变量代换方法在求解微分方程中的应用
变换法在解微分方程中的应用
ｂｙ 则 有 ｕ＝ ａ ＋ ｂ ｙ ｚ ， ｄ 。 。ｄ
代入 上 式 ， 得 ＝ａ＋ｂｇ 。
程 。可 以利用 分 离变量 的方法 将原 方程 写成
一
（ ） 即转 化成 为变量 分离 方程 。 ｕ，
ｆｘ ｄ ， （）ｘ 然后借 助 于积分 法来求 其通解 。 是最 基本 这
常微 分方 程就是 包含 有单变 量 的未知 函数 及其 导数 的方程 ， 常分 为线性 与非 线性 两大 类 ， 数学 通 是
专 业 的一 门重 要 的基 础课 。由于 它在 工程 、 经济 、 管
理 等科 学 技术 领域 中有着 广泛 的应 用 ， 而 在理 工 从 科 等各专 业 的高等数 学课程 中也 占据 十分重 要 的位 置 。常微 分方程 的解 法很多 ， 在许 多文 献和教 材 （ 见 文 ［］ ３） １ 一［ ］ 中都 有归纳 与 总结 ， 常根 据方 程 的结 通
变换 法 在 解 微 分 方 程 中的 应 用
徐 秀 荣
（ 宿州学院 数学系， 安徽 宿州 ２ ４ ０） ３０ ０
摘 要 ： 量 代换 法 是 解 常徽 分 方 程 的 一种 辅 助 方 法 ， 托使 问题 简化 ． 文 通 过 联 系 实例 给 出 了 变挟 在 求解 微 分 方 变 它 本
维普资讯
第 ２ 第 ２期 ３卷 ２００８年 ４月
宿
州 学 院 学 报
ＶＯ ． ３， Ｏ ２ １２ Ｎ ．
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｕ ｈ ｕ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｏ ｒ ａ ｆ Ｓ ｚ ｏ ｉｅ ｓｔ ｙ
Ａｐｒ． ２ ０ ０ ８
构特 点选 择适 当的方法 进行求解 。本 文就 变 量代 换
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变量代换法在微分方程求解中的应用的理解
变量代换法在微分方程求解中的应用的理解
变量代换法是一种常用的微积分方法，可以用来求解一些特定形式的微分方程。
具体而言，变量代换法常常采用适当的替换来将原微分方程转化为易于求解的形式，从而实现微分方程的解析解求解。
变量代换的方法不仅可以用于求解一阶微分方程，还可以扩展到二阶及以上的微分方程，并可以用于初值和边值问题的求解。
在变量代换法中，制定正确的替换方程是至关重要的一步，通常需要根据原微分方程的形式和系统特性进行选择。
同时，变量代换法的应用也需要丰富的数学基础和细致的计算，因此掌握变量代换法的理论和实际应用是微积分学习的必要环节之一。
利用简单的变量代换求解微分方程
利用简单的变量代换求解微分方程通过变量代换将给定的微分方程转换为我们熟悉的微分方程再求解，是解微分方程的一种重要方法.例如我们前面学习的齐次方程、贝努利方程等的求解过程中都用到了变量代换的方法.2(41.1)dy x y dx=++求微分方程的通解例41x y u ++=解令 化简并两边积分41,y u x =--即代入方程得24.du u dx-=21+4du dx u =⎰⎰，1arctan 22u x C =+即，141arctan().22x y x C ++=+故通解 ().dy f ax by c u ax by c dx=++=++形如的方程，都可以尝试令注21tan .222dy y y dx x y x=+求微分方程的通解例2y u x=令分离变量并两边积分2,y xu =即代入方程得tan du u x u u dx +=+，1cot udu dx x=⎰⎰，lnsin ln ln u x C =+即，2sin .y Cx x =故通解 222tan dy y y y dx x x=+解 原方程可化为，tan du u dx x =整理得，c 3os (0)x t t π=<<利用变量代换化例简微分方程x 等式两边再对求导得1()sin dy dy dt dy dx dt dx dt t=⋅=⋅-解 ，2(1)0x y xy y '''--+=(0)1,(0)2.y y '==并求其满足的特解22d y dx =代入方程222231cos 1(1cos )[()]cos ()0.sin sin sin d y dy t dy t t y dt t dt t dt t -⋅-⋅-⋅⋅-+=2221cos [()+()]sin sin d y dy t dt t dt t ⋅-⋅1().sin t ⋅-210r +=特征方程，12(*)cos sin .y C t C t =+故方程通解 化简为220(*)d y y dt+=，r i =±解得特征根，212cos 1x t y C x C x ==+-将代入得 y(0)1,(0)2y '==将代入通解12=2=1.C C ，2(*)21y x x =+-故原方程特解 ()二阶常系数齐次线性方程总结本讲主要介绍了变量代换方法在微分方程求解问题中的重要应用.。
常微分方程解法总结
常微分方程解法总结引言在数学领域中，常微分方程是一类以函数与其导数之间关系为描述对象的方程。
它广泛应用于物理、化学、生物等自然科学的建模和解决问题中。
常微分方程的求解有许多方法，本文将对其中一些常见的解法进行总结和讨论。
一、分离变量法分离变量法是求解常微分方程中常用的一种方法。
它的基本思想是将方程中的变量分离，将含有未知函数的项移到方程的一侧，含有自变量的项移到方程的另一侧，然后对两边同时积分，从而得到最终的解析解。
例如，考虑一阶常微分方程dy/dx = f(x)g(y)，可以将此方程改写为1/g(y)dy = f(x)dx，然后对两边同时积分得到∫1/g(y)dy =∫f(x)dx。
在对两边积分后，通过求解不定积分得到y的解析表达式。
二、常系数线性齐次微分方程常系数线性齐次微分方程是另一类常见的常微分方程。
它具有形如dy/dx + ay = 0的标准形式，其中a为常数。
这类方程的解法基于线性代数中的特征值和特征向量理论。
对于形如dy/dx + ay = 0的一阶常微分方程，可以假设其解具有形式y = e^(rx)，其中r为待定常数。
带入方程，解得a的值为r，于是解的通解即为y = Ce^(rx)，其中C为任意常数。
通过特定的初值条件，可以确定常数C的值，得到方程的特解。
三、变量分离法变量分离法是一种适用于某些特殊形式常微分方程的解法。
其基本思想是将方程中的变量进行适当的变换，从而将方程化为分离变量的形式。
例如，考虑一阶非齐次线性微分方程dy/dx = f(x)/g(y)，其中f(x)和g(y)为已知函数。
通常情况下，变量分离法需要对方程变形，将含有未知函数和自变量的项进行合并处理。
假设存在一个新的变量z(x) = g(y)，则dy/dx = (dy/dz)*(dz/dx) = (1/g'(y))*(dz/dx)。
将dy/dx和f(x)分别代入原方程，进而可以求得dz/dx。
对dz/dx进行积分后，可以得到z(x)的解析表达式。
变量代换方法在求解微分方程中的应用
变量代换方法在求解微分方程中的应用在微分方程的理论中，变量代换方法有着广泛的应用。
