第四章 材料的断裂韧性
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第4章 金属的断裂韧度
1 2 x y
2 (
x y
2
) 2 2 xy ) 2 2 xy
19/49
x y
2
(
x y
2
3 ( 1 2 )
19
第四章 金属的断裂韧性
裂纹尖端附近任一点P(r,θ)的主应力：
KI 1 cos (1 sin ) 2 2 2 r KI 2 cos (1 sin ) 2 2 2 r 3 0(平面应力) 2 K I 3 cos (平面应变) 2 2 r
3/49
3
第四章 金属的断裂韧性
第一节 线弹性条件下金属断裂韧度
大量断口分析表明，金属机件的低应力脆断 断口没有宏观塑性变形痕迹，所以可以认为 裂纹在断裂扩展时，尖端总处于弹性状态， 应力-应变应呈线性关系。 因此，研究低应力脆断的裂纹扩展问题时， 可以用弹性力学理论，从而构成了线弹性断 裂力学。
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第四章 金属的断裂韧性
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第四章 金属的断裂韧性
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第四章 金属的断裂韧性
（三）断裂韧度KIc和断裂K判据
KI是决定应力场强弱的一个复合力学参量，就可将它 看作是推动裂纹扩展的动力，以建立裂纹失稳扩展的 力学判据与断裂韧度。 当σ和a单独或共同增大时，KI和裂纹尖端的各应力分 量随之增大。 当KI增大到临界值时，也就是说裂纹尖端足够大的范 围内应力达到了材料的断裂强度，裂纹便失稳扩展而 导致断裂。 这个临界或失稳状态的KI值就记作KIC或KC，称为断 裂韧度。
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第四章 金属的断裂韧性
应力分量：
2 (
x y
2
) 2 2 xy ) 2 2 xy
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x y
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(
x y
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第四章 金属的断裂韧性
裂纹尖端附近任一点P(r,θ)的主应力：
KI 1 cos (1 sin ) 2 2 2 r KI 2 cos (1 sin ) 2 2 2 r 3 0(平面应力) 2 K I 3 cos (平面应变) 2 2 r
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第四章 金属的断裂韧性
第一节 线弹性条件下金属断裂韧度
大量断口分析表明，金属机件的低应力脆断 断口没有宏观塑性变形痕迹，所以可以认为 裂纹在断裂扩展时，尖端总处于弹性状态， 应力-应变应呈线性关系。 因此，研究低应力脆断的裂纹扩展问题时， 可以用弹性力学理论，从而构成了线弹性断 裂力学。
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第四章 金属的断裂韧性
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第四章 金属的断裂韧性
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第四章 金属的断裂韧性
（三）断裂韧度KIc和断裂K判据
KI是决定应力场强弱的一个复合力学参量，就可将它 看作是推动裂纹扩展的动力，以建立裂纹失稳扩展的 力学判据与断裂韧度。 当σ和a单独或共同增大时，KI和裂纹尖端的各应力分 量随之增大。 当KI增大到临界值时，也就是说裂纹尖端足够大的范 围内应力达到了材料的断裂强度，裂纹便失稳扩展而 导致断裂。 这个临界或失稳状态的KI值就记作KIC或KC，称为断 裂韧度。
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第四章 金属的断裂韧性
应力分量：
第四章 材料的断裂韧性
2021/7/14
• 在平面应变条件下
• 对于Ⅰ型穿透裂纹，
• 对于一定材料和厚度的板材，不论其 裂纹尺寸如何，当裂纹张开位移达到 同一临界值δC时，裂纹就开始扩展。
