高等数学-大一-上学期知识要点

高数总复习(上)一、求极限的方法：1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则(加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB = (除法运算) ()0,lim()f x AB g x B≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n nf x A f x f x A === (n 为正整数)推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x =②结论m n a x b x --+++++11结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则0lim ()()x xf x f x →= 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质；①定义1: 若0lim ()0xx f x →=或（lim ()0x f x →∞=） 则称()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小:若lim 1βα=, 则称α与β是等价无穷小, 记为αβ.②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~ααββ'',且lim βα''存在, 则(因式替换原则)常用等价无穷小:sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x()()2121cos ~,1~,11~,ln 1~,xx x e x x x x x μμ--+-+1~ln ,x a x a -()0→x3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则；①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123;(2)lim lim n nn n y z a →∞→∞==,则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞=.②准则II: 单调有界数列必有极限.4、利用两个重要极限。

0sin lim 1x x x →= 10lim(1)x x x e →+= 1lim(1)xx e x→∞+=5、利用洛必达法则。

未定式为0,,,0,0∞∞∞-∞⋅∞∞类型.①定理(x a→时的0型): 设(1)lim()lim()0x a x af x F x→→==;(2) 在某(,)U aδ内, ()f x及()F x都存在且()0F x≠;()(3)lim()x af xF x→''存在(或为无穷大)()()lim lim()()x a x af x f xF x F x→→'='则，二、求导数和微分：1.定义①导数：函数()y f x=在x x=处的导数：000()()()() ()lim lim.x x xf x f x f x x f xf xx x x→∆→-+∆-'==-∆函数()y f x=在区间I上的导函数：()()()lim.xf x x f x dyf xx dx∆→+∆-==∆②函数的微分：().dy f x dx'=2.导数运算法则（须记住P140导数公式）① 函数和差积商求导法则：函数()u x 、()v x 可导，则：(()())()()u x v x u x v x αβαβ'''+=+(()())()()()().u x v x u x v x u x v x '''=+()2(()0)u u v uv v x v v''-''=≠②反函数求导法则：若()x y ϕ=的导数存在且()0y ϕ'≠，则反函数()y f x =的导数也存在且为1().()f x y ϕ'='③复合函数求导法则(链式法则)：()u x ϕ=可导，()y f u =可导，则(())y f x ϕ=可导，且.dy dy du dx du dx= ④隐函数求导法则:⑤参数方程求导法则:(),()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩若()0t ϕ'≠则()()dy t dx tψϕ'='. 22()()()1()t dy d d d y t dx dx dx dx dtdtψϕ''==⋅ 3.微分运算法则三、求积分：1.概念：原函数、不定积分。

定积分是一个数，是一个和的极限形式。

1()lim ()nbi i ai f x dx f x λξ→∞==∆∑⎰性质1：()0,()()a a ba baf x dx f x dx f x dx =-=⎰⎰⎰性质2：[()()]()()bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰ 性质3：()(),().b ba akf x dx k f x dx k =⎰⎰是常数性质4：()()()c cbbaaf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰ (去绝对值, 分段函数积分)性质5：badx b a =-⎰2.计算公式： P186基本积分表； P203常用积分公式；①第一换元法(凑微分)：()()(())()(())()()u x u x f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕϕ==⎡⎤'==⎣⎦⎰⎰⎰22arcsin arccos ,1111(),2.dx d x d x xdx d dx x x x x==--=-=②第二换元法：()2.()(())()x t f x dx f t t dt ϕϕϕ='=⎰⎰③分部积分法：3.()()()()()()u x v x dx u x v x u x v x dx ''=-⎰⎰udv uv vdu=-⎰⎰)(反对幂指三”，前,后u v '循环解出; 递推公式分部化简 ;④有理函数积分：混合法 (赋值法+特殊值法)确定系数⑤牛顿莱布尼茨公式：4.()()()[()](()())b b aaf x dx F b F a F x F x f x '=-==⎰其中 ⑥定积分换元法：5.()(())()(())b af x dx f t t dta b βαϕϕϕαϕβ'=⎰⎰＝()=（换元换限，配元(凑微)不换限） ⑦定积分分部积分法：[]6.()()()()()()bbba aau x v x dx u x v x u x v x dx ''=-⎰⎰⑧结论(偶倍奇零)：① 若函数()f x 为偶函数，则0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰。