通过对原方程的变量或因变量用新的变量代换，使原方程化为相对容易解的方程类型，从而达到快捷求解的目的。
然而，值得注意的是，不同的类型的方程，其采用的变量代换可能不尽相同，本文对各种变量代换方法在求解微分方程中应用进行讨论和总结。
2变量代换方法在几类微分方程求解中的应用定义1如果一阶微分方程具有形式d y=f(x)g(y)，则该方程称为可分离变量微分方程.若设g(y) H0，则可将方程化为"gd^j = f(x)dx.即将两个变量分离在等式两端.其特点是：方程的一端只含有y的函数与dy，另一端只含有x的函数与dx.对于该类程, 我们通常采用分离变量的方法来处理。
例1求微分方程/ = 2xy的通解.解因为一=2xy，分离变量，一=2xdx，两端积分，In |y|=x2+C，| y e x^1dx dx所以y = ±eX七.令c =±e C1，于是y =Ce X为所求.注：以后为了方便，可将ln|y|就写成In y，注意结果中C可正可负.对于上面的例子，我们可以采用分离变量的方法来求解，而有些方程虽然不是变量分离方程，但是可以通过适当的变量代换，转换为分离变量方程。
对于新方程应用分离变量的方法，求出通解后再带回原变量就可以得到其通解。
如何寻求恰当的变量代换将给定的方程化为分离变量方程，没有一般的方法，但是对于一些特殊类型的方程，这种变量代换却有固定的形式。
下面介绍几类这样的方程。
2.1 一阶齐次方程1.形如dy = f(ax+by)的齐次方程(其中a,b(bHO))为常数) dx作变量代换，U = ax +by可将方程化为分离变量方程，将u = ax + by和詈a+b2代入方程，整理后可得：齐…⑴)例 2 解方程(2y +x +1dx -(4y +2x +3dy =0 解将方程整理后可得dy (2y +x)+1 dx " 2(2y + x) +3 故令U =2y+x ，带入后可得也=一q分离变量后，两边积分可得 dx 2u+3ln|4u + q +4u =8x+C 再代回原变量，得方程的通解为ln|4u + rn +4u =8x +C f y y=f -的齐次方程l x 丿作变量代换u ＜，则齐u+燈，代回原方程，整理后可得 程转化为分离变量方程，故可求出其通解。
微分方程化简
微分方程化简
一、引言
微分方程是描述数学模型中变量随时间变化的规律的重要工具。
在解决实际问题时，我们经常需要对方程进行化简，以便更好地求解。
本文将介绍微分方程化简的常用方法和技巧。
二、微分方程化简的方法
1.合并同类项：将方程中的同类项合并，简化方程的形式。
2.变量代换：通过引入新的变量，将方程中的复杂表达式替换为简单表
达式，从而简化方程。
3.积分因子：通过乘以适当的函数，使方程左侧成为全微分，从而简化
方程。
4.线性化：将非线性微分方程化为线性微分方程，以便更容易求解。
5.分离变量：将方程中的变量分离出来，使方程变为容易求解的形式。
三、微分方程化简的步骤
1.观察方程形式：首先观察微分方程的特点，确定采用哪种化简方法。
2.实施化简：根据确定的化简方法，对微分方程进行化简。
3.验证结果：化简后，需要验证结果的正确性，确保方程的意义没有改
变。
四、实例分析
下面以一阶常系数线性微分方程为例，介绍微分方程化简的过程。
原方程：y' + p(t)y = q(t)
步骤1：观察方程形式，确定采用线性化方法。
步骤2：对方程两边同时乘以e^(-p(t)t)，得到：e^(-p(t)t)(y' + p(t)y) = e^(-p(t)t)q(t)
步骤3：对上式进行积分，得到：e^(-p(t)t)y = ∫e^(-p(t)t)q(t)dt + C
步骤4：化简得到通解：y = e^(∫p(t)dt) * (∫q(t)e^(-∫p(t)dt)dt + C)
通过以上步骤，我们成功地将一阶常系数线性微分方程化简为通解的形式。
变量代换的应用
1 变量代换的类型变量代换法是指用另一些新的变量来代换某些变量的解析表达式,从而使原有的问题转化为较简单的,易解决的问题的方法,这种方法也称为换元法.在学习数学的过程中,变量代换法不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法.恰当地运用变量代换的观点方法,常常能起到化难为易、化繁为简的作用．变量代换有多种类型,它在解决数学问题中发挥着不可或缺的作用.我们只有掌握了变量代换的不同类型,才能在解决问题时更加得心应手. 本节先给出积分运算中几种常见的变量代换,然后给出公式变形和函数解析式中的变量代换.1.1 算式代换算式代换是指积分表达式中含有()ax b +的代换.例1 求定积分1321(115)dx x -+⎰. 解 令115x t +=,则115t x -=. 当1=x 时,16=t ;当2-=x 时,1=t .所以有1321(115)dx x -+⎰1631115t t d --=⎰ 2161110t -=- 51512=.1.2 根式代换 根式变换是指积分表达式中含有无理根式的代换.例2 求定积分⎰-++0341dx x x . 解 令t x =+4,则当3-=x 时,1=t ;当0=x 时,2=t .则⎰-++0341dx x x ⎰-+-=2122)4(14t d t t ⎰-=212)3(2dt t 34-=.1.3 倒代换倒代换是指积分表达式中分母的两个自变量的幂之差大于1的代换. 例3 求不定积分⎰+dt t t )2(17. 解 令x t=1,则 ⎰+dt t t )2(17dx x x ⎰+-=7621 c x ++-=721ln 141 711ln 2ln 142t t c =-+++. 1.4 三角代换 三角代换是指积分表达式中含有22x a -,22a x -等形式的代换.例4 求)0(022>-⎰a dx x a a.解 令t a x sin =,则当0=x 时,0=t ;当a x =时,2π=t .所以22200cos a tdt π=⎰⎰24a π=. 1.5 指数代换 指数代换是指积分表达式中含有x x a e ,的代换.例5 求不定积分⎰+dx ee x x21. 解 令t e x =,则有⎰+dx e e x x 21211dt t =+⎰arctan t c =+arctan x e c =+.1.6 公式变形中的变量代换在解题时,我们常对一些形式的式子感到很难理解,但只要仔细分析,我们会发现它可能就是一些公式的变形形式.因此,我们在认识公式时,可适当利用变量代换法来认识其变形形式．例如 sin 22sin cos ααα=设2αθ=,则2θα=,于是有 sin 2sin cos 22θθα=． 同样,利用变量代换方法也可来理解其他的三角函数的公式.又例如 0sin lim 1x x x→=. 设()x at a R =∈,当0x →时,0t →,于是有0sin lim 1x at at →=, 即 0sin lim x at a t→=. 如果设sin x t =,则arcsin x t =. 同理10lim(1)xx x e →+=,则10lim(1)at t at e →+=, 即10lim(1)a tt at e →+=. 通过对公式进行变量代换,我们不仅可以加深对公式的理解,还可以看到一些我们解题时有用的式子．