概率论知识点总结
概率论知识点
第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。
是人们通常说的偶然现象。
其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。
对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。
样本空间: 概率论术语。
我们将随机试验E 的一切可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω。
样本空间的元素,即E 的每一个结果,称为样本点。
随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集Ø不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）: 若事件A 与事件B 不可能同时发生，亦即ΦB A = ，则称事件A 与事件B 是互斥(或互不相容)事件。
互逆事件: 事件A 与事件B 满足条件ΦB A = ，Ω=B A ,则称A 与B 是互逆事件，也称A 与B 是对立事件,记作A B =（或B A =）。
互不相容完备事件组：若事件组n A A A ,,21满足条件ΦA A j i = ，（n 1,2j i, =），Ω== n 1i i A,则称事件组n A A A ,,21为互不相容完备事件组(或称n A A A ,,21为样本空间Ω的一个划分)。
概率论的知识点总结
概率论的知识点总结1.概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数学工具，其基本概念包括样本空间、事件和概率空间。
样本空间是随机试验的所有可能结果的集合，事件是样本空间的子集，概率空间包括样本空间和定义在样本空间上的概率测度。
2.概率分布概率分布描述了随机变量可能取值的概率情况。
概率分布分为离散分布和连续分布两种。
常见的离散分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等；常见的连续分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
概率密度函数和累积分布函数是描述连续分布的重要工具。
3.随机变量随机变量是一种具有随机性的变量，它可以取样本空间中的某些值。
随机变量分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量的概率分布由概率质量函数描述，连续随机变量的概率分布由概率密度函数描述。
4.数学期望和方差数学期望是随机变量的平均值，描述了随机变量的位置参数；方差是随机变量与其数学期望之间的离散程度，描述了随机变量的分散程度。
数学期望和方差是描述随机变量性质的重要指标，它们具有许多重要的性质，如线性性质、切比雪夫不等式等。
5.大数定律大数定律是描述随机变量序列平均值的收敛性质的定理。
大数定律包括弱大数定律和强大数定律两种。
弱大数定律描述了随机变量序列平均值收敛于数学期望的概率性质，强大数定律描述了随机变量序列平均值几乎必然收敛于数学期望的性质。
6.中心极限定理中心极限定理是概率论中一个重要的定理，描述了大量独立随机变量的和呈现出正态分布的性质。
中心极限定理包括林德伯格-莱维中心极限定理、李亥莱中心极限定理等。
中心极限定理在统计学和金融学中具有重要的应用价值，它解释了正态分布在自然界和人类活动中的普遍性。
以上是概率论的一些重要知识点，概率论作为一门基础数学学科，不仅具有重要的理论意义，而且在实际应用中有着广泛的应用价值。
随着数据科学和人工智能的快速发展，概率论的应用前景将更加广阔。
概率论知识点总结归纳
概率论知识点总结归纳概率论是数学中的一个分支，研究随机现象发生的规律性及其数学模型。
概率论广泛应用于统计学、金融、生物学等领域。
本文将对概率论的基本概念、概率计算方法、常见概率分布以及概率论在实际问题中的应用进行总结归纳。
一、基本概念1. 随机试验：在相同的条件下可以重复进行的实验，结果不确定。
2. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合，用S表示。
3. 事件：由样本空间S的一个或多个元素构成的子集，表示试验结果的一个集合。
4. 概率：事件发生的可能性大小的度量，用P(A)表示。
二、概率计算方法1. 古典概型：指随机试验中每个基本事件发生的概率相等的情况。
计算概率时可以根据样本空间和事件个数进行计算。
2. 频率派概率：根据大量实验的频率来计算概率，概率等于事件发生的次数与试验次数之比的极限。
3. 主观概率：根据个人主观判断来计算概率，没有明确的计算方法。
三、常见概率分布1. 离散概率分布：表示随机变量在有限取值集合上的概率分布。
