信号及系统 系统函数的零极点分析
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信号与系统系统函数的零极点分析课件
极点影响系统噪声性能
极点的位置也会影响系统的噪声性能，极点靠近虚轴时，系统对噪声的抑制能力较强。
极点对系统稳定性的影响
实数极点影响系统稳定性
实数极点会使得系统函数在某点趋于无穷大，导致系统不稳 定。极点的位置决定了系统稳定的程度和响应速度。
复数极点影响系统稳定性
复数极点会影响系统的频率响应特性，进而影响系统的稳定 性。如果复数极点位于左半平面，则系统稳定；反之，位于 右半平面则不稳定。
零点与系统极点的关系
在复平面内，零点和极点可以影响系统的稳定性，极点的位置更为 关键。
稳定系统中的零点作用
在稳定的系统中，零点可以起到调节系统性能的作用，但不会改变 系统的稳定性。
零点对系统频率响应的影响
零点对低频响应的影响
某些零点的位置会影响系统的低频响应，可能导致低频增益降低 或相位滞后。
零点对高频响应的影响
傅里叶分析
将信号分解为不同频率的正弦波 和余弦波，研究信号的频谱特性 和系统的频率响应。
拉普拉斯变换
将时域函数转换为复平面上的函 数，通过分析系统的传递函数来 研究系统的稳定性、极点和零点 等特性。
Z变换
将离散时间序列转换为复平面上 的函数，通过分析系统的差分方 程来研究离散时间系统的特性。
系统函数与零极点
频率响应分析
零极点分布影响系统的频率响应特性，通过分析零极点 可以预测系统的频率合理设计系统的零极点，可以实现特定的系统性能 指标，如快速响应、低超调量等。
系统函数的零点分析
03
零点对系统性能的影响
零点位置影响系统性能
01
零点位置的不同会导致系统性能的差异，例如系统的幅频特性
极点的定义与性质
定义
极点是系统函数在复平面上具有无穷大 增益的点，即系统函数的分母为零的点。
极点的位置也会影响系统的噪声性能，极点靠近虚轴时，系统对噪声的抑制能力较强。
极点对系统稳定性的影响
实数极点影响系统稳定性
实数极点会使得系统函数在某点趋于无穷大，导致系统不稳 定。极点的位置决定了系统稳定的程度和响应速度。
复数极点影响系统稳定性
复数极点会影响系统的频率响应特性，进而影响系统的稳定 性。如果复数极点位于左半平面，则系统稳定；反之，位于 右半平面则不稳定。
零点与系统极点的关系
在复平面内，零点和极点可以影响系统的稳定性，极点的位置更为 关键。
稳定系统中的零点作用
在稳定的系统中，零点可以起到调节系统性能的作用，但不会改变 系统的稳定性。
零点对系统频率响应的影响
零点对低频响应的影响
某些零点的位置会影响系统的低频响应，可能导致低频增益降低 或相位滞后。
零点对高频响应的影响
傅里叶分析
将信号分解为不同频率的正弦波 和余弦波，研究信号的频谱特性 和系统的频率响应。
拉普拉斯变换
将时域函数转换为复平面上的函 数，通过分析系统的传递函数来 研究系统的稳定性、极点和零点 等特性。
Z变换
将离散时间序列转换为复平面上 的函数，通过分析系统的差分方 程来研究离散时间系统的特性。
系统函数与零极点
频率响应分析
零极点分布影响系统的频率响应特性，通过分析零极点 可以预测系统的频率合理设计系统的零极点，可以实现特定的系统性能 指标，如快速响应、低超调量等。
系统函数的零点分析
03
零点对系统性能的影响
零点位置影响系统性能
01
零点位置的不同会导致系统性能的差异，例如系统的幅频特性
极点的定义与性质
定义
极点是系统函数在复平面上具有无穷大 增益的点，即系统函数的分母为零的点。
§4.8由系统函数零、极点分布决定频响特性
m 0
m
sin(ω 0 t )
⋅ H( s )
m
0 2 0
2
2 0
2
H(− jω) = H0 e− jϕ0 0
K − jω 0 = ( s + j ω 0 ) R ( s ) K
jω 0
=
K − jω 0 s + jω 0
+
K jω 0 s − jω 0
+
Kn K1 K2 + + ⋅⋅⋅+ s − p1 s − p2 s − pn
θ1
−
1
ψ1
O
1 RC
σ
0.5
π ϕ(ω) = −arctan CRω 2
0
2 1.5 1 0.5 0
π ω= 0 ϕ(ω) = 2 1 π ω= ϕ(ω) = RC 4 ω= ∞ ϕ(ω) = 0
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