例如 sin 2()2sin ()cos ()F x F x F x =.1.7 函数解析式中的变量代换例6 已知()ln n f x x =,求()f e .解 由于题中函数表达式不是我们习惯的形式,可先把函数表达式化为我们习惯的形式,根据题意,不妨设n x e =,则1n x e =.从而有11()()ln n n f x f e e n===. 例7 已知22(,)f x y x y x y +-=-,求(,)f x y 表达式.解 令 u x y v x y =+⎧⎨=-⎩, 则有22u v x u vy +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩. 因此有22(,)()()22u v u v f u v uv +-=-=, 得(,)f x y 的表达式(,)f x y xy =.2 变量代换在数学中的应用2.1变量代换在条件极值中的应用条件极值是高等数学中的一项重要内容,而变量代换法是求极值和最值的方法之一,他可以是问题简化.下面我们来对变量代换在极值和最值方面的应用加以探讨.设定 ()y f u =为实函数, 12(,,,)m m u u u u D E =⋅⋅⋅∈⊆,m S E ⊆且S ≠∅, 12{(,,,)(),1,2,,;}m i i D u u u u x i m x S ϕ=⋅⋅⋅==⋅⋅⋅∈. ［文献3］引论1 对于设定,若函数组()()1,2,,i i u x i m ϕ==⋅⋅⋅均在S 上连续,则由函数组()()1,2,,i i u x i m ϕ==⋅⋅⋅确定的S →D 的映射F 在S 上也连续．引论2 设X ,Y 是度量空间,映射:f X Y →,那么f 在X 上连续的充要条件是像空间Y 中的任一开集U 的原像1()f U -是X 中的开集．引论3 设X 是度量空间,A B X ⊆⊆,B 为开集,则A 为X 的开集的充要条件是A 是相对于B 的开集．结论1 设S,D 均为开集,函数组()()1,2,,i i u x i m ϕ==⋅⋅⋅在S 上均连续,010((),u x ϕ=200(),,())m x x ϕϕ⋅⋅⋅,若0u 是()f u 的极大(小)值点,则0x 为12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅的极大(小)值点．证 设由函数组()i x ϕ确定的S →D 的映射为 F,因为()i x ϕ均在S 上连续,所以F 也在S 上连续(引论1)．因为0u 为D 中极大值点,所以总存在0u 点的某一邻域0()N u D ⊆,使0()u N u ∀∈时,0()()f u f u ≤．因为D 为开集,所以0()N u 是相对于D 的开集(引论3),又因为F 连续,所以10(())F N u -是相对于S 的开集(引论2),而S 为开集,所以10(())F N u -也为n E 的开集(引论3)．又因为100(())x F N u -∈,则10(())F N u -为点0x 的一个邻域．对于10(())x F N u -∀∈,则有120((),(),())()m x x x N u ϕϕϕ⋅⋅⋅≤∈,所以有12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅10200((),(),,())m f x x x ϕϕϕ≤⋅⋅⋅.同理可证极小值的情况.结论2 在结论1中,若由函数组()()1,2,,i i u x i m ϕ=-⋅⋅⋅确定的S →D 的映射F 为一一对应,且F 的逆映射1F -连续(即 F 是S →D 的同胚映射),则0u 是()f u 的极大(小)值点的充要条件是0x 为12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅的极大(小)值点.证 必要性可由结论1得证,充分性仅对极大值点的情形予以证明.设0x 是12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅的极大值点,则存在0x 的一个邻域0()N x S ⊆,使0()x N x ∀∈,12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅10200((),(),,())m f x x x ϕϕϕ≤⋅⋅⋅.由F 是S →D 的同胚映射及引论3可知,0(())F N x 的0u 一个邻域．设0(())u F N x ∀∈,存在x S ∈,使得12((),(),,())m u x x x ϕϕϕ=⋅⋅⋅,对给定的u ,x 是唯一存在的,则当0()x N ∈时,12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅10200((),(),,())m f x x x ϕϕϕ≤⋅⋅⋅,因此有0()()f u f u ≤.在结论2中,把“极大(小)值点”都改为“严格极大(小)值点”,结论仍成立． 结论3 设010200((),(),,())m u x x x ϕϕϕ=⋅⋅⋅,则0u 是()f u 的最大(小)值点的充要条件是0x 是12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅的最大(小)值点.(证明略)结论4 设010200((),(),,())m u x x x ϕϕϕ=⋅⋅⋅,则0u 为()f u 在约束条件()(1,2,;)j j L u R j k u D =⋅⋅⋅∈下的最大(小)值点的充要条件是0x 为12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅在约束条件12((),(),,())(1,2,;)j m j L x x x R j k x s ϕϕϕ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈下的最大(小)值点(),1,2,j R R j k ∈=⋅⋅⋅.(证明略)例1 讨论函数222y x z x y=+在 D 上的极值与最值,{}(,)0,0D x y x y =>> 约束条件为221x y +<.解 设cos (21)sin (22)x r y r θθ=-⎧⎨=-⎩ (,)0,02S r r πθθ⎧⎫=<<>⎨⎬⎩⎭． 由(2-1),(2-2)确定的映射F ：S →D 是同胚映射,所以原问题可化为函数212tan tan z θθ=+在S 上满足约束条件1r <下的极值与最值问题,即化为函数212tan tan z θθ=+在区间(0,)2π内的无条件极值与最值问题. 设1(0,)2s π=,令 1tan ,(0,)t t D θ=∈=+∞. (2-3)显然由(2-3)确定的映射111:F S D →是同胚映射．这时212z t t=+在(0,)+∞内有唯一驻点1t =,且1t =是极小值点,从而也是最小值点．又因为驻点唯一,所以函数没有极大值与最大值．当t = 1时,得4πθ=；再由4πθ=及0 < r <1得x y a ==(02a <<. (2-4)由以上结论可知(2-4)为函数的极小值点与最小值点,函数无极大值与最大值．