[高中数学必修4]第一章 基本初等函数(Ⅱ)
高中数学 第一章 基本初等函数(II)1.3 三角函数的图象与性质 1.3.2 余弦函数、正切函数的
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质第一课时 余弦函数的图象与性质1．余弦函数的图象(1)把正弦曲线向左平移π2个单位就可以得到余弦函数的图象．余弦函数y ＝cos x 的图象叫做余弦曲线．(2)余弦曲线．除了上述的平移法得到余弦曲线，还可以用：①描点法：按照列表，描点，连线顺序可作出余弦函数图象的方法．②五点法：观察余弦函数的图象可以看出，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)这五点描出后，余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了．【自主测试1】画出函数y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的简图．分析：运用五点作图法，首先要找出起关键作用的五个点，然后描点连线． 解：列表：ω＞0)的周期为T ＝2πω.今后，可以使用这个公式直接求这类函数的周期．【自主测试2－1】函数y ＝2cos x ＋1的最大值和最小值分别是( ) A ．2，－2 B ．3，－1 C ．1，－1 D ．2，－1 答案：B【自主测试2－2】已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下列结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x (x ∈R )，f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数． 答案：D正弦函数与余弦函数的图象和性质的区别与联系(4)sin x ＋cos x ＝1题型一 用“五点法”作函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象 【例题1】用“五点法”画出函数y ＝2cos 2x 的简图．分析：先找出此函数图象上的五个关键点，画出其在一个周期上的函数图象，再进行扩展得到在整个定义域内的简图．解：因为y ＝2cos 2x 的周期T ＝2π2＝π，所以先在区间[0，π]上按五个关键点列表如下．然后把y ＝2cos 2x 在[0，π]上的图象向左、右平移，每次平移π个单位长度，则得到y ＝2cos 2x 在R 上的简图如下．反思在用“五点法”画出函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象时，所取的五点应由ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π来确定，而不是令x ＝0，π2，π，3π2，2π.题型二 三角函数的图象变换【例题2】函数y ＝sin 2x 的图象可由y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象平移得到，若使平移的距离最短，则应( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移7π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π8个单位长度解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4＋π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8，故函数y ＝sin 2x 的图象可由y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位长度得到．故选D ．答案：D反思一定要注意看清变换的顺序，即看清是以哪个函数图象作为基准． 题型三 函数的定义域问题【例题3】求函数y ＝36－x 2＋lg cos x 的定义域．分析：首先根据函数解析式列出使函数有意义的条件不等式组，然后分别求解，最后求交集即可．解：要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧36－x 2≥0，cos x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，2k π－π2<x <2k π＋π2k ∈Z .利用数轴求解，如图所示：所以函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－6，－3π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，6. 反思利用数轴或者单位圆取解集的交集或并集非常简捷、清晰，但要注意区间的开闭情况．题型四 余弦函数的最值或值域【例题4】(1)求函数y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3的值域；(2)求函数y ＝2＋cos x2－cos x的最值；(3)求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的值域．分析：(1)结合y ＝cos x 的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上先增后减即可求解；(2)利用|cos x |≤1这一性质；(3)利用配方法，结合二次函数的性质求解．解：(1)∵y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上单调递减，∴y ma x ＝cos 0＝1，y min ＝cos 2π3＝－12，∴y ＝cos x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. (2)由y ＝2＋cos x 2－cos x ，求得cos x ＝2y －1y ＋1.∵|cos x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y －1y ＋1≤1，∴[2(y －1)]2≤(y ＋1)2.解得13≤y ≤3，∴y ma x ＝3，y min ＝13.(3)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎪⎫cos x －232－13，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12， 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y ma x ＝154.当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，154.反思求函数的最值的方法有以下几种：(1)直接法．根据函数值域的定义，由自变量的取值范围求出函数值的取值范围． (2)利用函数的单调性．(3)利用函数的图象，转化为求函数图象上最高点和最低点的纵坐标的问题．(4)利用换元法，转化为一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数问题．题型五 余弦函数图象的应用【例题5】求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的对称中心、对称轴方程、单调递减区间和最小正周期．分析：利用整体换元，设t ＝2x ＋π4，则问题转化为考查函数y ＝cos t 的相关性质．解：设t ＝2x ＋π4，则函数y ＝cos t 的图象如图所示．令t ＝k π(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k π(k ∈Z )．故x ＝k ·π2－π8(k ∈Z )即为所求的对称轴方程．令t ＝k π＋π2(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k ·π2＋π8(k ∈Z )．故⎝ ⎛⎭⎪⎫k ·π2＋π8，0(k ∈Z )即为所求的对称中心．当t ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )时，2x ＋π4∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． 故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． ∵cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2π＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋π＋π4， ∴最小正周期T ＝π.反思整体换元思想是解决较复杂三角函数问题常用的一种方法，它能将问题化归为对基本三角函数的考查．〖互动探究〗若将本例中的函数改为“y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4”呢？ 解：设t ＝2x ＋π4，则问题转化为考查函数y ＝|cos t |，如图所示：解答过程同例题，可得无对称中心．令t ＝k ·π2(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k ·π2(k ∈Z )，∴对称轴为x ＝k ·π4－π8(k ∈Z )；令t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )， ∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ·π2－π8，k ·π2＋π8故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ·π2－π8，k ·π2＋π8(k ∈Z )．最小正周期T ＝π2.反思(1)若三角函数式子中带绝对值号，则通常通过观察图象得到周期和单调区间． (2)正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 取绝对值后，周期缩为原来的一半，即 ①y ＝|sin x |的周期为π； ②y ＝|cos x |的周期为π.1．下列说法不正确的是( )A ．正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是[－1,1]B ．余弦函数当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时取得最大值1，当且仅当x ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )时取得最小值－1C ．正弦函数在每个区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上都是减函数 D ．余弦函数在每个区间[2k π－π，2k π](k ∈Z )上都是减函数 答案：D2．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2答案：A3．(2012·重庆期末)把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到图象的解析式为( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3 答案：D4．若函数y ＝a cos x ＋b 的最小值为－12，最大值为32，则a ＝__________，b ＝__________.解析：由于y ma x ＝32，y min ＝－12，且－1≤cos x ≤1，则当a ＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，－a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12.当a ＜0时，有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝32，a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝12.综上，a ＝±1，b ＝12.答案：±1 125．函数y ＝|cos x |的单调增区间为________，单调减区间为________，最小正周期为________．解析：函数y ＝|cos x |的图象，如图所示．由图可知它的最小正周期为π.又因为在一个周期⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上，函数的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.而函数的周期是k π(k ∈Z )，因此函数y ＝|cos x |的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z )，减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) π 6．函数f (x )的定义域为[0,1]，则f (cos x )的定义域是__________．解析：由已知0≤cos x ≤1，得2k π－π2≤x ≤2k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) 7．已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)用“五点法”画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)求函数f (x )的最大值，并求出取得最大值时自变量x 的取值集合； (3)求函数f (x )的单调增区间． 解：(1)列表：(2)当2x －π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，y ma x ＝3，此时x 取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π8，k ∈Z. (3)当2k π－π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )时，k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，故函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )．。