返回
例4-8-2
研究下图所示RC低通滤波网络 研究下图所示RC低通滤波网络 + 的频响特性。 的频响特性。 v1(t ) V2(jω) H(jω) = − V (jω) 1 解: 写出网络转移函数表达式 V2(s) 1 1 H(s) = = ⋅ 1 V (s) RC 1 s+ RC
∏(s − P )
i =1 i
见 可 H(jω)的 性 零 点 位 有 。 特 与 极 的 置关
令分子中每一项 jω− z j = Nj e 分母中每一项
jψj
− ∏( jω p )
i =1 i
jω− P = Mi ejθi i
m
sin(ω 0 t )
⋅ H( s )
m
0 2 0
2
2 0
2
H(− jω) = H0 e− jϕ0 0
K − jω 0 = ( s + j ω 0 ) R ( s ) K
jω 0
=
K − jω 0 s + jω 0
+
K jω 0 s − jω 0
+
Kn K1 K2 + + ⋅⋅⋅+ s − p1 s − p2 s − pn
θ1
−
1
ψ1
O
1 RC
σ
0.5
π ϕ(ω) = −arctan CRω 2
0
2 1.5 1 0.5 0
π ω= 0 ϕ(ω) = 2 1 π ω= ϕ(ω) = RC 4 ω= ∞ ϕ(ω) = 0
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
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返回
例4-8-2
研究下图所示RC低通滤波网络 研究下图所示RC低通滤波网络 + 的频响特性。 的频响特性。 v1(t ) V2(jω) H(jω) = − V (jω) 1 解: 写出网络转移函数表达式 V2(s) 1 1 H(s) = = ⋅ 1 V (s) RC 1 s+ RC
∏(s − P )
i =1 i
见 可 H(jω)的 性 零 点 位 有 。 特 与 极 的 置关
令分子中每一项 jω− z j = Nj e 分母中每一项
jψj
− ∏( jω p )
i =1 i
jω− P = Mi ejθi i
信号、系统分析与控制 第9章 系统函数的零极点
2. 离散系统函数的零极点
M
离散系统函数的多项式形式为：
H (z)
B(z) A(z)
bj z j
j0
N
ai z i
b0 a0
b1z 1 ... bm z m a1z 1 ... an z n
（9.1.2）
将系统函数进行因式分解，可采用根的形式表示多项式，即 i0
M
H (z)
Y (z)
➢ 说明系统正弦稳态特性。
➢ 研究系统的稳定性。从系统函数的极点分布可以了解系统的固有频率，进而了解系统冲激响应的模式，也就 是说可以知道系统的冲激响应是指数型、衰减振荡型、等幅振荡型、还是几者的组合，从而可以了解系统的
响应特性及系统是否稳定。
1. 连续系统的零极点
系统函数一般以多项式形式出现，分子多项式和分母多项式都可以分解成线性因子的乘积，即连续系统函数：
➢ 可预测系统的时域特性。确定系统函数H(s)、H(z)。 ➢ 可以用函数 [r,p,k]=residuez（num,den）完成部分分式展开计算系统函数的留数、极点和增益； ➢ 可以用函数sos=zp2sos（z,p,k）完成将高阶系统分解为2阶系统的串联。
➢ 描述系统的频响特性。从系统的零、极点分布可以求得系统的频率响应特性，从而可以分析系统的正弦稳态 响应特性。 使用h=freqz(num,den,w)函数可求系统的频率响应。
2. 使用多项式的roots()函数分别求出多项式和的根，获得系统函数的极点、零点。
3. 用用zero(sys)和pole(sys)函数直接计算零极点，sys表示系统传递函数。用法如下：
z = zero(sys)：返回 LTI模型 sys的零点z 的列向量。
[z,gain] = zero(sys)：同时返回增益gain。
信号与线性系统分析-第7章
jω j2 -1 0 -j2
2
σ
根据初值定理，有
Ks h(0 ) lim sH ( s ) lim 2 K s s s 2 s 5
2s H ( s) 2 s 2s 5
第 3页
二、系统函数H(· )与系统的因果性
因果系统是指：系统的零状态响应yzs(.)不会出现于f(.)
