初中数学沪科版 平行四边形汇编考试卷考点.doc
沪科版数学八年级下册 平行四边形 中考题汇编
沪科版数学八年级平行四边形中考题汇编一、选择题1. (2019·河池)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是()第1题第3题A. ∠B＝∠FB. ∠B＝∠BCFC. AC＝CFD. AD＝CF2. (2019·泸州)四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O.下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是()A. AD∥BCB. OA＝OC，OB＝ODC. AD∥BC，AB＝DCD. AC⊥BD3. (2019·威海)如图，E是▱ABCD边AD延长线上的一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F.添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是()A. ∠ABD＝∠DCEB. DF＝CFC. ∠AEB＝∠BCDD. ∠AEC＝∠CBD第4题第5题4. (2019·柳州)如图，在▱ABCD中，全等三角形的对数为()A. 2B. 3C. 4D. 55. (2019·遂宁)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE.若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为()A. 28B. 24C. 21D. 14二、填空题6. (2019·湘潭)如图，在四边形ABCD中，若AB＝CD，则添加一个条件________，能得到四边形ABCD是平行四边形(不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可)．第6题第7题第8题7. (2019·梧州)如图，在▱ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF的度数为________°.8. (2019·武汉)如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的度数为________．9. (2019·福建)在平面直角坐标系xOy中，▱OABC的三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(4，2)，则其第四个顶点的坐标为________．10. (2019·云南)在▱ABCD中，∠A＝30°，AD＝43，BD＝4，则▱ABCD的面积为________．三、解答题11. (2019·吉林)如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以点C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE，DF.求证：△ABE≌△CDF.第11题12.(2019·淮安)如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．求证：BE＝DF.第12题13.(2019·广安)如图，E是▱ABCD的边CD的中点，AE，BC的延长线交于点F，CF＝3，CE ＝2，求▱ABCD的周长．第13题14.(2019·荆门)如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝213.(1) 求▱ABCD的面积；(2) 求证：BD⊥BC.第14题15.(2019·郴州)如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF.求证：四边形ACDF是平行四边形．第15题16.(2019·遂宁)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，F是CD的中点．求证：(1) △ADF≌△ECF；(2) 四边形ABCD是平行四边形．第16题17.(2019·柳州)平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.求证：四边形ABCD是平行四边形．第17题18. (2019·安徽)如图，点E在▱ABCD的内部，AF∥BE，DF∥CE.(1) 求证：△BCE≌△ADF；(2) 设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求ST的值．第18题19.(2019·重庆)在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E.(1) 如图①，若∠D＝30°，AB＝6，求△ABE的面积．(2) 如图②，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB＝AF.求证：ED－AG＝FC.第19题20.(2019·重庆)如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，连接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD 于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，P是AD上一点，连接CP.(1) 若DP＝2AP＝4，CP＝17，CD＝5，求△ACD的面积；(2) 若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD＝2CM＋2CE.第20题参考答案一、 1. B 2. B 3. C 4. C 5. D 二、 6. 答案不唯一，如AD ＝BC 7. 61 8. 21° 9. (1，2) 10. 163 三、 11. 由题意，得AE ＝CF.∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ＝DC ，∠A ＝∠C.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CF ，∠A ＝∠C ，AB ＝CD ，∴ △ABE ≌△CDF12. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥BC ，AD ＝BC.∵ E ，F 分别是AD ，BC 的中点，∴ DE ＝12AD ，BF ＝12BC.∴ DE ＝BF.∴ 四边形BFDE 是平行四边形．∴ BE ＝DF13. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥BC.∴ ∠DAE ＝∠F ，∠D ＝∠ECF.又∵E 是CD 的中点，∴ ED ＝EC.∴ △ADE ≌△FCE.∴ AD ＝FC ＝3，DE ＝CE ＝2.∴ DC ＝4.∴ ▱ABCD 的周长为2(AD ＋DC)＝1414. (1) 如图，过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E.设BE ＝x ，CE ＝h.在Rt △CEB 中，BE 2＋CE 2＝BC 2，即x 2＋h 2＝32①；在Rt △CEA 中，AE 2＋CE 2＝AC 2，即(5＋x)2＋h 2＝(213)2②.联立①②，解得x ＝95，h ＝125.∴ ▱ABCD 的面积＝AB·h ＝12 (2) 如图，过点D作DF ⊥AB ，垂足为F.∴ ∠DFA ＝∠CEB ＝90°.∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ＝BC ，AD ∥BC.∴ ∠DAF ＝∠CBE.∴ △ADF ≌△BCE.∴ AF ＝BE ＝95，DF ＝CE ＝125.∴ BF ＝AB －AF ＝5－95＝165.在Rt △DFB 中，BD 2＝DF 2＋BF 2＝⎝⎛⎭⎫1252＋⎝⎛⎭⎫1652＝16.∵ BC ＝3，DC ＝5，∴CD 2＝BD 2＋BC 2.∴ △CBD 是直角三角形，且∠DBC ＝90°.∴ BD ⊥BC第14题15. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥CD.∴ ∠FAE ＝∠CDE.∵ E 是AD 的中点，∴ AE ＝DE.又∵ ∠FEA ＝∠CED ，∴ △FAE ≌△CDE.∴ FA ＝CD.又∵ AF ∥CD ，∴ 四边形ACDF 是平行四边形16. (1) ∵ AD ∥BC ，∴ ∠DAF ＝∠E.∵ F 是CD 的中点，∴ DF ＝CF.在△ADF 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAF ＝∠E ，∠AFD ＝∠EFC ，DF ＝CF ，∴ △ADF ≌△ECF (2) ∵ △ADF ≌△ECF ，∴ AD ＝EC.∵ CE＝BC ，∴ AD ＝BC.∵ AD ∥BC ，∴ 四边形ABCD 是平行四边形17. 如图，连接AC.在△ABC 和△CDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，CB ＝AD ，AC ＝CA ，∴ △ABC ≌△CDA.∴ ∠BAC＝∠DCA ，∠ACB ＝∠CAD.∴ AB ∥CD ，BC ∥AD.∴ 四边形ABCD 是平行四边形第17题18. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ＝BC ，AD ∥BC.∴ ∠ABC ＋∠BAD ＝180°，即∠CBE ＋∠ABE ＋∠BAD ＝180°.∵ AF ∥BE ，∴ ∠ABE ＋∠BAF ＝180°，即∠ABE ＋∠BAD ＋∠DAF ＝180°.∴ ∠CBE ＝∠DAF.同理可得∠BCE ＝∠ADF.在△BCE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CBE ＝∠DAF ，BC ＝AD ，∠BCE ＝∠ADF ，∴ △BCE ≌△ADF (2) ∵ 点E 在▱ABCD 的内部，∴ S △BCE ＋S △AED ＝12S ▱ABCD .由(1)知，△BCE ≌△ADF ，∴ S △BCE ＝S △ADF .∴ S四边形AEDF ＝S △ADF ＋S △AED ＝S △BCE ＋S △AED ＝12S ▱ABCD .∵ ▱ABCD 的面积为S ，四边形AEDF 的面积为T ，∴ S T ＝S 12S ＝219. (1) 如图①，过点B 作BO ⊥AD ，交DA 的延长线于点O.∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠ABC ＝∠D ＝30°.∴ ∠AEB ＝∠CBE ，∠BAO ＝∠D ＝30°.∴ BO ＝12AB ＝62.∵ BE 平分∠ABC ，∴ ∠ABE ＝∠CBE.∴ ∠ABE ＝∠AEB.∴AE ＝AB ＝ 6.∴ △ABE 的面积＝12AE·BO ＝12×6×62＝32 (2) 如图②，过点A 作AQ ⊥BE交DF 的延长线于点P ，垂足为Q ，连接PB ，PE.∵ AB ＝AE ，AQ ⊥BE ，∴ ∠ABE ＝∠AEB ，BQ ＝EQ.∴ PB ＝PE.∴ ∠PBE ＝∠PEB.∴ ∠ABP ＝∠AEP.∵ AB ∥CD ，AF ⊥CD ，∴ AF ⊥AB.∴ ∠BAG ＝∠AFP ＝90°.∴ ∠BAP ＋∠FAP ＝90°.∵ AQ ⊥BE ，∴ ∠ABG ＋∠BAP ＝90°.∴ ∠ABG ＝∠FAP.在△ABG 和△FAP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABG ＝∠FAP ，AB ＝FA ，∠BAG ＝∠AFP ，∴ △ABG ≌△FAP.∴ AG＝FP.∵ AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴ ∠ABP ＋∠BPC ＝180°，∠BCP ＝∠D.∵ ∠AEP ＋∠PED ＝180°，∴ ∠BPC ＝∠PED.在△BPC 和△PED 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BCP ＝∠D ，∠BPC ＝∠PED ，PB ＝EP ，∴ △BPC ≌△PED.∴ PC＝ED.∴ ED －AG ＝PC －FP ＝FC① ②第19题20. (1) 如图，过点C 作CG ⊥AD 于点G.设PG ＝x ，则DG ＝4－x.在Rt △PGC 中，CG 2＝CP 2－PG 2＝17－x 2；在Rt △DGC 中，CG 2＝CD 2－DG 2＝52－(4－x)2＝9＋8x －x 2，∴ 17－x 2＝9＋8x －x 2，解得x ＝1.∴ PG ＝1.∴ CG ＝4.∵ DP ＝2AP ＝4，∴ AP ＝2.∴ AD ＝6.∴ S △ACD ＝12AD·CG ＝12×6×4＝12(2) 如图，连接NE.∵ BH ⊥AE ，AF ⊥BC ，AE ⊥EM ，∴ ∠BHE ＝∠AFB ＝∠AFE ＝∠AEM ＝90°.∴ ∠AEB ＋∠NBF ＝∠AEB ＋∠EAF ＝∠AEB ＋∠MEC ＝90°.∴ ∠NBF ＝∠EAF ＝∠MEC.在△NBF 和△EAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠NBF ＝∠EAF ，∠BFN ＝∠AFE ，BN ＝AE ，∴ △NBF ≌△EAF.∴ BF ＝AF ，NF ＝EF.∴ ∠ABC ＝45°，∠ENF ＝45°.又∵ AN ＝CE ，∴ FC ＝AF ＝BF.∴ BC ＝2AF.∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥CD ，AD ＝BC ＝2AF.∴ 易得∠BCD ＝∠ANE ＝135°.在△ANE 和△ECM 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAN ＝∠MEC ，AN ＝EC ，∠ANE ＝∠ECM ，∴ △ANE ≌△ECM.∴ NE ＝CM.又∵ 易知NF ＝22NE ＝22CM ，∴ AF ＝NF ＋AN ＝22CM ＋CE.∴ AD ＝2CM ＋2CE 第20题。
沪科版九年级数学中考：4.6 特殊的平行四边形专题 习题(含答案)
4.6 特殊的平行四边形一、历年安徽中考：1.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S△PAB =31S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为（）A.29B.34C.52D.412.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E在AB上，点F在CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A.25B.35C.5D.63.矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC。
若△APD是等腰三角形，则PE的长为。
4.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10.点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C 恰好落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABC =23S△FGH；④AG+DF=FG。
其中正确的是。
（把所有正确结论的序号都选上）二、历年全国中考：1.如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为43且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A.1B.3C.2D.232.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB。
添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A.AB=BEB.BE⊥DCC.∠ADB=90°D.CE⊥DE3.如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为。
4.如图，矩形ABCD中，对角线AC=23，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B’处，则AB= 。
5.如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC，BC上的点，且四边形PEFD为矩形。
2021年沪科版八年级数学下平行四边形精选最新试题含答案解析
2021年沪科版平行四边形精选最新好题一．选择题（共10小题）1．（2021春•娄星区校级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，CE 平分∠BCD 交AD 于点E ，若AE ＝2，平行四边形ABCD 的周长等于24，则线段AB 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82．（2021•江都区二模）如图，在平行四边形ABCD 中，∠C ＝120°，AD ＝4，AB ＝2，点H 、G 分别是边CD 、BC 上的动点．连接AH 、HG ，点E 为AH 的中点，点F 为GH 的中点，连接EF ．则EF 的最大值与最小值的差为（ ）A ．1B ．√3−1C ．√32D ．2−√33．（2021春•肥东县期末）如图，P 是面积为S 的▱ABCD 内任意一点，△P AD 的面积为S 1，△PBC 的面积为S 2，下列结论正确的是（ ）A ．S 1+S 2＞S 2B ．S 1+S 2=S 2C ．S 1+S 2＜S 2D ．S 1+S 2的大小随着P 点位置的变化而变化4．（2021春•蜀山区期末）如图，△ABC 中，∠B ＞∠C ，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，点F 是边BC 上的动点，连接DE 、DF 、EF ，则下列四个判断中不一定正确的是（ ）A．若点F是BC的中点，则EF＝DBB．若EF＝DB，则点F是BC的中点C．若点F是BC的中点，则EC＝DFD．若EC＝DF，则点F是BC的中点5．（2021•瑶海区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，DF∥CE交BE于点F．若AC＝8，BC＝12，则DF的长为（）A．2B．4C．3D．2.5 6．（2021•安徽模拟）如图，线段AB＝6，点C为线段AB外一动点，∠ACB＝45°，连接BC，M，N分别为AB，BC的中点，则线段MN的最大值为（）A．3B．4C．3√2D．3+√2 7．（2021•安徽二模）如图．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（）A ．1B ．√32C ．√52D ．53 8．（2021春•罗湖区校级期末）如图，已知平行四边形ABCD 的两条对角线交于平面直角坐标系的原点，点A 的坐标为（﹣3，4），则点C 的坐标为（ ）A ．（﹣3，﹣4）B ．（﹣3，4）C ．（﹣4，3）D ．（3，﹣4）9．（2021春•巢湖市期末）如图，在▱ABCD 中，∠D ＝80°，N 是AD 上一点，且AB ＝AN ，则∠ANB 的度数是（ ）A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°10．（2021春•颍州区期末）如图，矩形ABCD 的面积为20cm 2，对角线交于点O ；以AB 、AO 为邻边作平行四边形AOC 1B ，对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为邻边作平行四边形AO 1C 2B ，对角线交于点O 2，…，以此类推，则平行四边形AO n C n +1B 的面积为（ ）cm 2．A ．52n−2B ．52n−1C ．52n D ．52n+1二．填空题（共17小题）11．