高中数学(各版本教材目录)
高中数学各版本新教材目录体系比较第三章统计案例§1 回归分析1.1回归分析1.2相关系数1.3可线性化的回归分析阅读材料高尔顿与回归§2 独立性检验2.1条件概率与独立事件阅读材料概率与法庭2.2独立性检验2.3独立性检验的基本思想2.4独立性检验的应用《数学选修4-1 几何证明选讲》第一章直线、多边形、圆§1 全等与相似§2 圆与直线§3 圆与四边形第二章圆锥曲线§1 截面欣赏§2 直线与球、平面与球的位置关系§3 柱面与平面的截面§4 平面截圆锥面§5 圆锥曲线的几何性质《数学选修4-2 矩阵与变换》第一章平面向量与二阶方阵§1平面向量及向量的运算§2向量的坐标表示及直线的向量方程§3二阶方阵与平面向量的乘法第二章几何变换与矩阵§1几种特殊的矩阵变换§2矩阵变换的性质第三章变换的合成与矩阵乘法§1变换的合成与矩阵乘法§2矩阵乘法的性质第四章逆变换与逆矩阵§1逆变换与逆矩阵§2初等变换与逆矩阵§3二阶行列式与逆矩阵§4可逆矩阵与线性方程组第五章矩阵的特征值与特征向量§1矩阵变换的特征值与特征向量§2特征向量在生态模型中的简单应用《数学选修4-4坐标系与参数方程》第一章坐标系§1 平面直角坐标系§2 极坐标系§3 柱坐标系和球坐标系第二章参数方程§1 参数方程的概念§2 直线和圆锥曲线的参数方程§3 参数方程化成普通方程§4 平摆线和渐开线§5 圆锥曲线的几何性质《数学选修4-5不等式选讲》第一章不等关系与基本不等式§1 不等式的性质§2 含有绝对值的不等式§3 平均值不等式§4 不等式的证明§5 不等式的应用第二章几个重要不等式§1 柯西不等式§2 排序不等式§3 数学归纳法与贝努利不等式。
人教A版高中数学教材目录(全)
必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例1.3实习作业第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题二元一次不等式（组）与平面区域简单的线性规划问题3.4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1-2第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用1．2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1合情推理与演绎证明2．2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3．2复数代数形式的四则运算第四章框图4．1流程图4．2结构图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝第四讲平面解析几何的产生第五讲微积分的诞生第六讲近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考第九讲中国现代数学的开拓与发展选修3-2选修3-3第一讲从欧氏几何看球面第二讲球面上的距离和角第三讲球面上的基本图形第四讲球面三角形第五讲球面三角形的全等第六讲球面多边形与欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系第八讲欧氏几何与非欧几何选修3-4第一讲平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第三讲对称与群的故事选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质第二讲直线与圆的位置关系第三讲圆锥曲线性质的探讨选修4-2第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法第三讲逆变换与逆矩阵第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量选修4-3选修4-4第一讲坐标系第二讲参数方程选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式第二讲证明不等式的基本方法第三讲柯西不等式与排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用选修4-7第一讲优选法第二讲试验设计初步选修4-8选修4-9第一讲风险与决策的基本概念第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介高中人教版（B）教材目录介绍必修一第一章集合1．1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算第二章函数word格式-可编辑-感谢下载支持 2．1 函数2．2 一次函数和二次函数2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数3．3 幂函数3．4 函数的应用（Ⅱ）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1 平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程2．3 圆的方程2．4 空间直角坐标系必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3．2 古典概型3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用必修四第一章基本初等函(Ⅱ)1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1 向量的线性运算2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式3．3 三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用选修1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2 基本不等式1．3 绝对值不等式的解法1．4 绝对值的三角不等式1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2 排序不等式2．3 平均值不等式(选学)2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1 数学归纳法原理3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。
第一章基本初等函数1.1.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修4
导学号34340042 把α＝1 690°写成β＋2kπ(k∈Z，β∈[0,2π))的形式．
π 25π [解析] 1 690° ＝180×1 690＝8π＋ 18 .
第一章
1.1
1.1.2
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导学号34340045
27π 3π ∴ 4 与 4 终边相同． 3π 27π 又∵ 4 是第二象限角，∴ 4 是第二象限角．
第一章 1.1 1.1.2
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39π 3π π 39π π (2) 6 ＝6π＋ 6 ＝6π＋2，∴ 6 与2的终边相同． π 39π 又∵2是象限界角，∴ 6 也是象限界角，它不属于任何象 限．
第一章 1.1 1.1.2
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3π 3 (2)∵β1＝ 5 ＝(5×180)° ＝108° ，与其终边相同的角为 108° ＋k· 360° ，k∈Z， ∴在－720° ～0° 范围内与 β1 有相同终边的角是－612° 和－ 252° . 同理，β2＝－420° 且在－720° ～0° 范围内与 β2 有相同终边 的角是－60° ，－420° .
导学号34340033
[答案] B 12π [解析] ＝720° ，故选 B． 3 ＝4π＝4×180°
第一章 1.1 1.1.2
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2．(2015· 山东烟台高一期末测试)若扇形的半径为 1，圆心 角为 3 弧度，则扇形的面积为( A．1 C．2
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：1-3-1-3
1．3 三角函数的图象与性质
1．3.1 正弦函数的图象与性质
第三课时
正弦型函数y＝Asin(ω x＋φ )
课前预习目标
课Hale Waihona Puke 互动探究课前预习目标梳理知识 夯实基础
学习目标 1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义． 2．会用图象变换法画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
自学导航 1.正弦型函数 2π (1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)中，周期T＝ ω ，频率f 1 ω ＝ ＝ . φ 叫做初相． T 2π (2)一般地，函数y＝Asinx的值域为[－|A|，|A|]φ，最大值为
|A| ，最小值为 －|A|， |A| 的大小，反映曲线y＝Asinx波动的大
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1
π 指出将 y＝sinx 的图象变换为 y＝sin(2x＋3)的图象的
两种方法． 剖析 1 π π x→2x→2(x＋ )＝2x＋ . 6 3
解析 1 y＝sinx
y＝sin2x
π π y＝sin 2 x＋6 ＝sin(2x＋3)．
)
A．最小正周期是π π B．直线x＝ 是f(x)图象的一条对称轴 12
π C．函数f(x)图象关于点－6，0对称
π D．f(x)的图象向右平移3个单位，可得到y＝sin2x的图象
π π 解析 f(x)的图象向右平移3个单位，得到函数y＝fx－3＝ π π π sin2 x－3＋3＝sin2x－3.
答案
D
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)
π A＞0，ω＞0，|φ|＜ 2
山东省高中数学必修四(人教B版)同步教学课件：第一章+基本初等函数(14份)123
6
tanα＝csoinsαα＝
3＝ 3
2.
3
当α是第四象限角时，
sinα＝－ 1－cos2α＝－ tanα＝csoinsαα＝－ 2.
1－
332＝－
6 3.
(3)∵tanα＝－ 22<0，∴α是第二、四象限角．
由tanα＝csoinsαα＝－ 22， sin2α＋cos2α＝1，
解析
(1)由tanα＝
sinα csα＝－3sinα，代入所求
式得45s－inα3－sin2α－ ＋33ssininαα＝－1012sisninαα＝－56.
(2)原式＝2sin2α－c32ocso2αs＋ α·ssiinnα2＋α 5cos2α
＝2tan2α－32tanα＋5·1＋t1an2α
2．商数关系： tanα＝csoinsαα .
思考探究 1.同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？ 提示 平方关系对任意角都成立．商数关系对任意不等于 kπ＋π2(k∈Z)的角都成立．
2．你知道“同角”的含义吗？ 提示 “同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对 “任意”一个角(在使函数有意义的前提下)的关系式都成立， 与角的表达形式无关．如：sin23α＋cos23α＝1等.
变式训练2 已知tanα＝2，求下列各式的值： (1)2ccoossαα＋－23ssiinnαα； (2)4sin2α－1 9cos2α； (3)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α.
由csoinsAA＝
2 3
sin2A＋cos2A＝1
得，cos2A＝191，∴sin2A＝121.
∴sinA＝
22 11 .
答案
22 11
名师点拨 1.当已知一个角的某一个三角函数值时，利用两个关系 式，就可以求出这个角的另外两个三角函数值．用平方关系时 注意符号的选取． 2．除了掌握两个基本公式外，还要熟练掌握其等价形 式： sin2α＋cos2α＝1⇔sin2α＝1－cos2α⇔cos2α＝1－sin2α； tanα＝csoinsαα⇔sinα＝tanα·cosα.
2017-2018学年高中数学人教B版必修4课件：第一章基本初等函Ⅱ第9课时正弦型函数y=Asinωx+φ
第一步：列表． 3π π 2π ωx＋φ 0 2 φ π φ π φ 3π φ 2π φ x － － － － － ω 2ω ω ω ω 2ω ω ω ω y 0 A 0 0 －A π 2
再将这部分图象向左或向右延伸 kπ(k∈Z)个单位长度， 就可 π 得函数 y＝2sin2x－3 (x∈R)的图象. 第二步：在坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，得到图象.
讲重点 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中参数的物理意 义的理解 (1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离， 称为振幅． 2π (2)T：T＝ ，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需 ω 要的时间，称为周期． 1 ω (3)f：f＝ ＝ ，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往 T 2π 复运动的次数，称为频率． (4)ωx＋φ：称为相位；φ：当 x＝0 时的相位，称为初相.
