等比数列前n项和的公式(1)
等比数列前N项和(一)
则有am an a p aq
与你作一笔交易：一个月30天算，我 每天给你5000元，而你只需第1天给我1 分钱，第2天给我2分钱，第3天给我4分 钱，第4天给我8分钱，由此类推，这样 的交易期为一个月，这笔交易你做吗？
这实际上是求以 1 为首项，2为公比的等比数 列的前30项的和。
S30 1 2 2 2 2 (1)
2 3 29
如果用公比2乘以上面等式的两边，得到：
2S30 2 2 2 2 2 (2)
2 3 29 30
为便于对上面两式进行比较，我们将它们列在一起：
S30 1 2 22 23 229 (1)
2 S30 = 2 + 22 + 2 3 +…..+ 2 29 + 230。。。。(2) (2) – (1) : S30 = 2 30 – 1 ≈1073.74万元
错位相减法
这笔交易不能做
等比数列前n项和公式的推导
Sn a1 a2 a3 an …… (1) Sn=a1+a2+ +an=? 1
Sn .an ,q , a1 , n 知三而可求二 .
并能应用.
.了解等比数列的推导过程(错位相减)
an a 2 a 3 a4 因为 a a a a q 1 2 3 n 1 a 2 a 3 a4 a n q 所以 a1 a2 a3 an1 S n a1 q S n an
因为棋盘共有64格,所以各格中的麦子数 组成了一个64项的等比数列 1, 2, 22 , 23 ,263
1 2 264 1 1.841019 1 2
等比列前n项和公式
四年级下册英语第一单元重点知识In the first unit of the fourth grade English textbook, students will learn about various topics related to daily life and activities. This unit covers vocabulary related to school subjects, daily routines, time, and weather. 。
Firstly, students will learn about school subjects such as math, science, English, and art. They will also learn how to talk about their favorite subjects and express their preferences. For example, they can say "I like math because it is interesting" or "I don't like science because it is difficult."Next, students will learn how to talk about their daily routines. They will learn vocabulary related to activities such as waking up, brushing teeth, eating breakfast, going to school, and doing homework. They will also learn how to use time-related words such as "morning," "afternoon," "evening," and "night" to describe their daily schedules.In addition, students will learn how to talk about the weather. They will learn vocabulary related to different weather conditions such as sunny, cloudy, rainy, and snowy. They will also learn how to use expressions like "It is sunny today" or "It is raining outside" to describe the weather in different seasons.Furthermore, students will practice using the present simple tense to talk about their daily activities and routines. They will learn how to form sentences using verbs in the present tense, such as "I go to school every day" or "She plays soccer on weekends."Overall, the first unit of the fourth grade English textbook is designed to help students build a solid foundation in vocabulary and grammar related to daily life and activities. By mastering the key concepts in this unit, students will be able to communicate effectively in English and express themselves confidently in various everyday situations.。
等比数列前n项和的求和公式
定义：等比数列的公比是任意两项之间的比值
分类：当公比为1时，等比数列前n项和的求和公式可以简化为等差数列求和公式
注意事项：当公比不为1时，需要单独考虑第一项和最后一项
推导：通过等比数列的性质推导等比数列前n项和的求和公式
公式应用的条件
前提条件：等比数列的首项不为0，且公比不为0
结论：等比数列前n项和的求和公式只适用于首项不为0，且公比不为0的等比数列
应用范围：等比数列前n项和的求和公式可以应用于解决一些实际问题，如存款、贷款、资产评估等
实例解析：通过具体实例解析等比数列前n项和的求和公式的应用，加深对公式的理解和掌握
注意事项：在使用等比数列前n项和的求和公式时需要注意一些细节问题，如公式的适用范围、计算精度等
综合应用
金融领域：计算复利、折现等金融计算
汇报人：
,a click to unlimited possibilities
