任意角的三角函数
任意角三角函数定义
01
在三角形中，已知两边长，可用正弦、余弦定理求解未知角。
求解边长
02
在三角形中，已知两角及一边，或已知两边及夹角，可用正弦、
余弦定理求解未知边长。
判断三角形形状
03
通过比较三角形内角的大小关系，可以判断三角形的形状（如
锐角、直角、钝角三角形）。
物理学中应用举例
简谐振动
描述物体在平衡位置附近的往复运动，其运动规律可 用三角函数表示。
弧度制
以弧长与半径之比来度量角的大小， 是国际单位制中的角度单位，常用于 微积分等高级数学领域。
三角函数定义域与值域
定义域
三角函数中的自变量，即角度或弧度，其取值范围通常是实数集或其子集。
值域
三角函数中的因变量，即函数值，其取值范围依赖于具体的三角函数。例如，正弦函数和余弦函数的值域为[1,1]，而正切函数的值域为全体实数。
04
正切、余切函数性质与图 像
正切函数性质及图像特点
定义域
正切函数的定义域为所有不等于直角的角 度。
图像特点
正切函数的图像是一条连续的、无穷无尽 的曲线，以π为周期，在每个周期内，图像 从负无穷大增加到正无穷大。
值域
正切函数的值域为全体实数。
奇偶性
正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x) 。
THANKS
感谢观看
正切、余切关系式推导
正切与余切的关系式
tan(x) = 1/cot(x)，cot(x) = 1/tan(x)。
VS
推导过程
根据三角函数的定义，正切函数和余切函 数可以表示为对边与邻边之比和邻边与对 边之比。因此，正切函数和余切函数互为 倒数关系。
05
三角函数在各领域应用举 例
任意角的三角函数
任意角的三角函数（内部使用）姓名： 日期：一、任意角的三角函数1、三角函数：任意角的三角函数的定义：角α是一个终边上任取点(,)P x y ，设(0)OP r r =≠则sin α= ；cos α= ；tan α= 。
2、三角函数值的符号：（1）记忆口诀：sin α上正下负横轴零，cos α左负右正纵轴零，tan α交叉正负横轴零。
（2）解释： 。
（3二、公式一（1）()sin +2k απ= ； （2）()cos +2k απ= ； （3）()tan +2k απ= 。
说明角的终边绕原点每转动一周，函数值会重复出现。
三、单位圆中的三角函数线（1）单位圆： ； （2）有向线段： ；四、三角函数的定义域和值域一、几个常见结论：1、同一个角α的正弦、余弦大小比较：（1）当α= 时，sin cos αα=； （2）当α∈ 时，sin cos αα>； （3）当α∈ 时，sin cos αα<。
2、确定sin cos αα+的符号：（1）当α∈ 时，sin cos 1αα+>； （2）当α∈ 时，sin cos 1αα+<-； （3）当α∈ 时，sin cos 0αα+=； （4）当α∈ 时，sin cos 0αα+>； （5）当α∈ 时，sin cos 0αα+<。
二、利用单位圆比较大小：当0,2πα⎛⎫∈⎪⎝⎭，比较tan ,sin ,ααα三者大小：> > 。
【例1】下列命题：①终边相同的角的同名三角函数值相等；②终边不同的角的同名函数值不等； ③若sin 0α>，则α是第一、第二象限的角；④若α是第二象限角，且(),P x y是其终边上一点，则cos α=其中正确的命题个数为 （ ） .A 1 .B 2 C.3 D.4【例2】设︒<<︒18090α，角α的终边上一点为)22,(x P ，且x 63cos =α.求：sin α，αtan 的值。
任意角的三角函数及其诱导公式
-α
余弦函数的诱导公式 cos(2kπ+α)=cosα cos(-α)=cos α cos(2π-α)=cos α cos(π-α)= - cosα cos(π+α)= - cosα 函数名不变，符号看象限
2、研究角π/2+α与角α的正、余弦函数值的关系 在单位圆中，画出角α和角 π/2+α的终边， 由终边的位置关系可得
3)tan(-16500)的符号是——？
3)sin(-21π/5）的符号是——？
练习：求值 19 23 1、 sin ; 2、con(); 4 3 0 3、 tan （ 1110 ）
二、三角函数的诱导公式
1、若α是一个正锐角，怎样用α表示第一、二、 三、四象限角,并研究其终边位置关系.
