上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期末数学试题
2017-2018学年上海市闵行区七宝中学高二(下)期中数学试卷
2017-2018学年上海市闵行区七宝中学高二（下）期中数学试卷试题数：21.满分：1501.（填空题.4分）A8n =2 C82 .且n∈N*.则n=___ ．2.（填空题.4分）若圆锥的底面周长为2π.侧面积也为2π.则该圆锥的体积为___ ．3.（填空题.4分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中.若AB=BC=1.AA1= √2 .则点A到平面A1BD1距离为___ ．4.（填空题.4分）艺术节要安排5个节目进行表演.其中A.B两个节目必须连排.则节目演出不同的编排方案有___ 种．5.（填空题.4分）从同一点出发的四条直线最多能确定___ 个平面．6.（填空题.4分）在斜二测画法中.位于平面直角坐标系中的点M（4.4 √2）在直观图中的对应点是M′.则线段OM′的长度为___ ．7.（填空题.5分）一个球夹在120°的二面角内.且与二面角的两个面都相切.两切点在球面上的最短距离为π.则这个球的半径为___ ．8.（填空题.5分）某微信群中五人同时抢4个红包.每人最多抢一个且红包全部被抢完.已知4个红包有两个2元.一个3元.一个5元（红包中金额相同视为相同的红包）.则有___ 种不同的情况．9.（填空题.5分）三棱锥P-ABC满足：AB⊥AC.AB⊥AP.AB=2.AP+AC=4.则该三棱锥的体积V 的取值范围是___10.（填空题.5分）边长为2的正方形ABCD中.点E.F分别是AB.BC的中点.将△ADE.△EBF.△FCD.分别沿DE.EF.FD折起.使得A、B、C三点重合于点A'.若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上.则该球的表面积为___ ．11.（填空题.5分）正四棱锥S-ABCD的底面边长为2.高为2.E是边BC的中点.动点P在表面上运动.并且总保持PE⊥AC.则动点P的轨迹的周长为___ ．12.（填空题.5分）a.b 为空间中两条互相垂直的直线.等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a.b 都垂直.斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转.有下列结论：① 当直线AB 与a 成60°角时.AB 与b 成30°角；② 当直线AB 与a 成60°角时.AB 与b 成60°角；③ 直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④ 直线AB 与a 所成角的最小值为60°；其中正确的是___ ．（填写所有正确结论的编号）13.（单选题.5分）给定空间中的直线l 与平面α.则“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于平面α上无数条直线”的（ ）条件．A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既不充分也不必要14.（单选题.5分）一个棱柱是正四棱柱的一个充要条件是（ ）A.底面是正方形.有两个侧面是矩形B.底面是正方形的平行六面体C.底面是正方形且两个相邻侧面是矩形D.每个侧面都是全等的矩形15.（单选题.5分）如果一条直线与一个平面垂直.那么.称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中.由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）A.48B.18C.24D.3616.（单选题.5分）长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形.高为2.则集合={x|x= A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .i∈{1.2.3.4}.j∈{1.2.3.4}}中元素的个数为（ ）A.1B.2C.3D.417.（问答题.14分）我校学生会进行换届选举.共选举7名学生委员.其中甲、乙、丙是上一届的委员.现对7名成员进行如下分工：（1）若学生会正、副主席两职位只能由甲、乙、丙三人选两份担任.则有多少种不同的分工方法；（2）若甲不担任学生会主席.乙不担任组织委员.则有多少种不同的分工方法？18.（问答题.14分）如图.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.E、F分别是线段BC、CD1的中点．（1）求异面直线EF与AA1所成角的大小；（2）求直线EF与平面AA1B1B所成角的大小．19.（问答题.14分）圆锥的侧面展开图是一个半圆.它被过底面中心O且平行于母线AB的平面所截.若截面与圆锥侧面的交线是焦点到准线的距离为p的抛物线．（1）求圆锥的母线与底面所成角的大小；（2）求圆锥的侧面积．20.（问答题.16分）如图① .有一个圆柱形状的玻璃水杯.底面圆的直径为20cm.高为30cm.杯内有20cm深的溶液.现将水杯倾斜.且倾斜时点B始终在桌面上.设直径AB所在直线与桌面所成的角为α（图② ）（1）求图② 中圆锥的母线与液面所在平面所成的角（用α表示）；（2）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出.求角α的最大值；（3）要保证倒出的溶液体积不少于1500cm3.求角α的取值范围（保留到0.1）．21.（问答题.18分）如图.在四棱锥P-ABCD中.已知PA⊥平面ABCD.且四边形ABCD为直角梯.PA=AD=2.AB=BC=1．形.∠ABC=∠BAD= π2（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点.当直线CQ与DP所成的角最小时.求线段BQ的长．2017-2018学年上海市闵行区七宝中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（填空题.4分）A8n =2 C82 .且n∈N*.则n=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：利用排列数与组合数公式化简求解即可．【解答】：解：A8n =2 C82 .且n∈N*.因为2 C82 =56.所有A8n =8×7=56.所有n=2．故答案为：2．【点评】：本题考查排列数与组合数个数的应用.是基本知识的考查．2.（填空题.4分）若圆锥的底面周长为2π.侧面积也为2π.则该圆锥的体积为___ ．【正确答案】：[1] √3π3【解析】：根据底面周长计算底面半径.根据侧面积计算母线长.再根据勾股定理求出圆锥的高.代入体积公式计算体积．【解答】：解：∵圆锥的底面周长为2π.∴圆锥的底面半径r=1.设圆锥母线为l.则πrl=2π.∴l=2.∴圆锥的高h= √l2−r2 = √3．∴圆锥的体积V= 13πr2h= √3π3．故答案为：√33π．【点评】：本题考查了圆锥的结构特征.侧面积与体积计算.属于基础题．3.（填空题.4分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中.若AB=BC=1.AA1= √2 .则点A到平面A1BD1距离为___ ．【正确答案】：[1] √63【解析】：以D为原点.DA为x轴.DC为y轴.DD1为z轴.建立空间直角坐标系.利用向量法能求出点A到平面A1BD1距离．【解答】：解：以D 为原点.DA 为x 轴.DC 为y 轴.DD 1为z 轴.建立空间直角坐标系.A （1.0.0）.A 1（1.0. √2 ）.B （1.1.0）.D 1（0.0. √2 ）.BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.-1. √2 ）. BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.-1. √2 ）. BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.-1.0）.设平面A 1BD 1的法向量 n ⃗ =（x.y.z ）.则 {n ⃗ •BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−y +√2z =0n ⃗ •BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −y +√2z =0 . 取z=1.得 n ⃗ =（0. √2 .1）.∴点A 到平面A 1BD 1距离：d= |n ⃗ •BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ | = √2√3= √63 ． 故答案为： √63 ．【点评】：本题考查点到平面的距离的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．4.（填空题.4分）艺术节要安排5个节目进行表演.其中A.B 两个节目必须连排.则节目演出不同的编排方案有___ 种．【正确答案】：[1]48【解析】：由排列、组合及简单的计数问题中的捆绑问题得：艺术节要安排5个节目进行表演.其中A.B 两个节目必须连排.则节目演出不同的编排方案有 A 22 A 44 =48种.得解．【解答】：解：艺术节要安排5个节目进行表演.其中A.B 两个节目必须连排.则节目演出不同的编排方案有 A 22 A 44 =48种.故答案为：48．【点评】：本题考查了排列、组合及简单的计数问题中的捆绑问题.属中档题．5.（填空题.4分）从同一点出发的四条直线最多能确定___ 个平面．【正确答案】：[1]6【解析】：利用平面的基本性质及推论直接求解．【解答】：解：同一点出发的四条直线最多能确定平面个数：n= C42 =6．故答案为：6．【点评】：本题考查从同一点出发的四条直线最多能确定的平面的个数的求法.考查用平面的基本性质及推论等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．6.（填空题.4分）在斜二测画法中.位于平面直角坐标系中的点M（4.4 √2）在直观图中的对应点是M′.则线段OM′的长度为___ ．【正确答案】：[1]2 √10【解析】：根据题意画出图形.结合图形求出OM′的长度．【解答】：解：平面直角坐标系中的点M（4.4 √2）.在直观图中的对应点是M′（4.2 √2）.如图所示；则线段OM′的长度为√42+(2√2)2−2×4×2√2×cos135° =2 √10．故答案为：2 √10．【点评】：本题考查了斜二侧画法与应用问题.是基础题．7.（填空题.5分）一个球夹在120°的二面角内.且与二面角的两个面都相切.两切点在球面上的最短距离为π.则这个球的半径为___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：由题意画出过球心且垂直于二面角棱的截面图.再由弧长公式求解．【解答】：解：如图.作过球心且垂直于二面角棱的截面图.．∵二面角的大小为120°.∴∠AOB=60°= π3R=π .得R=3．设球的半径为R.则π3故答案为：3．【点评】：本题考查空间想象能力与思维能力.训练了弧长公式的应用.是基础题．8.（填空题.5分）某微信群中五人同时抢4个红包.每人最多抢一个且红包全部被抢完.已知4个红包有两个2元.一个3元.一个5元（红包中金额相同视为相同的红包）.则有___ 种不同的情况．【正确答案】：[1]60【解析】：根据题意.分2步进行分析：① .在5人中任选2人.抢两个2元的红包. ② .将剩下的2个红包分给剩下3人中的2人.由分步计数原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意.分2步进行分析：① .在5人中任选2人.抢两个2元的红包.有C52=10种情况.② .将剩下的2个红包分给剩下3人中的2人.有A32=6种情况.则有10×6=60种不同的情况.故答案为：60．【点评】：本题考查排列、组合的应用.涉及分步、分类计数原理的应用.属于基础题．9.（填空题.5分）三棱锥P-ABC满足：AB⊥AC.AB⊥AP.AB=2.AP+AC=4.则该三棱锥的体积V 的取值范围是___【正确答案】：[1]（0. 43]【解析】：利用基本不等式求出AP•AC的范围.得出△PAC的面积的范围.代入棱锥的体积公式得出答案．【解答】：解：∵AP+AC=4.∴AP•AC≤（AP+AC2）2=4.设∠PAC=θ.则0＜θ＜π.∴S△PAC= 12AP•AC•sinθ≤2sinθ≤2.∴0＜S△PAC≤2．∵AB⊥AC.AB⊥AP.∴AB⊥平面PAC.∴V= 13 S△PAC•AB= 23S△PAC.∴0＜V≤ 43．故答案为：(0，43]．【点评】：本题考查了棱锥的体积计算.线面垂直的判定定理.属于中档题．10.（填空题.5分）边长为2的正方形ABCD中.点E.F分别是AB.BC的中点.将△ADE.△EBF.△FCD.分别沿DE.EF.FD折起.使得A、B、C三点重合于点A'.若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上.则该球的表面积为___ ．【正确答案】：[1]6π【解析】：把棱锥扩展为正四棱柱.求出正四棱柱的外接球的半径.就是三棱锥的外接球的半径.由此能求出该球的表面积．【解答】：解：由题意知△A′EF是等腰直角三角形.且A′D⊥平面A′EF.三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形.然后扩展为正四棱柱.三棱锥和外接球与正四棱柱的外接球是同一个球.正四棱柱的对角线长就是外接球的直径.∴球半径R= √12+12+222 = √62.∴该球的表面积为S=4πR2=4 π×(√62)2=6π．故答案为：6π．【点评】：本题考查球的表面积的求法.考查正方体、球等基础知识.考查推理论证能力、运算求解能力.数形结合思想.是中档题．11.（填空题.5分）正四棱锥S-ABCD的底面边长为2.高为2.E是边BC的中点.动点P在表面上运动.并且总保持PE⊥AC.则动点P的轨迹的周长为___ ．【正确答案】：[1] √2+√6【解析】：根据题意可知点P的轨迹为三角形EFG.其中G、F为中点.根据中位线定理求出EF、GE、GF.从而求出轨迹的周长．【解答】：解：由题意知：点P的轨迹为如图所示的三角形EFG.其中G、F为中点.∴EF= 12BD= √2 .GE=GF= 12 SB= √62.∴轨迹的周长为√2 + √6．答案：√2 + √6【点评】：本题主要考查了轨迹问题.以及点到面的距离等有关知识.同时考查了空间想象能力.计算推理能力.属于中档题．12.（填空题.5分）a.b为空间中两条互相垂直的直线.等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a.b都垂直.斜边AB以直线AC为旋转轴旋转.有下列结论：① 当直线AB 与a 成60°角时.AB 与b 成30°角；② 当直线AB 与a 成60°角时.AB 与b 成60°角；③ 直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④ 直线AB 与a 所成角的最小值为60°；其中正确的是___ ．（填写所有正确结论的编号）【正确答案】：[1] ② ③【解析】：由题意知.a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直.构建如图所示的边长为1的正方体.|AC|=1.|AB|= √2 .斜边AB 以直线AC 为旋转轴.则A 点保持不变.B 点的运动轨迹是以C 为圆心.1为半径的圆.以C 坐标原点.以CD 为x 轴.CB 为y 轴.CA 为z 轴.建立空间直角坐标系.利用向量法能求出结果．【解答】：解：由题意知.a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直.画出图形如图.不妨设图中所示正方体边长为1.故|AC|=1.|AB|= √2 .斜边AB 以直线AC 为旋转轴.则A 点保持不变.B 点的运动轨迹是以C 为圆心.1为半径的圆.以C 坐标原点.以CD 为x 轴.CB 为y 轴.CA 为z 轴.建立空间直角坐标系.则D （1.0.0）.A （0.0.1）.直线a 的方向单位向量 a =（0.1.0）.| a |=1.直线b 的方向单位向量 b⃗ =（1.0.0）.| b ⃗ |=1. 设B 点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ.sinθ.0）.其中θ为B′C 与CD 的夹角.θ∈[0.2π）.∴AB′在运动过程中的向量. AB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（cosθ.sinθ.-1）.| AB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √2 . 设 AB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 a 所成夹角为α∈[0. π2 ].则cosα=|(−cosθ，−sinθ，1)•(0，1，0)||a ⃗ |•|AB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √22 |sinθ|∈[0. √22 ]. ∴α∈[ π4 . π2 ].∴ ③ 正确. ④ 错误．设 AB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 b ⃗ 所成夹角为β∈[0. π2]. cosβ= |AB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •b ⃗ ||AB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |•|b ⃗ | = |(−cosθ，sinθ，1)•(1，0，0)||b⃗ |•|AB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √22 |cosθ|. 当 AB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 a 夹角为60°时.即α= π3 .|sinθ|= √2cosα = √2cos π3 = √22 .∵cos 2θ+sin 2θ=1.∴cosβ= √22 |cosθ|= 12 .∵β∈[0. π2 ].∴β= π3.此时AB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与b⃗的夹角为60°.∴ ② 正确. ① 错误．故答案为：② ③ ．【点评】：本题考查命题真假的判断.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力.考查数形结合思想、化归与转化思想.是中档题．13.（单选题.5分）给定空间中的直线l与平面α.则“直线l与平面α垂直”是“直线l垂直于平面α上无数条直线”的（）条件．