第9课时 正弦型函数y＝Asin(ω x＋φ )
1 说基础· 名师导读 知识点 1 正弦型函数的概念 形如 y＝Asin(ωx＋φ)(其中 A，ω，φ 都是常数)的函数，通常 叫做正弦型函数． 当函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈(0，＋∞))表示一 2π 个振动量时，则 A 称为振幅；T＝ 称为这个振动的周期；单位 ω 1 时间内往复振动的次数 f＝ 称为频率；ωx＋φ 称为相位；x＝0 T 时，相位 φ ω， φ 为常数， 且 A≠0， 2π ω＞0)的周期 T＝ . ω
(1)相位变换． 向左φ＞0或向右φ＜0 y＝sinx 的图象 ――→ y＝sin(x＋φ)的图象． 平移|φ|个单位长度 (2)周期变换． 横坐标缩短ω＞1或伸长0＜ω＜1 1 y＝sinx 的图象――――――――――――――――――→ 到原来的 倍纵坐标不变 ω y＝sinωx 的图象．
必修4第一章基本初等函数(Ⅱ)
1．1．1 角的概念的推广【自主预习】阅读课本，完成下列问题1．在平面，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向：顺时针方向和逆时针方向．习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做；按照顺时针方向旋转而成的角叫做；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做．2．射线O A 绕端点O 旋转到O B 位置所成的角，记作∠A O B ，其中O A 叫做∠A O B 的，O B 叫做∠A O B 的．3．角的减法运算可以转化为角的加法运算，即βα-可以化为)(βα-+．这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和．4．角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴正半轴重合．这时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角． 【知识要点】【例1】（1）钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？ （2）若将钟表拨慢了10分钟，则时针和分针分别转了多少度？【例2】在0°到360°的围，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角．（1）650° （2） 150- （3） 240-【例3】已知α与240°角的终边相同，判断2α是第几象限角．【基础练习】1．在①160°；②480°；③－960°；④－1600°．这四个角中属于第二象限角的是（ ） A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④ 2．下列命题中正确的是（ ）A ．终边相同的角都相等B ．第一象限的角比第二象限的角小C ．第一象限角都是锐角D ．锐角都是第一象限角3．射线OA 绕端点O 逆时针旋转120°到达OB 位置，由OB 位置顺时针旋转270°到达OC 位置，则∠AOC ＝（ ） A ．150°B ．－150°C ．390°D ．－390°4．如果α的终边上有一个点P （0，－3），那么α是（ ）A ．第三象限角B ．第四象限角C ．第三或四象限角D ．不属于任何象限角 5．与45°角终边相同的角（ ）A ．k ·360°－45°， k ∈ZB ．k ·360°－405° ，k ∈ZC ．k ·360°+45° ，k ∈ZD ．k ·180°+45° ，k ∈Z 6．若角α与β终边相同，则一定有（ ） A ．α+β=180°B ．α+β=0°C ．α－β=k ·360°(k ∈Z )D ．α+β=k ·360°(k ∈Z )7．集合A ={α｜α=k ·90°－36°，k ∈Z }，B ={β｜－180°<β<180°}，则A ∩B 等于( ) A ．{－36°，54°} B ．{－126°，144°}C ．{－126°，－36°，54°，144°}D ．{－126°，54°} 8．设α=－60°，则与角α终边相同的角的集合可以表示为． 9．分针走10分钟所转过的角度为；时针转过的角度为． 10．与－15°终边相同的在 3601080-<≤-︒β之间的角β为．11．若β是第四象限角，则β- 180是第_____象限角；β+ 180是第____象限角． 12．用集合表示下列角的终边：终边落在x 轴正半轴上角的集合表示为； 终边落在x 轴负半轴上角的集合表示为；终边落在x 轴上角的集合表示为；终边落在y 轴正半轴上角的集合表示为； 终边落在y 轴负半轴上角的集合表示为； 终边落在坐标轴上角的集合表示为； 第一象限角的集合表示为； 第二象限角的集合表示为； 第三象限角的集合表示为； 第四象限角的集合表示为． 13．若2α是第一象限角，则α的终边在．14．集合},3690|{Z k k A ∈-⋅== αα，}180180|{ <<-=ββB ，则__________________=⋂B A 15．把下列各角化成 3600(360<≤⋅+ααk ，k ∈Z 的形式，并指出它们是第几象限的角． （1） 1200 （2） 55- （3） 1563 （4） 1590-【巩固提高】1．下列说法中正确的是( ) A ．120°角与420°角的终边相同B ．若α是锐角，则2α是第二象限的角C ．－240°角与480°角都是第三象限的角D ．60°角与－420°角有的终边关于x 轴对称2．若角α满足α＝45°＋k ·180°，k ∈Z ，则角α的终边落在( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限 3．下列叙述正确的是( )A ．第一或第二象限的角都可作为三角形的角B ．始边相同而终边不同的角一定不相等C ．第四象限角一定是负角D ．钝角比第三象限角小4．已知α是第三象限角，则－α是第________象限角( )A ．四B ．三C ．二D ．一5．若角α与β的终边相同，则角α－β的终边( )A ．在x 轴的非负半轴上B ．在x 轴的非正半轴上C ．在y 轴的非正半轴上D ．在y 轴的非负半轴上6．在直角坐标系中，若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系是( ) A ．β=α+90°B ．β=α±90°C ．β=α+90°+k ·360°(k ∈Z )D ．β=α±90°+k ·360°(k ∈Z ) 7．在－360°～720°之间，与－367°角终边相同的角是________． 8．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是________． 9．已知集合}{锐角=M ，}90{的角小于 =N ，}{第一象限的角=P ，下列说法：①N P ⊆，②M P N = ，③P M ⊆，④P N M ⊆)( 其中正确的是____________．10．在平面直角坐标系中，画出下列集合所表示的角的终边所在区域(用阴影表示)．(1){α|k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z }．(2){α|k ·180°≤α≤135°＋k ·180°，k ∈Z }．【课后思考】如图，分别写出适合下列条件的角的集合： (1)终边落在射线OB 上； (2)终边落在直线OA 上；(3)终边落在阴影区域(含边界)．1．1．2 弧度制和弧度制与角度制的换算【自主预习】阅读课本，完成下列问题1．弧度制：规定长度等于__________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．2．弧度数：正角的弧度数为______，负角的弧度数为______，零角的弧度数为_____．在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为α rad ，α=_____．3．角度制与弧度制相互换算360°＝_________rad 180°＝_________rad1°＝_________rad 1 rad ＝_________°≈ _________° 4．弧度制下的弧长公式和扇形面积公式：(l 为弧长，r 为半径) 弧长公式：____________________________． 扇形面积公式：________________________． 【知识要点】【例1】把下列各角从度化为弧度．（1） 150 （2） 240- （3） 350-【例2】把下列各角从弧度化为度．（1）53π （2）12π （3）65π- （4）2【例3】（1）已知扇形的弧长为8cm ，圆心角为2rad ，求该扇形的面积． （2）已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2rad ，求该扇形的面积．（3）已知扇形周长为4cm ，求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数．【基础练习】 度数 0° 30°90° 120° 135°225° 270°弧度数4π 3π 65π π35ππ2 A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；B ．1度的角是周角的3601，1弧度的角是周角的π21；C ．根据弧度的定义，180°等于π弧度；D ．无论用角度值还是用弧度制度量角，它们的大小均与圆的半径长短有关． 3．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增大到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 4．下列表示的为终边相同的角的是( )A ．k π+4π与2kπ+4π(k ∈Z ) B ．2πk 与k π+2π(k ∈Z ) C ．kπ－32π与kπ+3π(k ∈Z ) D ．(2k +1)π与3kπ(k ∈Z )5．一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( ) A ．3πB ．6πC ．1D ．π 6．若角3=α，则角α的终边在第____象限；若2-=α，则角α的终边在第___象限． 7．圆的半径为10，则2rad 的圆心角所对的弧长为______；扇形的面积为________．8．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合(不包括边界)．9．将下列各角化成)20(,2παπα<≤+k ，Z k ∈的形式，并指出第几象限角．（1）319πα=（2）0315-=α（3）322πα=10．用弧度制表示下列角的集合．（1）终边在x 轴非正半轴； （2）终边在第三象限角平分线上的角； （3）终边在直线x y 3=上的角．11．已知扇形的周长为6 cm ，面积为2 cm 2，求扇形的中心角的弧度数．【巩固提高】1．下列说法中，错误的是( )A ．半圆所对的圆心角是π radB ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 2．与30°角终边相同的角的集合是( )A ．{α|α＝k ·360°＋π6，k ∈Z }B ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z }C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z }D ．{α|α＝2k π＋π6，k ∈Z }3．下列转化结果错误的是( )A ．67°30′化成弧度是3π8B ．－10π3化成角度是－600°C ．－150°化成弧度是－7π6D ．π12化成角度是15° 4．