7 点群与晶系分析
七大晶系详细图解之欧阳科创编
七大晶系详细图解已知晶体的形态已经超过了四万种，但是万物都会有规律，晶体自然也是有的。
它们都是按七种结晶方式模式发育的，即七大晶系。
晶体即是一种以三维方向发育的的几何体，为了表示三维空间，分别用三、四跟人为添加的轴来表示晶体的长宽高以及中心。
三条轴分别用X、Y、Z （U）（Z轴也可叫做“主轴”）来表示，而为了更好表示轴之间的度数，我们用α、β、γ来表示轴角。
就这样出现了七种不同的晶系模式：立方晶系（也称等轴晶系）、四方晶系、三方晶系、六方晶系、正交晶系（也称斜方晶系）、单斜晶系、三斜晶系。
其中又按照对称程度又分为高级晶族、中级晶族、低级晶族。
高级晶族中只有一个立方晶系；中级晶族有六方、四方、三方三个晶系；低级晶族有正交、单斜、三斜三个晶系。
一、立方晶系立方晶系的三个轴的长度是一样的，即X=Y=Z，且互相垂直，即α=β=γ=90°，对称性最强。
具有4个立方体对角线方向三重轴特征对称元素的晶体归属立方晶系。
属于立方晶系的有：面心立方晶胞、体心立方晶胞、简单立方晶胞。
这个晶系的晶体并不是只有狭义的正方体一种形状，四面体、八面体、十二面体形状的晶体都属于立方晶系。
它们从不同角度看高低宽窄都差不太多，相对晶面和相邻晶面都相似，横截面和竖截面一样。
最典型立方晶系的晶体为：氯化钠。
常见立方晶系晶体模型图：晶体实物图：二、四方晶系四方晶系四方晶系的三条晶轴互相垂直，即α=β=γ=90°。
其中两个水平轴（X轴、Y轴）长度一样，Z 轴的长度可长可短，通俗的说：四方晶系的晶体大多是四棱的柱状体，有的是长柱体，有的是短柱体，即其晶胞必具有四方柱的形状。
横截面为正方形，四个柱面是对称的，即相邻和相对的柱面都是一样的，但和顶端不对称。
所有主晶面交角都是90。
特征对称元素为四重轴。
如果Z 轴发育，它就是长柱状甚至针状；如果两个横轴（X轴、Y 轴）发育大于Z轴，那么晶体就会呈现四方板状，最有代表的就是磷酸二氢钠和硫酸镍β了。
固体物理第二章第二节 对称性和布拉维格子的分类
晶体的对称性定律的证明
B
A
如图,A为格点,B为离A最近 a a 的格点之一,则与 AB 平行的 格点之间的距离一定是 AB A a B 的整数倍。 如果绕A转角,晶格保持不变(对称操作).则 该操作将使B 格点转到 B位臵,则由于转动对称 操作不改变格子,在 B 处必定原来就有一个格点。 因为B 和A 完全等价,所有旋转同样可以绕B 进行. 由此可设想绕B 转角，这将使A 格点转到 A的 位臵。同样 A处原来也必定有一个格点
A B H E
D
D
C G
F
C
正四面体既无四 度轴也无对称心
参考方俊鑫书 P37-39
A
G
B F E H
旋转反演对称操作中只有4度 旋转反演对称操作是独立的 独立的对称操作有8种, 即1，2，3，4，6，i， m， 4 。 或C1，C2，C3， C4，C6 ，Ci，Cs，S4。
3
4
1830年，赫塞耳(Johann Friedrich Christian Hessel)首先导出了32种点群，由32种点群出发， 可以对布拉维点阵进行分类，这正是1850年布 拉维所作的工作，他证明了只有7个晶系。(点 群不含平移对称操作，因为平移导致任何格点 都要动，而点群必须至少有一个格点不动) 熊夫利(Schoenflies1891)和费奥多罗夫 (Fedorove 1892) 为了研究复式晶格(几套简单 格子的平移)的分类，考虑了平移对称操作， 提出了空间群的概念,并证明只有230种独立 的空间群。 可由此证明只有14种三维布拉维 点阵
nm
n2 n2
nm
高二物理竞赛晶体的对称性,晶系,点群,空间群课件
P：简单Bravais格子； C：底心Bravais格子；
I：体心Bravais格子；
F：面心Bravais格子
13
Bravais格子和晶系
晶胞与轴矢坐标系
