2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷(四)数学【解析版】

2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷（四）数学【解析版】第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}，B ＝{x |x <2}，则A ∩B ＝( ) A ．[0,2] B ．[0,1] C ．(0,2] D ．[－1,0]2．若复数z ＝1＋i1＋a i(i 表示虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为( )A ．1B ．0C ．－12 D ．－13．设{a n }为公差不为0的等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p ＋q >k ＋l ”是“a p ＋a q >αk ＋a l ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ＝213，b ＝log 2 13，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a5．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m 个(m 为正整数)，若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是( )A.18B.17C.16D.156．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，BCAC ＝5－12.根据这些信息，可得sin 234°＝( )A.1－254 B ．－3＋58C ．－5＋14D ．－4＋587．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，直线l 为双曲线C 的一条渐近线，F 1关于直线l 的对称点F ′1在以F 2为圆心，以半焦距c 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．38．已知△ABC 为等边三角形，动点P 在以BC 为直径的圆上，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋2μ的最大值为( )A.12 B ．1＋33 C.52 D ．2＋32二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知a >b ≥2，则( )A ．b 2<3b －aB ．a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2C ．ab >a ＋b D.12＋2ab >1a ＋1b10．如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，若M 为线段A 1C 的中点，则△ADE 在翻折过程中，下列说法正确的是( )A ．线段BM 的长是定值B ．存在某个位置，使DE ⊥A 1C C ．点M 的运动轨迹是一个圆D ．存在某个位置，使MB ⊥平面A 1DE11．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C ：(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论正确的是( )A ．曲线C 经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)B ．曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2 C ．曲线C 围成区域的面积大于4πD ．方程(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2(xy >0)表示的曲线C 在第一象限和第三象限12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)满足f (x 0)＝f (x 0＋1)＝－12，且f (x )在(x 0，x 0＋1)上有最小值，无最大值．则( )A ．f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝－1 B ．若x 0＝0，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2πx －π6 C ．f (x )的最小正周期为3D ．f (x )在(0,2 019)上的零点个数最少为1 346个第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．为做好社区新冠疫情防控工作，需将六名志愿者分配到甲、乙、丙、丁四个小区开展工作，其中甲小区至少分配两名志愿者，其它三个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有________种．(用数字作答)14．已知函数f (x )＝x ＋2cos x ＋λ，在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上任取三个数x 1，x 2，x 3，均存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为边长的三角形，则λ的取值范围是________．15．