f x =，求实数a 的取值范围．【答案】（I ）答案不唯一，见解析（II ）2124,24e e ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【解析】(I)求导后,通过对a 的讨论,得到函数的单调性,根据单调性可得最小值; (II)对于任意的[]10,1x ∈都存在唯一的[]21,e x ∈使得()()12g x f x =,得()g x ([0,1]x ∈的值域是()([1,])f x x e ∈的值域的子集,求出两个函数的值域后列式可求得.，注意2x 的唯一性满足 【详解】解：（I ）()2x af x x-'= 01.1a ≤时，[]()()1,,0,x e f x f x '∈≥递增，()()min 112f x f a ==-, 022.a e ≥时，[]()()1,,0,x e f x f x '∈≤递减，()()2min22e f x f e a ==-023.1a e <<时，x ⎡∈⎣时()()0,f x f x '<递减，x e ⎤∈⎦时()()0,f x f x '>递增，所以()min ln 22a af x fa ==-- 综上，当()min 112a f x a ≤=-，； 当()2min 1ln 22a a a e f x a <<=--，当()22min 22e a ef x a ≥=-，（II ）因为对于任意的[]10,1x ∈都存在唯一的[]21,e x ∈使得()()12g x f x =成立, 所以()g x ([0,1]x ∈的值域是()([1,])f x x e ∈的值域的子集. 因为()1,xg x e '=-[]()()0,10,x g x g x '∈≥，递增，()g x 的值域为()()[]0,10,2g g e =-⎡⎤⎣⎦（i ）当1a ≤时，()f x 在[]1,e 上单调递增，又()()211,222e f a f e a =-=-，所以()f x 在[1,e]上的值域为21[,2]22ea a --,所以2102222a e a e ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩ 即112a ≤≤ （ii ）当21a e <<时，因为x ⎡∈⎣时，()f x递减，x e ⎤∈⎦时，()f x 递增，且()10,0f f<<，所以只需()2f e e ≥-，即2222e a e -≥-，所以21142e ea <≤-+ （iii ）当2a e ≥时，因为()f x 在[]1e ，上单调递减，且()()1102f x f a ≤=-<， 所以不合题意.综合以上，实数a 的取值范围是2124,24e e ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值,分类讨论思想,等价转化思想,本题属于难题. 解题方法总结:像”对于任意的[]10,1x ∈都存在唯一的[]21,e x ∈使得()()12g x f x =，”已知条件,一般是转化为两个函数的值域得包含关系,口诀是:任意是存在的子集.。
2020年山东省济南市高考数学一模试卷(文科)含答案解析
2020年山东省济南市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z满足z•（2+i）=10﹣5i（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．﹣3+4i B．﹣3﹣4i C．3+4i D．3﹣4i2．已知集合M={x|﹣x≤x＜3}，集合N={x|y=}，则M∪N=（）A．M B．N C．{x|﹣1≤x≤2}D．{x|﹣3≤x＜3}3．某校高三（1）班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本．已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（）A．27 B．26 C．25 D．244．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（）A．B．2C．4 D．45．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知命题p：∃x0∈R，使sinx0=；命题q：∀x∈（0，），x＞sinx，则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（0）+f（）的值为（）A．2﹣B．2+C．1﹣D．1+8．已知x，y满足约束条件，则z=的范围是（）A．[，2]B．B[﹣，]C．[，]D．[，]9．已知函数f（x）=ax2﹣bx2+x，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a，b，则函数f （x）在x=1处取得最值的概率是（）A．B．C．D．10．已知抛物线y2=2px（p＞0），△ABC的三个顶点都在抛物线上，O为坐标原点，设△ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为M，N，Q，且M，N，Q的纵坐标分别为y1，y2，y3．若直线AB，BC，AC的斜率之和为﹣1，则++的值为（）A．﹣B．﹣C．D．二、填空题：（本题共5小题，每题5分，共25分）11．设ln3=a，ln7=b，则e a+e b=_______．（其中e为自然对数的底数）12．已知向量，，其中||=，||=2，且（﹣）⊥，则向量和的夹角是_______．13．已知过点（2，4）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣5=0截得的弦长为6，则直线l的方程为_______．14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为_______．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）15．已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为_______．三、解答题:本大题共6小题，共75分16．近日，济南楼市迎来去库存一系列新政，其中房产税收中的契税和营业税双双下调，对住房市场持续增长和去库存产生积极影响．某房地产公司从两种户型中各拿出9套进行促销活动，其中A户型每套面积100平方米，均价1.1万元/平方米，B户型每套面积80平方米，均价1.2万元/平方米．下表是这18套住宅平方米的销售价格：（单位：万元/平方米）：房号/户型 1 2 3 4 5 6 7 8 9A户型0.98 0.99 1.06 1.17 1.10 1.21 a 1.09 1.14B户型 1.08 1.11 1.12 b 1.26 1.27 1.26 1.25 1.28（I）求a，b的值；（II）张先生想为自己和父母买两套售价小于100万元的房子，求至少有一套面积为100平方米的概率．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，E，H分别为AB，PC，BC的中点（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面PAH⊥平面DEF．19．已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，满足S5﹣2a2=25，且a1，a4，a13恰为等比数列{b n}的前三项（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设T n是数列{}的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1﹣2T k=成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．20．设椭圆C： +=1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2=．若抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P的直线l：y=kx+m与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，证明原点O到直线AB的距离为定值，并求m的取值范围．21．设函数f（x）=ax2+b（lnx﹣x），g（x）=﹣2+（1﹣b）x，已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y+1=0垂直．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；（Ⅲ）若对于任意b∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，b]，使得f（x1）﹣f（x2）﹣1＞g（x1）﹣g（x2）+m成立，求实数m的取值范围．2020年山东省济南市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z满足z•（2+i）=10﹣5i（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．﹣3+4i B．﹣3﹣4i C．3+4i D．3﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由z•（2+i）=10﹣5i，得z=，再由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的共轭复数可求．【解答】解：由z•（2+i）=10﹣5i，得=3﹣4i，则z的共轭复数=3+4i．故选：C．2．已知集合M={x|﹣x≤x＜3}，集合N={x|y=}，则M∪N=（）A．M B．N C．{x|﹣1≤x≤2}D．{x|﹣3≤x＜3}【考点】并集及其运算．【分析】分别求出集合M、N的范围，从而求出其并集即可．【解答】解：集合M={x|﹣x≤x＜3}={x|0≤x＜3}，集合N={x|y=}={x|﹣3≤x≤2}，则M∪N={x|﹣3≤x＜3}，故选：D．3．某校高三（1）班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本．已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（）A．27 B．26 C．25 D．24【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的特征，从48名学生从中抽取一个容量为6的样本，则系统抽样的分段间隔为8，可求得余下的同学的编号．【解答】解：∵从48名学生从中抽取一个容量为6的样本，∴系统抽样的分段间隔为=8，∵学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，∴抽取的另一个同学的学号应为27，故选：A．