一
任意角的三角函数及其诱导公式
一、 任意角的 的三角函数.
角的 终 边 与 单 位 圆 相 交 点 于P(a , b ); b 则 si n b 1
P(a,b)
b 称为角 的正弦函数； 记作 b=sin ;
一般用x表示自变量，y表示函数； 所以正弦函数表示：y＝sin x （x R） 相类似余弦函数是y＝cos x；正弦函数是y＝tan x
Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)= -Sinα Sin(π/2-α)=cosα #43;α)= -cotα => tan(π/2-α)=cotα
常用的正弦、余弦、正切诱导公式 1、同终边诱导公式 Sin(2kπ+α)=sin α cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tan α 2、负角诱导公式 Sin(-α)=- sin α cos(-α)=cos α tan(-α)= - tan α 3、四象限诱导公式 Sin(2π-α)=-sin α cos(2π-α)=cos α tan(2π-α)= - tan α
任意角的三角函数
任意角的三角函数三角函数是数学中一个非常重要的概念，它是用于描述三角形中角和边之间的关系的一种函数。
在传统的三角函数中，我们只考虑角的大小在0度到90度之间的情况，这被称为锐角三角函数。
但是，在现代数学中，我们也可以考虑角的大小在90度以上的情况，这就是任意角三角函数。
任意角三角函数是三角函数的推广，它可以应用于任意角度的三角形中，并且具有广泛的应用。
任意角三角函数通常使用弧度制来度量角度。
下面我们将介绍任意角三角函数中最常用的几种函数。
1. 正弦函数正弦函数是任意角三角函数中最简单和最基本的函数之一。
正弦函数的定义如下：sinθ = y/r其中，θ是角度，y是三角形中一个锐角顶点的垂直边长，r是这个锐角顶点到三角形外接圆心的距离。
正弦函数的值从-1到1，它刻画了一个角的正弦值与其对应的三角形中某一边长的比例关系。
如果一个角的正弦值为1，则这个角是90度；如果正弦值为0，则这个角是0度或180度。
2. 余弦函数余弦函数是另一个重要的任意角三角函数。
它的定义如下：cosθ = x/r其中，θ是角度，x是三角形中一个锐角顶点的水平边长，r是这个锐角顶点到三角形外接圆心的距离。
余弦函数的值也在-1到1之间。
它刻画了一个角的余弦值与其对应的三角形中某一边长的比例关系。
如果一个角的余弦值为1，则这个角是0度；如果余弦值为0，则这个角是90度或270度。
3. 正切函数正切函数是另一个常见的任意角三角函数。
它的定义如下：tanθ = y/x其中，θ是角度，y是三角形中一个锐角顶点的垂直边长，x是这个锐角顶点的水平边长。
正切函数的值可以是任意实数。
它刻画了一个角的正切值与其对应的三角形中垂直边长和水平边长的比例关系。
如果一个角的正切值为正无穷，则这个角是90度；如果正切值为负无穷，则这个角是270度。
4. 正割函数正割函数是余弦函数的倒数。
它的定义如下：secθ = 1/cosθ正割函数的值也可以是任意实数。
它刻画了一个角的正割值与其对应的三角形中水平边长与半径的比例关系。
任意角三角函数
45°的三角函数值
sin(45°) = cos(45°) = √2/2, tan(45°) = 1
30°、45°、60°和90°的三角函数值的推导
利用三角函数的定义和性质，可以推导出这些 特殊角的三角函数值。例如，利用正弦、余弦、 正切的定义，可以推导出sin(30°) = 1/2， cos(30°) = √3/2，tan(30°) = 1/√3。
sin(90°) = 1, cos(90°) = 0, tan(90°) = 无 穷大
30°的三角函数值
sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = 1/√3
60°的三角函数值
sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3
反余弦函数图像
反余弦函数的图像是一个连续的单调递减函数， 其值域为$[0, pi]$。在定义域内，反余弦函数先 从无定义开始，经过一个先增后减的过程，最后 又无定义结束。