第 13 页
§7.2
一、稳定系统的定义
系统的稳定性
一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应 也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output------ BIBO)稳定的系统，简称为稳 定系统。 即：若系统对所有的激励 |f(.)|≤Mf ，其零状态响应 |yzs(.)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。
③ H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其 所对应的响应函数都是递增的。 即当t→∞时，响应均趋于∞。系统稳定？
第 8页
复习：s域与z域的关系
z=esT
s
1 ln z 式中T为取样周期 T
如果将s表示为直角坐标形式 s = +j ，将z表示为 极坐标形式 z = ej = eT ， = T 由上式可看出： s平面的左半平面（<0)--->z平面的单 位圆内部（z=<1) s平面的右半平面（>0)--->z平面的单位圆外部（z=>1)
第 6页
系统稳定性问题？
系统的稳定性如何？
系统稳定：若系统对所有的激励 |f(.)|≤Mf ，其零状态 响应 |yzs(.)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。 （2）在虚轴上 (a)单极点p=0或p12=±jβ， 则响应为Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)→稳态分量 (b) r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+β2)r，其响应函数为
2
σ
根据初值定理，有
Ks h(0 ) lim sH ( s ) lim 2 K s s s 2 s 5
2s H ( s) 2 s 2s 5
第 3页
二、系统函数H(· )与系统的因果性
因果系统是指：系统的零状态响应yzs(.)不会出现于f(.)
第 13 页
§7.2
一、稳定系统的定义
系统的稳定性
一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应 也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output------ BIBO)稳定的系统，简称为稳 定系统。 即：若系统对所有的激励 |f(.)|≤Mf ，其零状态响应 |yzs(.)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。
③ H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其 所对应的响应函数都是递增的。 即当t→∞时，响应均趋于∞。系统稳定？
第 8页
复习：s域与z域的关系
z=esT
s
1 ln z 式中T为取样周期 T
如果将s表示为直角坐标形式 s = +j ，将z表示为 极坐标形式 z = ej = eT ， = T 由上式可看出： s平面的左半平面（<0)--->z平面的单 位圆内部（z=<1) s平面的右半平面（>0)--->z平面的单位圆外部（z=>1)
第 6页
系统稳定性问题？
系统的稳定性如何？
系统稳定：若系统对所有的激励 |f(.)|≤Mf ，其零状态 响应 |yzs(.)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。 （2）在虚轴上 (a)单极点p=0或p12=±jβ， 则响应为Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)→稳态分量 (b) r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+β2)r，其响应函数为
§4-6 系统函数与系统的频响特性
H (s)
k s1
(s 1)(s 2 )
H ( j)
k j1
( j 1)( j 2 )
系统函数的零极图如下：
《Signals & Systems》
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
⑴ 当Ω=0，零点矢量的模等于0，相角
等于π/2，幅频响应|H( jΩ)|=0；极点 矢量的相角均等于零， φ(Ω)= (π/2)。 1
如上两例RC电路，试根据其零极图，粗略的画出其频响曲线。
先看以电容电压为输出的情况。其零极 图如下：
R
ui (t)
C
uo (t)
⑴ 当Ω=0，极点矢量指向原点，其模长 为α，相角等于0；于是 |H( jΩ)|=α/α=1,φ(Ω)=0。