A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既不充分也不必要【正确答案】：A【解析】：根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】：解：若：直线l与平面α垂直”.则“直线l垂直于平面α上无数条直线”.是充分条件；若直线l垂直于平面α上无数条直线.则直线l与平面α不一定垂直.不是必要条件.故选：A．【点评】：本题考查了充分必要条件.考查线面垂直的定义.是一道基础题．14.（单选题.5分）一个棱柱是正四棱柱的一个充要条件是（）A.底面是正方形.有两个侧面是矩形B.底面是正方形的平行六面体C.底面是正方形且两个相邻侧面是矩形D.每个侧面都是全等的矩形【正确答案】：C【解析】：由正四棱柱的定义及几何特征.逐一分析四个选项得答案．【解答】：解：若底面是正方形.有相对的两个侧面是矩形.另外两个侧面是平行四边形.则棱柱为斜棱柱.故A不满足要求；若底面是正方形.侧棱不垂直底面的平行六面体为斜棱柱.故B不满足要求；底面是正方形.且两个相邻侧面是矩形.则侧棱与底面垂直.此时棱柱为正四棱柱.故C满足要求；底面是菱形.但不是正方形.侧棱垂直于底面.满足每个侧面都是全等的矩形.不是正四棱柱.故D不满足要求．故选：C．【点评】：本题考查的知识点是棱柱的结构特征.必要条件.充分条件与充要条件.其中熟练掌握正四棱柱的定义是解答本题的关键.是基础题．15.（单选题.5分）如果一条直线与一个平面垂直.那么.称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中.由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）A.48B.18C.24D.36【正确答案】：D【解析】：根据题目中：“正交线面对”的含义的正确理解.只要找出正方体中多少对线面垂直即可.分棱和面对角线进行讨论即得．【解答】：解：如果一条直线与一个平面垂直.那么.称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中.由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”.分情况讨论：① 对于每一条棱.都可以与两个侧面构成“正交线面对”.这样的“正交线面对”有2×12=24个；② 对于每一条面对角线.都可以与一个对角面构成“正交线面对”.这样的“正交线面对”有12个；所以正方体中“正交线面对”共有36个．选D．【点评】：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系.考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.属于基础题．16.（单选题.5分）长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形.高为2.则集合={x|x= A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .i∈{1.2.3.4}.j∈{1.2.3.4}}中元素的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：C【解析】：建立空间坐标系.结合向量数量积的定义进行计算即可．【解答】：解：∵长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形.高为2.∴建立如图的空间直角坐标系.则A 1（1.1.0）.A 2（0.1.0）.A 3（0.0.0）.A 4（1.0.0）.B 1（1.1.2）.B 2（0.1.2）.B 3（0.0.2）.B 4（1.0.2）.则 A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.0.2）.与 A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.0.2）相等的向量为 A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = A 4B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .此时 A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4.与 A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.-1.2）相等的向量为 A 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .此时 A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4.与 A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.2）相等的向量为 A 3B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 此时 A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4.与 A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.0.2）相等的向量为 A 3B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .此时 A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3.与 A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.0.2）相等的向量为 A 4B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .此时 A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5.体对角线向量为 A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.-1.2）.此时 A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5.A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.-1.2）. A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3.A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.1.2）. A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.1.2）. A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5.综上集合={x|x= A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .i∈{1.2.3.4}.j∈{1.2.3.4}}={3.4.5}.集合中元素的个数为3个.故选：C ．【点评】：本题主要考查集合元素的计算.建立空间坐标系.求出空间向量数量积是解决本题的关键．17.（问答题.14分）我校学生会进行换届选举.共选举7名学生委员.其中甲、乙、丙是上一届的委员.现对7名成员进行如下分工：（1）若学生会正、副主席两职位只能由甲、乙、丙三人选两份担任.则有多少种不同的分工方法；（2）若甲不担任学生会主席.乙不担任组织委员.则有多少种不同的分工方法？【正确答案】：【解析】：（1）由排列、组合及简单的计数原理得：学生会正、副主席两职位只能由甲、乙、丙三人选两份担任.则有C32A22A55 =720种不同的分工.（2）由排列、组合及简单的计数原理得：甲不担任学生会主席.乙不担任组织委员.则有A77−2A66+A55 =3720种不同的分工.得解【解答】：解：（1）学生会正、副主席两职位只能由甲、乙、丙三人选两份担任.则有C32A22A55 =720种不同的分工.（2）甲不担任学生会主席.乙不担任组织委员.则有A77−2A66+A55 =3720种不同的分工.故答案为：（1）720 （2）3720．【点评】：本题考查了排列、组合及简单的计数原理.属中档题．18.（问答题.14分）如图.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.E 、F 分别是线段BC 、CD 1的中点．（1）求异面直线EF 与AA 1所成角的大小；（2）求直线EF 与平面AA 1B 1B 所成角的大小．【正确答案】：【解析】：建立如图所示的坐标系.利用向量方法.即可求出所求角．【解答】：解：（1）建立如图所示的坐标系.设正方体的棱长为2.则E （1.2.0）.F （0.1.1）.A （2.0.0）.A 1（2.0.2）.∴ EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.-1.1）. AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.0.2）.∴异面直线EF 与AA 1所成角的余弦值为| √3•2 = √33 . ∴异面直线EF 与AA 1所成角的大小为arccos √33 ；（2）平面AA 1B 1B 的法向量为（1.0.0）.∴直线EF 与平面AA 1B 1B 所成角的正弦值为| √3•1 |= √33 . ∴直线EF 与平面AA 1B 1B 所成角的大小为arcsin √33 ．【点评】：本题考查空间角.考查向量方法的运用.正确求出向量的坐标是关键．19.（问答题.14分）圆锥的侧面展开图是一个半圆.它被过底面中心O且平行于母线AB的平面所截.若截面与圆锥侧面的交线是焦点到准线的距离为p的抛物线．（1）求圆锥的母线与底面所成角的大小；（2）求圆锥的侧面积．【正确答案】：【解析】：（1）设圆锥的底面半径为R.母线长为l.由题意得πl=2πR.由此能求出母线与底面所成的角为60°．（2）设截面与圆锥侧面的交线为MO1N.其中O1是截面与AC的交点.则OO1 || AB.且OO1= 12 AB.在截面MO1N中.以O1O所在有向直线为y轴.O1为原点.建立空间直角坐标系.由此能求出圆锥的侧面积．【解答】：解：（1）设圆锥的底面半径为R.母线长为l.由题意得πl=2πR.∴cos∠ACO= Rl =12.∴母线与底面所成的角为60°．（2）设截面与圆锥侧面的交线为MO1N.其中O1是截面与AC的交点.则OO1 || AB.且OO1= 12AB.在截面MO1N中.以O1O所在有向直线为y轴.O1为原点.建立空间直角坐标系. 则O1为抛物线的顶点.∴抛物线方程为x2=-2py.点N的坐标为（R.-R）.代入方程.得R2=-2p（-R）.解得R=2p.l=2R=4p.∴圆锥的侧面积S=πRl=8πp2．【点评】：本题中出现了一个与抛物线有关的条件.利用解析几何思想.通过建立坐标系.写出抛物线方程.研究曲线方程来求解相关的量.考查点到平面的距离的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．20.（问答题.16分）如图① .有一个圆柱形状的玻璃水杯.底面圆的直径为20cm.高为30cm.杯内有20cm深的溶液.现将水杯倾斜.且倾斜时点B始终在桌面上.设直径AB所在直线与桌面所成的角为α（图② ）（1）求图② 中圆锥的母线与液面所在平面所成的角（用α表示）；（2）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出.求角α的最大值；（3）要保证倒出的溶液体积不少于1500cm3.求角α的取值范围（保留到0.1）．【正确答案】：【解析】：（1）在图a中.过点F作FQ⊥BC.交BC于Q.则∠CFQ=α.图b中圆锥的母线与液面−α．所在平面所成的角为：∠DFC=∠FCQ=π2（2）根据题意画出图形.结合图形.过C作CF || BP.交AD所在直线于F.且点F在线段AD上.用tanα表示出DF、AF.求出容器内溶液的体积.列出不等式求出溶液不会溢出时α的最大值．×100π≤100π×20-1500.求出α≤0.4507.由此能求出角α的取值围．（3）由(a+30)2【解答】：解：（1）在图a中.过点F作FQ⊥BC.交BC于Q.过点C作CM⊥PB.交FQ延长线于点M.过点M作MN || PB.交BC于N.则∠CFQ=α.∴图b中圆锥的母线与液面所在平面所成的角为：−α．∠DFC=∠FCQ=π2（2）根据题意.画出图形.如图a所示.过C作CF || BP.交AD所在直线于F.在Rt△CDF中.∠FCD=α.CD=20cm.DF=20tanα.且点F在线段AD上.AF=30-20tanα.此时容器内能容纳的溶液量为：×π×102×20tanα=1000π（3-tanα）（cm3）.π×102×(30−20tanα)+12而容器中原有溶液量为π×102×20=2000π（cm3）.令1000π（3-tanα）≥2000π.解得tanα≤1.所以α≤45°.即α的最大角为45°时.溶液不会溢出．×100π≤100π×20-1500.（3）(a+30)2.α≤0.4507.tanα≥ 30−α20∴55.9°≤α≤90°．∴角α的取值范围是[55.9°.90°]．【点评】：本题考查棱柱的体积在生产生活中的实际应用问题.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．21.（问答题.18分）如图.在四棱锥P-ABCD 中.已知PA⊥平面ABCD.且四边形ABCD 为直角梯形.∠ABC=∠BAD= π2 .PA=AD=2.AB=BC=1．（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点.当直线CQ 与DP 所成的角最小时.求线段BQ 的长．【正确答案】：【解析】：以A 为坐标原点.以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建系A-xyz ．（1）所求值即为平面PAB 的一个法向量与平面PCD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值.计算即可；（2）利用换元法可得cos 2＜ CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ . DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞≤ 910 .结合函数y=cosx 在（0. π2 ）上的单调性.计算即得结论．【解答】：解：以A 为坐标原点.以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建系A-xyz 如图. 由题可知B （1.0.0）.C （1.1.0）.D （0.2.0）.P （0.0.2）．（1）∵AD⊥平面PAB.∴ AD⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.2.0）.是平面PAB 的一个法向量. ∵ PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.1.-2）. PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.2.-2）.设平面PCD 的法向量为 m ⃗⃗ =（x.y.z ）.由 {m ⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗ •PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.得 {x +y −2z =02y −2z =0 . 取y=1.得 m ⃗⃗ =（1.1.1）.∴cos ＜ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . m ⃗⃗ ＞= AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •m ⃗⃗⃗ |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ | = √33 . ∴平面PAB 与平面PCD 所成两面角的余弦值为 √33 ；（2）∵ BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.0.2）.设 BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ BP⃗⃗⃗⃗⃗ =（-λ.0.2λ）（0≤λ≤1）. 又 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.-1.0）.则 CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ = CB ⃗⃗⃗⃗⃗ + BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-λ.-1.2λ）.又 DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.-2.2）.从而cos ＜ CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ . DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞= CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ •DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |CQ ⃗⃗⃗⃗⃗||DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 1+2λ√2+10λ2. 设1+2λ=t .t∈[1.3].则cos 2＜ CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ . DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞= 2t 25t 2−10t+9 = 29(1t −59)2+209 ≤ 910 . 当且仅当t= 95 .即λ= 25 时.|cos ＜ CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ . DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|的最大值为 3√1010 .因为y=cosx 在（0. π2 ）上是减函数.此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又∵BP= √12+22 = √5 .∴BQ= 25 BP=2√55 ． 【点评】：本题考查求二面角的三角函数值.考查用空间向量解决问题的能力.注意解题方法的积累.属于中档题．。
上海市2018-2019学年七宝中学高二上期末数学期末试卷(解析版)