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F (1,0)，准线为l ，过焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ，若|AF |＝4|BF |，则p ＝________，三角形CDF 的面积为________．16．在三棱锥P - ABC 中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且AB ＝2，P A ＝PC ＝5，PB 与底面ABC 所成的角的正弦值为13，则三棱锥P - ABC 的外接球的体积为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)如图，在△ABC 中，C ＝π4，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，且tan ∠CBD ＝12.(1)求sin A ；(2)若CA →·CB →＝28，求AB 的长．18.(12分)在①a2n＋1－a2n＝3(a n>0)，②a2n－a n a n－1－3a n－1－9＝0，③S n＝n2－2n＋2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．已知：数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，________.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对大于1的自然数n，是否存在大于2的自然数m，使得a1，a n，a m成等比数列．若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．19．(12分)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C 不重合)．(1)证明：平面EMN⊥平面PBC；(2)是否存在点N，使得二面角B -EN -M的余弦值为66，若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由．20．(12分)沙漠蝗虫灾害年年有，今年灾害特别大．为防范罕见暴发的蝗群迁飞入境，我国决定建立起多道防线，从源头上控制沙漠蝗群．经研究，每只蝗虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．平均温度x i ℃ 21 23 25 27 29 32 35 平均产卵数y i 个711 21 24 66115325∑i ＝17x i ＝192，∑i ＝17y i ＝569，∑i ＝17x i y i ＝18 542，∑i ＝17x 2i＝5 414，∑i ＝17z i ＝25.2848，∑i ＝17x i z i ＝733.7079.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫其中z i ＝ln y i ，z ＝17∑i ＝17z i (1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c e dx (其中e ＝2.718…自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)并由判断结果及表中数据，求出y 关于x 的回归方程．(计算结果精确到小数点后第三位)(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为p (0<p <1)．①记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为f (p )，求f (p )的最大值，并求出相应的概率p . ②当f (p )取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X ，求X 的数学期望和方差．附：线性回归方程系数公式b ^＝∑i ＝1n(x i －x )·(y i －y )∑i ＝1n (x i －x )2，a ^＝y －b ^x .21．(12分)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，定点A (1,0)，P 为平面内一动点，以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，设动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点Q (2，3)的直线l 与C 交于E ，F 两点，已知点D (2,0)，直线x ＝x 0分别与直线DE ，DF 交于S ，T 两点．线段ST 的中点M 是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由．22．(12分)已知函数f(x)＝e x－ax－cos x，其中a∈R.(1)求证：当a≤－1时，f(x)无极值点；(2)若函数g(x)＝f(x)＋ln(x＋1)，是否存在a，使得g(x)在x＝0处取得极小值？并说明理由．答案1．答案：A解析：求得A＝[－1,2]，B＝[0,4)，所以A∩B＝[0,2]，故选A.2．答案：D解析：设z＝b i，b∈R且b≠0，则1＋i1＋a i＝b i，得到1＋i＝－ab＋b i，∴1＝－ab，且1＝b，解得a＝－1，故选D.3．答案：D解析：设等差数列的公差为d ，a p ＋a q >a k ＋a l ⇒a 1＋(p －1)d ＋a 1＋(q －1)d >a 1＋(k －1)d ＋a 1＋(l －1)d ⇒d [(p ＋q )－(k ＋l )]>0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ d >0p ＋q >k ＋l 或⎩⎪⎨⎪⎧d <0p ＋q <k ＋l ， 显然由p ＋q >k ＋l 不一定能推出a p ＋a q >a k ＋a l ， 由a p ＋a q >a k ＋a l 也不一定能推出p ＋q >k ＋l ，因此p ＋q >k ＋l 是a p ＋a q >a k ＋a l 的既不充分也不必要条件， 故选D. 4．