⑵ 当Ω↑，极点矢量模↑，相角↑； |H( jΩ)|↓,φ(Ω)=-arctg(Ω/α)↓。
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
§4-6 系统函数的零极点分布与系统的频率响应
一、H(s)与H(jΩ)
由前所讲，拉氏变换是傅氏变换由实频域Ω至复频域s的推广， 傅氏变换是拉氏变换在s平面虚轴上的特例。即
j
H ( j) H (s) |s j
二、H(s)的零极点分布与H(jΩ)
由于H(s)一般是有理分式，即它可表示为
s
C (s p1)(s p2)
上式中 1 ( 1 )2 4
p1,2 RC
RC 2
LC
1 ( 1 )2 1 2RC 2RC LC
《Signals & Systems》
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
令 1
2RC
1 LC
系统函数零极点分布决时域特性课件
总结词
零点位置影响系统瞬态响应的速度和幅 度，极点位置影响系统阻尼和振荡特性 。
VS
详细描述
零点位置影响系统输出的初始状态。如果 存在接近虚轴的零点，系统的输出会迅速 达到稳定值。极点位置影响系统的阻尼特 性和振荡频率，靠近虚轴的极点会导致系 统阻尼慢，振荡时间长。
零极点分布与系统稳态误差的关系
总结词
零点位置对系统稳态误差的影响
总结词
零点位置影响系统稳态误差，靠近虚轴的零点导致稳态误差 增大。
详细描述
系统函数的零点位置也会影响系统的稳态误差。如果零点靠 近虚轴，系统的稳态误差会增大。这是因为这些零点使得系 统的极点在复平面的右侧，导致系统的极点远离虚轴，从而 使得系统的稳态误差增大。
04
极点分布对时域特性的影响
极点位置远离虚轴
系统瞬态响应较慢，因为远离虚轴的 极点会导致系统具有较小的时间常数 ，从而减缓瞬态响应。
极点位置对系统稳态误差的影响
极点位置靠近虚轴
系统稳态误差较小，因为虚轴附近的极点会导致系统具有较大的增益，从而减 小稳态误差。
极点位置远离虚轴
系统稳态误差较大，因为远离虚轴的极点会导致系统具有较小的增益，从而增 大稳态误差。
零点位置对系统瞬态响应的影响
总结词
零点位置影响系统瞬态响应，靠近虚轴的零点导致瞬态响应速度变慢。
详细描述
系统函数的零点位置也会影响系统的瞬态响应特性。如果零点靠近虚轴，系统的瞬态响应速度 会变慢。这是因为这些零点使得系统的极点在复平面的右侧，导致系统的极点远离虚轴，从而 使得系统的动态响应速度变慢。
稳态误差
系统在输入信号的作用下，实际 输出与理想输出之间的偏差。
误差类型
包括静态误差和动态误差，静态误 差是指系统在稳态下的误差，动态 误差是指系统在过渡过程中产生的 误差。
第5章 系统函数与零、极点分析改
电子与信息工程学院
解 研究表明，该系统的微分方程为 即 从而得系统函数
由上式可得该系统的模拟框图，如图 (b)所示。
电子与信息工程学院
k b
电子与信息工程学院
§5.2 系统函数的零、极点
5.2.1零、极点的概念
零点： H(s)分子多项式N(s)=0的根，z1，z2， zm 极点： H(s)分母多项式D(s)=0的根，p1，p2， pn
H (s) I2 (s) 转移电流比 I1(s)
H (s) U2 (s) 转移阻抗 I1(s)
H (s) I2 (s) 转移导纳 U1(s)
双口传递函数 （转移函数）
电子与信息工程学院
H(s)的特性： H(s)是联系输入和响应的纽带和桥梁，是系
统频率特性H(j)的S域表示；
H(s)取决于系统的结构和元件参数，与系统 的起始状态、激励和相应无关；
锁相环是一个相位负反馈控制系统，应用很广。当 输入相位与输出相位的瞬时相位差恒定时，称为系 统锁定。
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例 锁相环及其阶跃响应：
三阶琐相环系统
电子与信息工程学院
该系统函数
显然
a1a2 > a0a3
故系统稳定，且阶跃响应
电子与信息工程学院
复习
一、系统函数的一般概念
即有如下关系：
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H(s)的特性： H(s)是联系输入和响应的纽带和桥梁，是系
统频率特性H(j)的S域表示；
H(s)取决于系统的结构和元件参数，与系统 的起始状态、激励和相应无关；
H(s)是一个实系数有理分式，它决定了系统 的特征根（固有频率）；
H(s)为系统冲激响应的拉氏变换。
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解 研究表明，该系统的微分方程为 即 从而得系统函数
由上式可得该系统的模拟框图，如图 (b)所示。