晶胞：既能反映晶体的对称性 特征又能反映晶格周期性（平 移对称性）的重复单元。 轴矢： a1、 a2、 a3或a、 b、 c 晶胞参量：a、 b、 c、、、
14
晶系 对称性特征 三斜 只有C1或Ci 单斜 唯一C2或CS 正交 三个C2或CS 三方 唯一C3或S6 四方 唯一C4或S4 六方 唯一C6或S3 立方 四个C3
晶胞参数
ab c ab c ==90º ab c = ＝= 90º
a=b=c = ＝ 90º
a=b c = ＝= 90º
P、C P、C、I、
F R
P、I
H
P、I、F 15
任何一种晶体，对应的晶格都是14种 点阵中的一种，指出晶体所属的点阵类型 不但表征了晶格的周期性，而且能从它所 属的晶系了解到该晶体宏观对称所具有的 基本对称性，因此点阵类型概括了晶体的 对称性，阐明晶体结构只要绘出它的带有 基元内容的点阵惯用原胞（晶胞）即可。
晶体的对称性，晶系，点群，空间群
一. 对称性的概念 二. 晶体中允许的对称操作 三. 晶体宏观对称性的表述：点群 四. 七个晶系和14种晶体点阵 五. 晶体的微观对称性：空间群 六. 点群对称性和晶体的物理性质
1
晶体的宏观对称性
点对称操作
若一个空间图形经过一空间操作（线性变换）， 其性质复原，则称此空间操作为对称操作。由于对称 操作前后图形中任意两点间的距离保持不变，故此线 性变换为正交变换。
• 六方晶系 Hexagonal 最高对称具有唯一的6次轴或6次反轴
大晶系详细图解
七大晶系详细图解已知晶体的形态已经超过了四万种，但是万物都会有规律，晶体自然也是有的。
它们都是按七种结晶方式模式发育的，即七大晶系。
晶体即是一种以三维方向发育的的几何体，为了表示三维空间，分别用三、四跟人为添加的轴来表示晶体的长宽高以及中心。
三条轴分别用X、Y、Z（U）（Z轴也可叫做“主轴”）来表示，而为了更好表示轴之间的度数，我们用α、β、γ来表示轴角。
就这样出现了七种不同的晶系模式：立方晶系（也称等轴晶系）、四方晶系、三方晶系、六方晶系、正交晶系（也称斜方晶系）、单斜晶系、三斜晶系。
其中又按照对称程度又分为高级晶族、中级晶族、低级晶族。
高级晶族中只有一个立方晶系；中级晶族有六方、四方、三方三个晶系；低级晶族有正交、单斜、三斜三个晶系。
一、立方晶系立方晶系的三个轴的长度是一样的，即X=Y=Z，且互相垂直，即α=β=γ=90°，对称性最强。
具有4个立方体对角线方向三重轴特征对称元素的晶体归属立方晶系。
属于立方晶系的有：面心立方晶胞、体心立方晶胞、简单立方晶胞。
这个晶系的晶体并不是只有狭义的正方体一种形状，四面体、八面体、十二面体形状的晶体都属于立方晶系。
它们从不同角度看高低宽窄都差不太多，相对晶面和相邻晶面都相似，横截面和竖截面一样。
最典型立方晶系的晶体为：氯化钠。
常见立方晶系晶体模型图：晶体实物图：二、四方晶系四方晶系四方晶系的三条晶轴互相垂直，即α=β=γ=90°。
其中两个水平轴（X轴、Y轴）长度一样，Z轴的长度可长可短，通俗的说：四方晶系的晶体大多是四棱的柱状体，有的是长柱体，有的是短柱体，即其晶胞必具有四方柱的形状。
横截面为正方形，四个柱面是对称的，即相邻和相对的柱面都是一样的，但和顶端不对称。
所有主晶面交角都是90。
特征对称元素为四重轴。
如果Z轴发育，它就是长柱状甚至针状；如果两个横轴（X轴、Y轴）发育大于Z轴，那么晶体就会呈现四方板状，最有代表的就是磷酸二氢钠和硫酸镍β了。
【材料学堂】七大晶系详解（文字+多图）
【材料学堂】七⼤晶系详解（⽂字+多图）已知晶体的形态已经超过了四万种，但是万物都会有规律，晶体⾃然也是有的。
它们都是按七种结晶⽅式模式发育的，即七⼤晶系。
晶体即是⼀种以三维⽅向发育的的⼏何体，为了表⽰三维空间，分别⽤三、四跟⼈为添加的轴来表⽰晶体的长宽⾼以及中⼼。
三条轴分别⽤S、Y、Z（U）（Z轴也可叫做“主轴”）来表⽰，⽽为了更好表⽰轴之间的度数，我们⽤α、β、γ来表⽰轴⾓。
就这样出现了七种不同的晶系模式：⽴⽅晶系（也称等轴晶系）、四⽅晶系、三⽅晶系、六⽅晶系、正交晶系（也称斜⽅晶系）单斜晶系、三斜晶系。