单调性
反正弦函数和反余弦函数在其定义域内都是单调 的。
05
三角函数的应用
在几何学中的应用
确定平面内一点的位置
01
通过三角函数，可以确定平面内一个点的位置，例如在极坐标
解决物理问题
在解决物理问题时，经常需要用到三角函数，例 如在求解力学、电磁学、波动等问题时。
3
分析信号和波形
在信号处理和波形分析中，三角函数是常用的工 具，例如在频谱分析、滤波器设计等方面。
在工程学中的应用
结构设计
在工程结构设计中，三角函数可以用来计算角度、长度等参数， 以确保结构的稳定性和安全性。
同理，利用勾股定理和三角形的性质， 可以推导出其他特殊角的三角函数值。
任意角的三角函数及基本公式
任意角的三角函数及基本公式三角函数是数学中的一个重要概念，它们描述了角度与三角比之间的关系。
任意角的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。
下面将详细介绍这些函数的定义、基本公式以及它们之间的关系。
1. 正弦函数（sine function）：在单位圆上，从x轴正向到射线与单位圆的交点之间的弧度即为角的弧度。
正弦函数将给定角度的正弦值映射到数轴上。
其定义如下：sin(θ) = y/r其中θ为角度，y为对边，r为斜边。
2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数表示角的余弦值在数轴上的投影长度。
其定义如下：cos(θ) = x/r其中θ为角度，x为邻边，r为斜边。
3. 正切函数（tangent function）：正切函数表示角的正切值在数轴上的投影比。
其定义如下：tan(θ) = y/x其中θ为角度，y为对边，x为邻边。
4. 余切函数（cotangent function）：余切函数表示角的余切值在数轴上的投影比。
其定义如下：cot(θ) = x/y其中θ为角度，y为对边，x为邻边。
5. 正割函数（secant function）：正割函数表示角的正割值在数轴上的投影长度。
其定义如下：sec(θ) = r/x其中θ为角度，x为邻边，r为斜边。
6. 余割函数（cosecant function）：余割函数表示角的余割值在数轴上的投影长度。
其定义如下：csc(θ) = r/y其中θ为角度，y为对边，r为斜边。
这些函数在不同的角度上有不同的值，可以通过查表或计算器得到具体数值。
同时，它们之间存在一些基本公式和关系，如下：1. 互余关系（co-function identities）：sin(θ) = cos(90° - θ)cos(θ) = sin(90° - θ)tan(θ) = cot(90° - θ)cot(θ) = tan(90° - θ)sec(θ) = csc(90° - θ)csc(θ) = sec(90° - θ)2.三角函数的平方和差：sin²(θ) + cos²(θ) = 1tan²(θ) + 1 = sec²(θ)cot²(θ) + 1 = csc²(θ)3.三角函数的倒数：sec(θ) = 1/cos(θ)csc(θ) = 1/sin(θ)cot(θ) = 1/tan(θ)4.符号关系：根据角度的位置和象限，三角函数的值可能为正或负。
任意角的三角函数
R
tan
{ k
, (k Z})
2
归纳总结
2、三角函数值的符号：
“第一象限全为正，二正三切四余弦”
sinx
tanx
cosx
3、诱导公式一
公式的作用:可以把
任意角的三角函数值
分别转化为0到2的
角的同一三角函数值.
；
x
﹒
所以，正弦，余弦，正切都是以
角为自变量，以单位圆上点的坐标或
坐标的比值为函数值的函数，我们将
他们称为三角函数.
使比值有意义的角的集合
即为三角函数的定义域.
。
说 明
（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点
的终边
y
的横坐标，正切就是 交点的纵坐标与
横坐标的比值.
（2） 正弦、余弦总有意义.当
x
3
3 10
3
＝ 10 ，tan θ＝1＝3.
当x＝1时，P(1,3)， 此时 sin θ＝ 2
1 ＋32
当x＝－1时，P(－1,3)，
3
3 10
3
此时 sin θ＝
2
2＝ 10 ，tan θ＝－1＝－3.