在半径为8 cm 的圆中，5π3的圆心角所对的弧长为( )A ．403π cmB ．203π cmC ．2003π cmD ．4003π cm5．集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的围(阴影部分)是( )6．已知α是第四象限角，则2α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第二或第四象限角7．已知2rad 的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为( )A ．2B ．sin 2C ．1sin 2D ．2 sin 1 8．若集合})12(2|{Z k k k P ∈+≤≤=，παπα，}44|{≤≤-=ααQ ，则P∩Q 等于( )A ．∅B ．}04|{παπαα≤≤-≤≤-或C ．}44|{≤≤-ααD ．}0|{παα≤≤9．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，则角A，B，C的弧度数分别为________．10．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的面积是________．11．若一圆弧长等于其所在圆的接正三角形的边长，那么该圆弧的圆心角等于_____．12．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角．(1)－725°；(2)－60°＋k·360°(k∈Z)．13．已知一个扇形的周长为8π9＋4，圆心角为80°，求这个扇形的面积．【课后思考】角α，β的终边关于直线y=x对称，写出α与β的关系式．1．2．1 三角函数的定义【自主预习】阅读课本，完成下列问题1．在平面直角坐标系中，设点P是角α终边上任意一点，坐标为P(x，y)，设OP=r（r≠0），定义：__________叫做α的余弦，记作_________，即________=________；__________叫做α的正弦，记作_________，即________=________；__________叫做α的正切，记作_________，即________=________．有时我们还用到下面三个函数：角α的正割：sec α=_______=________；角α的余割：csc α=_______=________；角α的余切：cot α=_______=________．2．由定义可知，当α的终边在y轴上，即α=时，没有意义；当α的终边在x轴上，即α=时，没有意义3．y=sin x和y=cos x的定义域分别是________________；y=tan x的定义域是__________________．4．三角函数在各象限的符号填入括号．记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦【知识要点】【例1】已知角α的终边经过点P(4，－3)，求α的六个三角函数的值．【例2】已知角α的终边在直线y=－2x上，求α的正弦．余弦．正切的值．【例3】确定下列三角函数值的符号：（1）π127cos ；（2）()︒-465sin ；（3）π311tan ；（4）5tan 4cos 3sin ⋅⋅．【例4】若ABC ∆两角A 、B 满足sin cos 0A B <，判断三角的形状．【基础练习】 1．填表：2．sin 25π6等于( )A ．12B ．32C ．－12D ．－323．sin 780°等于( )A ．32B ．－32C ．12D ．－124．点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y x的值为( ) A ．3B ．－3C ．33D ．－335．若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角6．α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是( )A ．sin αB ．cos αC ．tan αD ．tan 1α7．已知角α的终边过点P （－1，2），cos α=．8．已知角α的终边过点P （4a ，－3a ）（a <0），则2sin α＋cos α=．9．若点P (－3，y )是角α终边上一点，且32sin -=α，则y 的值是．10．α是第二象限角，P (x ， 5 )为其终边上一点，且cos α=42x ，则sin α的值为_______．【巩固提高】1．角α的终边经过点P (2，3)，则有( )A ．sin α＝21313B ．cos α＝132C ．sin α＝31313D ．tan α＝232．已知α的终边过点P （4，－3），则下面各式中正确的是（ ） A ．sinα=53B ．cosα=－54C ．tanα=－43D ．cotα=－43 3．若角α的终边上有一点P （k k 5453-，）（0<k ），则sin α·tan α的值是（ ）A ．1516B ．－1516C ．1615D ．－16154．已知角α的终边经过点P （a ，b ），其中a ＜0，b ＜0，在α的六个三角函数中，符号为正的是（ ） A ．sin α与csc αB ．cos α与sec αC ．tan α与cot αD ．sec α与csc α5．若角α的终边与直线y =3x 重合，且sin α＜0，又P （m ，n ）是α终边上一点，且10=OP ，则m －n ＝（ ） A ．2B ．－2C ．4D ．－46．已知点P （3，y ）在角α的终边上，且满足y ＜0，cos α=53，则tan α的值为（ ） A ．43-B ．34C ．43D ．－347．已知P (－3，y )为角β的终边上的一点，且sin β＝1313，则y 的值为( ) A ．±12B ．12C ．－12D ．±28．已知sin α＝35，cos α＝－45，则角α所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．函数y ＝11＋sin x 的定义域为( )A ．{x |x ≠3π2＋2kπ，k ∈Z }B ．{x |x ≠π2＋2k π，k ∈Z }C ．{x |x ≠2k π，k ∈Z }D ．{x |x ≠－3π2＋2k π，k ∈Z }10．若角α的终边过点P (5，－12)，则sin α＋cos α＝______．11．已知α终边经过点P (3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值围为________． 12．5sin 90°＋2cos 0°－3sin 270°＋10cos 180°＝__________．13．角α的终边上有一点P (a ，4)，且tan α＝43，求3sin α－2cos α的值．14．求下列各式的值：（1）tan 405°－sin 450°＋cos 750°；（2）m tan 0－n cos 52π－p sin 3π－q cos 112π＋r sin(－5π)．15．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．【课后思考】 求函数xx x x f cos )9lg(sin )(2-+=的定义域1．2．2 单位圆与三角函数线【自主预习】阅读课本，完成下列问题1．单位圆的概念：在平面直角坐标系中，以________为圆心，以_______为半径的圆． 2．三角函数线如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点．过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点．单位圆中的有向线段______．______．________分别叫做角α的正弦线．余弦线．正切线．记作：sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______．【知识要点】【例1】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：（1）3π；（2）π65；（3）π32-；（4）6π-．【例2】利用三角函数线比较大小（1） 30sin ______ 150sin ；（2） 25sin ______ 150sin ；（3）π32cos ______π54cos ；（4）π32tan ______π32tan ．【例3】解下列三角方程（1）23sin =x ；（2）21cos =x ；（3）1tan =x ．【基础练习】1．下列语句中正确的是( )A ．三角形的角必是第一象限角或第二象限角B ．当角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线和正切线分别变成一个点C ．终边在第二象限的角是钝角D ．终边相同的角必然相等2． 如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( ) A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′ B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′ C ．正弦线MP ，正切线AT D ．正弦线PM ，正切线AT3．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正．余弦符号相异，那么α的值为( ) A ．π4B ．3π4C ．7π4D ．3π4或7π44．角θ(0＜θ＜2π)的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则θ的值为__________．5．作出下列各角的正弦线．余弦线、正切线(1)π611-；(2)π32．6．若24πθπ<<，则比较sin θ、cos θ、tan θ的大小．7．分别根据下列条件，写出角θ的取值围：（1）cos θ<（2）tan 1θ>-； （3）sin θ>．【巩固提高】1．如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是()A ．cos α<sin α<tan αB ．tan α<sin α<cos αC ．sin α<cos α<tan αD ．cos α<tan α<sin α2．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α>1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α<1 D ．不能确定3．利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( ) A ．sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B ．sin 1>sin 1.5>sin 1.2 C ．sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D ．sin 1.2>sin 1>sin 1.54．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值围是()A ．)33(ππ，-B ．)30(π，C ．)235(ππ，D ．)30(π，∪)235(ππ，5．在[0，2π]上满足sin x ≥12的x 的取值围为________．6．集合A ＝[0，2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝________________．7．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32；(2)cos α≤－12．