例 2 设(,)x y 为圆223x y +=上的任意一点,求函数()f x =的极大值.这是一个在约束条件223x y +=下求()f x 的极值问题,数学分析中传统求法是拉格朗日乘数法本节将利用变量代换方法来解决.解 由(,)x y 是223x y +=上的点,得y =将()f x以y 替代得到()f x =.可以看做圆223x y +=上任一点与(3)--连线的斜率,本题的条件极值就转化为这种连线斜率的最大值问题.显然这连线斜率应为从点(3)--到圆223x y +=所做切线的斜率.不难看出,该切线的方程为:3y +=,斜率K=因此()f x的极大值为 例3 设223x xy y ++=,求22(,)f x y x y =+的最值.解 设cos ,sin x r y r θθ==,则221sin 232r r θ+=, 所以2311sin 22r θ=+. 因此当4πθ=时,2r 取最小值32112=+;当34πθ=时,2r 的最大值36112=-. 即满足223x xy y ++=的22(,)f x y x y =+的最大值、最小值分别为6和2. 很显然,例3可以改写为例3' 设223x xy y ++=,求证: 2226x y ≤+≤.此时问题就变成不等式的证明问题,因此变量代换也可以作为不等式证明的一个非常有效的方法.2.2 变量代换在不等式中的应用变量代换法是一种非常有效的解题方法,尤其是处理一些复杂的不等式问题,效果明显．合理代换往往能简化题目的信息,凸显隐含条件,沟通量与量之间的关系,对发现解题思想,优化解题过程有着重要的作用．例1[6] 设a 、b 、c 均为正数,求348223a c b c w a b c a b c a b c+=+-++++++的最小值．解 本题涉及的三个变量a 、b 、c 不具有对称性,且三个分式的分母都是多项式,如果通分,则运算量较大．因此,我们可考虑把各分母用其他变量代换,看看结果如何．令2,2,3(,,0)x a b c y a b c z a b c x y z =++=++=++>,则有32,4484,888a c y x b x y z c z y +=-=-+=-,所以有248488y x x y z z y w x y z--+-+-= 244817y x z y x y y z =+++-17≥=17.当且仅当24y x x y=且48z y y z =,即y =时,上式取等号．所以当(1,(4b a c a =+=+时,min 17w =-.例2 设a 、b 、c 是三个互不相等的正数．证明:1a b b c c a a b b c c a +++++>---. 解 设,,a b b c c a x y z a b b c c a+++===---, 则有1xy yz zx ++=-. 因为2()3()3x y z xy yz zx ++≥++=,所以1x y z ++≥>,即1a b b c c a a b b c c a+++++>---. 说明: 本题通过局部代换,发现了隐含条件1xy yz zx ++=-,从而应用重要不等式2()3()x y z xy yz zx ++≥++使问题得到解决．例3 设1x y ≥≥,求证:13112x y y x x y ++≥+++． 解 令 ,(2,1)x y a xy b a b +==≥≥,则有13112x y y x x y ++≥+++ 221312a ab a b a +-⇔+≥++ 3222(72)a a a b a ⇔--+≥-. (2-5)因为22720,()44a a x y xy b ->=+≥=,所以3224(22)(72)a a a a a --+≥-322480a a a ⇔--+≥2(2)(2)0a a ⇔-+≥. 上面最后一个不等式显然成立,从而不等式(2-5)成立,故原不等式成立．2.3 变量代换在极限运算中的应用(1) 利用变量代换得到第一个重要极限0sin lim 1x xx→=的其它变形例如 令()x f t =,且0lim ()0t t t f t →→∞=,则有0sin ()lim1()t t t f t f t →→∞=．(2) 利用变量代换得到第二重要极限1lim(1)x x e x→∞+=的变形1()lim(1())f x f x e +=,其中0lim ()0x x x f x →→∞=．(3) 无理根式形式的极限问题 例如求43lim4x x →--.3t =(也可利用有理化法求得极限)． (4) 幂指函数求极限 例如 0lim ln ln 000lim lim 1x x xxx xx x x e ee +→++→→====．(5) 二元及多元函数求极限可作变量代换,转化为一元函数求出极限 例如 求22221lim()sinx y x y x y →→++. 可令22u x y =+,则原式= 01lim sin0u u u→= (利用无穷小量的运算法则). (6) 其他类型有些函数求极限不能直接运用求极限的运算法则,可依题意作适当变换,转化为熟悉的形式求出极限．例4 求11110limxx x xxe e e e-→-+-.解 作变量代换,令1xe t =,则有11110limxx x xxe e e e-→-+-=221lim 11t t t →+∞+=-. 2.4 变量代换在导数运算中的应用 (1) 一元或多元复合函数求导例1 设22(,sin )z f x y x y =+,且具有连续偏导,求z x∂∂. 解 令 22,sin u x y v x y =+=, 则有(,)z f u v =.由复合函数的链式求导法则得2sin 2sin u v u v z z u z v f x f y xf yf x u x v x ∂∂∂∂∂''''=+=+=+∂∂∂∂∂. (2) 隐函数求导例2 设由方程1z e xyz -=确定了一个(,)z f x y =函数,求zx∂∂. 解 将z 看作关于,x y 的函数. 方程两边同时对x 求导得()0zz ze yz xy x x∂∂-+=∂∂, 整理得z z yz x e xy∂=∂-. (3) 变限函数求导 例3 设()()()u x ax f t dt φ=⎰,求d dxφ. 解 令 ()u u x =,则函数变量之间的关系为u x φ→→,由一元函数的求导法则可得[()]()d d du f u x u x dx du dxφφ'==． (4) 利用函数导数求单调性、极值．例4 已知函数22()xxf x e -=,求函数单调区间．解 函数看作由()u f x e =,22u x x =-两个函数复合而成的．而函数()u f x e =是一个单调上升函数,将问题转化为求函数22u x x =-单调区间．2.5 变量代换在解微分方程中的应用在常微分方程中,许多类型的常微分方程求解是依靠变量代换这一重要方法来完成的,下面我们就针对变量代换在几类微分方程中的应用进行探究. 2.5.1 变量代换在解一阶显式微分方程中的应用一阶显不微分方程如果能化成可分离变量方程求解,问题就解决了,很多类型的一阶微分方程通过适当的变量代换化为可分离变量方程.(1) 齐次方程()dy ydx x ϕ=.通过变量代换yu x =化为以u 为未知函数的可分离变量方程.