－1 ＋3
巩固提高
题型一
三角函数定义的应用
3
跟踪训练 1 已知角 α 的终边在直线 y＝－3x 上，求 10sin α＋
三角函数定义的应用
例 1 已知 θ 终边上一点 P(x,3)(x≠0)，且 cos θ＝
10
x，求 sin θ，tan θ.
10
解 由题意知 r＝|OP|＝ x2＋9，
x
x
由三角函数定义得 cos θ＝r ＝ 2
三角函数的概念解析
5.2.1 三角函数的概念知识点1 任意角的三角函数1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：sin y α=，cos x α=，tan (0)yx xα=≠． 2．推广：设点(,)P x y 是角α终边上任意一点且不与原点重合，r OP =，则：sin y r α=，cos x r α=，tan (0)yx xα=≠． 注：三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，我们只需计算点到原点的距离22r OP x y ==+，那么22sin x y α=+22cos x y α=+tan (0)yx xα=≠知识点2 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．意为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．考点一 三角函数的定义及应用解题方略：(1)求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解． (2)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=. 注：利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ．(3)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． ①注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(,)(0)a b a ≠，则对应角的正弦值22sin a b α=+，余弦值22cos a b α=+tan baα=. 注：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况(点所在象限不同)进行分析．(4)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.(一)利用定义求角的三角函数值【例1-1】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(2,1)-，则sin α的值为( )A ．5B 5C ．25D 25【答案】B【解析】已知点()2,1P -，则()22215r OP ==-+5sin =5y r α=.变式1-1-1：若角α的终边经过点2(5,)1P -，则sin α=_______，cos α=______，tan α=________．【答案】1213-；513；125- 【解析】因为5,12x y ==-，所以225(12)13r =+-，则12512sin ,cos tan 13135y x y r r x ααα==-====-，．变式1-1-2：已知角α的终边过点()43-，，则2sin cos αα+=( ) A ．1 B ．25-C ．25D ．1-【答案】B【解析】因为角α的终边过点()43-，， 所以()()222234sin ,cos 554343αα=-==+-+-，所以3422sin cos 2555αα⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭，变式1-1-3：(多选)已知函数()()log 2401a f x x a a =-+>≠且的图象经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则11tan sin θθ+的值可能是( ) A ．2 B ．3 C 171+ D 171+【答案】AC【解析】由题意，可知(3,4)A 或(1,4)A ，当点是(3,4)A 时，由三角函数的定义有2244tan ,sin 3534θθ==+，所以11352tan sin 44θθ+=+=； 当点是(1,4)A 时，由三角函数的定义有224tan 4,sin 11714θθ==+11117171tan sin 4θθ+∴+==变式1-1-4：(多选)若角α的终边上有一点(4,)P a -，且3sin cos αα⋅=，则a 的值为( ) A ．3 B 3 C ．43-D ．43【答案】CD【解析】由三角函数的定义可知，()22sin 4a α=-+()22cos 4a α=-+又3sin cos αα⋅=，则()22434a a -=-+43a =-433(二)由三角函数值求终边上的点或参数【例1-2】已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()02,y -，若π3α=，则0y 的值为( )． A ．3- B ．23C ．3D 23【答案】A【解析】因为角α终边经过点()02,y -，且3πα=，所以0πtan332y =-023y =-变式1-2-1：已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =( )A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】由题意31tan 2m m θ-==，解得2m =．变式1-2-2：已知()2,P y -是角θ终边上一点，且22sin θ=y 的值是( ) A ．22B 22C ．434D 434【答案】D【解析】因为()2,P y -是角θ终边上一点，22sin 05θ=>，故点()2,P y -位于第二象限 所以0y >，2222sin (2)y θ==-+21732y =，因为0y >，所以434y =变式1-2-3：已知角θ的终边经过点()21,2a a +-，且3cos 5θ=，则实数的a 值是( )A ．