2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.与圆相切，且横截距与纵截距相等的直线条数是A. 2B. 4C. 6D. 以上说法都不对【答案】B【解析】解：根据题意，圆的圆心为，半径，分2种情况讨论，，直线过原点，设直线的方程为，即，则有，解可得，此时直线的方程为：，，直线不过原点，由于直线横截距与纵截距相等，设其方程为，即，则有，解可得，此时直线的方程为，故一共有4条符合条件的直线；故选：B．根据题意，分析圆的圆心与半径，分2种情况讨论，，直线过原点，设直线的方程为，，直线不过原点，设其方程为，由直线与圆的位置关系分析直线的条数，综合2种情况即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线在坐标轴上的截距，注意直线过原点的情况，属于基础题，2.直线：与直线：的夹角为A. B.C. D. 以上说法都不对【答案】B【解析】解：直线：的斜率为，倾斜角为，直线：的斜率不存在，倾斜角为，故直线：与直线：的夹角为，故选：B．先求出两条直线的倾斜角和斜率，可得两条直线的夹角．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，两条直线的夹角，属于基础题．3.下列说法正确的是A. 平面中两个定点A，B，k为非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线B. 定圆C上有一定点A和一动点不与A重合，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹是椭圆C. 斜率为定值的动直线与抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点，，则动点P的轨迹是直线D. 以上说法都不对【答案】C【解析】解：设A，B是两个定点，k为非零常数，若，可得P的轨迹为双曲线的一支；若，即为射线；若，则轨迹不存在，故A错误；过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点若，则P为AB的中点，，则动点P的轨迹为以AC为直径的圆，故B错误；斜率为定值t的动直线与抛物线相交于A，B两点，设，，，可得P为AB的中点，，即有，则动点P的轨迹是直线，故C正确．故选：C．由双曲线的定义可判断A；由P为AB的中点，，可得P的轨迹为圆，可判断B；由抛物线的方程，可设，，运用直线的斜率公式和中点坐标公式，即可判断C，进而判断D．本题考查椭圆和双曲线的定义和方程、性质，考查中点坐标公式和直线的斜率公式，以及运算能力和推理能力，属于中档题．4.点A为椭圆C：的右顶点，P为椭圆C上一点不与A重合，若是坐标原点，则为半焦距的取值范围是A. B.C. D. 以上说法都不对【答案】B【解析】解：设，是坐标原点，，．，，．．，则的取值范围是故选：B．设，由，可得，，，即可求解．本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，考查椭圆性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.抛物线的准线方程为______．【答案】【解析】解：整理抛物线方程得，抛物线方程开口向上，准线方程是故答案为：．先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．本题主要考查抛物线的标准方程和简单性质属基础题．6.直线的倾斜角范围是______．【答案】【解析】解：直线的倾斜角的范围是，故答案为：．根据直线倾斜角的定义判断即可．本题考查了直线的倾斜角的范围，考查基础知识的掌握．7.直线：，，若，则______．【答案】【解析】解：直线：，，，，解得．故答案为：．利用直线与直线垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.直线被圆所截得的弦长等于______．【答案】2【解析】解：可变为，故圆心坐标为，半径为3圆心到直线的距离是故弦长的一半是所以弦长为2故答案为：2．先求出圆心到直线的距离既得弦心距，求出圆的半径，利用勾股定理求出弦长的一半，即可求得弦长本题考查直线与圆相交的性质，解题的关键是了解直线与圆相交的性质，半径，弦心距，弦长的一半构成一个直角三角形，掌握点到直线的公式，会用它求点直线的距离．9.P是双曲线上的一点，，为焦点，若，则______．【答案】13【解析】解：双曲线，其中，，又由P是双曲线上一点，则有，又由，则舍去或13，故答案为：13．由双曲线的标准方程分析可得a、c的值，结合双曲线的定义可得，计算可得分析可得答案．本题考查双曲线的定义，注意由双曲线的标准方程求出a的值，属于基础题．10.过点且与原点距离为2的直线方程是______．【答案】或【解析】解：当直线的斜率不存在时，直线时满足条件；当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，化为，，解得．直线的方程为：，化为．综上可得：直线的方程为：；．故答案为：或．分直线的斜率存在与不存在讨论，利用点到直线的距离公式即可得出．本题考查了点到直线的距离公式、点斜式、分类讨论方法，考查了计算能力，属于基础题．11.已知p：曲线C上的点的坐标都是方程的解，q：曲线C是方程的曲线，则p成立是q成立的______条件．【答案】必要不充分【解析】解：若曲线C是方程的曲线，则曲线C上的点的坐标都是方程的解，即充分性成立，若曲线C上的点的坐标都是方程的解，则曲线不一定是方程的曲线，即充分性不成立，比如：曲线上的点的坐标都满足方程，而方程对应的曲线为直线，则p成立是q成立的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合曲线方程和方程曲线的关系是解决本题的关键．12.已知P是椭圆上的一点，，为焦点，若，，则椭圆的焦距与长轴的比值为______．【答案】【解析】解：设，，，则．，可得，，．，则椭圆的焦距与长轴的比值为．故答案为：．可得，，由勾股定理可得，即可．本题考查了椭圆的性质，转化思想，属于基础题．13.直线与双曲线有且仅有一个公共点，则______．【答案】或【解析】解：联立，化为．当时，可得，此时直线l的方程为，分别与等轴双曲线的渐近线平行，此时直线l与双曲线有且只有一个交点，满足题意；当时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得，解得此时满足条件．综上可得：，．故答案为：，．联立直线与双曲线方程，化为分类讨论：当时，可得，此时直线l 与等轴双曲线的渐近线，满足题意；当时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得，解出即可．本题考查了直线与双曲线的位置关系及其性质、一元二次方程与的关系、分类讨论等基础知识与基本方法，属于中档题和易错题．14.若x，y满足约束条件，则的取值范围是______．【答案】【解析】解：x，y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数经过C点时，函数取得最小值，由解得，目标函数的最小值为：4目标函数的范围是．故答案为：．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．15.已知曲线的参数方程为为参数，则以下曲线的说法中：关于原点对称；在直线下方；关于y轴对称；是封闭图形，正确的有______．【答案】【解析】解：曲线的参数方程为为参数，，且，在中，曲线不能关于原点对称，故错误；在中，曲线在直线下方，故正确；在中，曲线关于y轴不对称，故错误；在中，曲线不是封闭图形，故错误．故答案为：．由曲线的参数方程推导出，且，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线的右支分别交于A，B两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线l的斜率为______．【答案】【解析】解：记的内切圆圆心为C，边、、上的切点分别为M、N、E，易见C、E横坐标相等，则，，，由，即，得，即，记C的横坐标为，则，于是，得，同样内心D的横坐标也为a，则有轴，设直线的倾斜角为，则，，在中，，在中，，由，可得，解得，则直线的斜率为，由对称性可得直线l的斜率为．故答案为：．充分利用平面几何图形的性质解题因从同一点出发的切线长相等，得，，，再结合双曲线的定义得，从而即可求得的内心的横坐标a，即有轴，在，中，运用解直角三角形知识，运用正切函数的定义和二倍角公式化简即可得到直线的斜率．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查三角函数的化简和求值，考查直线斜率的求法，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知两点，．求直线AB的方程；若A，B的到直线l的距离都是2，求直线l的方程．【答案】解：两点，直线AB的方程为：，整理，得．两点，，B的到直线l的距离都是2，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，成立；当直线l的斜率k存在时，设直线l为，即，，B的到直线l的距离都是2，，解得，或，，或，，直线l的方程为或或，整理，得：，或，或．综上，直线l的方程为，或，或，或．【解析】利用两点式方程能求出直线AB的方程．由两点，，B的到直线l的距离都是2，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为；当直线l的斜率k存在时，设直线l为，由A，B的到直线l的距离都是2，能求出直线l的方程．本题考查直线方程的求法，考查直线的两点式方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.双曲线M：过点，且它的渐近线方程是．求双曲线M的方程；设椭圆N的中心在原点，它的短轴是双曲线M的实轴，且椭圆N中斜率为的弦的中点轨迹恰好是M的一条渐近线截在椭圆N内的部分，试求椭圆N的方程．【答案】解：双曲线M：过点，且它的渐近线方程是，，，解得，，双曲线M的方程为，椭圆N的中心在原点，它的短轴是双曲线M的实轴，则设椭圆的方程为：，，设椭圆N中斜率为的弦所在直线方程为，两端点分别为，，AB的中点为，联立方程组，消y可得，，则，，，点P在双曲线M渐近线上，，解得，椭圆N的方程为．【解析】根据双曲线的简单性质即可求出，设椭圆N中斜率为的弦所在直线方程为，两端点分别为，，AB的中点为，根据韦达定理求出点P的坐标，再将点P的坐标代入双曲线M渐近线上，即可求出，问题得以解决．本题考查了双曲线和椭圆的方程，以及直线和椭圆的位置关系，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题19.已知椭圆的两个焦点为，，且椭圆过点求椭圆的方程．已知斜率为的直线过，与椭圆分别交于P，Q；直线过，与直线垂直，与椭圆分别交于M，N，求四边形PMQN面积的函数解析式．【答案】解：设椭圆的方程为，由题意可得，解得，设直线的方程为，则直线的方程为设，，联立方程，化简得．则，，，同理，得，，四边形，．【解析】设椭圆的方程为，，由题意可得，解得即可，设直线的方程为，则直线的方程为，设，，根据弦长公式，分别求出，，即可表示四边形的面积．本题考查直线和椭圆的位置关系，考查四边形面积的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．20.设直线l：与抛物线相交于不同的两点A，B，M为线段AB中点，若，且，求线段AB的长；若直线l与圆C：相切于点M，求直线l的方程；若直线l与圆C：相切于点M，写出符合条件的直线l的条数直接写出结论即可【答案】解：当时，直线l的方程为，设点、，将直线l的方程与抛物线的方程联立得，消去x得，由韦达定理可得，，由于点是线段AB的中点，则，则，所以，，由弦长公式可得；设点、，将直线l的方程与抛物线的方程联立，消去x得，由韦达定理可得，，设点M的坐标为，则，，所以，点M的坐标为，若，则直线l的方程为，则点A、B关于x轴对称，而圆与x轴的交点为和，点M的坐标为，则或，此时，直线l的方程为或，符合题意！若，由可知，，即，则有，所以，．另一方面，点M在圆上，则有，所以，，则，，此时，，不合乎题意！综上所述，直线l的方程为和；当时，1条；当或时，2条；当时，4条．【解析】将直线l的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出线段AB的中点的纵坐标，从而求出k的值，再利用弦长公式结合韦达定理可求出线段AB的长度；对k是否为零进行分类讨论．当时，得出点A、B关于x轴对称，得知，点M为圆与x轴的交点，求出b的值，可得出直线l的方程；当时，将直线l的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出点M的坐标，然后利用，转化为这两条直线的斜率之积为《以及点M在圆上，求出k和b的值，但同时还需满足结合这两种情况求出直线l的方程．结合图形充分利用对称性可写出相应的结论．本题考查直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理在抛物线综合问题中的应用，同时也考查了对称性思想的应用，属于难题．21.在平面直坐标系xOy中有曲线：．如图1，点B为曲线上的动点，点，求线段AB的中点的轨迹方程；如图2，点B为曲线上的动点，点，将绕点A顺时针旋转得到，求线段OC长度的最大值．如图3，点C为曲线上的动点，点，，延长AC到P，使，求动点P的轨迹长度．【答案】解：设点B的坐标为，则，设线段AB的中点为点，由于点B在曲线上，则，因为点M为线段AB的中点，则，得，代入式得，化简得，其中；如下图所示，易知点，结合图形可知，点C在右半圆D：上运动，问题转化为，原点O到右半圆D上一点C的距离的最大值，连接OD并延长交右半圆D于点，当点C与点重合时，取最大值，且；如下图所示，由于点C是曲线上一点，则，则，由于，所以，，由于，由正弦定理可知，的外接圆的直径为，，设曲线与y轴交于点，则，则的外接圆即为圆D：，弦AB在圆D中所对的圆心角为，所以点P的轨迹是以为半径且圆心角为的扇形，所以，点P的轨迹的长度为．【解析】设点B的坐标为，设线段AB的中点为点，先将点M的坐标代入曲线的方程，得出一个等式，由中点坐标公式得，解得，代入等式可得出点M的轨迹方程，化简，同时标出相应变量的取值范围；作出曲线绕点A顺时针旋转后得到的右半圆D，然后线段OC长度的最大值就转化为点O到右半圆D 上一点距离的最大值，利用圆的性质可得出答案；先求出，由正弦定理知，动点P的轨迹在圆D上，求出弦AB所对的圆心角，可求出动点P轨迹在圆D中所对的圆心角，即可算出相应扇形的弧长．本题考查曲线方程的求法，考查数形结合思想在解题中的应用，属于中等题．。
2017-2018学年上海市闵行区七宝中学高二(上)10月月考数学试卷
2017-2018 学年上海市闵行区七宝中学高二（上）10 月月考数学试卷一.填空题1．（3 分）已知，，则 | |＝．2．（3 分）等差数列{ an}的前n 项和为S n，则＝．3．（3 分）已知正△ABC 的面积是，则＝4．（3 分）已知，（k＞0），若，则正数k＝．5．（3 分）已知Rt△ABC 的内角A、 B、C 所对的边分别是a、 b、c，若A、B、C 依次成等差数列，且A＜ B＜ C，则a： b：c＝．6．（3 分）设等比数列{ an} 的公比q＝2，前n 项和为S n，则＝．7．（3 分）若三点A（2，2），B（a，0），C（0，4），若存在实数λ，使得，则实数a＝．8．（3 分）已知（n∈N *），则＝．9．（3 分）已知等差数列{ an} 的公差不为零，且a5+a n＝a10+a20﹣m（m，n∈N *），则mn 的最大值是10．（3 分）设向量，满足||＝2，| |＝1 且，的夹角为，若向量2t +7 与+t 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是．11（．3 分）设、、都是非零向量，其中任意两个都不平行，已知∥，∥，则关于x的方程的解x＝．12．（3 分）给定平面上四点O，A，B，C 满足O A＝4，OB＝3，OC＝2，＝3，则△ABC 面积的最大值为．二.选择题第 1 页（共18 页）13．（3 分）已知﹣（）9依次成等比数列，则实数x 的值为1、a、x、b、﹣3D．不确定A ．3 B．﹣3C．3 或﹣14．（3 分）下列等式中不恒成立的是（）A ．B．C．D．入 3 个数，使它们与原数列构成一个新数列，则15．（3 分）在数列{ an} 中每相邻两项间插新数列的第41 项（）A ．不是原数列的项B．是原数列的第10 项C．是原数列的第11 项D．是原数列的第12 项16．（3 分）已知数列{ an} 满足a n+1＝pa n+2（p≠0），a1∈R，则下列命题中的真命题是（）A ．p＝﹣2，则数列{an+2} 一定是等比数列B．p＞1，a1≠0，数列 { a n}不存在极限C．p≠1，数列一定是等比数列D．0＜|p|＜1，则数列{an} 的极限为三.解答题17．已知向量和的夹角为60°，且| |＝3，，（1）求向量在方向上的投影；（2）若，求实数k 的取值范围．18．已知，，且向量、不平行，，，其中k、t 是正实数．（1）若，且，求向量、的夹角；（2）若∥，试求k+2t 的最小值．2，x 轴以及直线x＝ 1 所围成的区域的面积 S，可用x 轴上的y＝x19．我们要计算由抛物线分点0、、、⋯、、1 将区间[0，1]分成n 个小区间，在每个小区间上做一个小2为0、、、⋯、矩形，使矩形的左端点在抛物线y＝ x 上，这些矩形的高分别18 页）第 2 页（共，矩形的底边长都是，设所有这些矩形面积的总和为S n ，为求 S ，只须令分割的份数 n 无限增大， S n 就无限趋近于S ，即 ．（1）求数列 S n 的通项公式，并求出S ； 2（2）利用相同的思想方法，探求由函数 y ＝ x （ 1≤ x ≤ 2）的图象， x 轴以及直线x ＝ 1 和x ＝2 所围成的区域的面积T ．* 20．设数列 { an}的前 n 项和为 S n ，对一切n ∈N，点 都在 的图象上．* （1）证明：当n ≥ 2，n ∈N 时， an+an ﹣1＝2（2n ﹣1）； （2）求数列 { an} 的通项公式；*（3）设 T n 为数列前 n 项积，若不等式对一切n ∈N恒成立，求实数 a 的取值范围． 21．定义向量＝（a ，b ）的“相伴函数” 为 f （x ）＝asin x+ bcosx ，函数 f （x ）＝asinx+ bcosx的“相伴向量” 为 ＝（a ，b ）（其中 O 为坐标原点） ．记平面内所有向量的 “相伴函数”构成的集合为 S ．（1）设 g （x ）＝ 3sin （x+ ）+4sinx ，求证： g （x ）∈S ；（2）已知 h （x ）＝ cos （x+α）+2cosx ，且 h （x ） ∈S ，求其“相伴向量”的模； 2 2（3）已知 M （a ，b ）（b ≠0）为圆C ：（ x ﹣2） ＝1 上一点，向量 的“相伴函数” f+y（x ）在 x ＝x 0 处取得最大值．当点M 在圆C 上运动时，求 tan2x 0 的取值范围．第 3 页（共18 页）2017-2018 学年上海市闵行区七宝中学高二（上）10 月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3 分）已知，，则| |＝．【分析】直接利用向量的坐标运算求解|AB|即可．【解答】解：，，则| | ＝＝．故答案为：．