（2021春•合肥期末）如图1，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝15．今沿两对角线将四边形ABCD剪成甲、乙．丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD、CB 重合）形成一个对称图形戊，如图2所示．则图形戊的两条对角线长度之和为．12．（2021•罗湖区校级模拟）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC 的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为．13．（2021春•无为市期末）如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，则线段DE的长为．14．（2021春•马鞍山期末）已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24cm，BD＝38cm，AD＝14cm，则△OBC的周长为cm．15．（2021春•宣城期末）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10cm，MN＝3cm，则AC的长为cm16．（2021•安徽模拟）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD边中点，AD＝2，AE＝2√3，∠DAE ＝45°，AF ⊥AE 交CB 延长线于F ．（1）AE AF = ；（2）当四边形ABCD 为平行四边形时，BF ＝ ．17．（2021•安徽模拟）如图，△ABC 是是以BC 为底边的等腰三角形，点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点．若等腰△ABC 的腰长为10cm ，底边长为8cm ，则：（1）四边形ADEF 的形状是 ；（2）四边形ADEF 的边长是 cm ．18．（2021春•颍州区期末）如图，在平行四边形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CF ⊥BE ，连接AE ，O 为AB 的中点，连接OF ，若AE ＝4，则OF ＝ ．19．（2021春•东至县期末）如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，∠B ＝60°，E 是BC 的中点，EF ⊥AB 于点F ，则△DEF 的面积为 平方单位．20．（2021春•蚌埠月考）如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝20，BD ＝12，E，F分别是线段OD，OA的中点，则EF的长为．21．（2021春•金寨县期末）如图，点A（0，4），点B（3，0），连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，在射线MN上有一动点P，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是．22．（2020春•镜湖区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝OB，点E、点F分别是OA、OD的中点，连接EF，∠CEF＝45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN=√5，则线段BC的长为．23．（2021春•阜南县期末）如图，P是▱ABCD内的任意一点，连接P A、PB、PC、PD，得到△P AB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1+S3＝S2+S4，②若S3＝2S1，则S2＝2S4，③若S1+S3＝5，则ABCD的面积为10；④S1+S2＝S3+S4．其中正确的结论的序号是（把所有正确结论的序号都填在横线上）．24．（2021春•岳西县期末）在▱ABCD中，已知AB＝15，AC＝13，BC边上的高等于12，则▱ABCD的周长是．25．（2021•江阴市模拟）如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD，若∠B＝52°，则∠AEC的度数为．26．（2021春•淮北期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC 的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t 的值为．27．（2021春•埇桥区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，BC＝8，点D在线段BC上一动点，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，则DE的最小值是．三．解答题（共10小题）28．（2021春•巢湖市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，a），B（b，a），且a，b满足（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，现同时将点A，B分别向下平移4个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC；（2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD，使S△MCD=13S平行四边形ABDC？若存在这样的点，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由．29．（2021•高青县一模）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠C＝∠D．（1）求证：四边形BCED是平行四边形；（2）已知DE＝3，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．30．（2021•马鞍山模拟）如图，已知△ABC与△ADE是等腰三角形，并且△ABC≌△ADE，连接CE、BD交于点F．（1）求证：BD＝CE；（2）当四边形ABFE是平行四边形时，且AB＝2，∠BAC＝30°，求CF的长．31．（2021春•雨山区校级月考）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F，▱ABCD周长为20，DE＝4，DF＝6，求▱ABCD的面积．32．（2021•淮南一模）如图，在▱ABCD中，点P在对角线AC上一动点，过点P作PM∥DC，且PM＝DC，连接BM，CM，BP，PD．（1）求证：△ADP≌△BCM；（2）若P A=12PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求ST的值．33．（2021春•阜南县期末）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，连接EB并延长至F，使BF＝BE；连接EC并延长至G，使CG＝CE，连接FG，点H为FG的中点，连接DH，AF．（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；（2）求证：四边形AFHD为平行四边形．34．（2021春•安徽期末）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC交线段AB 于点E．EF∥AC交线段BC于点F．猜想BE与CF之间的数量关系，并说明理由．35．（2021春•庐江县期中）如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．（1）求证：△BCE≌△ADF；（2）设▱ABCD的面积为6，求四边形AEDF面积．36．（2021春•合肥期末）如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）如果∠OBC＝45°，∠OCB＝30°，OB=√2，求BC的长．37．（2021•寻乌县模拟）如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE 平分∠BAC，CE⊥AE，点F在AB上，且BF＝DE．（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．2021年沪科版平行四边形精选好题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2021春•娄星区校级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，CE 平分∠BCD 交AD 于点E ，若AE ＝2，平行四边形ABCD 的周长等于24，则线段AB 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8解：在▱ABCD 中，CE 平分∠BCD 交AD 于点E ，∴∠DEC ＝∠ECB ，∠DCE ＝∠BCE ，AB ＝DC ，AD ＝BC ，∴∠DEC ＝∠DCE ，∴DE ＝DC ＝AB ，∵四边形ABCD 的周长等于24，AE ＝2，∴AB +AD ＝12，∴AB +AE +DE ＝12，∴AB ＝5．故选：A ．2．（2021•江都区二模）如图，在平行四边形ABCD 中，∠C ＝120°，AD ＝4，AB ＝2，点H 、G 分别是边CD 、BC 上的动点．连接AH 、HG ，点E 为AH 的中点，点F 为GH 的中点，连接EF ．则EF 的最大值与最小值的差为（ ）A ．1B ．√3−1C ．√32D ．2−√3解：如图，取AD 的中点M ，连接CM 、AG 、AC ，作AN ⊥BC 于N ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD ＝120°，∴∠D ＝180°﹣∠BCD ＝60°，AB ＝CD ＝2，∵AM ＝DM ＝DC ＝2，∴△CDM 是等边三角形，∴∠DMC ＝∠MCD ＝60°，CM ＝DM ＝AM ，∴∠MAC ＝∠MCA ＝30°，∴∠ACD ＝90°，∴AC ＝2√3，在Rt △ACN 中，∵AC ＝2√3，∠ACN ＝∠DAC ＝30°，∴AN =12AC =√3，∵AE ＝EH ，GF ＝FH ，∴EF =12AG ，易知AG 的最大值为AC 的长，最小值为AN 的长，∴AG 的最大值为2√3，最小值为√3，∴EF 的最大值为√3，最小值为√32， ∴EF 的最大值与最小值的差为√32． 故选：C ．3．（2021春•肥东县期末）如图，P 是面积为S 的▱ABCD 内任意一点，△P AD 的面积为S 1，△PBC 的面积为S 2，下列结论正确的是（ ）A ．S 1+S 2＞S 2B ．S 1+S 2=S 2C ．S 1+S 2＜S 2D ．S 1+S 2的大小随着P 点位置的变化而变化解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴S＝BC•EF，S1=AD⋅PE2，S2=BC⋅PF2，∵EF＝PE+PF，AD＝BC，∴S1+S2=S 2，故选：B．4．（2021春•蜀山区期末）如图，△ABC中，∠B＞∠C，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是边BC上的动点，连接DE、DF、EF，则下列四个判断中不一定正确的是（）A．若点F是BC的中点，则EF＝DBB．若EF＝DB，则点F是BC的中点C．若点F是BC的中点，则EC＝DFD．若EC＝DF，则点F是BC的中点解：A、∵点D，F，E分别是边AB，BC，AC的中点，∴EF=12AB，DB=12AB，∴EF＝DB，本选项说法正确，不符合题意；B、如右图，EF＝DB，但点F不是BC的中点，本选项说法错误，符合题意；C、∵点D，F，E分别是边AB，BC，AC的中点，∴DF=12AC，EC=12AC，∴EC＝DF，本选项说法正确，不符合题意；D、∵DF＝EC＝AE，∴DF=12AC，∵D是AB的中点，∴F是BC的中点，本选项说法正确，不符合题意；故选：B．5．（2021•瑶海区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，DF∥CE交BE于点F．若AC＝8，BC＝12，则DF的长为（）A．2B．4C．3D．2.5解：∵AD为中线，BC＝12，∴CD=12BC=12×12＝6，在Rt△ACD中，AD=√AC2+CD2=√82+62=10，∵∠ACB＝90°，E为AD的中点，∴CE=12AD＝5，∵DF∥CE，D为BC的中点，∴DF=12CE＝2.5，故选：D．6．（2021•安徽模拟）如图，线段AB＝6，点C为线段AB外一动点，∠ACB＝45°，连接BC，M，N分别为AB，BC的中点，则线段MN的最大值为（）A．3B．4C．3√2D．3+√2解：作△ABC的外接圆O，∵点M，N分别是AB，BC的中点，∴MN=12AC，∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC是直径时，最大，∵∠ACB＝∠D＝45°，AB＝6，∴AD＝6√2，∴MN=12AD＝3√2，故线段MN的最大值为3√2，故选：C．7．（2021•安徽二模）如图．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（）A ．1B ．√32C ．√52D ．53 解：延长BC 至M ，使CM ＝CA ，连接AM ，作CN ⊥AM 于N ，∵DE 平分△ABC 的周长，∴ME ＝EB ，又AD ＝DB ，∴DE =12AM ，DE ∥AM ，∵∠ACB ＝60°，∴∠ACM ＝120°，∵CM ＝CA ，∴∠ACN ＝60°，AN ＝MN ，∴AN ＝AC •sin ∠ACN =√32，∴AM =√3，∵BD ＝DA ，BE ＝EM ，∴DE =√32，故选：B ．8．（2021春•罗湖区校级期末）如图，已知平行四边形ABCD 的两条对角线交于平面直角坐标系的原点，点A 的坐标为（﹣3，4），则点C 的坐标为（ ）A ．（﹣3，﹣4）B ．（﹣3，4）C ．（﹣4，3）D ．（3，﹣4）解：∵四边形ABCD为平行四边形∴OA＝OC，且点A与点C关于原点成中心对称∵点A的坐标为（﹣3，4），∴点C的坐标为（3，﹣4）故选：D．9．（2021春•巢湖市期末）如图，在▱ABCD中，∠D＝80°，N是AD上一点，且AB＝AN，则∠ANB的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠A+∠D＝180°，∵∠D＝80°，∴∠A＝100°，∵AB＝AN，∴∠ANB＝∠ABN=12（180°﹣100°）＝40°，故选：C．10．（2021春•颍州区期末）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1，以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B，对角线交于点O2，…，以此类推，则平行四边形AO n C n+1B的面积为（）cm2．A．52n−2B．52n−1C．52nD．52n+1解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BO＝DO，DC∥AB，DC＝AB，∴S△ADC＝S△ABC=12S矩形ABCD=12×20＝10，∴S△AOB＝S△BCO=12S△ABC=12×10＝5，∴S△ABO1=12S△AOB=12×5=52，∴S△ABO2=12S△ABO1=54，S△ABO3=12S△ABO2=58，S△ABO4=12S△ABO3=516，∴S平行四边形AO4C5B＝2S△ABO4＝2×516=58，平行四边形AO n C n+1B的面积为52n−1，故选：B．二．填空题（共17小题）11．（2021春•合肥期末）如图1，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝15．今沿两对角线将四边形ABCD剪成甲、乙．丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD、CB 重合）形成一个对称图形戊，如图2所示．则图形戊的两条对角线长度之和为23．解：如图，连接AD 、EF ，则可得对角线EF ⊥AD ，且EF 与平行四边形的高相等．∵平行四边形纸片ABCD 的面积为120，AD ＝1520，∴BC ＝AD ＝15，12EF ×AD =12×120， ∴EF ＝8，又BC ＝15，∴则图形戊中的四边形两对角线之和为20+3＝23，故答案为23．12．（2021•罗湖区校级模拟）如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC ＝10，则PQ 的长为 3 ．解：∵△ABC 的周长是26，BC ＝10，∴AB +AC ＝26﹣10＝16，∵∠ABC 的平分线垂直于AE ，∴在△ABQ 和△EBQ 中，{∠ABQ =∠EBQBQ =BQ ∠AQB =∠EQB，∴△ABQ ≌△EBQ ，∴AQ ＝EQ ，AB ＝BE ，同理，AP ＝DP ，AC ＝CD ，∴DE ＝BE +CD ﹣BC ＝AB +AC ﹣BC ＝16﹣10＝6，∵AQ ＝DP ，AP ＝DP ，∴PQ 是△ADE 的中位线，∴PQ =12DE ＝3．故答案是：3．13．（2021春•无为市期末）如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC 中，点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则线段DE 的长为 √172 ．解：由勾股定理可知：BC =√12+42=√17．∵点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE =12BC =√172．故答案为：√172． 14．（2021春•马鞍山期末）已知平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝24cm ，BD ＝38cm ，AD ＝14cm ，则△OBC 的周长为 45 cm ．解：在▱ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，AC ＝24cm ，BD ＝38cm ，AD ＝14cm ， ∴AO ＝CO ＝12cm ，BO ＝19cm ，AD ＝BC ＝14cm ，∴△OBC 的周长是：BO +CO +BC ＝12+19+14＝45（cm ）．故答案为：45．15．（2021春•宣城期末）如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，且AB ＝10cm ，MN ＝3cm ，则AC 的长为 16 cm解：延长BN 交AC 于D ，在△ANB 和△AND 中，{∠BAN =∠DAN AN =AN ∠ANB =∠AND，∴△ANB ≌△AND （ASA ）∴AD ＝AB ＝10，BN ＝ND ，∵BN ＝ND ，BM ＝MC ，∴CD ＝2MN ＝6，∴AC ＝AD +CD ＝16，故答案为：16．16．（2021•安徽模拟）如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 边中点，AD ＝2，AE ＝2√3，∠DAE ＝45°，AF ⊥AE 交CB 延长线于F ．（1）AE AF = 12 ；（2）当四边形ABCD 为平行四边形时，BF ＝ 4√6−4 ．解：（1）如图，延长AE ，FC ，∵E 为CD 边中点，∴DE ＝CE ，∵AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠H ＝45°，在△ADE 和△HCE 中，{∠DAE =∠H ∠AED =∠CEH DE =CE，∴△ADE ≌△HCE （AAS ），∴AE ＝EH ＝2√3，AD ＝CH ＝2，∴AH ＝4√3，∵AF ⊥AE ，∠H ＝45°，∴∠F ＝∠H ＝45°，∴AF ＝AH ＝4√3，∴AE AF =12， 故答案为：12；（2）∵AF ＝AH ＝4√3，AF ⊥AE ，∴FH ＝4√6，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ＝BC ＝2，∴BF ＝FH ﹣BC ﹣CH ＝4√6−4，故答案为：4√6−4．