Lotka-Volterra模型教学内容
Lotka-Volterra 方程
度娘不是万能的！
维多· 沃尔泰拉（Vito Volterra， 1860年5月3日－1940年10月11日）是 一位意大利数学家与物理学家，著名 于生物数学研究。
20世纪20年代，意大利生物学家达柯纳对第一 次世界大战期间亚得里亚海湾的渔业作了研究。他 发现，在战争年代，鲨鱼等大鱼的捕量占总量的百 分比急剧增加，而战后又趋于正常。
求助
百思不得其解的生物学家达柯纳就这个生 物领域的问题向数学家沃尔泰拉请教，希望 他建立一个数学模型来解释这种现象。
模型一 不考虑捕获
沃尔泰拉在分析了这些数据后，忽略了一 些次要因素，仅考虑自然环境中食饵与捕食者 之间的制约关系，建立了以下简单模型。
模型二 考虑捕获
e为捕获能力系数
当达到平衡时，即x[(a-e)-by]=0,y[-(c+e)+dx]=0, 解得
模型一不考虑捕获e为捕获能力系数当达到平衡时即xaeby0ycedx0lotkavolterra方程的应用1作为渔业生产的指导2生态平衡3环境保护4人口统计5疾病防治2沃尔泰拉方程的建立是数学在生物学领域的第一次运用开始了数学对生物学的渗透从而推动了生物数学这门科学的产生大大促进了近代生物学的发现史
Lotka-Volterra方程别称掠食者-猎物，由两 条一阶非线性微分方程组成。经常用来描述生物 系统中，掠食者与猎物进行互动时的动力学，也 就是两者族群规模的消长。
1925年，阿弗雷德· 洛特卡发表 1926年，维多· 沃尔泰拉发表
阿弗雷德· 洛特卡（Alfred James Lotka，1880年3月2日－1949年12月5日） 是一位美国统计学家、数学家与物理化 学家，著名于生态学上的族群动力学与 能量学研究。
X=0,y=0 或x=(c+e)/d,y=(a-e)/b
lotka-volterra方程中的相关参数的确定
lotka-volterra方程中的相关参数的确定Lotka-Volterra方程是一种描述捕食者和猎物之间相互作用的动力学模型。
它由两个关联的微分方程组成，其中捕食者的数量和猎物的数量随时间的变化被描述。
在Lotka-Volterra方程中，有一些参数需要确定，以使模型能够适应特定的捕食者和猎物系统。
以下是确定这些参数的一些常见方法：
1.实验观测：通过实验观测获得的数据可以用来确定模型中
的参数。
这可能涉及到监测和记录捕食者和猎物数量随时间的变化。
2.相关研究：进行相似生态系统或相似物种之间的研究，以
获得类似系统中参数的估计。
这可能包括文献综述、野外观察或实地调查。
3.参数估计：使用统计方法，如最小二乘拟合或最大似然估
计，根据已有的数据拟合模型，并得出参数的估计值。
4.灵敏度分析：进行灵敏度分析来评估参数对模型结果的影
响程度。
这可以帮助确定对模型结果影响较大的参数，并优先考虑对这些参数进行准确估计。
需要注意的是，参数的确定是一个复杂的过程，并且涉及到模型假设的验证，数据收集和分析，在参数估计中使用统计技术，以及考虑误差和不确定性。
另外，根据具体的应用和研究目的，还会引入其他的参数
或因素，以更好地刻画特定系统的行为。
因此，参数的确定应该根据具体情况进行，并结合领域知识和相关实验和观测数据。
求解最短路径问题的Lotka-Volterra回复式神经网络模型
Ｉ Ｎ ００１ ９ ＳＳ １ — ０８１
２ ２． ７ ． １ ０１ ． ． ０ Ｏ
计算机应 用号 ：０ １ ０ １２ １ ） ７—１６ ０ １０ —９ ８ （ ０ ２ ０ ９５— ４
ｆｎｔ ｎｆｒ ｈ ｏｔ ｔ ａ ｒｂｅ ｆｈ ｉ ｃ ｄｇａｈ ｏ ａＶ ｌ ｒ Ｌ ）Ｒ ｃｒ ｎ Ｎ ｕａ Ｎ ｔｏｋ（ Ｎ ）ｍ ｄｌ ｕｃｉ ｅｓ ｒ ｓ ｐ ｔ ｐｏｌ ｏ ｅｄ ｅｔ ｐ ，ａＬ ｔ － ｏ ｅ ａ（ Ｖ ｅｕｒ ｔ ｅｒｌ ｅｗ ｒ Ｒ Ｎ ｏ ｏｔ ｈ ｅ ｈ ｍ ｔ ｒ ｅ ｒ ｋ ｔｒ ｅ ｏｅ
