微积分课后习题答案
高等数学教材微积分课后答案
高等数学教材微积分课后答案第一章微积分基本概念1. 第一节课后习题答案1.1 单项选择题1. A2. B3. C4. D5. A1.2 填空题1. 42. 273. 184. 05. 21.3 解答题1. (a) 首先将函数对x求导，得到f'(x) = 6x^2 + 12x - 8。
令f'(x) = 0，解得x = -2和x = 2/3。
然后再带入原函数，得到f(-2) = 0和f(2/3) = -1/27。
因此，函数在x = -2和x = 2/3处取得极值，极大值为0，极小值为-1/27。
(b) 由于f'(x) = 6x^2 + 12x - 8 > 0，说明函数在(-∞, -2)和(2/3, +∞)上为增函数；当-2 < x < 2/3时，f'(x) < 0，说明函数在(-2, 2/3)上为减函数。
结合图像，可以得到函数的单调性为：在(-∞, -2)上递增，在(-2, 2/3)上递减，在(2/3, +∞)上递增。
2. 第二节课后习题答案2.1 单项选择题1. C2. A3. D4. B5. C2.2 填空题1. 82. 123. 04. -∞5. +∞2.3 解答题1. (a) 首先求函数的导数，得到f'(x) = 2e^x - 12x。
令f'(x) = 0，解得x = ln6。
然后带入原函数，得到f(ln6) = 4ln6 - 6ln^2(6)。
因此，函数在x = ln6处取得极值。
(b) 由于f'(x) = 2e^x - 12x > 0，说明函数在(-∞, ln6)上为增函数；当x > ln6时，f'(x) < 0，说明函数在(ln6, +∞)上为减函数。
结合图像，可以得到函数的单调性为：在(-∞, ln6)上递增，在(ln6, +∞)上递减。
第二章微分学中值定理1. 第三节课后习题答案1.1 单项选择题1. B2. D3. C4. A5. D1.2 填空题1. 42. 53. π/24. √35. 01.3 解答题1. 根据罗尔定理，首先证明f(x)在区间[0, 1]上连续。
微积分下 第二版 课后习题答案 同济大学
习题1—1解答 1． 设y x xy y x f +=),(，求),(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解yxxy y x f +=--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1(2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++=),(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=⋅+⋅+⋅+⋅=++=⋅=3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(22-+-=y x y x f（2）;)1ln(4),(222y x y x y x f ---=（3）;1),(222222cz b y a x y x f ---=（4）.1),,(222zy x z y x z y x f ---++=解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D （2）}{xy y x y x D 4,10),(222≤<+<=（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤++=1),(222222c z b y a x y x D（4）{}1,0,0,0),,(222<++≥≥≥=z y x z y x z y x D4．求下列各极限：（1）22101limy x xy y x +-→→=11001=+- （2）2ln 01)1ln(ln(lim022)01=++=++→→e yx e x y y x（3）41)42()42)(42(lim 42lim000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x（4）2)sin(lim )sin(lim202=⋅=→→→→x xy xy y xy y x y x5．证明下列极限不存在：（1）;lim 00yx y x y x -+→→ （2）2222200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim0020-=-+=-+→→=→x x xx y x y x x x y x ；如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim 0020==-+→→=→y yy x y x y y x y所以极限不存在。
《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第2章
xn a xn a
由数列极限的定义得 考察数列
即
xn a
lim xn a
n
n n
xn (1) n ，知 lim xn 不存在，而 xn 1 ， lim xn 1 ，
n
xn 0
由数列极限的定义可得 4. 利用夹逼定理证明：
即 xn
即 xn 0
lim xn 0
n
1
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微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案
微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案
又 所以
xn 1 xn xn ( 2 xn ) ，而 xn 0 , xn 2 ， xn 1 xn 0
即
xn 1 xn ，
即数列是单调递增数列。 综上所述，数列 xn 是单调递增有上界的数列，故其极限存在。 （3）由数列 xn 单调递增， yn 单调递减得 xn x1 ， yn y1 。 又由 lim( xn yn ) 0 知数列 xn yn 有界，于是存在 M >0，使 xn yn M ,
即xn 1 xn
所以 xn 为单调递减有下界的数列，故 xn 有极限。 （2）因为 x1
2 2 ，不妨设 xk 2 ，则
xk 1 2 xk 22 2
故有对于任意正整数 n，有 xn 2 ，即数列 xn 有上界，
2
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lim
2n 0 n n !
《微积分》课后习题答案
习题五 （A ）1．求函数)(x f ，使)3)(2()(x x x f --='，且0)1(=f .解：6x 5x )(f 2++-='xC x x x x f +++-=⇒62531)(236230625310)1(=⇒=+++-⇒=C C f 62362531)(23+++-=x x x x f2．一曲线)(x f y =过点（0，2），且其上任意点的斜率为x x e 321+，求)(x f .解：x e x x f 321)(+=C e x x f x ++=⇒341)(21232)0(-=⇒=+⇒=C C f1341)(2-+=⇒x e x x f 3．已知)(x f 的一个原函数为2e x，求⎰'x x f d )(.解：222)()(x x xe e x f ='=⎰+=+='C xe C x f dx x f x 22)()(4．一质点作直线运动，如果已知其速度为t t dtdxsin 32-=，初始位移为20=s ，求s 和t 的函数关系.解：t t t S sin 3)(2-=C t t t S ++=⇒cos )(31212)0(=⇒=+⇒=C C S1cos )(3++=⇒t t t S5．设[]211)(ln x x f +='，求)(x f .解：[]1arctan )(ln 11)(ln C x x f x x f +=⇒+=')0()(arctan arctan 1>==⇒+C Ce e x f x C x6．求函数)(x f ，使5e 1111)(22+--++='x x x x f 且0)0(=f .解：C x e x x x f e x x x f x x ++-++=⇒--++=+521arcsin 1ln )(1111)(252 21002100)0(=⇒=++-+=C C f 21521arcsin 1ln )(2++-++=⇒x e x x x f x7．求下列函数的不定积分 （1）⎰-x xx x d 2（2）⎰-)1(t a dt（3）⎰mnx x d （4）⎰+-x xx d 1122（5）⎰++x x x d 114 （6）⎰++x xx xd cos sin 2sin 1（7）⎰+x x x x d cos sin 2cos （8）⎰++x xxd 2cos 1cos 12（9）⎰x x x xd cos sin 2cos 22 （10）x x x d sin 2cos 22⎰⎪⎭⎫⎝⎛+ （11）⎰-x xx x d cos sin12cos 22（12）⎰+-x xx d 1e 1e 2 （13）⎰⨯-⨯x xxx d 85382 （14）x xx x d 105211⎰-+-（15）⎰-x xx -x x d )e (e （16）⎰++x xx x d )31)(2e ( （17）x x x xx d 1111⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+ （18）⎰----x x x x x x d 151)1(222（19）x xx d 1142⎰-+ （20）⎰-+-x xx xd sincos 1cos 1222（21）⎰+-+x x x x x d )1(1223 （22）⎰+-x x x x d 1224解：（1）=⎰+-=-C x x dxx x 252323215232)( （2）=⎰+-=--C tatt d a2121)1(2)1()1(.1（3）=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=+=≠-≠++=⎰⎰⎰+0 0, m C x dx n m C x In dx x m n m C x m n m dx x m n m m n m n（4）=⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-C x x dx x arctan 2 121（5）=C x x x dx x x x x ++-=++-+⎰arctan 2311)1(32222（6）=⎰⎰++=+++dx xx x x dx xx xx x x cos sin )cos (sin cos sin cos sin 2cos sin 222=⎰+-=+C x x dx x x cos sin )cos (sin（7）=⎰⎰-=+-dx x x dx xx xx )sin (cos cos sin sin cos 22=C x x ++cos sin （8）=⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+C x x dx x dx xx2tan 21 1cos 121cos 2cos 1222 （9）=⎰⎰+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-C x x dx x x dx x x xx tan cot cos 1sin 1cos sin sin cos 222222 （10）=⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-++dx x x dx x x 122cos 2cos 22cos 121cos =C x x x +-+2sin 41sin 21（11）=⎰⎰+-=-=---C x dx x dx xx xx x x tan 2cos 12cos sin sin cos sin cos 2222（12）=()⎰+-=-C x e dx e x x 