17．（2021•安徽模拟）如图，△ABC 是是以BC 为底边的等腰三角形，点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点．若等腰△ABC 的腰长为10cm ，底边长为8cm ，则：（1）四边形ADEF 的形状是 菱形 ；（2）四边形ADEF 的边长是 5 cm ．解：（1）∵点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点，∴DE∥AC，DE=12AC＝AF，EF∥AB，EF=12AB＝AD，∴四边形ADEF是平行四边形，∵AB＝AC，∴DE＝EF，∴平行四边形ADEF是菱形，故答案为：菱形；（2）∵AB＝10cm，∴EF＝5cm，即四边形ADEF的边长是5cm，故答案为：5．18．（2021春•颍州区期末）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，O为AB的中点，连接OF，若AE＝4，则OF＝2．解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠CBE＝∠BEC，∴CB＝CE．∵CF⊥BE，∴BF＝EF．∵O是AB的中点，∴OF是△ABE的中位线，∴OF=12AE，∵AE＝4，∴OF＝2．故答案为2．19．（2021春•东至县期末）如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，∠B ＝60°，E 是BC 的中点，EF ⊥AB 于点F ，则△DEF 的面积为 7√3 平方单位．解：如图，延长DC 和FE 交于点G ，在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠B ＝∠ECG ，∵E 为BC 的中点，∴BE ＝CE =12BC =12×8＝4， 在△BEF 和△CEG 中，{∠B =∠ECG BE =CE ∠BEF =∠CEG，∴△BEF ≌△CEG （ASA ），∴BF ＝CG ，∵∠B ＝60°，∴∠FEB ＝30°，∴BF =12BE ＝2，∴EF ＝2√3，∵CG ＝BF ＝2，CD ＝AB ＝5，∴DG ＝CD +CG ＝5+2＝7，∵EF ⊥AB ，AB ∥CD ，∴DG ⊥FG ，∴S △DEF =12EF •DG =122√3×7＝7√3， 故答案为：7√3．20．（2021春•蚌埠月考）如图，在平行四边形ABCD 中，已知∠ODA ＝90°，AC ＝20，BD＝12，E ，F 分别是线段OD ，OA 的中点，则EF 的长为 4 ．解：∵在平行四边形ABCD 中，∠ODA ＝90°，AC ＝20，BD ＝12，∴AO ＝CO ＝10，BO ＝DO ＝6，故AD =√AO 2−DO 2=√102−62=8，∵E 、F 分别是线段OD 、OA 的中点，∴EF 是△ADO 的中位线，∴EF ∥AD ，EF =12AD ，则EF 的长为：4．故答案为：4．21．（2021春•金寨县期末）如图，点A （0，4），点B （3，0），连接AB ，点M ，N 分别是OA ，AB 的中点，在射线MN 上有一动点P ，若△ABP 是直角三角形，则点P 的坐标是 （4，2）或（173，2） ．解：∵点M 、N 分别是OA 、AB 的中点，点A （0，4），∴MN ∥OB ，MN =12OB ＝1.5，OM ＝2，①当∠APB ＝90°时，在Rt △AOB 中，AB =√OA 2+OB 2=√42+32=5，∵∠APB ＝90°，点N 是AB 的中点，∴PN =12AB ＝2.5，则PM ＝PN +MN ＝4，∴点P 的坐标是（4，2）；②当∠ABP ＝90°时，过P 作PE ⊥x 轴于E ，连接AP ，设BE ＝x ，则PM ＝OE ＝x +3，由勾股定理得，PB =√x 2+22，AP =√22+(x +3)2，在Rt △ABP 中，AP =√AB 2+BP 2=√52+x 2+22，则√22+(x +3)2=√52+x 2+22，解得，x =83，∴OE =83+3=173，∴P （173，2），故答案为：（4，2）或（173，2）．22．（2020春•镜湖区期末）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ＝OB ，点E 、点F 分别是OA 、OD 的中点，连接EF ，∠CEF ＝45°，EM ⊥BC 于点M ，EM 交BD 于点N ，FN =√5，则线段BC 的长为 4 ．解：连接BE ．∵AE ＝OE ，OF ＝DF ，∴EF=12AD，EF∥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴EF∥BC，∵EM⊥BC，∴EM⊥EF，∴∠MEF＝90°，∵∠CEF＝45°，∴∠CEM＝45°，∵BA＝BO，AE＝OE，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠BEM＝45°，∵∠EMC＝∠EMB＝90°，∴∠MEB＝∠MBE＝∠MEC＝∠MCE＝45°，∴ME＝MB＝MC，∴EF＝BM，∵∠EFN＝∠MBN，∠ENF＝∠MNB，∴△ENF≌△MNB（AAS），∴EN＝MN，FN＝BN=√5，设MN＝EN＝a，则BM＝2a，在Rt△BNM中，∵BN2＝MN2+BM2，∴5a2＝5，∵a＞0，∴a＝1，∴BC＝4a＝4．故答案为：4．23．（2021春•阜南县期末）如图，P是▱ABCD内的任意一点，连接P A、PB、PC、PD，得到△P AB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S 1+S 3＝S 2+S 4，②若S 3＝2S 1，则S 2＝2S 4，③若S 1+S 3＝5，则ABCD 的面积为10；④S 1+S 2＝S 3+S 4．其中正确的结论的序号是 ①③ （把所有正确结论的序号都填在横线上）．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，设点P 到AB 、BC 、CD 、DA 的距离分别为h 1、h 2、h 3、h 4，则S 1=12AB •h 1，S 2=12BC •h 2，S 3=12CD •h 3，S 4=12AD •h 4，∵12AB •h 1+12CD •h 3=12AB •h AB ， 12BC •h 2+12AD •h 4=12BC •h BC ， 又∵S 平行四边形ABCD ＝AB •h AB ＝BC •h BC ，∴S 2+S 4＝S 1+S 3，故①正确；根据S 4＞S 2只能判断h 4＞h 2，不能判断h 3＞h 1，即不能得出S 3＞S 1，∴②错误； 根据S 1+S 3＝S 2+S 4，S 1+S 3＝5，能得出ABCD 的面积为5×2＝10，∴③正确；无法得到S 2＝S 3，所以无法得到S 1+S 2＝S 3+S 4，∴④错误；故答案为：①③．24．（2021春•岳西县期末）在▱ABCD 中，已知AB ＝15，AC ＝13，BC 边上的高等于12，则▱ABCD 的周长是 58或38 ．解：∵AB ＝15、AC ＝13，BC 边上的高是12，即AE ＝12，在Rt △ABE 中，BE =√AB 2−AE 2=9，在Rt △ACE 中，CE =√AC 2−AE 2=5，如图1，BC ＝BE +CE ＝14，∴平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）＝58，如图2，BC＝BE﹣CE＝4，∴平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）＝38，综上可得：平行四边形ABCD的周长等于：58或38．故答案为：58或38．25．（2021•江阴市模拟）如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD，若∠B＝52°，则∠AEC的度数为116°．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∠DAE＝∠AEB，∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣52°＝128°，∵AE平分∠BAD，∴∠AEB＝∠DAE=12∠BAD＝64°，∴∠AEC＝180°﹣∠AEB＝180°﹣64°＝116°；故答案为：116°．26．（2021春•淮北期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC 的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t 的值为2秒或3.5秒．解：∵E是BC的中点，∴BE＝CE=12BC＝9，∵AD∥BC，∴PD＝QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则得：9﹣3t＝5﹣t，解得：t＝2，②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则得：3t﹣9＝5﹣t，解得：t＝3.5；∴当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，故答案为：2秒或3.5秒．27．（2021春•埇桥区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，BC＝8，点D在线段BC上一动点，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，则DE的最小值是6．解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．∵OD⊥BC，∠B＝90°，∴OD∥AB，又∵平行四边形ADCE中，OC＝OA，DE＝2OD，∴OD是△ABC的中位线，∴OD=12AB，AB＝2OD，∴DE＝AB．∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，BC＝8，∴AB=√AC2−BC2=6，∴DE＝6．故答案为6．三．解答题（共10小题）28．（2021春•巢湖市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，a），B（b，a），且a，b满足（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，现同时将点A，B分别向下平移4个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC；（2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD，使S△MCD=13S平行四边形ABDC？若存在这样的点，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由．解：（1）∵（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，∴a＝3，b＝6，∴点A（0，3），点B（6，3），∵将点A，B分别向下平移4个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，∴点C （﹣2，﹣1），点D （4，﹣1），∴S 四边形ABDC ＝6×4＝24；（2）存在，设点M 的坐标为（0，m ），∵S △MCD =13S 平行四边形ABDC ，∴12×6×|m ﹣（﹣1）|=13×24， ∴m =53或m =−113， ∴点M 的坐标为（0，53）或（0，−113）． 29．（2021•高青县一模）如图，点B 、E 分别在AC 、DF 上，AF 分别交BD 、CE 于点M 、N ，∠A ＝∠F ，∠C ＝∠D ．（1）求证：四边形BCED 是平行四边形；（2）已知DE ＝3，连接BN ，若BN 平分∠DBC ，求CN 的长．（1）证明：∵∠A ＝∠F ，∴DF ∥AC ，∴∠C ＝∠FEC ，又∵∠C ＝∠D ，∴∠FEC ＝∠D ，∴DB ∥EC ，∴四边形BCED 是平行四边形；（2）解：∵BN 平分∠DBC ，∴∠DBN ＝∠CBN ，∵BD ∥EC ，∴∠DBN ＝∠BNC ，∴∠CBN ＝∠BNC ，∴CN ＝BC ，又∵BC ＝DE ＝3，∴CN ＝3．30．（2021•马鞍山模拟）如图，已知△ABC 与△ADE 是等腰三角形，并且△ABC ≌△ADE ，连接CE 、BD 交于点F ．（1）求证：BD ＝CE ；（2）当四边形ABFE 是平行四边形时，且AB ＝2，∠BAC ＝30°，求CF 的长．解：（1）证明：∵△ABC ≌△ADE ，AB ＝AC ，∴AB ＝AC ＝AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC +∠CAD ＝∠DAE +∠CAD ，即∠BAD ＝∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，{AD =AE ∠BAD =∠CAE AB =AC∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴BD ＝CE ；（2）∵△ABC ≌△ADE ，∠BAC ＝30°，∴∠BAC ＝∠DAE ＝30°，∵四边形ABFE 是平行四边形，∴AB ∥CE ，AB ＝EF ，由（1）知：AB ＝AC ＝AE ，∵AB ＝2，∴AB ＝AC ＝AE ＝2，过A 作AH ⊥CE 于H ，∵AB∥CE，∠BAC＝30°，∴∠ACH＝∠BAC＝30°，∴在Rt△ACH中，AH=12AC=12×2=1，CH=√AC2−AH2=√22−12=√3，∵AC＝AE，AH⊥CE，∴CE＝2CH＝2√3，∴CF＝CE﹣EF＝2√3−2．31．（2021春•雨山区校级月考）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F，▱ABCD周长为20，DE＝4，DF＝6，求▱ABCD的面积．解：设AB＝x，则BC＝10﹣x，根据平行四边形的面积公式可得4x＝6（10﹣x），解之得，x＝6．则平行四边形ABCD的面积等于4×6＝24．32．（2021•淮南一模）如图，在▱ABCD中，点P在对角线AC上一动点，过点P作PM∥DC，且PM＝DC，连接BM，CM，BP，PD．（1）求证：△ADP≌△BCM；（2）若P A=12PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求ST的值．（1）证明：∵PM∥DC，且PM＝DC，∴四边形CDPM是平行四边形，∴PD＝MC，∵AB∥DC，且AB＝DC，PM∥DC，且PM＝DC，∴AB∥PM，且AB＝PM，∴四边形ABMP是平行四边形，∴AP＝BM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴△ADP≌△BCM（SSS）；（2）解：由（1）可得S△ADP＝S△BCM，∴S四边形BMCP＝S△BCM+S△BCP＝S△ADP+S△BCP=12S平行四边形ABCD，又∵P A=12PC，∴S△ABP=13S△ABC=16S平行四边形ABCD，∴ST 的值为1612=13．33．（2021春•阜南县期末）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，连接EB并延长至F，使BF＝BE；连接EC并延长至G，使CG＝CE，连接FG，点H为FG的中点，连接DH，AF．（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；（2）求证：四边形AFHD为平行四边形．（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，∵∠DCE＝20°，AB∥CD，∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位线，∴BC∥FG，BC=12FG，∵H为FG的中点，∴FH=12FG，∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD＝FH，∴四边形AFHD是平行四边形．34．（2021春•安徽期末）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC交线段AB 于点E．EF∥AC交线段BC于点F．猜想BE与CF之间的数量关系，并说明理由．解：BE＝CF，理由如下：∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠DBC ＝∠DBE ，∵DE ∥BC ，∴∠DBC ＝∠EDB ，∴∠DBE ＝∠EDB ，∴DE ＝EB ，又∵EF ∥AC ，∴四边形DEFC 为平行四边形，∴DE ＝CF ，∴BE ＝CF ．35．（2021春•庐江县期中）如图，点E 在▱ABCD 内部，AF ∥BE ，DF ∥CE ．（1）求证：△BCE ≌△ADF ；（2）设▱ABCD 的面积为6，求四边形AEDF 面积．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠ABC +∠BAD ＝180°，∵AF ∥BE ，∴∠EBA +∠BAF ＝180°，∴∠CBE ＝∠DAF ，同理得∠BCE ＝∠ADF ，在△BCE 和△ADF 中，{∠CBE =∠DAF BC =AD ∠BCE =∠ADF，∴△BCE ≌△ADF （ASA ）；（2）解：∵点E 在▱ABCD 内部，∴S△BEC+S△AED=12S▱ABCD，由（1）知：△BCE≌△ADF，∴S△BCE＝S△ADF，∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED=12S▱ABCD，∵▱ABCD的面积为6，∴四边形AEDF的面积为3．36．（2021春•合肥期末）如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）如果∠OBC＝45°，∠OCB＝30°，OB=√2，求BC的长．解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=12BC，∵E、F分别是OB、OC的中点，∴EF∥BC，EF=12BC，∴DG＝EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）过O作OH⊥BC，交BC于点H，在Rt△OBH中，由OB=√2，∠OBC＝45°，得OH ＝BH ＝1，在Rt △OCH 中，由OH ＝1，∠OCB ＝30°，得CH =√3．所以BC ＝BH +CH ＝1+√3．37．（2021•寻乌县模拟）如图，在△ABC 中，点D 为边BC 的中点，点E 在△ABC 内，AE平分∠BAC ，CE ⊥AE ，点F 在AB 上，且BF ＝DE ．（1）求证：四边形BDEF 是平行四边形；（2）线段AB ，BF ，AC 之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．（1）证明：延长CE 交AB 于点G ，∵AE ⊥CE ，∴∠AEG ＝∠AEC ＝90°，在△AEG 和△AEC 中，{∠GAE =∠CAE AE =AE ∠AEG =∠AEC，∴△AGE ≌△ACE （ASA ）．∴GE ＝EC ．∵BD ＝CD ，∴DE 为△CGB 的中位线，∴DE ∥AB ．∵DE ＝BF ，∴四边形BDEF 是平行四边形．（2）解：BF =12（AB ﹣AC ）．理由如下：∵四边形BDEF 是平行四边形，BF ＝DE ．∵D、E分别是BC、GC的中点，∴BF＝DE=12BG．∵△AGE≌△ACE，∴AG＝AC，∴BF=12（AB﹣AG）=12（AB﹣AC）．。
2025年沪科版八年级下册数学第19章四边形专题9 判定平行四边形的五种方法
∴ ∠ = ∠. ∴ △≌△ ASA .