Ａｂ ｔａ ｔ ｈ ｈ ｒ ｓ Ｐ ｔ Ｓ ）ｐ ｏ ｌ ｏ ｅｄｒｃ ｄ ｇａ ｈ ｉ ａ ｐｉ ｉ ｔ ｎｐ ｏ ｌ ｓ ｃ ：Ｔ ｅＳ ｏ ｅ ｔ ａ ｒ ｔ ｈ（ Ｐ ｒｂ ｍ ｆ ｈ ｉ ｔ ｒｐ ｎ ｏ ｔ ｚ ｉ ｒ ｅ ｅ ｔ ｅｅ ｓ ｍ ａｏ ｂ ｍ．Ｂ ｏ ｓ ｕｔ ｇｔ ｎ ｒ ｙｃ ｎ ｔ ｃ ｎ ｅ ｅ ｅｇ ｒ ｉ ｈ ｙ
ＣＯＤ ＹＩＤＵ ＥＮ Ｊ Ｉ
ｈｔ：／ ｗ ．ｏａ ｃ ｔ ／ ｗ ｗ ｊｃ．ａ ｐ
ｄｉ１ ．７ ４ Ｓ Ｊ １ ８ ． ０ ２ ０１ ６ ｏ：０ ３ ２／ Ｐ ． ０ ７ ２ １ ． ９ ５
．
求 解 最 短 路径 问题 的 Ｌ ｔａＶ ｌ ｒａ回复 式神 经 网 络模 型 ｏｋ － ｏｔ ｒ ｅ
摘
要： 有向 图的最短路径 （ Ｐ 问题 是一个优化 问题 。通过 构造有 向 图的最短路径 问题 的能量 函数 ， 出了一 Ｓ） 提
种 Ｌ ｔａＶ ｈ ｒ Ｌ ） ｏ ・ｏ ｅｒ Ｖ 回复式神 经网络 （ Ｎ 模型 ， ｋ ａ（ Ｒ Ｎ） 用于求解有向 图的最短路径。 当 Ｌ ｖ神经 网络迭代收敛到稳定吸 引子时 ， 对应 的能量函数也达到其能 量最 小点。 因此 ， 通过稳 定吸 引子 可以获取 最短路径 。实验结 果表 明， 用 Ｌ 利 ｖ 神 经网络模 型可 以有效地 求解有 向图 中任 意两个顶点之 间的最短路径 。 关键词 ：ｏ ａＶ ｈ ｒ Ｌ ｔ — ｏ ｅ ａ回复式神经 网络 ； ｋ ｒ 能量 函数 ； 最短路 径 ； 稳定吸 引子 ； 能量最小点
Lotka-Volterra模型
N1、N2：分别为两个物种的种群数量
K1、K2：分别为两个物种的环境容纳量 r1、r2 ：分别为两个物种的种群增长率
依逻辑斯蒂模型有如下关系： dN1 / dt = r1 N1（1 - N1 / K1） 其中：N/K可以理解为已经利用的空间（称为“已利用空间 项”），则（1-N/K）可以理解为尚未利用的空间（称为“未 利用空间项”） 当两个物种竞争或者利用同一空间时，“已利用空间项”还 应该加上N2种群对空间的占用。则： dN1 / dt = r1 N1（1 - N1 / K1 - αN2 / K1） ——（1） 其中，α：物种2对物种1的竞争系数，即每个N2个体所占用 的空间相当于α个N1个体所占用空间。 则有，β：物种1对物种2的竞争系数，即每个N1个体所占用 的空间相当于β个N2个体所占用空间。则另有： dN2 / dt = r2 N2（1 - N2 / K2 - βN1 / K2） ——（2）
何为平衡呢，就是N1和N2种群的数量都不发生变化，即： 1/dt = r1 N1（1 - N1/K1 - αN2/K1）= 0 ———（1） 2/dt = r2 N2（1 - N2/K2 - βN1/K2）= 0 ———（2） 满足两个方程时，两种种群平衡，则显然焦点既是平衡点。 那么，对于结果1和结果2，两个种群的平衡线没有焦点， 则不可能达到平衡，总是有一方最终被完全排挤掉。 结果3虽然存在一个平衡点，但是很不稳定，只要自然条 件的微小波动造成偏离平衡点，那么其中占优的一方就会 最终取得生存竞争的胜利。 结果4是一个稳定的平衡，无论N1和N2种群数量的组合 （N1，N2）落在直角坐标系内哪一区域，最终都将使得N1 种群和N2种群的数量趋向平衡点
Lotka-–-Volterra-捕食者-–-猎物模型模拟电子教案
L o t k a-–-V o l t e r r a-捕食者-–-猎物模型模拟基础生态学实验Lotka – Volterra 捕食者–猎物模型模拟姓名王超杰学号 201311202926实验日期 2015年5月14日同组成员董婉莹马月娇哈斯耶提沈丹一、【实验原理】Lotka-Volterra捕食者-猎物模型是对逻辑斯蒂模型的延伸。
它假设：除不是这存在外，猎物生活于理想环境中（其出生率与死亡率与种群密度无关）；捕食者的环境同样是理想的，其种群增长只收到可获得的猎物的数量限制。