1（13）=⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-C x dx dx xx85ln 85328532（14）=⎰⎰++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛--C dx dx x x xx22ln 5155ln 22151512（15）=⎰+-=⎪⎭⎫⎝⎛-C x e dx x e x x ln 1（16）=[]⎰+++++=+++C e e dx e e xx x xxxxx6ln 63ln l )3(2ln 2)3(26（17）=⎰⎰+=-=--++C x dx xdx xx x arcsin 211211122（18）=⎰+--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---C x x x dx x xx arcsin 5ln 21151222 （19）=⎰+=-C x dx xarcsin 112（20）=⎰⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-C x x dx x dx xx2tan 211cos 121cos 2cos 1222 （21）=⎰⎰+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+-+C x x x dx x x x dx x x x x arctan 1ln 1111)1(1)1(22222 （22）=⎰⎰++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+++--C x x x dx x x dx x x x arctan 22312212)1(13222248．用换元积分法计算下列各题. （1）⎰+-x x x d 24 （2）⎰-x x d )23(8（3）x xxd e 3e 42⎰+ （4）⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+32cos d 2πx x（5）⎰-x xx d 432 （6）⎰+-52xd 2x x（7）⎰-+xxxe ed （8）⎰--xxxe e d（9）⎰-1tan cos d 2x xx（10）⎰)ln -(1d x x x（11）⎰-xx x2ln 1d （12）⎰-x xx d e9e 2（13）⎰+x xxx d sin2cos sin （14）⎰-x x x d 212（15）x xx x d 1arctan 2⎰++ （16）⎰+xxe1d（17）x x x d 11arctan2⎰+ （18）⎰+--x x x x d e )1(422（19）⎰+x xx d 1335（20）⎰+x xxx d ln 2ln（21）⎰+x xx d sin 1sin 2 （22）⎰+-x x xx d 2sin 1cos sin（23）⎰+2)cos 2(sin d x x x（24）⎰x xx xd cos sin tan ln（25）⎰+xx x22cos 3sin d （26）⎰-++1212d x x s（27）⎰+++3)1(1d x x x（28）⎰++52d 24x xxx（29）⎰+x x x x d )ln 1( （30）x x x x d 12⎰-+（31）⎰+)1(ln ln d 2x x x x（32）x x x xd )1(arcsin ⎰-（33）⎰xx x x cos sin d （34）x x x d )1(x arctan ⎰+（35）⎰+x xxd cos 1cos 2（36）⎰xdx x 3cos 2sin（37）x x x x ⎰-d 2cos )sin (cos （38）x xxx d sin1cos sin 4⎰+ （39）⎰x xd sin14（40）⎰xdx 3tan解：（1）=C x x x d x x dx x x ++-+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-+⎰⎰2123)2(12)2(32)2(262262（2）=⎰+-=--C x x d x 98)23(271)23()23(31 （3）=()()⎰+=+C e e e d x xx3arctan3213212222（4）=C x x x d +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰32tan 2132cos 32212πππ （5）=⎰⎰+--=---=-C x x x d x x d 333334324)4(314)(31（6）=C x x x d +-=+--⎰21arctan 214)1()1(2（7）=⎰+=+C e ee d x xx arctan 1)(2（8）=C e e e e d x x x x ++-=-⎰11ln 211)(2（9）=⎰+-=--C x x x d 21)1(tan 21tan )1(tan（10）=C xx d +--=---⎰lnx 1ln ln 1)ln 1(（11）=⎰+=-C x x x d ln arcsin ln 1)(ln 2（12）=C e e e d x x x +=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰3arcsin2922222（13）=C x xx d x x xd ++=++=+⎰⎰2222sin 2ln 21sin 2)sin 2(21sin 2)(sin sin （14）=C x x x d +--=---⎰222212121)21(41（15）=C x x x d x x x d +++=+++⎰⎰23222)(arctan 32)1ln(21)(arctan arctan 1)1(21（16）=⎰⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=++-=+=+C e e e e d e e d e e e d dx e e e x x xx xx xxx xxx 1ln 1)1()()1()()1( （17）=C x d x xx d x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎰⎰221arctan 211arctan 1arctan 1111arctan （18）=⎰+=+-+-+-C e x x d e x x x x 422422221)42(21 （19）=)(131)(131333333t d tttx x d xx ⎰⎰+=+令⎰⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-+=-)()1()()1(31)(1113131323t d t t d t t d t t C x x C t t ++-+=++-+=3233533235)1(21)1(51)1(21)1(51（20）⎰⎰+=+=tt td txx xd 2)(ln ln 2)(ln ln 令⎰⎰⎰++-++=+-+=tt d t d t tt d t 2)2(2)2()2(2)(2221C x x C t t ++-+=++-+=21232123)ln 2(4)ln 2(32)2(4)2(32 （21）⎰+-=--=C x xx d 2cos arcsincos 2)(cos 2（22）C x x x x x x d ++=++-=-⎰12)cos (sin )cos (sin )cos (sin（23）C x x x d ++-=++=-⎰12)2(tan )2(tan )2(tan（24）⎰⎰+===C x x xd x d x x 2)tan (ln 21)tan (ln tan ln )(tan tan tan ln （25）⎰⎰+=+=+=C x x x d xx d )tan 3tan(31)tan 3(1)tan 3(31tan31)(tan 22（26）C x x dx x x +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=--+=⎰2323)12(32)12(324121212C x x +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=2323)12()12(61（27）⎰⎰+=+++++=dt t t tt x x x x d 3321)1(1)1(令⎰++=+=+=C x C t dt t1arctan 2arctan 21122（28）⎰++=+++=C x xx d 21arctan 414)1()1(212222 （29）()⎰⎰+=+==+=C x C e e d dx x e x x x x x x x ln ln ln l )ln 1( （30）⎰⎰⎰++-=++-=+-=C x x x d x dx x dx x x x 23232222)1(3131)1(121)1(（31）⎰⎰+=+=)1()(ln 令)1(ln ln )(ln 22tt t d tx x x d⎰++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=C t t t t d t t d 1ln 211)1()(21222222 C x x C x x ++-=++=)1ln(ln 21ln ln 1ln ln ln 2122（32）t x ==arcsin 令，则tdt t dt cos sin 2=⎰⎰+=+==C x C t dt t tdt t tt t 232322)(arcsin 34342cos sin 2cos sin（33）⎰⎰+===C x xx d x x x d tan ln 2tan )(tan cos sin)(2（34）⎰⎰+==+=Cx x d x x d x x22)(arctan arctan arctan 2)(1arctan 2（35）⎰+-+=-=C xx xx d sin 2sin 2ln221sin2)(sin 2（36）⎰⎰+-=-==C x x xd xdx x x 543cos 52cos cos 2cos cos sin 2 （37）⎰⎰---=+-=)sin (cos )sin (cos )sin (cos )sin (cos 22x x d x x dx x x x xC x x +--=3)sin (cos 31（38）⎰+=+=C x x x d 242sin arctan 21sin 1)(sin 21（39）⎰⎰⎰+--=+-=-==C x x x d x xx d dx xx cot cot 31)(cot )1(cot sin )(cot sinsin 132（40）⎰⎰⎰+-=-=-=C x x xdx x xd xdx x cos ln )(tan 21tan tan tan tan )1(sec 229．