【点评】本题考查向量的模的求法，向量的坐标运算，是基本知识的考查．2．（3 分）等差数列{ an}的前 n 项和为S n，则＝ 2 ．【分析】先求出S n＝n（），再由“”型极限的计算公式能求出的值．【解答】解：∵ S n＝na1+ ＝n（），∴＝＝＝2．故答案为：2．【点评】本题考查极限值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质第4 页（共18 页）的灵活运用．3．（3 分）已知正△ABC 的面积是，则＝﹣8【分析】根据三角形的面积公式求出边长，结合向量数量积的公式进行求解即可．【解答】解：∵正△ABC 的面积是，设边长为a，2∴S＝a?a×sin60°＝ a ＝4 ，2得 a ＝16，得 a＝4，向量＝| |?| |cos＜，＞＝4×4cos120°＝16×（﹣）＝﹣ 8，故答案为：﹣8【点评】本题主要考查向量数量积的计算，结合正三角形的面积公式求出边长是解决本题的关键．4．（3 分）已知，（k＞0），若，则正数k＝．【分析】根据即可得出，进行数量积的运算即可求出 k 的值．【解答】解：∵；2∴＝k+1﹣8＝0；又 k＞0；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量坐标的数量积运算．5．（3 分）已知Rt△ABC 的内角A、B、C 所对的边分别是a、b、c，若 A、B、C 依次成等差数列，且A＜B＜C，则 a：b：c＝．【分析】根据 A、B、C 依次成等差数列，以及三角形是直角三角形求出，A，B，C 的大小，结合正弦定理进行求解即可．【解答】解：∵ A、B、C 依次成等差数列，且A＜B＜C，第5 页（共18 页）∴A+C＝2B，即 A+B+C＝3B＝π，即 B＝，∵三角形是Rt△ABC，∴C＝，A＝，则 a：b：c＝sinA：sinB：sinC＝sin ：sin ：sin ＝：：1＝1：：2，故答案为：1：：2【点评】本题主要考查正弦定理的应用，解等差数列以及条件求出A，B，C 的大小是解决本题的关键．6．（3 分）设等比数列{ an} 的公比 q＝2，前 n 项和为S n，则＝．【分析】根据等比数列的通项公式与前n 项和的公式表示出S4 与 a4，进行比值计算再结合 q 的数值即可得到答案．【解答】解：因为数列{ a n} 是等比数列，3 所以由等比数列的前n 项和公式与通项公式可得，a4＝a1q，所以．又因为 q＝2，所以．故答案为．【点评】解决此类问题的关键的是数列掌握等比数列的通项公式与前n 项和的公式，并且进行正确的运算．7．（3 分）若三点A（2，2），B（a，0），C（0，4），若存在实数λ，使得，则实数 a＝ 4 ．【分析】求出的坐标，列方程组求出 a 的值．【解答】解：＝（a﹣2，﹣2），＝（﹣ a，4），第6 页（共18 页）∵ ，∴，解得 a ＝ 4．故答案为： 4．【点评】 本体考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．8．（ 3 分）已知 （n ∈N* ），则＝ 19 ． 【分析】 根据 an 的解析式可知，数列 {an} 的前 8 项是首项为 ，公差为 的等差数列， 后 n ﹣8 项是首项为，公比为的等比数列，从而根据等差数列和等比数列的前n 项和公式即可得出： ＝ ＝19．【解答】解： ＝ ＝18+1＝19．故答案为： 19．【点评】 考查等差数列和等比数列的前n 项和公式，数列极限的计算．9．（ 3 分）已知等差数列 { an} 的公差不为零，且a 5+a n ＝a 10+a20﹣m（m ，n ∈N * ），则m n 的最 大值是 156* 【分析】 等差数列 { an}的公差 d ≠ 0，由 a5+an ＝a10+a20﹣m （m ，n ∈N），利用通项公式可 得： m+ n ＝25．再利用二次函数的单调性即可得出．【解答】 解：等差数列 { an} 的公差 d ≠0，∵ a5+an ＝a10+a20﹣m（m ，n ∈N* ），∴2a 1+（n+3）d ＝2a1+（28﹣m ）d ， 化为： m+ n ＝25． 则mn ＝n （ 25﹣n ）＝﹣+，当 n ＝12 或 13 时， mn 取得最大值＝ 12×13＝156． 故答案为： 156．【点评】 本题考查了等差数列的通项公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题．第 7 页（共18 页）10．（3 分）设向量，满足| |＝2，| |＝1 且，的夹角为，若向量 2t +7 与+t 的夹角为钝角，则实数 t 的取值范围是（﹣7，﹣）∪（﹣，﹣）．【分析】由题意可得? ＝1，（2t +7 ）（? +t ）＜0，且向量2t +7 与+t 不共线．由（2t +7 ）（? +t ）＜0 求得 t 的范围；由，解得t 的范围，再把这 2 个t 的范围取交集，即得所求．【解答】解：由题意可得? ＝2×1×cos ＝1，由于向量2t +7 与+t 的夹角为钝角，可得（2t +7 ）?（+t ）＜0，且向量 2t +7 与+t 不共线．2由（2t +7 ）（? +t ）＜0 可得2t+15 t+7＜0，解得﹣ 7＜t＜﹣．再由向量2t +7 与+t 不共线，可得，解得t≠±．综上可得，实数t 的取值范围是（﹣7，﹣）∪（﹣，﹣），故答案为：（﹣7，﹣）∪（﹣，﹣）．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量共线的性质，用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．11（．3 分）设、、都是非零向量，其中任意两个都不平行，已知∥，∥，则关于 x 的方程的解 x＝﹣1 ．【分析】根据∥，∥即可得出，存在实数s ， t ，使得，①﹣②即可得出，从而可求出s＝t＝﹣1，这样即可得出，③﹣④即可得出，带入即可得出，从而求出x＝﹣1．【解答】解：∵，且、、都是非零向量，其中任意两个都不平行；∴根据共线向量基本定理得，存在实数s，t，使：；第8 页（共18 页）∴①﹣②得：；∴根据平面向量基本定理得，t＝﹣1，s＝﹣1；∴③，④；∴③+④得：；∴；∴由得：；∴﹣x＝1；∴x＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】考查共线向量和平面向量基本定理．12．（3 分）给定平面上四点O，A，B，C 满足 OA＝4，OB＝3，OC＝2，＝3，则△ABC 面积的最大值为．【分析】先利用向量的数量积公式，求出∠BOC ＝60°，利用余弦定理求出BC，由等面积可得 O 到BC 的距离，即可求出△ABC 面积的最大值．【解答】解：∵ OB＝3，OC＝2，＝3，∴∠BOC＝60°，∴BC＝＝，设 O 到 BC 的距离为h，则由等面积可得，∴h＝，∴△ABC 面积的最大值为? （?+4）＝．故答案为：．【点评】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，求出BC，O 到BC 的距离是关键．二.选择题13．（3 分）已知﹣1、a、x、b、﹣9 依次成等比数列，则实数x 的值为（）第9 页（共18 页）A ．3B ．﹣3C ．3 或﹣3D ．不确定【分析】 由﹣1、a 、x 、b 、﹣9 依次成等比数列，奇数项的符合相同，即可得出． 【解答】 解：﹣1、 a 、x 、b 、﹣9 依次成等比数列，奇数项的符合相同， 则 x ＝﹣＝﹣3． 故选： B ．【点评】 本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题．14．（3 分）下列等式中不恒成立的是（ ） A ． B ． C ．D ．【分析】 利用平面向量数量积的运算律进行判断． 【解答】 解：根据数量积的满足的交换律，可知 A 项恒成立；由数量积与实数运算的结合律可知 B 项恒成立； 对于 C 项，，只有时， C项才能成立，即 C 项不恒成立； 对于 D 项，由平方差公式可知， D 项恒成立；故选： C ．【点评】 本题考查了平面向量数量积的运算律，属于基础题目． 15．（3 分）在数列 { an} 中每相邻两项间插入3 个数，使它们与原数列构成一个新数列，则 新数列的第 41 项（ ）A ．不是原数列的项B ．是原数列的第 10 项C ．是原数列的第 11 项D ．是原数列的第 12 项【分析】 根据题意，把新数列，每隔4 个作为一组，据此分析可得新数列的第 41 项为第11 组的第一个数，即a 11，即可得答案．【解答】 解：根据题意，在数列 {a n } 中每相邻两项间插入3 个数，使它们与原数列构成一个新数列，设新数列为{ b n } ，则有 b1＝ a1，b5＝a2，⋯ ⋯将数列 { bn}从 b1 开始的连续4 项作为 1 组，则 an 为第 n 组的第一个数， 又由 41＝ 4×10+1，则新数列的第 41 项为第 11 组的第一个数，即 a 11，第 10 页（共18 页）新数列的第41 项是原数列的第11 项；故选： C．【点评】本题考查数列的表示方法，注意将新数列分组，分析原数列与新数列的关系．a n+1＝pa n+2（p≠0），a1∈R，则下列命题中的真命题是（）16．（3 分）已知数列{ an} 满足A ．p＝﹣2，则数列{an+2} 一定是等比数列B．p＞1，a1≠0，数列 { a n}不存在极限C．p≠1，数列一定是等比数列D．0＜|p|＜1，则数列{an} 的极限为求一步行分析，进【分析】利用数列的关系式的变换和极限的应用分别对每一个选项进出结果．【解答】解：①对于选项A：当p＝2 时，，则数列{ a n+2} 一定是等比数列故：选项 A 错误．②对于选项： B当q＞1 或q＜﹣1时，数列{ an} 不存在极限．故选项 B 错误③当对于选项C：由已知数列{a n} 满足a n+1＝pa n+2（p≠0），可得，即（常数），所以p≠1，数列一定是等比数列，④对于选项：D，当0＜|p |＜1，，则数列{ an}的极限为故选项 D 错误．第11 页（共18 页）故选： C ．【点评】 本题考查数列的递推公式的应用，涉及数列的极限，主要考察学生的运算能力 和转换能力，属于综合题． 三.解答题 17．已知向量和 的夹角为60°，且 | |＝3，，（1）求向量 在 方向上的投影； （2）若，求实数 k 的取值范围．【分析】（1）根据向量投影的定义进行求解即可．（2）练习向量模长公式与向量数量积的关系，利用平方法进行求解即可． 【解答】 解：（1）向量 在 方向上的投影为| |cos ＜ ＞＝ 4× ＝2．（2）若， 则平方得 k2 ﹣ 2k ? +2 ≥ 13，2即 9k ﹣2k ×3×4× +16≥ 13， 2即 9k ﹣12k+3≥ 0， 2即 3k ﹣4k+1≥ 0，得或 k ≥ 1．【点评】 本题主要考查向量投影以及向量模长公式的应用，结合向量数量积的应用是解 决本题的关键． 18．已知，，且向量 、 不平行，，，其中k 、t 是正实数． （1）若，且，求向量、 的夹角；（2）若 ∥ ，试求 k+2t 的最小值．【分析】（1）根据向量数量积以及向量模长与数量积的关系进行求解即可． （2）根据向量关系，建立系数之间的关系，利用基本不等式的性质进行求解． 【解答】 解：（1）∵ ，且 ，∴ ＝﹣（ + ），第 12 页（共18 页）则| |＝|﹣（ + ）|＝2， 即2 + 2 +2 ? ＝4， 即 2 ? +4+1＝ 4， 则? ＝﹣ ，即 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，∵＜ ， ＞∈[0，π]， ∴＜ ， ＞＝ arccos （）＝；（2）若 ∥ ，设 ＝x ， 即 ，消去 x 得 ＝ ，k ， t 都是正实数，则k ＝＝1+，且 t ＞3，2t ＞6， 则k+2t ＝1+ +2t ＝+2（t ﹣3） +7≥ 7+2＝7+2＝7+8＝15，当且仅当＝2（ t ﹣3），即 t ＝5 时，取等号，即 k+2t 的最小值是 15．【点评】 本题主要考查向量数量积的应用，结合向量数量积与模长关系，以及基本不等 式的应用进行转化是解决本题的关键．考查学生的运算能力． 2，x 轴以及直线x ＝ 1 所围成的区域的面积S ，可用 x 轴上的19．我们要计算由抛物线y ＝x 分点 0、 、 、⋯ 、 、1 将区间 [0，1]分成 n 个小区间，在每个小区间上做一个小2 矩形， 使矩形的左端点在抛物线y ＝ x 上，这些矩形的高分别为 0、、、⋯ 、，矩形的底边长都是，设所有这些矩形面积的总和为Sn ，为求 S ，只须令分割的份数 n 无限增大， S n 就无限趋近于S ，即 ．（1）求数列 S n 的通项公式，并求出S ； 2（2）利用相同的思想方法，探求由函数 y ＝ x （ 1≤ x ≤ 2）的图象， x 轴以及直线x ＝ 1 和x ＝2 所围成的区域的面积T ．【分析】 本题第（ 1）题要在理解题意的基础上列出S n 的表达式然后进行计算，这里要18 页）第13 页（共2 2 2 2用到公式 1 ＝ n （n+1）（ 2n+1）/6，计算出 S n 之后就很容易得到 S ；第（2） +2 +3 +⋯ +n 题先根据题干中分割区间[0，1]一样的分割法去分割区间[1，2]，得到各个矩形的底边长2 2 和高，列出 T n 的表达式，这里也要用到公式 1 +2 +3 2 2 ＝n （n+1）（2n+1）/6，计+⋯ +n 算出 T n 之后就很容易得到 T ． 【解答】 解：（1）由题意，可知：＝＝ ＝＝ ．∴ ＝ ．（2）仿照题干中思想，可用 x 轴上的分点 1、1+ 、1+ 、⋯ 、 1+ 、2 将区间 [1，2]分成 n 个小区间，2在每个小区间上做一个小矩形，使矩形的左端点在抛物线 y ＝x （ 1≤ x ≤ 2）上．∴矩形的底边长都是 ． 这些矩形的高分别为1， ．可设所有这些矩形面积的总和为T n ． 则Tn ．＝＝＝（2n ﹣1） 2]＝18 页）第14 页（共＝＝＝．∴．【点评】本题第（1）题主要考查理解对区间进行分割求和求极限法去求曲边矩形的面积；档中第（2）题是模仿题干的分割法自己去分割求和求极限求出曲边矩形的面积；本题属题．*n∈N，点都在的图象20．设数列{ an}的前n 项和为Sn，对一切上．*1）；（1）证明：当n≥2，n∈N 时， a n+an﹣1＝2（2n﹣（2）求数列{ a n} 的通项公式；*n∈N （3）设T n 为数列前n 项积，若不等式对一切恒成立，求实数 a 的取值范围．【分析】（1）利用数列的通项公式和求和公式的关系可以证明；；（2）利用等差数列的通项公式可得结果*）对一切n∈N （3）化简不等式得（ 1﹣都成立．设g（n）＝，则只需|g（n）|max ，判断g（n）的单调性，即可得到最大值，再解不等式，即可得到 a 的范围．*【解答】解：（1）证明：对一切n∈N，点都在的图象上．2∴＝n+ ，化为：S n＝n + an．* 21）+ an﹣1．当n≥2， n∈N 时， S n＝（ n﹣相减可得：an＝2n﹣1+ an﹣a n﹣1．∴a n+an﹣1＝2（ 2n﹣1）．（2）由（ 1）可得a n+1+a n＝4n+2，a n+2+a n+1＝4n+6，18 页）第15 页（共相减可得an+2﹣a n＝4，又a1＝2，a2＝4，则{a n} 奇数项与偶数项分别成等差数列，当n 取奇数时，a n＝2n，当n 取偶数时，a n＝2n，故a n＝2n；（3）因为，故，所以＝，又f（ a）﹣＝a+ ＝a﹣＞（1﹣）对一切n∈N *都成立．设g（n）＝，则只需|g（n）|max ，由于＝＜1，所以g（n+1）＜ g（n），故g（n）是单调减函数，于是．令，即，解得 a ．【点评】本题考查数列的通项和求和的关系，考查等差数列的通项公式的运用，同时考查不等式恒成立问题，注意运用数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．定义向量＝（a，b）的“相伴函数”为f（x）＝asin x+ bcosx，函数f（x）＝asinx+ bcosx 的“相伴向量”为＝（a，b）（其中O 为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．第16 页（共18 页）（1）设g（x）＝ 3sin（x+ ）+4sinx，求证：g（x）∈S；（2）已知h（x）＝ cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；2 22）＝1 上一点，向量的“相伴函数” fC：（x﹣（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆+y（x）在x＝x0 处取得最大值．当点M 在圆C上运动时，求tan2x0 的取值范围．【分析】（1）先利用诱导公式对其化简，再结合定义即可得到证明；（2）先根据定义求出其相伴向量，再代入模长计算公式即可；变量x0；再结合几何意义求出的自（3）先根据定义得到函数f（x）取得最大值时对应的范围，最后利用二倍角的正切公式即可得到结论．【解答】解：（1）g（x）＝ 3sin（x+ ） +4sinx＝4sinx+3cosx，其‘相伴向量’＝（ 4，3），g（x）∈S．（2）h（x）＝ cos（x+α）+2cosx＝（ cosxcosα﹣s inxsinα）+2cosxs inαsinx+（cosα+2）cosx＝﹣∴函数h（x）的‘相伴向量’＝（﹣s inα，cosα+2）．则||＝＝．（3）的‘相伴函数’f（x）＝ asinx+bcosx＝sin（x+φ），其中cosφ＝，sinφ＝．φ，k∈Z．当x+φ＝2kπ+ ， k∈Z 时， f（ x）取到最大值，故x0＝2kπ+﹣∴tanx0＝tan（2kπ+﹣φ）＝ cotφ＝，tan2x0＝＝＝．， 0）∪（0，]．为直线OM 的斜率，由几何意义知：∈[﹣令m＝，则t an2x0＝，m∈[﹣，0）∪（ 0，}．第17 页（共18 页）WORD 格式专业资料整理 当﹣≤ m ＜0 时，函数 tan2x0＝ 单调递减，∴0＜tan2x0≤ ； 当 0＜m ≤ 时，函数 tan2x 0＝ 单调递减，∴﹣ ≤ tan2x 0＜0． 综上所述， tan2x 0∈[﹣，0）∪（ 0， ]．【点评】本题主要在新定义下考查平面向量的基本运算性质以及三角函数的有关知识．是 对基础知识的综合考查，需要有比较扎实的基本功．第 18 页（共18 页）。
上海市上海中学2017-2018学年高二下学期期末数学试题(逐题详解版)
