正弦函数、余弦函数的性质(二)

题型二 利用正弦、余弦函数的单调性比较大小
例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小. (1)sin 196°与cos 156°；
解 sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°. ∵0°<16°<66°<90°，且y＝sin x在0°≤x≤90°时是增函数， ∴sin 16°<sin 66°， 从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.
2 2.
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3.cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是_c_o_s_1_>_c_o_s__2_>_c_o_s_3_.(用“>”连接) 解析 由于0<1<2<3<π，而y＝cos x在[0，π]上单调递减， 所以cos 1>cos 2>cos 3.
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4.若函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是_(_－__π_，__0_]. 解析 因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数， 在[0，π]上是减函数， 所以只有－π<a≤0时满足条件， 故a∈(－π，0].
由图象(图略)可知，函数f(x)是偶函数，不是奇函数.
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2.(2018·江西高安中学高二期末)函数 f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为
A.－1
√B.－
2 2
2
C. 2
D.0
解析 ∵x∈0，π2，∴－π4≤2x－π4≤34π，
∴当 2x－π4＝－π4，即 x＝0 时，
f(x)＝sin2x－π4取得最小值，为－
题型三 正弦、余弦函数的值域或最值
例 3 求函数 f(x)＝2sin2x＋2sin x－12，x∈π6，56π的值域.
解 令 t＝sin x，因为 x∈π6，56π， 所以 t∈12，1，则 f(x)可化为 y＝2t2＋2t－12＝2t＋122－1，t∈12，1， 所以当 t＝12时，ymin＝1， 当 t＝1 时，ymax＝72， 故 f(x)的值域是1，72.
第一章 §1.4 三角函数的图象与性质
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和 最值. 2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小. 3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间.
已知三角函数的单调性求参数范围
典例 已知 ω 是正数，函数 f(x)＝2sin ωx 在区间－π3，π4上是增函数，求 ω 的取值
范围.
素养 评析
(1)此类问题可先解出f(x)的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，
然后列不等式组求出参数范围.
(2)理解运算对象，选择运算方法，探究运算思路，通过运算促进数学思
维，提升数学核心素养.
3 达标检测
PART THREE
1.已知函数 f(x)＝sinx－π2(x∈R)，下面结论错误的是 A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数 f(x)在区间0，π2上是增函数 C.函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
√D.函数f(x)是奇函数
解析 因为 f(x)＝sinx－π2＝－cos x，
跟踪训练 3 函数 y＝2sin2x－π3－1 在π4，π2上的值域为__[_0_,1__] __.
解析 因为 x∈π4，π2， 所以 2x－π3∈π6，23π， 所以 sin2x－π3∈12，1. 所以 2sin2x－π3－1∈[0,1]. 所以函数的值域为[0,1].
核心素养之数学运算
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE YUN SUAN
递增， 在 [π2＋2kπ，32π＋2kπ]，k∈Z
在 [－π＋2kπ，2kπ]，上k∈递Z增， 上 在 [2kπ，π＋2kπ]，k上∈递Z 减
递减 当x＝ x＝π2＋2kπ，k∈Z
时，
最值
y当maxx＝＝1x；＝－π2＋2kπ，k∈Z 时， ymin＝－1
当x＝ 2kπ，k∈Z 时，ymax＝1； 当x＝ π＋2kπ，k∈Z 时，ymin＝－1
(2)cos－253π与 cos－147π.
解 cos－253π＝cos 253π＝cos4π＋35π＝cos 35π，
cos－147π＝cos
147π＝cos4π＋π4＝cos
π 4.
∵0<π4<35π<π，且 y＝cos x 在[0，π]上是减函数，
∴cos 35π<cos π4，即 cos－253π<cos－147π.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.正弦函数在定义域上是单调函数.( × )
提示 正弦函数不是定义域上的单调函数.
2.正弦函数在第一象限是增函数.( × )
提示 正弦函数在第一象限不是增函数，因为在第一象限，如π2<23π，但 sin π2＝1， sin 23π＝ 23，sin π2>sin 23π.
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5.函数 y＝3－4cos2x＋π3，x∈－π3，π6的最大值和最小值分别为__5___－__1_.
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法 把 ωx＋φ 看成一个整体，由 2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)解出 x 的范围，所得 区间即为增区间，由 2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋32π(k∈Z)解出 x 的范围，所得区间即 为减区间.若 ω<0，先利用诱导公式把 ω 转化为正数后，再利用上述整体思想求出
对于余弦函数y＝cos x，x∈R，有： 当且仅当x＝ 2kπ，k∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x＝ (2k＋1)π，k∈Z 时，取得最小值－1.
知识点二 正弦、余弦函数的单调性
解析式
y＝sin x
图象
]
单调性
在 [－π2＋2kπ，π2＋2kπ]，k∈Z 上
如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其
单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.
跟踪训练 1 求函数 f(x)＝2cos2x－π6的单调递增区间. 解 令－π＋2kπ≤2x－π6≤2kπ，k∈Z， 解得－51π2＋kπ≤x≤1π2＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间是 －51π2＋kπ，1π2＋kπ，k∈Z.
值(值域).
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y
＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根
据二次函数的单调性求值域(最值).
(3)对于形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值还要注意对a的讨论.
反思
感悟 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不 在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性 来比较大小.
跟踪训练2 比较下列各组数的大小. (1)sin－367π与 sin 439π；
解 sin－367π＝sin－6π－π6＝sin－π6， sin 439π＝sin16π＋π3＝sin π3， 因为 y＝sin x 在－π2，π2上是增函数， 所以 sin－π6<sin π3， 即 sin－367π<sin 439π.
相应的单调区间.
2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三 角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断. 3.求三角函数值域或最值的常用方法 将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用 函数的单调性等来确定y的范围.
反思 感悟
一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等.
三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身
的性质.
常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：
(1)形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，
求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
1 自主学习
PART ONE
知识点一 正弦、余弦函数的定义域、值域
观察下图中的正弦曲线和余弦曲线. 正弦曲线：
余弦曲线：
可得如下性质：
由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，值域都 是 [－1,1.]
对于正弦函数y＝sin x，x∈R，有： 当且仅当x＝ π2＋2kπ，k∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x＝ －π2＋2kπ，k∈Z 时，取得最小值－1.
(2)cos 870°与sin 980°.
解 cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°， sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260° ＝sin(90°＋170°)＝cos 170°， 因为0°<150°<170°<180°， y＝cos x在0°<x<180°时是减函数， 所以cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°.
3.存在实数x，使得cos x＝ 2 .( × )
提示 余弦函数最大值为1.
4.余弦函数y＝cos x在[0，π]上是减函数.( √ )
提示 由余弦函数的单调性可知正确.
2 题型探究
PART TWO