• 临界值δC也称为材料的断裂韧度，表 示材料阻止裂纹开始扩展的能力。
• 平面应变状态应变分量为
2021/7/14
• 平面应变状态x、y轴方向的位移 分量为
2021/7/14
• 可以看出，裂纹尖端任意一点的应力、 应变和位移分量取决于该点的坐标(r， θ)、材料的弹性模数以及参量KI。
• 对于如图所示的平面应力情况，KI可用 下式表示。
2021/7/14
• 若裂纹体的材料一定，裂纹尖端附近某一点的 位置(r，θ)给定，则该点的各应力、应变和 位移分量唯一决定于KI值，KI值愈大，则该点 各 反映应了力裂、纹应尖变端和区位域移应分力量场之的值强愈度高，，故因称此之，为KI 应力场强度因子，它综合反映了外加应力、裂 纹形状、裂纹长度对裂纹尖端应力场强度的影 响，其一般表达式为
• 1968年，Rice提出了J积分，Hutchinson 证明J积分可以用来描述弹塑性体中裂纹 的扩展，在这之后，逐步发展起来弹塑 性断裂力学。
2021/7/14
• 断裂力学研究裂纹尖端的应力、应变 和应变能的分布情况，建立了描述裂 纹扩展的新的力学参量、断裂判据和 对应的材料力学性能指标—断裂韧度 ，以此对机件进行设计和校核。
• 式中：Y为裂纹形状系数，取决于裂纹的形状 。
• K型I的和脚Ⅲ标型表裂示纹I的型应裂力纹场，强同度理因，子KⅡ。、KⅢ表示Ⅱ • 对2021于/7/14 不同形状的I型裂纹裂纹，KI和Y的表达式
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• 在平面应变条件下
• 对于Ⅰ型穿透裂纹，
• 对于一定材料和厚度的板材，不论其 裂纹尺寸如何，当裂纹张开位移达到 同一临界值δC时，裂纹就开始扩展。
• 临界值δC也称为材料的断裂韧度，表 示材料阻止裂纹开始扩展的能力。
• 平面应变状态应变分量为
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• 平面应变状态x、y轴方向的位移 分量为
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• 可以看出，裂纹尖端任意一点的应力、 应变和位移分量取决于该点的坐标(r， θ)、材料的弹性模数以及参量KI。
• 对于如图所示的平面应力情况，KI可用 下式表示。
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• 若裂纹体的材料一定，裂纹尖端附近某一点的 位置(r，θ)给定，则该点的各应力、应变和 位移分量唯一决定于KI值，KI值愈大，则该点 各 反映应了力裂、纹应尖变端和区位域移应分力量场之的值强愈度高，，故因称此之，为KI 应力场强度因子，它综合反映了外加应力、裂 纹形状、裂纹长度对裂纹尖端应力场强度的影 响，其一般表达式为
• 1968年，Rice提出了J积分，Hutchinson 证明J积分可以用来描述弹塑性体中裂纹 的扩展，在这之后，逐步发展起来弹塑 性断裂力学。
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• 断裂力学研究裂纹尖端的应力、应变 和应变能的分布情况，建立了描述裂 纹扩展的新的力学参量、断裂判据和 对应的材料力学性能指标—断裂韧度 ，以此对机件进行设计和校核。
• 式中：Y为裂纹形状系数，取决于裂纹的形状 。
• K型I的和脚Ⅲ标型表裂示纹I的型应裂力纹场，强同度理因，子KⅡ。、KⅢ表示Ⅱ • 对2021于/7/14 不同形状的I型裂纹裂纹，KI和Y的表达式
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材料力学性能_第四章
4.2 裂纹体的应力分析
线弹性断裂力学研究对象是带有裂纹的线弹性体。严格 讲，只有玻璃和陶瓷这样的脆性材料才算理想的弹性体。 为使线弹性断裂力学能够用于金属，必须符合金属材料 裂纹尖端的塑性区尺寸与裂纹长度相比是一很小的数值条 件。 在此条件下，裂纹尖端塑性区尺寸很小，可近似看成理 想弹性体。 在线弹性断裂力学中有以Griffith-Orowan为基础的能量 理论和Irwin为应力强度因子理论。
小，消耗的变形 功也最小，所以
平面应力
裂纹就容易沿x方
向扩展。
4.5 裂纹尖端的塑性区
为了说明塑性区对裂纹在x方向扩展的影响。
当 ＝0（在裂纹面上），其塑性区宽度为：
r0 (r ) 0
1 KI 2 ( ) 2 s
K1 y r ,0 2r
4.5 裂纹尖端的塑性区