∴ = .
在Rt△中，易知 = 2.
∵ = + ,∴ = 2 + .
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方法4 利用两组对角分别相等判定平行四边形
4.
【提出命题】如图，在四边形中，
∠ = ∠，∠ = ∠，求证：四边形是平行四边形.
第19章 四边形
专题9 判定平行四边形的五种方法
名师点金
判定平行四边形的方法通常有多种.选择判定方法时，一
定要结合题目的条件，选择恰当的方法，从而简化解题过程.
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方法1 利用两组对边分别平行判定平行四边形
1.[2024鄂州期中] 如图，在四边形
中，//，∠ = 70∘ .
小明提供了如下解答过程：
证明：如图，连接.
∵ ∠1 + ∠3 = 180∘ − ∠，
∠2 + ∠4 = 180∘ − ∠，∠ = ∠，
∴ ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4.
∵ ∠ = ∠，
∴ ∠1 = ∠4，∠2 = ∠3.
∴ //，//.
∴ 四边形是平行四边形
∴ ∠ = ∠ = 90∘ .
∴ ∠ − ∠ = ∠ − ∠.
∴ ∠ = ∠.
∵ ∠ = 90∘ ,∠ = 45∘ ，
∴ ∠ = 45∘ = ∠.
∴ = ,∠ = 180∘ − ∠ = 135∘ .
易知∠ = 135∘ ，
（两组对边分别平行的四边形是平
行四边形）.
【反思交流】
两组对角分别相等的四边形是
（1）用语言叙述上述命题：___________________________
沪科版九年级数学中考复习特殊的平行四边形
沪科版九年级数学中考复习特殊的平行四边形一、 选择题1. (·兰州)如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ADB ＝30°，AB ＝4，则OC 的长为( )A. 5B. 4C. 3.5D. 3第1题第2题2. (·山西)如图，将矩形纸片ABCD 沿BD 折叠，得到△BC ′D ，C ′D 与AB 相交于点E.若∠1＝35°，则∠2的度数为( )A. 20°B. 30°C. 35°D. 55° 3. (·绵阳)如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 作BD 的垂线分别交AD ，BC 于E ，F 两点．若AC ＝23，∠AEO ＝120°，则FC 的长为( )A. 1B. 2C. 2D. 3第3题第4题4. (·宜宾)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6.将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上点F 处，则DE 的长是( )A. 3B. 245C. 5D. 89165. (导学号11744095)(·常州)如图，▱ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，连接AC.若EF ＝2，FG ＝GC ＝5，则AC 的长是( )A. 12B. 13C. 6 5D. 8 3第5题第7题6. (·益阳)下列性质菱形不一定具有的是( ) A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等D. 既是轴对称图形又是中心对称图形7. (·海南)如图，在菱形ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6，则△ABC 的周长是( )A. 14B. 16C. 18D. 208. (·河北)求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O.求证：AC ⊥BD.以下是排乱的证明过程：① 又BO ＝DO ；② ∴ AO ⊥BD ，即AC ⊥BD ；③ ∵ 四边形ABCD 是菱形；④ ∴ AB ＝AD.证明步骤正确的顺序是( )A. ③→②→①→④B. ③→④→①→②C. ①→②→④→③D. ①→④→③→②第8题第11题9. (·南充)已知菱形的周长为45，两条对角线的和为6，则菱形的面积为( )A. 2B. 5C. 3D. 410. (·上海)已知平行四边形ABCD ，AC ，BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判定这个平行四边形为矩形的是( )A. ∠BAC ＝∠DCAB. ∠BAC ＝∠DACC. ∠BAC ＝∠ABDD. ∠BAC ＝∠ADB11. (·河南)如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，添加下列条件不能判定▱ABCD 是菱形的只有( )A. AC ⊥BDB. AB ＝BCC. AC ＝BDD. ∠1＝∠212. (·临沂)如图，在△ABC 中，D 是边BC 上的点(与B ，C 两点不重合)，过点D 作DE ∥AC ，DF ∥AB ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，下列说法正确的是( )A. 若AD ⊥BC ，则四边形AEDF 是矩形B. 若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C. 若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形第12题第13题13. (·黔南州)如图，在正方形ABCD中，AB＝9，点E 在CD边上，且DE＝2CE，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PD的最小值是( )A. 310B. 10 3C. 9D. 9 214. (·黔东南州)如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于点O，则∠DOC的度数为( )A. 60°B. 67.5°C. 75°D. 54°第14题第15题15. (·广东)如图，在正方形ABCD中，E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF.下列结论：① S△ABF＝S△ADF；② S△CDF＝4S△CEF；③ S△ADF＝2S△CEF；④ S△ADF＝2S△CDF.其中正确的是( )A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④16.(·南通)如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为( )A. 5 5B. 10 5C. 10 3D. 15 3第16题第17题17.(·宁波)如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为( )A. 3B. 2 3C. 13D. 4二、填空题18. (·辽阳)如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE.若BC＝7，AE＝4，则CE＝________．第18题第19题19. (·绍兴)在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图所示的图形．该图中，四边形ABCD 是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA. 若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是________．20. (·衢州)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC ＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长为________．第20题第22题21. (·营口)在矩形纸片ABCD中，AD＝8，AB＝6，E 是边BC上的点．将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为__________．22. (·哈尔滨)如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E.若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为________．23. (·宜宾)如图，在菱形ABCD中，若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的面积是________．第23题第25题24. (·菏泽)在菱形ABCD中，∠A＝60°，其周长为 24 cm，则菱形的面积为________cm2.25. (·十堰)如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE.若∠ABC＝140°，则∠OED的度数为________．26. (·孝感)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD ＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为________．第26题第27题27. (·东营)如图，菱形ABCD的周长为16，面积为 83，E为AB的中点．若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为________．28. (·哈尔滨)已知四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上．若OE ＝3，则CE的长为__．29. (·兰州)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：① AB⊥AD，且AB＝AD；② AB ＝BD，且AB⊥BD；③ OB＝OC，且OB⊥OC；④ AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的是________(填序号)．30. (·黄冈)如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED的度数是________．第30题第31题31. (·六盘水)如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝________°.32. (·绍兴)如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD ＝1 500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3 100 m，则小聪行走的路程为________m.第32题第33题33. (·安顺)如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE 是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为________．34.(·陕西)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD ＝∠BCD＝90°，连接AC.若AC＝6，则四边形ABCD的面积为________．第34题三、解答题35. (·百色)如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，CE，AF分别交BD于G，H两点．求证：(1) 四边形AFCE是平行四边形；(2) EG＝FH.第35题36. (·鄂州)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，EC交AD于点F.(1) 求证：△AEF≌△CDF；(2) 若AB＝4，BC＝8，求图中涂色部分的面积．第36题37. (·徐州)如图，在▱ABCD中，O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC.(1) 求证：四边形BECD是平行四边形；(2) 若∠A＝50°，则当∠BOD＝________°时，四边形BECD是矩形，请说明理由．第37题38. (·沈阳)如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF.求证：(1) △ADE≌△CDF；(2) ∠BEF＝∠BFE.第38题39. (·广东)如图，四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角．(1) 求证：AD⊥BF；(2) 若BF＝BC，求∠ADC的度数．第39题40. (·酒泉)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD的中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.(1) 求证：四边形DEBF是平行四边形；(2) 当四边形DEBF是菱形时，求EF的长．第40题41. (·张家界)如图，在▱ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.(1) 求证：△AGE≌△BGF；(2) 试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．第41题42. (·云南)如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，E，F分别是AB，AC的中点．(1) 求证：四边形AEDF是菱形；(2) 如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.第42题43. (·吉林)如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD ＝30°，AD＝1.将△BCD沿射线BD方向平移到△B′C′D′的位置，使B′为BD的中点，连接AB′，C′D，AD′，BC′，如图②.(1) 求证：四边形AB′C′D是菱形；(2) 四边形ABC′D′的周长为________；(3) 将四边形ABC′D′沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形的周长．第43题44. (·陕西)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF，连接AF，CE交于点G.求证：AG＝CG.第44题45. (·泰州)如图，在正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于点E，DF⊥AG于点F，连接DE.(1) 求证：△ABE≌△DAF；(2) 若AF＝1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．第45题46. (·上海)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.(1) 求证：四边形ABCD是菱形；(2) 如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．第46题47. (·玉林)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB ＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC 上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF.(1) 求证：四边形EDFG是正方形．(2) 当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．第47题答案一、 1. B 2. A 3. A 4. C 5. B 6. C 7. C 8. B 9. D 10. C 11. C 12. D 13. A 14. A 15. C 16. B 17. C二、 18. 5 19. 23° 20.53 21. 3或 6 22.25523. 24 24. 18 3 25. 20° 26.501327. 2 3 28. 43或2 3 29. ①③④ 30. 45° 31. 75 32. 4 600 33. 6 34. 18 点拨：过点A 作AM ⊥BC 于点M ，作AN ⊥CD 交CD 的延长线于点N.证△ABM ≌△ADN ，得AM ＝AN 和S △ABM ＝S △ADN ，从而S 四边形ABCD ＝S 正方形AMCN ＝12AC 2＝18.三、 35. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AD ＝BC ，AD ∥BC ，即AE ∥CF.∵ E ，F 分别是AD ，BC 的中点，∴ AE ＝12AD ，CF ＝12BC.∴ AE ＝CF.∴ 四边形AFCE 是平行四边形(2) ∵ 四边形AFCE 是平行四边形，∴ CE ∥AF.∴ ∠DGE ＝∠AHD.∵ ∠AHD ＝∠BHF ，∴ ∠DGE ＝∠BHF.∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AD ∥BC.∴ ∠EDG ＝∠FBH.在△DEG 和△BFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DGE ＝∠BHF ，∠EDG ＝∠FBH ，DE ＝BF ，∴ △DEG ≌△BFH.∴ EG ＝FH36. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°.∵ 将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点E 处，∴ ∠E ＝∠B ，AB ＝AE.∴ AE ＝CD ，∠E ＝∠D.在△AEF与△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠E ＝∠D ，∠AFE ＝∠CFD ，AE ＝CD ，∴ △AEF ≌△CDF(2) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AD ＝BC ＝8，AB ＝CD ＝4.由折叠的特征，得CE ＝BC ＝8，AE ＝CD ＝AB ＝4.∵ △AEF ≌△CDF ，∴ AF ＝CF ，EF ＝DF.在 Rt △CDF 中，由DF 2＋CD 2＝CF 2，得DF 2＋42＝(8－DF)2，∴ DF ＝3.∴ AF ＝AD －DF ＝5.∴ S涂色部分＝12AF ×CD ＝12×5×4＝10 37. (1) ∵ 四边形ABCD 为平行四边形，∴ AB ＝CD ，AB ∥DC ，即AE ∥DC.∴ ∠OEB ＝∠ODC.又∵ O 为BC 的中点，∴ BO ＝CO.在△BOE 和△COD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB ＝∠ODC ，∠BOE ＝∠COD ，BO ＝CO ，∴ △BOE≌△COD.∴ OE ＝OD.∴ 四边形BECD 是平行四边形 (2) 100 理由：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ ∠BCD ＝∠A＝50°.∵ ∠BOD ＝∠BCD ＋∠ODC ，∴ ∠ODC ＝100°－50°＝50°＝∠BCD.∴ OC ＝OD.