求下列函数的不定积分 （1）⎰+)1(d 7x x x（2）⎰-x x x d 12（3）⎰+-x x d 3211 （4）⎰+x x x-1)(1d（5）⎰+3d xx x （6）⎰-+x x xx d 21 （7）x x xd 11632⎰++ （8）x x d e 1⎰+ （9）⎰+-+x x x x d 4222（10）x x x d )1(3⎰-解：（1）⎰⎰++-=+=+=C x x x x dx dx x x x 77777761ln 71ln )1(71)1(（2）令t x =-1，则tdt dx t x 2 , 16-=-=⎰⎰+++-=+--=--=C t t t dt t t t dt t t t )315271(2)2(2)2()1(3572462（3）令t x =-21，则tdt dx t x -=-= , 212⎰⎰++-+--=+++-=+---+=C x C t t dt t dt t t 321ln 3213ln 3)331()(31 （4）令t x =-1，则tdt dx t x 2 , 12-=-=⎰⎰+---+-=+-+-=-=--=C xx C tt tdtdt tt t1212ln221.222ln221.222).2(222（5）令t x =6，则dt t dx t x 566 , ==⎰⎰⎰+-+-=+=+=dt t t t dt t t dt tt t 11)1(616623235C t t t t ++-+-=)1ln 2131(623 C t t t t ++-+-=1ln 663223（6）令t x =-2，则tdt dx t x 2 , 22=+=⎰⎰++=++=++=C t t dt t tdt tt 2arctan22)211(22.23222C x x +-+-=22arctan222（7）令t x =+312)1(，则dt t xds 232=⎰⎰+++-=++-=+=C t t t dt t t dt t t )1ln 21(9111919222C x x x +++++-+=1)1(ln )1()1(29312312322 （8）令t e x =+1，则12 , )1ln(22-=-=t tdt dx t x⎰++++-++=++-+=-=C e e e C t t t dt t t x x x)1111ln 211(2)11ln 21(21222（9）令t x =-1，则dt dx t x =+= , 1⎰⎰⎰+++++=+++=++=C t t tdt t dt t t dt t t 3ln 3)3(333332212223C x x x x x ++-+-++-=421ln 3)42(2212（10）令t x =2，则t x =⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--=-+--=-=dt t t dt t t dt t t 3233)1(1)1(121)1(1121)1(21 C t t C t t +-+-=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=22)1(141)1(21)1(1211121Cx x C x x +--=+-+-=222222)1(412)1(141)1(2110．设⎰⎰+=+=x xb x a xx x xb x a xx F d cos sin cos )G( ， d cos sin sin )(求)()(x bG x aF +；)()(x bF x aG -；)(x F ；)(x G .解：⎰+=++=+C x dx xb x a xb x a x bG x aF cos sin cos sin )()(⎰⎰++=++=+-=-C x b x a dx xb x a x b x a d dx xb x a xb x a x bF x aG cos sin ln cos sin )cos sin (sin sin sin cos )()(C bx x b x a a b a x G +++-=⇒)cos sin ln (1)(22C ax x b x a b b a x F +++--=)cos sin ln (1)(2211．用三角代换求下列不定积分. （1）⎰-221x d x x（2）⎰32)-(1d x x（3）⎰-x x x d 122（4）⎰-x xa x d 22 （5）⎰-322)1(d x xx（6）x x x d )1(2101298⎰-解：（1）令t x sin =，则)2t ( cos π<=tdt dx⎰⎰+--=+-=+-===C x x C x C t t dtdt tt t2221)cot(arcsin cot sin cos sincos（2）令t x sin =，则)2t ( cos π<=tdt dxC xx C x C t tdtdt tt+-=+=+===⎰⎰2231)tan(arcsin tan cos cos cos（3）令t x sin =，则)2t ( cos π<=tdt dxC t t dt t tdt dt t t t +-=-===⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin cos cos sin 22 C x x x C x x +--=+-=2141arcsin 21)(arcsin 2sin 41arcsin 21 （4）令t a x sec =，则t a dx tan sec =，)20(π<<t⎰⎰⎰+-=-===C t a dt t a tdt a dt ta tt a t a )1(tan )1(sec tan sec tan sec .tan 22C saa a x C xa a a x a +--=+--=arccos )arccos (2222（5）令t x sin =，则tdt dx cos = 2π<t⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-===dt t t dt t t dt t t dt tt t22222232cos 1cos 11cos )cos 1(1cos sin1cos sincosC xx x x C t t +---=++-=2211tan cot （6）令t x sin =，则tdt dx cos = 2π<t⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+====C x x C td dt t dt tt t 992999810098101981991tan 991tan tan cos sin cos cos sin12．用分部积分法计算下列积分.（1）⎰++x x x x d e )31(2 （2）⎰--x x x d e 1 （3）⎰-x x x x d )sin (cos e （4）⎰x x x d cos （5）⎰x x d arcsin （6）⎰+x x d )4ln(2 （7）⎰x x x x d cos sin 4 （8）x x d l arctan 2⎰- （9）⎰x xx d )ln(ln （10）⎰x x x d sec 22 （11）⎰x x x d arctan 2 （12）x x d )(arccos 2 （13）⎰+-x x xxd 44ln 2（14）⎰+x x xx d arctan 122（15）⎰+x x x x d arctan )1(632 （16）⎰x x xd cos tan ln（17）⎰∙x x x d sin sec ln （18）⎰∙x x x d tan ln 2sin（19）x x x x d ln 32ln 22⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （20）⎰x x x d arctan 2解：（1）⎰⎰+-++=++=dx x e e x x de x x x x x )32()31()31(22⎰++-++=dx e x e e x x x x x 2)32()31(2（2）C ex C dx e xe xde e x x x x ++-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=+----⎰⎰)1()1(311 （3）⎰⎰⎰⎰-=-=xdx e xde xdx e xdx e x x x x sin cos sin cos⎰⎰+=-+=C x e xdx e xdx e x e x x x x cos sin sin cos（4）⎰⎰++=-==C x x x xdx x x x sd cos sin sin sin sin（5）⎰⎰--+=--=2221)1(21arcsin 1arcsin xx d x x xx x xC x x x +-+=21arcsin（6）⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=+-+=+=dx x x x dx x x x x dx x 2222224412)4ln(42)4ln()4ln( C xx x x ++-+=2arctan 42)4ln(2（7）⎰⎰+--=+-=-=C x x x xdx x x x xd 2sin 212cos 2cos cos 2cos（8）⎰⎰---=-+---=dx x x s dx x xx x x x 111arctan )1(121121.1arctan 222222C x x x x +-+--=1ln 1arctan 22（9）⎰⎰+-====C t t t tdt e x t x x d x tln ln ln )(ln )ln(lnCx x C x x x +-=+-=)1)(ln(ln ln ln )ln(ln .ln（10）⎰⎰++=-==C x x x xdx x x x xd cos ln 2tan 2tan 2tan 2)(tan 2 （11）⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=++-=-=dx x x x xxdx x x x x xxd 11arctan 111arctan )1(arctanC x x x x ++-+-=)1ln(21ln arctan 2 （12）⎰⎰-=--===tdt t t t tdt t tdtdx tx .cos 2cos sin sin arccos 22⎰⎰+--=--=-=C t t t t t tdt t t t t t td t t cos 2sin 2cos )sin sin (2cos sin 2cos 222C x x x x x +---=21arccos 2arccos 2（13）⎰⎰⎰-+--=⎪⎭⎫⎝⎛--=-=dx x x x x x xd dx x x21.121.ln 21ln )2(ln 2 C xx x x dx x x x x +-+--=⎪⎭⎫⎝⎛--+--=⎰2ln 212ln 121212ln（14）⎰⎰⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=xdx xxdx xdx x arctan 11arctan arctan 11122⎰⎰-+-=)(arctan arctan 1arctan x xd dx x xx xC x x x x +-+-=22arctan 21)1ln(21arctan（15）()()()dx xx x x x xd 223232311.1arctan 11arctan ++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰()⎰+++-+=dx x x x x x112arctan 13623()⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--+=dx x x x x x x x 1212arctan 122423()()C x x x x x x x +++--+-+=1ln 3151arctan 1223523 （16）⎰==t x x xd tan )(tan tan ln 令⎰+-=+-==C x x x C t t t tdt tan tan ln .tan ln ln（17）()⎰⎰+-=-=xdx xx x x x x xd tan .cos 1.cos .cos cos .sec ln cos sec ln ⎰+--=+-=C x xdx x x cos sec ln .cos sin cos .sec ln ()C e x x ++=22121（18）()⎰⎰-==dx xx xx x x xd cos sin 1sin tan ln .sin sin tan ln 222⎰++=-=C x x x xdx x x cos ln tan ln .sin tan tan ln .sin 22（19）()⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x x x x x x x x d x x 1321.ln 231ln 32ln 31ln 32ln 3132332 ⎰⎰--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x xdx x x x x 222392ln 32ln 32ln 31 ()⎰⎰--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x x xd x x 232392ln 92ln 32ln 31 ⎰⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x dx x x x x x 2232392.ln 92ln 32ln 31 C x x x x x x x +=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=23323ln 31.ln 92ln 32ln 31 （20）()⎰⎰+-==dx x xx x x x d x 233.21.1131arctan 31arctan 31 ⎰⎰⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--=+-=dx x x x x x x x dx x x x x 1161arctan 31161arctan 312121233253C x x x x x x ++-+-=arctan 313191151arctan 31212325313．