目录
定义及性质
等比数列的定义：一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数
等比数列的性质：等比数列的任意两项的比值是常数，任意两项的积等于常数乘以这两项的和
等比数列的通项公式：an=a1*q^(n-1)，其中an是第n项，a1是第一项，q是公比
计算机科学：数据结构中的二叉树、堆等算法实现
物理学：原子核、分子结构等物理模型中的计算
统计学：样本方差、标准差等统计量的计算
初始项的处理
初始项为0的情况：等比数列的前n项和公式中，如果首项为0，则前n项和为0
初始项不为0的情况：等比数列的前n项和公式中，如果首项不为0，则前n项和为初始项与等比数列前n项和公式的乘积
推导方法一：累加法
等比数列求和公式口诀
我们要探讨等比数列的求和公式及其口诀。
首先，我们需要明确什么是等比数列。
等比数列是这样一个序列：它的每一项（从第二项开始）都是前一项乘以一个常数。
这个常数被称为等比数列的公比。
等比数列的前n项和公式是：
S_n = a1 × (1 - q^n) / (1 - q)
其中，a1 是第一项，q 是公比，n 是项数。
这个公式是等比数列求和的基础公式。
关于等比数列求和的口诀，它可以帮助我们记忆和快速计算求和。
口诀是：
前后项消，头尾别跑。
中间留1，再减再乘。
具体来说，这个口诀的意思是：
1. 把第一项和最后一项留下相加，得到一个常数。
2. 把中间的每一项留下，得到一个等比数列。
3. 把得到的两个结果相乘，就得到了等比数列的前n项和。
对于公比为2，第一项为1的等比数列，其前5项和为：31。
等比数列前n项和知识点归纳总结
等比数列前n项和知识点归纳总结等比数列（geometric sequence）是数学中重要且常见的一种数列。
它由首项、公比和项数所确定。
本文将对等比数列的前n项和进行归纳总结。
一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项均是前一项乘以一个相同的固定比例，称为公比。
二、等比数列的通项公式对于等比数列{an}，第一项为a1，公比为q，第n项为an，则其通项公式为：an = a1 * q^(n-1)三、等比数列前n项和的公式等比数列前n项和（Sn）的公式是一个重要的数学概念，它表示等比数列前n项相加的结果。
根据等比数列的性质，我们可以推导出等比数列前n项和的公式如下：当公比q不等于1时：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)当公比q等于1时：Sn = n * a1四、等比数列前n项和的推导过程下面我们来推导一下等比数列前n项和的公式，以加深对其理解。
假设等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，则根据等比数列的通项公式可知：a1 = a1 * q^(1-1) = a1an = a1 * q^(n-1)将等比数列的前n项和表示为Sn，即：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an将a1和an按照等比数列的通项公式进行替换，得：Sn = a1 + a1*q^0 + a1*q^1 + ... + a1*q^(n-2) + a1*q^(n-1)等比数列前n项和Sn中每一项都是a1与q的某个幂的乘积。
我们可以通过乘以q来使等比数列前n项和中每一项的幂相应地增加1，得到：q*Sn = a1*q + a1*q^2 + a1*q^3 + ... + a1*q^(n-1) + a1*q^n将上述两式相减，得到：(1-q)*Sn = a1*q^n - a1由于1-q不等于0，我们可以将上述等式两边同时除以(1-q)，得到等比数列前n项和的公式：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)其中q不等于1。
等比数列的前n项和数列总结
等比数列的前n 项和 一、等比数列的前n 项和公式 1．乘法运算公式法∵S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)＝a 1·1－q 1＋q ＋q 2＋…＋q n －11－q ＝a 11－q n1－q， ∴S n ＝a 11－q n1－q. 2．方程法 ∵S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －2)＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －1－a 1q n －1)＝a 1＋q (S n －a 1q n －1)，∴(1－q )S n ＝a 1－a 1q n .∴S n ＝a 11－q n1－q. 3．等比性质法∵{a n }是等比数列，∴a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q . ∴a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ， 即S n －a 1S n －a n ＝q 于是S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 11－q n1－q. 二、等比数列前n 项和公式的理解(1)在等比数列的通项公式及前n 项和公式中共有a 1，a n ，n ，q ，S n 五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．(2)当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 11－q n 1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．等比数列前n 项和性质（1）在等比数列{a n }中，连续相同项数和也成等比数列，即：S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…仍成等比数列．（2）当n 为偶数时，偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比，即S 偶S 奇＝q . （3）若一个非常数列{a n }的前n 项和S n ＝－Aq n ＋A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝－Aq n ＋A ⇔数列{a n }为等比数列．