4．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（）A．B．2C．4 D．4【考点】基本不等式．【分析】直线ax+by=1经过点（1，2），可得：a+2b=1．再利用基本不等式的性质、指数的运算性质即可得出．【解答】解：∵直线ax+by=1经过点（1，2），∴a+2b=1．则2a+4b≥==2，当且仅当时取等号．故选：B．5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据线面垂直的性质定理进行判断．②根据线面平行的判定定理进行判断．③根据线面平行的判定定理进行判断．④根据线面垂直和面面垂直的判定定理进行判断．【解答】解：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β成立，故①正确；②若m∥α，m∥β，则α∥β不一定成立，有可能相交，故②错误；③若m∥n，m∥β，则n∥β或n⊂β；故③错误，④若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故④错误，故正确的是①，故选：A6．已知命题p：∃x0∈R，使sinx0=；命题q：∀x∈（0，），x＞sinx，则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：∀x∈R，都有sinx≤1，故命题p：∃x0∈R，使sinx0=是假命题；令f（x）=x﹣sinx，f′（x）=1+cosx＞0，y=f（x）在区间（0，）上单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，故命题q：∀x∈（0，），x＞sinx是真命题，故B正确，故选：B．7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（0）+f（）的值为（）A．2﹣B．2+C．1﹣D．1+【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的部分图象，求出周期T与ω的值，再计算φ的值，写出f（x）的解析式，从而求出f（0）+f（）的值．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象，得T=﹣（﹣）=，又T==π，∴ω=2；当x=﹣时，函数f（x）取得最小值﹣2，∴2×（﹣）+φ=﹣+2kπ，k∈Z，解得φ=﹣+2kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣）；∴f（0）+f（）=2sin（﹣）+2sin（2×﹣）=2×（﹣）+2sin=2﹣．故选：A．8．已知x，y满足约束条件，则z=的范围是（）A．[，2]B．B[﹣，]C．[，]D．[，]【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，根据z=的几何意义求出z的范围即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（1，2），由，解得B（3，1），而z=的几何意义表示过平面区域内的点与（﹣1，﹣1）的直线的斜率，显然直线AC斜率最大，直线BC斜率最小，K AC==，K BC==，故选：C．9．已知函数f（x）=ax2﹣bx2+x，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a，b，则函数f （x）在x=1处取得最值的概率是（）A．B．C．D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】所有的（a，b）共计6×6=36个，函数f′（x）=ax2﹣bx在x=1处取得最值等价于f″（1）=2a﹣b=0，用列举法求得满足条件的（a，b）有3个，再根据概率公式计算即可．【解答】解：连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a，b，共有36种等可能事件，∵f（x）=ax3﹣bx2+x，∴f′（x）=ax2﹣bx+1，∵函数f′（x）=ax2﹣bx+1在x=1处取得最值，∴f″（x）=2ax﹣b，∴f″（1）=2a﹣b=0，即2a=b，满足的基本事件有（1，2），（2，4），（3，6），共3种，故函数f′（x）在x=1处取得最值的概率为=，故选：C．10．已知抛物线y2=2px（p＞0），△ABC的三个顶点都在抛物线上，O为坐标原点，设△ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为M，N，Q，且M，N，Q的纵坐标分别为y1，y2，y3．若直线AB，BC，AC的斜率之和为﹣1，则++的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设AB，BC，AC的方程，联立方程组消元，利用根与系数的关系解出y1，y2，y3，根据斜率之和为﹣1化简++即可得出答案．【解答】解：设AB的方程为x=m1y+t1，BC的方程为x=m2y+t2，AC的方程为x=m3y+t3，联立方程组，消元得：y2﹣2pm1y﹣2pt1=0，∴y1=pm1，同理可得：y2=pm2，y3=pm3，∵直线AB，BC，AC的斜率之和为﹣1，∴++=﹣1．∴则++=++=（++）=﹣．故选：B．二、填空题：（本题共5小题，每题5分，共25分）11．设ln3=a，ln7=b，则e a+e b=10．（其中e为自然对数的底数）【考点】对数的运算性质．【分析】使用对数恒等式解出．【解答】解：∵ln3=a，ln7=b，∴e a=3，e b=7，∴e a+e b=10．故答案为10．12．已知向量，，其中||=，||=2，且（﹣）⊥，则向量和的夹角是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量垂直的数量积为0列出方程；利用向量的平方等于向量模的平方及向量的数量积公式将方程用模与夹角表示求出夹角．【解答】解：设两个向量的夹角为θ，∵||=，||=2，且（﹣）⊥，∴（﹣）•=||2﹣•=||2﹣||•||cosθ=3﹣2cosθ=0，解得cosθ=，∵0≤θ≤π，∴θ=，故答案为：．13．已知过点（2，4）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣5=0截得的弦长为6，则直线l的方程为x﹣2=0或3x﹣4y+10=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设过点（2，4）的直线l的方程为y=k（x﹣2）+4，求出圆C的圆心C（1，2），半径r=，圆心C（1，2）到直线l的距离d，由此能求出直线l的方程；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2也满足条件．由此能求出直线l的方程．【解答】解：设过点（2，4）的直线l的方程为y=k（x﹣2）+4，圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣5=0的圆心C（1，2），半径r==，圆心C（1，2）到直线l的距离d==，∵过点（2，4）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣5=0截得的弦长为6，∴由勾股定理得：，即，解得k=，∴直线l的方程为y=（x﹣2）+4，即3x﹣4y+10=0，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，圆心C（1，2）到直线x=2的距离d=1，满足，故x﹣2=0是直线l的方程．综上，直线l的方程为x﹣2=0或3x﹣4y+10=0．故答案为：x﹣2=0或3x﹣4y+10=0．14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为24．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故答案为：24．15．已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1]．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【分析】方程f（x）﹣kx=1有两个不同实根可化为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，作函数f（x）与函数y=kx+1的图象，结合函数的图象求解．【解答】解：∵g（x）=kx+1，∴方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根等价为方程f（x）=g（x）有两个不同实根，即f（x）=kx+1，则等价为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，当1＜x≤2，则0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣1，当2＜x≤3，则1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣2，当3＜x≤4，则2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣3，…当x＞1时，f（x）=f（x﹣1），周期性变化；函数y=kx+1的图象恒过点（0，1）；作函数f（x）与函数y=kx+1的图象如下，C（0，1），B（2，e），A（1，e）；故k AC=e﹣1，k BC=；在点C处的切线的斜率k=e0=1；结合图象可得，实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1]；故答案为：三、解答题:本大题共6小题，共75分16．近日，济南楼市迎来去库存一系列新政，其中房产税收中的契税和营业税双双下调，对住房市场持续增长和去库存产生积极影响．某房地产公司从两种户型中各拿出9套进行促销活动，其中A户型每套面积100平方米，均价1.1万元/平方米，B户型每套面积80平方米，均价1.2万元/平方米．下表是这18套住宅平方米的销售价格：（单位：万元/平方米）：房号/户型 1 2 3 4 5 6 7 8 9A户型0.98 0.99 1.06 1.17 1.10 1.21 a 1.09 1.14B户型 1.08 1.11 1.12 b 1.26 1.27 1.26 1.25 1.28（I）求a，b的值；（II）张先生想为自己和父母买两套售价小于100万元的房子，求至少有一套面积为100平方米的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）由已知利用平均数公式能求出a，b．