答案：C解析：a ＝1-32＝1312⎛⎫⎪⎝⎭∈(0,1)；b ＝log 2 13<0；c ＝121log 3＝log 23>1，∴c >a >b ，故选C. 5．答案：B解析：设首项为a 1，因为和为80，所以5a 1＋12×5×4×m ＝80，故m ＝8－12a 1.因为m ，a 1∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，m ＝7，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，m ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝6，m ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝8，m ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝10，m ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝12，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，m ＝1. 因此“公”恰好分得30个橘子的概率是17.故选B. 6．答案：C解析：由题可知∠ACB ＝72°，且cos 72°＝12BC AC ＝5－14，cos 144°＝2cos 2 72°－1＝－5＋14，则sin 234°＝sin(144°＋90°)＝cos 144°＝－5＋14.故选C. 7．答案：C解析：方法一：直线l 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线，则不妨设直线l 为y ＝bax ，∵F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点， ∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，∵F 1关于直线l 的对称点为F ′1，则F ′1为(x ，y )，∴y x ＋c＝－a b ，y ＋02＝b a ·x －c 2，解得x ＝b 2－a 2c ，y ＝－2abc ，∴F ′1⎝⎛⎭⎫b 2－a 2c，－2ab c ，∵F ′1在以F 2为圆心，以半焦距c 为半径的圆上， ∴⎝⎛⎭⎫b 2－a 2c －c 2＋⎝⎛⎭⎫－2ab c－02＝c 2， 整理可得4a 2＝c 2，即2a ＝c ，∴e ＝ca＝2，故选C.方法二：由题意知|F ′1O |＝|OF 1|＝|OF 2|＝|F ′1F 2|，所以三角形F ′1F 1F 2是直角三角形，且∠F ′1F 1F 2＝30°， 又由焦点到渐近线的距离为b ，得|F ′1F 1|＝2b ， 所以2b ＝3c ，所以e ＝2. 故选C. 8．答案：C解析：设△ABC 的边长为2，不妨设线段BC 的中点O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，则点A (0，3)、B (－1,0)、C (1,0)，以线段BC 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， 设点P (cos θ，sin θ)，则＝(－1，－3)，＝(1，－3)，＝(cos θ，sin θ－3)， 由于＝λ＋μ，则－λ＋μ＝cos θ，－3λ－3μ＝sin θ－3，解得λ＝12－36sin θ－12cos θ，μ＝12－36sin θ＋12cos θ， 所以λ＋2μ＝⎝⎛⎭⎫12－36sin θ－12cos θ＋2⎝⎛⎭⎫12－36sin θ＋12cos θ＝32－32sin θ＋12cos θ ＝32－sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 因此，λ＋2μ的最大值为52.故选C.9．答案：BC解析：对于A ，因为a >b ≥2，所以b 2－(3b －a )＝(a －b )＋b (b －2)>0， 故A 错误；对于B ，可通过作差证明，B 正确；对于C ，ab －(a ＋b )＝ab －2a ＋ab －2b2＝a (b －2)＋b (a －2)2>0，故C 正确；对于D ，若12＋2ab >1a ＋1b成立，当a ＝10，b ＝2时，左边＝右边＝35，故D 错误． 所以，选BC. 10．答案：AC解析：对A ，取CD 中点F ，连接MF ，BF ，则MF ∥DA 1，BF ∥DE ，由∠A 1DE ＝∠MFB ，MF ＝12A 1D 为定值，FB ＝DE 为定值，由余弦定理可得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB cos ∠MFB ， 所以FB 为定值，A 正确；若B 正确，即DE ⊥A 1C ，由∠AED ＝∠BEC ＝45°，可得DE ⊥CE ，则DE ⊥平面A 1EC ，所以DE ⊥A 1E ，而这与DA 1⊥A 1E 矛盾，故B 错误；因为B 是定点，所以M 在以B 为圆心，MB 为半径的圆上，故C 正确； 取CD 中点F ，连接MF ，BF ， 则MF ∥DA 1，BF ∥DE ，由面面平行的判定定理得平面MBF ∥平面A 1DE ， 即有MB ∥平面A 1DE ，可得D 错误． 故选AC.11．