2018年上海中学高二下期末数学试卷一、填空题（36分）：1. 关于x 的方程222424x x C C =的解为_________. 2. 从总体中抽取一个样本是5，6，7，8，9，则总体方差的估计值是____________.3. 5(31)x -展开式中，设各项的系数和为a ，各项的二项式系数和为b ，则a b=________. 4. 从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为_______.5. 从编号为0，1，2，…，7980件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为___6. 如果三个球的表面积之比是1:2:3，那么它们的体积之比是__________．7. 北纬45︒圈上有A ，B 两点，该纬度圈上劣弧AB R （R 为地球半径），则A ，B 两点的球面距离为________.8. 一个口袋中装有2个白球和3个红球，每次从袋中摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖，则中奖的概率为_________．9. 设n A 为1(1)n x ++的展开式中含1n x -项的系数，n B 为1(1)n x -+的展开式中二项式系数的和，则能使n n A B ≥成立的n 的最大值是________．10. 将4个不同的小球任意放入3个不同的盒子中，则每个盒子中至少有1个小球的概率为________． 11. 若对于任意实数x ，都有1021001210(2)(2)(2)x a a x a x a x =+++++++，则3a 的值为_________. 12. 校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有__________种．（用数学作答）二、选择题（16分）：13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A. 43π+B. 23π+C. 43π+D. 423π+ 14. 设A ，B ，C 是三个事件，给出下列四个事件：（Ⅰ）A ，B ，C 中至少有一个发生；（Ⅱ）A ，B ，C 中最多有一个发生；（Ⅲ）A ，B ，C 中至少有两个发生；（Ⅳ）A ，B ，C 最多有两个发生；其中相互为对立事件的是（ ）A. Ⅰ和ⅡB. Ⅱ和ⅢC. Ⅲ和ⅣD. Ⅳ和Ⅰ 15. 由曲线24x y =，24x y =-，4x =，4x =-围成图形绕y 轴旋转一周所得为旋转体的体积为1V ，满足2216x y +≤，22(2)4x y +-≥，22(2)4x y ++≥的点(,)x y 组成的图形绕y 轴旋一周所得旋转体的体积为2V ，则（ ） A. 1212V V = B. 1223V V = C. 12V V = D. 122V V =16. a ，b 为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴选择，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最大值为60°；其中正确的是_______.（填写所以正确结论的编号）.A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④三、解答题（48分）17. 已知矩形ABCD 内接于圆柱下底面的圆O ，PA 是圆柱的母线，若6AB =，8AD =，异面直线PB 与CD 所成的角为2arctan ，求此圆柱的体积.18. 求二项式500(12)x +的展开式中项系数最大的项的系数.19. 如图，弧AEC 是半径为r 的半圆，AC 为直径，点E 为弧AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，线段ED 与弧EC 交于点G ，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，2FC r =.（1）求异面直线ED 与FC 所成角的大小；（2）将FCG ∆（及其内部）绕FC 所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积.20. 老况、老王、老顾、小周、小郭和两位王女士共7人要排成一排拍散伙纪念照.（1）若两位王女士必须相邻，则共有多少种排队种数？（2）若老王与老况不能相邻，则共有多少种排队种数？（3）若两位王女士必须相邻，若老王与老况不能相邻，小郭与小周不能相邻，则共有多少种排队种数？21. 在一个圆锥内作一个内接等边圆柱（一个底面在圆锥的底面上，且轴截面是正方形的圆柱），再在等边圆柱的上底面截得的小圆锥内做一个内接等边圆柱，这样无限的做下去.（1）证明这些等边圆柱的体积从大到小排成一个等比数列；（2）已知这些等边圆柱的体积之和为原来圆锥体积的37，求最大的等边圆柱的体积与圆锥的体积之比.2018年上海中学高二下期末数学试卷一、填空题（36分）：1. 关于x 的方程222424x x C C =的解为_________. 【答案】0或2或4【解析】【分析】因为222424x x C C =，所以：22x x =或2224x x +=，解方程可得． 【详解】解：因为222424x x C C =， 所以：22x x =或2224x x +=，解得：0x =，2x =，4x =，6x =-（舍）故答案为：0或2或4【点睛】本题考查了组合及组合数公式．属于基础题．2. 从总体中抽取一个样本是5，6，7，8，9，则总体方差的估计值是____________.【答案】2【解析】【分析】先求出样本平均数，由此能求出样本方差，由此能求出总体方差的估计值．【详解】解：从总体中抽取一个样本是5，6，7，8，9， 样本平均数为1(56789)75x =++++=， ∴样本方差2222221[(57)(67)(77)(87)(97)]25S =-+-+-+-+-=， ∴总体方差的估计值是2．故答案为：2．【点睛】本题考查总体方差的估计值的求法，考查平均数、总体方差等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．3. 5(31)x -的展开式中，设各项的系数和为a ，各项的二项式系数和为b ，则a b=________. 【答案】1【解析】【分析】分别求得各项系数和a 与各项的二项式系数和b ，从而求得a b的值． 【详解】解：在5(31)x -的展开式中，令1x =可得设各项的系数和为5232a ==，而各项的二项式系数和为5232b ==， ∴1a b=， 故答案为：1．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意各项系数和与各项的二项式系数和的区别，属于基础题． 4. 从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为_______. 【答案】12【解析】试题分析：这是的道古典概率题，其基本事件有()()()()2,3,5,2,3,6,2,5,6,3,5,6共4个，由于是任意选取的，所以每个基本事件发生的可能性是相等的，记事件A 为“所选三条线段能构成三角形”，则事件A 包含()()2,5,6,3,5,62个基本事件，根据概率公式得：()2142P A ==． 考点：古典概率的计算5. 从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为___【答案】76【解析】【分析】确定系统抽样间隔16k =，根据样本中含编号为28的产品，即可求解，得到答案． 【详解】由系统抽样知，抽样间隔80165k ==， 因为样本中含编号为28的产品，则与之相邻的产品编号为12和44，故所取出的5个编号依次为12，28，44，60，76，即最大编号为76．【点睛】本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的方法，确定好抽样的间隔是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6. 如果三个球的表面积之比是1:2:3，那么它们的体积之比是__________．【答案】1:【解析】∵三个球的表面积之比是1:2:3，∴三个球的半径之比是∴三个球的体积之比是1:7. 北纬45︒圈上有A ，B 两点，该纬度圈上劣弧AB R （R 为地球半径），则A ，B 两点的球面距离为________. 【答案】3R π 【解析】【分析】先求出北纬45︒圈所在圆的半径，是A 、B 两地在北纬45︒圈上对应的圆心角，得到线段AB 的长，设地球的中心为O ，解三角形求出AOB ∠的大小，利用弧长公式求A 、B 这两地的球面距离．【详解】解：北纬45︒圈所在圆的半径为2R (R R 为地球半径），∴(R θθ=是A 、B 两地在北纬45︒圈上对应的圆心角）， 故2πθ=，∴线段AB R =，3AOB π∴∠=，A ∴、B 这两地的球面距离是3R π， 故答案为：3R π． 【点睛】本题考查球的有关经纬度知识，球面距离，弧长公式，考查空间想象能力，逻辑思维能力，属于基础题．8. 一个口袋中装有2个白球和3个红球，每次从袋中摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖，则中奖的概率为_________． 【答案】25【解析】试题分析：口袋中五个球分别记为1,2,,,a b c 从中摸出两球的方法有：1,2;1,;1,;1,;2,;2,;2,;,;,;,a b c a b c a b a c b c 共10种，其中颜色相同的有1,2;,;,;,a b a c b c 共四种，有古典概率的求法可知42105P ==． 考点：古典概率的求法．9. 设n A 为1(1)n x ++的展开式中含1n x -项的系数，n B 为1(1)n x -+的展开式中二项式系数的和，则能使n n A B ≥成立的n 的最大值是________．【答案】4【解析】【分析】由题意可得，A n ＝11n n C -+＝21n C +，12n n B -=，若使得A n ≥B n ，即n （n+1）≥2n ，可求n .【详解】∵（1+x ）n+1的展开式的通项为T r+11r r n C x +=，由题意可得，A n ＝11n n C -+＝21n C +，又∵n B 为1(1)n x -+的展开式中二项式系数的和，∴12n n B -=， ∵A n ≥B n ，∴2112n n C -+，即n （n+1）≥2n当n ＝1时，1×2≥2，满足题意；当n ＝2时，2×3≥22，满足题意；当n ＝3时，3×4≥23，满足题意；当n ＝4时，4×5≥24，满足题意；当n ＝5时，5×6＜25，不满足题意，且由于指数函数比二次函数增加的快，故当n≥5时，n （n+1）＜2n ，∴n ＝4. 故答案为4【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式的应用，二项展开式的性质应用及不等式、指数函数与二次函数的增加速度的快慢的应用，属于中档题．10. 将4个不同的小球任意放入3个不同的盒子中，则每个盒子中至少有1个小球的概率为________． 【答案】49【解析】试题分析：将4个不同的小球任意放入3个不同的盒子中，每个小球有3种不同的放法，共有4381＝种放法，每个盒子中至少有1个小球的放法有12234236C C C =种，故所求的概率P =3681=49. 考点：1、排列组合；2、随机变量的概率.11. 若对于任意实数x ，都有1021001210(2)(2)(2)xa a x a x a x =+++++++，则3a 的值为_________.【答案】15360-【解析】【分析】 根据题意，分析可得1010[(2)2]x x =+-，求出其展开式，可得3a 为其展开式中含3(2)x +项的系数，由二项式定理求出3(2)x +项，分析可得答案．【详解】解：根据题意，1010[(2)2]x x =+-，其展开式的通项为10110(2)(2)r r r r T C x -+=+⨯-， 又由1021001210(2)(2)(2)x a a x a x a x =+++++⋯++，则3a 为其展开式中含3(2)x +项的系数，令7r =可得：7373810(2)(2)15360(2)T C x x =+⨯-=-+； 即315360a =-；故答案为：15360-．【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意二项式定理的形式，属于基础题．12. 校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有__________种．（用数学作答）【答案】528【解析】(1)当三辆车都不相邻时有3348192A ⨯=(种)(2)当两辆车相邻时有33333333333424242434288A A A A A ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(种)(3)当三辆车相邻时有334248A ⨯=(种)则共有19228848528++=(种)点睛：本题考查了排列组合问题，由于本题里是三辆车有六个位置，所以情况较多，需要逐一列举出来，注意当三辆车都不相邻时的情况要考虑周全，容易漏掉一些情况，然后利用排列组合进行计算即可．二、选择题（16分）：13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A. 43π+B. 23π+C. 43π+D. 423π+ 【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是半个圆柱和以圆柱轴截面为底面的四棱锥组成的组合体，其中半圆柱底面半径为1，高为2，体积为21122ππ⨯⨯⨯=，四棱锥体积为144133⨯⨯=，所以该几何体体积为43π+，故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.14. 设A ，B ，C 是三个事件，给出下列四个事件： （Ⅰ）A ，B ，C 中至少有一个发生；（Ⅱ）A ，B ，C 中最多有一个发生；（Ⅲ）A ，B ，C 中至少有两个发生；（Ⅳ）A ，B ，C 最多有两个发生；其中相互为对立事件的是（ ）A. Ⅰ和ⅡB. Ⅱ和ⅢC. Ⅲ和ⅣD. Ⅳ和Ⅰ 【答案】B【解析】【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．【详解】解：A ，B ，C 是三个事件，给出下列四个事件： （Ⅰ）A ，B ，C 中至少有一个发生； （Ⅱ）A ，B ，C 中最多有一个发生； （Ⅲ）A ，B ，C 中至少有两个发生 （Ⅳ）A ，B ，C 最多有两个发生；在A 中，Ⅰ和Ⅱ能同时发生，不是互斥事件，故A 中的两个事件不能相互为对立事件； 在B 中，Ⅱ和Ⅲ既不能同时发生，也不能同时不发生，故B 中的两个事件相互为对立事件； 在C 中，Ⅲ和Ⅳ能同时发生，不是互斥事件，故C 中的两个事件不能相互为对立事件； 在D 中，Ⅳ和Ⅰ能同时发生，不是互斥事件，故D 中的两个事件不能相互为对立事件． 故选：B ．【点睛】本题考查相互为对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．15. 由曲线24x y =，24x y =-，4x =，4x =-围成图形绕y 轴旋转一周所得为旋转体的体积为1V ，满足2216x y +≤，22(2)4x y +-≥，22(2)4x y ++≥的点(,)x y 组成的图形绕y 轴旋一周所得旋转体的体积为2V ，则（ ） A. 1212V V =B. 1223V V =C. 12V V =D. 122V V =【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为||y ，求出所得截面的面积相等，利用祖暅原理知，两个几何体体积相等． 【详解】解：如图，两图形绕y 轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为||y ，所得截面面积21(44||)S y π=-，22222(4)[4(2||)](44||)S y y y πππ=----=-12S S ∴=，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，故选：C ．【点睛】本题主要考查祖暅原理的应用，求旋转体的体积的方法，体现了等价转化、数形结合的数学思想，属于基础题．16. a ，b 为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴选择，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°；其中正确的是_______.（填写所以正确结论的编号）. A. ①③ B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C 【解析】 【分析】由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，||1AC =，||2AB =斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 【详解】解：由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图， 不妨设图中所示正方体边长为1， 故||1AC =，||2AB =斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴， 建立空间直角坐标系，则(1D ，0，0)，(0A ，0，1)，直线a 的方向单位向量(0a =，1，0)，||1a =， 直线b 的方向单位向量(1b =，0，0)，1b ||=，设B 点在运动过程中的坐标中的坐标(cos B θ'，sin θ，0)， 其中θ为B C '与CD 的夹角，[0θ∈，2)π，AB ∴'在运动过程中的向量，(cos AB θ'=，sin θ，1)-，||2AB '=，设AB '与a 所成夹角为[0α∈，]2π，则2cos |||sin |[012αθ==∈⨯，2]， [4πα∴∈，]2π，∴③正确，④错误．设AB '与b 所成夹角为[0β∈，]2π，2cos |||cos |12βθ==⨯， 当AB '与a 夹角为60︒时，即3πα=，22|sin |cos 2cos 3πθα===， 22cos sin 1θθ+=，21cos |cos |22βθ∴==， [0β∈，]2π，3πβ∴=，此时AB '与b 的夹角为60︒，∴②正确，①错误．故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．三、解答题（48分）17. 已知矩形ABCD 内接于圆柱下底面的圆O ，PA 是圆柱的母线，若6AB =，8AD =，异面直线PB 与CD 所成的角为2arctan ，求此圆柱的体积.【答案】300π 【解析】【分析】根据底面圆的内接矩形的长和宽求出圆的半径，再由母线垂直于底面和“异面直线PB 与CD 所成的角为2arctan ”求出母线长，代入圆柱的体积公式求出值．【详解】解：设圆柱下底面圆O 的半径为r ，连AC ，由矩形ABCD 内接于圆O ， 可知AC 是圆O 的直径，∴2226810r AC ==+=，得=5r ，由//AB CD ，可知PBA ∠就是异面直线PB 与CD 所成的角，即arctan2PBA ∠=， tan 2PBA ∴∠=．在直角三角形PAB 中，tan 12PA AB PBA =∠=，∴圆柱的体积22512300V r PA πππ==⨯⨯=．【点睛】本题考查了圆柱的体积求法，主要根据圆内接矩形的性质、母线垂直于底面圆求出它的底面圆半径和母线，即关键求出半径和母线长即可．18. 求二项式500(12)x +的展开式中项系数最大的项的系数.【答案】3333335002C ⋅或3343345002C ⋅【解析】 【分析】根据题意，求出500(12)x +的展开式的通项，求出其系数，设第1r +项的系数最大，则有11500500115005002222r r r r r r r r C C C C --++⎧⎨⎩，解可得r 的值，代入通项中计算可得答案．【详解】解：根据题意，500(12)x +的展开式的通项为1500(2)rr r T C x +=，其系数为5002r r C ⨯，设第1r +项的系数最大，则有11500500115005002222r r r r r r r r C C C C --++⎧⎨⎩， 即11500499(5001)500499(5002)22!(1)!500499(5001)500499(500)22!