由各应力分量公式也可直接求出在裂纹线上的
切应力平行于裂纹 面，而且与裂纹线 垂直，裂纹沿裂纹 面平行滑开扩展。
III型（撕开型）断裂
切应力平行作用于 裂纹面，而且与裂 纹线平行，裂纹沿 裂纹面撕开扩展。
4.2 裂纹体的应力分析
4.2.2 I型裂纹尖端的应力场
裂纹扩展是从其尖端开始向前进行的，所以应该分析裂纹 尖端的应力、应变状态，建立裂纹扩展的力学条件。
4.2 裂纹体的应力分析
4.2.1 裂纹体的基本断裂类型
在断裂力学分析中，为了研究上的方便，通常 把复杂的断裂形式看成是三种基本裂纹体断裂的组 合。 I 型（张开型）断裂 （最常见 ）
拉应力垂直于裂纹面扩展面，裂纹沿作用力方向 张开，沿裂纹面扩展。
4.2 裂纹体的应力分析
II 型（滑开型）断裂
根据应力强度因子和断裂韧性的相对大小，可以建 立裂纹失稳扩展脆断的断裂K判据，平面应变断裂最 危险，通常以KIC为标准建立，即： 应用：用以估算裂纹体的最大承载能力、允许的裂 纹尺寸，以及材料的选择、工艺优化等。
第四章金属的断裂韧度
r
1
2
KI
s
2
ห้องสมุดไป่ตู้1
2
2
cos2
2
3 sin2 4
2
（平面应变）
尺寸最小
裂纹尖端附近塑性区的形状和尺寸
平面应力 平面应变
ro
1
2
( KⅠ )2
S
ro
(1 2 )2 2
( KⅠ )2
s
ν一般为0.3
∴平面应变的应力场比平面应力的硬。
amax KIC Y 2
0.25
75 1500
2
0.625(mm)
小结：脆性断裂的判据为工程安全设 计，防止构件脆性断裂提供了重要的理论依 据，解决了传统工程设计中经验的、没有理 论依据的、没有定量指标的选材方法，使得 设计的可靠性大大提高。
四、裂纹尖端塑性区及其修正 前面从应力场强度公式：
裂纹形状系 数
量纲
注：
① KⅠ为与外加应力大小、裂纹性质(位置、 长度)等有关的复合力学参量，外应力σ 越大 ，裂纹宽度a越大，KⅠ越大——但并非力性指 标
② 裂纹尖端附近各固定点P (γ ，θ ) 的应力 分量取决于KI，所以可把KI看成引起裂纹扩展 的动力.
问题：裂纹为什么
xx
（ 分会2析沿ar cxxo轴方s2上向1的裂sin受开2 s力？in 32
KI Y a ry
从哪里入手讨论塑性区的大小ry？
讨论裂纹尖端应力场中达到屈服应力的区域即为 塑性区，用此条件来确定塑性区的边界方程。 （用到强度理论的屈服准则和力学的应力计算）
材料性能学 4.断裂韧性
定厚度后保持不
变。因此，工程 上 KⅠC 是指达到 一定厚度后（平
面应变）断裂韧
度。
过渡区
KC 平面应力
平面应变
KⅠC
B
B
2.5
K C
s
2
五、裂纹尖端塑性区及 KⅠ修正
按K1建立的脆性断裂判据,只适用于线弹性体。其实， 金属材料在裂纹扩展前，其尖端附近总要先出现或 大或小的塑性变形区，
如果塑性区尺寸裂纹尺寸及净截面尺寸小时，（小 一个数量级以上）即在小范围屈服下，对K进行修正 后，依然可用。
究点到裂纹尖端距离 r 有如下关系：
1
y r 2
或
1
r 2 y K
1
当 r →0 时， σy →∞，表明裂纹尖端前沿应力场具有 r 2阶奇异性。参
数 K 表征了应力场奇异性程度，其含义是，当 r →0 时， σy 以 K 的速度→∞， K 越大，则σy →∞的速度也越大，表明应力分布曲线越陡，即应力集中程度 越大，因此，参数 K 又称为“应力场强度因子”。
二、裂纹尖端应力状态
1、平面应力状态
x 0
y 0
xy 0
z 0
yz zx 0
z
E
x
y
对含穿透裂纹的薄板，可将裂纹顶端前沿视为平面应力 状态，此时材料受剪切力大，易于塑性变形，阻碍裂纹扩展。
2、平面应变状态
z 0
x 0 y 0 xy 0
x 0 y 0 z x y
2
R01
1
Hale Waihona Puke Ks平面应力
R02
2
1
2
K
s
2
平面应变
三维塑性区形状及塑性区内应力分布
变。因此，工程 上 KⅠC 是指达到 一定厚度后（平
面应变）断裂韧
度。
过渡区
KC 平面应力
平面应变
KⅠC
B
B
2.5
K C
s
2
五、裂纹尖端塑性区及 KⅠ修正
按K1建立的脆性断裂判据,只适用于线弹性体。其实， 金属材料在裂纹扩展前，其尖端附近总要先出现或 大或小的塑性变形区，
如果塑性区尺寸裂纹尺寸及净截面尺寸小时，（小 一个数量级以上）即在小范围屈服下，对K进行修正 后，依然可用。
究点到裂纹尖端距离 r 有如下关系：
1
y r 2
或
1
r 2 y K
1
当 r →0 时， σy →∞，表明裂纹尖端前沿应力场具有 r 2阶奇异性。参