计算下列有理函数的不定积分. （1）⎰+x x x d )31(1 （2）⎰---)32)(1)((d x x x x（3）x x x x x d )2()1(12---- （4）⎰-++x x xx d 32322（5）⎰-1d 4x x（6）⎰++++x x x xx d 25412 （7）⎰-+-x x x xxd 123（8）⎰+---x x xx x d )1)(1(122（9）⎰+++x x x xx d 14 （10）⎰+---x x x x x d )2()1(18332解：（1）C xC x x dx x x++=++-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎰311ln31ln ln 311313 （2）C x x x dx x x x +---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--+-=⎰2)2()3)(1(ln 21)3(2121)1(21 （3）C x x dx x x +---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-=⎰112ln 21)2(12（4）C x x dx x x +--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=⎰1ln 453ln 43)1(45)3(43（5）⎰+--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=C x x x dx x x arctan 2111ln 4111112122 （6）C x x x dx x x x ++++-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++-=⎰2ln 51ln 41225)1(2142 （7）⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++-=dx x x x x dx x xx)1(2111121)1(21)1(21222()C x x x +-+++-=1ln 21arctan 211ln 412 （8）⎰⎰⎰⎰+-++----=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+-=dx x xdx x x x dx x dx x x x x 1123121111211222C x x x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++---=312arctan 31ln 211ln 2 （9）()()()()⎰⎰⎰++++-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++-=dx x dx x x x x dx x x x 121121211111222()⎰⎰++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=1ln 2111211141212222x dx x x x d x x ()C x x x x x +++-++-=arctan 211ln 411ln 212122（10）()()⎰⎰⎰+--+-=--+-+--=C x x x dx x dx x dx x 21ln 1121111223（B ）1．填空题（1）设x x f 21)(ln +='，则)(x f = . （2）设函数)(x f 满足下列条件 ①2)0(=f ，0)2(=-f ；②)(x f 在1-=x ，5=x 处有极值；③)(x f 的导数是x 的二次函数，则)(x f = . （3）若C x x x xf x +=⎰e d )(2，则⎰x x f xd )(e = . （4）设2ln)1(222-=-x x x f ，且[]x x f ln )(=ϕ，则=⎰x x d )(ϕ .（5）设x x f ln )(=，则='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰-x f x x x x d )e (e-2e e 43 .（6）='⎰x x f xx f d )(ln )(ln .（7）设)(x f 的一个原函数为xxsin ，则='⎰x x f x d )2( . （8）若⎰⎰-=x x f x f x x x f d )(cos )(sin d )(sin ，则=)(x f .解：(1)()C e x x f x ++=2()()()C e x x f e x f e x x f x x x ++=⇒+='⇒+=+='2212121ln ln(2)215623+--x x x由已知可设d cx bx ax x f +++=23)( 有()C bx ax x f ++='232()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++==+-=-'=+-+-=-==⇒2156101075502310248220d c b a c b a f c b a f d c b a f d f()215623+--=⇒x x x x f（3）C x ++2ln()()()x x x x x xe e x f e x xe x xf C e x dx x xf +=⇒+=⇒+=⎰2222⎰⎰++=+=⇒C x dx xdx x f e x2ln 21)( （4）C x x +++1ln 21)(1)(ln 11ln)(1111ln2ln)1(22222-+⇒-+=⇒--+-=-=-x x x x x f x x x x x f ϕϕ ⎰⎰⎰+-+=-+=-+=⇒-+=⇒C x x dx x dx x x dx x x x x 1ln 2)121(11)(11)(ϕϕ （5）C e e e x x x ++-+--22ln24121222⎰⎰++-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---C e e e dx e e e dx ee e e x x x x x x x x x x 22ln 2412121.222242243原式 （6）C xf +)(ln 2C x f x f x f d +==⎰)(ln 2)(ln ))(ln (原式（7）C xxx +-42sin 42cos ⎰-=⇒+=2sin cos )(sin )(xxx x c f C x x dx x f C x xx x x x x x x x dx x f x xf x f xd +-=--=-==⎰⎰42sin 42cos 22sin 4142sin 2cos 2.21)2(41)2(21))2((21原式 （8）x ln⎰⎰'-=dx x f x f x x f x dx x g )()(cos )(sin )(sinC x x f xx f +=⇒='∴ln )(1)(，取x x f ln )(=2．选择题（1）设x x f 2cos )(sin ='，则⎰=dx x f )(（ B ） A ．C x x +-331 B ．1421212C Cx x x ++- C ．C x x ++421212 C ．C x x ++421212（2）设)()( , )(1)()( , )(1)()(2x g x F x f x f x g x f x f x F ='+=-=，且14=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则=)(x f （ A ）A ．x tanB ．x cotC ．x arctanD ．x arc cot（3）若⎰+=C x x x f 2sin d )(，则⎰=--dx x x xf 12)12(22（ B ）A ．C x +22sin 41B ．C x +-)12sin(212 C ．C x +-)12(sin 2122 D ．C x +-)12sin(412 （4）设⎰⎰+∙=xdx x f x g dx xx f 22cot )()(sin)(，则)(x f ，)(x g 分别是（ D ）A ．x x f cos ln )(=，x x g tan )(=B ．x x f cos ln )(=，x x g cot )(-=C ．x x f sin ln )(=，x x g tan )(=D ．x x f sin ln )(=，x x g cot )(-= 解：（1）BC +-=⇒-='⇒-=='322x 31x )x (f x 1)x (f x sin 1x cos )x (sin f⎰++-=⇒142C x x 1212x f(x)dx C（2）A根据1)4f(=π，首先排除C 、D ，再将选项A 、B 分别代入原条件中，得A（3）B)1x 2sin(1x 2212x f 2xsinx f(x)2222--=-⇒= ⎰⎰+--=--=-=⇒C )1x 2sin(21)1d(2x )1x 2sin(2.41dx )1xsin(2x 22222原式，得B （4）D⎰⎰-=cotx)f(x)d(dx x sin f(x)取cotx g(x)-=则⎰+=xdf(x)cot f(x)g(x)上式 与条件比较，得cotxg(x) ,lnsinx f(x)cotx df(x)-==⇒=，得D3．