其中⼜按照对称程度⼜分为⾼级晶族、中级晶族、低级晶族。
⾼级晶族中只有⼀个⽴⽅晶系；中级晶族有六⽅、四⽅、三⽅三个晶系；低级晶族有正交、单斜、三斜三个晶系。
点群（point group）：晶体形态中，全部对称要素的组合称为该晶体形态的对称型或点群，在10种对称素的基础上组成的对称操作群。
对称性是晶体的⼀个共性，结晶多⾯体中，全部对称要素的组合，称为该结晶多⾯体的点群（也称对成型）。
根据晶体的特征对称元素所进⾏分类。
晶体可分为7⼤晶系：三斜晶系、单斜晶系、正交（斜⽅）晶系、四⽅晶系、六⾓（六⽅）晶系、三⾓（三⽅）晶系、⽴⽅晶系；14种布喇菲格⼦：简单三斜、简单单斜、底⼼单斜、简单正交、底⼼正交、体⼼正交、⾯⼼正交、三⾓、简单四⽅、体⼼四⽅、六⾓、简单⽴⽅、体⼼⽴⽅、⾯⼼⽴⽅；32个晶类（点群）：C1、Ci、C2、Cs、C2h、D2、D2v、D2h、C3、C3i、D3、C3v、D3d、C4、C4h、D4、C4v、D4h、S4、D2d、C6、C6h、D6、C3v、D6h、C3h、D2h、T、Th、Td、O、Oh（这⾥⽤ Schoenflies 符号表⽰，还可以⽤国际符号表⽰。
32点群的动画图⽚1、⽴⽅晶系⽴⽅晶系是指具有4个⽴⽅体对⾓线⽅向三重轴特征对称元素的晶体。
英⽂名：cubic crystal system⼜称：等轴晶系⽴⽅晶系晶体对称性最⾼，其晶体理想外形必具有能内接于(内)球⾯的⼏何特点。
7大晶系对应的32种点群
7大晶系对应的32种点群
晶体学中共有7大晶系，它们分别是三方晶系、四方晶系、正交晶系、单斜晶系、菱斜晶系、三斜晶系和立方晶系。
每一种晶系都对应着若干个点群，下面是这些点群的具体介绍：
1. 三方晶系：三方晶系共有4个点群，分别是32、31、34和33。
其中，32点群对应的晶体有最高的对称性，具有6重旋转轴和反演中心。
2. 四方晶系：四方晶系共有10个点群，分别是16、14、13、12、11、10、8、7、6和4。
其中，16点群对应的晶体具有最高的对称性，具有4重旋转轴和反演中心。
3. 正交晶系：正交晶系共有4个点群，分别是222、mm2、2mm 和mmm。
其中，222点群对应的晶体具有最高的对称性，具有3个互相垂直的2重旋转轴和反演中心。
4. 单斜晶系：单斜晶系共有2个点群，分别是2和m。
其中，2点群对应的晶体具有最高的对称性，具有2重旋转轴和反演中心。
5. 菱斜晶系：菱斜晶系共有2个点群，分别是222和mm2。
其中，222点群对应的晶体具有最高的对称性，具有3个互相垂直的2重旋转轴和反演中心。
6. 三斜晶系：三斜晶系只有1个点群，即1。
该点群对应的晶体具有最低的对称性，只有反演中心。
7. 立方晶系：立方晶系共有5个点群，分别是432、23、4、3和m3。
其中，432点群对应的晶体具有最高的对称性，具有4重旋转
轴和反演中心。
晶体与空间群概述
aP
m
单斜
abc
90
mP,mC
o 正交 a bc 90 oP,oC,oI,oF
t 四方 a bc 90 tP,tI
h
a b, 120
三方
90 a bc
hP hR
六方
a b, 120 90
hP
c 立方 a bc 90 cP,cI,cF
简单、体心、 侧心和面心。
晶体学点群符号
Schonflies符号 国际符号 极射赤面投影图
Schonflies符号
Arthur Schönflies was a student at the University of Berlin from 1870 to 1875. He obtained a doctorate from Berlin in Arthur Moritz 1877 and the following Schönflies year he obtained a post as (1853.4.17— a teacher at a school in 1928.5.27) Berlin.