数 K 表征了应力场奇异性程度，其含义是，当 r →0 时， σy 以 K 的速度→∞， K 越大，则σy →∞的速度也越大，表明应力分布曲线越陡，即应力集中程度 越大，因此，参数 K 又称为“应力场强度因子”。
二、裂纹尖端应力状态
1、平面应力状态
x 0
y 0
xy 0
z 0
yz zx 0
z
E
x
y
对含穿透裂纹的薄板，可将裂纹顶端前沿视为平面应力 状态，此时材料受剪切力大，易于塑性变形，阻碍裂纹扩展。
2、平面应变状态
z 0
x 0 y 0 xy 0
x 0 y 0 z x y
2
R01
1
Hale Waihona Puke Ks平面应力
R02
2
1
2
K
s
2
平面应变
三维塑性区形状及塑性区内应力分布
4.第四章材料的断裂韧性
2012-4-10
（2）第三强度理论
(4-12)
即： (4-13) 于是有裂纹尖端的塑性区为： (4-14)
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平面应力下：（θ=0）
于是有：
(4-15)
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平面应变下：（θ=0） 因σ3 =2υσ1 ，按σ1 -σ3 =σs ，可计算出：
进而求得： (4-16)
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2012-4-10
第四章材料的断裂韧性
主讲 朱协彬
2012-4-10
目录
4.1 概述 4.2 裂纹尖端的应力场 4.3 断裂韧性和断裂判据 4.4 几种常见裂纹的应力强度因子 4.5 裂纹尖端的塑性区 4.6 塑性区及应力强度因子的修正 裂纹扩展的能量判据G 4.7 裂纹扩展的能量判据GI 4.8 GI和KI的关系 影响断裂韧性K 4.9 影响断裂韧性KIC的因素 金属材料断裂韧性K 4.10 金属材料断裂韧性KIC的测定 4.11 弹塑性条件下的断裂韧性
有效屈服应力： 通常将引起塑性变形的最大主应力，称为有效 屈服应力，以σys 记之。 有效屈服强度与单向拉伸屈服强度之比， 称 为塑性约束系数。 根据最大切应力理论：
2012-4-10
1）按第四强度理论计算
(4-7) 其中σ1 、σ2 、σ3 为主应力。 对裂纹尖端的主应力，可由下式求解： (4-8)
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将Irwin应力场代入上式得：
(4-9)
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代入到第四强度理论中，可计算得到裂纹尖端 塑性区的边界方程为： (4-10)
将上式用图形表示，塑性区的形状如下图：
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4.1 概述
随着高强度材料的使用，尤其在经车、轮船、桥梁和飞机等的意外事故。 传统设计思想: σ <σ许,使用应力小于许用应力。对于塑性材料σ许 =σs /n;对于脆性材料σ许=σb /n; n为安全系数。 从大量灾难性事故分析中发现，这种低应力脆性 破坏主要是由宏观尺寸的裂纹扩展而引起的，这 些裂纹源可能是因焊接质量不高、内部有夹杂或 存在应力集中等原因而引起的。
材料力学性能-第四章-金属的断裂韧度(4)
公式进行判断：
ac
0.25
KIC
2
2021年10月21日 星期四
第四章 金属的断裂韧度
1、高强度钢的脆断倾向 这类钢的强度很高，0.2≥1400MPa，主要用于航 空航天，工作应力较大，但断裂韧度较低，如18Ni马 氏体时效钢，0.2=1700MPa，KIC=78MPa·m1/2，若工 作应力=1250MPa时，利用上述公式可得ac=1mm，这 样小的裂纹在机件焊接过程中很容易产生，用无损检 测方法也容易漏检，所以此类机件脆断几率很大，因 此在选材时在保证不塑性失稳的前提下，尽量选用0.2 较低而KIC较高的材料。
B工艺：/0.2=1400/2100=0.67<0.7，故不必考虑
塑性区修正问题。由公式 KIC YcB a
可得： cB
1 Y
KIC a
Φ 1.1
KIC
a
1.273
47
1.1 3.14 0.001
971MPa
与其工作应力=1400MPa相比， cB< ，即工
作时会产生破裂，说明B工艺是不合格的，这和
2021年10月21日 星期四
第四章 金属的断裂韧度