2-B ．211C ．2-或211D ．1【答案】B2235(21)(2)a a =++-且210a +>，即12a >-，①2244195525a a a ++=+，则2112040a a +-=，解得2a =-或211a =，综上，211a =.变式1-2-4：已知角α的终边上有一点(3P m ，且2cos 4mα=，则实数m 取值为______．【答案】0或5【解析】因为角α的终边上有一点(3P m ， 所以22cos 43mm α==+，解得0m =或5±(三)由单位圆求三角函数值【例1-3】已知角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，则sin α的值为( )A. 3 B ．12-C 3D ．12【答案】C【解析】因为角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，所以根据三角函数的定义可知，3sin y α==．变式1-3-1：角α的终边与单位圆的交点A 3sin α=________，若点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，则转过的角度为________． 132π 【解析】α的终边与单位圆的交点A 3可得：3cos α=sin 0α>，则有：22313sin 1cos 14αα⎛⎫=--=⎪⎝⎭点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，可得：2AOB π∠=变式1-3-2：已知角α的终边与单位圆交于点36(P ，则sin cos αα⋅=( ) A 3 B ．2C ．3D 2【答案】B【解析】α的终边与单位圆交于点36(P ,故36||1,r OP x y ====， 故636333sin cos 11y x r r αα==== 所以632sin cos 3αα⋅=（=-，(四)已知角α的终边在直线上求三角函数值【例1-4】已知角α的终边落在射线2(0)y x x =≥上，求sin α，cos α的值．【解析】设射线2(0)y x x =≥上任一点00(,)P x y ，则002y x =，220005OP r x y x ∴==+=，00025sin 55y r x α∴===，0005cos 55x r x α===.变式1-4-1：已知α的终边落在直线2y x =上，求sin α，cos α的值255255【解析】①若α的终边在第一象限内，设点(,2)(0)P a a a >是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=>25sin 55y r a α∴===，5cos 55x r a α===①若α的终边在第三象限内，设点(,2)(0)P a a a <是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=-<25sin 5y r a α∴===-，5cos 5x r a α===-变式1-4-2：α是第二象限角，其终边上一点(5P x ，且2cos x α=，则sin α的值为( ) A 10 B 6 C 2 D ．10 【答案】A【解析】由题意可知0x <，22cos 5x x α=+，解得3x =-510sin 35α==+考点二 三角函数值符号的判定解题方略：三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解．(一)已知角或角的范围确定三角函数式的符号【例2-1】坐标平面内点P 的坐标为()sin5,cos5，则点P 位于第( )象限.A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】B 【解析】32π2π5<<，sin50,cos50∴<>，则点P 位于第二象限，变式2-1-1：若α为第四象限角，则( )A ．cos 2α＞0B ．cos 2α＜0C ．sin 2α＞0D ．sin 2α＜0 【答案】D【解析】法一：因为α为第四象限角，22,2k k k Z ππαπ∴-<<∈，424,k k k Z ππαπ∴-<<∈所以2α的终边在第三象限、第四象限或y 轴的负半轴上，所以sin 20α<.法二：因为α为第四象限角，sin 0α∴<，cos 0α>，sin 22sin cos 0ααα∴=<.变式2-1-2：下列各选项中正确的是( )A ．sin300>0︒B ．cos(305)0-︒<C ．22tan 03π⎛⎫-> ⎪⎝⎭D ．sin100<【答案】D【解析】30036060︒=︒-︒，则300︒是第四象限角，故sin3000︒<；30536055-︒=-︒+︒，则305-︒是第一象限角，故cos(305)0-︒>；222833πππ-=-+，则223π-是第二象限角，故22tan 03π⎛⎫-< ⎪⎝⎭； 73102ππ<<，则10是第三象限角，故sin100<，故选D.变式2-1-3：下列各式：①()sin 100-︒； ①()cos 220-︒； ①()tan 10-； ①cos π. 其中符号为负的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】100-︒，故()sin 1000-︒<；220-︒在第二象限，故()cos 2200-︒<；710,32ππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭在第二象限，故()tan 100-<，cos 10π=-<.(二)由三角函数式的符号确定角的范围或象限【例2-2】已知sin tan 0θθ⋅<，则角θ位于第________象限．