a. 伯努利分布：只有两个可能取值的离散概率分布。
b. 二项分布：多次伯努利试验的结果相加，每次试验相互独立。
c. 泊松分布：表示单位时间或空间内随机事件发生的次数的概率分布。
2. 连续概率分布：表示随机变量在一个区间上的概率分布。
a. 均匀分布：随机变量在一段区间上取值的概率相等。
b. 正态分布：最常见的连续概率分布，具有钟形曲线的特点。
四、概率论的应用1. 统计学：概率论是统计学的基础，通过概率论可以推导出统计学各种假设检验和置信区间的计算方法。
2. 金融学：概率论在金融学中被广泛应用，例如在风险管理、期权定价、投资组合构建等方面。
3. 生物学：概率论能够帮助解释生物学中的随机现象，如遗传、进化等过程中的概率计算。
4. 工程学：概率论可以用于工程问题的风险评估和可靠性分析，如工程结构的寿命预测等。
总结：概率论是研究随机现象的规律性及其数学模型的学科，它包括了基本概念、概率计算方法、常见概率分布以及在各个领域的应用。
概率知识点总结
概率知识点总结1、确定性现象：在一定条件下必然出现的现象。
2、随机现象：在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。
3、概率论：是研究随机现象统计规律的科学。
4、随机试验：对随机现象进行的观察或实验统称为随机试验。
5、样本点：随机试验的每个可能出现的实验结果称为这个试验的一个样本点。
6、样本空间：所有样本点组成的集合称为这个试验的样本空间。
7、随机事件：如果在每次试验的结果中，某事件可能发生，也可能不发生，则这一事件称为随机事件。
8、必然事件：某事件一定发生，则为必然事件。
9、不可能事件：某事件一定不发生，则为不可能事件。
10、基本事件：有单个样本点构成的集合称为基本事件。
11、任一随机事件都是样本空间的一个子集，该子集中任一样本点发生，则该事件发生。
利用集合论之间的关系和运算研究事件之间的关系和运算。
〔1〕事件的包含A B⊂〔2〕事件的并〔和〕A B〔3〕事件的交〔积〕A B〔4〕事件的差A B A B-=-=AB A〔5〕互不相容事件〔互斥事件〕A Bφ=〔6〕对立事件〔互逆事件〕A B Ω=，A B φ=，记B A = 〔7〕完备事件组：事件12,,,n A A A 两两互不相容，且1n A A AΩ=〔8〕事件之间的运算规律：交换律、结合律、分配率、De Morgan 定理 12、概率()1P Ω=，()0P φ=如果12,,,n A A A 两两互不相容，则112()()()()n n P A AP A P P A A A =+++如果,A B 是任意两个随机事件，则()()()P A B P A P AB -=- 如果B A ⊂，则()()()P A B P A P B -=-()()()()P A B P A P B P AB =+-()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ 1111121()()()()()()(1())()nn j i j i ni n j k n i i i j k nP A AP A P A P A P A P A P A P A A A A ≤<≤=-≤<<≤=-+--+∑∑∑12、古典概型每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，即样本空间是有限集 每次试验中，每一个结果发生的可能性相同()A P A =包含的基本事件数试验的基本事件总数13、条件概率：()(|)()P AB P A B P B =为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率加法公式：()()()()P A B P A P B P AB =+-，若,A B 互斥，则()()()P A B P A P B =+乘法公式：()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==，若,A B 独立，则()()()P AB P A P B = 全概率公式：1221()()(|)()(|)()(|)n n P A P B P A B P B P A B P B P A B =+++贝叶斯公式：11()()(|)(|)()()(|)()(|)k k k n n k P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B =+=+14、事件独立：如果(|)()P B A P B =，则称事件B 对于事件A 独立，此时，事件A 对于事件B 独立，称,A B 相互独立。
概率论知识点总结
pij pig pgj
几 乎 处 处 相 等
f(x,y) fX(x)fY(y)
7
r.v.的函数 的分布
利用事件相等则概率相等的 用分布函数法求函数的分布
概念求函数的分布律
