插值法(lagrange插值,牛顿插值)
拉格朗日插值牛顿插值
杜丁坤 20171506003 自动化1班实验二 插值法一、实验目的和要求(1)学会Langrange 插值、Newton 插值和Hermite 插值等基本插值方法．(2)学会Matlab 提供的插值函数的使用方法，会用这些函数解决实际问题(3) 按照题目要求完成实验内容、写出相应的Matlab 程序给出实验结果．(4)对实验结果进行分析讨论．(5)写出相应的实验报告．一、 实验内容1. Lagrange 插值公式.练习11=2=3=，利用Lagrange 拉格朗日插值的函数%%%%%%%%%function yi=Lagrange(x,y,xi)n=length(x);m=length(y);if n~=merror('The length of X must be equal!');endp=zeros(1,n);for k=1:nt=ones(1,n);for j=1:nif j~=kif abs(x(k)-x(j))<epserror('the DATA is error');return;endt(j)=(xi-x(j))/(x(k)-x(j));endendp(k)=prod(t);endyi=sum(y.*p);%%%%%主函数是：%%%%%X=[1 3 9];Y=[1 2 3];Xi=5;Lagrange(X,Y,xi)练习21=2=3=，利用Newton 进行比较。
牛顿插值函数%%%%%%%%function yi=Newton(x,y,xi)n=length(x);m=length(y);if n~=merror('The length of X must be equal!');endA=zeros(n,n);A(:,1)=y;for j=2:nfor i=1:n-j+1A(i,j)=(A(i+1,j-1)-A(i,j-1))/(x(i+j-1)-x(i));endendX1=xi*ones(1,n)-x;X=ones(1,n);for p=2:nfor q=1:p-1X(p)=X(p)*X1(q);endendY=zeros(1,n);for r=1:nY(r)=A(1,r)*X(r);endyi=sum(Y);%%%%%%%%%%主函数：X=[1 3 9];Y=[1 2 3];Xi=5;Newton(X,Y,xi)三、实验要求要求在实验前必须预习，将实验内容事先准备好，否则不允许上机。
牛顿插值法
f [ x, x0 , x1 ,, xk 1 ] f [ x0 , x1,, xk ] f [ x, x0 , x1 ,, xk ](x xk )
因此可得
f ( x) f0 f [ x, x0 ](x x0 )
f0 ( f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ](x x1 ))(x x0 ) f0 f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x, x0 , x1 ](x x0 )(x x1 )
为f ( x)关于xi , x j , xk的二阶差商
依此类推
5
f [ xi0 , xi1 ,, xik 1 , xik ]
f [ xi0 , xi1 ,, xik ] f [ xi0 , xi1 ,, xik 2 , xik 1 ] xik xik 1
为f ( x)关于节点 xi0 , xi1 ,, xik1 , xik 的k阶差商
2 f i 2 f i 1 3 2h3 3 f i 3!h 3
20
3 fi 3 2 fi 2 2 fxi 3 3 3!h 3 3 2h
k ( x) ( x x j )
j 0
k 1
f0 f [ x0 , x1 ,, xk ]( x x j )
k 1
n
n
k 1 j 0
为k次多项式
f 0 f [ x0 , x1 ,, xk ] k ( x)
k 1
为f ( x)关于节点 xi 的n次Newton插值多项式
f 0
f 1
f 1 f 2
f 3
2 f0
2 f2
2 f3
3 f0
几种插值法简介[整理版]
![几种插值法简介[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/4e1c5f93ed3a87c24028915f804d2b160b4e8679.png)
举例来看：可以认为某水文要素T随时间t的变化是连续的，某一个测点的水文要素T可以看作时间的函数T=f(t)，这样在实际水文观测中，对测得的（n+1）个有序值进行插值计算来获取任意时间上的要素值。
①平均值法：若求Ti 和Ti+1之间任一点T，则直接取T为Ti和Ti+1的平均值。
插值公式为：T=Ti+Ti+1 2②拉格朗日（Lagrange）插值法：若求Ti 和Ti+1之间任一点T，则可用T i-1、T1、T i+1三个点来求得，也可用T i、T i+1、T i+2这三个点来求得。
前三点内插公式为：T=(t-t i)(t-t i+1)(t i-1-t i)(t i-1-t i+1)T i-1+(t-t i-1)(t-t i+1)(t-t i-1)(t-t i+1)T i+(t-t i)(t-t i-1)(t i+1-t i)(t i+1-t i-1)T i+1后三点内插公式为：T=(t-t i+1)(t-t i+2)(t i-t i+1)(t i-t i+2)T i+(t-t i)(t-t i+2)(ti-t i)(t i-t i+2)T i+1+(t-t i)(t-t i+1)(t i+2-t i)(t i+2-t i+1)T i+2为提高插值结果可靠性，可将前后3点内插值再进一步平均。
