数列大题专题训练1(学生版)

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数列大题专题训练1
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且. *1
1()2n n S a n N +=∈
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设*
3log (1)()n n b S n N =-∈，求满足方程
2334111125
51
n n b b b b b b ++++=L 的n 值.
【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫
c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1（n －1）（n ＋1）(n≥2)或1
n （n ＋2）.
2．已知数列是等比数列，首项，公比,其前项和为,且,成等差数列．
（1）求
的通项公式；
（2）若数列满足为数列前项和，若恒成立，求的最大值．
{}n a 11a =0q >n n S 113322,,S a S a S a +++{}n a {}n b 11,2n n
a b n n a T +⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
{}n b n n T m ≥m
【方法点晴】本题考查等差数列、等比数列、数列的前项和、数列与不等式，涉及特殊与一般思想、方程思想思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型．第二小题首
先由
再由错位相减法求得为递增数列当时，
．再利用特殊与一般思想和转化化归思想将原命题可转化的最大值为．
3．已知数列中，，其前项和满足，其中． （1）求证：数列为等差数列，并求其通项公式；
（2）设，n T 为数列{}n b 的前n 项和．
①求n T 的表达式；
②求使2>n T 的n 的取值范围．
4．为等差数列的前项和，且，，记．其中表示不超过的最大整数，如
，．
（1）求；
（2）求数列的前1000项和．
n 1111222n n
n n
a b n
a b n n a b +⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=⇒=⇒= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
12n n -⇒g 2112232...n T =⨯+⨯+⨯+12n n -+g ()112n n T n =+-1n n T T +⇒-=()120n n +>g {}n T ⇒⇒1n =()min 1n T =()min n T m ≥1m m ⇒≤⇒1{}n a 3,221==a a n n S 1211+=+-+n n n S S S *∈≥N n n ,2{}n a n
n n a b -⋅=2n S {}n a n 11a =728S =[lg ]n n b a =[]x x [0.9]0=[lg99]1=111101b b b ，，{}n b
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【技巧点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点．
5．已知数列的前项和为，且（），数列满足（）.
（1）求，；
（2）求数列的前项和.
6．已知等比数列
{}n a 的公比11,1q a >=，且132,,14a a a +成等差数列，数列{}n b 满足：
()()*1122131n n n a b a b a b n n N +++=-+∈L g ．
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）若8n n ma b ≥-恒成立，求实数m 的最小值．
}{n a n n S n n S n +=22*∈N n }{n b 3log 42+=n n b a *
∈N n n a n b }{n n b a ⋅n n T
7．已知数列{}n a ，0n a >，其前n 项和n S 满足1
22n n n S a +=-，其中*n N ∈．
（1）设2n
n n
a b =
，证明：数列{}n b 是等差数列； （2）设2n
n n c b -=⋅，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求证：3n T <；
（3）设1
4(1)2n b
n n n d λ-=+-⋅（λ为非零整数，*n N ∈），试确定λ的值，使得对任意*n N ∈，都有1n n
d d +>成立．
【易错点晴】本题以数列的前n 项和与通项之间的关系等有关知识为背景,其目的是考查等差数列等比数列等有关知识的综合运用,及推理论证能力、运算求解能力、运用所学知识去分析问题和解决问题的能力的综合问题.求解时
充分借助题设条件中的有效信息1
22n n n S a +=-,借助数列前n 项和n S 与通项n a 之间的关系
)2(1≥-=-n S S a n n n 进行推证和求解.本题的第一问,利用等差数列的定义证明数列}2{
n
n
a 是等差数列；第二问中则借助错位相减的求和方法先求出213333222
n n n n n n T ++=--=-<；第三问是依据不等式成立分类推得参数λ的取值范围.
8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =()
*121N n n S S n n +=++∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1n n n
n
b a a +=-，求数列{}n b 的前项和n T .
.
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考点：数列的求和；数列的递推关系式. 9．已知数列的首项，且满足，.
（1）设，判断数列是否为等差数列或等比数列，并证明你的结论； （2）求数列的前项和
．
10．n S 为数列的前n 项和，已知0n a >，2
241n n n a a S +=-.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .
11．已知数列{}n a 是等比数列，满足143,24a a ==，数列{}n b 满足144,22b b ==，且{}n n b a -是等差数列. （I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n b 的前n 项和。

12．设数列{}n a 的前n 和为n S ，()21
1,22n n
a S na n n n N *
==-+∈. （1）求证：数列
{}n a 为等差数列, 并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式；
（2）是否存在自然数n ,使得3
21...2112423n n S S S S n +
++++=？若存在,求出n 的值; 若不存在, 请说明理由；
（3）设()()()1232,...7n n n n c n N T c c c c n N n a **=
∈=++++∈+,若不等式()32
n m
T m Z >∈,对n N *∈恒成立, 求m 的最大值.
13．设数列{}n a 满足3
21212222
n n a a a a n -+
+++=L ，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1(1)(1)
n
n n n a b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和n S .
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考点：（1）数列递推式；（2）数列求和. 14．已知函数2
32)(+=
x x
x f ，数列{a n }满足a 1=1，a n+1=f （a n ）．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设b n =a n a n+1，数列{b n }的前n 项和为S n ，若S n ＜
2
2016
-m 对一切正整数n 都成立，求最小的正整数m 的值．
考点：1、数列的递推公式及通项公式；2、利用“裂项相消法”求数列前n 项和.
15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且首项a 1≠3，a n ＋1＝S n ＋3n （n ∈N *）． （1）求证：数列{S n －3n }是等比数列；
（2）若{a n }为递增数列，求a 1的取值范围．
【方法点晴】本题主要考查了利用等比数列的定义判定和证明数列为等比数列、等比数列的性质的应用和数列的递推关系式的化简与运算，解答中得数列{}
3n n S -是公比为2，首项为13a -的等比数列和化简出
211(3)223n n n a a --=-⨯+⨯是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与
运算能力，属于中档试题.。