∵ 四边形BECD 是平行四边形，∴ BC ＝2OC ，DE ＝2OD.∴ DE ＝BC.∴ ▱BECD 是矩形38. (1) ∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AD ＝CD ，∠A ＝∠C.∵ DE ⊥BA ，DF ⊥CB ，∴ ∠AED ＝∠CFD ＝90°.在△ADE和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AED ＝∠CFD ，∠A ＝∠C ，AD ＝CD ，∴ △ADE ≌△CDF(2) ∵四边形ABCD 是菱形，∴ AB ＝CB.∵ △ADE ≌△CDF ，∴ AE ＝CF.∴ BE ＝BF.∴ ∠BEF ＝∠BFE39. (1) ∵ 四边形ABCD ，ADEF 都是菱形，∴ AB ＝AD ，AF ＝AD.∴ AB ＝AF ，即△ABF 是等腰三角形．∵ ∠BAD ＝∠FAD ，∴ AD ⊥BF(三线合一) (2) ∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AB ∥CD ，AB ＝BC.∵ BF ＝BC ，∴ AB ＝BF.由(1)得AB ＝AF ，∴ AB ＝BF ＝AF.∴ △ABF 是等边三角形．∴ ∠BAF ＝60°.∴ ∠BAD ＝12∠BAF ＝30°.∵ AB ∥CD ，∴ ∠BAD ＋∠ADC ＝180°.∴ ∠ADC ＝180°－∠BAD ＝150°40. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB ∥CD.∴ ∠FDO ＝∠EBO.∵ O 是BD 的中点，∴ OB ＝OD.在△DOF 和△BOE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∠DOF ＝∠BOE ，∴ △DOF ≌△BOE.∴ OF ＝OE.∴ 四边形DEBF 是平行四边形 (2) 设AE ＝x ，则BE ＝6－x.∵ 四边形DEBF 是菱形，∴ DE ＝BE ＝6－x ，BD ⊥EF ，OB ＝12BD ，EF ＝2OE.∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠A ＝90°，AD ＝BC ＝4.在Rt △DAB 中，BD ＝AD 2＋AB 2＝42＋62＝213.∴ OB＝13.在 Rt △DAE 中，由勾股定理，得AD 2＋AE 2＝DE 2，即42＋x 2＝(6－x)2，解得x ＝53.∴ BE ＝6－x ＝133.∴ 在 Rt △EOB 中，OE ＝BE 2－OB 2＝⎝⎛⎭⎫1332－（13）2＝2313.∴ EF ＝2OE ＝431341. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥BC ，即AD ∥CF.∴ ∠AEG ＝∠BFG.∵ EF 垂直平分AB ，∴ AG ＝BG.在△AGE 和△BGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEG ＝∠BFG ，∠AGE ＝∠BGF ，AG ＝BG ，∴ △AGE ≌△BGF(2) 四边形AFBE 是菱形 理由：∵ △AGE ≌△BGF ，∴ AE ＝BF.∵ AD ∥BC ，即AE ∥BF ，∴ 四边形AFBE 是平行四边形．又∵ EF ⊥AB ，∴ ▱AFBE 是菱形42. (1) ∵ AD 是△ABC 的边BC 上的高，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，∴ 在Rt △ABD 中，DE ＝12AB ＝AE ，在 Rt △ACD 中，DF ＝12AC ＝AF.又∵ AB ＝AC ，E ，F 分别是AB ，AC的中点，∴ AE ＝AF.∴ AE ＝AF ＝DE ＝DF.∴ 四边形AEDF 是菱形 (2) 连接EF 交AD 于点O.∵ 菱形AEDF 的周长为12，∴ AE ＝14×12＝3，AD ⊥EF ，AO ＝12AD ，EO ＝12EF.设EF＝x ，AD ＝y ，则x ＋y ＝7，∴ x 2＋2xy ＋y 2＝49 ①.在Rt △AOE 中，由勾股定理，得AO 2＋EO 2＝AE 2，即⎝⎛⎭⎫12y 2＋⎝⎛⎭⎫12x 2＝32，即 x 2＋y 2＝36 ②.把②代入①，得2xy ＝13，∴ xy ＝132.∴ 菱形AEDF 的面积S ＝12xy ＝13443. (1) ∵ BD 是矩形ABCD 的对角线，∠ABD ＝30°，∴ ∠ADB ＝60°.由平移可得，B ′C ′＝BC ＝AD ，∠D ′B ′C ′＝∠DBC ＝∠ADB ＝60°，∴ AD ∥B ′C ′.∴ 四边形AB ′C ′D 是平行四边形．∵ B ′为BD 的中点，∴ 在Rt △ABD 中，AB ′＝12BD ＝DB ′.又∵ ∠ADB ＝60°，∴ △ADB ′是等边三角形．∴ AD ＝AB ′.∴ 四边形AB ′C ′D 是菱形 (2) 4 3点拨：四边形ABC ′D ′是菱形． (3) 6＋3或23＋344. ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ ∠ADF ＝∠CDE ＝90°，AD ＝CD.∵ AE ＝CF ，∴ DE ＝DF.在△ADF 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADF ＝∠CDE ，DF ＝DE ，∴ △ADF ≌△CDE.∴ ∠DAF ＝∠DCE.在△AGE 和△CGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAE ＝∠GCF ，∠AGE ＝∠CGF ，AE ＝CF ， ∴ △AGE ≌△CGF.∴AG ＝CG45. (1) ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AB ＝AD ，∠BAD ＝90°.∴ ∠BAE ＋∠DAF ＝90°.∵ DF ⊥AG ，BE ⊥AG ，∴ ∠BAE ＋∠ABE ＝90°，∠AEB ＝∠DFA ＝90°.∴ ∠ABE ＝∠DAF.在△ABE 和△DAF中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠DFA ，∠ABE ＝∠DAF ，AB ＝DA ，∴ △ABE ≌△DAF(2) ∵ △ABE ≌△DAF ，∴ AE ＝DF ，BE ＝AF ＝1.设EF ＝x ，则AE ＝DF ＝x ＋1.∵ 四边形ABED 的面积为6，∴ S △AEB ＋S △DAE＝6.∴ 12(x ＋1)×1＋12(x ＋1)2＝6，即x 2＋3x －10＝0，解得x 1＝2，x 2＝－5(不合题意，舍去)．∴ EF ＝246. (1) 在△ADE 和△CDE中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，DE ＝DE ，EA ＝EC ，∴ △ADE ≌△CDE.∴ ∠ADE ＝∠CDE.∵ AD ∥BC ，∴ ∠ADE ＝∠CBD.∴ ∠CDE ＝∠CBD.∴ BC ＝CD.∵ AD ＝CD ，∴ BC ＝AD.∴ 四边形ABCD 为平行四边形．又∵ AD ＝CD ，∴ 平行四边形ABCD 是菱形 (2) ∵ BE ＝BC ，∴ ∠BCE ＝∠BEC.∵ ∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3，∴ 在△BCE 中，∠CBE ＝180°×22＋3＋3＝45°.由(1)得∠CDE ＝∠CBD ，∴ ∠CDE ＝45°.∴ 在△BCD 中，∠BCD ＝180°－2×45°＝90°.∴ 菱形ABCD 是正方形47. (1) 如图①，连接CD.∵ O 是EF 的中点，GO ＝OD ，∴ 四边形EDFG 是平行四边形．∵ △ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴ ∠A ＝∠DCF ＝45°，AD ＝CD.在△ADE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CF ，∠A ＝∠DCF ，AD ＝CD ，∴ △ADE ≌△CDF.∴ DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF.∴ ▱EDFG 是菱形．∵ ∠ADE ＋∠EDC ＝90°，∴ ∠EDC ＋∠CDF ＝∠EDF ＝90°.∴ 菱形EDFG 是正方形 (2) 如图②，过点D 作DE ′⊥AC 于点E ′.∵ △ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，∴ DE ′＝12BC ＝2，AB ＝42，E ′为AC 的中点．∴ 2≤DE<22(点E 与点E ′重合时取等号)．∵ S 四边形EDFG＝DE 2，∴ 4≤S四边形EDFG<8.∴ 当点E 为线段AC 的中点时，四边形EDFG 的面积最小，最小为4第47题。
沪科版九年级数学中考复习平行四边形
沪科版九年级数学中考复习平行四边形一、选择题1. (·丽水)如图，在▱ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是( )A. 2B. 2C. 2 2D. 4第1题第2题2. (·眉山)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD 于点E，交BC于点F.若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )A. 14B. 13C. 12D. 103. (·河池)如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG.若AD＝5，DE＝6，则AG的长是( )A. 6B. 8C. 10D. 12第3题第4题4. (·辽阳)如图，在▱ABCD中，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF＝1，则AB的长是( )A. 2B. 1C. 3D. 25. (·鸡西)在▱ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则▱ABCD周长是( )A. 22B. 20C. 22或20D. 186. (·威海)如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD 于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是( )A. BO＝OHB. DF＝CEC. DH＝CGD. AB＝AE第6题第7题7. (·贵阳)如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE.若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为( )A. 6B. 12C. 18D. 248. (·青岛)如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝3，AC＝2，BD＝4，则AE的长为( )A.32B.32C.217D.2217第8题第9题9. (·泰安)如图，四边形ABCD是平行四边形，E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点．下列结论：① BE平分∠CBF；② CF平分∠DCB；③ BC＝FB；④ PF＝PC.其中正确的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 410.(·黄石)如图，凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE＝∠ABE＋∠CBD，AC＝1，则BD必定满足( )第10题A. BD<2B. BD＝2C. BD>2D. 以上情况均有可能二、填空题11. (·扬州)在▱ABCD中，∠B＋∠D＝200°，则∠A＝________°.12. (·连云港)如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF ⊥CD于点F.若∠EAF＝56°，则∠B ＝________°.第12题第13题13. (·牡丹江)如图，点E，F分别在▱ABCD的边BC，AD上，AC，EF交于点O，请你添加一个条件(只添一个即可)，使四边形AECF是平行四边形，你所添加的条件是________．14. (·宁夏)如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A 落在点A′处．若∠1＝∠2＝50°，则∠A′的度数为________．第14题第15题15. (·成都)如图，在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以点A为圆心、任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心、大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交边CD于点Q.若DQ＝2QC，BC＝3，则平行四边形ABCD周长为________．16. (·巴中)如图，E是▱ABCD边BC上一点，且AB＝BE，连接AE并延长，交DC的延长线于点F.若∠F＝70°，则∠D＝________°.第16题第17题17. (·武汉)如图，在▱ABCD中，∠D＝100°，∠DAB 的平分线AE交DC于点E，连接BE.若AE＝AB，则∠EBC的度数为________．18. (·绵阳)如图，将▱ABCO放置在平面直角坐标系xOy 中，O为坐标原点．若点A的坐标是(6，0)，点C的坐标是(1，4)，则点B的坐标是________．第18题第20题19. (·通辽)在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F.若AD＝11，EF＝5，则AB＝________．20. (·南充)如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P 作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，S△BPG＝1，则S▱AEPH＝________．三、解答题21. (·哈尔滨)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．(1) 在图中画出以AB为底、面积为12的等腰三角形ABC，且点C在小正方形的顶点上；(2) 在图中画出平行四边形ABDE，点D和点E均在小正方形的顶点上，且tan∠EAB＝32，连接CD，则线段CD的长为________．第21题22. (·淮安)如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：△ADE≌△CBF.第22题23. (·淄博)如图，E，F为▱ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接BE，DF.求证：BE＝DF.第23题24. (·乐山)如图，延长▱ABCD的边AD到点F，使DF ＝DC，延长CB到点E，使BE＝BA，分别连接AE和CF.求证：AE＝CF.第24题25. (·凉山州)如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD延长线上的点，且BE＝DF，连接EF分别交AD，BC于点G，H.求证：FG＝EH.第25题26. (·乌鲁木齐)如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BF＝ED.求证：AE∥CF.第26题27. (·山西)如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF.连接EF，与对角线AC交于点O.求证：OE＝OF.第27题28. (·菏泽)如图，E是▱ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F.若CD＝6，求BF的长．第28题29. (·赤峰)已知平行四边形ABCD.(1) 尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC的延长线于点F；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2) 在(1)的条件下，求证：CE＝CF.第29题30. (·湘潭)如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1) 求证：△ADE≌△FCE；(2) 若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数．第30题31. (·咸宁)如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC.(1) 求证：△ABC≌△DFE；(2) 连接AF，BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．第31题32. (·镇江)如图，点B，E分别在AC，DF上，AF分别交BD，CE于点M，N，∠A＝∠F，∠1＝∠2.(1) 求证：四边形BCED是平行四边形；(2) 已知DE＝2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．第32题33. (·西宁)如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6.(1) 求证：四边形ABCD是平行四边形；(2) 若AC⊥BD，求▱ABCD的面积．第33题34. (·大庆)如图，在以BC为底边的等腰三角形ABC 中，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF.(1) 求证：四边形BDEF为平行四边形；(2) 当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．第34题答案一、 1. C 2. C 3. B 4. B 5. C 6. D 7. B 8. D 9. D 10. A二、 11. 80 12. 56 13. 答案不唯一，如AF ＝CE 14. 105° 15. 15 16. 40 17. 30° 18. (7，4) 19. 8或3 20. 4三、 21. (1) 如图，△ABC 即为所求 (2) 如图，平行四边形ABDE 即为所求，CD ＝12＋52＝26第21题22. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ＝CB ，AD ∥BC.∴ ∠ADE ＝∠CBF.∵ AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴ ∠AED ＝∠CFB＝90°.在△ADE 和△CBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADE ＝∠CBF ，∠AED ＝∠CFB ，AD ＝CB ，∴ △ADE≌△CBF23. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥DC ，AB ＝DC.∴ ∠BAE ＝∠DCF.在△AEB 和△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠DCF ，AE ＝CF ，∴ △AEB ≌△CFD.∴ BE ＝DF 24. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ＝BC ，BA ＝DC ，AD ∥BC ，即AF ∥EC.∵ DF ＝DC ，BE ＝BA ，∴ BE ＝DF.∴ AF ＝EC.∴ 四边形AECF 是平行四边形．∴ AE ＝CF25. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ ∠A ＝∠C ，AB ∥CD ，即AE ∥CF.∴ ∠E ＝∠F ，∠A ＝∠FDG ，∠EBH ＝∠C.∴ ∠EBH ＝∠FDG.在△EBH 与△FDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠E ＝∠F ，BE ＝DF ，∠EBH ＝∠FDG ，∴ △EBH ≌△FDG.∴ FG ＝EH26. 连接AC ，交BD 于点O.∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ OA ＝OC ，OB ＝OD.∵ BF ＝ED ，∴ OE ＝OF.∴ 四边形AECF 是平行四边形．∴ AE ∥CF27. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥CD ，AB ＝CD.∵ BE ＝DF ，∴ AB ＋BE ＝CD ＋DF ，即AE ＝CF.∵ AB ∥CD ，即AE ∥CF ，∴ ∠E ＝∠F ，∠OAE ＝∠OCF.在△AOE 和△COF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠E ＝∠F ，AE ＝CF ，∠OAE ＝∠OCF ，∴ △AOE ≌△COF.∴ OE ＝OF28. ∵ E 是AD 的中点，∴ AE ＝DE.∵ 四边形ABCD 是平行四边形，CD ＝6，∴ AB ＝CD ＝6，AB ∥CD ，即BF ∥CD.∴ ∠F ＝∠DCE.在△AEF 和△DEC中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AEF ≌△DEC.∴ AF ＝DC ＝6.∴ BF ＝AB ＋AF ＝1229. (1) 如图，AF 即为所求 (2) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥DC ，AD ∥BC.∴ ∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵ AF 平分∠BAD ，∴ ∠1＝∠3.∴ ∠2＝∠4.∴ CE ＝CF第29题30. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥BC ，AD ＝BC.∴ ∠D ＝∠ECF.在△ADE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠ECF ，DE ＝CE ，∠AED ＝∠FEC ，∴ △ADE ≌△FCE (2) ∵ △ADE ≌△FCE ，∴ AD ＝FC.∵ AD ＝BC ，AB ＝2BC ，∴ AB ＝FB.∴ ∠BAF ＝∠F ＝36°.∴ 在△ABF 中，∠B ＝180°－2×36°＝108°31. (1) ∵ BE ＝FC ，∴ BE ＋EC ＝FC ＋EC ，即BC ＝EF.在△ABC 和△DFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DF ，AC ＝DE ，BC ＝FE ，∴ △ABC ≌△DFE(2) 由(1)知△ABC ≌△DFE ，∴ ∠ABC ＝∠DFE.∴ AB ∥DF.∵ AB＝DF ，∴ 四边形ABDF 是平行四边形32. (1) ∵ ∠A ＝∠F ，∴ DE ∥BC.∵ ∠1＝∠2，且∠1＝∠DMF ，∴ ∠DMF ＝∠2.∴ DB ∥EC.∴ 四边形BCED 为平行四边形 (2) ∵ 四边形BCED 为平行四边形，DE ＝2，∴ EC ∥DB ，BC ＝2.∵ BN 平分∠DBC ，∴ ∠DBN ＝∠CBN.∵ EC ∥DB ，∴ ∠CNB ＝∠DBN.∴ ∠CNB ＝∠CBN.∴ CN ＝BC ＝233. (1) ∵ O 是AC 的中点，∴ OA ＝OC.∵ AD ∥BC ，∴ ∠ADO ＝∠CBO.在△AOD 和△COB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADO ＝∠CBO ，∠AOD ＝∠COB ，OA ＝OC ，∴△AOD ≌△COB.∴ OD ＝OB.∴ 四边形ABCD 是平行四边形 (2) ∵ AC ⊥BD ，∴ S ▱ABCD ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12BD ·AO ＋12BD ·CO＝12BD(AO ＋CO)＝12BD ·AC ＝12×6×8＝24 34. (1) ∵ △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，∴ AB ＝AC ，∠ABC ＝∠C.∵ EG ∥BC ，DE ∥AC ，∴ ∠AEG ＝∠ABC ＝∠C ，四边形CDEG 是平行四边形．∴ ∠DEG ＝∠C.∵ BE ＝BF ，∴ ∠BFE ＝∠BEF ＝∠AEG ＝∠ABC.∴ ∠BFE ＝∠DEG.∴ BF ∥DE.∵ EG ∥BC ，即FE ∥DB ，∴ 四边形BDEF 为平行四边形 (2) ∵ 四边形BDEF 为平行四边形，BD ＝2，∴ EF ＝BD ＝2.∵ ∠C ＝45°，∴ ∠ABC ＝∠BFE ＝∠BEF ＝45°.∴ ∠EBF ＝90°.∴ 在△EBF 中，BF 2＋BE 2＝EF 2，即2BF 2＝22.∴ BE ＝BF ＝ 2.过点F 作FM ⊥BD 交DB 的延长线于点M ，连接DF ，则∠FBM ＝180°－∠EBF －∠ABC ＝45°.∴ ∠FBM ＝∠BFM ＝45°.∴ FM ＝BM.在Rt △FMB 中，利用勾股定理，可得FM ＝BM ＝1，∴ DM ＝BD ＋BM ＝3.在Rt △FMD 中，由勾股定理，得DF ＝12＋32＝10，即D ，F 两点间的距离为10。
2022-2023年上海沪教版八年级第二学期期末考试汇编-核心考点04 特殊的平行四边形(原卷版)
核心考点04特殊的平行四边形目录考点一：菱形的性质考点二：菱形的判定考点三：菱形的判定与性质考点四：矩形的性质考点五：矩形的判定考点六：矩形的判定与性质考点七：正方形的性质考点八：正方形的判定考点九：正方形的判定与性质考点考向特殊的平行四边形（1）矩形{{⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩定义：有一个内角是的；性质矩形的四个角都是；矩形的两对角线；判定有的四边形；对角直角平行四边形直角相等三个内角是直角相线的等平行；四边形①②①②（2）菱形{⎧⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎩定义：有的；菱形的四条边；性质菱形的对角线，且每一条对角线平分；判定相等的四边形；一组邻边相等平行四边形都相等互相垂直一组对角四条边互相垂直对角线的；平行四边形①②①②（3）正方形{⎧⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎩一组邻边相等一个内角是直角平行四边形直角相等相等垂直一组对角定义：有且有的；正方形的四个角都是，四条边都；性质正方形的两对角线，且互相，每条对角线平分；判定有的；有一个内角一组邻边相等矩形直角菱.形是的①②①②考点精讲一．菱形的性质（共7小题）1．（2022春•青浦区校级期中）如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，延长BC 至点E ，使CE ＝BC ，联结DE ，若∠E ＝70°，则∠OBC ＝．2．（2022春•杨浦区校级期中）菱形的边长为10厘米，一条对角线为16厘米，它的面积是平方厘米．3．（2022春•徐汇区期末）如图，菱形ABCD 中，如果AB ＝3，BD ＝2，那么菱形ABCD 的面积为．4．（2022春•上海期中）已知菱形ABCD 中，对角线AC ＝12，BD ＝16，则菱形ABCD 的面积是．5．（2022春•虹口区期中）如果菱形的边长为5，相邻两内角的度数之比为1：2，那么该菱形较长的对角线长为．6．（2022春•青浦区校级期中）菱形ABCD 中，∠B ＝60°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF ＝60°．求证：AE ＝AF．7．（2022春•杨浦区校级期中）已知：如图菱形ABCD，点E，F分别为边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF＝∠B＝60°．（1）求证：AE＝AF；（2）如果AB＝8，设BE＝x，AE＝y，求y与x的函数关系式和定义域；与S△CEF面积比值为7．（3）在（2）的基础上，当x取何值时，S△AEF二．菱形的判定（共5小题）8．（2022春•青浦区校级期中）下列命题是真命题的是（）A．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．两条对角线相等的四边形是矩形C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形9．（2022春•奉贤区校级期末）如图，直线y＝−x+2与x轴，y轴分别交于点A、B，点C在y轴上，点D 为平面内一点，若四边形ACDB恰好构成一个菱形，请写出点D的坐标．10．（2022春•虹口区期中）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E是AC上一点，AE＝AB，EF∥BC 交AD于F，BE与AD交于G．求证：四边形BDEF是菱形．11．（2021春•杨浦区期末）如图，已知BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，垂足分别为E、D，联结CD、DE，DE与AB交于点O，CD∥AB．求证：四边形OBCD是菱形．12．（2021春•奉贤区期中）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为BC中点，BD⊥DC，EA平分∠DEB．（1）求证：AE＝DC；（2）求证：四边形ABED是菱形．三．菱形的判定与性质（共3小题）13．（2021春•黄浦区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，点E为BC的中点（1）求证：四边形AECD（2）联结BD，如果BD平分∠ABC，AD＝2，求BD的长．14．（2021春•徐汇区期中）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长．15．（2021春•普陀区期中）已知，如图，在▱ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若四边形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长．四．矩形的性质（共6小题）16．（2022春•青浦区校级期中）下面性质中菱形有而矩形没有的是（）A．邻角互补B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相平分17．（2022春•杨浦区校级期中）矩形的一条边长是a，两条对角线的夹角为60°，则矩形的另外一条边长等于（）A．a B．a C．a或a D．2a18．（2022春•长宁区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E、F分别在OA、OD上，EF ∥BC，求证：四边形BCFE是等腰梯形．19．（2022春•徐汇区期末）如图，将矩形ABCD的边BC延长至点E，使CE＝BD，联结AE交对角线BD 于点F，交边CD于点G，如果∠ADB＝38°，那么∠E的大小为．20．（2022春•宝山区校级月考）如图：在直角坐标系里点B（0，4），已知ABDO为矩形，∠DBO＝30°，则点A坐标为．21．（2021春•杨浦区校级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，以AO，AB为邻边作平行四边形ABC1O，AC1交OB于点O1；以AO1，AB为邻边作平行四边形ABC2O1…，若S矩形ABCD＝a，则＝．五．矩形的判定（共6小题）22．（2022春•杨浦区校级期中）下列条件不能判定一个四边形是矩形的是（）A．四个内角都相等B．四条边都相等C．对角线相等且互相平分D．对角线相等的平行四边形23．（2022春•青浦区校级期中）四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD24．（2021春•奉贤区期中）下列说法不正确的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．一个角是直角的四边形是矩形D．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形25．（2022春•虹口区期中）如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O，点O为CD的中点．求证：四边形DECF是矩形．证明：∵CE平分∠BCD，∴＝．∵EF∥BC，∴＝．于是，＝．同理，＝．（请继续完成证明过程）26．（2022春•奉贤区校级月考）如图，已知：在四边形ABCD中，E为边CD的中点，AE与边BC的延长线相交于点F，且AE＝EF，BC＝CF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）当AF＝2BE时，求证：四边形ABCD是矩形．27．（2022春•静安区期中）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，点G、H分别在边AB、CD上，且AG＝CH．（1）求证：△AGE≌△CHF；（2）若∠AEG+∠BFG＝90°，求证：四边形EGFH是矩形．六．矩形的判定与性质（共3小题）28．（2022春•青浦区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，M为斜边AB上一动点，过点M分别作MD⊥AC于点D，作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．29．（2022春•杨浦区校级期中）已知，如图，BE，BD是△ABC中∠ABC的内、外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥BE于点E，延长AE交BC的延长线于点N．求证：DE＝BN．30．（2022春•青浦区校级期中）如图，在四边形ABCD的中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO，△OAB是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是矩形；＝4，求BD的长．（2）若S四边形ABCD七．正方形的性质（共5小题）31．（2022春•静安区期中）如图，正方形ABCD中，延长BC到E，使CE＝CA，AE交CD于F，那么∠AFD＝．32．（2022春•浦东新区校级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为5厘米，EG∥AD，点H在边AD上，△CEH的面积为8平方厘米，则FG＝厘米．33．（2022春•杨浦区校级期中）如图，E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，BE交AD于点F，则∠BED ＝°．34．（2022春•浦东新区校级期中）已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠ADE的度数是．35．（2022春•上海期中）在正方形ABCD中，边长为8，点P是对角线AC上一点，CP＝2，E是射线AB上一点，联结PE，射线PF⊥PE交直线AD于F，当AC＝CE时，AF＝．八．正方形的判定（共4小题）36．（2022春•长宁区校级期末）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．如果再添加一个条件可证明四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A．AB＝BC B．AB＝CD C．AC＝BD D．∠D＝90°37．（2022春•杨浦区校级期中）下列命题为假命题的是（）A．四个内角相等的四边形是矩形B．对角线的交点到各边距离都相等的四边形是菱形C．有两组邻边相等的四边形是平行四边形D．一组邻边相等的矩形是正方形38．（2022春•宝山区校级月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．39．（2022春•上海期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为点N．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？给出证明．九．正方形的判定与性质（共1小题）40．（2019•杨浦区二模）已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D、E分别是边AB、BC 的中点，点F、G是边AC的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H，连接HA、HC．求证：（1）四边形FBGH是菱形；（2）四边形ABCH是正方形．巩固提升一、单选题1．（2022春·上海青浦·八年级校考期中）下面性质中菱形有而矩形没有的是（）A ．邻角互补；B ．对角线互相垂直；C ．对角线相等；D ．对角线互相平分．2．（2022秋·上海·八年级上外附中校考期末）如图，已知双曲线(0)ky x x=>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于E ，四边形OEBF 的面积为2，则()k =A ．1B ．2C ．4D ．83．（2022春·上海杨浦·八年级校考期中）下列条件不能判定一个四边形是矩形的是（）A ．四个内角都相等B ．四条边都相等C ．对角线相等且互相平分D ．对角线相等的平行四边形4．（2022春·上海·八年级上海市泗塘中学校考阶段练习）如图正方形ABCD 和正方形EFGH 全等，把点A 固定在正方形EFGH 的中心，当正方形ABCD 绕点A 转动时，两个正方形重叠部分的面积是正方形面积的（）A ．15B ．25C ．14D ．125．（2022春·上海·八年级上海市进才中学校考期中）下列命题不正确的是（）．A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B ．一组对角相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形C ．一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形D ．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形6．（2022秋·上海·八年级阶段练习）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，动点P 满足S △PBC ＝14S 矩形ABCD ，则点P 到B ，C 两点距离之和PB +PC 的最小值为（）A B CD ．