③阿基玛（Akima）插值法：对函数T=f(t)的n+1个有序型值中任意两点T i和T i+1满足：f(t i)=T i dfdt|t-ti=k i f’(t i+1)=T’idfdt|t-ti+1=k i+1式中k i，k i+1为曲线f(t)在这两点的斜率，而每点的斜率和周围4个点有关，插值公式为：T=P0+P1(t-t i)+P2(t-t i)2+P3(t-t i)3，来对T i和T i+1之间的一点T进行内差。
④牛顿（Newton）插值法：若求Ti 和Ti+1之间任一点T，插值公式为：T=f(x0)+(x-x0)f(x0,x1)+ (x-x0)(x-x1)f(x0,x1,x2)+…+(x-x0)(x-x1)…(x-x n-2)f(x0,x1,…,x n-1)式中，f(x0,x1)，f(x0,x1,x2)，…f(x0,x1,…,x n-1)是函数f(x)的1到第n-1阶差商。
Matlab插值方法学习Hermite,lagrange,Newton
大家都知道插值在数学建模中很重要，现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite插值和三次样条插值。
1.拉格朗日多项式插值拉格朗日插值就是给定n个数，让你用不超过n-1次的多项式你逼近它，当然这n个点要能满足多项式。
这是一种最基本的思想，计算很简单，先计算n个基函数，基函数可以自己上网搜一下，因为这里打出公式有点麻烦。
然后就是把每个点的y值乘以他的基函数，把这n个式子相加，最后化简就ok了。
下面我把代码写出来，我这些代码全是自己写的，注释比较详细，这里只以lagrange为例，其余都放在附件里了。
%定义myLagrange函数，参数为向量x，y，由用户调用该函数时输入function L=myLagrange (x,y)%n 插值结点的个数n=length(x);%L myLagrange函数计算的多项式系数行列式L=zeros(1,n);%%使用双重for循环，第一个for循环是fori=1:n%aa=1;%ww=1;%for循环for j=1:n%如果i不等于jif j~=i%累加法计算aa=a*(x(i)-x(j));%用向量乘法函数conv计算ww=conv(w,[1,-x(j)]);%if语句结束符end%第二个for循环结束符end%递归法计算L，其中y(i)/a*w表示第i个元素L=y(i)/a*w+L;%第一个for结束符end没错，就这么几句代码，所以很简单的。
2.牛顿插值牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。
拉格朗日插值只能接受给定的那么多点，了然后插值。
如果你想再加一个点，它会重新开始计算，这个很费时间和内存。
因此牛顿插值就诞生了。
了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。
Newton 插值的优点是：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即因而便于递推运算。
而且Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。
拉格朗日插值法与牛顿插值法
printf("请输入y\n");
for(i=0;i<N;i++)
{
scanf("%f",&y[i]);
}
printf("请输入要计算的点\n");
scanf("%f",&n);
s=y[0];
p=1;
for(i=1;i<N;i++)
{
for(j=1;j<N-i;j++)
{
y[j-1]=(y[j]-y[j-1])/(x[j+i-1]-x[j-1]);
}
p=p*(n-x[i-1]);
s=s+y[0]*p;
}
printf("%f\n",s);
}
变成中关键是要计算出插商，才能使计算结果准确无误。
程序代码
#include <stdio.h>
#define N 3
void main()
{
float x[N],y[N],s,p,n;
int i,j;
printf("请输入x\n");
for(i=0;i<N;i++)
{
scanf("%f",&x[i]);
程序代码：
#include <stdio.h>
#define N 3
void main()
{
float x[N],y[N],l[N],m,s,t,n;
int i,j,k;
printf("请输入x\n");
for(i=0;i<N;i++)
常见的插值方法及其原理
常见的插值方法及其原理1. 拉格朗日插值法（Lagrange Interpolation）拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法，通过n+1个已知点的函数值来构造一个n次多项式。