（Ⅱ）A户型小于100万的有2套，B户型小于100万的有4套，先求出买两套售价小于100万的房子所含基本事件总数，再列举法求出事件A=“至少有一套面积为100平方米住房所含基本事件个数，由此能求出至少有一套面积为100平方米的概率．【解答】解：（Ⅰ）由已知得：（0.98+0.99+1.06+1.17+1.10+1.21+a+1.09+1.14）=1.1，解得a=1.16，（1.08+1.11+1.12+b+1.26+1.27+1.26+1.25+1.28）=1.2，解得b=1.17．…（Ⅱ）A户型小于100万的有2套，设为A1，A2，B户型小于100万的有4套，设为B1，B2，B3，B4…买两套售价小于100万的房子所含基本事件总数为=15，…令事件A=“至少有一套面积为100平方米住房”，则A中所含基本事件有{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A2，B4}，共9个…∴P（A）=，∴至少有一套面积为100平方米的概率为．．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形内角和定理化简已知等式可得sinA=2sinAcosC，由于sinA≠0，解得，又C是三角形的内角，即可得解C的值．（Ⅱ）利用三角形面积公式可求ab=4，又由余弦定理可解得a+b=4，联立即可解得a，b的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴2sinCcosA+sinA=2sinB，…∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），即2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，∴sinA=2sinAcosC，∴，又∵C是三角形的内角，∴…（Ⅱ）∵，∴，∴ab=4，…又∵c2=a2+b2﹣2abcosC，∴4=（a+b）2﹣2ab﹣ab，∴a+b=4，∴a=b=2．…18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，E，H分别为AB，PC，BC的中点（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面PAH⊥平面DEF．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取CD中点N，连接FN，EN，则FN∥PD，EN∥AD，故而平面EFN∥平面PAD，所以EF∥平面PAD；（Ⅱ）由侧面PAD⊥底面ABCD可得PA⊥平面ABCD，故PA⊥DE，由正方形的性质可得DE⊥AH，故DE⊥平面PAH，于是平面PAH⊥平面DEF．【解答】证明：（Ⅰ）取CD中点N，连接FN，EN．∵在△CPD中，F，N为中点，∴FN∥PD．∵正方形ABCD中，E，N为中点，∴EN∥AD，∵EN⊂平面EFN，FN⊂平面EFN，EN∩FN=N，PD⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PD∩AD=D，∴平面EFN∥平面PAD，∵EF⊂平面EFN，∴EF∥平面PAD．（Ⅱ）∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PA⊥底面ABCD，∵DE⊂底面ABCD，∴DE⊥PA，∵E，H分别为正方形ABCD边AB，BC中点，∴Rt△ABH≌Rt△ADE，则∠BAH=∠ADE，∴∠BAH+∠AED=90°，则DE⊥AH，∵PA⊂平面PAH，AH⊂平面PAH，PA∩AH=A，∴DE⊥平面PAH，∵DE⊂平面EFD，∴平面PAH⊥平面DEF．19．已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，满足S5﹣2a2=25，且a1，a4，a13恰为等比数列{b n}的前三项（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设T n是数列{}的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1﹣2T k=成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（II）利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∴，解得a1=3，d=2，∵b1=a1=3，b2=a4=9，∴．（Ⅱ）由（I）可知：a n=3+2（n﹣1）=2n+1．，∴=，∴，单调递减，得，而，所以不存在k∈N*，使得等式成立．20．设椭圆C： +=1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2=．若抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P的直线l：y=kx+m与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，证明原点O到直线AB的距离为定值，并求m的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由抛物线y2=4x的焦点为（1，0）与椭圆C的一个焦点重合，椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，得到b=c=1，由此能求出椭圆C的方程和“相关圆”E 的方程．（Ⅱ）联立方程组得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式，结合已知条件能证明原点O到直线AB的距离为定值，并能求出m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为若抛物线y2=4x的焦点为（1，0）与椭圆C的一个焦点重合，所以c=1又因为椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b=c=1故椭圆C的方程为，“相关圆”E的方程为…证明：（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程组得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=8（2k2﹣m2+1）＞0，即2k2﹣m2+1＞0…，由条件OA⊥OB得3m2﹣2k2﹣2=0…所以原点O到直线l的距离是由3m2﹣2k2﹣2=0得为定值．…此时要满足△＞0，即2k2﹣m2+1＞0，又，即，所以，即或…21．设函数f（x）=ax2+b（lnx﹣x），g（x）=﹣2+（1﹣b）x，已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y+1=0垂直．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；（Ⅲ）若对于任意b∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，b]，使得f（x1）﹣f（x2）﹣1＞g（x1）﹣g（x2）+m成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到f′（1）=2a=﹣1，求出a的值即可；（Ⅱ）求出f（x）的导数，结合二次函数的性质，通过讨论b的范围，确定函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（Ⅲ）令F（x）=f（x）﹣g（x），x∈[1，b]，求出F（x）的导数，得到F（x）max﹣F（x）min=F（b）﹣F（1）=blnb﹣b+1，问题转化为即blnb﹣b＞m对任意b∈（1，+∞）成立．构造函数：t（b）=blnb﹣b，b∈[1，+∞），通过讨论函数t（b）的单调性，求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ），所以k=f'（1）=2a=﹣1，所以…（Ⅱ），其定义域为（0，+∞），，令h（x）=﹣x2﹣bx+b，x∈（0，+∞）△=b2+4b（i）当﹣4≤b≤0时，△=b2+4b≤0，有h（x）≤0，即f'（x）≤0，所以f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，故f（x）在区间（0，+∞）无极值点；（ii）当b＜﹣4时，△＞0，令h（x）=0，有，，x2＞x1＞0，当x∈（0，x1）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0，得f（x）在（0，x1）上递减；当x∈（x1，x2）时，h（x）＞0，即f'（x）＞0，得f（x）在（x1，x2）上递增；当x∈（x2，+∞）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0，得f（x）在（x2，+∞）上递减．此时f（x）有一个极小值点和一个极大值点．（iii）当b＞0时，△＞0，令h（x）=0，有，，当x∈（0，x2）时，h（x）＞0，即f'（x）＞0，得f（x）在（0，x2）上递增；当x∈（x2，+∞）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0，得f（x）在（x2，+∞）上递减．此时f（x）唯一的极大值点，无极小值点．综上可知，当b＜﹣4时，函数f（x）有一个极小值点和一个极大值点．当﹣4≤b≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上有无极值点；当b＞0时，函数f（x）有唯一的极大值点，无极小值点；…（III）令F（x）=f（x）﹣g（x），x∈[1，b]，则F（x）==blnx﹣x若总存在x1，x2∈[1，b]，使得f（x1）﹣f（x2）﹣1＞g（x1）﹣g（x2）+m成立，即总存在x1，x2∈[1，b]，使得f（x1）﹣g（x1）＞f（x2）﹣g（x2）+m+1成立，即总存在x1，x2∈[1，b]，使得F（x1）﹣F（x2）＞m+1成立，即F（x）max﹣F（x）min＞m+1，因为x∈[1，b]，所以F'（x）≥0，即F（x）在[1，b]上单调递增，所以F（x）max﹣F（x）min=F（b）﹣F（1）=blnb﹣b+1，即blnb﹣b+1＞m+1对任意b∈（1，+∞）成立，即blnb﹣b＞m对任意b∈（1，+∞）成立．构造函数：t（b）=blnb﹣b，b∈[1，+∞），t'（b）=lnb，当b∈[1，+∞）时，t'（b）≥0，∴t（b）在[1，+∞）上单调递增，∴t（b）min=t（1）=﹣1．∴对于任意b∈（1，+∞），∴t（b）＞t（1）=﹣1．所以m≤﹣1…2020年9月12日。
山东省实验中学2020届高三第一次诊断性考试数学试题
B． y = f (x) 的图像关于直线 x = 8π 对称 3
C． f (x) 的一个零点为 π 6
D．
f
(
x)
在
π 2
,π
单调递减
第 II 卷(非选择题，共 98 分)
