任意角的三角函数
任意角的三角函数及基本关系
P
sin cos 1
2 2
P
O
x
思考3：设角α 的终边与单位圆交于点 P（x，y），根据三角函数定义，有 y sin y ， x，tan ( x 0) ， cos x 由此可得sinα ，cosα ，tanα 满足什 么关系？ sin tan cos
例题
变式1：已知角α的终边经过点P(2a,-3a)(a>0)，求角α
的正弦、余弦、正切值．
例题
变式2：已知角α的终边经过点P(2a,-3a)，求角α的正弦、 余弦、正切值．
例题
5 例2：求 的正弦、余弦、正切值 . 3
例题
例3：已知角终边在直线 3x上， y 求角的各个三角函数值 .
6. 已知的终边过点(3a-9,a+2),且cos<0, sin>0,则a的取值范围是 -2<a<3 。
课堂
练习
7.利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的 取值范围： (1)sinα <cosα ; (2)|sinα |<|cosα | .
归纳
总结
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. 2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想： 划归的思想，数形结合的思想.
左负右正纵为0
y
o
x
二、新课讲授
三角函数在各象限内的符号：
第一象限：x 0, y 0, 故 为正值； x y 第二象限：x 0, y 0, 故 为负值； x y 第三象限：x 0, y 0, 故 为正值； x y 第四象限：x 0, y 0, 故 为负值； x
任意角的三角函数
任意角的三角函数（内部使用）姓名： 日期：一、任意角的三角函数1、三角函数：任意角的三角函数的定义：角α是一个终边上任取点(,)P x y ，设(0)OP r r =≠则sin α= ；cos α= ；tan α= 。
2、三角函数值的符号：（1）记忆口诀：sin α上正下负横轴零，cos α左负右正纵轴零，tan α交叉正负横轴零。
（2）解释： 。
（3二、公式一（1）()sin +2k απ= ； （2）()cos +2k απ= ； （3）()tan +2k απ= 。
说明角的终边绕原点每转动一周，函数值会重复出现。
三、单位圆中的三角函数线（1）单位圆： ； （2）有向线段： ；四、三角函数的定义域和值域一、几个常见结论：1、同一个角α的正弦、余弦大小比较：（1）当α= 时，sin cos αα=； （2）当α∈ 时，sin cos αα>； （3）当α∈ 时，sin cos αα<。
2、确定sin cos αα+的符号：（1）当α∈ 时，sin cos 1αα+>； （2）当α∈ 时，sin cos 1αα+<-； （3）当α∈ 时，sin cos 0αα+=； （4）当α∈ 时，sin cos 0αα+>； （5）当α∈ 时，sin cos 0αα+<。
二、利用单位圆比较大小：当0,2πα⎛⎫∈⎪⎝⎭，比较tan ,sin ,ααα三者大小：> > 。
【例1】下列命题：①终边相同的角的同名三角函数值相等；②终边不同的角的同名函数值不等； ③若sin 0α>，则α是第一、第二象限的角；④若α是第二象限角，且(),P x y是其终边上一点，则cos α=其中正确的命题个数为 （ ） .A 1 .B 2 C.3 D.4【例2】设︒<<︒18090α，角α的终边上一点为)22,(x P ，且x 63cos =α.求：sin α，αtan 的值。
任意角的三角函数及基本公式
任意角的三角函数及基本公式三角函数是数学中的一个重要概念，它们描述了角度与三角比之间的关系。
任意角的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。
下面将详细介绍这些函数的定义、基本公式以及它们之间的关系。
1. 正弦函数（sine function）：在单位圆上，从x轴正向到射线与单位圆的交点之间的弧度即为角的弧度。
正弦函数将给定角度的正弦值映射到数轴上。
其定义如下：sin(θ) = y/r其中θ为角度，y为对边，r为斜边。
2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数表示角的余弦值在数轴上的投影长度。
其定义如下：cos(θ) = x/r其中θ为角度，x为邻边，r为斜边。
3. 正切函数（tangent function）：正切函数表示角的正切值在数轴上的投影比。
其定义如下：tan(θ) = y/x其中θ为角度，y为对边，x为邻边。
4. 余切函数（cotangent function）：余切函数表示角的余切值在数轴上的投影比。
其定义如下：cot(θ) = x/y其中θ为角度，y为对边，x为邻边。
5. 正割函数（secant function）：正割函数表示角的正割值在数轴上的投影长度。
其定义如下：sec(θ) = r/x其中θ为角度，x为邻边，r为斜边。
6. 余割函数（cosecant function）：余割函数表示角的余割值在数轴上的投影长度。
其定义如下：csc(θ) = r/y其中θ为角度，y为对边，r为斜边。
这些函数在不同的角度上有不同的值，可以通过查表或计算器得到具体数值。
同时，它们之间存在一些基本公式和关系，如下：1. 互余关系（co-function identities）：sin(θ) = cos(90° - θ)cos(θ) = sin(90° - θ)tan(θ) = cot(90° - θ)cot(θ) = tan(90° - θ)sec(θ) = csc(90° - θ)csc(θ) = sec(90° - θ)2.三角函数的平方和差：sin²(θ) + cos²(θ) = 1tan²(θ) + 1 = sec²(θ)cot²(θ) + 1 = csc²(θ)3.三角函数的倒数：sec(θ) = 1/cos(θ)csc(θ) = 1/sin(θ)cot(θ) = 1/tan(θ)4.符号关系：根据角度的位置和象限，三角函数的值可能为正或负。
任意角的三角函数
R
tan
{ k
, (k Z})
2
归纳总结
2、三角函数值的符号：
“第一象限全为正，二正三切四余弦”
sinx
tanx
cosx
3、诱导公式一
公式的作用:可以把
任意角的三角函数值
分别转化为0到2的
角的同一三角函数值.