具体的计算公式如下：L(x) = Σ[yk * lk(x)], k=0 to n其中yk为已知点（xi, yi）的函数值，lk(x)为拉格朗日基函数，定义为：lk(x) = Π[(x - xj)/(xi - xj)], j=0 to n, j≠k拉格朗日插值法的原理是通过构造一个通过已知点的n次多项式，来代替未知函数的近似值。
利用拉格朗日基函数的性质，可以保证插值多项式通过已知点。
2. 牛顿插值法（Newton Interpolation）牛顿插值法是一种递推的插值方法，通过已知点的函数值和差商来逐步构造插值多项式。
差商的定义如下：f[x0]=y0f[x1]=(f[x1]-f[x0])/(x1-x0)f[x2]=(f[x2]-f[x1])/(x2-x1)...f[xn] = (f[xn] - f[xn-1]) / (xn - xn-1)利用差商的定义，可以得到牛顿插值多项式的表达式：N(x) = f[x0] + f[x0, x1](x-x0) + f[x0, x1, x2](x-x0)(x-x1) + ... + f[x0, x1, ..., xn](x-x0)(x-x1)...(x-xn)牛顿插值法的原理是通过递推计算差商来得到插值多项式。
通过使用差商来处理已知点的函数值差异，可以得到更高次的插值多项式。
3. 样条插值法（Spline Interpolation）样条插值法是一种基于分段低次插值函数的插值方法，常用的是三次样条插值。
样条插值法通过寻找一组分段函数，使得满足原函数的插值条件，并要求函数在每个插值点处的函数值、一阶导数和二阶导数连续。
这样可以保证插值函数在每个插值点处的平滑性。
三次样条插值法的原理是将整个插值区间划分为多个小区间，在每个小区间内使用三次多项式进行插值。
数值计算中的插值方法与误差分析
数值计算中的插值方法与误差分析数值计算是一门应用数学学科，广泛应用于科学与工程领域。
在实际问题中，我们常常需要通过已知的离散数据点来估计未知的数值。
插值方法就是为了解决这个问题而设计的。
插值方法是一种基于已知数据点，推断出未知数据点的数值计算方法。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值等。
下面我们将重点介绍这两种方法。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是插值方法中最常见的一种。
它是基于拉格朗日多项式的思想。
假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。
拉格朗日插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。
具体步骤如下：（1）根据已知数据点构造Lagrange插值多项式：L(x) = Σ(yi * Li(x)), i = 0, 1, ..., n其中，Li(x) = Π((x-xj)/(xi-xj)), j ≠ i（2）计算未知点x对应的函数值y：y = L(x)拉格朗日插值法的优点是简单易懂，计算方便。
然而，它也存在着一些问题，比如插值多项式的次数较高时，多项式在插值区间外的振荡现象明显，容易引起插值误差。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常见的插值方法。
它是基于差商的思想。
假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。
牛顿插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。
具体步骤如下：（1）计算差商：f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ..., xi+k-1]) / (xi+k - xi)（2）根据已知数据点构造Newton插值多项式：N(x) = f[x0] + Σ(f[x0, x1, ..., xi] * Π(x - xj)), i = 0, 1, ..., n-1（3）计算未知点x对应的函数值y：y = N(x)牛顿插值法的优点是适用范围广，可以方便地添加新的数据点进行插值。
插值法公式简单记忆方法
插值法公式简单记忆方法插值法是一种求取某些数据点之间数值的方法，其公式可以根据不同的情况而有所不同。
以下是一些简单记忆插值法公式的方法：1. 拉格朗日插值法：根据已知数据点的函数值构造一个多项式函数，并使用该函数进行插值计算。
公式为：$$f(x) = sum_{i=0}^n y_i L_i(x)$$其中，$L_i(x)$ 是拉格朗日基函数，表示为：$$L_i(x) = prod_{jeq i} frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$2. 牛顿插值法：通过已知数据点的差商来构造一个插值多项式。
公式为：$$f(x) = f[x_0] + (x-x_0)f[x_0,x_1] +(x-x_0)(x-x_1)f[x_0,x_1,x_2] + cdots +(x-x_0)cdots(x-x_{n-1})f[x_0,cdots,x_n]$$其中，$f[x_i]$ 表示 $i$ 阶差商，$f[x_i,x_{i+1},cdots,x_{i+j}]$ 表示 $i$ 到 $i+j$ 阶差商。
3. 分段线性插值法：将插值区间分成若干个小区间，每个小区间内用一条直线来近似表示函数。