(1)!r r r r r r r r r r r r -+⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-+⎧⎪-⎪⎨⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-⎪⎪+⎩解可得：333334r ，故当333r =或334r =时，展开式中项系数最大，则有4334334333355002T C x =，3333333333345002T C x =； 即系数最大的项的系数为3335003332C 或4335004332C ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意项的系数与二项式系数的区别，属于基础题．19. 如图，弧AEC 是半径为r 的半圆，AC 为直径，点E 为弧AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，线段ED 与弧EC 交于点G ，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，2FC r =.（1）求异面直线ED 与FC 所成角的大小；（2）将FCG ∆（及其内部）绕FC 所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积.【答案】（1）90︒；（2）3415r π； 【解析】 【分析】（1）由FC ⊥平面BED ，利用线面垂直的性质定理可得FC ED ⊥，即可得到异面直线ED 与FC 所成角的大小为90︒．（2）连接GC ，在BGC ∆中，利用余弦定理得：2222222cos 5CG r r r CBG r =+-∠=，由题设知，所得几何体为圆锥，分别计算其其底面积及高为F ，即可得到该圆锥的体积V ． 【详解】解：（1）FC ⊥平面BED ，ED ⊂平面BED ，FC ED ∴⊥，∴异面直线ED 与FC 所成角的大小为90︒．（2）连接GC ，在BGC ∆中，由余弦定理得： 2222222cos 5CG r r r CBG r =+-∠=，由题设知，所得几何体为圆锥，其底面积为2225CG r ππ=，高为2FC r =．该圆锥的体积为2312423515V r r r ππ=⨯⨯=．【点睛】熟练掌握线面垂直的性质定理、余弦定理、圆锥的体积计算公式是解题的关键． 20. 老况、老王、老顾、小周、小郭和两位王女士共7人要排成一排拍散伙纪念照. （1）若两位王女士必须相邻，则共有多少种排队种数？ （2）若老王与老况不能相邻，则共有多少种排队种数？（3）若两位王女士必须相邻，若老王与老况不能相邻，小郭与小周不能相邻，则共有多少种排队种数？【答案】（1）26261440A A =；（2）52563600A A =；（3）2222352116720C A A A A =； 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法即可求出， （2）利用插空法即可求出， （3）利用捆绑和插空法，即可求出．【详解】解：（1）首先把两位女士捆绑在一起看做一个符合元素，和另外5人全排列，故有26261440A A =种，（2）将老王与老况插入另外5人全排列所形成的6个空的两个，故有52563600A A =种，（3）先安排老王与老况，在形成的3个空中选2个插入小郭与小周，在形成的5个空中选1个插入老顾，最后将两位女士捆绑在一起看做一个符合元素，选1个位置插入到其余5人形成的6个空中故有2222352116720C A A A A =种． 【点睛】本题考查了简单的排列组合，考查了相邻问题和不相邻问题，属于中档题.21. 在一个圆锥内作一个内接等边圆柱（一个底面在圆锥的底面上，且轴截面是正方形的圆柱），再在等边圆柱的上底面截得的小圆锥内做一个内接等边圆柱，这样无限的做下去.（1）证明这些等边圆柱的体积从大到小排成一个等比数列； （2）已知这些等边圆柱的体积之和为原来圆锥体积的37，求最大的等边圆柱的体积与圆锥的体积之比. 【答案】（1）证明见解析；（2）38【解析】 【分析】（1）求出第一个等边圆柱的体积，设第n 个等边圆柱的底面半径为a ，其外接圆锥的底面半径为r ，高为h ，则其体积3322()2n rh V a r hππ==+，进一步求得第1n +个等边圆柱的体积，作比可得这些等边圆柱的体积从大到小排成一个等比数列；（2）由这些等边圆柱的体积之和为原来圆锥体积的37可得r 与h 的关系，则答案可求． 【详解】（1）证明：如图，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，内接等边圆柱的底面半径为a ， 则由三角形相似可得：2a r a h r -=，可得2rha r h=+． 其体积233222()2rh V a a a r hπππ===+． 设第n 个等边圆柱的底面半径为a ，其外接圆锥的底面半径为r ，高为h ，则其体积3322()2n rh V a r hππ==+，再设第1n +个等边圆柱的底面半径为b ，则其外接圆锥的底面半径为2rha r h=+， 高为22ah h r r h=+， 则第1n +个等边圆柱的体积223331222222()()2(2)22n rh h rh r h r h V b rh h r h r h r hππ+++===++++． ∴31()2n n V h V r h+=+为定值， 则这些等边圆柱的体积从大到小排成一个以312()2rh V r h π=+为首项，以3()2h r h+为公比的等比数列； （2）解：原来圆锥的体积为213r h π，这些等边圆柱的体积之和为32312232()214631()2rh V r h r h h q r rh h r hππ+==-++-+． 由232223146373r h r h r rh hππ=++，得222320r rh h +-=， 2h r ∴=．则最大的等边圆柱的体积为34r π，圆锥的体积为323r π，体积之比为38．【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积的求法，考查等比数列的确定及所有项和公式的应用，是中档题．。
2017学年第二学期上海市七宝中学高二期末考试数学试题
2017学年第二学期七宝中学高二期末考试数学试题一、填空题1.将三份录取通知书投入四个邮筒共有_______种不同的投递方式。
2.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为____。
3.已知空间向量，如(21,3,0),(1,,3)(,)a x x b y y x y R =+=-∈果存在实数λ使得a b λ=成立，则x y +=_______.4.在6(2)x x+展开式中，常数项为_______。
（用数字作答） 5.从一堆苹果中任取6个，称得它们的质量如下（单位：克）：125，124，121，123，127，则该样本标准差s =______克。
6，在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科，3门文科）中选择3门参加等级考试，小李同学受理想中的大学专业所限，决定至少选择一门理科学科，那么小李同学的选科方案有____种。
7.若在1()n x x-展开式中，若奇数项的系数之和为32，则含4x 的系数是______。
8，已知实数,x y 满足不等式组340210380x y x y x y -+≥+-≥+-≤，若目标函数z x ay =+恰好仅在点(2,2)处取得最大值，则实数a 的取值范围为_______.9.在9()a b c ++的展开式中，含432a b c 项的系数为______（用数字作答）10．已知,x y 满足组合数方程21717x yC C =，则xy 的最大值是_______.11.设集合{1,2,3,4,5}I =，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有______种。
12．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2,2,,EC c AB BC AC CD a a c =+=+=且其中,为常数，则四面体ABCD 的体积最大值是_______.二、选择题13．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．2π+11111左视图主视图B．4π+ C．2π+D．43π+14．从2018名学生志愿者中选取50名学生参加活动，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样从2018人中剔除18人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2018人中，每人入选的概率（ ）A ．不全相等 B.均不相等 C ．都相等，且为140 D.都相等，且为25100915．为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、第二组、……，第五组，右图是根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）A ．6 B. 8 C.12 D.1816.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，期中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也；又以高乘之。
精品解析：上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题(解析版)
平面 A1BD1 的距离
【详解】以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
则 A(1, 0, 0), A1(1, 0, 2), B(1,1, 0), D1(0, 0, 2) ,
所以 BA1 (0, 1, 2), BD1 (1, 1, 2), BA (0, 1, 0) ，
设 AB ' 与 a 所成夹角为 α∈[0， 2 ]，
cos，，sin， ，10 1 0
a
AB '
则 cosα
2
2
|sinθ|∈[0，
2 2 ]，
∴α∈[ 4 ， 2 ]，∴③正确，④错误．
设 AB ' 与 b 所成夹角为 β∈[0， 2 ]，
AB 'b cos，s，in， 1，1 0 0
考点：线面垂直的判定. 12.a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 30°角； ②当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 60°角； ③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45°； ④直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60°. 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）
①在 5 人中任选 2 人，抢两个 2 元的红包，有 C52 10 种情况； ②经剩下的 2 个红包分给剩下的 3 人中的 2 个人，有 A32 6 种情况， 由分步计数原理可得，共有10 6 60 种不同的情况．
故答案为：60. 【点睛】本题主要考查了排列、组合及计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理分类是解答的关键， 着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
2017-2018学年上海市闵行区七宝中学高二(下)期末数学试卷
2017-2018学年上海市闵行区七宝中学高二（下）期末数学试卷一、填空题1．（5分）将三份录取通知书投入四个邮筒共有种不同的投递方式．2．（5分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为．3．（5分）已知空间向量，如=（2x+1，3x，0），=（1，y，y﹣3）（x，y∈R）果存在实数λ使得=λ成立，则x+y=．4．（5分）二项式的展开式的常数项为．5．（5分）从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127则该样本标准差s=（克）（用数字作答）．6．（5分）在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科，3门文科）中选择3门参加等级考试，小李同学受理想中的大学专业所限，决定至少选择一门理科学科，那么小李同学的选科方案有种．7．（5分）若在展开式中，若奇数项的系数之和为32，则含x4的系数是．8．（5分）已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=x+ay恰好仅在点（2，2）处取得最大值，则实数a的取值范围为．9．（5分）在（a+b+c）9的展开式中，含a4b3c2项的系数为（用数字作答）10．（5分）已知x，y满足组合数方程，则xy的最大值是．11．（5分）集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中的最小数大于A中的最大数，则不同的选择方法有种．12．（5分）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是．二、选择题13．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．14．（5分）从2018名学生志愿者中选取50名学生参加活动，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样从2018人中剔除18人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2018人中，每人入选的概率（）A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为D．都相等，且为15．（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6 B．8 C．12 D．1816．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C． D．三、解答题17．（14分）毕业季有6位好友欲合影留念，现排成一排，如果：（1）A、B两人不排在一起，有几种排法？（2）A、B两人必须排在一起，有几种排法？（3）A不在排头，B不在排尾，有几种排法？18．（14分）已知在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．（1）求正整数n的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中系数最大的项；19．（14分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．20．（14分）将4个不同的红球和6个不同的白球放入同一个袋中，现从中取出4个球．（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法；（2）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球的总分不少于5分，则有多少种不同的取法；（3）若将取出的4个球放入一箱子中，记“从箱子中任意取出2个球，然后放回箱子中”为一次操作，如果操作三次，求恰有一次取到2个红球且有一次取到2个白球的概率．21．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以AC的中心O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N．（1）求证：AM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成角的大小；（3）求点N到平面ACM的距离．2017-2018学年上海市闵行区七宝中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（5分）将三份录取通知书投入四个邮筒共有64种不同的投递方式．【分析】根据题意，分析可得三份录取通知书中，每份通知书有4种投放方法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，将三份录取通知书投入四个邮筒，每份通知书有4种投放方法，则3份通知书有4×4×4=64种投放方法；故答案为：64．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意题目的限制条件，属于基础题．2．（5分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为1．【分析】设出圆锥的半径与母线长，利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长得到圆锥的半径与母线长，进而能求出结果．【解答】解：设圆锥的母线长为R，底面半径为r，则：πR=2πr，∴R=2r，∵一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，∴S=πRr=2πr2=2π，解得r=1．故答案为：1．【点评】本题考查圆锥的底面半径的求法，考查圆锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．（5分）已知空间向量，如=（2x+1，3x，0），=（1，y，y﹣3）（x，y∈R）果存在实数λ使得=λ成立，则x+y=2．【分析】由=（2x+1，3x，0），=（1，y，y﹣3）（x，y∈R）存在实数λ使得=λ成立，可得，解出即可得出．【解答】解：∵=（2x+1，3x，0），=（1，y，y﹣3）（x，y∈R）存在实数λ使得=λ成立，∴，解得y=3，x=λ=﹣1，则x+y=3﹣1=2．故答案为：2．【点评】本题考查了向量共线定理、向量相等、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）二项式的展开式的常数项为60．=•26﹣r•中x的幂指数为0求得r，【分析】利用二项展开式的通项T r+1从而可求二项式的展开式的常数项．【解答】解：设二项式的展开式的通项为T r，+1=•（2x）6﹣r•=•26﹣r•，则T r+1令6﹣r=0得：r=4，∴二项式的展开式的常数项为T5=•22=15×4=60．故答案为：60．【点评】本题考查二项式定理的应用，突出考查二项展开式的通项公式，属于中档题．5．（5分）从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127则该样本标准差s=2（克）（用数字作答）．【分析】先求出这五个数的平均数，再求出方差，由此能求出这五个数的标准差．【解答】解：∵=（125+124+121+123+127）=124，∴S2=[（125﹣124）2+（124﹣124）2+（121﹣124）2+（123﹣124）2+（127﹣124）2]=4，∴S==2．故答案为：2．