17.2 勾股定理的逆定理(试题)-2020-2021学年八年级数学寒假学习精编讲义(人教版)

2020-2021学年人教版八年级数学寒假学习精编讲义

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17.2 勾股定理的逆定理

1．互逆命题与互逆定理

名称定义关系

互逆命题如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样

的两个命题叫做__________．如果把其中一个叫

做原命题，那么另一个叫做它的逆命题

（1）命题有真有假，而定理都

是真命题；

（2）每个命题都有逆命题，但

不是所有的定理都是逆定理；

（3）互逆的两个命题不一定同

真或同假，互逆的两个定理都是

真命题

互逆定理一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理

2．勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c满足__________，那么这个三角形是直角三角形，我们称它为勾股定理的逆定理．

利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形的一般步骤：

①确定三角形的最长边；

②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；

③通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等；

④作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形．

【注意】（1）若用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形，那么其中最长边所对的角是直角．不能机械地认为c边所对的角必是直角，例如：若a2-b2=c2，则a边所对的角是直角．

（2）勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”，在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”，较短的两边为“直角边”．3．勾股数

能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即a2+b2=c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数．

常见的勾股数有：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15．常见的勾股数需牢记，平时在解决问题时常用，有利于打开思路．

勾股数的求法：

（1）如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有a2=b+c，那么a，b，c为一组勾股数．如3为大于1的奇数，4，5为两个连续自然数，且32=4+5，则3，4，5为一组勾股数，还有：5，12，13；

7，24，25；9，40，41；11，60，61；…．

勾股定理的逆定理

勾股定理与其逆定理的区别：

（1）勾股定理和勾股定理的逆定理的题设和结论相反；

（2）勾股定理是直角三角形的性质，而其逆定理是直角三角形的判定．

考点1：勾股定理的逆定理

【例1】（2020春•荔湾区月考）若一个三角形的三边长为1、2、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是．【解答】解：设第三边为x，

（1）若2是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得：

12+22＝x2，所以x；

（2）若2是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得：

12+x2＝22，所以x；

综上所述：x的值为或，

故答案为：或．

【变式1-1】（2020春•大冶市期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）

A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形

B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90°

C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形

D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形

【变式1-2】（2020春•蔡甸区校级月考）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．6、8、10 B．9、12、15 C．7、24、25 D．、、

【变式1-3】（2020秋•温江区校级月考）如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD＝13，AB＝2，BC ＝9，DC＝12，则四边形ABCD的面积为．

【变式1-4】（2020秋•肃州区期末）在△ABC中，D是BC上一点，AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求△ABC的面积．

【变式1-5】（2020秋•亭湖区期中）在△ABC中，三边长分别为5、12、13，则它的面积为．

【变式1-6】（2013春•越秀区期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD

＝12cm，BD＝5cm．

（1）求证：△BDC是直角三角形；

（2）求△ABC的周长．

勾股数

一组数是勾股数必须同时满足两个条件：

（1）这三个数都是正整数；

（2）两个较小数的平方和等于最大数的平方，这两个条件缺一不可．

考点2：勾股数

【例2】（2019春•右玉县期末）有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是．【解答】解：设第三个数为x，

∵是一组勾股数，

∴①x2+82＝172，

解得：x＝15，

②172+82＝x2，

解得：x（不合题意，舍去），

故答案为：15．

【变式2-1】（2019秋•南海区月考）下列各组数为勾股数的是（）

A．6，12，13 B．10，24，26 C．3，4，7 D．8，15，16

【变式2-2】（2020春•兖州区期末）若8，a，17是一组勾股数，则a＝．

【变式2-3】（2017春•孝南区期末）我们把满足方程x2+y2＝z2的正整数的解（x、y、z）叫做勾股数，如，（3，4，5）就是一组勾股数．

（1）请你再写出两组勾股数：（、、），（、、）；

（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2﹣1，z＝n2+1，那么以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明．

【变式2-4】（2019•马鞍山二模）若正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a2+b2＝c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．

观察下列两类“勾股数”：

第一类（a是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…

第二类（a是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…

（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；

（2）分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明（a，b，c）是“勾股数”．

【变式2-5】（2018•合肥二模）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．

（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；