；
x
﹒
所以，正弦，余弦，正切都是以
角为自变量，以单位圆上点的坐标或
坐标的比值为函数值的函数，我们将
他们称为三角函数.
使比值有意义的角的集合
即为三角函数的定义域.
。
说 明
（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点
的终边
y
的横坐标，正切就是 交点的纵坐标与
横坐标的比值.
（2） 正弦、余弦总有意义.当
x
3
3 10
3
＝ 10 ，tan θ＝1＝3.
当x＝1时，P(1,3)， 此时 sin θ＝ 2
1 ＋32
当x＝－1时，P(－1,3)，
3
3 10
3
此时 sin θ＝
2
2＝ 10 ，tan θ＝－1＝－3.
－1 ＋3
巩固提高
题型一
三角函数定义的应用
3
跟踪训练 1 已知角 α 的终边在直线 y＝－3x 上，求 10sin α＋
三角函数定义的应用
例 1 已知 θ 终边上一点 P(x,3)(x≠0)，且 cos θ＝
10
x，求 sin θ，tan θ.
10
解 由题意知 r＝|OP|＝ x2＋9，
x
x
由三角函数定义得 cos θ＝r ＝ 2
任意角的三角函数
三角函数定义域
三角函数 定义域
sin cos
tan
R
R
k , k z 2
cot
k , k z
sec csc
k , k z
k , k z 2
（二）过关训练
1、角a的终边在直线y=2x上，求a的六个三角 函数值。 2、若角a终边上有一点p(-3,0)，则下列函数 值不存在的是（ ）． A sina B cosa C tana D cota 3 , 3、角a的终边上一点p(-3,x),且 cos 5 则x= 。 1 y tan 的定义域为 4、函数 。 cos 5、角a的终边经过点p(-4m,3m)(m≠0)，求 sina,cosa,tana,cota的值。
四、小结
本节课我们学习了什么？ (1)任意角的三角函数的定义，它是一个比值，与点 P在角a的终边的上的位置无关，与a 角有关。 (2)三角函数的定义域。 (3)任意角的三角函数的定义的应用。
五、作业
1、《红对勾》P11-12：2、4、6、8、12、 13。 2、书P19练习1、2，P20习题3、4、5、6。
（二）例题讲解
例、求下列角的六个三角函数值： （ 1） 0 （2）3 2
三、学生练习
（一）、基础练习：
1、已知角a的终边经过点P(-2，－3)，求a的 六个三角函数值. 2、求 2 的六个三角函数值. 3、函数 y sin x cos x 的定义域为 。 4、已知角a的终边经过点P(-2m，－3)，求a 的六个三角函数值.
任意角的三角函数（一）
三角函数大全
三角公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22yx r +=，正弦：r y =αsin 余弦：rx =αcos 正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 正割：xr =αsec余割：yr =αcsc注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。
商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =。
平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。
三、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名不变，符号看象限）⑵απ+2、απ-2、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名改变，符号看象限）四、和角公式和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-五、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*ααα2tan 1tan 22tan -=二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，ααα2tan 1tan 22tan -=。
知识讲解_任意角的三角函数_基础
圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角 的顶点在圆心O，始边与 轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直 轴于M，作PN垂直 轴于点N.以A为原点建立 轴与 轴同向，与 的终边(或其反向延长线)相交于点 (或 )，则有向线段0M、0N、AT(或 )分别叫作 的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.