计算下列不定积分（1）x xx x d 11ln 112-+-⎰（2）x x x x d cos 1)sin 1(e ⎰++（3）⎰+)e1(e d 2xxx（4）x xx d cos sin144⎰（5）⎰x x x x d cos e （6）⎰+++x x x x d 112（7）⎰xxcos d （8）⎰++x aax x xd 22（9）⎰-+293d x x （10）⎰-xx1 （提示 令t x 2sin =）（11）x x x d 283⎰++ （12）⎰-x xxxd 1arcsin 22（提示 令t x =arcsin ，t x sin =，再用分部积分法） （13）⎰x x x d )(arctan 2 （14）x xxx d e 1arctan arctan 2⎰+（15）⎰+x xxx d )3(ln 22（16）x x x d )sin(ln ⎰（提示 经过两次分部积分，又出现原积分形式，移项后便可得到所要结果）解：（1）C xxx x d x x ++-=+-+-=⎰11ln 41)11(ln 11ln 212 （2）dx x tg x tg e dx x xx e x x )2221(212cos )2cos 2(sin222++=+=⎰⎰⎰⎰++=dx e x tg dx e x tg e x x x 2212212 ⎰⎰+=++-+=C x tg e dx e x tg dx x tg e e x tg e x x x x x 2221)12(2122122 （3）⎰⎰+-=+=x xde eee ede )111()1(C e e x x +--=-arctan（4）C x x dx x +--==⎰cot cot 31sin 134C x x C x x x d x +--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰2cot 382cot 82cot 2cot 31822sin 183134 （5）=[]c x x x x e x++-cos sin )1(21 （6）⎰⎰⎰+++++++=++-+=dx x x x x x d dx x x x 22222)23()21(1211)1(2112121C x x x x x C x x x x x ++++++++=++++++++=121ln 211121ln 2112.212222 （7）⎰⎰++=+==C x x x d x x d x32tan 31tan tan )tan 1()(tan cos 1（8）⎰⎰⎰++-+++++=++-+=dx aax x a aax x a ax x d dx a ax x aa x 222222221)2()(2122C a ax x ax a a ax x +++++-++=22222ln 2（9）t x sin 3==令，20π<<t 则⎰⎰⎰+-=+=+dt tdt t t dt t t )cos 111(cos 1cos cos 33cos 3⎰+-=-C tt t d t t 2arctan )2(2cos 12 C x x x C xx+-+-=+-=2933arcsin 23arcsintan3arcsin（10）t x 2sin ==令，20π<<t ，则⎰⎰⎰+==dt ttdt tdt t t t 22cos 12cos 2cos sin 2sin cos 2 C x x x t t dt t +-+=+=+=⎰2arcsin 2sin 21)2cos 1( （11）C x x x dx x x dx x x x ++-=++=++++=⎰⎰4342)42(2)42)(22(232（12）t x =arcsin 令，t x sin =，则⎰⎰⎰⎰+-=-===tdt t t t td dt tttdt tt tcot cot )cot (sincos cos sin22C x x xx C t t t ++--=++-=ln arcsin 1sin ln cot 2（13）xdx x x x x x d x arctan 1)(arctan 21)()(arctan 21222222⎰⎰+-==⎰⎰++-=xdx x xdx x x arctan 11arctan )(arctan 21222 C x x x x x x ++++-=2222)(arctan 21)1ln(21arctan )(arctan 21 （14）⎰⎰==dt te t x x d xe t x arctan )(arctan arctan arctan 令⎰⎰+-=+-=-==C e x C e t de te tde x t t t t arctan )1(arctan )1(（15）⎰⎰⎰+++-=+-=++=dx xx x x x xd x d x x )3(1213ln 21)31(ln 21)3()3(ln 21222222C x x x x dx x x x x ++-++-=+-++-=⎰)3ln(121ln 613ln 21)311(613ln 212222 （16）⎰⎰+-=-=dx xx x x x d x 322ln cos 21)sin(ln 21)1()sin(ln 21 dx x xx xx x⎰---=322ln sin 41ln cos 41)sin(ln 21[]C x x x ++-=⇒ln cos ln sin 251原式。
《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第7章
3 . 2
4． 在 xＯy 坐标面上求向量 a，使其垂直于向量 b=4i-3j+5k,且｜a｜=2｜b｜． 解：设向量 a ( x, y, 0) ,由 a b 得 a b 0 即 4x 3y 0 , 由 | a | 2 | b | 得 解方程组
(6,10, 2) (6, 6, 6) (16, 4, 12) (16, 0, 20)
5．已知两点 M1(0，1，2)和 M2(1，-1，0)，求向量 M 1M 2 ，并求 M 1M 2 及与 M 1M 2 平 行的单位向量． 解： M 1M 2 (1 0)i (1 1) j (0 2)k i 2 j 2k (1, 2, 2)
2．试用向量证明：如果平面上一个四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行 四边形． 证： （如上题图） ，依题意有 AM MC , DM MB. 于是 AB AM MB MC DM DC. 故 ABCD 是平行四边形. 3．已知向量 a=i-2j+3k 的始点为(1，3，-2)，求向量 a 的终点坐标． 解：设 a 的终点坐标为( x, y, z ),则
即与 M 1M 2 平行的单位向量为 ,
1 3
2 2 1 2 2 , 或 , , . 3 3 3 3 3
习题 7-3
) 1． 已知 a =2, b =1, (a,b
解： （1） a a | a | 4
2
，求(1) a·a,(2) a·b,(3) (2a+3b)·(3a-b)． 3 ) 2 1 cos π 1 （2） a a | a | | b | cos(a,b 3
《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第11章
t t 1 t 1 1 1 yt (1)i 2t i 1 2t 1 ( )i 2t 2 3 i 0 i 0
由 (11 2 4) 式，得所给方程的通解
1 yt A(1)t 2t 3
(A 为任意常数)
*
(4)对应齐次差分方程为 yt 1 yt 0 ，其通解为 yt A ， 设原方程特解为
yt 2t ( B1 cos πt B2 sin πt ) 代入原方程得：
2t 1[ B1 cos π(t 1) B2 sin π(t 1)] 2t ( B1 cos πt B2 sin πt ) 2t cos πt
yt 1
1 4 yt ，其中 3 3
1 4 a ， b ，由通解公式 (11 2 7) 得原方程的通解为： 3 3
1 yt y A (t ) yt A( )t 1 (A 为任意常数) 3 1 3 t 1 3 1 (2)方程可化为 yt 1 yt ，其中 a ， b0 ， b1 ，故由通解公式 2 2 2 2 2 2 (11 2 9) 得方程的通解为： 3 1 1 1 t 1 7 t yt A( ) 2 2 2 t 即 yt A( )t . 1 1 1 2 9 3 2 1 (1 ) 2 1 2 2 2
t
(4) a 4 ， π ， b1 0 ， b2 3 ， D (4 cos π) sin π=9 0 ，且
2 2
由公式 (11 2 14) 得 = [0 (4 cos π) 3 sin π]=0 ， = [3(4 cos π) 0 sin π]=1 ， 方程通解为 yt A(4) sin πt ，以 t 0 时 y0 1 代入上式，得 A 1 ，故原方程特解为：
微积分课后题答案习题详解
微积分课后题答案习题详解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!n n =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=， 所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
微积分曹定华版课后题答案习题详解
第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注3证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ,有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=,知0ε∀>,1N ∃,当1n N >时,有取1N N k =-,有0ε∀>,N ∃,设n N >时此时1n k N +>有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =-1n ,说明上述结论反之不成立.证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>,,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-,知lim n n x →∞不存在,而1n x =,lim 1n n x →∞=,所以前面所证结论反之不成立;3. 利用夹逼定理证明：1 lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； 2 lim n →∞2!n n =0. 证：1因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=,2lim 0n n→∞=, 所以由夹逼定理,得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. 2因为22222240!1231n n n n n<=<-,而且4lim 0n n →∞=,所以,由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. 1 x n =11n e +,n =1,2,…；2 x 1x n +1n =1,2,…. 证：1略;2因为12x <,不妨设2k x <,则故有对于任意正整数n ,有2n x <,即数列{}n x 有上界,又 1n n x x +-=,而0n x >,2n x <,所以 10n n x x +-> 即 1n n x x +>, 即数列是单调递增数列;综上所述,数列{}n x 是单调递增有上界的数列,故其极限存在;习题2-21※. 证明：0lim x x →fx =a 的充要条件是fx 在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .证：先证充分性：即证若0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==,则0lim ()x x f x a →=. 由0lim ()x x f x a -→=及0lim ()x x f x a +→=知： 10,0εδ∀>∃>,当010x x δ<-<时,有()f x a ε-<,20δ∃>当020x x δ<-<时,有()f x a ε-<;取{}12min ,δδδ=,则当00x x δ<-<或00x x δ<-<时,有()f x a ε-<, 而00x x δ<-<或00x x δ<-<就是00x x δ<-<, 于是0,0εδ∀>∃>,当00x x δ<-<时,有()f x a ε-<, 所以 0lim ()x x f x a →=.再证必要性：即若0lim ()x x f x a →=,则0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==, 由0lim ()x x f x a →=知,0,0εδ∀>∃>,当00x x δ<-<时,有()f x a ε-<,由00x x δ<-<就是 00x x δ<-<或00x x δ<-<,于是0,0εδ∀>∃>,当00x x δ<-<或00x x δ<-<时,有()f x a ε-<.