函数(或分布密度)
二维r.v.的函数 的分布
FZ(z)P{Zz}P{g(X,Y)z}
P{Zzk} "zk的 所 有 原 像 点 概 率 之 和 "
概念 样本点、样本空间、基本事件、随机事件、必然事件、不可能事件
1o和 : AB
2o积 : AB
随
3o差 : AB
运算
机 及 1o包 含 : AB
关系
事
2o相 等 : AB
3o互 不 相 容
件
4o对立A
运算 性质
相 应 于 集 合 运 算 性 质 均 成 立
3
1o公理化定义: 对 样 本 空 间 中 任 意 事 件 A , 定 义 数 P ( A ) 满 足 :
pij
g( xi , yjd P{g(X ,Y ) z} dz
(在 该 导 数 连 续 点 处 )
和
的
fZ(z)f(zy,y)dy
fZ(z)f(x,zx)dx
分
布
特别 :(卷积公式)
X,Y独 立
fZ(z) fX(zy)fY(y)dy
X,Y独 立
fZ(z) fX(x)fY(zx)dx
X,Y独立
极 值
Fmax(X,Y)(z)
分 布
X,Y独立
Fmin(X,Y)(z)
8
r.v.的期望
定 义
期 望
r.v.的函 数的
期望
E(X) xk pk k1
概率论必备知识点
概率论必备知识点概率论是一门研究随机现象数量规律的数学分支，它在各个领域都有着广泛的应用，从物理学、生物学、经济学到计算机科学等。
以下是一些概率论中的必备知识点。
一、随机事件与概率随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
例如，抛一枚硬币，正面朝上就是一个随机事件。
概率则是用来衡量随机事件发生可能性大小的数值。
概率的取值范围在 0 到 1 之间，0 表示不可能发生，1 表示必然发生。
计算概率的方法有多种。
对于等可能事件，概率等于事件所包含的基本结果数除以总的基本结果数。
例如，掷一个骰子，出现点数为 3的概率就是 1/6，因为骰子共有 6 个面，每个面出现的可能性相等，而点数为 3 的只有 1 种情况。
二、古典概型古典概型是一种最简单的概率模型。
在古典概型中，试验的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等。
例如，从装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机取出一个球，求取出红球的概率，这就是一个古典概型问题。
计算古典概型的概率，可以使用公式：P(A) ＝ n(A) ／n(Ω)，其中P(A)表示事件 A 发生的概率，n(A)表示事件 A 包含的基本结果数，n(Ω)表示总的基本结果数。
三、几何概型几何概型是古典概型的推广，当试验的结果是无限的，且每个结果出现的可能性相等时，就可以使用几何概型来计算概率。
例如，在一个时间段内等待公交车，求等待时间不超过 5 分钟的概率。
在几何概型中，概率等于事件对应的区域长度（面积或体积）除以总的区域长度（面积或体积）。
四、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
例如，已知今天下雨，明天晴天的概率就是一个条件概率。
条件概率的计算公式为：P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A)，其中 P(B|A)表示在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，P(AB)表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A)表示事件 A 发生的概率。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结一、概率论知识点总结：1.随机事件：随机事件是指在一次试验中，可能发生也可能不发生的事件。
例如：掷硬币的结果、抽取扑克牌的花色等。
2.概率：概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。
概率的取值范围是[0,1]，表示事件发生的可能性大小，0表示不可能发生，1表示一定会发生。
3.古典概型：古典概型是指每种可能的结果发生的概率相等的情形。
例如：掷骰子的结果、抽取彩色球的颜色等。
4.随机变量：随机变量是用来描述试验结果的数值，它的取值是根据随机事件的结果确定的。
例如：掷骰子的点数、抽取扑克牌的点数等。
5.概率分布：随机变量的概率分布描述了每个取值发生的概率。
常见的概率分布有离散概率分布和连续概率分布，如二项分布、正态分布等。
6. 期望值：期望值是衡量随机变量取值的平均值。
对于离散型随机变量，期望值=E[X]=∑[xP(X=x)]；对于连续型随机变量，期望值=E[X]=∫[x f(x)dx]，其中f(x)为概率密度函数。