本实验利用模拟软件模拟Lotka-Volterra捕食者-猎物模型，并以此研究该模型的规律特点。
捕食者—猎物模型简单化假设：①相互关系中仅有一种捕食者和一种猎物。
②如果捕食者数量下降到某一阀值以下，猎物数量种数量就上升，而捕食者数量如果增多，猎物种数量就下降，反之，如果猎物数量上升到某一阀值，捕食者数量就增多，而猎物种数量如果很少，捕食者数量就下降。
③猎物种群在没有捕食者存在的情况下按指数增长，捕食者种群在没有猎物的条件下就按指数减少。
因此有猎物方程：dN/dt=r1N-C1 PN；捕食者方程：dP/dt=-r2P+C2PN。
其中N和P分别指猎物和捕食者密度，r1 为猎物种群增长率，-r2为捕食者的死亡率，t为时间，C1为捕食者发现和进攻猎物的效率，即平均每一捕食者捕杀猎物的常数，C2为捕食者利用猎物而转变为更多捕食者的捕食常数。
Lotka-Volterra捕食者-猎物模型揭示了这种捕食关系的两个种群数量动态是此消彼长、往复振荡的变化规律。
二、【实验目的】在掌握Lotka-Volterra 捕食者-猎物模型的生态学意义与各参数意义的基础上，通过改变参数值的大小，在计算机模拟捕食者种群与猎物种群数量变化规律，从而加深对该模型的认识。
三、【实验器材】Windows 操作系统对的计算平台，具有年龄结构的种群增长模型的计算机模拟运行软件Populus。
lotka-volterra模型 半饱和常数-概述说明以及解释
lotka-volterra模型半饱和常数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述随着对生态系统的深入研究，人们意识到了物种之间相互关系的重要性。
为了解释和预测物种之间的相互作用，数学模型成为了一种有效工具。
其中，Lotka-Volterra模型是一种常用且经典的数学模型，被广泛应用于生态学领域。
Lotka-Volterra模型，又称为捕食者-猎物模型，描述了捕食者和猎物之间的相互作用。
模型的基本假设是，猎物的增长受到捕食者捕食的影响，而捕食者的增长则依赖于猎物的可获得性。
本文的重点是研究Lotka-Volterra模型中的一个重要参数，即半饱和常数。
半饱和常数是用来衡量猎物或捕食者种群增长的饱和程度的指标。
它代表了当猎物或捕食者种群密度达到半饱和常数时，其增长速率达到最大值的临界点。
在这篇文章中，我们将对Lotka-Volterra模型进行介绍，并详细定义半饱和常数。
我们将探讨半饱和常数对模型的影响，以及其在解释和预测物种之间相互作用的重要性。
最后，我们还将展望未来研究方向，探讨如何进一步改进和应用Lotka-Volterra模型以解决现实生态问题。
通过对Lotka-Volterra模型和半饱和常数的研究，我们将有助于更好地理解物种之间的相互关系，并为生态学领域的可持续发展提供理论指导。
此外，对于生态系统保护和资源管理也有着重要的现实意义。
1.2 文章结构文章结构:本篇文章主要包括以下几个部分。
引言部分（第1章）：首先对文章的主要内容进行概述，介绍Lotka-Volterra模型以及半饱和常数的背景和相关研究现状。
然后明确文章的目的和意义以及本文的结构安排。
正文部分（第2章）：详细介绍Lotka-Volterra模型，包括其基本原理、模型方程的推导以及动态方程的解释。
然后，着重阐述半饱和常数的定义和意义，并讨论其在Lotka-Volterra模型中的应用。
结论部分（第3章）：对全文的内容进行总结，回顾Lotka-Volterra 模型的应用，并分析半饱和常数对模型的影响。
Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性
Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性Lotka-Volterra竞争扩散系统是描述生态系统中种群竞争和扩散相互作用的数学模型，它由Alfred Lotka和Vito Volterra在20世纪初提出，并被广泛应用于生态学、生物学和数学领域。