答案：BD解析：(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2≤16⎝⎛⎭⎫x 2＋y 222，解得x 2＋y 2≤4(当且仅当x 2＝y 2＝2时取等号)，则B 正确； 将x 2＋y 2＝4和(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2联立， 解得x 2＝y 2＝2，即圆x 2＋y 2＝4与曲线C 相切于点(2，2)，(－2，2)，(－2，－2)，(2，－2)， 则A 和C 都错误；由xy >0，得D 正确．综上，选BD. 12．答案：AC解析：(x 0，x 0＋1)区间中点为x 0＋12，根据正弦曲线的对称性知f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝－1， 故选项A 正确；若x 0＝0，则f (x 0)＝f (x 0＋1)＝－12，即sin φ＝－12，不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2πx －π6，满足条件， 但f ⎝⎛⎭⎫13＝1为(0,1)上的最大值，不满足条件， 故选项B 错误；不妨令ωx 0＋φ＝2k π－5π6，ω(x 0＋1)＋φ＝2k π－π6，k ∈Z ，两式相减得ω＝2π3，即函数的周期T ＝2πω＝3，故C 正确；区间(0,2 019)的长度恰好为673个周期， 当f (0)＝0时，即φ＝k π(k ∈Z )时，f (x )在开区间(0,2 019)上零点个数至少为673×2－1＝1 345， 故D 错误．故正确的是AC. 13．答案：660解析：若甲小区2人，乙、丙、丁其中一小区2人，共有C 26C 24A 33种，若甲小区3人，乙、丙、丁每小区1人，共有C 36A 33种，则不同的分配方案共有C 26C 24A 33＋C 36A 33＝660种．14．答案：⎝⎛⎭⎫3－5π6，＋∞ 解析：求导得f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )＝0，得x ＝π6，易得f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝π6＋3＋λ，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2＋λ，又由题意知f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2＋λ>0，且f ⎝⎛⎭⎫π2＋f ⎝⎛⎭⎫π2>f ⎝⎛⎭⎫π6，由此解得λ的取值范围为λ>3－5π6. 15．答案：2 5解析：抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F (1,0)， 所以p ＝2，准线为x ＝－1，设过焦点的直线方程为x ＝my ＋1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1y 2＝4x，得y 2－4my －4＝0，∴y 1y 2＝－4 ①又|AF |＝4|BF |，y 1＝－4y 2 ②由①②解得y 1＝－4，y 2＝1或y 1＝4，y 2＝－1， 所以|CD |＝|y 1－y 2|＝5，所以三角形CDF 的面积为12×2×5＝5.16．答案：9π2或8989π6解析：如图，取AC 中点O ′，因为P A ＝PC ＝5，AB ＝BC ， 所以AC ⊥PO ′，AC ⊥O ′B ，所以AC ⊥平面PO ′B ，所以平面PO ′B ⊥平面ABC ， 易知∠O ′BP 即为PB 与底面ABC 所成的角或补角． O ′B ＝2，O ′P ＝3，所以在△O ′PB 中， (2)2＋PB 2－2·2·PB ·cos ∠O ′BP ＝(3)2，因为sin ∠O ′BP ＝13，当cos ∠O ′BP ＝223时，求得PB ＝3，此时∠PCB ＝∠P AB ＝90°.故PB 为三棱锥P ABC 外接球直径，V ＝9π2；当cos ∠O ′BP ＝－223时，求得PB ＝13，延长BO ′交外接球于Q ，则BQ 为圆O ′的直径， 则△QBP 的外接圆直径为球的直径， 由PQ 2＝BQ 2＋BP 2－2·BQ ·BP ·cos ∠QBP＝(22)2＋⎝⎛⎭⎫132－2·22·13⎝⎛⎭⎫－223＝899， 球的直径为2R ＝PQsin ∠QBP ＝89，可求得V ＝8989π6.综上外接球的体积为9π2或8989π6.17．解析：(1)设∠CBD ＝θ，因为tan θ＝12， 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故sin θ＝55，cos θ＝255， 则sin ∠ABC ＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×55×255＝45， cos ∠ABC ＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×45－1＝35， 故sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋2θ ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋2θ＝22(sin 2θ＋cos 2θ) ＝22×⎝⎛⎭⎫45＋35＝7210. (2)由正弦定理BC sin A ＝AC sin ∠ABC， 即BC 7210＝AC 45，所以BC ＝728AC ， 又·＝22||||＝28， 所以||||＝282，所以AC ＝42，又由AB sin C ＝AC sin ∠ABC ，得AB 22＝AC 45，所以AB ＝5. 18．解析：方案一：选条件①.(1)由a 2n ＋1－a 2n ＝3，得{a 2n }是公差为3的等差数列，由a 1＝1，得a 21＝1，则a 2n ＝3n －2，又a n >0，所以a n ＝3n －2.