其0.2=1800MPa，KIC=62MPa·m1/2，焊接后发现焊缝
中有纵向半椭圆裂纹，尺寸为2c=6mm，a=0.9mm，
试问该容器能否在p=6MPa的压力下正常工作？
t
D
解：根据材料力学理 论可以确定该裂纹受 到的垂直拉应力：
pD 61.5 900MPa
趋于缓和，断裂机理不再发生
变化。
2021年10月21日 星期四
第四章 金属的断裂韧度
7.应变速率：应变速率έ具有 KIC
与温度相似的效应。增加έ相 当于降低温度，使KIC下降，
第四章金属的断裂韧性
第四章金属的断裂韧性绪言-、按照许用应力设计的机件不一定安全按照强度储备方法确定机件的工作应力，即丁卜I-厂咚。
按照上述设计的零件应该n不会产生塑性变形更不会发生断裂。
但是，高强度钢制成的机件以及中、低强度钢制成的大型机件有时会在远低于屈服强度的状态下发生脆性断裂一一低应力脆性断裂。
二、传统塑性指标数值的大小只能凭经验。
像3（A）、书（Z）、A k、T k值，只能定性地应用，无法进行计算，只能凭经验确定。
往往出现取值过高，而造成强度水平下降，造成浪费。
中、低强度钢材料中小截面机件即属于此类情况。
而高强度钢材料机件及中、低强度钢的大型件和大型结构，这种办法并不能确保安全。
三、如何定量地把韧性应用于设计，确保机件运转的可靠性，从而出现了断裂力学。
断裂韧性一一能反映材料抵抗裂纹失稳扩展能力的性能指标。
大量事例和试验分析证明，低应力脆性断裂总是由材料中宏观裂纹的扩展引起的。
这种裂纹可能是冶金缺陷、加工过程中产生或使用中产生。
断裂力学运用连续介质力学的弹性理论，考虑了材料的不连续性，来研究材料和机件中裂纹扩展的规律，确定能反映材料抵抗裂纹扩展的性能指标及其测试方法，以控制和防止机件的断裂，定量地与传统设计理论并入计算。
本章主要介绍断裂韧性的基本概念、测试方法及影响因素，解决断裂韧性与外加应力和裂纹之间的定量关系。
第一节线弹性条件下的金属断裂韧性大量断口分析表明，金属机件或构件的低应力脆性断口没有宏观塑性变形痕迹。
由此可以认为，裂纹在断裂扩展时，其尖端总是处于弹性状态，应力和应变呈线性关系。
因此，在研究低应力脆断的裂纹扩展问题时，可以应用弹性力学理论，从而构成了线弹性断裂力学。
线弹性断裂力学分析裂纹体断裂问题有两种方法：一种是应力应变分析法（应力场分析法），考虑裂纹尖端附近的应力场强度，得到相应的断裂K判据；另一种是能量分析法，考虑裂纹扩展时系统能量的变化，建立能量转化平衡方程，得到相应的断裂G判据。
从这两种分析方法中得到断裂韧度Ki c和Gc，其中K i c是常用的断裂韧性指标，是本章的重点。
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力、位移和应变完全由KⅠ决定。 A. KⅠ定义：裂纹尖端应力应变强度因子。其大小取 决于机件受力大小，裂纹开关和大小。
B. KⅠ=Yσ√a Y：几何系数，单位[应力][长度]1/2 MPa.m1/2
或Kgf.mm-3/2
注：无限大平板内中心含穿透裂纹Y=√π,
KⅠ=σ√πa C.几种常见裂纹的应力强度因子表达式 P84
2. 断裂判据的应用
断裂失稳扩展条件：KⅠ≥KⅠC，此时对应的临界： σc= KⅠC/√πa(a一定)， ac= KⅠC/σ2π(σ一定)
某应力作用下，a>ac失效，a<ac裂纹不扩展。
同理：Ⅱ、Ⅲ类裂纹失稳扩展条件：
KⅡ=Yτ√a≥KⅡC
KⅢ=Yτ√a≥KⅢC
四.裂纹尖端塑性区及KI的修正
1.裂纹前塑性区
σs的区域增大到R0 R0=(1/π)×(KⅠ/σs)2
(平面应力)
R0=(1/2π√2)× (KⅠ/σs)2 (平面应变)
3. K裂I的纹修尖正端的弹性应力超过 材料屈服强度之后, 便产生应 力松驰，使塑性区增长 ，改变 了裂纹前的应力分布，不适用 于线弹性条件。
裂纹虚拟向前扩展ry,此时 虚拟裂纹尖端0’前端弹性区的 应力分布GEF,基本上与线弹性 条件下的σy相重合,对应的裂纹长度为a+ry,称为等效裂
KⅠ≥KⅠC判据 ，只适用于线弹性体.但事实上，金属 材料在扩展前，其尖端附近总是先出现一个或大的较大
的塑性变形区(存在塑性区或屈服区).试验表明如果裂
纹前塑性尺寸较裂纹尺寸a小很多(小一个数量级以上),
只要对KⅠ进行适当的修正,仍适用于线弹性条件. 根据材料力学,已知机件内过P点的截面应力分布,则
弹塑性断裂力学主要解决两方面的问题:
1.工程上广泛使用的中 低强度钢σs低 KⅠC高,对于中小 件, 裂纹尖端塑性区尺寸较大时,接近甚至超过裂纹
尺寸,已属大范围屈服条件.线弹性断裂力学不适用.