7. 方差：方差是衡量随机变量取值与期望值之间的偏离程度。
方差=Var(X)=E[(X-E[X])^2]。
8.独立性：两个随机事件或随机变量之间的独立性表示它们的发生与否或取值无关联。
独立性的判定通常通过联合概率、条件概率等来进行推导。
二、数理统计知识点总结：1.样本与总体：在统计学中，样本是指从总体中选取的具体观测数据。
总体是指要研究的对象的全部个体或事物的集合。
2.参数与统计量：参数是描述总体特征的数值，如总体均值、总体方差等。
统计量是根据样本计算得到的参数估计值，用来估计总体参数。
3.抽样方法：抽样方法是从总体中选取样本的方法，常见的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、整群抽样等。
4.统计分布：统计分布是指样本统计量的分布。
常见的统计分布有t分布、F分布、x^2分布等，其中t分布适用于小样本、F分布适用于方差比较、x^2分布适用于拟合优度检验等。
5.点估计与区间估计：点估计是以样本统计量为基础，估计总体参数的数值。
概率知识点归纳整理总结
概率知识点归纳整理总结概率基础知识1. 样本空间和事件概率论的基本概念是样本空间和事件。
样本空间是一个随机试验所有可能结果的集合，通常用Ω表示。
事件是样本空间的一个子集，表示随机试验的一些结果。
事件的概率描述了该事件发生的可能性有多大。
2. 概率的定义在样本空间Ω中，事件A包含n(A)个基本事件，概率P(A)定义为P(A)=n(A)/n(Ω)，即事件A的发生可能性是A包含的基本事件数目与样本空间的基本事件数目之比。
3. 概率的性质概率具有以下几个性质：（1）非负性：对于任意事件A，有0≤P(A)≤1；（2）规范性：样本空间的概率为1，即P(Ω)=1；（3）可列可加性：若事件A1，A2，A3，...两两互斥，则P(A1∪A2∪A3∪...)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+...。
4. 条件概率条件概率是指在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，表示为P(A|B)，其定义为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
5. 独立事件两个事件A和B称为独立事件，当且仅当P(A∩B)=P(A)P(B)。
6. 贝叶斯定理贝叶斯定理是用来计算逆概率的定理，它表示为P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)。
概率的应用1. 排列与组合排列和组合是概率论的一个重要应用。
排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排列的种数，用P(n,m)表示，其公式为P(n,m)=n!/(n-m)!。
组合是指从n个不同元素中取出m个元素进行组合的种数，用C(n,m)表示，其公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!）。
2. 事件的独立性在概率论中，独立性是一个重要的概念。
事件A和事件B称为独立事件，如果P(A∩B)=P(A)P(B)，即事件A的发生与事件B的发生互不影响。
在实际应用中，很多情况下要求两个事件的独立性，以便于计算事情发生的可能性。
3. 随机变量随机变量是概率论中的一个重要概念，它是一个从样本空间到实数的映射。
随机变量可分为离散型和连续型两种。
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ﻫ(3)
(4)若ＡＢ,则P(B-Ａ）=P(B)-P（A), P(Ｂ)≥P（A)．
第四节：条件概率：在事件B发生的条件下,事件A发生的概率称为Ａ对B的条件概率,记作P（A｜B)．
而条件概率P(Ａ|B）是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小,即Ｐ(A｜Ｂ）仍是概率.
乘法公式： 若Ｐ(B)>0,则P（AB)=P(Ｂ)Ｐ(A|B)
2、几何概率:设事件A是S的某个区域，它的面积为μ(A），则向区域S上随机投掷一点,该点落在区域A的概率为:
P（A)=μ（A)／μ(S)假如样本空间S可用一线段,或空间中某个区域表示，并且向S上随机投掷一点的含义如前述,则事件A的概率仍可用(*)式确定,只不过把理解为长度或体积即可.
概率的性质：ﻫ(１）P（）＝0,
第五节：若两事件A、B满足
Ｐ（ＡB）=P(A)P（B)则称A、Ｂ独立,或称A、B相互独立.
将两事件独立的定义推广到三个事件：
对于三个事件A、Ｂ、C,若
Ｐ(AC)=P（A）P(Ｃ)P(AＢ）=P(A）P(B)
P(ABC)＝P(Ａ)Ｐ(B)P(Ｃ)Ｐ(BC）=Ｐ(B）P（C)四个等式同时成立,则称事件A、Ｂ、Ｃ相互独立.