公式为：$$f(x) = begin{cases}frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_1 + frac{x_1-x}{x_1-x_0}y_0, &x_0leq x leq x_1frac{x-x_1}{x_2-x_1}y_2 + frac{x_2-x}{x_2-x_1}y_1, &x_1leq x leq x_2cdots & cdotsfrac{x-x_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}y_n +frac{x_n-x}{x_n-x_{n-1}}y_{n-1}, & x_{n-1}leq x leq x_nend{cases}$$其中，$x_i$ 和 $y_i$ 分别表示已知数据点的自变量和因变量。
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函数l0(x)及l`1(x)为线性插值基函数
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线性插值举例
例1: 已知 100 10 ， 121 11，求 y 代入点斜式插值多项式
y1 y0 L1 ( x) y0 ( x x0 ) x1 x0
115
得 y=10.71428 精确值为 10.723805，故这个结果有3位有 效数字。
Ln ( x) yi li ( x)
i 0
n
满足
但
Ln ( xi ) f ( xi )
x [a, b]
i 0,1,, n Ln ( x) f ( x) 不会完全成立
因此，插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估 计这个截断误差呢？
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Ln ( x)
f ( n1) ( ) n1 ( x) Rn ( x) (n 1)!
(115–100)(115–144) (115–121)(115–144) L2(115) = + * 11 * 10 (121–100)(121–144) (100–121)(100–144) (115–100)(115–121) + * 12 (144–100)(144–121) = 10.7228
• 这就是所谓的拉格朗日（Lagrange）插值。
li(x)(i=0,1,…,n)的构造。
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§ 2.2.1
线性插值与抛物插值
一、线性插值—点斜式 问题 已知函数y=f(x)在点x0,x1上的值为y0,y1，求 作一次式 L1 ( x)，使满足条件
L1 ( x0 ) y0 , L1 ( x1 ) y1
(k 0,1,2,, n)
且
n1 ( x) Ln ( x) yk ' ( x x ) k 0 k n 1 ( xk )
n
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总 结
于是, y f ( x)在节点xi (i 0,1,, n)上, 以li ( x) (i 0,1,, n) 为插值基函数的插值多 项式(记为Ln ( x))为
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从而
( x x0 )(x x1 )( x xk 1 )(x xk 1 )( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 )(xk x1 )( xk xk 1 )(xk xk 1 )( xk xn )
n1 ( x) 1 ( xk ) ( x xk )n
这就是插值问题，上式为插值条件
称函数P( x)为函数f ( x)的插值函数 如果P( x)为多项式函数 , 则称之为插值多项式
点 xi , i 0,1,2,, n, 称为插值节点
区间 [a, b]称为插值区间 如函数y sin x, 若给定 [0, ]上5个等分点
其插值函数的图象如下图
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其中 n 1 ( x) ( x xi ) , (a, b) , 且依赖于x.
i 0 n
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证明：假设在区间[a,b]上f(x)的插值多项式为 Ln ( x) 令
Rn ( x) f ( x) Ln ( x)
显然在插值节点为 xi (i 0,1,, n)上 Rn ( xi ) f ( xi ) Ln ( xi ) 0 , i 0,1,, n 因此Rn ( x)在[a, b]上至少有n 1个零点
由Cramer法则,线性方程组(4)有唯一解 定理1. 若插值节点 xi x j (i j ),
Pn ( xi ) yi i 0,1,2 ,, n
则满足插值条件
--------(3) --------(2)
的插值多项式 2 n P ( x ) a a x a x a x n 0 1 2 n 存在且唯一.