题型一 等比数列前n 项和公式的基本运算（在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1和q 表示a n 与S n ，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用；在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．）1、在等比数列{a n}中，(1)若S n＝189，q＝2，a n＝96，求a1和n；(2)若q＝2，S4＝1，求S8.2、设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.题型二等比数列前n项和性质的应用3、一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项和为170，求出数列的公比和项数．4、等比数列{a n}中，若S2＝7，S6＝91，求S4.题型三等比数列前n项和的实际应用5、借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)[规范解答] 方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款a n元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，……a6＝1.01a5－a＝……＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.由题意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，a＝1.016×1021.016－1.因为1.016＝1.061，所以a＝1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元．方法二一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝a[1＋0.016－1]1.01－1＝a[1.016－1]×102(元)．由S1＝S2，得a＝1.016×1021.016－1. 以下解法同法一，得a≈1 739.故每月应支付1 739元．方法技巧错位相减法求数列的和若数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{a n b n}的各项乘以公比q，并向后错位一项与{a n b n}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．6、已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .数列归纳整合一、数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．(4)a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2. 等差数列 等比数列性质 ①设{a n }是等差数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s＋a t ＝a m ＋a n ；②从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列；③等差数列中连续m 项的和组成的新数列是等差数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等差数列 ①设{a n }是等比数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s ·a t ＝a m ·a n ； ②从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列； ③等比数列中连续m 项的和组成的新数列是等比数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等比数列(注意：当q ＝－1且m 为偶数时，不是等比数列)函数特性 ①等差数列{an}的通项公式是n 的一次函数，即an ＝an ＋b(a≠0，a ＝d ，b ＝a1－d)； ②等差数列{an}的前n 项和公式是一个不含常数项的n 的二次函数，即Sn ＝an2＋bn(d≠0) ①等比数列{an}的通项公式是n 的指数型函数，即an ＝c·qn ，其中c≠0，c ＝a1q ； ②等比数列{an}的前n 项和公式是一个关于n 的指数型函数，即Sn ＝aqn －a(a≠0，q≠0，q≠1)三、等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0)⇔{a n }是等比数列． (2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列；a n ＋12＝a n ·a n ＋2(a n ≠0)⇔{a n }是等比数列．(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＝c ·q n (c ，q 为非零常数)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；S n ＝aq n －a (a ，q 为常数，且a ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．专题一 数列通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究函数的性质，而有了数列的通项公式，便可求出数列中的任何一项及前n 项和．常见的数列通项公式的求法有以下几种：(1)观察归纳法求数列的通项公式就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与序号n 的内在联系，结合常见数列的通项公式，归纳出所求数列的通项公式．(2)利用公式法求数列的通项公式数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出a 1与d 或a 1与q ，再代入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a 1q n －1中即可．(3)利用a n 与S n 的关系求数列的通项公式如果给出的条件是a n 与S n 的关系式，可利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2，先求出a 1＝S 1，再通过计算求出a n (n ≥2)的关系式，检验当n ＝1时，a 1是否满足该式，若不满足该式，则a n 要分段表示．