三、填空题(本大题共 4 小题。每小题 4 分，共 16 分，15 题每空 2 分)
设 且 则 ； 14. f ( x) = aex + b ln x, f ′(1) = e, f ′(−1) = 1 , a + b = _________ e
10 + 10 3 ≤ y ≤ 30
4
所以当θ = π ，即点 P 位于线段 AB 的中垂线上且距离 AB边10 3 km 处时，
6
3
三条排污管管道总长最短为10 +10 3(km) .…………………………………………14 分
7 / 10
（ ） ， 22. I F ( x) = x + cos x, F′( x) = 1− sin x 所以函数 F ( x)在( x0 , F ( x0 )) 处的切线是 y − ( x0 + cos x0 ) = (1− sin x0 )( x − x0 ) ， 即 ， y = (1− sin x0 ) x + cos x0 + x0 sin x0 所以 m − n = 1− sin x0 − cos x0 − x0 sin x0 ………………………………………………4 分 设 u ( x) = 1− sin x − cos x − x sin x,(0 ≤ x ≤ 2π ) 所以u′( x) = −cos x + sin x − (sin x + x cos x) = −cos x(1+ x) ……………………6 分
2020届山东省济南市高考数学一模试卷(含解析)
2020届山东省济南市高考数学一模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若复数z 满足z =，则z 对应的点位于复平面的( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2. 已知集合A ={x||x|≤2,x ∈Z}，B ={x|1x+1≤0,x ∈R}，则A ∩∁R B =( )A. (−1,2]B. [−1,2]C. {−1,0，1，2}D. {0,1，2}3. 已知等比数列{a n }满足a n >0，n =1.2，…，且a 5・a 2n−5=22n (n ≥2).则当n ≥1时，log 2a 1+log 2a 3+⋯+log 2a 2n−1=.A. n(2n −1)B. (n +1)2C. n 2D. (n −1)24. 在等比数列{a n }中，a 5=3，则a 1⋅a 2⋅a 3…a 9=39，若数列{b n }为等差数列，b 5=3，则数列{b n }的类似结论为( )A. b 1b 2…b 9=39B. b 1+b 2+⋯+b 9=39C. b 1b 2…b 9=3×9D. b 1+b 2+⋯+b 9=3×95. 若x ，y 为不等式组{x +y ≥12x −y ≤2y −2≤0表示的平面区域中的一点，且使得mx +y 取得最小值的点(x,y)有无数个，则m =( )A. 1B. 2C. −1D. 1或−26. 我国古代在珠算发明之前多是用算筹为工具来记数、列式和计算的．算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法有“纵式”和“横式”两种，规定个位数用纵式，十位数用横式，百位数用纵式，千位数用横式，万位数用纵式，…，以此类推，交替使用纵横两式．例如：627可以表示为“”.如果用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用7根小木棍的概率为( )A. 1114B. 1721C. 2021D. 79847. 执行如图所示的程序，若输入的x =3，则输出的所有x 的值的和为( )A. 243B. 363C. 729D. 10928. 下列命题中是假命题的是( ) A.; B. 使得函数是偶函数； C. 使得； D. 是幂函数，且在上递减；9. 已知四棱柱的侧棱长为2，且侧棱垂直于底面，底面是边长为2且有一个内角为60°的菱形，若该四棱柱的俯视图的面积与四棱柱的底面积相等，则该四棱柱左视图面积的最小值是( )A. 4√3B. 2√3C. 2D. √3 10. 已知点，在单位圆上， (为坐标原点)，则的取值范围是 A. B. C. D.11. a ⃗ =(8+12x,x)，b ⃗ =(x +1,2)(其中x >0)，若a ⃗ //b ⃗ ，则x 的值为( )A. 8B. 4C. 2D. 012. 下列命题中是真命题的是( )A. x ∈R ，使得sinxcosx =B. x ∈(−∞,0)，2x >1C. x ∈R ，x 2≥x +1D. x ∈(0,)，tanx >sinx二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设G 为△ABC 的重心，且sinA ⋅GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +sinB ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +sinC ⋅GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则角B 的大小为______．14.将全体正偶数排成一个三角数阵：按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为______．+x的最小值为______ ．15.已知x>3，则函数y=1x−316.已知数列{a n}是公比为2的等比数列，且a3，a4+2，a5成等差数列，则数列{a n}的前5项和S5=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知3a2−4√3S=3b2+3c2．(1)求A；(2)若a=3，求△ABC周长的取值范围．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若二面角P−AC−E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．(a,b∈R)，若f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为1．19.设函数f(x)=ax+bx(Ⅰ)用a表示b；(Ⅱ)设g(x)=lnx−f(x)，若g(x)≤−1对定义域内的x恒成立，求实数a的取值范围．20.某社区居委会用“百分制”调查该社区居民对社区的治安满意度，现从调查的居民中随机选取14名，将他们的治安满意度分数的数据绘制成如下的茎叶图，若治安满意度不低于89分，则称该居民对社区的治安满意度为“非常好”．(1)若从这14人中任选3人，求至多有2人对社区治安满意度为“非常好”的概率；(2)若从这14人中任选2人，记X表示这2人中对社区治安满意度为“非常好”的人数，求X的分布列及数学期望．21. 已知函数f(x)=a |x|−|x|+2．(1)若x ∈[12,2]时f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当a =−34时，求函数f(x)在x ∈[−2,0)上的最大值．22. 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ=2acosθ(a >0)，已知过点P(−2,−4)的直线l 的参数方程为{x =−2+t y =−4+t，直线l 与曲线C 分别交于M ，N ．(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值．23.已知函数f(x)=|x+2|+|2x−4|．(1)求f(x)<6的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥m2−3m的解集是R，求m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：试题分析：对应的点为，位于第二象限，故B正确．考点：复数的运算、复数的几何意义．2.答案：C解析：解：∵集合A={x||x|≤2,x∈z}={−2,−1,0，1，2}，B={x|1≤0,x∈R}={x|x<−1}，x+1∴C R B={x|x≥−1}，∴A∩∁R B={−1,0，1，2}．故选：C．先求出集合B，再求出C R B，由此利用交集定义能求出A∩∁R B.本题考查的知识点是集合的交集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属于基础题．3.答案：C解析：解析：，所以a n=2n，又有log2a1+log2a3+⋯+log2a2n−1=log2(a1×a3×…×a2n−1)=log2(2n)n=n2．4.答案：D解析：等差和等比的类比时，在等比中为积在等差中为和，按此规律写出规律即可．本题考查等差和等比数列的类比、考查利用所学知识解决问题的能力．解：因为在等比数列中有a1⋅a9=a2⋅a8=a3⋅a7=a4⋅a6=a52有a1⋅a2⋅…⋅a9=a59，而等差数列中有b1+b9=b2+b8=b3+b7=b4+b6=2b5，故在等差数列{b n}中，类似地，有b1+b2+⋯+b9=9b5=3×9．故选D ．5.答案：D解析：解：作出不等式组{x +y ≥12x −y ≤2y −2≤0对应的平面区域：由题意，z =mx +y 取得最小值的最优解有无数个，最优解应在线段AC 或BC 上取到，故mx +y =0应与直线AC 或BC 平行，∴−m =−1，或−m =2即m =1或m =−2．故选：D ．由题设条件，目标函数z =x +ay ，取得最小值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故目标函数的斜率为正，最小值应在左上方边界AC 上取到，即ax +y =0应与直线AC 或BC 平行，进而计算可得a 值．本题考查线性规划最优解的判定，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解是解决本题的关键．6.答案：D解析：解：至少要用7根小木棍的对立事件为用5根小木棍和6根小木棍这两种情况， 用5根小木棍为126这一种情况的全排列，用6根小木棍为123，127，163，167这四种情况的全排列，故至少要用7根小木棍的概率为1−5A 33A 93=7984． 故选：D ．利用已知条件，推出对立事件的个数，利用古典概型概率的求法，转化求解即可．本题考查古典概型概率的求法，对立事件的概率的求法，分析题意的解题的关键，中档题． 7.答案：D解析：由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，分析程序的功能，以便得出正确的结论，是基础题．解：模拟程序的运行可得：当x=3时，y是整数，当x=32时，y是整数，依此类推可知当x=3n(n∈N∗)时，y是整数，则由x=3n>1000，得n≥7，所以输出的所有x的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092．