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二、抛物插值
问题 求作二次式 L2 ( x) ，使满足条件
L2 ( x j ) y j
( j k 1, k , k 1)
二次插值的几何解释是用通过三个点
的抛物线来近似考察曲线，故称为拋物插值。类似于线性 插值，构造基函数，要求满足下式：
L2(x) yk 1lk 1 ( x) yklk ( x) yk 1lk 1 ( x)
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和用线性插值相比，有效数字增加一位
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2.2.2 拉格朗日n次插值多项式
为了构造 Ln ( x) ，我们先定义n次插值基函数。
定义： 若n次多项式 li ( x)
(i 0,1, n) 在n+1个节点
x0 x1 xn 上满足条件
就称这n 1个n次多项式l0 ( x), l1 ( x),, ln ( x) 为节点x0 ,x1, ,xn上的n次插值基函数。
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例3：求过点(2，0) (4，3) (6，5) (8，4) (10，1)的 拉格朗日插值多项式。
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§ 2.2.3 插值余项与误差估计
一、插值余项
从上节可知 , y f ( x)的Lagrange 插值
Ln ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) ynln ( x)
i 0 j 0 j i n n
(x x j ) ( xi x j )
yi
称 Ln ( x) 为y=f(x)的拉格朗日插值多项式 称 li ( x)(i 0,1,, n) 为n次拉格朗日插值基函数
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抛物插值举例2
(x–x1)(x–x2) (x–x0)(x–x2) f ( x 0) + f(x1) L2(x)= (x0–x1)(x0–x2) (x1–x0)(x1–x2) (x–x0)(x–x1) + f(x2) (x2–x0)(x2–x1) x0=100, x1=121, x2=144 f(x0)=10, f(x1)=11, f(x2)=12
sinxµ IJ å Öµ
1
yy
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
0.5
1
1.5 1.5
2 2
2.5 2.5
3 3
3.5 3.5
x x x
对于被插函数 f ( x)和插值函数 P( x) 在节点xi处的函数值必然相等 但在节点外 P( x)的值可能就会偏离 f ( x) 因此P( x)近似代替 f ( x)必然存在着误差
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整体误差的大小反映了插值函数的好坏
为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函 数都使用代数多项式和有理函数 本章讨论的就是代数插值多项式
二、代数插值多项式的存在唯一性
设函数 y f ( x) 在区间 [a, b]上的代数插值多项式为
2 n P ( x ) a a x a x a x n 0 1 2 n
| x1 x0 |
很小时
2016பைடு நூலகம்8/14
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也可表示为如下对称形式：
L1(x) y0l0 ( x) y1l1 ( x)
其中，
x x1 l0(x) x0 x1
x x0 l1 ( x) x1 x0
显然，
l0(x0 ) 1, l0(x1 ) 0; l1(x1 ) 1, l1(x0 ) 0;
Pn ( xi ) yi
i 0,1,2 ,, n
其中 a i为实数，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法 称为多项式插值；若P(x)为分段的多项式，就称为分段 插值；若P(x)为三角多项式，就称为三角插值。
本章只讨论多项式插值与分段插值
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§ 2.2
拉格朗日插值
拉格朗日（ Lagrange ）插值公式 ( 以下统称 • 此插值问题可表述为如下： n 多项式 Lagrange 插值公式 ) 的基本思想是，把 Ln ( x) ，使满足条件 • 为 问题 求作次数 Ln xi yi , (i 0,1,, n) pn(x) 的构造问题转化为 n+1 个插值基函数
其几何意义，就是通过两点 A( x0 , y0 ), B( x1 , y1 ) 的 一条直线。
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L1
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由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为
y1 y0 y y0 ( x x0 ) L1 ( x) x1 x0
称为线性插值(n=1的情况)，分为内插与外推。 适用情况：
本章主要介绍有关插值法的一些基本概念， 及多项式插值的基础理论和几个常用的插 值方法：拉格朗日插值、分段线性插值、 牛顿插值、埃尔米特插值和三次样条插值.
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§ 2.1 引言
一、插值问题
对函数f ( x),其函数形式可能很复杂 , 且不利于在计算机上
运算, 假如可以通过实验或测 量, 可以获得f ( x)在区间 [ a , b] 上的一组n 1个不同的点
第二章 插值法
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第二章 插值法
§ 2.1 引言 § 2.2 拉格朗日插值 § 2.3 差商与牛顿插值公式 § 2.4 差分与等距节点插值 § 2.5 埃尔米特插值 § 2.6 分段低次插值 § 2.7 三次样条插值
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本章要点 用简单的函数(如多项式函数)作为一个 复杂函数的近似,最简单实用的方法就是 插值.