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k b
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§5.2 系统函数的零、极点
5.2.1零、极点的概念
零点： H(s)分子多项式N(s)=0的根，z1，z2， zm 极点： H(s)分母多项式D(s)=0的根，p1，p2， pn
H (s) I2 (s) 转移电流比 I1(s)
H (s) U2 (s) 转移阻抗 I1(s)
H (s) I2 (s) 转移导纳 U1(s)
双口传递函数 （转移函数）
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H(s)的特性： H(s)是联系输入和响应的纽带和桥梁，是系
统频率特性H(j)的S域表示；
H(s)取决于系统的结构和元件参数，与系统 的起始状态、激励和相应无关；
锁相环是一个相位负反馈控制系统，应用很广。当 输入相位与输出相位的瞬时相位差恒定时，称为系 统锁定。
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例 锁相环及其阶跃响应：
三阶琐相环系统
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该系统函数
显然
a1a2 > a0a3
故系统稳定，且阶跃响应
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复习
一、系统函数的一般概念
即有如下关系：
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H(s)的特性： H(s)是联系输入和响应的纽带和桥梁，是系
统频率特性H(j)的S域表示；
H(s)取决于系统的结构和元件参数，与系统 的起始状态、激励和相应无关；
H(s)是一个实系数有理分式，它决定了系统 的特征根（固有频率）；
H(s)为系统冲激响应的拉氏变换。
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零极点分析ppt课件
5.1.1 系统函数的定义
设系统的 n 阶微分方程为：
an y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y(1) (t) a0 y(t) bm x(m) (t) bm1x(m1) (t) b1x(1) (t) b0 x(t) 若 y(k) (0 ) 0, x(k ) (0 ) 0
i1 k 1
29
自由响应
强迫响应
例5-4：电路如图所示，输入信号x(t)=5cos2t u(t),求输出电压
y(t),并指出y(t)中的自由响应和强迫响应分量。
R=1Ω +
x(t)
C=1F
1
+ H (s) Y (s) sC 1
y(t)
X (s) R 1 s 1 sC
-
-
X
(s)
5s s2
1
s 1 s 2 s2 3s 2
例： 图示电路，开关S在t = 0时刻闭合，以v2(t)作为响应，
输入信号 x(t) Eetu(t),
S
x(t )
R1
C R2 v2 (t)
（1）求冲激响应h(t)；
(2）求输出电压v2(t)；
1
解:
（1） H (s) V2 (s) 1/ R2 sC K
arctan L
sin(t
)
R
+
H (s) VR (s) R X (s) R sL
x(t)
vR(t)
R 1
L sR
-
L
--------- 转移电压比（电压传输函数6 ）
5.1.2 系统函数H(s)与冲激响应h(t)的关系
Yzs (s) H (s) X (s)
当 x(t) (t) 时， yzs (t) h(t) 而 X (s) [ (t)] 1
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指数增长
H (s)
ω , 2 2 s ω
p1,2 j ω 在虚轴上
等幅振荡
h(t ) sin ωtu (t )
ω H ( s) ( s α ) 2 ω2
当α 当
p1 α j ω p2 α j 共轭根
0 ，极点在左半平面，衰减振荡 h(t ) e t sin ωtu(t ) α 0 ，极点在右半平面，增幅振荡 h(t ) e t sin ωtu(t )
信号与系统
5.7.1 系统函数零极点定义
H ( s) 0 的 s
值。
系统函数零点：使
系统函数极点：使 H ( s ) 的 s 值。 对系统函数分子分母多项式进行因式分解得
H ( s)
K ( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
0 ，响应为增长形式，
决定了振荡的快慢， 离实轴越远，