【课后思考】求函数()x x y cos 211sin 2lg ++-=的定义域．1．2．3 同角三角函数的基本关系式(1)【自主预习】阅读课本，完成下列问题1．1cos sin 22=+αα2．αααcos sin tan =【知识要点】【例1】已知21sin =α，并且α是第二象限角，求ααtan cos ，的值．【例2】已知21sin =α，求ααtan cos ，的值【例3】已知512tan =α，求ααcos sin ，的值．【基础练习】1．已知sin α=53，且α是第二象限角，那么tan α的值为（） A ．34-B ．43-C ．43D ．342．已知α是第二象限角，sin α=135，则cos α的值为（）A ．1312-B ．135-C ．135D ．13123．已知cos α=53-，且α是第二象限角，那么tan α的值为（）A ．34-B ．43-C ．43D ．344．若21cos sin =⋅θθ，则下列结论中一定成立的是（）A ．22sin =θB ．22sin -=θC ．1cos sin =+θθD ．0cos sin =-θθ 5．已知sin α＋cos α＝231-，且0＜α＜π，则tan α的值为 ( ) A ．33-B ．3-C ．33D ．3 6．化简 160sin 12-的结果是( )A ．cos160°B ．－cos160°C ．±cos160°D ．±|cos160°|7．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( )A ．15B ．－15C ．513D ．－5138．已知61cos sin =⋅x x ，且π4<x <π2，则cos x －sin x 的值等于( )A ．23B ．63C ．±63D ．－639．若)0(54cos παα，，∈=，则tan α的值等于．10．已知sin α＋cos α＝33，则tan α＋1tanα＝________．11．已知sin α=53，且α为第二象限的角，求cos α，tan α．12．已知tan α=125-，且α为第四象限的角，求sin α，cos α．13．已知sin θ＋cos θ＝23(0<θ<π)，求tan θ的值．14．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α和cos α的值．13．已知178cos -=α，求αsin 和αtan 的值．【巩固提高】1．已知sin α＝45，且α是第二象限的角，那么tan α等于( )A ．－43B ．－34C ．34D ．43 2．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15B ．－35C ．15D ．353．若sin α＋cos α＝2，则tan α＋1tan α的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－24．已知sin α－cos α＝2，)0(πα，∈，则tan α=( ) A ．－1 B ．1C ．－22D ．225．已知α是三角形的角，sin α＋cos α＝51，则sin α－cos α＝( ) A ．－15B ．－57C ．57D ．±576．若sin θ＝－35，tan θ>0，则cos θ＝________．7．已知α∈)23(ππ，，tan α＝2，则cos α＝________．8．已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两根，则实数a 的值为________． 9．若记cos(－80°)＝k ，则sin(－80°)＝________，tan(－80°)＝________．10．若角α的终边落在射线y ＝－x (x ≥0)上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-＝________． 【课后思考】若sin A ＝45，且A 是三角形的一个角，求5sin A ＋815cos A －7的值．1．2．3 同角三角函数的基本关系式(2)【自主预习】阅读课本，完成下列问题 1．1cos sin 22=+αα2．αααcos sin tan =【知识要点】 【例1】化简（1）1tan cos sin --θθθ；（2）αα22sin 211cos 2--； （3）ααtan cos ⋅； （4）αα22cos )tan 1(+．（1）ααααcos sin cos sin -+； （2）ααα222sin cos 1sin --；（3）3ααcos sin ⋅； （4）1sin 2cos 22+-αα．【例3】已知sin α，cos α是方程0)13(2=+--m x x 的两根．（1）求m 的值．（2）求ααααtan 1cos cot 1sin -+-的值．【基础练习】1．已知tan α＝－12，则2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A ．43B ．3 C ．－43D ．－32．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43B ．54C ．－34D ．453．化简：=ααtan cos ．4．化简sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β=． 5．化简（1） 440sin 12-； （2（3）1sin 1tan 2-αα（α是第二象限角）； （4）ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+-+-+．6．已知tan α=3求下列各式的值：（1）ααααcos 4sin cos 3sin 2-+；（2）αα22cos sin 1-．7．已知tan α=－2，求下列各式的值：（1）ααααcos 5sin 3cos sin 4+-； （2）αααααα2222sin 3cos 4cos cos sin 2sin --⋅-； （3）αα22cos 21sin 43+．【巩固提高】1．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( )A ．12B ．2C ．－12D ．－2 2．化简：(1sin α＋1tan α)(1－cos α)＝________．3．设31sin sin =+βα，则βα2cos sin -的最大值是________．4．证明下列各式：（1）αααtan 1cos sin 2122-=-；（2）x x x x 2244cos sin 21cos sin -=+；（3）αααα2222sin tan sin tan ⋅=-．5．已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2； (3)αααcos sin cos 12+； (4)－3sin α·cos α+3．【课后思考】已知sin x =2cos x ，求函数y =x x x x 22cos 3cos sin 2sin ++的值(角x 的终边在直线y =2x 上)．1．2．4 诱导公式（1）【自主预习】阅读课本，完成下列问题诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数相等：sin(πk 2+α)=__________； cos(πk 2+α)=__________；tan(πk 2+α)=_________．sin(π+α)=___________ ；cos(π+α)=_____________；tan(π+α)=__________． 诱导公式（三）：关于x 轴对称的三角函数公式：sin(－α)=____________ ；cos(－α)=_____________；tan(－α)=_________．诱导公式（四）：关于y 轴对称的三角函数公式：sin(π－α)=____________；cos(π－α)=____________；tan(π－α)=_________．【例1】把任意角的三角函数问题转化成0°到360°的三角函数值：(1) sin 1110°=__________ ；(2) tan 94π =____________ ；(3) cos(611π-)= ____________．【例2】把任意角三角函数转化成0到π的三角函数值：(1) cos(53π-)=___________；(2) tan 138π= _____________；(3) sin 197π=_________________．【例3】求下列三角函数值：(1)sin(4π-)=___________； (2) cos( 60-)=____________；(3)tan(623π-) =__________； (4) sin(310π-)=____________．【基础练习】1．转化为锐角三角函数：(1) cos210°=____________； (2) sin 263°42′=_____________；(3)cos(7π-)=____________； (4) tan 617π=_________________．2．化成关于α的三角函数：(1) sin(360°－α)=___________； (2) cos(360°－α)=_______________； (3) tan(360°－α)=___________． 3．利用公式求下列三角函数值：(1) cos(－420°)=_________； (2) sin(－67π)= _____________；(3) sin(－1305°)=_________； (4)cos(319π-)=__________________．4．若sin20°=a ，则tan 200°=________________．5．sin 34πtan(45π-)=____________； sin 210°=_____________．6．化简：)sin()(360tan )(cos 2ααα-+︒--= __________．7．已知cos α=31，02<<-απ，求αααππα)tan cos())sin(2cos(-+--．【巩固提高】1．下列各式不正确的是 （ ）A ．sin （α＋180°）=－sin αB ．cos （－α＋β）=－cos （α－β）C ．sin （－α－360°）=－sin αD ．cos （－α－β）=cos （α＋β）2．sin 34π·cos 625π·tan 45π的值是（ ）A ．－43B ．43C ．－43D ．433．已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足7)5(=f ，则)5(-f 的值为（ ）A ．5B ．－5C ．6D ．－64．)3cos()3sin(21+-+ππ化简的结果是（ ）A ．3cos 3sin -B ．3sin 3cos -C ．3sin 3cos +D ．3sin 3cos -- 5．利用公式求下列三角函数值：（1）cos 225°；（2）sin 311π；（3）sin(－623π) ；（4） cos(－2040°)．6．若cos α＝23，α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．7．化简：（1）)180cos()180sin())sin(360180cos(αααα-︒--︒--︒-︒；（2）sin(α+180°)cos(－α)sin(－α－180°)；（3）sin 3(－α)cos(2π+α)tan(－α－π)．8．求证：)π5sin()πcos()π6cos()π2sin()π2tan(θθθθθ+-----=tan θ．【课后思考】化简：))tan(sin())cos((sin 2a k a k a a k ---+πππ．1．2．4 诱导公式（2）【自主预习】阅读课本，完成下列问题 诱导公式（五）：sin(απ+2)=____________；cos(απ+2)=____________；tan(απ+2)=_________．