二、填空题7．（2022春·上海奉贤·八年级校考期中）在矩形ABCD 中∠ABC =90°，AC 和BD 相交于点O ，2AC AB =．则AOD ∠的度数等于_____．8．（2022春·上海·八年级校考期末）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，2COB AOB ∠=∠，8AB =，则BC 的长是______．9．（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）如图，把一张长方形的纸片ABCD 折叠起来，使其对角顶点A 、C 重合，若BC 长为a ，AB 长为()b a b >，其不重合部分的面积是_______．10．（2022春·上海青浦·八年级校考期末）如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，顺次联结▱ABCD 各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC BD ⊥；②ABO CBO C C = ；③DAO CBO ∠=∠；④DAO BAO ∠=∠，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件可以是______．（填序号）11．（2022春·上海浦东新·八年级校考期中）如图所示，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，P 为AB 上一动点(不与A 、B 重合)，作PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，连接EF ，则EF 的最小值是______．12．（2022春·上海青浦·八年级校考期末）已知：如图，在ABC 中，6AC =，8BC =，10AB =，点D 位于边AB 上，过点D 作边BC 的平行线交边AC 于点E ，过点D 作边AC 的平行线交边BC 于点F ，设AE x =，四边形CEDF 的面积为y ，则y 关于x 的函数关系式是______．（不必写定义域）13．（2022春·上海青浦·八年级校考期中）如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，延长BC 至点E ，使CE BC =，连接DE ，若70E ∠=︒，则OBC ∠=________．14．（2022春·上海·八年级上海市泗塘中学校考阶段练习）如图，菱形ABCD 中，BE AD ⊥于点E ，交AC 于F ，若E 为AD 中点，且4=AD ，则F 到AB 边的距离为____________．15．（2022春·上海·八年级校考期中）已知菱形ABCD 中，对角线12AC =，16BD =，则菱形ABCD 的面积是______．16．（2022春·上海宝山·八年级校考阶段练习）如图，ABC ∆中，已知AD 是BAC ∠的平分线，E 、F 分别是边AB AC 、的中点，联结DE DF 、，要使四边形AEDF 为菱形，ABC ∆需要满足一定的条件，该条件可以是______．17．（2022春·上海浦东新·八年级上海市张江集团中学校考期中）如图，在 ABCD 和 BEFG 中，AB ＝AD ，BG ＝BE ，点A 、B 、E 在同一直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG ，PC ．若∠ABC ＝∠BEF ＝60°，则PCPG=________．18．（2022春·上海·八年级上海市张江集团中学校考期中）如图，在 ABCD 和 BEFG 中，AB ＝AD ，BG＝BE ，点A 、B 、E 在同一直线上，P 是线段DF 的中点，联结PG ，PC ．若∠ABC ＝∠BEF ＝60°，则PCPG＝________．19．（2022春·上海青浦·八年级校考期中）如图，平面内直线1234l l l l ∥∥∥，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD 的4个顶点分别在4条平行线上，则正方形的面积为_________．20．（2022春·上海·八年级校考期中）如图，E 为正方形ABCD 外一点，AE AD =，BE 交AD 于点F ，则BED ∠= ______︒．21．（2022春·上海浦东新·八年级校考期中）如图，已知在矩形纸片ABCD 中，2AB =，BC =E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将AEF △沿EF 所在直线翻折，得到A EF '△，连接A C '，A D '，则当A DC '△是以A D '为腰的等腰三角形时，AF 的长是_______________．22．（2022春·上海·八年级校考期中）在正方形ABCD 中，边长为8，点P 是对角线AC 上一点，CP =E 是射线AB 上一点，联结PE ，射线PF PE ⊥交直线AD 于F ，当AC CE =时，AF =______．23．（2022春·上海长宁·八年级上海市民办新世纪中学校考期末）如图，四边形ABCD 中，AC a =，BD b =，顺次连接四边形ABCD 各边的中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边的中点，得到四边形2222A B C D ；…；如此进行下去，得到四边形n n n n A B C D ，那么四边形15151515A B C D 的周长为________．三、解答题24．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）已知：如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2BC =．对角线AC 的垂直平分线分别交AB 、CD 于点E 、F ．求线段CF 的长．25．（2022春·上海宝山·八年级校考阶段练习）如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 、G 分别是AB 、CD 的中点，点F 在边BC 上，且1()2BF AD BC =+．(1)求证：四边形AEFG 是平行四边形；(2)连接AF ，若AG 平分FAD ∠，求证：四边形AEFG 是矩形．26．（2022春·上海·八年级上海同济大学附属存志学校校考期中）如图1，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．(1)当90ABC ∠=︒时，G 是EF 的中点，联结,DB DG （如图2），请直接写出BDG ∠的度数______．(2)当120ABC ∠=︒时，FG CE ∥，且FG CE =，分别联结DB 、DG （如图3），求BDG ∠的度数．27．（2022春·上海杨浦·八年级校考期中）已知：如图菱形ABCD ，点E ，F 分别为边BC ，CD 上的动点（不与端点重合），且∠EAF =∠B =60°．(1)求证：AE =AF ；(2)如果AB =8，设BE =x ，AE =y ，求y 与x 的函数关系式和定义域；(3)在（2）的基础上，当x 取何值时，AEF S △与CEF S △面积比值为7．28．（2022春·上海·八年级上海市泗塘中学校考阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是DB 延长线上一点，且ACE △是等边三角形．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若2AEB EAB ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．29．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE ∥BC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 与AC 、AE 分别交于点O 、点E ，连接EC ．(1)求证：AD ＝EC ；(2)若BC ＝2AD ，AB ＝AO ＝m ，求证：S 四边形ADCE ＝m 2．（其中S 表示四边形ADCE 的面积）30．（2022春·上海·八年级校考阶段练习）如图，已知ABC ，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D 在边BC 上，DE AB ⊥，垂足为点E ，以DE 为边作正方形DEFG ，点F 在边AB 上，且位于点E 的左侧，联结AG ．(1)设DE x =，AG y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；(2)当四边形ABDG 是等腰梯形时，求DE 的长；(3)联结BG ，当AGB 是等腰三角形时，求正方形DEFG 的面积．31．（2022春·上海·八年级校考期中）如图，在ABC 中，=AB AC ，AD BC ⊥，垂足为点D AN ，是ABC 外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点N ．(1)求证：四边形ADCE为矩形；满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？给出证明．(2)当ABC32．（2022春·上海·八年级上海市泗塘中学校考阶段练习）如图：已知在平面直角坐标系中，OADC是矩形，OA=，52OC=，点P是边AD边上一动点，联结CP，将四边形AOCP沿CP所在直线翻折，落在EFCP的位置，点A、B的对应点分别为点E、F，边CF与边AD的交点为点G．(1)当P 坐标为()2,2时，求G 点坐标，和直线CF 的解析式．(2)过G 作GH PC ⊥交OC 于H ，若(),2P x ；(),0H y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；(3)联结OP 并延长与线段CF 交于点M ，当PGM △时以MG 为腰的等腰三角形时求P 点坐标．33．（2022春·上海·八年级上海市张江集团中学校考期末）【探究与应用】我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将△ABC 沿直线AC 翻折至△AEC ，连结DE ，则AC ∥ED ．(1)如图1，若AD 与CE 相交于点O ，证明以上个结论；(2)如图2，AD 与CE 相交于点O ，若90B = ∠，2AB =，2BC =，求△AOC 的面积；(3)如果45B ∠= ，2BC =，当A 、C 、D 、E 为顶点的四边形是正方形时，请画图并求出AC 的长；(4)如果30B ∠= ，3AB =，当△AED 是直角三角形时，直接写出BC 的长．。
精品试卷沪科版八年级数学下册第19章 四边形必考点解析试题(含解析)
沪科版八年级数学下册第19章四边形必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80º，那么∠CDE的度数为（）A．20ºB．25ºC．30ºD．35º2、如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB=BE B．DE⊥DC C．∠ADB=90°D．CE⊥DE3、如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA C的坐标为（）A．1）B．（1，1）C．（1D．，1）4、如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．2.5 B．C D5、在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP ＝MP；②AN：AB＝AM：AC；③BN＝2AN；④当∠ABC＝60°时，MN∥BC，一定正确的有（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①④6、下列命题是真命题的是（）A．有一个角为直角的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D．有一组邻边相等的矩形是正方形7、如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB＝9，ADCDFE的面积是（）A．B．C．D．548、下列新冠疫情防控标识图案中，中心对称图形是（）A．B．C．D．9、如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°B．当▱ABCD是菱形时，AC⊥BDC．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC10、如图，在矩形ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O作线段EF交AD于F，交BC于E，OB＝EB，点G为BD上一点，满足EG⊥FG，若∠DBC＝30°，则∠OGE的度数为（）A ．30°B ．36°C ．37.5°D ．45°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在平行四边形ABCD 中，若∠A =130°，则∠B =______，∠C =______，∠D =______．2、判断：（1）菱形的对角线互相垂直且相等（________）（2）菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形（________）3、如图，四边形ABCD ，BP 、CP 分别平分ABC ∠、BCD ∠，写出A ∠、D ∠、P ∠之间的数量关系______．4、已知一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上中线的长度是_____．5、七边形内角和的度数是__________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图1，ABC 在平面直角坐标系中，且::2:3:4BO AO CO =；（1）试说明ABC 是等腰三角形；（2）已知2160cm ABC S =△．写出各点的坐标：A ( ， )，B ( ， )，C ( ， )．（3）在（2）的条件下，若一动点M 从点B 出发沿线段BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以相同速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．①若OMN 的一条边与BC 平行，求此时点M 的坐标；②若点E 是边AC 的中点，在点M 运动的过程中，MOE △能否成为等腰三角形？若能，求出此时点Ｍ的坐标；若不能，请说明理由．2、如图，ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，过点B 作BP ∥AC ，过点C 作CP ∥BD ，BP 与CP 相交于点P ．（1）试判断四边形BPCO 的形状，并说明理由；（2）若将ABCD 改为矩形ABCD ，且6,8AB BC ==，其他条件不变，求四边形BPCO 的面积；（3）要得到矩形BPCO ，ABCD 应满足的条件是_________（填上一个即可）．3、（探究发现）（1）如图1，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 为BC 的中点，E 、F 分别为边AC 、AB 上两点，若满足∠EDF＝90°，则AE、AF、AB之间满足的数量关系是．（类比应用）（2）如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝60°，试探究AE、AF、AB之间满足的数量关系，并说明理由．（拓展延伸）（3）在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为直线AC、AB上两点，若满足CE＝1，∠EDF＝60°，请直接写出AF的长．4、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB、DF⊥BC，垂足分别为E、F．求证：BE＝BF．5、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个三边长都是有理数的直角三角形；（2）在图2中，画一个以BC为斜边的直角三角形，使它们的三边长都是无理数且都不相等；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．-参考答案-一、单选题1、C【分析】依题意得出AE=AB=AD，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC-∠ADE，从而求解．【详解】∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，∴AE=AB=AD，在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，∴∠ADE=50°，又∵∠B=80°，∴∠ADC=80°，∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°．故选：C．【点睛】考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质求得∠ADE的度数．2、B【分析】先证明四边形BCED为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，又∵AD=DE，∴DE∥BC，且DE=BC，∴四边形BCED为平行四边形，A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意；B、∵DE⊥DC，∴∠EDB=90°+∠CDB＞90°，∴四边形DBCE不能为矩形，故本选项符合题意；C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意；D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识，判定四边形BCED为平行四边形是解题的关键．3、B【分析】作CD⊥x轴，根据菱形的性质得到OC=OA Rt△OCD中，根据勾股定理求出OD的值，即可得到C点的坐标．【详解】：作CD⊥x轴于点D，则∠CDO=90°，∵四边形OABC是菱形，OA∴OC=OA又∵∠AOC=45°，∴∠OCD=90°-∠AOC=90°-45°=45°，∴∠DOC=∠OCD，∴CD=OD，在Rt△OCD中，OC CD2+OD2=OC2，∴2OD2=OC2=2，∴OD2=1，∴OD=CD=1（负值舍去），则点C 的坐标为（1，1），故选：B ．【点睛】此题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求出OD =CD =1是解决问题的关键．4、D【分析】利用矩形的性质，求证明90OAB ∠=︒，进而在Rt AOB ∆中利用勾股定理求出OB 的长度，弧长就是OB 的长度，利用数轴上的点表示，求出弧与数轴交点表示的实数即可．【详解】 解：四边形OABC 是矩形，∴90OAB ∠=︒，在Rt AOB ∆中，由勾股定理可知：222OB OA AB =+，OB ∴==∴故选：D ．【点睛】本题主要是考查了矩形的性质、勾股定理解三角形以及数轴上的点的表示，熟练利用矩形性质，得到直角三角形，然后通过勾股定理求边长，是解决该类问题的关键．