(2)根据a 1，a n ，a m 成等比数列，得到a 2n ＝a 1a m ，即3n －2＝3m －2，则有m ＝3n 2－4n ＋2，因为n ∈N *且n ≥2，所以m ＝3n 2－4n ＋2∈N *，当n ＝2时，m min ＝6；方案二：选条件②.(1)因为a 2n －a n a n －1－3a n －1－9＝0⇔(a n ＋3)(a n －a n －1－3)＝0，因为a 1＝1，所以a n －a n －1－3＝0，则{a n }是等差数列，则a n ＝3n －2.(2)要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1a m ，即(3n －2)2＝3m －2，则有m ＝3n 2－4n ＋2，因为n ∈N *且n ≥2，所以m ＝3n 2－4n ＋2∈N *，当n ＝2时，m min ＝6；方案三：选条件③.(1)由S n ＝n 2－2n ＋2，得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝12n －3 n ≥2. (2)要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1a m ，即(2n －3)2＝2m －3，则有m ＝2n 2－6n ＋6，因为n ∈N *且n ≥2，所以m ＝2n 2－6n ＋6∈N *，当n ＝2时，m min ＝2.19．解析：(1)证明：因为PE ⊥EB ，PE ⊥ED ，EB ∩ED ＝E ，所以PE ⊥平面EBCD ，又PE ⊂平面PEB ，所以平面PEB ⊥平面EBCD ，而BC ⊂平面EBCD ，BC ⊥EB ，所以平面PBC ⊥平面PEB ，由PE ＝EB ，PM ＝MB 知，EM ⊥PB ，于是EM ⊥平面PBC .又EM ⊂平面EMN ，所以平面EMN ⊥平面PBC.(2)假设存在点N 满足题意，取E 为原点，直线EB ，ED ，EP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系E xyz ，不妨设PE ＝EB ＝2，显然平面BEN 的一个法向量为n 1＝(0,0,1)，设BN ＝m (0<m <2)，则＝(1,0,1)，＝(2，m,0)．设平面EMN 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则由·n 2＝·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ (1，0，1)·(x ，y ，z )＝0(2，m ，0)·(x ，y ，z )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝02x ＋my ＝0， 故可取n 2＝(m ，－2，－m )，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝(0，0，1)·(m ，－2，－m )2m 2＋4＝－m 2m 2＋4， 依题意⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m 2m 2＋4＝66， 解得m ＝1∈(0,2)，此时N 为BC 的中点．综上知，存在点N ，使得二面角B EN M 的余弦值为66， 此时N 为BC 的中点．20．解析：(1)根据散点图可以判断，y ＝c e dx 更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型； 对y ＝c e dx 两边取自然对数，得ln y ＝ln c ＋dx ；令z ＝ln y ，a ＝ln c ，b ＝d ，得z ＝a ＋bx ； 因为＝∑i ＝17(x i －x )(z i －z )∑i ＝17 (x i －x )2＝＝40.1820147.7143≈0.272， ＝z －x ＝3.612－0.272×27.429≈－3.849；所以z 关于x 的回归方程为＝0.272x －3.849；所以y 关于x 的回归方程为＝e 0.272x －3.849.(2)①由f (p )＝C 35·p 3·(1－p )2， 得f ′(p )＝C 35·p 2(1－p )(3－5p )， 因为0<p <1，令f ′(p )>0，得3－5p >0，解得0<p <35； 所以f (p )在⎝⎛⎭⎫0，35上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫35，1上单调递减，所以f (p )有唯一的极大值为f ⎝⎛⎭⎫35，也是最大值；所以当p ＝35时，f (p )max ＝f ⎝⎛⎭⎫35＝216625； ②由①知，当f (p )取最大值时，p ＝35，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫5，35， 所以X 的数学期望为E (X )＝5×35＝3， 方差为D (X )＝5×35×25＝65. 21．解析：(1)设以AP 为直径的圆的圆心为B ，切点为N ，则|OB |＝2－|BA |，∴|OB |＋|BA |＝2.取A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′P ，故|A ′P |＋|AP |＝2(|BO |＋|BA |)＝4>2.