诱导公式（六）：sin(απ-2)=____________；cos(απ-2)=____________；tan(απ-2)=_________．以上六组诱导公式可以概括为：απ±⋅2k k ∈Z 的各三角函数值，当k 是偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆的口诀为：奇变偶不变，符号看象限．注：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角） 【知识要点】【例1】证明：a a cos )23sin(-=-π．【例2】将下列三角函数转化为锐角的三角函数：53tan π=_________；)317sin(π-=_________；665cosπ=___________．【例3】化简：)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos())cos(cos(αππααπαπαπαπαπαπ+-----++-．【基础练习】1．sin （619π-）的值是（）A ．21B ．－21C ．23D ．－23 2．cos(417π-)－sin(417π-)的值是 ( )A ．2B ．－2C ．0D ．223．求值：（1）cos(210°)=_________；（2）sin(－35π)= _____________；（3）tan(617π-)=______________． 4．若sin25°=a ，则cos 65°=_______ ；sin 65°=________； tan 65°=_________．5．若sin100°=m ，则sin10°=_________ ；cos10°=___________； tan10°=____________． 6．求下列三角函数值：（1）sin3π7；（2）cos 4π17；（3）tan(623π-)．7．计算：（1）sin420°cos(750°)+sin(－330°)cos(－660°)；（2）sin 625π+cos 325π+tan(34π-)．8．化简（1）)2cos()2sin()25sin()cos(a a a a --+-ππππ；（2）)sin(360tan()(cos 2a a a -+︒--）．9．已知3)tan(-=+απ，求)2sin()cos(4)sin(3)cos(2απααπαπ-+-+--的值．10．已知tan(π+α)=3，求)2sin()cos()2(sin 3)2cos(2απααπαπ-+-+--的值．【巩固提高】1．下列三角函数，若n ∈Z ：①sin（34ππ+n ）；②cos（62ππ+n ）；③sin（32ππ+n ）；④cos［6)12(ππ-+n ］；⑤si n ［3)12(ππ-+n ］；其中函数值与sin 3π的值相同的是（ ）A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤ 2．给出下列等式：①ααπsin )3sin(-=--；②ααcos )630sin(-=+ ； ③ααπcos )4cos(-=--；④ααπsin )3cos(-=--． 其中正确的个数是 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 3．若cos(απ+)=510-，且α∈(2π-，0)，则tan(απ+23)的值为（ ） A ．－36B ．36C ．－26D ．264．设A ．B ．C 是三角形的三个角，下列关系恒成立的是（ ）A ．cos (A +B )=cosC B ．sin(A +B )=sin C C ．tan(A +B )=tan CD ．sin 2BA +=sin 2C5．在△ABC 中，若7sin cos 13A A +=，则tan A =（ ） A ．512B ．125C ．512-D ．125- 6．已知sin(απ+4)=23，则sin(απ-43)值为（ ） A ．21B ．21-C ．23D ．23-7．cos(απ+)=21-，23π<α<π2，sin(απ+2)值为（ ） A ．23B ．21C ．23±D ．23- 8．化简：)2cos()2sin(21-⋅-+ππ得（ ）A ．sin2+cos2B ．cos2－sin2C ．sin2－cos2D ．± (cos2－sin2)9．函数)(x f =cos 3xπ（x ∈Z ）的值域为（ ）A ．{－1，－21，0，21，1}B ．{－1，－21，21，1}C ．{－1，－23，0，23，1}D ．{－1，－23，23，1} 10．sin 315sin(1215)cos570sin(840)-+-=．11．已知21)3sin(-=+απ，求απ-27cos(）=．12．tan α=m ，则)cos()sin()cos()3sin(απααππα+--+++=．13．cos π7 ＋cos 2π7 ＋cos 3π7 ＋cos 4π7 ＋cos 5π7 ＋cos 6π7 =．14．若α是第三象限角，则)πcos()πsin(21αα---=． 15．sin 21°+sin 22°+sin 23°+……+sin 289°=．16．化简)2cos()2sin()25sin()2cos(αππααππα--+-．17．已知51)2cos()2sin(=-++θπθπ，θ∈(0，π)，求tan θ．18．证明：)π5sin()πcos()π6cos()π2sin()π2tan(θθθθθ+-----=tan θ．19．已知sin (6π+x )=41，求sin(x +67π)+cos 2(x -65π)的值．20． 设)(θf =)cos()π(2cos 23)2πsin()π2(sin cos 2223θθθθθ-+++-++-+，求)3(πf 的值．1．2 任意角的三角函数 基础练习一、选择题1．)417cos(π-的值是（ ）A ．21B ．22C ．23D ．33- 2．下列等式正确的有几个（ ）①ααπsin )sin(-=- ②ααπcos )2cos(-=-③ααπcos )2sin(-=+ ④ααπsin )23cos(-=-A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．若54sin =α，且α是第二象限角，则αtan 的值为（）A ．34-B ．43C ．43±D ．34±4．︒︒+450sin 300tan 的值为（）A ．31+B ．31-C ．31--D ．31+-5．已知ABC ∆中，12cot 5A =-， 则αcos =（ ）A ．1213B ．513C ．513-D ．1213- 6．若a =-)100cos( 则tan 80°等于（ ）A ．a a 21--B ．a a 21-C ．aa 21+-D ．a a 21+7．1)23sin()cos()(sin 2++--+απαπαπ的值是（ ）A ．1B ．－1C ．0D ．28．下列四个命题中可能成立的一个是（ ）A ．21cos 21sin ==αα且B ．1cos 0sin -==αα且C ．1cos 1tan -==αα且D ．α是第二象限时，αααcos sin tan -=9．在△ABC 中，下列等式一定成立的是（ ）A ．2cos 2sin CB A -=+B ．C B A 2cos )22sin(-=+C ．C B A sin )sin(-=+D ．C B A sin )sin(=+10．若2cos sin =+αα，则ααcot tan +等于（ ）A ．1B ．2C ．－1D ．－2 11．化简4cos 4sin 21-的结果是（ ）A ．4cos 4sin +B ．4cos 4sin -C ．4sin 4cos -D ．4cos 4sin --二、填空题12．= 330cos ________．13．计算=πππ43tan 611cos 34sin ____________．14．33)6cos(=+θπ，则=-)65cos(θπ___________． 15．化简 480cos 225sin )30sin(315cos ++-+=_____________．三、简答题16．求下列三角函数的值：（1）sin240º； （2）45cos π；（3） cos(－300º)；（4）sin(67π-)．17．求值：（1）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-631π－cos ⎪⎭⎫⎝⎛-310π－sin1011π；（2）sin(－1200º)·cos1290º+cos(－1020º)·sin(－1050º)+tan855º．18．已知3)6cos(=-απ求)6(sin )65cos(2πααπ+-+的值．19．已知3sin 5cos 12sin 7cos 11αααα+=-，求222sin sin cos cos αααα-+的值．20．求证：1sin cos 1sin 1sin cos cos αααααα-+-=++．21．已知a 为第三象限角，)sin()tan()23tan())cos(2sin()(a a a a a a f ----+---=πππππ（1）化简)(a f ；（2）若51)23cos(=-πa ，求)(a f ．1．3．1 正弦函数的图象与性质(1)【自主预习】阅读课本，完成下列问题1．研究三角函数的图象和性质时，通常采用弧度制来度量角，记为x ，表示自变量，用y 表示函数值．正弦函数表示为，定义域为． 2．作图几何法的作图步骤：（1）x 轴上任取一点 O 1 ，以 O l 为圆心作单位圆； （2）从圆与 x 轴交点 A 起把圆分成 12 等份；（3）过圆上各点作x 轴的垂线，可得对应于0、6π、3π、……、π2的正弦线；（4）相应的再把 x 轴上从原点 O 开始，把这0～π2这段分成 12 等份； （5）把角的正弦线平移，使正弦线的起点与 x 轴上对应的点重合； （6）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来．五点法：在精确度要求不太高时，常用“五点法”，这五个关键点是：，描出这五个点后，函数y =sin x ，x ∈[0，2π]的图象的形状就基本上确定了．【知识要点】【例1】用“五点法”作函数x y sin 1+=，]20[π，∈x 的简图．（1）列表x 0 2π π 23π π2x sinx sin 1+（2）描点作图【例2】用不同颜色分别作出下列函数简图y =2sin x ，x ∈[0，2π]和y =sin x －1 x ∈[0，2π]【例3】用不同颜色分别作出下列函数简图y =－sin x ，x ∈[0，2π]和y =1－sin x ，x ∈[0，2π]x 0 2π π 23π2π y =sin x y =2sin x y =sin x －1 xy =sin x y =－sin x y =1－sin xy xo【基础练习】1．在同一直角坐标系中，函数y =sin x ，]20[π，∈x 与函数y =sin x ，]42[ππ，∈x 的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置相同2．下列对正弦函数y =sin x 的图象的描述中，错误的是( )A ．在]222[πππ+∈k k x ，（∈k Z ）上的图象形状相同，只是位置不同B ．介于直线y =1与直线y =－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点3．函数y ＝1－sin x ，[]π20，∈x 的大致图象是（ ）ABCD4．画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与正弦曲线的区别和联系： （1）sin 1y x =- （2）2sin y x =【巩固提高】1．