举一反三：
【变式1】求证：当 时，sin ＜ ＜tan 。
【证明】如图，设角 的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于点T，过点P作PM⊥OA于点M，连接AP，则：
在Rt△POM中，sin =MP；
在Rt△AOT中，tan =AT。
又根据弧度制的定义，有 。
=sin90°+tan45°+tan45°+cos0°=4。
【总结升华】在弧度制下，与角 终边相同的角为 ，k∈Z，在角度制下终边相同的角为k·360°+ ，k∈Z。利用公式化简或求值时要熟记特殊角的函数值。
举一反三：
【变式1】计算：
（1）
（2）sin1170°+tan405°+cos720°。
【答案】（1） （2）3
【解析】如图所示：在直角坐标系中，作出单位圆，把角 的顶放到原点，角的始边放到x轴的正半轴上．
设 的终边与单位圆的交点为B，单位圆和x轴的正半轴的交点为A，再作BM⊥x轴，M为垂足，则有BM=sin ，OM=cos ，OA=1．
（1）在单位圆中 时，在[0，2π]的角度是 ，或 ，
所以 取值范围为： ，或 ，k∈Z．
∴ 为第一、三象限角，
∴ 为第三象限角，即 角的集合为： ．
三角函数任意角的三角函数
两角差余弦公式
$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$
两角和与差的正弦公式
两角和正弦公式
$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$
两角差正弦公式
$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$
两角和与差的正切公式
对于任意角α，有以下基本 公式
sin²α+cos²α=1， 1+tan²α=sec²α， 1+cot²α=csc²α
04
05
两角和与差的 倍角和半角公 三角函数公式 式
sin(α+β)=sinαcosβ+cos αsinβ。 cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ
sin(2α)=2sinαcosα， cos(2α)=cos²α-sin²α， tan(2α)=(2tanα)/(1tan²α)
三角函数的图象与性质
01
三角函数的图象是在单位圆上点的轨迹，具有周期nx的图象是一条波形曲线，具有周期性，最小正周期为2π；余弦 函数y=cosx的图象也是一条波形曲线，也具有周期性，最小正周期为2π；正切 函数y=tanx的图象是一条直线，没有周期性。
交流电
交流电的电压和电流是时间的周期函数，可以用三角函数来 表示。
控制工程
在控制工程中，系统的传递函数和稳定性分析需要用到三角 函数的知识。
THANK YOU.
在解三角形中，三角函数可以用于求角度、长度 等，例如利用余弦定理求三角形面积： S=1/2bcsinA。
在微积分中，三角函数可以用于求函数的积分和 导数等，例如求圆的面积：A=πr²。
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任意角的三角函数
三角函数是数学中一个非常重要的概念，它是用于描述三角形中角和边之间的关系的一种函数。
在传统的三角函数中，我们只考虑角的大小在0度到90度之间的情况，这被称为锐角三角函数。
但是，在现代数学中，我们也可以考虑角的大小在90度以上的情况，这就是任意角三角函数。
任意角三角函数是三角函数的推广，它可以应用于任意角度的三角形中，并且具有广泛的应用。
任意角三角函数通常使用弧度制来度量角度。
下面我们将介绍任意角三角函数中最常用的几种函数。
1. 正弦函数
正弦函数是任意角三角函数中最简单和最基本的函数之一。
正弦函数的定义如下：
sinθ = y/r
其中，θ是角度，y是三角形中一个锐角顶点的垂直边长，r是这个锐角顶点到三角形外接圆心的距离。
正弦函数的值从-1到1，它刻画了一个角的正弦值与其对应的三角形中某一边长的比例关系。
如果一个角的正弦值为1，则这个角是90度；如果正弦值为0，则这个角是0度或180度。
2. 余弦函数
余弦函数是另一个重要的任意角三角函数。
它的定义如下：
cosθ = x/r
其中，θ是角度，x是三角形中一个锐角顶点的水平边长，r是这个锐角顶点到三角形外接圆心的距离。
余弦函数的值也在-1到1之间。
它刻画了一个角的余弦值与其对应的三角形中某一边长的比例关系。
如果一个角的余弦值为1，则这个角是0度；如果余弦值为0，则这个角是90度或270度。
3. 正切函数
正切函数是另一个常见的任意角三角函数。
它的定义如下：
tanθ = y/x
其中，θ是角度，y是三角形中一个锐角顶点的垂直边长，x是这个锐角顶点的水平边长。
正切函数的值可以是任意实数。
它刻画了一个角的正切值与其对应的三角形中垂直边长和水平边长的比例关系。
如果一个角的正切值为正无穷，则这个角是90度；如果正切值为负无穷，则这个角是270度。
4. 正割函数
正割函数是余弦函数的倒数。
它的定义如下：
secθ = 1/cosθ
正割函数的值也可以是任意实数。
它刻画了一个角的正割值与其对应的三角形中水平边长与半径的比例关系。
5. 余割函数
余割函数是正弦函数的倒数。
它的定义如下：
cscθ = 1/sinθ
余割函数的值也可以是任意实数。
它刻画了一个角的余割值与其对应的三角形中垂直边长与半径的比例关系。
以上就是任意角三角函数中最为基本和重要的五种函数。
这些函数可以用于描述和计算任意角度的三角形中的角和边的关系。
它们是数学中非常重要和通用的函数，对于很多领域的应用都有重要的作用。