(2) 准齐次方程111()dy ax by c f dx a x b y c ++=++. 其中111,,,,,a b c a b c 为常数. (i) 11ab a b ≠1110,0ax by c a x b y c ++=++=构成的方程组的解为,x y αβ==,则同时作函数y 与自变量x 的代换,y x ηβξα=+=+,将其化为以η为函数,以ξ为自变量的齐次方程,然后再将齐次方程化为可分离变量方程,达到求解齐次方程的目的. (ii) 11ab a b = 不妨设11a ba b λ==, 此时方程的形状为11111()()a x b y c dyf dx a x b y c λ++=++. 作变换11u a x b y =+,则可得分离变量方程111()dy u ca b f dx u c λ+=++.从而可以求其通解.(3) 形如 1()a a dy yf x dx x -= 的方程(其中a 是已知实数).作变量代换ayu x =, 将方程化为分离变量方程,将a yu x =代入方程,整理后可得 ()1()a a du x f u au x dx-=-. 这已是分离变量方程.(4) 一阶线性方程()()dyp x y q x dx +=,其中(),()p x q x 为已知函数.该方程所对应的齐次方程的通解为()p x dxy ce -⎰=. 作代换()()p x dxy c x e -⎰=,以此作为原方程的解,代人原方程中得()()()p x dx dc x q x e dx -⎰=. 从而解出()c x ,进而完成原方程求解. (5) 伯努力方程()()()n dc x q x y q x y dx=+,其中0,1n ≠. 作代换 1n z y -=,将方程化为以z 为未知函数的线性微分方程(1)()(1)()dzn p x z n q x dx =-+-. 然后再按线性微分方程作代换求解.(6) 黎卡提方程2()()()dzp x y q x y f x dx +=+.若已知它的一个解为1()y y x =.则作代换1y u y =+,代入原方程化为以u 为未知函数的伯努力方程.对黎卡提方程2m dyay bx x +=,其中a ,b 都是常数,且0a ≠,则当440,2,,(1,2,)2121k km k k k --=-=⋅⋅⋅+-时,可经过适当的变量代换化为可分离变量方程.(7) 其它形式的一阶方程对其它形式的某些一阶微分方程,可以根据方程自身的特点,选取灵活的代换方法,将其化为可分离变量方程.例如对方程()dyf ax by c dx =++,令 z ax by c =++; 对方程21()dy f xy dx x=,令 z xy =; 对方程2()dy yxf dx x =,令 2y z x =. 2.5.2 变量代换在解某些类型高阶微分方程中的应用在求解某些类型高阶微分方程时,可以通过变量代换化为较低阶微分方程,进而达到求解的目的.(1) 形如(1)()(,)0n n F y y -=的高阶方程 能从中解出()(1)()n n y f y -=.令 (1)n y z -=, 则有()z f z '=.分离变量积分,可解出1(,)z x c φ=,则有(1)1(,)n y x c φ-=,再积分1n -次可求得方程通解.如不能解出n y ,可通过代换引进参数 t ,将)1(,-n n y y 都写成 t 的函数,即将原方程写成参数方程(1)()()()n n yg t y t φ-⎧=⎪⎨=⎪⎩, 然后由关系式(1)()()()n n dy g t dtdx y t φ-'==, 求出方程的参数形式通解.(2) 形如0),,,()()1()(=⋅⋅⋅+n k k y y y x F 的高阶方程 作代换)()(x p y k =,方程化为新未知函数)(x p 的k n -阶方程()(,,,,)0n k F x p p p -'⋅⋅⋅=.如能求得该方程的通解),()(21k n c c c x Q x p -=,再积分k 次便可得到原方程的通解. (3) 形如()(,,,)0n F x y y y '⋅⋅⋅=的高阶方程作代换()y p y '=,视y 为自变量,则可将方程化为关于新未知函数)(x p 的k n -阶方程,从而可能求出原方程的解,特别是二阶方程(,,)0F y y y '''=,通过上述代换可化为一阶方程,再利用某些一阶方程求解的方法来求解. 2.5.3 变量代换在解某些变系数齐次方程中的应用我们知道线性方程有完整的解的构造理论,对于常系数线性程有有效的求解方法.而对于变系数线性方程没有普遍的求解方法.一般可以根据线性齐次方程0)()(11)(=+⋅⋅⋅++-x t a x t a x n n a ,在自变量变换)(z t ϕ=和未知函数的线性齐次变换y t p x )(=下,方程的线性和齐次性保持不变的特性,对某些系数齐次方程作适当的变量代换,化为常系数线性齐次方程,从而通过常系数线性齐次方程求解. (1) 对尤拉方程01)1(1)(=++⋅⋅⋅++--y a a x a y x n n n n n ,其中n a a a ,,,21⋅⋅⋅为常数.我们通过自变量代换t e x =或x t ln =(这里x >0,当x <0时,取t e x -=),可将方程化为常系数线性齐次方程()(1)110n n n n y b y b y b y --'++⋅⋅⋅++=,其中n b b b ,,,21⋅⋅⋅都是已知常数,求出该方程的通解,再代回原变量就可得到尤拉方程的通解.(2) 对二阶变系数线性齐次方程12()()0y p x y p x y '''++=. 当该方程的不变式221111()()()()42I x p x p x p x '=-- 为常数时,我们可以经过未知函数的线性齐次变换11()2p x dx y e -⎰=,化为关于新未知函数的不含一阶导数项的常系数二阶线性齐次方程,从而达到求解的目的.通过对以上几类常微分方程的分析,不难看出,分离变量和变量代换的结合使用是求解微分方程的重要方法之一,而恰当的变量代换又可以使方程化简.掌握上述微分方程的类型,就能够适当的选取变量代换来求其通解.下面我们来列举一些用变量方程求解常微分方程的例子. 例1[9] 解方程0)324()12(=++-++dy x y dx x y . 解 将方程整理后可得3)2(21)2(++++=x y x y dx dy . 故令x y u +=2,代入后可得3254++=u u dx du . 分离变量后,两边积分可得C x u u +=++8454ln .再代回原变量,得原方程通解为C y x x y +-=++84548ln ．例2 解方程yx y x dx dy 2332++=.解 令xyu =可得ux y =, 代入方程得32)1(22+-=u u dx du x , 分离变量,再积分,化简整理可得)1()1(4+=-u c x u ,再代回原变量,得原方程的通解)()(5x y c x y +=-.例3 解方程823732-+-+=y x y x dx dy . 解 作平移变换⎩⎨⎧+=+=τY y kX x , 从而有 dY dy dX dx ==,, 原方程化为)823(23)732(32-+++-+++=ττk Y X k Y X dx dy . 