振荡越快，称为振荡频率。若 0 ，响应不振荡。
信号与系统
系统零极点与系统时域响应的关系
2、零点的影响 系统零点分布只影响系统时域响应的幅度和相位，对时域响应模式没有 影响。比如已知系统函数及相应响应
H1 (s)
s 1 (s 1) 2 32
H 2 ( s)
s4 (s 1) 2 32
h1 (t ) L1[ H1 ( s)] et cos(3t )u(t )
h2 (t ) L1[ H 2 ( s)] e t cos(3t )u (t ) e t sin(3t )u (t ) et [cos(3t ) sin(3t )]u (t ) e t 2 sin(3t 45o )u (t )
相频特性为
所以幅频特性为
H ( ) K
Nr M
k 1 r 1 n k
m
H ( ) H ( sm ) s j K n
r 1
( j z )
r 1 n r
m
( ) r r ( j pk )
k 1 k 1
H ( ) H ( s) s j K
( j zr ) ( j pk )
两系统函数仅是零点不同，它们对应的冲激响应仅是响应幅度和相位不同， 响应波形的模式均为衰减振荡模式
信号与系统 二、系统函数的极点、零点与系统频率特性的关系
5.7.3 系统零极点与系统频率响应的关系
频率特性 频率特性指系统在正弦信号激励下稳态响应随信号频率的变化情况。
实际上就是系统的傅里叶变换
主要是指幅频特性和相频特性。
K
(s z ) (s pk )
k 1 j 1 n j
m
z1 , z2 , , z m 是系统零点
p1 , p2 , , pn 是系统极点
j
在复平面上，零点用“o”表示， 极点用“×”表示，标出系统的 零极点的位置，称为系统的 零极点图
0
信号与系统
5.7.2 系统零极点与冲激响应模式的关系
信号与系统
5.7.2 系统零极点与冲激响应模式的关系
1 H (s) 2 s
1、极点的影响 极点在原点
h(t ) tu (t ), t , h(t )
重 极 点
1 极点在实轴上 H (s) 2 ( s a) h(t ) t et u(t )，α 0，t ，h(t ) 0
2ωs H ( s) 2 ( s ω2 ) 2
在虚轴上
h(t ) t sin ωtu (t )，t ，h(t ) 增幅振荡
信号与系统
5.7.2 系统零极点与冲激响应模式的关系
j
几种典型情况
jω0
α
O
α
jω0
信号与系统
5.7.2 系统零极点与冲激响应模式的关系
总体来说，系统函数 H ( s) 极点 p j 对时域响应特性关系如下 （1）极点的实部 决定了时域响应指数衰减或增长的快慢， 离虚轴越远，指数衰减或增长越快，所以称为衰减因子， 若 0 ，响应为衰减形式，若 若 0 ，响应振幅为常数。 （2）极点的虚部
r 1 k 1
m
令 有
j zr N r e jr
m
j pk M k e jk
j r N e r j k M e k k 1 r 1 n m
H ( ) K
( j zr ) ( j pk )
k 1 r 1 n
KLeabharlann 号与系统五．零极点与系统频率响应的关系
在系统是稳定的前提下，系统频率响应和系统函数的关系为
H ( ) H ( s ) s j
用零极点形式表示为
H ( ) H ( s ) s j K
( j z ) ( j p
k 1 r 1 n r k
m
)
信号与系统
则系统的幅频特性为 H ( ) K
信号与系统
系统函数的应用
求系统的零状态响应： 方法一： 方法二：
H (s) h(t ) y(t ) x(t ) h(t ) Y (s) H (s) X (s) y(t )
L
即 x (t )
X (s)
H (s)
H (s) X (s)
L -1
yZS (t )
信号与系统
§5.7系统函数的零极点分析
1 H ( s) , s
1 H (s) , sa
1、极点的影响
p1 0 在原点
p1 a
at at
h(t ) L1[ H (s)] u(t )
单 极 点
a0 a0
在左实轴上， h(t ) e 在右实轴上，h(t ) e
u (t ) ，指数衰减 u (t )， a 0
( j z ) 5.7.3 系统零极点与系统频率响应的关系 H ( ) H ( s ) K ( j p ) j z
s j r 1 n r
m
m
k 1
k
k 1
r 1 n
r
j pk
n
系统的相频特性为
( ) arg j z r arg j pk
H (s)
ω , 2 2 s ω
p1,2 j ω 在虚轴上
等幅振荡
h(t ) sin ωtu (t )
ω H ( s) ( s α ) 2 ω2
当α 当
p1 α j ω p2 α j 共轭根
0 ，极点在左半平面，衰减振荡 h(t ) e t sin ωtu(t ) α 0 ，极点在右半平面，增幅振荡 h(t ) e t sin ωtu(t )
信号与系统