5、C【分析】利用直角三角形斜边上的中线的性质即可判定①正确；利用含30度角的直角三角形的性质即可判定②正确，由勾股定理即可判定③错误；由等边三角形的判定及性质、三角形中位线定理即可判定④正确．【详解】∵CM、BN分别是高∴△CMB、△BNC均是直角三角形∵点P是BC的中点∴PM、PN分别是两个直角三角形斜边BC上的中线∴12 PM PN BC==故①正确∵∠BAC=60゜∴∠ABN=∠ACM=90゜−∠BAC=30゜∴AB=2AN，AC=2AM∴AN：AB=AM：AC=1：2即②正确在Rt△ABN中，由勾股定理得：BN=故③错误当∠ABC=60゜时，△ABC是等边三角形∵CM⊥AB，BN⊥AC∴M、N分别是AB、AC的中点∴MN是△ABC的中位线∴MN∥BC故④正确即正确的结论有①②④故选：C【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，掌握这些知识并正确运用是解题的关键．6、D【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定及正方形的判定，结合选项进行判断即可．【详解】A.有三个角是直角的四边形是矩形，故本选项为假命题；B.两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项为假命题；C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项为假命题；D.有一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项为真命题．故选：D ．【点睛】考查矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定及正方形的判定，熟练掌握它们的判定方法是解题的关键．7、C【分析】过点F 作FM AD ⊥，FN BC ⊥分别交于M 、N ，由F 是AE 中点得12FM FN AE ==，根据ABE ADF ABCD CDEF S S S S =--矩形四边形，计算即可得出答案．【详解】如图，过点F 作FM AD ⊥，FN BC ⊥分别交于M 、N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC AD ==90ABE ∠=︒，∵点E 是BC 的中点，∴12BE BC == ∵F 是AE 中点， ∴1922FM FN AB ===，∴119699222ABE ADF ABCD CDEF S S SS =--=-⨯-⨯=矩形四边形 故选：C ．【点睛】 本题考查矩形的性质与三角形的面积公式，掌握ABE ADF ABCD CDEF S S SS =--矩形四边形是解题的关键．8、A【分析】 一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：选项B 、C 、D 不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以不是中心对称图形；选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以是中心对称图形；故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．9、D【分析】由矩形的四个角是直角可判断A，由菱形的对角线互相垂直可判断B，由正方形的对角线相等可判断C，由菱形的四条边相等可判断D，从而可得答案.【详解】解：当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°，正确，故A不符合题意；当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD，正确，故B不符合题意；当▱ABCD是正方形时，AC＝BD，正确，故C不符合题意；当▱ABCD是菱形时，AB＝BC，故D符合题意；故选D【点睛】本题考查的是矩形，菱形，正方形的性质，熟练的记忆矩形，菱形，正方形的性质是解本题的关键.10、C【分析】根据矩形和平行线的性质，得30∠=∠=︒；根据等腰三角形和三角形内角和性质，得DBC BDA∠BOE；根据全等三角形性质，通过证明OBE ODF=；根据直角三角形斜边中线、△∽△，得OE OF∠，再根据余角的性质计算，即可得到答案．等腰三角形、三角形内角和性质，推导得OFG【详解】∵矩形ABCD∴//AD BC∴30DBC BDA ∠=∠=︒∵OB ＝EB ， ∴180752DBC BOE BEO ︒-∠∠=∠==︒ ∴75FOG BOE ∠=∠=︒∵点O 为对角线BD 的中点，∴OB OD =OBE △和ODF △中30DBC BDA OB OD BOE DOF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴OBE ODF △∽△∴OE OF =∵EG ⊥FG ，即90EGF ∠=︒∴OE OF OG ∴18052.52FOG OFG OGF ︒-∠∠=∠==︒ ∴9037.5OGE OGF ∠=︒-∠=︒故选：C ．【点睛】本题考查了矩形、平行线、全等三角形、等腰三角形、三角形内角和、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、全等三角形、等腰三角形、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．二、填空题1、50︒ 130︒ 50︒【分析】利用平行四边形的性质：邻角互补，对角相等，即可求得答案．【详解】解：在平行四边形ABCD 中，B 、D ∠是A ∠的邻角，C ∠是A ∠的对角，∴50∠=∠=︒B D ，130C ∠=︒，故答案为：50︒ ，130︒，50︒．【点睛】本题主要是考查了平行四边形的性质：对角相等，邻角互补，熟练掌握平行四边形的性质，求解决本题的关键．2、× √【分析】根据菱形的性质，即可求解．【详解】解：（1）菱形的对角线互相垂直且平分；（2）菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形．故答案为：（1）×；（2）√【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解题的关键．3、2D A P +∠∠=∠【分析】如图（见解析），先根据角平分线的定义可得21,22ABC BCD ∠=∠∠=∠，再根据三角形的内角和定理、四边形的内角和即可得．【详解】解：如图，BP 、CP 分别平分ABC ∠、BCD ∠，21,22ABC BCD ∴∠=∠∠=∠，20118P ∠︒+=∠+∠，23221260P ∴∠+∠+∠=︒，又3212260D ABC A BCD A D ∠+∠=∠+∠∠+∠++∠=︒∠+，2D A P +∠∴=∠∠，故答案为：2D A P +∠∠=∠．【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、四边形的内角和，熟练掌握三角形的内角和定理、四边形的内角和是解题关键．4、5【分析】直角三角形中，斜边长为斜边中线长的2倍，所以求斜边上中线的长求斜边长即可．【详解】解：在直角三角形中，两直角边长分别为6和8，10， ∴斜边中线长为12×10＝5，故答案为 5．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，根据勾股定理求得斜边长是解题的关键．5、900°900度【分析】根据多边形内角和公式计算即可．【详解】解：七边形内角和的度数是(72)180900-⨯︒=︒，故答案为：900°．【点睛】本题考查了多边形内角和公式，解题关键是熟记n 边形内角和公式：2180()n -⨯︒．三、解答题1、（1）见解析；（2）12，0；-8，0；0，16；（3）①当M 的坐标为（2，0）或（4，0）时，△OMN 的一条边与BC 平行；②当M 的坐标为（0，10）或（12，0）或（253，0）时，，△MOE 是等腰三角形． 【分析】（1）设2BO m =，3AO m =，4CO m =，则5AB AO BO m =+=，由勾股定理求出AC ，即可得出结论；（2）由ABC 的面积求出m 的值，从而得到OB 、OA 、OC 的长，即可得到A 、B 、C 的坐标；（3）①分当//BC MN 时，AM AN =；当//ON BC 时，AO AN =；得出方程，解方程即可； ②由直角三角形的性质得出10cm OE =，根据题意得出MOE △为等腰三角形，有3种可能：如果OE OM =；如果EO EM =；如果MO ME =；分别得出方程，解方程即可．【详解】解：（1）证明：设2BO m =，3AO m =，4CO m =，则5AB AO BO m =+=，在Rt ACO 中，5AC m ==，AB AC ∴=，∴ABC 是等腰三角形；（2）∵115416022ABCS AB OC m m =⋅=⨯⋅=，0m >， ∴4m =，∴8cm BO =，12cm AO =，16cm CO =，20cm AC =．∴A 点坐标为（12，0），B 点坐标为（-8，0），C 点坐标为（0，16）， 故答案为：12，0；-8，0；0，16；（3）①如图3-1所示，当MN ∥BC 时，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠ABC ，∠ANM =∠ACB ，∴∠AMN =∠ANM ，∴AM =AN ，∴AM =BM ，∴M 为AB 的中点，∵20cm AB =，∴10cm AM =，∴2cm OM =，∴点M的坐标为（2，0）；如图3-2所示，当ON∥BC时，同理可得12cmOA AN BM===，∴4cmOM BM OB=-=，∴M点的坐标为（4，0）；∴综上所述，当M的坐标为（2，0）或（4，0）时，△OMN的一条边与BC平行；②如图3-3所示，当OM=OE时，∵E是AC的中点，∠AOC=90°，20cmAC=，∴110cm2OM OE AE AC====，∴此时M的坐标为（0，10）；如图3-4所示，当=10cm OE ME =时，∴此时M 点与A 点重合，∴M 点的坐标为（12，0）；如图3-5所示，当OM =ME 时，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，∵OE =AE ，EF ⊥OA ， ∴1=6cm 2OF OA =，∴8cm EF ，设cm OM ME n ==，则()6cm MF OM OF n =-=-，∵222ME EF FM =+，∴()22286n n =+-， 解得253n =，∴M点的坐标为（25，0）；3综上所述，当M的坐标为（0，10）或（12，0）或（25，0）时，，△MOE是等腰三角形．3【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的直线，三角形面积等等，解题的关键在于能够利用数形结合和分类讨论的思想求解．2、（1）平行四边形，理由见解析；（2）四边形BPCO的面积为24；（3）AB=BC或AC⊥BD等（答案不唯一）【分析】（1）利用平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可证明．（2）利用矩形的性质，得到对角线互相平分，进而证明四边形BPCO是菱形，分别求出菱形的对角线长度，利用对角线乘积的一半，求解面积即可．（3）添加的条件只要可以证明AC BD即可得到矩形BPCO．【详解】解：（1）四边形BPCO是平行四边形，∵BP∥AC，CP∥BD，∴四边形BPCO是平行四边形．（2）连接OP．∵四边形ABCD是矩形，∴OB=12BD，OC=12AC，AC=BD，∠ABC=90°，∴OB=OC．又四边形BPCO是平行四边形，∴□BPCO是菱形．∴OP⊥BC.又∵AB⊥BC，∴OP∥AB.又∵AC∥BP，四边形ABPO是平行四边形，∴OP=AB=6.∴S菱形BPCO=118624 22BC OP⨯=⨯⨯=．（3）AB=BC或AC⊥BD等（答案不唯一）．当AB=BC时，ABCD为菱形，此时有：AC BD⊥，利用含有90︒的平行四边形为矩形，即可得到矩形BPCO，当AC⊥BD时，利用含有90︒的平行四边形为矩形，即可得到矩形BPCO．【点睛】本题主要是考查了平行四边形、矩形和菱形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质，是求解该类问题的关键．3、（1）AB＝AF+AE；（2）AE+AF＝12AB，理由见解析；（3）32或72【分析】（1）证明△BDF≌OADE，可得BF＝AE，从而证明AB＝AF+AE；（2）取AB中点G，连接DG，利用ASA证明△GDF≌△ADE，得到GF＝AE，可得AG＝12AB＝AF+FG＝AE+AF；（3）分两种情况：当点E在线段AC上时或当点E在AC延长线上时，取AC的中点H，连接DH，同理证明△ADF≌△HDE，得到AF＝HE，从而求解．【详解】（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵D为BC中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝45°，AD＝BD＝CD，∴∠ADB＝∠ADF+∠BDF＝90°，∵∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠BDF＝∠ADE，∵BD＝AD，∠B＝∠CAD＝45°，∴△BDF≌△ADE（ASA），∴BF＝AE，∴AB＝AF+BF＝AF+AE；故答案为：AB＝AF+AE；（2）AE+AF＝1AB．理由是：2如图2，取AB中点G，连接DG，∵点G是Rt ADB斜边中点，AB，∴DG＝AG＝BG＝12∵AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∴∠GDA＝∠BAD＝60°，即∠GDF+∠FDA＝60°，又∵∠FAD+∠ADE＝∠FDE＝60°，∴∠GDF＝∠ADE，∵DG＝AG，∠BAD＝60°，∴△ADG为等边三角形，∴∠AGD＝∠CAD＝60°，GD＝AD，∴△GDF≌△ADE（ASA），∴GF＝AE，∴AG＝12AB＝AF+FG＝AE+AF，∴AE+AF＝12AB；（3）当点E在线段AC上时，如图3，取AC的中点H，连接DH，当AB＝AC＝5，CE＝1，∠EDF＝60°时，AE＝4，此时F在BA的延长线上，同（2）可得：△ADF≌△HDE（ASA），∴AF＝HE，∵AH＝CH＝12AC＝52，CE＝1，∴53122 AF HE CH CE==-=-=，当点E在AC延长线上时，如图4，同理可得：57122 AF HE CH CE==+=+=；综上：AF的长为32或72．【点睛】本题考查三角形综合问题，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键4、见解析【分析】根据菱形的性质，可得AD＝DC，AB＝BC，∠A＝∠C．从而得到△AED≌△CFD．从而得到AE＝CF．即可求证．【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AB＝BC，∠A＝∠C．∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED＝∠CFD＝90°．∴△AED≌△CFD（AAS）．∴AE＝CF．∴AB﹣AE＝BC﹣CF．即：BE ＝BF ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的对角相等，对边相等是解题的关键．5、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）如图，AB =4，BC =3，5AC ，利用勾股定理逆定理即可得到△ABC 是直角三角形；（2）如图，AB ==AC BC =得到△ABC 是直角三角形；（3）如图，AB BC CD AD =====AC =222AC AB BC =+，∠ABC =90°，即可得到四边形ABCD 是正方形，10ABCD SAB BC =⋅=．【详解】解：（1）如图所示，AB =4，BC =3，5AC =，∴222AC AB BC =+，∴△ABC 是直角三角形；（2）如图所示，AB =AC BC =∴222AC AB BC =+，∴△ABC 是直角三角形；（3）如图所示，AB BC CD AD ===== AC = ∴222AC AB BC =+，∴∠ABC =90°，∴四边形ABCD 是正方形， ∴10ABCDS AB BC =⋅=．【点睛】 本题主要考查了有理数与无理数，正方形的判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知相关知识是解题的关键．。
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初中数学沪科版平行四边形汇编考试卷考点姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________
题型
选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分
得分
一、选择题
7．如图，平行四边形中，的平分线交于，，，则的长是（）
A．1
B．1.5
C．2
D．3
6．下列性质中，平行四边形具有而非平行四边形不具有的是（）
A．内角和为360°
B．外角和为360°
C．对角线互相平分
D．对角互补；
3．下列说法中，错误的是( )
A．平行四边形的对角线互相平分
B．菱形的对角线互相垂直
C．矩形的对角线相等
D．正方形的对角线不一定互相平分
7．不能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行另一组对边相等
C．一组对边平行且相等
D．两组对边分别相等
7．如图,在平行四边形ABCD中,DE是∠ADC的平分线,F是AB的中点,AB=6,AD=4,则AE∶EF∶BE为 ( ) 评卷人得分
A．4∶1∶2
B．4∶1∶3
C．3∶1∶2
D．5∶1∶2
9．在四边形ABCD中，若有下列四个条件：①AB//CD；②AD=BC；③∠A=∠C；④AB=CD，现以其中的两个条件为一组，能判定四边形ABCD是平行四边形的条件有（）
A．3组
B．4组
C．5组
D．6组
3．下面四个图形中，不是中心对称图形的是( ) ‘
3．如图，已知在平行四边形ABCD中，向量在向量、方向上的分向量分别是（）
A．、
B．、—
C．—、
D．—、—
4．下列命题中是真命题的是
A．两边相等的平行四边形是菱形
B．一组对边平行一组对边相等的四边形是平行四边形
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
14．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为8cm，则平行四边形ABCD的周长为______________．
11．如图,□ABCD中,∠C=108°,BE平分∠ABC,则∠ABE等于______________
12．“四边形是多边形”的逆命题是______________．
16．如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并加以证明(写出一种即可)．
①AD∥BC；②AB＝CD；③∠A＝∠C；④∠B＋∠C＝180°.
已知：在四边形ABCD中，________，________．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
20．已知：如图7， EF是△ABC的中位线，设，．
（1）求向量、（用向量、表示）；
（2）在图中求作向量在、方向上的分向量．
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
19．如图，在平行四边形中，是对角线上的两点，且.求证:.。