在同一坐标系中，函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈[－2π，0]的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同2．函数y ＝－sin x ，x ∈]232[ππ，-的简图是( )y xo3．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝32的交点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．04．用五点法作x y 2sin =的图象，首先应描的五点的横坐标可以是（ ）A ．0，2π，π，23π，π2B ．0，4π，2π，43π，πC ．0，π，π2，π3，π4D ．0，6π，3π，2π，32π5．函数y ＝x sin x 的部分图象是( )6．函数y ＝sin x 与y ＝21x 的图象在（22ππ-）上交点有（ ）个 A ．4B ．3C ．2D ．17．已知函数]252[sin 2ππ，，∈=x x y 的图象与直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则此封闭图形的面积是( ) A ．4 B ．8 C ．4πD ．2π 8．方程sin x=lg x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．用五点法画出y ＝2sin x 在[0，2π]的图象时，应取的五个点为． 10．利用“五点法”作出函数y ＝－1－sin x (0≤x ≤2π)的简图．11．画出下列函数的简图：（1）)sin(x y -= （2）||sin x y = （3）|sin |x y =【课后思考】用“五点法”作函数)32sin(3π+=x y 的简图1．3．1 正弦函数的图象与性质(2)【自主预习】 函数y =sin x【知识要点】【例1】设sin x =t －3，∈x R ，求t 的取值围．【例2】求下列函数的最值，并求使得函数取得最值时的x 的值：（1）x y 2sin =；（2）2sin +=x y ；（3）2)1(sin 2+-=x y ．【例3】求下列函数的周期：（1）x y 2sin =；（2）)621sin(π+=x y ．【例4】求下列函数的单调增区间．（1）)4sin(π+=x y ；（2）)32sin(π+=x y ．【例5】求下列函数的对称轴．对称中心：（1）)32sin(2π--=x y ； （2）)33sin(2π+=x y ．【基础练习】1．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin2xC ．y ＝sin x4D ．y ＝sin4x2．函数y ＝x 2sin 的奇偶性为（ ）函数 A ．奇B ．偶C ．即奇又偶D ．非奇非偶3．函数]326[,sin ππ，-∈=x x y 的值域是( )A ．[1-，1]B ．[21-，1]C ．[21-，23]D ．[21，23]4．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当]20[π，∈x 时f (x )=sin x ，则f (35π)的值为（ ） A ．21-B ．21C ．23-D ．23 5．函数f (x )＝7sin （2332π+x ）是（ ） A ．周期为3π的偶函数 B ．周期为2π的奇函数C ．周期为3π的奇函数D ．周期为34π的偶函数6．在［0，2π］上满足sin x ≥21的x 的取值围（ ） A ．]60[π，B ．]656[ππ，C ．]326[ππ，D ．]65[ππ，7．若aa x --=432sin ，那么a 的取值围是( )A ．[4，+∞)B ．(–∞，–1]C ．(–∞，–1] [37，+∞)D ．[–1，37] 8．函数y ＝2sin(x ωπ+3)的最小正周期是4π，则ω＝．9．若f (x )是奇函数，当x ＞0时f (x )＝x 2－sin x 则当x ＜0时，f (x )＝．10．若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值围是．11．求函数y =－sin 2x －2sin x +1的最大值、最小值及取得最大值、最小值时x 的集合．12．求下列函数的定义域：225sin x x y -+=13．求函数]433[1sin sin 2ππ，，∈+-=x x x y 的值域．14．求函数的单调区间．（1）)4sin(π-=x y ；（2）)62sin(3π+=x y ．15．求函数)32sin(2π+=x y 的对称轴、对称中心．16．求下列函数的周期：（1）x y 21sin =； （2）12sin()36y x π=-【巩固提高】1．在[0，2π]，不等式sin x ＜－32的解集是( )A ．(0，π)B ．)343(ππ，C ．)3534(ππ，D ．)235(ππ，2．函数y ＝x sin x ＋cos x 的图象关于( )A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．以上都不正确 3．下列命题中正确的是( )A ．y ＝－sin x 为奇函数B ．y ＝|sin x |既不是奇函数也不是偶函数C ．y ＝3sin x ＋1为偶函数D ．y ＝sin x －1为奇函数4．若函数y ＝sin(x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ等于( )A ．0B ．π4C ．π2D ．π5．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-ππx x x x 0sin 02cos ，，则f (－15π4)的值等于( ) A ．1 B ．22C ．0D ．－226．函数y =|sin x |的最小正周期是（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π7．若]36[ππ，∈x 则函数f (x )=2cos 2x +sin x －1的值域是（ ） A ．［1-，2］B ．［2-，0］C ．[213-，89]D ．[213-，1] 8．已知函数)0)(6sin(2)(>+=ωπωx x f 的最小正周期为4π，则该函数的图象( )A ．关于点(3π，0)对称 B ．关于点(35π，0)对称C ．关于直线3π=x 对称 D ．关于直线35π=x 对称 9．函数)22cos(π+=x y 的图象的一条对称轴的方程是（ ）A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π=x D ．π=x10．函数f (x )＝cos(32π＋x )的奇偶性是________．11．函数y ＝sin(ωx ＋π4)(ω＞0)的最小正周期为23π，则ω＝________．12．若函数()sin()5f x kx π=+的最小正周期为32π，则正数k 的值为________．13．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (1)＝2，f (x ＋3)＝f (x )，则f (8)＝________．14．求下列函数的周期：（1）x y 4sin =；（2）)62sin(3π--=x y ；（3）)46sin(2--=x y π．【课后思考】1．y ＝sin x －|sin x |的值域是( )A ．[－1，0]B ．[0，1]C ．[－1，1]D ．[－2，0]2．已知函数f (x )＝2sin(x ＋π3)，x ∈[0，π3]，则f (x )的值域是________．1．3．1 正弦函数的图象与性质(3)【自主预习】阅读课本，完成下列问题1．函数x y sin =与函数x A y sin =图象之间的关系：①函数x y sin 2=的图象是将x y sin =的图象上所有点的坐标变为原来的倍（坐标不变）而得到；②函数x y sin 21=的图象是将x y sin =的图象上的所有点坐标变为原来的倍（坐标不变）而得到．一般地，函数x A y sin =，)10(≠>∈A A R x ，的图象，可看作把正弦曲线上所有的点纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）而得到，这种变换关系称为． 因此x A y sin =，R x ∈的值域是．2．函数x y sin =与函数)sin(ϕ+=x y 图象之间的关系： ①函数)6sin(π+=x y 的图象是将sin y x =的图象向平移个单位长度而得到；②函数)3sin(π-=x y 的图象是将x y sin =的图象向平移个单位长度而得到； 一般地，函数)sin(ϕ+=x y (φ≠0，x ∈R )的图象，可看作把正弦曲线上所有点向(0)ϕ>时或向(0)ϕ<时平行移动个单位长度而得到，这种变换称为相位变换(平移交换)．3．函数x y ωsin =与x y sin =图象之间的关系：①函数x y 2sin =，(x ∈R )的图象是将x y sin =的图象上所有点坐标变为原来的倍（坐标不变）而得到；②x y 21sin =，(x ∈R )的图象是将x y sin =的图象上的所有点的坐标变为原来的倍（坐标不变）而得到；一般地，函数x y ωsin =，(x ∈R ，)10≠>ωω，的图象可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)而得到的，这种变换称为周期变换．4．函数)sin(ϕω+=x y 与x y ωsin =图象之间的关系 ①函数)32sin(π+=x y 的图象是将函数x y 2sin =的图象向平移个单位长度而得到；②函数)32sin(π-=x y 的图象是将函数x y 2sin =的图象向平移个单位长度而到．一般地，函数)sin(ϕω+=x y 的图象可以看作是把x y ωsin =的图象上所有的点向左(ϕ)或向右(ϕ)平移个单位长度而得到的． 【知识要点】【例1】（1）函数)22sin(π+=x y 的图象可由函数x y sin =的图象经过怎样的变换得到？（2）将函数x y sin =的图象上所有的点得到)3sin(π-=x y 的图象，将)3sin(π-=x y 的图象上所有的点得到)321sin(π-=x y 的图象， 再将)321sin(π-=x y 的图象上的所有点可得到函数 )321sin(21π-=x y 的图象．（3）要得到x y 21sin =的图象，只需将函数)321sin(π-=x y 的图象得到．【例2】已知函数)(x f y =，若将)(x f 的图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，然后将整个函数图象向上平移2个单位，得到曲线与x y sin =的图象相同，求)(x f 的解析式．【基础练习】1．要得到函数x y 2sin =的图象，只需将x y sin =图象（ ） A ．横坐标扩大原来的两倍 B ． 纵坐标扩大原来的两倍 C ．横坐标扩大到原来的两倍 D ． 纵坐标扩大到原来的两倍2．要得到函数)3sin(π+=x y 的图象，只需将x y sin =的图象（ ）A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位3．将函数x y sin =的图象向右平移2个单位，再向上平移 1个单位后可得到函数．4．把函数x x f sin 31)(=的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，而横坐标不变，可得)(x g 的图象，则=)(x g ．。
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22
２
必修四
用公式α =l求圆心角时，应注意其结果是圆心角的弧度数.这个公式在物理学上计算角
r
速度时经常用到，因此要熟练掌握它及其变形后的另外两种形式：l=α ²r 和 r= l（α ≠0）.