(4)利用累加法、累乘法求数列的通项公式形如：已知a 1，且a n ＋1－a n ＝f (n )(f (n )是可求和数列)的形式均可用累加法；形如：已知a 1，且a n ＋1a n＝f (n )(f (n )是可求积数列)的形式均可用累乘法． (5)构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式)若由已知条件直接求a n 较难，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公式．1、已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2且a 1＝2，求a n .2、数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n (n ∈N *)，求通项公式a n . 3、已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＝1，求通项公式．4、设S n 为数列{a n }的前n 项的和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式． 专题二 数列求和求数列的前n 项和S n 通常要掌握以下方法：1、公式法：直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对等比数列q ≠1的讨论．2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列再求和．4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)．1、求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1的前n 项和S n . 2、在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项的和． 3、求和S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n .专题三 数列的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，也是高考的必考内容及重点考查的范围，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识交汇进行命题．1、已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且 a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围． 2、数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n 2·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n .。
等比数列前n项求和公式
等比数列前n项求和公式
等比数列前n项求和公式是一种通用的求和算法，它可以用来确定等比数列的前n项的总和。
等比数列是一种具有确定的公式的数列，它的每一项均为等比数倍，这种具有特殊性质的数列经常用于数学课程中。
关于等比数列前n项求和公式，它可以表示为：Sn=a1（1-rn）/ 1-r，其中a1为等比数列的首项，r为等比数列的公比，n为等比数列的项数，Sn为等比数列前n项的总和。
以等比数列2，4，8...128为例，假设这是一个等比数列，首项a1=2，公比r=2，项数n=7，则根据等比数列前n项求和公式可以计算出前7项的总和S7=2（1-27）/ 1-2=128。
在现实生活中，等比数列前n项求和公式可以用于计算投资收益、统计学研究等。
比如，一个投资者投资了1000元，年收益率为5%，若他在5年后退出，则根据等比数列前n项求和公式可以计算出此投资净收益为1000（1-105）/ 1-1=6250元。
可见，等比数列前n项求和公式是一种非常有用的求和算法，它可以用来求解等比数列的前n项的总和，简化计算，提高效率，用于现实生活中的投资收益计算等等。
等比数列前项和的公式
等比数列前项和的公式在咱们学习数学的过程中，等比数列前项和的公式那可是相当重要的一个知识点。
先来说说啥是等比数列。
比如说，有这么一组数：1，2，4，8，16……每一个数后面的数都是前面的数乘以一个固定的数，在这个例子里就是乘以 2，像这样的数列就叫等比数列。
那等比数列前项和的公式到底是啥呢？公式就是：当公比 q 不等于1 时，等比数列的前 n 项和 Sn = a1×(1 - q^n) / (1 - q) 。
这里面，a1 是等比数列的首项，q 是公比，n 是项数。
我记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个特别有趣的事儿。
当时我在黑板上写了一个等比数列：2，4，8，16，32。
然后问同学们，这个数列前 5 项的和是多少。
同学们有的开始一个一个加，忙得不亦乐乎。
这时候有个聪明的小家伙突然举手说：“老师，是不是可以用那个等比数列前项和的公式呀？”我笑着点点头，然后一步步引导大家用公式来计算。
咱们来仔细瞅瞅这个公式啊。
比如说还是刚刚那个数列，首项 a1就是 2，公比 q 是 2，项数 n 是 5。
把这些数带进公式里，就是 S5 =2×(1 - 2^5) / (1 - 2) 。
算一下，1 - 2^5 就是 1 - 32 = -31 ，1 - 2 就是 -1 ，所以 S5 = 2×(-31) / (-1) = 62 。
是不是一下子就算出来啦？那这个公式是咋来的呢？咱们来推导一下。
设等比数列的前 n 项和是 Sn ，那么Sn = a1 + a1×q + a1×q^2 + …… + a1×q^(n - 1) 。
然后咱们给这个式子两边都乘以公比 q ，就得到 q×Sn = a1×q + a1×q^2 + a1×q^3 + …… + a1×q^n 。
接下来用第一个式子减去第二个式子，就能得到：Sn - q×Sn = a1 - a1×q^n ，整理一下，Sn×(1 - q) = a1×(1 - q^n) ，所以 Sn = a1×(1 - q^n) / (1 - q) 。
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况
三、小结：
1.等比数列前 n 项和公式推导中蕴含的思想方法以及
公式的应用； 2.用错位相减法求一些数列的前 n 项和.