所以 0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→== 综上所述,0lim x x →fx =a 的充要条件是fx 在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .2. 1 利用极限的几何意义确定0lim x → x 2+a ,和0lim x -→1e x； 2 设fx = 12e ,0,,0,xx x a x ⎧⎪<⎨⎪+≥⎩,问常数a 为何值时,0lim x →fx 存在.解：1因为x 无限接近于0时,2x a +的值无限接近于a ,故2lim()x x a a →+=.当x 从小于0的方向无限接近于0时,1e x 的值无限接近于0,故10lim e 0xx -→=. 2若0lim ()x f x →存在,则00lim ()lim ()x x f x f x +-→→=, 由1知 22lim ()lim()lim()x x x f x x a x a a +--→→→=+=+=, 所以,当0a =时,0lim ()x f x →存在;3. 利用极限的几何意义说明lim x →+∞sin x 不存在.解：因为当x →+∞时,sin x 的值在-1与1之间来回振摆动,即sin x 不无限接近某一定直线y A =,亦即()y f x =不以直线y A =为渐近线,所以lim sin x x →+∞不存在;习题2-31. 举例说明：在某极限过程中,两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量,也不一定是无穷大量.解：例1：当0x →时,tan ,sin x x 都是无穷小量,但由sin cos tan xx x=当0x →时,cos 1x →不是无穷大量,也不是无穷小量;例2：当x →∞时,2x 与x 都是无穷大量,但22xx=不是无穷大量,也不是无穷小量; 例3：当0x +→时,tan x 是无穷小量,而cot x 是无穷大量,但tan cot 1x x =不是无穷大量,也不是无穷小量;2. 判断下列命题是否正确：1 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量；2 有界函数与无穷小量之积为无穷小量；3 有界函数与无穷大量之积为无穷大量；4 有限个无穷小量之和为无穷小量；5 有限个无穷大量之和为无穷大量；6 y =x sin x 在-∞,+∞内无界,但lim x →∞x sin x ≠∞；7 无穷大量的倒数都是无穷小量；8 无穷小量的倒数都是无穷大量. 解：1错误,如第1题例1； 2正确,见教材§定理3；3错误,例当0x →时,cot x 为无穷大量,sin x 是有界函数,cot sin cos x x x =不是无穷大量；4正确,见教材§定理2；5错误,例如当0x →时,1x 与1x -都是无穷大量,但它们之和11()0x x+-=不是无穷大量；6正确,因为0M ∀>,∃正整数k ,使π2π+2k M >,从而ππππ(2π+)(2π+)sin(2π+)2π+2222f k k k k M ==>,即sin y x x =在(,)-∞+∞内无界,又0M ∀>,无论X 多么大,总存在正整数k ,使π>k X ,使(2π)πsin(π)0f k k k M ==<,即x →+∞时,sin x x 不无限增大,即lim sin x x x →+∞≠∞；7正确,见教材§定理5；8错误,只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量;零是无穷小量,但其倒数无意义; 3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量,哪些是该极限过程中的无穷大量. 1 fx =234x -,x →2; 2 fx =ln x ,x →0+,x →1,x →+∞； 3 fx = 1e x,x →0+,x →0-； 4 fx =2π-arctan x ,x →+∞;5 fx =1x sin x ,x →∞; 6 fx = 21xx →∞. 解：122lim(4)0x x →-=因为,即2x →时,24x -是无穷小量,所以214x -是无穷小量,因而234x -也是无穷大量; 2从()ln f x x =的图像可以看出,1lim ln ,limln 0,lim ln x x x x x x +→→+∞→=-∞==+∞,所以,当0x +→时,x →+∞时,()ln f x x =是无穷大量；当1x →时,()ln f x x =是无穷小量;3从1()e x f x =的图可以看出,110lim e ,lim e 0x xx x +-→→=+∞=, 所以,当0x +→时,1()e xf x =是无穷大量； 当0x -→时,1()e xf x =是无穷小量;4πlim(arctan)02xx→+∞-=,∴当x→+∞时,π()arctan2f x x=-是无穷小量;5当x→∞时,1x是无穷小量,sin x 是有界函数,∴1sin xx是无穷小量;6当x→∞时,21x是无穷小量,∴;习题2-41.若limx x→fx存在,limx x→gx不存在,问limx x→fx±gx,limx x→fx·gx是否存在,为什么解：若limx x→fx存在,limx x→gx不存在,则1limx x→fx±gx不存在;因为若limx x→fx±gx存在,则由()()[()()]g x f x f x g x=--或()[()()]()g x f x g x f x=+-以及极限的运算法则可得limx x→gx,与题设矛盾;2limx x→fx·gx可能存在,也可能不存在,如：()sinf x x=,1()g xx=,则limsin0xx→=,1limx x→不存在,但limx x→fx·gx=1lim sin0xxx→=存在;又如：()sinf x x=,1()cosg xx=,则π2limsin1xx→=,π21limcosx x→不存在,而0limx x→fx·gxπ2lim tanxx→=不存在;2. 若limx x→fx和limx x→gx均存在,且fx≥gx,证明limx x→fx≥limx x→gx.证：设limx x→fx=A,limx x→gx=B,则0ε∀>,分别存在1δ>,2δ>,使得当010x xδ<-<时,有()A f xε-<,当020x xδ<-<时,有()g x Bε<+令{}12min,δδδ=,则当0x xδ<-<时,有从而2A Bε<+,由ε的任意性推出A B≤即00lim()lim()x x x xf xg x→→≤.3. 利用夹逼定理证明：若a1,a2,…,a m为m个正常数,则limn →∞nma ++=A , 其中A =max{a 1,a2,…,a m }.n n n m a m A ≤++≤,即而lim n A A →∞=,1lim nn mA A →∞=,由夹逼定理得nm n a A ++=.4※. 利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明：若x1＝,x 2x n +1=1,2,…,则lim n →∞x n 存在,并求该极限.证：因为12x x ==有21x x >今设1k k x x ->,则1k k x x -=>=,由数学归纳法知,对于任意正整数n有1n n x x +>,即数列{}n x 单调递增;又因为12x =<,今设2k x <,则12k x -=<=,由数学归纳法知,对于任意的正整数 n 有2n x <,即数列{}n x 有上界,由极限收敛准则知lim n n x →∞存在;设lim n n x b →∞=,对等式1n x +=两边取极限得b =即22b b =+,解得2b =,1b =-由极限的保号性,舍去,所以lim 2n n x →∞=.5. 求下列极限：1 lim n →∞33232451n n n n n +++-+；2 lim n →∞1cos n ⎡⎤⎛⎢⎥⎝⎣⎦； 3 lim n →∞4 limn →∞11(2)3(2)3n nn n ++-+-+； 5 lim n →∞1112211133n n ++++++. 解：1原式=23232433lim 11155nn n n n n→∞++=+-+；2因为lim(10n →∞=,即当n →∞时,1是无穷小量,而cos n 是有界变量,由无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量得：lim (10n n →∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；322lim(n n n→∞=而lim 0nn→∞→∞==, 2n n →∞∴==∞；41111121(1)()(2)31333limlim2(2)33(1)()13nn n n n n n n n n ++→∞→∞++-+-+==-+-+； 5111111()21111114[1()]42222lim lim lim 1111311()3[1()]3333113n n n n n n n n n ++→∞→∞→∞++-+++--===+++---.6. 求下列极限： 1 3limx →239x x --； 2 1limx →22354x x x --+； 3 lim x →∞3426423x x x ++;4 2limx π→sin cos cos 2x xx -; 5 0lim h →33()x h x h+-; 6 3lim x→7 1lim x →21n x x x n x +++--; 8 lim x →∞sin sin x x x x +-；9 lim x →+∞ 10 1lim x →313()11x x---； 11 0lim x →21(sin )x x.解：23333311(1)limlim lim 9(3)(3)36x x x x x x x x x →→→--===--++2211lim(54)0,lim(23)1x x x x x →→-+=-=-3344226464lim lim 03232x x x x x x x x→∞→∞++==++； 4π2ππsincos sin cos 22lim1cos 2cos πx x xx →--==-； 5[]223300()()()()lim limh h x h x x h x h x x x h x h h→→⎡⎤+-+++++-⎣⎦= 222lim ()()3h x h x h x x x →⎡⎤=++++=⎣⎦；633(23)92)x x x →→+-=343x x →→===；72211(1)(1)(1)limlim 11n n x x x x x n x x x x x →→+++--+-++-=--1123(1)2n n n =++++=+； 8sin lim0x x x →∞=无穷小量1x与有界函数sin x之积为无穷小量sin 1sin lim lim 1sin sin 1xx x x x x xx x x→∞→∞++∴==--； 922limlimx x→+∞=limlim1x x ===；101lim x →313()11x x---231(1)3lim 1x x x x →++-=- 11当0x →时,2x 是无穷小量,1sinx是有界函数,∴它们之积21sinx x 是无穷小量,即201lim sin 0x x x →⎛⎫= ⎪⎝⎭;习题2-5求下列极限其中a ＞0,a ≠1为常数： 1. 0limx →sin 53x x; 2. 0lim x →tan 2sin 5xx ; 3. 0lim x →x cot x ;4. 0lim x→; 5. 0lim x →2cos5cos 2x x x -; 6. lim x →∞1xx x ⎛⎫⎪+⎝⎭; 7. 0lim x →()cot 13sin xx +; 8. 0lim x →1x a x-; 9. 0lim x →x x a a x --;10. lim x →+∞ln(1)ln x x x +-; 11. lim x →∞3222xx x -⎛⎫⎪-⎝⎭; 12.lim x →∞211xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭; 13. 