故选D．8.答案：A解析：答案A当时，，所以该命题是假命题，选A．考点：全称命题与特称命题真假判断．9.答案：B解析：解：由已知四棱柱的侧棱长为2，且侧棱垂直于底面，底面是边长为2且有一个内角为60°的菱形，若该四棱锥的俯视图的面积与四棱柱的底面积相等，说明棱柱是放倒图形，如图：侧视图是菱形，侧视图的面积的最小值为：2×2sin60°=2√3．故选：B．通过题意判断四棱柱放置的形状，画出图形，然后确定侧视图的形状，即可得到结果．本题考查简单几何体的三视图的画法，视图面积是的求法．考查空间想象能力以及计算能力．10.答案：B解析：本题考查三角函数的定义、向量的数量积、三角函数的化简求值，考查计算能力．求出的表达式，结合角的范围，求出其取值范围．解：设，，则，则则，当中一个为240°，另一个为120°时，有最大值为，当中一个为60°，另一个为−60°时，有最小值为，故选B．11.答案：B解析：解：∵a ⃗ //b ⃗ ，且x >0； ∴2(8+12x)−x(x +1)=0； 解得x =4，或x =−4(舍去)． 故选：B ．根据a ⃗ //b ⃗ 即可得出2(8+12x)−x(x +1)=0，再根据x >0，即可解出x 的值． 考查向量坐标的定义，以及向量平行时的坐标关系．12.答案：D解析：当x ∈(0,)时，0<cosx <1，0<sinx <1， ∴>sinx ，即tanx >sinx ．13.答案：π3解析：解：∵G 是△ABC 的重心，∴GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∵sinA ⋅GA⃗⃗⃗⃗⃗ +sinB ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +sinC ⋅GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴sinA ⋅GA ⃗⃗⃗⃗⃗ −sinB ⋅(GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+sinC ⋅GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，即(sinA −sinB)GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(sinC −sinB)GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 又∵GA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与GC⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线， ∴sinA −sinB =sinC −sinB =0， ∴sinA =sinB =sinC ． ∴a =b =c ． ∴A =B =C =π3．故答案为：π3．由G 是△ABC 的重心，可得GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .又sinA ⋅GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +sinB ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +sinC ⋅GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，可得sinA ⋅GA ⃗⃗⃗⃗⃗ −sinB ⋅(GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+sinC ⋅GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，即(sinA −sinB)GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(sinC −sinB)GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，由于GA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与GC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，可得sinA −sinB =sinC −sinB =0，即可得出a =b =c ．本题考查了三角形的重心性质、共面向量定理、正弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．14.答案：n2−n+6解析：解：观察三角形数阵知第n行有n个正偶数，则第n行(n≥3)前共有1+2+3+⋯+(n−1)=(n−1)n2个数，所以第n行(n≥3)从左向右的第3个数为2[(n−1)n2+3]=n2−n+6，故答案为：n2−n+6．首先找出三角形数阵的规律，求出前n−1行正偶数的个数，然后由偶数的特点求出第n行第3个偶数．本题考查了归纳推理，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力．15.答案：5解析：解：x>3，则函数y=1x−3+x=1x−3+x−3+3≥2√(x−3)⋅1x−3+3=2+3=5，当且仅当x=4时取等号，故函数y=1x−3+x的最小值为5，故答案为：5．根据基本不等式即可求出最小值．本题考查了基本不等式的应用，关键掌握一正二定三相等，属于基础题．16.答案：31解析：解：由题意可得2(a4+2)=a3+a5，即2(8a1+2)=4a1+16a1，解得a1=1．∴S5=1×(1−25)1−2=31．故答案为：31．由已知列式求得等比数列的首项，再由等比数列的前n项和求解S5．本题考查等差数列和等比数列的通项与前n项和，是基础题．17.答案：解：(1)∵S=12bcsinA，∴由已知得：b2+c2−a2=−4√33S=−4√33⋅12bcsinA，∴化简得：b2+c2−a22bc =−√33sinA=cosA，∴tanA=−√3，A∈(0,π)，∴A=2π3．(2)在△ABC中，由正弦定理得：．∴b=2√3sinB，c=2√3sinC=2√3sin(π3−B)，记△ABC周长为y，∴y=a+b+c=2√3sinB+2√3sin(π3−B)+3．化解得：y=2√3sinB+2√3(√32cosB−12sinB)+3=2√3sin(B+π3)+3．∵B∈(0,π3)，∴周长y∈(6,3+2√3]综上所述：△ABC周长的取值范围(6,3+2√3].解析：本题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．(1)已知等式利用面积、余弦定理化简，整理后求出A的度数即可；(2)记△ABC周长为y，y=a+b+c=2√3sinB+2√3sin(π3−B)+3=2√3sin(B+π3)+3.根据B∈(0,π3)，可得ABC周长的取值范围．18.答案：(1)见解析(2)解析：(1)∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC.∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=．∴AC2+BC2=AB2.∴AC⊥BC．又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．∵AC ⊂平面EAC ， ∴平面EAC ⊥平面PBC ． (2)如图，以点C 为原点，，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0,0，0)，A(1,1，0)，B(1,−1,0)，设P(0,0，a)(a >0)， 则E，=(1,1，0)，=(0,0，a)，=.取m =(1,−1,0)，则m ·=m ·=0，m 为面PAC 的法向量．设n =(x,y ，z)为面EAC 的法向量，则n ·=n ·=0，即取x =a ，y =−a ，z =−2，则n =(a,−a,−2)，依题意，|cos 〈m ，n 〉|===，则a =2.于是n =(2,−2,−2)，=(1,1，−2).设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sinθ=|cos 〈，n 〉|==，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为19.答案：解：(Ⅰ)函数的导数为f′(x)=a −bx 2，因为f(x)在点(1,f(x))处的切线斜率为1， 所以f′(1)=a −b =1，解得b =a −1； (Ⅱ)因为g(x)=lnx −f(x)， 所以g(x)=lnx −f(x)=lnx −(ax +a−1x)=lnx −ax −a−1x，要使g(x)≤−1恒成立，即g(x)max ≤−1． g′(x)=1x −a +a−1x =−ax 2+x+a−1x =−(ax+a−1)(x−1)x ，①当a =0时，g′(x)=x−1x 2，当x ∈(0,1)，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(1,+∞)，g′(x)>0，g(x)单调递增，则g(x)min=g(1)=1，不符题意；②当a≠0时，g′(x)=−(ax+a−1)(x−1)x2=−a[x−(−1+1a)](x−1)x2=0⇒x=1,x=−1+1a，(1)若a<0，−1+1a<0，当x∈(0,1)，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(1,+∞)，g′(x)>0，g(x)单调递增，则g(x)min=g(1)=1−2a>1>−1，不符题意；(2)若a>0，若0<a≤12，−1+1a>1，当x∈(0,1)，g′(x)<0，g(x)单调递减，这时g(−1+1a )=ln(−1+1a)+2a−1>−1，不符题意；若12<a<1，0<−1+1a<1，x∈(0,−1+1a)，g′(x)<0，g(x)单调递减，这时g(1)=1−2a>1−2=−1，不符题意；若a≥1，−1+1a≤0，x∈(0,1)，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(1,+∞)，g′(x)<0，g(x)单调递减，则g(x)max=g(1)=1−2a≤−1，符合题意；综上，得g(x)≤−1恒成立，实数a的取值范围为a≥1．解析：(Ⅰ)由f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为1，则得到f′(1)=1，进而可得结果；(Ⅱ)由于g(x)≤−1恒成立，等价于g(x)max≤−1.利用导数可求得函数的最大值，可验证此时满足要求，从而得到a的范围．本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值，考查转化思想，本题综合性强，运算量大，对能力要求较高．