由此对于一般的等比数列，其前 n 项和
Sn a1 a1q a1q2 a1qn1，如何化简？
等比数列前项和公错式项相减法
求和
仿照公比为2的等比数列求和方法，等式两边 应同乘以等比数列的公比q， 即 Sn a1 a1q a1q2 a1qn1③两端同乘以q，
得qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn ④，
1 yn
x 0, x 1, y 1.
•
例5、求数列
和.
1 2n 1
的24项的 2n 1
裂项法求和
an
1 2n 1
2n 1
1 2n 1 2n 1 2
反思推导求和公式的方法——错项相减法，
可以求形如 xn yn 的数列的和，其中 xn 为 等差数列， yn 为等比数列.
等比数列前n项和的公式
一、新课引入：
求数列：1 2 22 23 263 ?
记 S 1 2 22 23 263 ，式中
有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘 以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互 抵消.
二、新课讲解：
即 S 1 2 22 23 263， ① 2S 2 22 23 263 264， ② ②－①得 2S S 264 1, 即S 264 1.
的
——直接应用公式
• 例2、某商场第一年销售计算 机5000台,如果平均每年比上 一年增加10%,那么从第一年 起,约几年内可使总销售量达 到30000台(保留到个位)?
• 例3 一个球从100m高处自由下 落，每次着地后又跳回到原高度 的一半再落下.当第10次着地时， 共经过的路程是多少？
球第1次着地时,经过的路程为100m;从这时起到
an
a1 q n1和Sn
na a1
1,(q a1qn
1 q
1),
a1 anq 1 q
,
(q
1).
在等比数列的通项公式和前n项和公式中，
共有a1， an，n，q，Sn五个量，只要知道 其中任意三个量，都可以建立方程组，求
出其他两个量。
例题：
• 例1、求等比数列 前8项的和.
1，1，1， 248
第2次着地时,共经过了2× m,从这时10起0 到第3次 着地时,共经过了2× m,…1…0从0 第9次2着地到第10 次着地时应经过了2× m. 22
100 29
100+2×
10+02×
2
12+020……+2×
100 29
• 例4、求和：
简单的“分 项法求和”。
x
1 y
x
2
1 y2
xn
③－④得 (1 q)Sn a1 a1qn ⑤，
在求Sn时，要分 q=1和q≠1两种
情况讨论.
当q=1时，由③可得Sn=na1；
当q≠1时，由⑤得 Sn
a1 a1qn 1 q
a1 anq 1 q
.
于是 Sn
na1, a1
(q a1qn
1 q
1),
a1 an 1 q
q
, (q
1).
(n
1)
1 2n
n
1 2n1
两式相减得
1 2
Sn
1 2
1 22
1 23
1 24
1 2n
n 2n1
,
于是 Sn
2
1 2n1
n 2n
.
说明：错项相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等 比数列求和的问题.
错项相减法 求和
• 例6、设数列{an}为 1,2x,3x2,4x3,……,nxn-1,… (x≠0), 求此数列前n项的和。
例题：
求和：Sn
1 2
2 4
3 4 8 16
n 2n
.
设 an
n 2n
n
1 2n
，其中n为等差数列，
1 2n
为等比数列，公比为 1 ，利用错位相减法求和.
2
解：Sn
1
1 2
2
1 22
3
1 23
4
1 24
n
1 2n
，
两端同乘以 1 ，得
2
1 2
Sn
1
1 22
2
1 23
3
1 24
4
1 25