【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，是基础题，解题时要注意方差公式的灵活运用．6．（5分）在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科，3门文科）中选择3门参加等级考试，小李同学受理想中的大学专业所限，决定至少选择一门理科学科，那么小李同学的选科方案有19种．【分析】根据题意，用间接法分析：首先计算从6门学科任选3门的选法，再分析其中全部为文科科目、即没有理科科目的选法，分析可得答案．【解答】解：根据题意，从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科任选3门，有C63=20种选取方法，其中全部为文科科目、即没有理科科目的选法有1种，则至少选择一门理科学科的选法有20﹣1=19种；故答案为：19．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意利用间接法分析，避免分类讨论．7．（5分）若在展开式中，若奇数项的系数之和为32，则含x4的系数是﹣6．【分析】由题意利用二项式系数的性质，求出再利用二项式的通项公式，求出含x4的系数．【解答】解：在展开式中，若奇数项的系数之和为2n﹣1=32，求得n=6，=•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r=4，求得r=1，则通项公式为T r+1故含x4的系数是•（﹣1）=﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题主要考查二项式系数的性质，二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．8．（5分）已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=x+ay恰好仅在点（2，2）处取得最大值，则实数a的取值范围为（）．【分析】画出可行域，利用几何意义求最值的方法，利用直线斜率之间的关系，只需求出直线z=x+ay的斜率的取值范围即可．【解答】解：画出已知约束条件的可行域为△ABC内部（包括边界）如图，易知当a=0时，不符合题意；当a＞0时，由目标函数z=x+ay得y=﹣x+，则由题意得﹣3=k AC＜﹣＜0，故a＞．综上所述，a＞．故答案为：（，+∞）．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．由于线性规划的介入，借助于平面区域，可以研究函数的最值或最优解；借助于平面区域特性，我们还可以优化数学解题，借助于规划思想，巧妙应用平面区域，为我们的数学解题增添了活力．9．（5分）在（a+b+c）9的展开式中，含a4b3c2项的系数为1260（用数字作答）【分析】根据乘方意义，应用排列组合的知识，求出含a4b3c2项的系数．【解答】解：（a+b+c）9表示9个因式（a+b+c）的乘积，故其中有4个因式取a，3个因式取b，剩下的2个因式取c，可得含a4b3c2项，故含a4b3c2项的系数为••=1260，故答案为：1260．【点评】本题主要考查乘方意义，排列组合的知识，属于基础题．10．（5分）已知x，y满足组合数方程，则xy的最大值是128．【分析】由组合数公式的性质得2x=y，0≤x≤8或2x+y=17，从而xy=2x2∈[0，128]，或2xy≤（）2=，由此得到当2x=y=16时，xy取最大值128．【解答】解：∵x，y满足组合数方程，∴2x=y，0≤x≤8或2x+y=17，∴xy=2x2∈[0，128]，或2xy≤（）2=，即xy≤．综上，当2x=y=16时，xy取最大值128．故答案为：128．【点评】本题考查两数积的最大值的求法，考查组合数公式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11．（5分）集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中的最小数大于A中的最大数，则不同的选择方法有49种．【分析】根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，按A、B中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．【解答】解：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1一个元素一组、2个元素一组，有两种分法，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1个元素一组、3三个元素一组；2个元素一组、2个元素一组；3个元素一组、1一个元素一组，共三种分法，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1个元素一组、4个元素一组；2个元素一组、3个元素一组；3个元素一组、2个元素一组；4个元素一组、1两个元素一组组，有四种分法，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法．故答案为：49【点评】本题考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是理解题意，能够看懂使B中的最小数大于A中的最大数的意义，本题是一个难题也是一个易错题，需要认真解答．12．（5分）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是．【分析】作BE⊥AD于E，连接CE，说明B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，BE=CE．取BC中点F，推出四面体ABCD的体积的最大值，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可．【解答】解：作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，AB+BD=AC+CD=2a，显然△ABD≌△ACD，所以BE=CE．取BC中点F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，要求四面体ABCD的体积的最大值，因为AD 是定值，只需三角形EBC的面积最大，因为BC是定值，所以只需EF最大即可，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a，∴AB=a，所以EB=，EF=，所以几何体的体积为：×=．故答案为：．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力．二、选择题13．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】由三视图判断空间几何体是由下圆柱和上四棱锥组成，并根据三视图求出圆柱的半径和高，四棱锥的边长和高，代入对应的体积公式分别求解，最后再和在一起．【解答】解：由三视图得，该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的，并且圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为，高为，体积为=，所以该几何体的体积为2π+．故选：C．【点评】本题的考点是由三视图求几何体的体积，需要由三视图判断空间几何体的结构特征，并根据三视图求出每个几何体中几何元素的长度，代入对应的体积公式分别求解，考查了空间想象能力．14．（5分）从2018名学生志愿者中选取50名学生参加活动，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样从2018人中剔除18人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2018人中，每人入选的概率（）A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为D．都相等，且为【分析】根据简单随机抽样与系统抽样方法的定义，结合概率的意义，即可判断每个人入选的概率是多少．【解答】解：∵在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，∴每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是选中，这两个过程是相互独立的，∴每人入选的概率p==，故选：D．【点评】本题考查了简单随机抽样与系统抽样方法的应用问题，也考查了概率的意义问题，是基础题目．15．（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6 B．8 C．12 D．18【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人．故选：C．【点评】本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题．16．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C． D．【分析】根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．三、解答题17．（14分）毕业季有6位好友欲合影留念，现排成一排，如果：（1）A、B两人不排在一起，有几种排法？（2）A、B两人必须排在一起，有几种排法？（3）A不在排头，B不在排尾，有几种排法？【分析】（1）利用插空法即可求出；（2）利用捆绑法即可求出，；（3）根据题意，分2种情况讨论：①若A在排尾，②若A不在排尾，分别求出每一种情况的排法数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：（1）将A、B两人插入到其余4人所形成的5个空中，故有A44A52=480种，（2）将A、B两人捆绑在一起看做一个复合元素和其余4人去安排了，故有A22A55=240种，（3）根据题意，分2种情况讨论：①若A在排尾，则剩下的5人全排列，故有A55=120种排法，②若A不在排尾，在A有4个位置可选，B有4个位置可选，将剩下的4人全排列，安排在其他4个位置即可，此时有C41C41A44=388种排法，则一共有120+388=508种不同的排法；【点评】本题考查排列、组合的应用，注意优先分析受到限制的元素．18．（14分）已知在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．（1）求正整数n的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中系数最大的项；【分析】（1）由等差数列的性质列式求得n=8；（2）根据二项式系数的性质，求得二项式系数最大的项；（3）由，解得2≤r≤3，结合通项公式可得第三项的系数最大．【解答】解：（1）二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列，可得2•=+•，解得n=1（舍去），或n=8；=，故第5项的二项式系数最大，此时，r=4；（2）第r+1项的二项式系数为T r+1（3）由，解得2≤r≤3．∴系数最大的项为第三项．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数、二项式的系数的定义和性质，属于中档题．19．（14分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．20．（14分）将4个不同的红球和6个不同的白球放入同一个袋中，现从中取出4个球．（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法；（2）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球的总分不少于5分，则有多少种不同的取法；（3）若将取出的4个球放入一箱子中，记“从箱子中任意取出2个球，然后放回箱子中”为一次操作，如果操作三次，求恰有一次取到2个红球且有一次取到2个白球的概率．【分析】（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有4红和3红1白两类，进而可得答案；（2）若取出4个球的总分不少于5分，则有4红和3红1白，2红2白，1红3白四类，进而可得答案；（3）求出操作三次的情况总数，及恰有一次取到2个红球且有一次取到2个白球的情况数，可得答案．【解答】解：（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有4红和3红1白两类，其中：4红有：=1种不同的取法；3红1白有：=24种不同的取法；故共有25种不同的取法；（2）若取出4个球的总分不少于5分，则有4红和3红1白，2红2白，1红3白四类，其中：4红有：=1种不同的取法；3红1白有：=24种不同的取法；2红2白有：=90种不同的取法；1红3有：=80种不同的取法；故共有195种不同的取法；（3）若将取出的4个球放入一箱子中，记“从箱子中任意取出2个球，然后放回箱子中”为一次操作，如果操作三次，共有：=144种不同情况；恰有一次取到2个红球且有一次取到2个白球共有：1+2+1+2=6种情况，故恰有一次取到2个红球且有一次取到2个白球的概率P==【点评】本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，第三问难度均大21．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以AC的中心O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N．（1）求证：AM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成角的大小；（3）求点N到平面ACM的距离．【分析】（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC．由P A⊥平面ABCD，得PA⊥CD，结合CD⊥AD，可得CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，再由线面垂直的判定可得A M⊥平面PCD；（2）先根据体积相等求出D到平面ACM的距离为h，即可求直线PC与平面ABM 所成的角；（3）先根据条件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的，设点P到平面ACM距离为h，再利用第二问的结论即可得到答案．【解答】（1）证明：依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC．∵P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，∴A M⊥平面PCD；（2）解：由（1）知，AM⊥PD，又PA=AD，则M是PD的中点可得AM=2，MC=，则AM•MC=2．=V M﹣ACD，得2h=8，设D到平面ACM的距离为h，由V D﹣ACM可求得h=，设直线CD与平面ACM所成角的大小为θ，则sinθ=，∴θ=arcsin；（3）解：由已知求得PC=6．∵AN⊥NC，由，得PN==．∴．故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的．又∵M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（2）可知所求距离为．【点评】本题考查直线与平面所成的角，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．。
2017-2018年上海市宝山区高二第二学期期末数学试卷〔精品解析版〕
2017-2018学年上海市宝山区高二第二学期期末数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．（4分）在复数范围内，方程x2+x+1＝0的根是．2．（4分）若直线l经过点A（﹣1，1），且一个法向量为＝（3，3），则直线方程是．3．（4分）行列式的第2行第3列元素的代数余子式M23的值为．4．（4分）在直角△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，D为斜边AB的中点，则＝．5．（4分）执行如图的程序框图，如果输入i＝6，则输出的S值为．6．（4分）数列{a n}中，，S2n＝a1+a2+…+a2n，则＝．7．（5分）不论k为何实数，直线y＝kx+1与曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4＝0恒有交点，则实数a的取值范围是．8．（5分）已知线段AB长为3，A、B两点到平面α的距离分别为1与2，则AB所在直线与平面α所成角的大小为．9．（5分）若|z﹣2i|+|z﹣z0|＝4表示的动点的轨迹是椭圆，则|z0|的取值范围是．10．（5分）将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么，这个大铅球的表面积是．11．（5分）设，．已知矩阵，其中A∈S1，B∈S2．那么B＝．12．（5分）一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是y＝（0≤y≤20），在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分13．（5分）下列四个命题中真命题是（）A．同垂直于一直线的两条直线互相平行B．底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D．过球面上任意两点的大圆有且只有一个14．（5分）设M＝i2+i3+i4+…+i2018，N＝i2•i3•i4…•i2018，i为虚数单位，则M与N的关系是（）A．M+N＝0B．M＜N C．M＞N D．M＝N15．（5分）设均是非零向量，且，若关于x的方程x2+||x+＝0有实根，则与的夹角的取值范围为（）A．[0，]B．[，π]C．[，]D．[，π] 16．（5分）定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列叫做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差．已知向量列是以为首项，公差的等差向量列．若向量与非零向量垂直，则＝（）A．B．C．D．三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17．（14分）已知直线l1：x+y+1＝0，l2：5x﹣y﹣1＝0，l3：3x+2y+1＝0，其中l1与l2的交点为P．（1）求点P到直线l3的距离；（2）求过点P且与直线l3的夹角为45°的直线方程．18．（14分）如图所示：在底面为直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，E、F分别为SA、SC的中点．如果AB＝BC＝2，AD＝1，SB与底面ABCD成60°角．（1）求异面直线EF与CD所成角的大小（用反三角形式表示）；（2）求点D到平面SBC的距离．19．