20.答案：解：(1)由茎叶图得这14人中对社区治安满意度为“非常好”的人数为5，从这14人中任选3人，基本事件总数n=C143=364，至多有2人对社区治安满意度为“非常好”包含的基本事件个数：m=C143−C53=354，∴至多有2人对社区治安满意度为“非常好”的概率p=mn =354364=177182．(2)由题意得X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C92C142=3691，P(X=1)=C91C51C142=4591，P(X=2)=C52C142=1091∴X的分布列为：E(X)=0×3691+1×4591+2×1091=6591．解析：(1)由茎叶图得这14人中对社区治安满意度为“非常好”的人数为5，从这14人中任选3人，基本事件总数n=C143=364，至多有2人对社区治安满意度为“非常好”包含的基本事件个数：m= C143−C53=354，由此能求出至多有2人对社区治安满意度为“非常好”的概率．(2)由题意得X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的概率分布、数学期望的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.答案：解：(1)由x∈[12,2]时f(x)≥0恒成立，可得ax−x+2≥0恒成立，故a≥x2−2x在x∈[12,2]时恒成立，由二次函数的性质可知，x∈[12,2]，y=x2−2x∈[−1,0]，故a≥0，∴实数a的取值范围[0,+∞)，(2)当a=−34时，x∈[−2,0)，f(x)=34x+x+2，结合对勾函数的性质可知，f(x)在[−2,0)上先增后减，当x=−√32时，函数取得最大值2−√3．解析：(1)由已知进行分离参数后转化为求解二次函数的范围，即可求解a 的范围； (2)把a 的值代入后，然后结合对勾函数的性质可求．本题主要考查了由不等式的恒成立求解参数范围问题，体现了转化思想的应用．22.答案：解：(1)由曲线C ：ρsin 2θ=2acosθ(a >0)，可得ρ2sin 2θ=2aρcosθ，化为y 2=2ax ．由直线l 的参数方程为{x =−2+ty =−4+t ，消去参数t 可得直线l ：y =x −2．(2)联立{y =x −2y 2=2ax，化为x 2−(4+2a)x +4=0， ∵直线l 与抛物线相交于两点，∴△=(4+2a)2−16>0，解得a >0或a <−4.(∗) ∴x 1+x 2=4+2a ，x 1x 2=4．∴|MN|=√(1+1)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√2[(4+2a)2−16]=√8a 2+32a ． |PM|=√(x 1+2)2+(y 1+4)2=√2|x 1+2|，|PN|=√2|x 2+2|．∴|PM||PN|=2|(x 1+2)(x 2+2)|=2|x 1x 2+2(x 1+x 2)+4| =2|16+4a|∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列， ∴|MN|2=|PM||PN|，∴(√8a 2+32a)2=2|16+4a|， 化为a(4+a)=|4+a|， ∵a >0或a <−4． 解得a =1． ∴a =1．解析：(1)利用极坐标化为直角坐标方程的公式x =ρcosθ，y =ρsinθ可得曲线C 的方程；消去参数t 即可得到直线l 的方程；(2)把直线的方程代入抛物线的方程得到根与系数的关系，利用两点间的距离公式和等比数列的定义即可得出．本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与抛物线相交问题转化为把直线的方程与抛物线的方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式和等比数列的定义等基础知识与基本技能方法，属于难题．.23.答案：解：(1)由题设知：当x≥2时，不等式等价与x+2+2x−4<6，即2≤x<83当2>x>−2时，不等式等价与x+2+4−2x<6，即2>x>0.当x≤−2时，不等式等价于−x−2+4−2x<6，x无解．}.综上可得，满足不等式的解是{x|0<x<83(2)由函数f(x)的图象可得f(x)=|x+2|+|2x−4|的最小值为4，则由题意可得m²−3m≤4，解之得，−1≤m≤4．即m的范围为−1≤m≤4．解析：本题考查带绝对值的函数的应用，绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义是解题的关键．(1)分当x≥2时、当2>x>−2时，当x≤−2时三种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．(2)求出函数的最小值，然后求解m²−3m≤4，得到实数m的取值范围．。
山东省济南市实验中学2020年高三数学理模拟试题含解析
山东省济南市实验中学2020年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若双曲线的渐近线与抛物线的准线所围成的三角形面积为,则该双曲线的离心率为A． B． C． D．参考答案：A2. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．参考答案：B略3. 将函数的图像向左平移个长度单位后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值是（）A．B．C．D．参考答案：B 略4. 在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则（）A．B．C．D．参考答案：D略5. 已知双曲线（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )（A）（B）（C）（D）参考答案：A6. 椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值是（）A． B．1或 C．1或D．1参考答案：【知识点】椭圆与双曲线的性质. H5 H6【答案解析】D 解析：由已知得：，故选D.【思路点拨】根据椭圆和双曲线的性质，得关于a的方程与不等式构成的混合组，解得a值.7. 若点（a,9）在函数的图象上，则tan的值为（）A．0 B. C.1 D.参考答案：D 略8. （5分）（2013?兰州一模）已知动点P 到两定点A 、B 的距离和为8，且|AB|=4，线段AB 的中点为O ，过点O 的所有直线与点P 的轨迹相交而形成的线段中，长度为整数的有（ ）B 略9. 设函数且方程的根都在区间上，那么使方程有正整数解的实数a 的取值个数为 ( )A.2B.3C.4D.无穷个参考答案： B 略10. 一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．2D ．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，即可得出．【解答】解：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，∴V==．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11.已知P 为椭圆和双曲线的一个交点，F 1、F 2为椭圆的焦点，那么的余弦值为 参考答案：答案:12. 一个几何体的三视图如图所示（单位：），则这个几何体的体积为____参考答案：413. 过点（1，0）且与直线x﹣y+3=0平行的直线l被圆（x﹣6）2+（y﹣）2=12所截得的弦长为．参考答案：6【考点】J8：直线与圆相交的性质．【分析】先求与直线x ﹣y+3=0平行的直线l的方程，再求圆心到直线l的距离，进而可求直线l 被圆（x﹣6）2+（y﹣）2=12截得的弦长．【解答】解：设与直线x﹣y+3=0平行的直线l的方程为x﹣y+c=0∵直线过点（1，0）∴c=﹣1∴圆心到直线l的距离为=，∴直线l被圆（x﹣6）2+（y﹣）2=12截得的弦长为2=6故答案为6．【点评】本题的考点是直线和圆的方程的应用，主要考查直线方程，考查直线与圆相交时的弦长得计算，关键是求与已知直线平行的直线方程，掌握圆中的弦长的求解方法，14. 设A是椭圆+=1（a＞0）上的动点，点F的坐标为（﹣2，0），若满足|AF|=10的点A有且仅有两个，则实数a的取值范围为．参考答案：8＜a＜12【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意，F是椭圆的焦点，满足|AF|=10的点A有且仅有两个，可得a﹣2＜10＜a+2，即可得出结论．【解答】解：由题意，F是椭圆的焦点，∵满足|AF|=10的点A有且仅有两个，∴a﹣2＜10＜a+2，∴8＜a＜12，故答案为：8＜a＜12．【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．15. （选修4—5 不等式选讲）已知都是正数，且，则的最小值为.参考答案：6+略16. 设集合A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x≤2}，则A∩B=．参考答案：{x|0＜x≤2}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x≤2}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故答案为：{x|0＜x≤2}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．17. 已知三棱柱的侧棱垂直底面，所有顶点都在球面上，AC=1,,则球的表面积为____________.参考答案：8略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
山东省实验中学2020届高三数学6月模拟试题附答案
由余弦定理可得 cos ABC a2 c2 b2 1 ……………………………………2 分
2ac
2
又 ABC 0, ，所以ABC 2
3 所以 A C …………………………………………………………………………4 分
6
在 BCF 中，由正弦定理 CF BF ，及CF 2BF sin CBF sin C
D．{1，2，4}
1
D．
5
A．0
B．1
2
C．
2
3
D．
2
4．已知平面向量 a，b 满足(a+b)·b=2，且 a 1 ， b 2 ，则 a b
A． 3
B． 2
C．1
D． 2 3
5．己知 f (x) 是定义域为 R 的奇函数，若 f (x 5) 为偶函数，f(1)=1，则 f(2019)+f(2020)
题号
9
10
11
12
答案 AB
BC ABD BCD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.