第四章 材料的断裂韧性
传统机件强度设计: 塑性材料 σ≤[σ]= σs/n 脆性材料: σ≤[σ]= σb/n
实际上有时σ<<[σ]时,机件仍断裂—低应力脆断,其原 因是传统设计把机件看成均匀、无缺陷、没有裂纹的理 想体.但实际工程材料在制造加工中会产生宏观缺陷乃 至裂纹,成为材料脆断的裂纹源, 从而引起低应力断裂. §4.1线弹性条件下的断裂韧性 线弹性体：裂纹体各部分的应力和应变符合虎克定律。 但裂纹尖端极小区存在塑性变形，也适用于线弹性条件。
展的能量释放率(裂纹扩展单位面积时系统释放势能值:系
统势能等于系统应变能减外力功U=Ue-W)。
U 1 U 2aຫໍສະໝຸດ GIABa
E
当裂纹厚度B=1时,
GI
U a
2a
E
(平面应力）
GI＝ （1－ γ 2）σ2πa/E （平面应变） 裂纹失稳扩展的条件：
GI≥ GIc
§4.2弹塑性条件下的断裂韧性
三.断裂韧性和断裂判据
1.断裂韧性Kc和KⅠ 裂纹尖端应力场表达式σij=KⅠ/(2πr)1/2×fij(θ)知， r→0, σ→∞, σ>>σs、σb.说明材料一有裂纹便断
裂，但断裂形为既与应力有关，也有裂纹大小，形状有
关。当KⅠ达到一临界值时，材料断裂，该临界值为Kc----断裂韧性（平面应变下）。
过P点主应力为: σ1=(σx＋σy)/2＋[((σx-σy)/2)2＋τxy]1/2 σ2=(σx＋σy)/2-[((σx-σy)/2)2＋τxy]1/2
σ3=0 (平面应力,薄板)
σ4=γ(σx＋σy)(厚板：平面应变)
将裂纹前端P (r,θ)的点应力表达式σx、σy、τxy代 入上式,得P点的主应力表达式: σ1= KⅠ/(2πr)1/2×cosθ/2(1＋sinθ/2) σ2= KⅠ/(2πr)1/2×cosθ/2(1－sinθ/2) σ3=0 (平面应力,薄板) σ3=2γ×KⅠ/(2πr)1/2 cosθ/2 (厚板：平面应变) 由第四强度理论(Mises)屈服临界条件: 将上式代入
（σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2=2σs2 ( σ1>σ2>σ3 主应力)得屈服区大小:
r=1/2π×(KⅠ/σs)2[cos2θ/2(1＋3sin2θ/2)] (平面应力)
r=1/2π×(KⅠ/σs)2[cos2θ/2(1-2γ)2＋3sin2θ/2] (平面应变)
裂纹沿用x方向最容易扩展.将此方向的塑性材料区大小
纹 长度.根据线弹性理论:
KⅠ=Yσ√(a+ry) KⅠ’= Yσ√a/[1-0.16(KⅠ/σs)2]1/2(平面应力)
修正条件: σ<0.5σs,误差小于7%,可不修正.
