2019-2020年高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质2课时训练含解析新人教A版必修

2019-2020年高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质2课时训练含解析新人教A 版必修课时目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．______时，y min ＝－1一、选择题1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A ．sin α>sin β B ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A.[]－1，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54 4．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 5．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168° B ．sin 168°<sin 11°<cos 10° C ．sin 11°<sin 168°<cos 10° D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°6．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π)D ．y ＝cos(x ＋π)7．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的单调增区间是____________． 8．函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________．9．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________．10．设|x |≤π4，函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是______．三、解答题11．求下列函数的单调增区间． (1)y ＝1－sin x2；(2)y ＝log 12(cos 2x )．12．已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．能力提升13．已知sin α>sin β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，β∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π，则( ) A ．α＋β>π B ．α＋β<πC ．α－β≥－32πD ．α－β≤－32π14．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C ．2 D ．31．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断． 3．求三角函数值域或最值的常用求法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y 的范围．1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)答案知识梳理R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )[π2＋2k π，3π2＋2k π] (k ∈Z ) [－π＋2k π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，π＋2k π] (k ∈Z ) x ＝π2＋2k π (k ∈Z )x ＝－π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝2k π (k ∈Z ) x ＝π＋2k π (k ∈Z )作业设计 1．C 2.D3．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－54当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1.]4．C [由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π为y ＝|sin x |的单调递增区间．]5．C [∵sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°由三角函数线得sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°.]6．A [因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.] 7.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π 8．[0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3.∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴y ∈[0,2]9．b <c <a解析 ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2，∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2. ∵b <c <a . 10.1－22解析 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x＝－(sin x －12)2＋54∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22.∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 11．解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z . ∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．(2)由题意得cos 2x >0且y ＝cos 2x 递减．∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z .∴y ＝log 12(cos 2x )的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 12．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －x 3≤23π，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1， f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123.当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1， f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧－3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123.13．A [∵β∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π， ∴π－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，且sin(π－β)＝sin β. ∵y ＝sin x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0上单调递增， ∴sin α>sin β⇔sin α>sin(π－β) ⇔α>π－β⇔α＋β>π.]14．B [要使函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则应有T 4≤π3或34T ≤π4，即2π4ω≤π3或6πω≤π，解得ω≥32或ω≥6. ∴ω的最小值为32，故选B.]2019-2020年高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质一课时作业新人教版必修1.函数y ＝3cos 2x 的最小正周期是( ) A.2πB.π2C.π4D.π解析 T ＝2π2＝π.答案 D2.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2是( ) A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为2π的偶函数 C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为π的偶函数解析 ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数.答案 D3.若函数y ＝sin(φ－x )是奇函数，则φ的值可能是( ) A.30°B.60°C.90°D.180°解析 要使此函数为奇函数，必须不改变函数名称，结合选项可知，当 φ＝180°时，y ＝sin(180°－x )＝sin x 是奇函数. 答案 D4.若函数y ＝4sin ωx (ω>0)的最小正周期是π，则ω＝_____. 解析 由T ＝2π|ω|＝π，得ω＝2.答案 25.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值为_____.解析 由已知2πk4≤2，∴k ≥4π，又∵k ∈N *，∴k 的最小值为13.答案 136.若函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x －sin x ，求当x <0时f (x )的解析式. 解 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－x －sin(－x )＝－x ＋sin x ， 又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x ) ∴f (x )＝x －sin x (x <0). 7.函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f （x ），求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期. 证明 ∵f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f （x ＋2）＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且4是它的一个周期. 8.判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin 4x －cos 4x ＋cos 2x －sin 2x ；(2)f (x )＝x 2＋cos xx 2－cos x.解 (1)∵sin 4x －cos 4x ＋cos 2x －sin 2x ＝(sin 2x ＋cos 2x )·(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x －sin 2x ＝0，∴该函数既是奇函数， 又是偶函数.(2)∵函数y ＝x 2，y ＝cos x 的图象都关于y 轴对称， 则x 2≠cos x 的解集关于原点对称， ∴函数定义域是一个关于原点对称的区间，又f (－x )＝（－x ）2＋cos （－x ）（－x ）2－cos （－x ）＝x 2＋cos xx 2－cos x ＝f (x )， ∴该函数是偶函数.9.下列函数中，周期为2π的是( ) A.y ＝sin x2B.y ＝sin 2xC.y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2D.y ＝|sin 2x |解析 y ＝sin x 2的周期为T ＝2π12＝4π；y ＝sin 2x 的周期为T ＝2π2＝π； y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的周期为T ＝2π；y ＝|sin 2x |的周期为T ＝π2.故选C. 答案 C10.设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数.若f (x )＝()πcos 0,2sin 0π,x x x x ⎧⎛⎫-≤<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤<⎩则f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4等于( ) A.1B.22C.0D.－22解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.答案 B11.设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＝_____.解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＝335[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013) ＝335⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π＋f (335×6＋1)＋f (335×6＋2)＋f (335×6＋3) ＝335×0＋f (1)＋f (2)＋f (3) ＝sin π3＋sin 23π＋sin π＝ 3. 答案312.若函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1，3)，则正整数ω的最大值是_____.解析 由已知：T ＝2πω，∴1<2πω<3，∴13<ω2π<1，∴23π<ω<2π.又∵ω∈N *，∴ω最大值为6. 答案 613.已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，f (x )的解析式.解 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，所以f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x . 又∵f (x )是以π为周期的偶函数， ∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π.探 究 创 新14.已知函数f (x )＝log 12|sin x |.(1)求其定义域和值域； (2)判断其奇偶性；(3)判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期. 解 (1)∵|sin x |>0，∴sin x ≠0， ∴x ≠k π，k ∈Z .∴函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }. ∵0<|sin x |≤1，∴log 12|sin x |≥0，∴函数的值域为{y |y ≥0}. (2)函数的定义域关于原点对称，∵f (－x )＝log 12|sin(－x )|＝log 12|sin x |＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数.(3)∵f (x ＋π)＝log 12|sin(x ＋π)|＝log 12|sin x |＝f (x )，∴函数f (x )是周期函数，且最小正周期是π.。