5.7.1 系统函数零极点定义
H ( s) 0 的 s
值。
系统函数零点：使
系统函数极点：使 H ( s ) 的 s 值。 对系统函数分子分母多项式进行因式分解得
H ( s)
K ( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
0 ，响应为增长形式，
决定了振荡的快慢， 离实轴越远，
振荡越快，称为振荡频率。若 0 ，响应不振荡。
信号与系统
系统零极点与系统时域响应的关系
2、零点的影响 系统零点分布只影响系统时域响应的幅度和相位，对时域响应模式没有 影响。比如已知系统函数及相应响应
H1 (s)
s 1 (s 1) 2 32
H 2 ( s)
s4 (s 1) 2 32
h1 (t ) L1[ H1 ( s)] et cos(3t )u(t )
h2 (t ) L1[ H 2 ( s)] e t cos(3t )u (t ) e t sin(3t )u (t ) et [cos(3t ) sin(3t )]u (t ) e t 2 sin(3t 45o )u (t )
相频特性为
所以幅频特性为
H ( ) K
Nr M
k 1 r 1 n k
m
H ( ) H ( sm ) s j K n
r 1
( j z )
r 1 n r
m
( ) r r ( j pk )
k 1 k 1
H ( ) H ( s) s j K
( j zr ) ( j pk )
两系统函数仅是零点不同，它们对应的冲激响应仅是响应幅度和相位不同， 响应波形的模式均为衰减振荡模式
信号与系统 二、系统函数的极点、零点与系统频率特性的关系
5.7.3 系统零极点与系统频率响应的关系
频率特性 频率特性指系统在正弦信号激励下稳态响应随信号频率的变化情况。
实际上就是系统的傅里叶变换
主要是指幅频特性和相频特性。
K
(s z ) (s pk )
k 1 j 1 n j
m
z1 , z2 , , z m 是系统零点
p1 , p2 , , pn 是系统极点
j
在复平面上，零点用“o”表示， 极点用“×”表示，标出系统的 零极点的位置，称为系统的 零极点图
0
信号与系统
5.7.2 系统零极点与冲激响应模式的关系
信号与系统
5.7.2 系统零极点与冲激响应模式的关系
1 H (s) 2 s
1、极点的影响 极点在原点
h(t ) tu (t ), t , h(t )
重 极 点
1 极点在实轴上 H (s) 2 ( s a) h(t ) t et u(t )，α 0，t ，h(t ) 0
2ωs H ( s) 2 ( s ω2 ) 2
在虚轴上
h(t ) t sin ωtu (t )，t ，h(t ) 增幅振荡
信号与系统
5.7.2 系统零极点与冲激响应模式的关系
j
几种典型情况
jω0
α
O
α
jω0
信号与系统
5.7.2 系统零极点与冲激响应模式的关系
总体来说，系统函数 H ( s) 极点 p j 对时域响应特性关系如下 （1）极点的实部 决定了时域响应指数衰减或增长的快慢， 离虚轴越远，指数衰减或增长越快，所以称为衰减因子， 若 0 ，响应为衰减形式，若 若 0 ，响应振幅为常数。 （2）极点的虚部
r 1 k 1
m
令 有
j zr N r e jr
m
j pk M k e jk
j r N e r j k M e k k 1 r 1 n m
H ( ) K
( j zr ) ( j pk )
k 1 r 1 n
KLeabharlann 号与系统五．零极点与系统频率响应的关系
在系统是稳定的前提下，系统频率响应和系统函数的关系为
H ( ) H ( s ) s j
用零极点形式表示为
H ( ) H ( s ) s j K
( j z ) ( j p
k 1 r 1 n r k
m
)
信号与系统
则系统的幅频特性为 H ( ) K
信号与系统
系统函数的应用
求系统的零状态响应： 方法一： 方法二：
H (s) h(t ) y(t ) x(t ) h(t ) Y (s) H (s) X (s) y(t )
L
即 x (t )
X (s)
H (s)
H (s) X (s)
L -1
yZS (t )
信号与系统
§5.7系统函数的零极点分析
1 H ( s) , s
1 H (s) , sa
1、极点的影响
p1 0 在原点
p1 a
at at
h(t ) L1[ H (s)] u(t )
单 极 点
a0 a0
在左实轴上， h(t ) e 在右实轴上，h(t ) e
u (t ) ，指数衰减 u (t )， a 0
( j z ) 5.7.3 系统零极点与系统频率响应的关系 H ( ) H ( s ) K ( j p ) j z
s j r 1 n r
m
m
k 1
k
k 1
r 1 n
r
j pk
n
系统的相频特性为
( ) arg j z r arg j pk