σ>0.5σs,r0/a<0.1时,修正有效;r0/a>0.1时,修正无效
五.裂纹扩展能量释放率GI
Griffith在脆性材料（线弹性）基础上，提出了裂纹扩
定义为塑性材料区宽度，令θ=0得: ro=1/2π×(KⅠ/σs)2(平面应力) ro=1/2π×(1-2γ)2(KⅠ/σs)2(平面应变)
Irwin修正： ro=(1/4π√2)× (KⅠ/σs)2 （平面应变）
2.塑性区大小修正 在r0塑性区内不考虑形变强化,则塑性区的应力等
于σs,但原来多出的那部分应力必然产生应力松驰,促 使相邻的弹性区应力升高,相应的曲线为σy,使达到
σx=KⅠ/(2πr)1/2×cosθ/2(1-sinθ/2sin3θ/2) σy= KⅠ/(2πr)1/2×cosθ/2(1＋sinθ/2sin3θ/2) σz=γ(σx＋σy)(厚板，平面应变) σz=0（薄板） τxy= KⅠ/(2πr)1/2sinθ/2sin3θ/2cosθ/2.
2.应力强度因子KⅠ 裂纹尖端应力场表达式 σij=KⅠ/(2πr)1/2×fij(θ)(i=x,y.j=o,y) 当某点位置一定，即(r,θ)一定，裂纹尖端某点的应
一.裂纹扩展的基本方式 1.裂纹扩展有三种形式:
Ⅰ型(张开型):拉伸型裂纹,特点:拉应力与裂纹面垂直, 裂纹沿作用力张开
Ⅱ型(滑开型):裂纹切应力平行于裂纹面,且与裂纹垂直, 裂纹沿裂纹面平行滑开扩展
Ⅲ型(撕开型):切应力平行于裂纹面,与裂纹平行
二. Ⅰ型裂纹尖端应力场及应力强度因子KⅠ 1.Ⅰ型裂纹尖端应力场
B. KⅠ=Yσ√a Y：几何系数，单位[应力][长度]1/2 MPa.m1/2
或Kgf.mm-3/2
注：无限大平板内中心含穿透裂纹Y=√π,
KⅠ=σ√πa C.几种常见裂纹的应力强度因子表达式 P84
2. 断裂判据的应用
断裂失稳扩展条件：KⅠ≥KⅠC，此时对应的临界： σc= KⅠC/√πa(a一定)， ac= KⅠC/σ2π(σ一定)
某应力作用下，a>ac失效，a<ac裂纹不扩展。
同理：Ⅱ、Ⅲ类裂纹失稳扩展条件：
KⅡ=Yτ√a≥KⅡC
KⅢ=Yτ√a≥KⅢC
四.裂纹尖端塑性区及KI的修正
1.裂纹前塑性区
σs的区域增大到R0 R0=(1/π)×(KⅠ/σs)2
(平面应力)
R0=(1/2π√2)× (KⅠ/σs)2 (平面应变)
3. K裂I的纹修尖正端的弹性应力超过 材料屈服强度之后, 便产生应 力松驰，使塑性区增长 ，改变 了裂纹前的应力分布，不适用 于线弹性条件。
裂纹虚拟向前扩展ry,此时 虚拟裂纹尖端0’前端弹性区的 应力分布GEF,基本上与线弹性 条件下的σy相重合,对应的裂纹长度为a+ry,称为等效裂
KⅠ≥KⅠC判据 ，只适用于线弹性体.但事实上，金属 材料在扩展前，其尖端附近总是先出现一个或大的较大
的塑性变形区(存在塑性区或屈服区).试验表明如果裂
纹前塑性尺寸较裂纹尺寸a小很多(小一个数量级以上),
只要对KⅠ进行适当的修正,仍适用于线弹性条件. 根据材料力学,已知机件内过P点的截面应力分布,则
弹塑性断裂力学主要解决两方面的问题:
1.工程上广泛使用的中 低强度钢σs低 KⅠC高,对于中小 件, 裂纹尖端塑性区尺寸较大时,接近甚至超过裂纹
尺寸,已属大范围屈服条件.线弹性断裂力学不适用.