（14分）在中国绿化基金会的支持下，库布齐沙漠得到有效治理.2017年底沙漠的绿化率已达30%，从2018年开始，每年将出现这样的情况，上一年底沙漠面积的16%被栽上树改造为绿洲，而同时，上一年底绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠．（1）设库布齐沙漠面积为1，由绿洲面积和沙漠面积构成，2017年底绿洲面积为a1＝，经过1年绿洲面积为a2，经过n年绿洲面积为a n+1，试用a n表示a n+1；（2）问至少需要经过多少年的努力才能使库布齐沙漠的绿洲面积超过60%（年数取整数）．20．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知直角坐标平面上的点P n（n，）均在函数y＝x的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若已知点M（1，0），A n＝（2，a n）、B＝（2﹣b n，1）为直角坐标平面上的点，且有，求数列{b n}的通项公式；（3）在（2）的条件下，若使≤0对于任意n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．21．（18分）已知O是平面直角坐标系的原点，双曲线Γ：＝1．（1）过双曲线Γ的右焦点F1作x轴的垂线，交Γ于A、B两点，求线段AB的长；（2）设M为Γ的右顶点，P为Γ右支上任意一点，已知点T的坐标为（t，0），当|PT|的最小值为|MT|时，求t的取值范围；（3）设直线y＝x﹣2与Γ的右支交于A，B两点，若双曲线右支上存在点C使得，求实数m的值和点C的坐标．2017-2018学年上海市宝山区高二第二学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．【考点】51：函数的零点．【解答】解：∵x2+x+1＝0∴＝故答案为：【点评】本题主要考查了一元二次实系数方程的根的求解，解题的关键是i2＝﹣1的应用2．【考点】IB：直线的点斜式方程；MC：直线的方向向量、空间直线的向量参数方程．【解答】解：设直线的方向向量∵直线l一个法向量为＝（3，3）∴∴k＝﹣1∵直线l经过点A（﹣1，1）∴直线l的方程为y﹣1＝（﹣1）×（x+1）即x+y＝0故答案为x+y＝0【点评】本题主要考查直线方向向量的概念．解题的关键是要根据直线方向向量的概念设出方向向量而k即为直线l的斜率然后根据法向量为＝（3，3）求出斜率k．3．【考点】OM：二阶行列式的定义．【解答】解：行列式的第2行第3列元素的代数余子式：M23＝（﹣1）2+3D23＝﹣＝﹣（8+3）＝﹣11．故答案为：﹣11．【点评】本题考查行列式的代数余子式的求法，考查代数余子式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2．∵D为斜边AB的中点，∴CD＝AB＝1，∠CDA＝180°﹣30°﹣30°＝120°．∴＝2×1×cos120°＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，考查含有30°角的直角三角形的性质，是一个基础题．5．【考点】EF：程序框图．【解答】解：由程序框图知：程序第一次运行S＝0+1＝1，n＝1+1＝2；第二次运行S＝1+2＝3，n＝2+1＝3；第三次运行S＝1+2+3＝6，n＝3+1＝4；…直到n＝7时，不满足条件n≤6，程序运行终止，输出S＝1+2+3+…+6＝21．故答案为：21．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．6．【考点】6F：极限及其运算；8E：数列的求和．【解答】解：∵∴当数列的项数为2n时，奇数项和偶数都是n项，∴奇数项和s1＝a1+a3+a5+…+a2n﹣1＝＝＝偶数项和s2＝a2+a4+…+a2n＝﹣2（）＝﹣2×＝﹣（1﹣）∴s 2n＝s1+s2＝（1﹣），则s2n＝故答案为：【点评】由通项公式的特点将该数列分成两个等比数列，然后分别求和，也成为分组求和法，即把非特殊数列的求和问题化为等差（等比）数列的求和问题．7．【考点】J5：点与圆的位置关系；J9：直线与圆的位置关系；JE：直线和圆的方程的应用．【解答】解：直线y＝kx+1恒过（0，1）点的直线系，曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4＝0表示圆圆心（a，0），半径为：），直线与曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4＝0恒有交点，必须定点在圆上或圆内，即：所以，﹣1≤a≤3故答案为：﹣1≤a≤3．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，两点间的距离公式，直线系等知识是中档题．8．【考点】MI：直线与平面所成的角．【解答】解：当A，B在平面α同侧时，点A到平面的距离AD＝1，点B到平面的距离BC＝2，过A作AE⊥BC，交BC于E，则BE＝1，AB＝2，∴∠BAE是AB所在直线与平面α抽成角，sin∠BAE＝＝，∴AB所在直线与平面α所成角的大小为arcsin．当A，B在平面α异侧时，点A到平面的距离AD＝1，点B到平面的距离BC＝2，连结CD，交AB于O，由题意得△ADO∽△BCO，∴OB＝2AO，∴AB＝2，∴AO＝1，BO＝2，∴D，O，C三点重合，∴AB⊥平面α，∴AB所在直线与平面α所成角的大小为．故答案为：arcsin或．【点评】本题考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．9．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：|z﹣2i|+|z﹣z0|＝4表示的动点的轨迹是椭圆，由椭圆的定义可知，z0到（0，2）的距离小于4．z0的轨迹是以（0.2）为圆心4为半径的圆的内部部分，|z0|的取值范围是：[0，6）．故答案为：[0，6）．【点评】本题考查复数的几何意义，轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．10．【考点】LG：球的体积和表面积．【解答】解：设大铅球的半径为R，则（13+23）＝，解得R＝，∴这个大铅球的表面积S＝4πR2＝＝12π．故答案为：12π．【点评】本题考查球的表面积的求法，考查球的体积、表面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．【考点】O1：二阶矩阵．【解答】解：∵A∈S1，B∈S2．∴设，∴A+B＝已知矩阵，∴∴那么B＝〔〕故答案为：〔〕．【点评】本小题主要考查二阶矩阵、方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查待定系数法思想．属于基础题．12．【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：设小球圆心（0，y0）抛物线上点（x，y）点到圆心距离平方r2＝x2+（y﹣y0）2＝2y+（y﹣y0）2＝Y2+2（1﹣y0）y+y02若r2最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底所以1﹣y0≥0所以0＜y0≤1所以0＜r≤1故答案为：0＜r≤1．【点评】本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生利用抛物线的基本知识解决实际问题的能力．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分13．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：对于A，同垂直于一直线的两条直线不一定互相平行，故错；对于B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故错；对于C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，正确；对于D，过球面上任意两点的大圆有无数个，故错；故选：C．【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．14．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：M＝i2+i3+i4+…+i2018＝；N＝i2•i3•i4…•i2018＝．∴M＝N．故选：D．【点评】本题考查等差数列与等比数列的前n项和，考查虚数单位i的性质，是基础题．15．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【解答】解：∵关于x的方程x2+||x+•＝0有实根，∴||2﹣4≥0，∴≤，∴cos＜＞＝≤＝，又0≤＜＞≤π，∴＜＞≤π．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．16．【考点】8B：数列的应用．【解答】解：，∵向量与非零向量垂直，∴nx n＝﹣3x n+1，，∴＝＝×＝﹣．故选：D．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意递推公式和累乘法的合理运用．三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17．【考点】IT：点到直线的距离公式；IV：两直线的夹角与到角问题．【解答】解：（1）联立，解得x＝0，y＝﹣1．∴P（0，﹣1）．∴点P到直线l3的距离＝＝．（2）设要求的直线斜率为k，由题意可得：＝±tan45°，解得k＝5或﹣．∴过点P且与直线l3的夹角为45°的直线方程为：5x﹣y﹣1＝0或x+5y+5＝0．【点评】本题考查了直线交点、点到直线的距离公式、直线夹角，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．【考点】LM：异面直线及其所成的角；MK：点、线、面间的距离计算．【解答】解：（1）连接AC，则∠ACD即为异面直线EF与CD所成角．计算得：AC＝2，CD＝，所以异面直线EF与CD成角．另解：以A为坐标原点，AD、BA、AS方向为正方向建立坐标系计算SA＝2、计算得，所以异面直线EF与CD成角（2）由于SA⊥平面ABCD，所以∠SBA即为斜线SB与底面ABCD所成角60°计算得：S △BCD＝2由于所以【点评】本题主要考查了两异面直线所成角，以及利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题．19．【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【解答】解：（1）设2017年年底沙漠面积为b1，经过n年治理后沙漠面积为b n+1，则a n+b n＝1．依题意，a n+1由两部分组成，一部分是原有的绿洲面积减去沙漠化剩下的面积，a n﹣4%a n＝96%a n，另一部分是新植树绿洲化的面积16%b n，于是a n+1＝96%a n+16%b n＝96%a n+16%（1﹣a n）＝80%a n+16%＝0.8a n+0.16；（2）由于a n+1＝0.8a n+0.16，两边减去0.8得：a n+1﹣0.8＝0.8（a n﹣0.8）又a1﹣0.8＝﹣0.5，所以{a n﹣0.8}是以﹣0.5为首项，0.8为公比的等比数列．所以a n+1＝0.8﹣0.5•0.8n，依题意，0.8﹣0.5•0.8n＞0.6，∴（0.8）n＜0.4，两边取对数得n＞log0.80.4＝＝，即n＞4．故至少需要5年才能达到目标．【点评】本题考查利用数列知识解决实际问题，考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生的计算能力，属于中档题．20．【考点】8H：数列递推式；9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【解答】解：（1）点P n（n，）均在函数y＝x的图象上．∴＝n，可得S n＝n2．∴n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1．n＝1时，a1＝S1＝1．∴a n＝2n﹣1．（2）＝（1，a n），＝（1﹣b n，1）．∵∥，∴a n•（1﹣b n）﹣1＝0，解得b n＝1﹣＝1﹣＝．（3）≤0对于任意n∈N*恒成立，∴（﹣1）n﹣1•+≤0对于任意n∈N*恒成立，n＝2k﹣1（k∈N*）时，+≤0对于任意n∈N*恒成立，∴t≥，∴t≥1．n＝2k（k∈N*）时，﹣+≤0对于任意n∈N*恒成立，∴t≤2n﹣2，∴t≤2．综上可得实数t的取值范围是[1，2]．【点评】本题考查了数列递推关系、方程与不等式的解法、数列的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；KM：直线与双曲线的综合．【解答】解：（1）双曲线Γ：＝1中a2＝12，b2＝3，则c2＝a2+b2＝12+3＝15，∴c＝，∴右焦点F1（，0），由x＝代入＝1，可得y＝±，∴|AB|＝；（2）由（1）可得M（2，0），T（t，0），设P（x0，y0），∴|PT|2＝（x 0﹣t）2+y02，|MT|2＝（2﹣t）2，又﹣＝1，可得x0≥2，y02＝﹣3，∴|PT|2＝（x0﹣t）2+y02＝（x0﹣t）2+﹣3＝x02﹣2x0t+t2﹣3＝（x0﹣）2+t2﹣3，当≤2即t≤时，可得y＝（x0﹣）2+t2﹣3在x0≥2递增，即有|PT|的最小值为|MT|＝|t﹣2|，则t的范围是（﹣∞，]；（3）设C（s，t），A（x1，y1），B（x2，y2），可得s2﹣4t2＝12，s＞0，由y＝x﹣2代入双曲线的方程x2﹣4y2＝12，可得x2﹣16x+84＝0，即有x1+x2＝16，y1+y2＝（x1+x2）﹣4＝16﹣4＝12，由，可得ms＝x1+x2，mt＝y1+y2，可得ms＝16，mt＝12，解答s＝，t＝，即有﹣4•＝12，解得m＝4（﹣4舍去），s＝4，t＝3．即有m＝4，C（4，3）．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查联立直线方程和双曲线方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，考查二次函数的最值求法，以及化简整理的运算能力，属于综合题．**==(本文系转载自网络，如有侵犯，请联系我们立即删除)==**。
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上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期末数
学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、填空题
1. 将三封录取通知书投入四个邮筒共有_____________种不同的投递方式.
2. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的底面半径为
_______ .
3. 已知空间向量，，（其中、），如果存在实数，使得成立，则_____________.
4. 在展开式中，常数项为_____________.（用数字作答）
5. 从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127，则该样本标准差___________（克）（用数字作答）．
6. 在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科，3门文科）中选择3门学科参加等级考试，小李同学受理想中的大学专业所限，决定至少选择一门理科学科，那么小李同学的选科方案有________种.
7. 若在展开式中，若奇数项的二项式系数之和为，则含的系数是_____________.
8. 已知变数满足约束条件目标函数仅在点
处取得最大值，则的取值范围为_____________．
9. 在的展开式中，项的系数为_____________.（用数字作答）
10. 已知、满足组合数方程，则的最大值是_____________.
11. 设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有________种.
12. 如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且
AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值
是.
二、单选题
13. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．2π＋2B．4π＋2
C．2π＋D．4π＋
14. 从名学生志愿者中选择名学生参加活动，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从人中剔除人，剩下的人再按系统抽样的方法抽取人，则在人中，每人入选的概率（）
A．不全相等B．均不相等
C．都相等，且为D．都相等，且为
15. 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为
[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）
A．6 B．8 C．12 D．18
16. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承
也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，
计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）A．B．C．D．
三、解答题
17. 毕业季有位好友欲合影留念，现排成一排，如果：
（1）、两人不排在一起，有几种排法？
（2）、两人必须排在一起，有几种排法？
（3）不在排头，不在排尾，有几种排法？
18. 已知二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. （1）求正整数的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求展开式中系数最大的项.
19. 已知直线(t为参数），圆(为参数）.
(1)当时，求与的交点坐标.
(2)过坐标原点O作的垂线，垂足为为的中点.当变化时，求P点
轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线？
20. 将个不同的红球和个不同的白球，放入同一个袋中，现从中取出个球. （1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法；
（2）取出一个红球记分，取出一个白球记分，若取出个球的总分不少于分，则有多少种不同的取法；
（3）若将取出的个球放入一箱子中，记“从箱子中任意取出个球，然后放
回箱子中”为一次操作，如果操作三次，求恰有一次取到个红球并且恰有一
次取到个白球的概率.
21. 在四棱锥中，底面是矩形，平面，
，，以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的大小；
（3）求点到平面的距离.。