在生态系统中，不同种群之间存在着资源的竞争和空间的扩散。
这种竞争扩散系统的动力学特性对生态系统的稳定性和多样性具有重要影响。
在过去的研究中，人们主要关注于Lotka-Volterra竞争扩散系统内部正平衡点的存在性和稳定性，但对于连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性研究相对较少。
本文将重点讨论Lotka-Volterra竞争扩散系统的连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性，探讨这一问题在生态系统稳定性和多样性中的重要意义。
我们将介绍Lotka-Volterra竞争扩散系统的基本模型和数学表达式，然后分析连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性，最后讨论这一研究对生态学和数学的意义和应用。
1. Lotka-Volterra竞争扩散系统的基本模型Lotka-Volterra竞争扩散系统是一种描述生态系统中种群竞争和扩散相互作用的数学模型，其基本形式可以表示为：\begin{cases}\frac{\partial u}{\partial t} = d_u\Delta u+ru(1-\frac{u}{K})-auv\\\frac{\partial v}{\partial t} = d_v\Delta v+sv(1-\frac{v}{L})-buv\end{cases}u和v分别表示两个种群的密度，t表示时间，d_u和d_v表示扩散系数，r和s分别表示种群的增长率，K和L分别表示种群的最大容纳量，a和b分别表示种群之间的竞争强度。
上式中的第一项表示扩散项，第二项表示种群的自我增长，第三项表示种群之间的竞争作用。
这个模型描述了种群在空间中的扩散和竞争，可以用来研究生态系统中种群的动态演变和空间分布。
随机时滞Lotka—Volterra模型：全局解和随机最终有界性
１ ５ 年 １ Ｏ月 第２ ５ 卷 第４
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈ ｅ ｆ ｅ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ）
ｔ ．２ ０ １ ５ Ｖ ｏ １ ． ２ ５ Ｎｏ ． ４
摘பைடு நூலகம்
要： 通过讨论一类随机 时滞 Ｌ ｏ ｔ ｋ ａ － Ｖｏ ｌ ｔ ｅ ｒ ｒ ａ生态模型 解的动力行 为 ， 利用 Ｉ ｔ ｏ公 式 Ｃ ｈ ｅ ｂ ｙ ｓ ｈ ｅ 不等 式， 给出 该模型全局正解 的存在 唯一性 、 随机最终有界性 的充分条件 ， 并给 出一个数值例子说 明 了结果 的有效性
对 于这 些模 型 的研究 已经 取得 了丰富结 果 卜 引．
１ ２ １ ＿ ＬＮ 个方 程 中 ， （ ） 表示 的是 物种 种 群规模 ， 因此 ， 这 些 方 程 的正 解 才 是 学者 们 的 兴趣 所 在． 此外 ，
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ５ — ０ ９ 一Ｏ ６
．
ｆ ｏ ｒ ｍｕ ｌ ａ ａ ｎ ｄ Ｃｈ ｅ ｂ ｙ ｓ ｈ ｅ ｖ ｉ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｌ ｉ ｔ ｙ，ｓ ｏ ｍｅ ｓ ｕ ｆ ｆ ｉ ｃ ｉ ｅ ｎ ｔ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ ｇ ｌ ｏ ｂ ａ １ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ
、
Ｗ Ａ ＮＧ Ｄｏ ｎ ｇ － ｈ ｕ ｉ 。 Ｗ Ｕ Ｚ ｈ ｅ ｎ ｇ