为了消去方程右边分子、分母的常数项,令⎩⎨⎧=-+=-+08230732ττk k , 从而求得1,2==τk .故令 ⎩⎨⎧+=+=12Y y X x ,原方程化为YX YX dX dY 2332++=. 由此可知通解为)()(5X Y C X Y +=-.带回原变量得原方程的通解())3(15-+=+-x y C x y .例4 解方程564432++++=y x y x dx dy . 解 令y x u 32+=,则方程可变形为52432+++=u u dx du , 整理后可得分离变量方程52227++=u u dx du . 分量变量,再积分,整理后得)27(14)722ln(9C x u u +-=+, 再代回y x u 3+=,可得原方程的通解)233(14)72232ln(9C x y y x +-=++. 通过对以上几类常微分方程的分析,我们不难看出,将分离变量和变量代换的结合使用,是求解微分方程的重要方法之一,而恰当的变量代换又可以使方程化简.掌握上述微分方程的类型,我们就能够适当地选取变量代换来求其通解．3 变量代换中常见的问题变量代换法是解高等数学题时常用的一种解题方法,在数学中扮演着非常重要的角色,它是通过变换未知量来解题的一种方法,在一般情况下就是要通过变量代换使形式复杂的问题转化为形式简单的问题,生疏的问题转化为熟悉的问题正确恰当地运用变量代换会使问题简化,易解,起到事半功倍的作用.但是,如果所用的变量代换不恰当甚至不正确,就可能导致问题变得更复杂、难解,甚至得到错误的结果．还有些题目从形式上看似可以用变量代换法,但在实际操作的时候可能会出现一些问题,从而使转化以后的问题与原问题相背离,导致最终得到错误的答案．所以,在用变量代换法解题时一定要谨慎．本节将分别从极限运算、导数运算、积分运算等几个方面举例说明用变量代换解题时出现错误的地方． 3.1 极限运算方面的问题例1[11] 求极限11lim(1)sin1x x x→--. 解 令11t x=-,则 原式=11sin1lim 11x x x→--1sin lim x tt→=1=.上述解法的错误在于:作变量代换后,新的变量的趋势应为t →∞,与第一个重要极限要求的自变量趋于0不符,所以不能直接利用第一个重要极限来作．该题的正确做法为:由于1x -是当1x →时的无穷小量,1sin 1x -是有界函数,利用：无穷小量与有界函数的乘积仍是无穷小量的结论即可得该题的答案为0．通过上例我们可以看出:对于形如0sin ()lim()x x f x f x →的极限,能否用变量代换()u f x =把原式转化成第一个重要极限的形式来做,要看当0x x →时,是否有()0u f x =→,若是,才可按上步骤来做．例2 求极限1lim sin([])x x x π→+∞+.解 令1[]t x x=+, 则当x →+∞时, t →+∞,故1lim sin([])x x xπ→+∞+lim sin t t π→+∞=. 因为lim sin t t π→+∞不存在,所以原式的极限也不存在．上述解法的错误在于:在求复合函数的极限0lim [()]x x f x ϕ→时,若00lim ()x x x u ϕ→=,且当0x x ≠时,0()x u ϕ≠,作变量代换()u x ϕ=,则当0lim ()u u f u →不存在且不是无穷大量时lim [()]x x f x ϕ→可能存在．该题的正确做法为:当1n x n ≤<+时[]x n =,故1sin([])sin()(1)sin 0n x n x x xππππ+=+=-→. (x →+∞)3.2 导数运算方面的问题 例 1 设0()f x '存在,求000()()limh f x ah f x bh h→+--,其中,a b 为不等于零的常数．解 令10x x bh =-,则原式=110(())()lim()()h f x a b h f x a b a b h→++-++1()()a b f x '=+.上述解法的错误在于:在导数的定义0000()()()limh f x h f x f x h→+-'=中,0x 是定点．而在上面的解法中,作代换10x x bh =-以后,1x 是随变量h 的变化而变化的,不再是定点,与导数的定义不符．该题的正确做法为原式00000()()()()lim[]h f x ah f x f x bh f x a b ah bh→+---=+-00()()af x bf x ''=+.例2 求函数 y =.解 令 u x v x =+=则原函数可以看作是由y u x v x ==+=复合而成的,由复合函数求导的链式法则得y x ''=+=.上述解法的错误在于:把复合关系搞错了．上面的做法实际上求的是由y u x v x ==+=+复合而成的函数的导数．该题的正确做法为]y x ''=++=++.3.3 积分运算方面的问题例1求4⎰.解t =,则2x t =,故原式4021tdtt =+⎰4012(1)1dt t=-+⎰42(ln(1)t t =-+83ln5=-上述解法的错误在于:作过变量代换以后,积分的上下限没有作相应的改变．该题的正确做法为:t =,则2x t = ,当x 从0变到4,相应的t 从0变到2,故原式2021tdtt =+⎰2012(1)1dt t=-+⎰22(ln(1)t t =-+=42ln3-.例2 求2204cos sin dxx xπ+⎰.解 先求不定积分,令tan t t =,故2222sec 4cos sin 4tan dx xdxx x x =++⎰⎰2tan 4tan d xx =+ 2t 4t d =+⎰211221()2td t =+⎰=1arctan 22tC +1tan arctan 22x C =+. 所以,由牛顿—莱布尼茨公式可得2204cos sin dxx xπ+⎰=1tan arctan22x π0=.上述解法的错误在于:由于所作的变量代换tan t x =在[0,]π上不连续,所以函数1tan ()arctan 22x F x =不是函数2214cos sin x x+在[0,]π上的原函数．故不能利用牛顿—莱布尼茨公式.该题的正确做法为:首先,令2u x =,则2204cos sin dx x x π+⎰2022124cos sin 22duu uπ=+⎰ 0224cos sin22duu u π=+⎰2222224cos sin 4cos sin2222du du u u u u πππ=+++⎰⎰对第二个积分作代换 v u π=-, 则上式220022224cos sin 4sin cos 2222du duu u u uππ=+++⎰⎰ 再作代换 tan 2ut =, 则2arctan u t =,故上式11220022441dt dtt t =+++⎰⎰10(arctanarctan 2)2tt =+2π=.即此题的解为224cos sin 2dx x x ππ=+⎰.4 结束语本文从多个角度介绍了变量代换法在数学学习中的广泛应用,充分显示了变量代换法是众多数学方法中易于掌握而且行之有效的方法．它不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法．正确恰当地运用变量代换会使问题简化、易解,起到事半功倍的作用．当然,尽管变量代换法是一个应用很广的数学方法,但并不是所有的问题都可以用该方法来解决,在做题的时候一定要谨慎．总之,我们应当不断总结经验,提高根据不同问题正确恰当地使用变量代换法解决问题的能力,不能盲目地、草率地使用该方法,避免出现错误．本文仅就变量代换在数学领域的应用作了探讨.在今后的研究中,我们还可以进一步探讨变量代换在物理、化学和经济等方面的应用,使变量代换法能够更好地为我们的学习和生活服务.。