从晶系到空间群
7个晶系 （按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
32个点群
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
230个空间群
不对称单元
在空间群的对称操作作用下，可以
产出晶胞中全部原子的最少数目的原子 或原子团，就叫不对称单元（asymmetric unit）或不对称单位，也叫晶体学独立单 元（crystallographic independent unit）。 在《国际表》A卷[2]中每个空间群都列 出晶胞中各种元素的情况。
c
2012-第一章第四讲
a2 a1
第一章 晶体结构
a1,a2,a3又称为正点阵的基矢，组成正点阵 晶胞的体积为：
V a1 (a2 a3 )
第一章 晶体结构
定义b1,b2,b3为新的基矢：
a 2 a3 b1 2 V a3 a1 b2 2 V a1 a2 b3 2 V
V a1 (a2 a3 )
T Th Td O Oh
43m
432
4 2 3 m m
点群一览
三 单 正 正 菱 六 斜 斜 交 方 方 方 立 方
点群与物理性质
从晶体的点群对称性，可以判明晶体有无对映体、旋
光性、压电效应、热电效应、倍频效应等。
1.旋光性出现在15种不含对称中心的点群。
2.热电性出现在10种只含一个极性轴的点群。 3.压电性出现在20种不含对称中心的点群(432除外)。 4.倍频效应出现在18种不含对称中心的点群。
滑移面分类 • 轴向滑移面：沿晶轴(a、b， c)方向滑移; • 对角滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线方 向滑移，平移分量为对角线一半; • 金刚石滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线 方向滑移，平移分量对角线1/4的对角滑移面。 只有在体心或面心点阵中出现，这时有关对 角线的中点也有一个阵点，平移分量仍然是 滑移方向点阵平移点阵周期的一半。
第一章 晶体结构
a)轴线滑移面；b)对角线滑移面；c)菱形滑移面
镜面和滑移面
a， b， c是平行于单
胞边的滑移。
n是对角滑移，在两 个方向都滑移单胞长 度的一半。 d是类似n的对角滑移， 镜面或滑移面的符号。 (在左边： 沿
但这里在每个方向移 动单胞边长的1/4。
镜面的边缘看。 在右边是沿垂直于镜 面的方向观看。 箭头表示平移方向。
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L2 ·L1 L⊥2 ·L2 L⊥2 ·L3
L2 〔 2 〕 (其中 ·代表组合作用) 3 L2 〔 222 〕 L3 3L2 〔 32 〕
L⊥2 ·L4
L⊥2 ·L6
L4 4L2 〔 422 〕
L6 6L2 〔 622 〕
方括号中的符号是相应点群的国际符号。
下标 “ ⊥ ” 表示 L2 与另一对称轴垂直相交。
32种点群的极射赤平投影
32种点群中对称元素的空间分布和相互关系
1.
对称轴的组合(轴式): 前面提到有 8 种可 以独立存在的宏观对称元素 , 它们是 L1, L2, L3, L4, L6, Li4 和 P, C, 其相应点群的 国际符号分别为1, 2, 3, 4, 6, 4, m 和 1。 L1, L2, L3, L4, L6 和 Li4称为原始轴式。 当在这 6 种对称轴(或旋转反伸轴)上垂直 加入一个 L2, 根据对称元素组合定理二之 推理 , 可以得到:
定理五 :如有一偶次对称轴垂直于一个对称 面 , 则其交点恒为一对称中心。 推理一: 偶次对称轴、垂直于它的对称面和 对称中心中 , 任意二者的组合必产生第三者。 推理二 : 当有对称中心存在时 , 偶次对称 轴的个数之和必等于对称面的个数之和 , 且每一 个偶次轴均垂直于一个对称面。
3.2.3
定理一(欧拉定理): 通过任意二相交对称轴之交点 , 必可找到 第三个新轴 , 其作用等于前二者之积 , 其轴次 及其与两个原始对称轴之间的交角则取决于 该二原始对称轴的 轴次及它们之间的交角。
推理 : 如有一m 次对称轴与一n 次对称
轴相交 , 则围绕 n 次对称轴恒有 n 个共点的 m 次对称轴; 同时 , 围绕 m 次对称轴恒有 m 个共点的 n 次对称轴 , 且任意两个 m 次对 称 轴与 n 次对称轴间的交角均等于原始的 m 次对称轴与 n 次对称轴之间的交角。