x
1 2
2
y2
1 ；14.5；15.
5， ；16.
4 ，3 （本题题每一空2 分，第二空3 分） 55
四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.【解析】解析：选①②，则 a c 2, b 2 3 .
可得 sin CBF
2
，…………………………………………………………………6 分
2
又 CBF CBA 2 ，所以CBF ，………………………………………7 分
3
4
所以 ABF AFB 5 ，所以 AF AB 2 12
山东省实验中学2020届高三第一次模拟考试数学（理）试卷含解析
山东省实验中学2020届高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在直角坐标平面内，已知A（-2,0）,3（2,0）以及动点。
是AABC的三个顶点，且sin Asin B-2cosC=0,则动点C的轨迹曲线「的离心率是()\/2a/3A.2B.2 c.扬 D.右2.若函数f(x)=l+\x\+x\贝0/(lg2)+/flg|k/(lg5)+/flg^=()A.2b.4 C.6 D.83.在AA3C中，CA_CA AB.则sinA:sin3:sinC=（）543A.9:7:8b.c.6:8:7D何.3：由4.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）种A.120B.260C.340D.4205.已知直线y=kx-1与抛物线J=8y相切，则双曲线x2-k2y2=l的离心率为（）73A.打B.右C.D.26.已知数列｛%｝的前〃项和S"满足S"+a"=2n(nwN*),则％=()1_127321385A.3b.64 c.32d.64x+y>l,7.设x，y满足约束条件\x-y>-l,若目标函数z=ax+3y仅在点（1,0）处取得最小值，则。
的取值范围2x-y<2,为()A.(—6,3)B.(-6,-3)C.(。
，3)D.(-6,0]8.已知集合M=(x|y=log2(-4x-x2)},2V=(x|(-)x>4},则肱N=()A.d-2]b.[-2,0) c.(-4,2]D(-co,-4)9.如图，已知等腰梯形A3CD中，AB=2DC=4,AD=BC=^5,E是OC的中点，P是线段BC±的动点，则的最小值是（）_9_4A.5B.0C.5D.110.已知^A={x\a-l<x<a+2},B=(x|3<x<5},则能使A^B成立的实数。
山东省实验中学2020届高三模拟考试数学试题(含答案)2020.6
绝密食启用井使用完毕前山东省实验中学2020届高三模拟考试数学试题2020. 06注意事项z1.答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码．2.本试卷满分150分，分为第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，第I卷为第1页至第3页，第II卷为第4页至第6页．3.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4.非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．第l i卷〈共60分〉一、单项选择题：本题共8小题，每才灌5分v决问to分．在每小题给出的四个选项中，只有－项是符合题目要求的．1.己知集合A={x Ix= 2k, k E Z} , B = {x EN Ix< 4｝，那么集合A门B=A.(1,4)B.{2} c.{1, 2}2.若z(2-i}2=-i Ci是虚数单位），则复数z的模为A.一B.33.己知叫＋α）= cos（�一α），贝Ll cos2α＝ c.-4D.{1, 2,4}D.-5A.0B.1J2 ../3 2 24.己知平面向量a' b满足（a+b)·b=2，且l a l=l,lbl弓，则l a+bj=A.fjB.Jz c.1 D.2)35.己知f(x）是定义域为R的奇函数，若f(x+ 5）为偶函数，／(1)= 1，则／（2019)+/(2020) =A.-2B.一l c.0 D.12020届高三模拟考试数学试题第l页共6页6己知点F;(-3，的，乓（3，时别是双曲线C：兰－4=1(a>O, b>O）的左、右焦点，M矿矿10.记数列｛a n｝的前n项和为乱，若存在实数H，使得对任意的nEN＋，都有I S n <H，则是C右支上的一点，MF;与Y轴交于点p'/:J,MPJ飞的内切圆在边Pl飞上的切点为Q，若IPQ l=2，则C的离心率为3 5A.%B.3C.2D.27.在二项式（x＋�r的展开式中，各项系数的和为1比把展开式中各项重新排列，则有、J X理项都互不相邻的概率为A.一4B.一3 c.一3 D.土35 4 1414称数列｛an｝为“和布界数列”．下列说法正确的是A.若｛a n｝是等差数列，且公差d=O，则｛a n｝是“和有界数列”B.若｛a n｝是等差数列，且｛a n｝是“和有界数列”，则公差d=Oc.若｛an｝是等比数列，且公比q < 1，则｛a n｝是“和有界数列”D.若｛αn｝是等比数列，且｛an｝是“和有界数列”，则｛αn｝的公比q l<l8.己知函数f(x)＝旧2-x-lnx有两个零点，则实数α的取值范围是A.(_!, 1)B.(0,1)C.(-oo，与）e e D.(0，与）e11.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“莹堵飞底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”：四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多脯”．如图在整堵ABC-A1BP1中，AC1-BC，且AA1=AB=2.下列说法正确的是项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.CPI是居民消费价格指数的简称，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价 A.四棱锥B-AiACC1为“阳马”格水平变动情况的宏观经济指标．同比一般情况下是今年第n月与去年第n月比；＿＿＂环毕？川丁‘表示连续2个统计周期（比如连续两月）内的量的变化比如图是根据国家统计敞布局已？二：�－＝-}-c币；咽面体利α为“鳖腐”2019年4月一2则年4月我国C叫跌幅数据绘制的折线图，根据该折线图，则科副普：，L10)1i乙1S-1j,J ll � �I「节’［c.四棱锥B-A I ACC l体积最大为3正确的是A1D.过A点分别作AE1-AiB于点E,AF 1-AiC于点F，则EF1-�B5.0十40 i一一一一…一－－－－�飞言：33.0 � 2.7 2.7 2产z干一二二2.0 -i－一一一一一一一一一一…向一一…叩………………ω叫“.........……………………1.0翻嘈－同比-I←环七tt " \12.己知／（x)=l-2cos2wx＋τ（ω＞的，下面结论正确的是A.若f(x1)=l.f(x2)=-l，且x1一引｜的最小值为饨，m=2c810.0 B.存在ωε（1.3），使得f(x）的图象向右平移主个单位长度后得到的图象关于y轴对称62.0J主半岛念、，.-t,二孙主、，.，t,卦，公卦杰、企、击、r&� -, v 、v -, .... v ..... ..... 哇钮’• -�or ,,<::;"，俨铲VA.2020年1月CPI同比涨幅最大B.2019年4月与同年12月相比较，4月CPI环比更大c.2019年7月至12月，CPI一直增长D.2020年1月至4月CPI只跌不涨2020届高三模拟考试数学试题第2页共6页41 47c.若f(x）在［O,2π］上恰有7个零点，则ω的取值范围是［一，一）2424D.若f(x）在［一一，一］上单调递增，则ω的取值范围是仰π6 42020届高三模拟考试数学试题第3页共6页第II卷〈非选择题，共90分〉三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.以抛物线Y i=2x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为14.我国有“三山五岳”之说，其中五岳是指：东岳泰山，南岳衡山，西岳华山，北岳恒山，中岳高山．某位老师在课堂中拿出这五岳的图片，打乱顺序后在图片上标出数字1-5，他让甲、乙、丙、丁、戊这五位学生来辨别，每人说出两个，学生回答如下：甲：2是泰山，3是华山：乙z4是衡山，2是南山：丙：1是衡山，5是恒山：丁：4是恒山，3是富山：戊：2是华山，5是泰山．老师提示这五个学生都只说对了一半，那么五岳之尊泰山图片上标的数字是15.已知函数f(x)=I ln x I，若0＜α＜b，且f(a)= f(b），则a+4b的取值范围是·18.Cl2分）己知s.是等比数列｛a，；｝的前n项和，旦，Sz,S3成等差数列，且s4-a=-18.( I ）求数列｛an｝的通项公式：(2）是否存在正整数n，使得s.兰2020？若存在，求出符合条件的n的最小值：若不存在，说明理由．19.Cl2分）四棱锥P-ABCD中，PC i面ABCD，直角梯形ABCD中，LB=LC=90。
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2020/4/28 16.