微分方程的求解技巧
微分方程是数学中重要的一个分支，广泛应用于物理、工程、生物等领域。
求解微分方程是解决实际问题的关键步骤，因此掌握微分方程的求解技巧对于学习和研究具有重要意义。
首先，了解微分方程的类型是解决问题的第一步。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程中，若方程中只含有未知函数的一阶导数，则为一阶常微分方程；若方程中含有未知函数的二阶导数，则为二阶常微分方程；以此类推，一般地，若方程中含有未知函数的n阶导数，则为n阶常微分方程。
而偏微分方程中，未知函数的导数是多个变量的函数，如偏导数的形式出现在方程中，因此称为偏微分方程。
对于一阶常微分方程，可以通过分离变量的方法进行求解。
步骤如下：首先将变量分离，将未知函数的导数项移到方程的一边，未知函数的项移到方程的另一边；然后对两边同取积分，得到两边的原函数；最后，解出未知函数即可。
这种方法简单直观，适用于许多类型的一阶常微分方程。
当遇到二阶及以上的常微分方程时，可以考虑使用特解方法。
特解方法是通过猜测特殊形式的解，然后代入方程中，找到满足方程的特解。
对于二阶常微分方程，可以通过猜测特解为指数函数、三角函数、多项式函数等形式来进行求解。
通过代入特解后，可确定常数项的值，从而得到方程的通解。
除了特解方法外，常微分方程还可以通过变量代换的方法进行求解。
变量代换是将原方程中的变量进行替换，得到一种新的形式，从而简化方程求解的过程。
常见的变量代换有Euler变换、Legendre变换等，根据具体问题选择适合的变量代换方法，可以简化常微分方程的求解过程。
在偏微分方程的求解中，常用的方法有分离变量法、特征线法、变量代换法等。
分离变量法是将多个变量进行分离，将未知函数表示为分离变量的积的形式，从而将偏微分方程转化为更简单的一阶常微分方程求解。
特征线法主要用于求解一类特殊的线性偏微分方程，通过猜测特解的形式，并代入方程中，找到满足条件的特解。
变量代换法则通过将原方程中的变量进行适当的代换，得到一种新的形式，从而简化偏微分方程的求解过程。
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变量代换方法在求解微分方程中的应用1 引 言在微分方程的理论中，变量代换方法有着广泛的应用。
通过对原方程的变量或因变量用新的变量代换，使原方程化为相对容易解的方程类型，从而达到快捷求解的目的。
然而，值得注意的是，不同的类型的方程, 其采用的变量代换可能不尽相同，本文对各种变量代换方法在求解微分方程中应用进行讨论和总结。
2 变量代换方法在几类微分方程求解中的应用 定义1 如果一阶微分方程具有形式)()(y g x f dxdy=，则该方程称为可分离变量微分方程.若设0)(≠y g ，则可将方程化为dx x f y g dy)()(=.即将两个变量分离在等式两端. 其特点是：方程的一端只含有y 的函数与dy ，另一端只含有x 的函数与dx .对于该类程，我们通常采用分离变量的方法来处理。
例1 求微分方程xy y 2='的通解. 解 因为xy dx dy 2=， 分离变量，xdx dxdy2=，两端积分，C x y +=2||ln ， 12||c x e y +=， 所以12c xe y +±=.令1C e C ±=，于是2x Ce y =为所求.注：以后为了方便，可将||ln y 就写成y ln ，注意结果中C 可正可负.对于上面的例子，我们可以采用分离变量的方法来求解，而有些方程虽然不是变量分离方程，但是可以通过适当的变量代换，转换为分离变量方程。
对于新方程应用分离变量的方法，求出通解后再带回原变量就可以得到其通解。
如何寻求恰当的变量代换将给定的方程化为分离变量方程，没有一般的方法，但是对于一些特殊类型的方程，这种变量代换却有固定的形式。
下面介绍几类这样的方程。
2.1 一阶齐次方程 1. 形如)(by ax f dxdy+=的齐次方程（其中b a ,()0≠b )为常数） 作变量代换，by ax u +=可将方程化为分离变量方程，将by ax u +=和dx dy b a dx du +=代入方程，整理后可得：)(u bf a dxdu +=例2 解方程()()032412=++-++dy x y dx x y 解 将方程整理后可得3)2(21)2(++++=x y x y dx dy 故令x y u +=2，带入后可得3254++=u u dx du 分离变量后，两边积分可得 C x u u +=++8454ln 再代回原变量，得方程的通解为 C x u u +=++8454ln2. 形如⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dx dy 的齐次方程 作变量代换xyu =，则dx du x u dx dy +=，代回原方程，整理后可得()u u f dx du x -此时方程转化为分离变量方程，故可求出其通解。
例3 解方程y x y x dx dy 2332++=解 令xyu 可得ux y =，代入方程得()32122+-=u u dx du x 分离变量，再积分，化简整理可得()()114+=-u c u x , 再代回原变量，得原方程的通解()()⎪⎭⎫⎝⎛+=-x y c x y 5注: 该类型还可以推广到形如()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y f x g x y dx dy2.2 伯努利方程形如n y x Q y x P dx dy )()(=+()1,0≠n ① 的方程称为伯努力方程。
注： 此方程的特点是未知函数的导数仍是一次的，但未知函数出现n 次方，1≠n 时为非线性的.我们也可通过适当的变量替换，化为线性的微分方程。
求解方法为： 将方程①的两端同乘以n y -，得 )()(1x Q y x P dxdyy n n =+--， 设变量替换 n y z -=1，则dx dy y n dx dz n --=)1(，即 dxdz n dx dy y n -=-11；代入原方程，得 )()(11x Q z x P dx dz n =+-，即 )()1()()1(x Q n z x P n dxdz -=-+，这是一个非齐次线性微分方程.按非齐次线性微分方程的求解方法求出通解；再以n y z -=1换回原变量，即为所求. 例4 求微分方程2)(ln y x a xydx dy =+的通解. 解 这是一个伯努力方程.以2-y 乘方程的两端，得 )(ln 112x a y xdx dy y =+-- ， 于是，令 1-=y z ，则dx dy y dx dz 2--=，即 dxdz dx dy y -=-2，代入原方程，得x a z xdx dz ln 1=+-， 或x a z xdx dz ln 1-=-，这是一个一阶非齐次线性微分方程.按照非齐次线性微分方程的常数变易法可求其通解。