根据组合定理四之推理 ,L⊥2 · Li4 Li4 2L2 2P 〔 42m 〕 , 由于该点群中含有对 称面 , 所以把该点群归于下一组点群中。
习惯上把高于二次轴的对称轴或旋转反 伸轴(简称反轴) , 如 L3, L4, L6, Li4 等称为高 次轴。含有一个以上高次轴的组合推导稍为 复杂一些 , 在此从略。
推理 : 如有一二次轴垂直于(或对称面包 含)一n 次旋转反伸轴时 , 当 n 为奇数时 , 恒 有 n 个共点的二次轴垂直于此 n 次旋转反伸 轴 , 同时还有 n 个共线的对称面包含该 n次 旋转反伸轴 ; 当 n 为偶数时 , 则恒有n/2个共 点的二次轴垂直于该 n 次旋转反伸轴 , 同时 还有n/2个共线的对称面包含该 n 次旋转反 伸轴。
D3h (6m2) 点群的对称系和对称点系
PH · 3L24L3 3L24L33PC = 3L24Li33P, 〔m3〕(PH ⊥ L2) , PH ·3L44L36L2 3L44L36L29PC 〔m3m 〕 , 〔PH ⊥ L4〕 。
这样以来 , 通过加垂直于主轴的对称 面 , 又产生出 11 个点群 ( 去掉重复的) , 它 们是: m, 2/m, 6, 4/m, 6/m, mmm, 6m2, 4/m mm, 6/m mm, m3 和 m3m 。其中点 群mmm, 4/m mm, 6/m mm 和 m3m对称 元素的极射赤平投影图如图 3.16 所示。
2. 向上述 12 种轴式加对称面 P, 对称面只 能有如下两种加法: (1)垂直于主轴加对称面 , 这样加上去的 对称面称为水平的 , 用 PH 表示。根据对
称元素组合定理 :
PH ·L1
PH·L2
P〔m〕,
L2PC 〔2/m〕 ,
PH ·L3
PH ·L4
L3P = Li6 〔 6 〕 ,
定理三 : 二对称面的交线恒为一对称轴 , 其基转角为该二对称面之交角的 2 倍。 推理 : 如有一个对称面包含一n 次对称 轴 , 则必有 n 个对称面同时包含该 n 次轴 , 且相邻二对称面之交角为该与对称面之交 点并垂直于该二次对称轴之直线恒为一旋 转反伸轴, 该旋转反伸轴之基转角等于该二 次轴与对称面交角之余角的两倍。
32 个点群
就数学上的意义而言 , 任何空间对称变 换即构成了所谓 “ 群 “ 。 通常把对称变换的集合和对称元素的集 合总称为对称群。 把相交于一点的宏观对称元素的集合所 构成的对称群 , 称为点群。
根据上述定理和推理 , 晶体中的宏观对 称元素只可能有 32 种组合方式 , 称为 32 种 对称类型或 32 个点群。 32 个点群亦可用群论的方法推导出来。 下面看一下 32 个点群的简单推导过程。
欧拉定理是最基本的对称元素组合定 理 , 其它所有的对称元素组合定理均可由 欧拉定理派生出来。 欧拉定理不仅适合于对称轴 , 而且也 适合于旋转反伸轴(包括 Li1 = C,Li2 = P )。
定理二 :两个二次轴 (L2)相交 , 如交角 为 360o /2n , 则过该两二次轴交点并与其 所在平面垂直的直线恒为一n 次对称轴。 推理 : 如有一个二次对称轴与一个 n 次对称轴垂直 (相交) , 则必有 n 个二次对 称轴同时垂直(并相交)于该 n 次对称轴。
理论和实际情况 均表明 , 含有多个高 次轴的组合只能有以下两种 , 即 3L24L3 和 3L44L36L2, 其相应的国际符号为 23 和 432, 这两种点群中包含的所有对称轴恰与 四面体和立方体或八面体所含 对称轴完全 一样。
这一组点群中包括 12 个不重复的点 群 , 即 1, 2, 3, 4, 6, 4, 222, 32, 422, 622, 23, 432( 点群 622, 432 也可 记作 62 和 43 )。 其中点群 622,23,432 中对称元素在 空间排布及其极射赤平投影图分别如图 3.13, 3.14 和 3.15 所示。
L4PC 〔4/m〕 ,
PH ·L6
PH ·Li4
L6PC 〔6/m〕 ,
L4PC,
定理五
PH ·3L2
3L23PC〔mmm 〕 ,
PH ·L44L2
PH ·L33L2
L44L25PC 〔4/m mm〕
L33L24P = Li63L23P L66L27PC 〔6/m mm〕
〔 6m2 〕 ,
PH ·L66L2