α
运用这两个变形公式时，如果已知的角以度为单位，则应先把它化成弧度后再计算.可以
看出，这些公式各有各的用处.
切线上，其位置不随 的变化而变化；从图中可以看出，当 的终边在 y 轴上时，角 的
正切不存在；我们规定三角函数线的正方向与 x 轴（或 y 轴）正方向相同.
3. 同角三角函数的基本关系式
（1）基本关系
平方关系： sin2 cos2 1. 商数关系： sin tan .
cos 公式变形： cos tan sin；sin cos .
2
减区间是
(
2k , 3
2k )(k
Z)
.
2
2
８
必修四
对于函数 f (x) ，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f (x T ) f (x) ，那么函数 f (x) 就叫做周期函数.非零常数 T 叫做这个函数的周期.如果 周期函数 f (x) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f (x) 的最小
2
2
（3）诱导公式的作用
诱导公式起着变名、变号、变角等作用，在三角有关问题（特别是化简、求值、证明）
中常使用.
７
应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断.求任意角的三角函数 的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角” →“正角化锐角”→求值.
1.3 三角函数的图象与性质
2
cos( ) sin;sin( ) cos; tan( ) cot
2
2
2
⑥角 与 的三角函数间的关系：
2
cos( ) sin;sin( ) cos; tan( ) cot
2
2
2
⑦角 与 的三角函数间的关系：
2
cos( ) sin;sin( ) cos; tan( ) cot
求三角函数的最值问题一般有两种基本类型：①化为一个角的三角函数；②化为关于
某三角函数的函数型.在求三角函数最值时，要注意三角函数的有界性，尤其是限制角的
范围时更要考虑三角函数的取值范围.
正弦函数 y sin x, x R 的单调递增区间是 ( 2k , 2k )(k Z ) ，单调递
2
2
2
方法叫做“五点法”作图.
“五点法”作图必须要有三步：列表、描点、连线（注意光滑）.
正弦函数的定义域是 R，值域是[-1，1].
当
x
2
2k (k
Z ) 时，
ymax
1，当
x
3 2
2k (k Z ) 时，
ymin
1.
求三角函数的定义域常借用两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象.
３
②角α 的余割： csc 1 r ； sin y
③角α 的余切： cot 1 x . tan y
（4）终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个三角函数值相等，不一定有角 的终边相同，更不一定有两角相等.
在确定三角函数定义域时要特别注意某些三角函数有意义的范围，特别是 tan x .
360
分等于 1 度，60 秒等于 1 分.
弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，记作 1rad.以弧度为
单位来度量角的制度叫做弧度制. 角度与弧度不能混用：比如“π +k²360°”或“60°+2kπ ”的写法是不允许的，尤
2
其是当角用字母表示时更要注意，如角α 是在弧度制下，就不能写成“k²360°+α ”等. 用“度”作单位度量角时，“度”或“°”不能省略；用“弧度”作为单位度量角时，
正周期.
正弦函数都是周期函数， 2k (k Z,且k 0) 都是它的周期，最小正周期是 2 . 理解周期函数的概念要注意以下三点：①存在一个常数T (T 0) ；②对其定义域内的 每一个 x 值，x+T 也属于定义域；③当 x 取定义域内每一个值时， f (x T ) f (x) 恒成
立.
在理解周期函数定义时，首先要特别注意函数 f (x T ) f (x) 恒成立是对 f (x) 的定
180
将弧度化为角度：2π rad=360°；π rad=180°；1rad=（180）°≈57.30°=57°18′.
π
两种制度的转换，利用它们的意义，在弧度制下周角为 2π rad，而在角度制下周角为
360°，所以
2π
rad=360°，进而得到：1°= π rad≈0.01745rad，1rad=（180）°≈57.30°
2
2
2
（2）诱导公式 sin/ cos/ tan( k) 可以概括为“奇变偶不变，符号看象限” 2
这里，“奇”“偶”指的是 的奇数倍或偶数倍，即整数 k 为奇数还是偶数，“变”“不 2
变”指是否改变函数名，若需改变，则正余弦互变，正余切互变.“象限”是指将 看做
第一象限角，判断 k 的象限，得到 sin/ cos/ tan( k) 的符号.
1. 正弦函数的图象与性质
（1）正弦函数的图象与性质
作正弦函数 y sin x, x [0, 2 ]的图像，是把正弦线向右平移到相应的位置，再用光
滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到函数 y sin x, x [0, 2 ]的图像.
正弦曲线的关键点是 (0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0) .运用这五个关键点作图的
正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.
sin 不是 sin 与 的乘积，而是一个比值；三角函数符号是一个整体，离开自变量
的“ sin ”是没有意义的.
（5）三角函数值的符号
sin y ，若y＞0，则sin＞0，若y＜0，则sin＜0 ； r
cos x ，若x＞0，则cos＞0，若x＜0，则cos＜0 ； r
③整体代替：将计算式适当变形使条件可以整体代入或将条件适当变形找出与算式之
间的关系.
６
必修四
4. 诱导公式
（1）诱导公式
①角 与 k 2 (k Z) 的三角函数间的关系： cos( k 2 ) cos;sin( k 2 ) sin; tan( k 2 ) tan
②角 与 的三角函数间的关系：
必修四
第一章 基本初等函数（Ⅱ）
1.1 任意角的概念和弧度制
1. 角的概念的推广
（1）任意角的概念 角可以看成是一条射线绕着一点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
（2）角的分类 ①按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； ②按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角； ③当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角.
1.2 任意角的三角函数
1. 三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设 的终边上任意一点 P 的坐标是 (x, y) ，它与原点的距离是
r(r x2 y2＞0) .
（1）当α 为锐角时，从下表中可以得到锐角三角函数的定义、定义域及函数值的符号
图形
定义
定义域
函数值的符号
sin y r
cos x r
tan
（2）三角函数的三种基本题型
①求值：已知某任意角的正弦、余弦、正切中的一个求其他两个，这里应特别注意开
方运算时根号前正、负号的选取，应根据题设条件是否指明角所在的象限，确定最后结果
是一组解还是两组解.
②化简：化简是一种不指明答案的恒等变形，三角函数化为最简形式的标准是相对的，
一般是指函数种类要最少，项数要最少，函数次数尽量低，能求出数值的要求出数值，尽
出的.因为从原点到角的终边上任意其他的点的距离 r x2 y2 总是取正值，根据这三
种函数的定义可知，正弦值、余弦值的符号分别取决于纵坐标 y、横坐标 x 的符号；正切 值则是纵坐标 y、横坐标 x 同号时为正，异号时为负.
４
必修四
2. 单位圆与三角函数线
（1）单位圆 半径为 1 的圆.
（2）三角函数线 如图，已知在单位圆内角α 的终边位置.
量使分母不含三角形式和根式.
③证明恒等式：一般方法有三种：即由繁的一边证到简单的一边；证明左、右两边等
于同一式子；证明与原恒等式等价的式子，从而推出原式成立.
（3）在计算、化简或证明函数式时常用的技巧有
①“1”的代换：为了解题的需要有时可以将 1 用“ sin2 cos2 ”代替.
②切化弦：利用商数关系把正切化为正弦和余弦函数.
tan y x
(0, ) 2
sin ＞0 cos＞0 tan＞0
（2）任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域
三角函数 定义
定义域
正弦
sin y r
R
余弦
cos x r
R
正切
tan y { | R且 k , k Z}
x
2
（3）任意角的正割、余割、余切函数的定义
①角α 的正割： sec 1 r ； cos x