0limx →arcsin x x ; 14. 0lim x →arctan xx; .解：1. 000sin 55sin 55sin 55lim lim lim 335353x x x x x x x x x →→→===；2. 000tan 2sin 221sin 25lim lim lim sin 5cos 2sin 55cos 22sin 5x x x x x x x x x x x x x→→→== 0205021sin 252lim lim lim 5cos 22sin 55x x x x x x x x →→→==； 3. 0000lim cotlim cos lim limcos 1cos01sin sin x x xx x xx x x x x x →→→→=⋅==⨯=；4. 0000sin22limlim22x x x x x x x→→→→=== 0sin2221222xx →===； 5. 2200073732sin sin sin sin cos5cos 2732222lim lim lim (2)732222x x x x x x x x x x x x x →→→⎡⎤-⎢⎥-==-⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦0073sin sin 212122limlim 732222x x x x x x →→=-⋅=-；6. 111lim lim lim 111e (1)xxx x x x x x x x x →∞→∞→∞⎛⎫ ⎪⎛⎫=== ⎪ ⎪++⎝⎭ ⎪+⎝⎭； 7. 3cos cos 1cot sin 3sin 0lim(13sin )lim(13sin )lim (13sin )xx xxx x x x x x x →→→⎡⎤+=+=+⎢⎥⎣⎦8.令1xu a =-,则log (1)a x u =+,当0x →时,0u →,111ln log elimlog (1)a ua u a u →===+. 9. 000(1)(1)11lim lim lim x x x x x x x x x a a a a a a x x xx ---→→→⎛⎫------==+ ⎪-⎝⎭ 利用了第8题结论01limln x x a a x→-=； 10. ln(1)ln 11limlim lnx x x x xx x x→+∞→+∞+-+=⋅ 1111lim ln(1)lim lim ln(1)0x x x x x x x→+∞→+∞→+∞=+=+=； 11. 22223211lim lim 1lim 1222222x xxxxx x x x x x x --→∞→∞→∞⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1232lim e 22xx x x -→∞-⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭； 12. 1221222111ln (1)lim ln(1)2211lim(1)lim (1)lim eex x xxx xx x x xx x x x x →∞⎡⎤++⎢⎥⎣⎦→∞→∞→∞⎡⎤+=+==⎢⎥⎣⎦2121lim lim ln(1)0lne 0e e e 1xx x x x→∞→∞+⋅====；13.令arcsin x u =,则sin x u =,当0x →,0u →,000arcsin 1limlim 1sin sin limx u u x u u x u u→→→===；14.令arctan x u =,则tan x u =,当0x →,0u →,00000arctan 1lim lim lim cos lim limcos 1sin tan sin x u u u u x u u u u u xu u u→→→→→====. 习题2-61. 证明： 若当x →x 0时,αx →0,βx →0,且αx ≠0,则当x →x ０时,αx ～βx 的充要条件是0lim x x →()()()x x x αβα-＝０. 证：先证充分性.若0lim x x →()()()x x x αβα-＝０,则0lim x x →()(1)()x x βα-＝0, 即0()1lim 0()x x x x βα→-=,即0()lim 1()x x x x βα→=. 也即0()lim 1()x x x x αβ→=,所以当0x x →时,()()x x αβ. 再证必要性：若当0x x →时,()()x x αβ,则0()lim 1()x x x x αβ→=, 所以0lim x x →()()()x x x αβα-＝0lim x x →()(1)()x x βα-＝0()1lim ()x x x x βα→-=011110()lim ()x x x x αβ→-=-=. 综上所述,当x →x 0时,αx ～βx 的充要条件是0lim x x →()()()x x x αβα-＝０. 2. 若βx ≠0,0lim x x →βx =0且0lim x x →()()x x αβ存在,证明0lim x x →αx =0. 证：0000()()lim ()lim ()lim lim ()()()x x x x x x x x x x x x x x x αααββββ→→→→==0()lim 00()x x x x αβ→== 即 0lim ()0x x x α→=. 3. 证明： 若当x →0时,fx =ox a ,gx =ox b ,则fx ·gx ＝o a b x+,其中a ,b 都大于0,并由此判断当x →0时,tan x －sin x 是x 的几阶无穷小量.证: ∵当x →0时, fx =ox a ,gx =ox b ∴00()()lim(0),lim (0)a bx x f x g x A A B B x x →→=≠=≠ 于是: 0000()()()()()()lim lim lim lim 0a b a b a b x x x x f x g x f x g x f x g x AB x x x x x +→→→→⋅=⋅=⋅=≠ ∴当x →0时, ()()()a b f x g x O x +⋅=,∵tan sin tan (1cos )x x x x -=-而当x →0时, 2tan (),1cos ()x O x x O x =-=,由前面所证的结论知, 3tan (1cos )()x x O x -=,所以,当x →0时,tan sin x x -是x 的3阶无穷小量.4. 利用等价无穷小量求下列极限：1 0lim x →sin tan ax bx b ≠0；2 0lim x →21cos kx x-； 3 0lim x→； 4 0lim x→5 0lim x →arctan arcsin x x ；6 0lim x →sin sin e e ax bx ax bx-- a ≠b ； 7 0limx →ln cos 2ln cos3x x ； 8 设0lim x →2()3f x x-＝100,求0lim x →fx . 解 00sin (1)lim lim .tan x x ax ax a bx bx b→→== 8由20()3lim 100x f x x →-=,及20lim 0x x →=知必有0lim[()3]0x f x →-=, 即 00lim[()3]lim ()30x x f x f x →→-=-=, 所以 0lim ()3x f x →=. 习题2-7１.研究下列函数的连续性,并画出函数的图形：1 fx = 31,01,3,12;x x x x ⎧+≤<⎨-≤≤⎩ 2 fx ＝,111,1 1.x x x x -≤<⎧⎨<-≥⎩，或 解: 1300lim ()lim(1)1(0)x x f x x f ++→→=+== ∴ fx 在x =0处右连续,又11lim ()lim(3)2x x f x x ++→→=-= ∴ fx 在x =1处连续.又 22lim ()lim(3)1(2)x x f x x f --→→=-== ∴ fx 在x =2处连续.又fx 在0,1,1,2显然连续,综上所述, fx 在0,2上连续.图形如下:图2-12 11lim ()lim 1x x f x x --→→==∴ fx 在x =1处连续.又11lim ()lim 11x x f x -+→-→-== 故11lim ()lim ()x x f x f x -+→-→-≠ ∴ fx 在x =-1处间断, x =-1是跳跃间断点.又fx 在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞显然连续.综上所述函数fx 在x =-1处间断,在(,1),(1,)-∞--+∞上连续.图形如下:图2-22. 说明函数fx 在点x 0处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同又有什么联系 略.3.函数在其第二类间断点处的左、右极限是否一定均不存在试举例说明.解:函数在其第二类间断点处的左、右极限不一定均不存在. 例如0(),010x x f x x x x ≤⎧⎪==⎨>⎪⎩是其的一个第二类间断点,但00lim ()lim 0x x f x x --→→==即在0x =处左极限存在,而001lim ()lim x x f x x++→→==+∞,即在0x =处右极限不存在. 4.求下列函数的间断点,并说明间断点的类型：1 fx = 22132x x x -++；2 fx ＝sin sin x x x+； 3 fx = ()11x x+； 4 fx = 224x x +-； 5 fx = 1sinx x . 解: 1由2320x x ++=得x =-1, x =-2∴ x =-1是可去间断点,x =-2是无穷间断点.2由sin x =0得πx k =,k 为整数.∴ x =0是跳跃间断点.4由x 2-4=0得x =2,x =-2.∴ x =2是无穷间断点,x =-2是可去间断点. 5 001lim ()lim sin 0,()x x f x x f x x→→==在x =0无定义 故x =0是fx 的可去间断点.5.适当选择a 值,使函数fx = ,0,,0x e x a x x ⎧<⎨+≥⎩在点x =0处连续.解: ∵f 0=a ,要fx 在x =0处连续,必须00lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-→→==. 即a =1.6※.设fx = lim x →+∞x xx x a a a a ---+,讨论fx 的连续性. 解: 22101()lim lim sgn()10100x x xx x x a a x a aa f x x x a a a x --→+∞→+∞-<⎧--⎪====>⎨++⎪=⎩ 所以, fx 在(,0)(0,)-∞+∞上连续,x =0为跳跃间断点. 7. 求下列极限：1 2lim x →222x x x +-； 2 0lim x→； 3 2lim x →ln x -1; 4 12lim x →5 lim x e→ln x x . 解: 222222(1)lim 1;2222x x x x →⨯==+-+- 习题2-81. 证明方程x 5-x 4-x 2-3x =1至少有一个介于1和2之间的根.证: 令542()31f x x x x x =----,则()f x 在1,2上连续,且 (1)50f =-<, (2)50f =>由零点存在定理知至少存在一点0(1,2),x ∈使得0()0f x =.即 542000031x x x x ---=, 即方程54231x x x x ---=至少有一个介于1和2之间的根.2. 证明方程ln １＋e x -2x =0至少有一个小于1的正根.证: 令()ln(1)2e x f x x =+-,则()f x 在(,)-∞+∞上连续,因而在0,1上连续, 且 0(0)ln(1)20ln 20e f =+-⨯=>由零点存在定理知至少存在一点0(0,1)x ∈使得0()0f x =.即方程ln(1)20e xx +-=至少有一个小于1的正根.3※. 设fx ∈C -∞,+∞,且lim x →-∞fx =A , lim x →+∞fx =B , A ·B ＜0,试由极限及零点存在定理的几何意义说明至少存在一点x 0∈－∞,＋∞,使得fx 0＝０.证: 由A ·B <0知A 与B 异号,不防设A >0,B <0由lim ()0,lim ()0x x f x A f x B →-∞→+∞=>=<,及函数极限的保号性知,10X ∃>,使当1x X <-,有()0,f x >20X ∃<,使当2x X >时,有()0f x <.现取1x a X =<-,则()0f a >,2x b X =>,则()0f b <,且a b <,由题设知()f x 在[,]a b 上连续,由零点存在定理,至少存在一点0(,)x a b ∈使0()0f x =, 即至少存在一点0(,)x ∈-∞+∞使0()0f x =.4.设多项式P n x ＝x n +a 11n x-+…+a n .,利用第3题证明： 当n 为奇数时,方程P n x =0至少有一实根.证: 122()1n n n n a a a P x x x x x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()lim 10n nx P x x →∞∴=>,由极限的保号性知. 0X ∃>,使当X x >时有()0nn P x x>,此时()n P x 与n x 同号,因为n 为奇数,所以2X n 与-2X n 异号,于是(2)n P X -与(2)n P X 异号,以()n P x 在[2,2]X X -上连续,由零点存在定理,至少存在一点0(2,2)X X X ∈-,使0()0n P x =,即()0n P x =至少有一实根.。