2.3 二阶线性微分方程 形如f qy p y y =++'"（1）其中f q p 、、都是已知的连续函数,为二阶线性微分方程的一般形式。
0'"=++qy p y y（2）称为与之对应的齐次方程。
对于上两方程有下面两定理： 定理 1 若y1是()2的一个非零解，则由变量代换u y y 1=可求得(1)通解yy c y c y 32211++=其中c 1，c 2是任意常数且dx e y y y pdz ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=--⎰2112(3) dx e y e y y ypdx pdx ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰=--12112(4) 证明 设u yy1=是(1)的解，其中是u 待定函数 ，则有u u y y y '+=1'1'，uy u yyy u "1''1"1"2++=将y y y “‘、、代入(1)整y 后并注意y 1解得：y u y y u f p 1'1'"2=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ (5) (5)是关于u '的一阶线性微分方程，从而可得：eudx f dx p e y c y y dx y y p ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+•⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1'2121'12'⎰⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰•⎰+⎰=----c e y ey ey c dx dx f dx u pdxpdxpdx2121212 所以(1)的解为y y c y c y u y 322111++==其中y2、y 3分别为（3），（4）可直接验证（3）是的(2)特解又yy12不是常数，所以yy c y c y 32211++=是的通解。
定理2 二阶线性微分方程()()()x f ay dx dyx B dxy d x A =++22其中A ()x >0，a 是常数，可经自变量代换化为常系数线性微分方程的充要条件是：()()()x A c x x B A =-'21，c 为常数，在满足条件下由变换化为()⎪⎭⎫ ⎝⎛=++-t f ay dxdyckd d ty kϕ1222，k 可取任意非零实数 (6)证明 ①在满足条件下将变换()()⎰==x dx x A kt ϕ1代人（6）可验证结论正确。
② 若可把（6）化为：()t F y dtdyd ya a td=++2122(7) 把()x t ϕ=代入(7)得：()x dx dy dt dx dx dy dt dy ϕ'1•=•= ()()dxdyd y d yx x x d t dx•+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡ϕϕ'221'11'22222(8) 从而由于(7)和(8)是通解方程，所以把()()⎰=x A dxk x ϕ代入后一个等式可得()()c k a x A x B =='-1212.31 二阶常系数线性微分方程形如ey y xqy p α=++'"（其中p ，q 为常数） (9)的微分方程称为二阶常系数微分方程。
像这样的方程总可以经过变量代换e xA z y α-=将原方程(9)转化成关于Z 的线性齐次方程，其中A 是可以确定的待定常数，事实上，由于方程(9)有形如e xA α形式的特解，所以令e xA z y α-=则有e zy xA αα-=''，ezy xA αα2""-=将这三个式子代入方程(9)得e e e z ezxx x xqA qz pA p A αααααα=-+-+-"2"(10)整理得()[]021'"=++++-+q p A eqz z z xp ααα (11)要使方程称为齐次方程，当且仅当()[]021'=+++q p A exααα从而qp A ++-=αα21(12)容易看出，当α不是对应其次线性方程的特征方程02=++q p λλ的根，用(12)式所确定的A 代替变量代换中的A 后，方程可化⑴为一个齐次方程。
当α为特征方程的一个单根或重跟式，同理可得： ① α为单根时，pA +-=α21② α为重跟时，21-=A综上可得一下定理和推论：定理3 若α不是特征方程的根，则方程e y yxqy p α=++'"可经过变量代换e xqp z y ααα+++=21转化成Z 的齐次方程。
推论 1 若α是特征方程的单根时，则方程e y yxqy p α=++'"可经过变量代换e xx qp z y ααα+++=21[其中()q p p ++=+αααα222']转化成Z 的齐次方程。
推论 2 若α是特征方程的重根时，则方程e y yxqy p α=++'"可经过变量代换e x xqp z y ααα221+++=[其中()q p ++=ααα221"]转化成Z 的齐次方程。
对方程()C Bx A qy p x ey yx++=++2'"α (13)当α不是特征方程的根时，方程(13)有形如()F Ex D x e x ++2α形式的特解，于是可令()F Ex D z y x e x ++-=2α做法同前面一样，代入中并整理得()[]()()[]()()022222222'"=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+++++++++++++++-++e x Z Z xc D p q p F x B p D q P E A q p D qZ P ααααααααα于是令：()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++022*******C D p e q P F B p D q p E A q P D αααααααα得：qp AD ++-=αα2()()()q p qp B P A E ++++-+=ααααα22222F=()()()()()()()q p p q p q p p q P B AC q p A ++++++++++-+-++αααααααααααα2222223223222定理4 如α不是特征根，则方程()C Bx A qy p x ey y x++=++2'"α，总可经过变量代换：()()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+-+++++-++++--=+++++++++q p p q p q p q p x e p q p B A C q p A q p B p A q p A z y x αααααααααααααααααααα22222222232232222222转化为关于Z 的齐次方程。