②若函数()f x 为奇函数，则()0aaf x dx -=⎰注意:1. 利用“偶倍奇零”简化定积分的计算；2. 定积分几何意义求一些特殊的积分(如22204aa a x dx π-=⎰)⑨ 变限积分求导四、微分和积分的应用1. 判断函数的单调性、凹凸性、求其极值、拐点、描绘函数图形① 判断单调性： 第一步：找使 ()0f x '=的点和不可导点。

第二步：以驻点和不可导点划分单调区间，在每个区间上讨论()f x '的正负，()0,f x '>函数递增，()0,f x '<函数递减。

② 判断凹凸性：第一步：找使()0f x ''=的点和不可导点。

第二步：以这些点划分定义区间，在每个区间上讨论()f x ''的正负， ()0f x ''>，是凹区间，()0f x ''<，是凸区间。

（拐点：左右两边()f x ''的符号相反） ③ 判断函数极值：第一步：找使 ()0f x '=的点和不可导点。

第二步：判断这些点两边()f x '的正负，若左正右负极大值点左负右正极小值点。

2.1 定积分的几何应用---求面积，体积和弧长所求图形的面积为：[()()]baSf x fx dx =-⎰下上所求图形的面积为：[()()]d cS y y dy ϕϕ=-⎰右左y + y +-旋转体：由连续曲线 y =f (x )、直线 x =a 、x =b 及 x 轴所围成的曲边梯 形绕 x 轴旋转一周而成的立体。

旋转体：由连续曲线 ()x y ϕ= 、直线 y =c 、y =d 及 y 轴所围曲边梯 形绕 y 轴旋转一周而成的立体2[()]dcV y dy πϕ=⎰O xbax()y f x =yV =⎰ba [f (x )]2π dx =π⎰ba [f (x )]2dx 。

2.3 定积分的物理应用变力沿直线做功；水(侧)压力；引力思路: 建立坐标系，选取积分变量(如x )，在[x, x+d x ]上给出微元第六 空间解析几何1. 向量x y z a a i a j a k =++在坐标轴上的投影分别为：,,x y z a a a ；在坐标轴上的分量分别为：,,x y z a i a j a k 。

222||x y za a a a →=++，(cos ,cos ,cos )||a ae a αβγ==2. 利用坐标作向量的线性运算(,,),x y z a a a a = (,,),x y z b b b b =a b ±= (,,)x x y y z z a b a b a b ±±±，a λ= (,,)x y z a a a λλλ，数量积(数):||||cos(,)x x y y z z a b a b a b a b a b a b ∧⋅=++=向量积(向量)x y z x y zi j k a b a a a b b b ⨯=a b a ⨯⊥，a b b ⨯⊥，且 a b ⨯，,a b 构成右手系，||||||sin (,)a b a b a b ∧⨯= (几何意义: 平行四边形的面积)3．向量之间的关系a b ⊥⇔0x x y y z z a b a b a b a b ⋅⇔++=//00y x zxy z x y zx y zij ka a a ab a b a a a b b b b b b ⇔==⇔⨯=⇔=（）4．平面图形及其方程平面的法向量：和平面垂直的非零向量。

①点法式方程：设平面过点0000(,,)M x y z 法向量(,,)n A B C =(其中,,A B C 不全为0), 则平面的方程为000()()()0A x x B y y C z z -+-+-= ②一般方程：0Ax By Cz D +++=[ 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0表示平行于 x 轴的平面; Ax+Cz+D = 0 表示平行于 y 轴的平面; Ax+By+D = 0 表示平行于 z 轴的平面 Cz + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面; Ax + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面； By + D =0 表示平行于 zox 面 的平面]设平面∏1的法向量为1111(,,)n A B C =， 平面∏2的法向量为2222(,,)n A B C =，则两平面夹角q 的余弦为：1212cos n n n n θ⋅=。