【答案】二或三【解析】当θ为第一象限角时，sin 0θ>，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅>； 当θ为第二象限角时，sin 0θ>，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第三象限角时，sin 0θ<，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第四象限角时，sin 0θ<，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅> 综上，若sin tan 0θθ⋅<，则θ位于第二或第三象限变式2-2-1：已知sin 0θ<且tan 0θ<，则θ是( )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角【答案】D【解析】sin 0θ<，则θ是第三、四象限的角，tan 0θ<，则θ是第二、四象限的角 ①θ是第四象限的角变式2-2-2：若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】sin cos 0αα⋅<，α是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<； 当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意； 综上所述：α是第二象限角.变式2-2-3：若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】C【解析】由sin tan 0αα<可知sin α,tan α异号，从而α是第二或第三象限角．由cos 0tan αα<可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角． 综上可知，α是第三象限角．变式2-2-4：已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】因为点P 在第四象限，所以有tan 0cos 0αα>⎧⎨<⎩，由此可判断角α的终边在第三象限．变式2-2-5：若cos α与tan α同号，那么α在( )A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第三、四象限D ．第二、四象限 【答案】B【解析】因为cos α与tan α同号，则cos α与tan α的乘积为正，即正弦值为正，所以α在第一、二象限.变式2-2-6：在ABC 中，A 为钝角，则点()cos ,tan P A B 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】在ABC 中，A 为钝角，则B 为锐角，则cos 0,tan 0A B <>，则点()cos ,tan P A B 在第二象限变式2-2-7：已知角α的终边经过点(39,2)a a -+，且cos 0α≤，sin 0α>，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 【答案】A【解析】①cos 0α≤，sin 0α>，①角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ①39020a a -≤⎧⎨+>⎩ ①23a -<≤ .。
三角函数任意角的三角函数
两角差余弦公式
$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$
两角和与差的正弦公式
两角和正弦公式
$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$
两角差正弦公式
$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$
两角和与差的正切公式
对于任意角α，有以下基本 公式
sin²α+cos²α=1， 1+tan²α=sec²α， 1+cot²α=csc²α
04
05
两角和与差的 倍角和半角公 三角函数公式 式
sin(α+β)=sinαcosβ+cos αsinβ。 cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ
sin(2α)=2sinαcosα， cos(2α)=cos²α-sin²α， tan(2α)=(2tanα)/(1tan²α)
三角函数的图象与性质
01
三角函数的图象是在单位圆上点的轨迹，具有周期nx的图象是一条波形曲线，具有周期性，最小正周期为2π；余弦 函数y=cosx的图象也是一条波形曲线，也具有周期性，最小正周期为2π；正切 函数y=tanx的图象是一条直线，没有周期性。
交流电
交流电的电压和电流是时间的周期函数，可以用三角函数来 表示。
控制工程
在控制工程中，系统的传递函数和稳定性分析需要用到三角 函数的知识。
THANK YOU.
在解三角形中，三角函数可以用于求角度、长度 等，例如利用余弦定理求三角形面积： S=1/2bcsinA。
在微积分中，三角函数可以用于求函数的积分和 导数等，例如求圆的面积：A=πr²。
任意角的三角函数
cos
4
3
sin
12
6
tan
6
3
cos sin tan 1 1 3 1 3
3
6
322
题目部分
1.（难度：易）若角 α 的终边经过点 P(－b,4)，且 cosα＝
A －35，则 b 的值为( )
A．3 B．－3 C．±3
D．5
解：因为 r＝ b2＋16，所以 b－2＋b16＝－53.所以 b＝3.
【反思】：由于a ? 0，所以分a 0和a < 0两种情况 去掉绝对值符号，否则就会漏解。
例题+变式 任意角三角函数定义的应用
变式3.已知角的终边在直线y 2x上， 求角的sin, cos, tan的值.
解：1当角的终边在第一象限时，
在角的终边上取点1, 2，则r= 12 22 5
sin 2 2 5 , cos 1 5 , tan 2 2
y
（ -） （+）
o
（ +）
（
-
x ）
tan
思考和探究
3.几个特殊角的三角函数值
角α 0o
角α
的弧 度数
0
sinα 0
cosα 1
tanα 0
30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
6 4 32
3 2
2
0 1 1 1
2
3
2
2
2
0
0 3
21
2
2
2
1 0 1
31
3
3 不存在 0 不存在 0
例题+变式 任意角三角函数定义的应用
变式4.已知 在第二象限, 试确sin(cos)cos(sin)