;
2020年山东济南市中区山东省实验中学(主校区)高三一模数学试卷
【解析】 第一空：在平面
中，以 为原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴建
，
，
多故 正确；
更 D 选项：若
，则
，
∴
，
即
，
∴
，
即
，此时
，
∵
，∴
，∴
，
若
，则
，
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神
【解析】 因为双曲线的渐近线方程为
，不妨设
课 授，则
，因为双曲线的渐
近线与圆
相切，所以
“ ，解得
，即
序
，所以
程
．
小
15.
索
搜
信 【解析】 ∵ ， 为夹角为 的单位向量，
∴
微
，在
∵料
资
多
更 ，
，则
，
得
（当
时等号成立），
由
，
则 即 所以
， ， 有最大值 ．
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2020/4/28
2020年山东济南市中区山东省实验中学(主校区)高三一模数学试卷
2020年山东济南市中区山东省实验中学(主校区)高三一 模数学试卷(答案)
一、单项选择题
1. A
取
【解析】
，
，
获
∴
或
，
“
则
．
器
故选 ．
神
课
2. A
授
【解析】
“ 序，
即 在复平面对应的点为 故选 ．
程 ，第一象限． 小
索
取 获
四、解答题
“ 器
17. （ 1 ） 为等方差数列， 为等方差数列，
神
（2）
．
课
授
【解析】（ 1 ）由
知 为常数列，
“
，序
此时
为常数，
程
小 故 为等方差数列，
由
索 得：
搜 信
，
微 此时
为常数，
在 故 为等方差数列，
料由
得：
资
多
．
更
此时 的值与 有关．
故 不是等方差数列，
由
得：
．
与 有关，故 不是．
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2020/4/28
又
平面2020年山东，济南市中区山东省实验中学(主校区)高三一模数学试卷
．
程
故选 ．
小
索
8. B
搜
信
【解析】 令
微 ，则
，
在 若直线
与曲线
有且仅有 个公共点，
料 则函数 有且仅有 个零点，
资 ∴方程
有 个根，即
，
多则
时，
或
，
更
∴在
和
单调递增，
在
单调递减，
∵
，
∴
，
即
，且
，
∴
，
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2020/4/28
∴点 到平面
2020年山东济南市中区山东省实验中学(主校区)高三一模数学试卷
的距离为
，
∴点 到平面
的距离的最小值为
，
又
，
，
，
∴
是等边三角形，其面积
，
∴三棱锥
的体积的最小值为
．
∵ 是 的中点，
∴点 到平面
的距离是点 到平面
的距离的一半，
则三棱锥
的体积的最小值为
．
综上所述，故本题答案为： ； ．
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2020/4/28
∴
为等腰三2角02形0年，山东济南市中区山东省实验中学(主校区)高三一模数学试卷
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴直线 为
的角平分线，即点 和点 重合．
立平面直角坐标系如图所示，
取
由
，
知
，
，
获
设
，则由
，即
可得，
“
，
器
化简整理得
，
神
则点 在以
为圆心， 为半径的圆上，
课
故第一空填 ． 第二空：以 为原点， ， 直角坐标系，如图所示，
授
，
序“ 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间
程
小
索
搜
信
微
在
料 则
，
，
资 设
，则
，
多化简整理得
，
更 则点 在以
为球心，以 为半径的球上，
∵
，
，
，
，
∴
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
令
，则
，
，
∴
，
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2020/4/28
如图（ ）所示，若2020与年山东重济南合市，中则区山东与省实验重中合学(，主校区)高三一模数学试卷
四边形
为截面，此时为矩形，除此之外
∴
．
故选 ．
7. D
取
获
“ 【解析】 由题意可知， 个奇数在 格中任意排列， 个偶数在 格中任意排列，共有
种．
器
又∵两条对角线上数字之和要为 ，
神
课 ∴ 与 对应， 与 对应共有 种摆法． “授 又∵对于这 种摆法都只有唯一一种奇数摆法使其满足题意，
序 ∴每一横行，每一竖行，以及两条对角线上 个数字和都是 的概率
3. B
搜
信
【解析】
微
在
料 资
多 更
对该学生进行受力分析知，该学生的重力等于其胳膊拉力向上的合力，其合力
，
，
∴
．
故选 ．
4. C
【解析】 由函数
的图象可知，
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，
四边形
为截面，均为梯形，故 正确．
故选 A D .
12. ACD
【解析】 A 选项：∵
，
，
取
∴ 是以
为最小正周期的周期函数，故 正确；
获
B 选项：
“
，
器
，
，
神
则
，
课 授
∴
“
，
∵
，
序
∴显然 不能单调递增，
程
故 不正确；
小
C 选项：∵
索
，
∴当
搜时，
， 微信，
，
，
∴
在
，
，
，
料 ∵ 和 均为整数，
∴资
也是整数，即
故选 ．
“
序
6. B
程
【解析】 如图所示，过点 作 点 ，连接 ，
小 垂直于准线交准线于点 ，过点 作 索 搜
准线交准线于
信
微
在
料
资
多
更
由抛物线定义知
，
，
∴
，
∵点 为 中点，
∴ 为梯形
的中位线，
∴
，
∵
，
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，
不符合图象在 上递增， 错误；
中，由图象可知， 为奇函数，若
，
则
，为非奇非偶，故 错．
故选 ．
5. D
取
【解析】 由题意知，己的夜班在周四，丙甲，戊—丁，乙——庚，
获
假设，乙、丙夜班为周三周五，与乙——庚矛盾，
“
∴乙丙分别为周二周六，
器
神 ∴甲为周日，符合， 授课 则乙——庚可知，庚为周五，则周五值班的护士为庚．
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2020/4/28
综上所述，函数 的20值20域年是山东济南市中区山东省实验中，学(主校区)高三一模数学试卷
故 错误；
选项：若
，则
，
∴