高等数学大一上学期知识要点

高数总复习(上)一、求极限的方法：1、利用运算法则与基本初等函数的极限；①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则(加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+(乘法运算) lim ()()f x g x AB =g(除法运算) ()0,lim ()f x AB g x B≠=若 推论1: lim(),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数)推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x =②结论结论2:()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质；①定义1: 若0lim ()0x xf x →=或（lim ()0x f x →∞=）则称()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小.定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小:若lim 1βα=, 则称α与β是等价无穷小, 记为αβ:.②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小.性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~ααββ'',且limβα''存在, 则(因式替换原则)常用等价无穷小:3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则；①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件:(1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ;(2)lim lim n nn n y z a →∞→∞==,则数列n x 的极限存在, 且lim nn xa →∞=.②准则II: 单调有界数列必有极限.4、利用两个重要极限。

5、利用洛必达法则。

未定式为0,,,0,00∞∞∞-∞⋅∞∞类型. ①定理(x a →时的0型): 设(1)lim ()lim ()0x ax af x F x →→==;(2) 在某(,)U a δo内, ()f x 及()F x 都存在且()0F x ≠;二、求导数和微分 ：1.定义①导数：函数()y f x =在0x x =处的导数：000000()()()()()limlim .x x x f x f x f x x f x f x x x x→∆→-+∆-'==-∆ 函数()y f x =在区间I 上的导函数：②函数的微分：().dy f x dx '=2.导数运算法则（须记住P140导数公式）① 函数和差积商求导法则：函数()u x 、()v x 可导，则：②反函数求导法则：若()x y ϕ=的导数存在且()0y ϕ'≠，则反函数()y f x =的导数也存在且为③复合函数求导法则(链式法则)：()u x ϕ=可导，()y f u =可导，则(())y f x ϕ=可导，且④隐函数求导法则:⑤参数方程求导法则:若()0t ϕ'≠则()()dy t dx t ψϕ'='. 3.微分运算法则三、求积分：1.概念：原函数、不定积分。

定积分是一个数，是一个和的极限形式。

1()lim ()nbi i ai f x dx f x λξ→∞==∆∑⎰性质1：()0,()()aa babaf x dx f x dx f x dx =-=⎰⎰⎰性质2：[()()]()()bb ba aaf xg x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰性质3：()(),().bbaakf x dx k f x dx k =⎰⎰是常数性质4：()()()c cbbaaf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰ (去绝对值,分段函数积分)性质5：badx b a =-⎰2.计算公式： P186基本积分表； P203常用积分公式；①第一换元法(凑微分)：()()(())()(())()()u x u x f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕϕ==⎡⎤'==⎣⎦⎰⎰⎰②第二换元法：③分部积分法：④有理函数积分：混合法 (赋值法+特殊值法)确定系数⑤牛顿莱布尼茨公式：⑥定积分换元法：5.()(())()(())b af x dx f t t dta b βαϕϕϕαϕβ'=⎰⎰＝()=（换元换限，配元(凑微)不换限）⑦定积分分部积分法：[]6.()()()()()()bbba aau x v x dx u x v x u x v x dx ''=-⎰⎰循环解出; 递推公式分部化简 ;⑧结论(偶倍奇零)：① 若函数()f x 为偶函数，则0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰。

②若函数()f x 为奇函数，则()0aaf x dx -=⎰注意:1. 利用“偶倍奇零”简化定积分的计算；2. 定积分几何意义求一些特殊的积分(如2224aa a x dx π-=⎰)⑨ 变限积分求导四、微分和积分的应用1. 判断函数的单调性、凹凸性、求其极值、拐点、描绘函数图形① 判断单调性：第一步：找使()0f x '=的点和不可导点。

第二步：以驻点和不可导点划分单调区间，在每个区间上讨论()f x '的正负，()0,f x '>函数递增，()0,f x '<函数递减。

② 判断凹凸性：第一步：找使()0f x ''=的点和不可导点。

第二步：以这些点划分定义区间，在每个区间上讨论()f x ''的正负，()0f x ''>，是凹区间，()0f x ''<，是凸区间。

（拐点：左右两边()f x ''的符号相反）③ 判断函数极值：第一步：找使()0f x '=的点和不可导点。

第二步：判断这些点两边()f x '的正负，若左正右负极大值点左负右正极小值点。

2.1 定积分的几何应用---求面积，体积和弧长+-所求图形的面积为：[()()]baSf x fx dx =-⎰下上所求图形的面积为：[()()]dcSy y dy ϕϕ=-⎰右左旋转体：由连续曲线 y ?f (x )、直线 x ?a 、x ?b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体。

y ?dyy旋转体：由连续曲线 ()x y ϕ= 、直线 y ?c 、y ?d 及 y 轴所围曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体2.3 定积分的物理应用变力沿直线做功；水(侧)压力；引力思路: 建立坐标系，选取积分变量(如x )，在[x, x+d x ]上给出微元 第六 空间解析几何1. 向量x y z a a i a j a k =++r r r r在坐标轴上的投影分别为：,,x y z a a a ；在坐标轴上的分量分别为：,,x y z a i a j a k rr r 。

O x b a x()y f x =y V =⎰b a [f (x )]2π dx =π⎰ba [f (x )]2dx 。

||a →=，(cos ,cos ,cos )||a a e a αβγ==r r r 2. 利用坐标作向量的线性运算a b ±=r r(,,)x x y y z z a b a b a b ±±±， a λ=r (,,)x y z a a a λλλ，数量积(数):向量积(向量)a b a ⨯⊥r r r ，a b b ⨯⊥r r r ，且 a b ⨯r r ，,a b r r 构成右手系，||||||sin (,)a b a b a b ∧⨯=r r r r r r (几何意义: 平行四边形的面积)3．向量之间的关系4．平面图形及其方程平面的法向量：和平面垂直的非零向量。

①点法式方程：设平面过点0000(,,)M x y z 法向量(,,)n A B C r(其中,,A B C 不全为0), 则平面的方程为②一般方程：[ 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0表示平行于 x 轴的平面; Ax+Cz+D = 0 表示平行于 y 轴的平面;Ax+By+D = 0 表示平行于 z 轴的平面Cz + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面;Ax + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面；By + D =0 表示平行于 zox 面 的平面]设平面∏1的法向量为1111(,,)n A B C =u r， 平面∏2的法向量为2222(,,)n A B C =u u r， 则两平面夹角? 的余弦为：1212cos n n n n θ⋅=。

平面外一点()000,,P x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离：5．空间直线及其方程① 一般方程：直线可视为两平面交线，其一般式方程为：方向向量: 12s n n =⨯r r r②点向式方程 方向向量: (,,)s m n p =rp z z n y y m x x 000-=-=-③参数方程 (求交点)小结: 通过向量的点积和叉积，将。