第四章 材料的断裂韧性
传统机件强度设计: 塑性材料 σ≤[σ]= σs/n 脆性材料: σ≤[σ]= σb/n
实际上有时σ<<[σ]时,机件仍断裂—低应力脆断,其原 因是传统设计把机件看成均匀、无缺陷、没有裂纹的理 想体.但实际工程材料在制造加工中会产生宏观缺陷乃 至裂纹,成为材料脆断的裂纹源, 从而引起低应力断裂. §4.1线弹性条件下的断裂韧性 线弹性体：裂纹体各部分的应力和应变符合虎克定律。 但裂纹尖端极小区存在塑性变形，也适用于线弹性条件。
展的能量释放率(裂纹扩展单位面积时系统释放势能值:系
统势能等于系统应变能减外力功U=Ue-W)。
U 1 U 2aຫໍສະໝຸດ GIABa
E
当裂纹厚度B=1时,
GI
U a
2a
E
(平面应力）
GI＝ （1－ γ 2）σ2πa/E （平面应变） 裂纹失稳扩展的条件：
GI≥ GIc
§4.2弹塑性条件下的断裂韧性
三.断裂韧性和断裂判据
1.断裂韧性Kc和KⅠ 裂纹尖端应力场表达式σij=KⅠ/(2πr)1/2×fij(θ)知， r→0, σ→∞, σ>>σs、σb.说明材料一有裂纹便断
裂，但断裂形为既与应力有关，也有裂纹大小，形状有
关。当KⅠ达到一临界值时，材料断裂，该临界值为Kc----断裂韧性（平面应变下）。
过P点主应力为: σ1=(σx＋σy)/2＋[((σx-σy)/2)2＋τxy]1/2 σ2=(σx＋σy)/2-[((σx-σy)/2)2＋τxy]1/2
σ3=0 (平面应力,薄板)
σ4=γ(σx＋σy)(厚板：平面应变)
将裂纹前端P (r,θ)的点应力表达式σx、σy、τxy代 入上式,得P点的主应力表达式: σ1= KⅠ/(2πr)1/2×cosθ/2(1＋sinθ/2) σ2= KⅠ/(2πr)1/2×cosθ/2(1－sinθ/2) σ3=0 (平面应力,薄板) σ3=2γ×KⅠ/(2πr)1/2 cosθ/2 (厚板：平面应变) 由第四强度理论(Mises)屈服临界条件: 将上式代入
（σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2=2σs2 ( σ1>σ2>σ3 主应力)得屈服区大小:
r=1/2π×(KⅠ/σs)2[cos2θ/2(1＋3sin2θ/2)] (平面应力)
r=1/2π×(KⅠ/σs)2[cos2θ/2(1-2γ)2＋3sin2θ/2] (平面应变)
裂纹沿用x方向最容易扩展.将此方向的塑性材料区大小
纹 长度.根据线弹性理论:
KⅠ=Yσ√(a+ry) KⅠ’= Yσ√a/[1-0.16(KⅠ/σs)2]1/2(平面应力)
修正条件: σ<0.5σs,误差小于7%,可不修正.
σ>0.5σs,r0/a<0.1时,修正有效;r0/a>0.1时,修正无效
五.裂纹扩展能量释放率GI
Griffith在脆性材料（线弹性）基础上，提出了裂纹扩
定义为塑性材料区宽度，令θ=0得: ro=1/2π×(KⅠ/σs)2(平面应力) ro=1/2π×(1-2γ)2(KⅠ/σs)2(平面应变)
Irwin修正： ro=(1/4π√2)× (KⅠ/σs)2 （平面应变）
2.塑性区大小修正 在r0塑性区内不考虑形变强化,则塑性区的应力等
于σs,但原来多出的那部分应力必然产生应力松驰,促 使相邻的弹性区应力升高,相应的曲线为σy,使达到
σx=KⅠ/(2πr)1/2×cosθ/2(1-sinθ/2sin3θ/2) σy= KⅠ/(2πr)1/2×cosθ/2(1＋sinθ/2sin3θ/2) σz=γ(σx＋σy)(厚板，平面应变) σz=0（薄板） τxy= KⅠ/(2πr)1/2sinθ/2sin3θ/2cosθ/2.
2.应力强度因子KⅠ 裂纹尖端应力场表达式 σij=KⅠ/(2πr)1/2×fij(θ)(i=x,y.j=o,y) 当某点位置一定，即(r,θ)一定，裂纹尖端某点的应
一.裂纹扩展的基本方式 1.裂纹扩展有三种形式:
Ⅰ型(张开型):拉伸型裂纹,特点:拉应力与裂纹面垂直, 裂纹沿作用力张开
Ⅱ型(滑开型):裂纹切应力平行于裂纹面,且与裂纹垂直, 裂纹沿裂纹面平行滑开扩展
Ⅲ型(撕开型):切应力平行于裂纹面,与裂纹平行
二. Ⅰ型裂纹尖端应力场及应力强度因子KⅠ 1.Ⅰ型裂纹尖端应力场