所以点P 的轨迹是以A ′，A 为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a ＝2，c ＝1，曲线C 方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线l 的方程为x ＝ty ＋(2－3t )，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，直线DE 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)， 故y S ＝y 1x 1－2(x 0－2)， 同理y T ＝y 2x 2－2(x 0－2)； 所以2y 0＝y S ＋y T ＝y 1x 1－2(x 0－2)＋y 2x 2－2(x 0－2)， 即2y 0x 0－2＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝y 1t (y 1－3)＋y 2t (y 2－3)＝2y 1y 2－3(y 1＋y 2)t [y 1y 2－3(y 1＋y 2)＋3]③ 联立⎩⎨⎧x ＝ty ＋(2－3t )3x 2＋4y 2－12＝0， 化简得(3t 2＋4)y 2＋(12t －63t 2)y ＋9t 2－123t ＝0，所以y 1＋y 2＝63t 2－12t 3t 2＋4，y 1y 2＝9t 2－123t 3t 2＋4代入③得，2y 0x 0－2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫9t 2－123t 3t 2＋4－3×63t 2－12t 3t 2＋4t ⎣⎢⎡⎦⎥⎤9t 2－123t 3t 2＋4－3×63t 2－12t 3t 2＋4＋3 ＝－123t 12t＝－3⇒3x 0＋2y 0－23＝0， 所以点M 都在定直线3x ＋2y －23＝0上．22．解析：(1)证明：对f (x )求导得f ′(x )＝e x ＋sin x －a ，显然e x >0，sin x ≥－1，所以e x ＋sin x －a >0－1－a ≥0，即f ′(x )>0，所以f (x )在其定义域上是单调递增函数，故f (x )无极值点；(2)解法一：对g (x )求导得g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－a ＋sin x (x >－1)， 又注意到g ′(0)＝2－a ，令g ′(0)＝2－a ＝0，得a ＝2.此时g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－2＋sin x ， 令h (x )＝g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－2＋sin x ， 则h ′(x )＝e x －1(x ＋1)2＋cos x ， 显然，在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2上，e x >1>1(x ＋1)2，cos x >0， 此时h ′(x )＝e x －1(x ＋1)2＋cos x >0， 故h (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， 所以h (x )>h (0)＝0，即g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－2＋sin x >0； 又当x ∈(－1,0)时，令s (x )＝(x ＋1)2e x ，t (x )＝(x ＋1)2cos x ，则s ′(x )＝(x ＋1)(x ＋3)e x >0，s (x )是(－1,0)上的增函数，所以s (－1)<s (x )<s (0)，即0<s (x )<1，故存在区间(x 1,0)⊂(－1,0)，使s (x )>12，即e x >12(x ＋1)2； 又0<(x ＋1)2<1，cos 1<cos x <1，即0<t (x )<1，故存在区间(x 2,0)⊂(－1,0)，使t (x )>12，即cos x >12(x ＋1)2， 现设(x 1,0)∩(x 2,0)＝(x 0,0)，则在区间(x 0,0)上，e x >12(x ＋1)2，cos x >12(x ＋1)2同时成立， 即h ′(x )＝e x －1(x ＋1)2＋cos x >0， 故h (x )在(x 0,0)上是增函数，h (x )<h (0)＝0.从而存在区间(x 0,0)，使得g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－2＋sin x <0； 因此存在a ＝2，使得g (x )在x ＝0处取得极小值．解法二：x ＝0是f (x )的极小值点的必要条件是f ′(0)＝2－a ，即a ＝2.此时，g ′(x )＝e x ＋11＋x－2＋sin x ， 显然当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时， g ′(x )＝e x ＋11＋x－2＋sin x≥1＋x ＋11＋x－2＋sin x >0； 当－14<x <0时， (1＋x )⎝⎛⎭⎫1－x ＋32x 2＝1＋x 22(3x ＋1)>1⇒11＋x<1－x ＋32x 2. 令m (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋x ＋x 22e －x ，m ′(x )＝－x 22e －x ≤0， 故m (x )是减函数．因此，当x <0时，m (x )>m (0)＝1，即e x <1＋x ＋x 22. 令h (x )＝sin x －12x ，h ′(x )＝cos x －12. 当－1<x <0时，h ′(x )>cos 1－12>0， 故h (x )在(－1,0)上单调递增．因此，当－1<x <0时，h (x )<h (0)＝0，即sin x <12x . 故当x ∈⎝⎛⎭⎫－14，0时， g ′(x )＝e x ＋11＋x－2＋sin x ≤⎝⎛⎭⎫1＋x ＋x 22＋⎝⎛⎭⎫1－x ＋32x 2－2＋x 2＝2x 2＋x 2<0； 因此，a ＝2时x ＝0是g (x )的极小值点．。