概率论知识点总结
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ﻩ
概率论总结
目录
一、前五章总结
第一章随机事件和概率…………………………1
第二章随机变量及其分布……………………….５
第三章多维随机变量及其分布…………………1０
3、离散型随机变量及其分布
定义1:设xk(k＝１,２, …)是离散型随机变量X所取的一切可能值,称等式P(Ｘ=xk)=PK，为离散型随机变量X的概率函数或分布律，也称概率分布．其中PK，≥0；ΣPk=１
分布律与分布函数的关系：
(1)已知随机变量Ｘ的分布律，可求出X的分布函数:
①设一离散型随机变量X的分布律为
定义6：逆事件/对立事件ﻫ称事件“A不发生”为事件Ａ的逆事件，记为Ā 。A与Ā满足：A∪Ā= S,且AĀ=Φ。
运算律:
设A,B，Ｃ为事件，则有
（1)交换律：Ａ∪B=B∪Ａ，AB=BA
(２）结合律:A∪(Ｂ∪C)=(A∪B）∪C=A∪B∪C
A（ＢC)=（ＡＢ)C=AＢC
（3）分配律:A∪（Ｂ∩Ｃ)=(Ａ∪B)∩（A∪C)
在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情(结果）称为随机事件，简称为事件。
不可能事件：在试验中不可能出现的事情,记为Ф。
必然事件：在试验中必然出现的事情,记为S或Ω。
2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ｅ或ω.全体样本点的集合称为样本空间.样本空间用S或Ω表示.
一个随机事件就是样本空间的一个子集。
P(A)>０,则P(AB)=Ｐ(A)P（Ｂ|A)
全概率公式：设A1,Ａ2,…，An是试验Ｅ的样本空间Ω的一个划分，且Ｐ(Ai)>0，i ＝1,2,…,n,B是任一事件,则
贝叶斯公式：设A１,A2，…,Ａn是试验Ｅ的样本空间Ω的一个划分,且P（Ａｉ)＞0,i =1,2,…，ｎ,B是任一事件且P(B)>0,则
第四章随机变量的数字特征……………………１3
第五章极限定理………………………………．..1８
二、学习概率论这门课的心得体会……………………20
一、前五章总结
第一章随机事件和概率
第一节:1．、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性(３）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。
第六节:定理 对于ｎ重贝努利试验,事件A在ｎ次试验中出现k次的概率为
总结：
1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。
2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，请牢固掌握。
3.独立性是概率论中的最重要概念之一,亦是概率论特有的概念,应正确理解并应用于概率的计算。
4.贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一,在应用上相当广泛。
第二章：随机变量及其分布
１ 、随机变量:分为离散型随机变量和连续型随机变量。
分布函数：设X是一个r.v，ｘ为一个任意实数，称函数
Ｆ（X)=Ｐ(X≤ｘ）为X的分布函数。X的分布函数是F(x）记作Ｘ～F(x)或FX(x）.
如果将X看作数轴上随机点的坐标,那么分布函数Ｆ（x)的值就表示X落在区间 (x≤X）。
基本事件—单点集,复合事件—多点集
一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。
事件间的关系及运算,就是集合间的关系和运算。
3、定义：事件的包含与相等
若事件Ａ发生必然导致事件B发生,则称Ｂ包含Ａ,记为BA或AB。
若AB且ＡＢ则称事件A与事件B相等,记为Ａ＝Ｂ。
定义:和事件ﻫ“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪Ｂ。 用集合表示为: Ａ∪B={e|e∈A，或ｅ∈B｝。
P｛X=xk}=pk(ｋ=1,2，…)ﻫ由概率的可列可加性可得Ｘ的分布函数为
②已知随机变量X的分布律, 亦可求任意随机事件的概率。
（2)已知随机变量X的分布函数，可求出X的分布律:
一、三种常用离散型随机变量的分布
． 1(0－1)分布:
设随机变量X只可能取０与1两个值，它的分布律为
定义:积事件
称事件“事件A与事件B都发生”为A与Ｂ的积事件，记为Ａ∩Ｂ或ＡB，用集合表示为AＢ={e|e∈Ａ且ｅ∈Ｂ｝。
定义：差事件
称“事件A发生而事件Ｂ不发生,这一事件为事件Ａ与事件B的差事件,记为Ａ-B,用集合表示为 A－B={e|e∈A,eB} 。
定义：互不相容事件或互斥事件
如果Ａ，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ ,则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。
Ａ(B∪C)＝(A∩B)∪(Ａ∩C)＝ ＡB∪ＡC
(4)德摩根为
四种关系：包含、相等、对立、互不相容；
四种运算:和、积、差、逆；
四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。
第二节：
1、设试验E是古典概型,其样本空间S由n个样本点组成，事件Ａ由k个样本点组成.则定义事件A的概率为:Ｐ(A）＝ｋ/n＝Ａ包含的样本点数/S中的样本点数。