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微积分课后习题答案 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】微积分第八章课后习题答案习题8-11.（1）一阶；（2）二阶；（3）一阶；（4）三阶；（5）三阶；（6）一阶；（7）二阶；（8）一阶。
2.（1）、（2）、（3）、（4）、（5）都是微分方程的通解。
3.122y x =+.4.将所给函数及所给函数的导数代人原方程解得：21()(1)2u x x dx x x C =+=++⎰.习题8-21.（1）原式化为：ln dyx y y dx =分离变量得：11ln dy dx y y x = 两边积分得：11ln dy dx y y x=⎰⎰ 计算得：()11ln ln d y dx y x=⎰⎰ 即：()1ln ln ln y x C =+ 整理：1ln y C x =所以：原微分方程的通解为：Cx y e =； （2）原式化为：()()2211y x dy x y dx -=-- 分离变量得：()()2211y xdy dx y x -=-- 两边积分得：()()2211y xdy dx y x -=--⎰⎰ 计算得：()()()()22221111112211d y d x y x -=----⎰⎰ 即：()()221ln 1ln 1y x C -=--+ 整理：22(1)(1)y x C --=所以：原微分方程的通解为：22(1)(1)y x C --=；（3xydx =- 分离变量得：1dy y =两边积分得：1dy y =⎰计算得：()21ln 12y x =-即：1ln y C =整理：y =所以：原微分方程的通解为：y =（4）1y e Cx -=-；（5）sin 1y C x =-； （6）1010x y C -+=；（7）22ln 22arctan y y x x C -=-+； （8）当sin02y ≠时，通解为ln |tan |2sin 42y y C =-；当sin 02y=时，特解为2(0,1,2,)y k k π==±±；（9）222ln x y x C +-=； （10）22ln ln x y C +=。
2.（1）tan 2xy e=；（2）(1)sec x e y +=；（3）2(1)22y x e y +-=；（4）1ln |1|1a x a y=--+；（5）24x y =；（6）323223235y y x x +--=；（7）sin y x =；（8）cos 0x y =。
3.（1）2y Cx +=；（2）1Cx y xe +=；（3）sinln ||yx C x=+；（4）ln |ln |y x C x =--；（5）arctany xxy Ce-=；（6）ln1yCx x=+；（7）22(2ln ||)y x x C =+；（8）332x y Cx -=。
4.（1）ln(1ln )y x x =--；（2）22(ln 2)y x x =+；（3）22tan(ln )4y x x π=+；（4）222ln y x x =；（5）y x =；（6）222(ln 2)y x x =+。
5.31()2x xϕ=-。
习题8-31.（1）2x x y Ce e =-；（2）()n x y x e C =+；（3）sin ()x y e x C -=+；（4）2(1)()y x x C =++；（5）2sin ()y x x C =+；（6）()x y e x C -=+；（7）22y x Cx =-+；（8）2212x x y Cee--=-；（9）32433(1)x Cy x +=+；（10）1(1)y C x =++。
2.（1）32(4)3xy e -=-；（2）x e y x =；（3）1cos x y x π--=；（4）cos x y x =；（5）(1)x y e x =+；（6）2ln 2y x x =-+；（7）sin 2sin 1x y e x -=+-；（8）2sin 11x y x -=-。
3.（1）55352y Cx x -=+；（2）4414x y x Ce --=-++；（3）2133ln |1|(ln |3|)2x C C C y ++==；（4）33(2ln 1)4C y x x x -=--或323(2ln 1)4xy x x C -+-=；（5）1233317y Cx x -=-或123337y Cx x -=-；（6）4414x y Ce x --=-+。
习题8-41.（1）12(2)x y x e C x C =-++；（2）12ln |cos()|y x C C =-++；（3）21212x y C e x x C =--+；（4）1221(0)C x y C e C =+≠；（5）41211cos3129y x x C x C =-++；（6）4321211432C y x x x C =+-+；（7）12()x y C x e C -=-+；（8）12C x y C e =。
2.（1）y ；（2）1ln(1)y ax a =-+；（3）lnsec y x =；（4）41(1)2y x =+；（5）ln()ln 2x x y e e -=+-；（6）1122x x y e e -=-；（7）31cos 16y x x x =-++；（8）21122y x =-。
习题8-5 1.（1）2312xxy C eC e--=+；（2）3412()x y C C x e =+；（3）12cos sin y C x C x =+；（4）412(cos3sin 3)xy eC x C x -=+；（5）5212()x y C C x e =+；（6）212(cos sin )x y e C x C x =+；（7）2512x x y C e C e -=+；（8）212()x y C C x e =+；（9）212(cos3sin 3)x y e C x C x =+；（10）12y C C =+。
2.（1）2(2)x y x e -=+；（2）23sin 5x y e x -=；（3）342x x y e e =+；（4）sin x y e x =；（5）1cos33x y e x =-；（6）1cos sin y x x πππ=+。
3.'''20y y y -+=。
4. '''320y y y -+=。
5.（1）*01y b x b =+；（2）*201y b x b x =+；（3）*0x y b e =；（4）*2012()x y b x b x b e =++；（5）*01cos 2sin 2y b x b x =+；（6）*01(cos sin )y x b x b x =+。
6.（1）32121123x y C C e x x -=++-；（2）121(cos sin )2x y C C e x x =++-；（3）2212117(cossin )22224xy e C x C x x x -=++--； （4）122cos sin 1xe y C ax C ax a =+++；（5）312113cos sin ()1050x y C x C x x e =++-；（6）31234()(cos sin )2525x x y e C C x e x x =++-。
（7）2121(cos sin )(1)2x y e C x C x x =+++；（8）3212xy C e C x =++；（9）21232x x x y C e C e e -=++；（10）22212()224x x y C C x e x x e =++++。
7.（1）275522x x y e e =-++；（2）(1)x x x y e e x x e -=-+-；（3）211(cos sin )sin 22x y e x x e x π=-+；（4）311(37cos 429sin 4)(5sin 14cos )102102x y x x e x x =-++； （5）11cos sin sin 233y x x x =--+；（6）4115516164x y e x =+-。
习题8-61.（1）三阶；（2）六阶。
2.略。
3.（1）2t t y C =；（2）(1)t t y C =-；（3）21122t y C t t =+-；（4）2111()623t y C t t t =+-+；（5）1(1)23t t t y C =-+；（6）1222t t t y C t =+。
4.（1）23t y t =+；（2）13()2t t y =-；（3）111()442t t y =+-；（4）11(2)224t t t y =-+。
5.（1）1234t t t y C C =+；（2）1211()(22t tt y C C +=+；（3）12()3t t y C C t =+； （4）122(cos sin )22t t y C t C t ππ=+；（5）12(1)4t t t y C C =-+； （6）122(cossin)33t t y C t C t ππ=+。
6.（1）1[1(3)]2t t y =-+-；（2）4sin 3t t y t π=；（3）2cos 4t t y t π=⋅。
习题8-7 略总复习题八1.（1）三；（2）'''560y y y -+=；（3）2129t t t y y y +++-=。
2.（1）C ；（2）B ；（3）D ；（4）A ；（5）D 。
3.略。
4.（1）221(1)y C x +=-；（2）(1)(1)x y e e C +-=；（3）ln[(2)]02xC y x y x++=+；（4）2x yye x C +=；（5）ln Cy ax x=+；（6）22124ln 39C x x x y x =--或23222(ln )33x C x x y =-+；（7332x xy C =++；（8）222arctan y x y C x+-=；（9）2y Cx =；（10）22xy y C -=。
5.（1）1x e y +=或(1)sec x e y +=；（2）220x y x y +--=；（3）2225x y +=；（4）2(12ln )0x y y +-=；（5）cos 15sin xe y x-=或cos sin 51x y x e +=；（6）2(1)x x x x e e e y e x x-==-。