（ １ ． Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｒ ｘ ｉ ｓ ｍ， Ｓ ｏ ｕ ｔ ｈ Ｃｈ ｉ ｎ ａ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ，Ｇｕ ａ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ ５ １ ０ ６ ４ １ ； ２Ｓ ｃｈ ｏ ｏ １ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ １
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r1、r2 ：分别为两个物种的种群增长率
依逻辑斯蒂模型有如下关系：
dN1 / dt = r1 N1（1 - N1 / K1）
其中：N/K可以理解为已经利用的空间（称为“已利用空间 项”），则（1-N/K）可以理解为尚未利用的空间（称为 “未利用空间项”）
当两个物种竞争或者利用同一空间时，“已利用空间项”还 应该加上N2种群对空间的占用。则：
物
种 1 能 抑 制 物 种 2 （ K 1 > K 2 / β
物
种 1 不 能 抑 制 物 种 2 （ K 1 < K 2 / β
那么，当N水平上？换言之，每个种群达到什么样的密度时才能 阻止另一个种群的增长呢？
结论是，N2种群达到K1/α，N1就再也不能增长
dN1 / dt = r1 N1（1 - N1 / K1 - αN2 / K1） ——（1）
其中，α：物种2对物种1的竞争系数，即每个N2个体所占用 的空间相当于α个N1个体所占用空间。
则有，β：物种1对物种2的竞争系数，即每个N1个体所占用 的空间相当于β个N2个体所占用空间。则另有：
dN2 / dt = r2 N2（1 - N2 / K2 - βN1 / K2） ——（2）
满足两个方程时，两种种群平衡，则显然焦点既是平衡点。
那么，对于结果1和结果2，两个种群的平衡线没有焦点， 则不可能达到平衡，总是有一方最终被完全排挤掉。
结果3虽然存在一个平衡点，但是很不稳定，只要自然条 件的微小波动造成偏离平衡点，那么其中占优的一方就会 最终取得生存竞争的胜利。
结果4是一个稳定的平衡，无论N1和N2种群数量的组合 （N1，N2）落在直角坐标系内哪一区域，最终都将使得 N1种群和N2种群的数量趋向平衡点
因此，当物种2可以抑制物种1时，可以认为，物种2对物 种1的影响 > 物种2对自身的影响，即 α/K1 > 1/K2。
整理后得：K2 > K1/α，
同理有： 物种2不能抑制物种1：K2 < K1/α 物种1可以抑制物种2：K1 > K2/β 物种1不能抑制物种2：K1 < K2/β 这样，在竞争的过程中，由于K1、K2、α 以及 β 的数值不同，可能会产生如下四种结果：
如我们所知：
当物种N1种群（物种1）的环境容纳量为K1时，N1种群 中每个个体对自身种群的增长抑制作用为1/K1；
同理，N2种群中每个个体对自身种群的增长抑制作用为 1/K2。
另外，从（1）、（2）两个方程以及α、β的定义中可知：
N2种群中每个个体对N1种群的影响为：α/K1
N1种群中每个个体对N2种群的影响为：β/K2
或者说，N1种群达到K2/β，N2就再也不能增长
可以得到两个物种的各自的平衡线如下：
将两平衡线叠合起来，则得到四种不同的结局：
何为平衡呢，就是N1和N2种群的数量都不发生变化，即：
1/dt = r1 N1（1 - N1/K1 - αN2/K1）= 0 ———（1）
2/dt = r2 N2（1 - N2/K2 - βN1/K2）= 0 ———（2）
20世纪40年代，Lotka（1925）和Volterra （1926）奠定了种间竞争关系的理论基础，他们 提出的种间竞争方程对现代生态学理论的发展有着 重大影响。Lotka-Volterra模型（LotkaVolterra种间竞争模型）是对逻辑斯蒂模型的延伸。 现设定如下参数：
N1、N2：分别为两个物种的种群数量