2020-2021七年级数学上专题《整式及其加减》(北师大版)+详细解析

专题03整式及其加减1.代数式（1）用运算符号把 连接起来的式子叫做代数式，单独一个数或一个 也叫代数式.其中，运算符号指的是加、减、乘、除、乘方以及以后将要学习的开方等运算符号，不包含≠、＝、＜、≥等表示数量关系的符号.（2）代数值的概念：用数值代替代数式里的 ，按照代数式的 计算出的结果叫做代数式的值。

注意：求代数式的值一般按照先代入、后计算的方法，同时字母的取值必须保证代数式有意义；字母的取值不同，代数式的值一般也不同.2.同类项和合并同类项（1）同类项：所含 ，并且相同字母的 也分别相同的项，叫做同类项.注意：常数项也是同类项，从定义来看，同类项有两个标准：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也分别相同.（2）合并同类项；把多项式中的 叫做合并同类项.合并同类项的法则是：系数相加的结果作为结果的系数；字母和字母的指数不变.3.去括号的法则 (),()a b c a b c a b c a b c +-=+---=-+（1）括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉后，原括号里各项的符号 ；（2）括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号 .注意：当括号前面有因数时，不要把因数只与括号里的第一项相乘，而应与每项都相乘；去括号时，当括号前面是负号时，容易出现只改变第一项的符号，其余各项符号不改变“的错误.遇到多重括号时，要根据题目的结构特点，灵活去括号.4. 整式加减的运算法则一般地，几个整式相加减，如果有括号就先________，然后再________.5.探索规律的一般方法（1）首先根据已有的信息归纳出一个较为简单的 ，然后运用 加以验证，如果规律不符合，再另行归纳，直至验证吻合.（2）用八个字归纳：观察、猜想、归纳、验证.考点一：用字母表示数例1（2020安徽模拟）2019年我省财政收入比2018年增长8.9％，2020年比2019年增长了9.5％.若2018年和2020我省财政收入分别为a亿元和b亿元和b亿元，则a、b之间满足的关系式是( )A.b=a（1+8.9％+9.5％）B.b=a（1+8.9％⨯9.5％）C.b=a（1+8.9％）（1+9.5％）D.b=a（1+8.9％）2(1+9.5％）分析：根据2018年我省财政收入和2019年我省财政收入比2018年增长8.9％，求出2019年我省财政收入，再根据2020年比2019年增长了9.5％，2020我省财政收入为b亿元，即可得出a、b之间的关系式．解：∵2013年我省财政收入分别为a亿元，2019年我省财政收入比2018年增长8.9％，∴2019年我省财政收入为a（1+8.9％）亿元，∵2020年比2014年增长了9.5％，2015我省财政收入为b亿元，∴2020年我省财政收入为b = a（1+8.9％）（1+9.5％）．故选C．点评：本题考查了列代数式，关键是根据题意求出2019年我省财政收入，是一道基础题．考点2：代数式求值例2（2020潍坊）若m2+2m=1，则4m2+8m－3的值是（）A．4 B. 3 C. 2 D. 1分析：把代数式4m2+8m－3变形为4（m2+2m）－3，再把m2+2m=1代入计算即可求出值，解：∵m2+2m=1，∴4m2+8m－3=4（m2+2m）－3=4×1－3=1.故选：D点评：此题考查了求代数式的值，以及“整体代入”思想，解题的关键是把代数式4m2+8m－3变形为4（m2+2m）－3.考点3：同类项例3（2020广东期末）如果3x m y与-5x3y n是同类项，那么m+n=______．分析：根据同类项的定义列出方程，求出m，n的值即可．解：根据题意得：m=3，n =1，解得m+n =4，故答案为：4．点评：此题考查同类项，关键是根据同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．考点4：去括号法则例4（2020武汉一模）计算：3a-（2 a - b）=________．分析：先去括号，然后合并同类项即可解答此题．解：3a-（2 a - b）=3a -2 a +b= a +b．故答案为：a +b．点评：此题考查了去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．考点5：整式的加减例5（2020长沙）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步：A同学拿出二张扑克牌给B同学；第二步：C同学拿出三张扑克牌给B同学；第三步：A同学此时手中有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学.请你确定，B同学手中剩余的扑克牌的张数为分析：本题是加减法的综合运用，设每人有x张扑克牌，解答时依题意列出算式，求出答案.解：设每人有x张扑克牌，B同学从A同学手中拿来二张扑克牌，又从C同学手中拿来三张扑克牌后，则B同学有（x+2+3）张牌，A同学有（x－2）张牌，那么给A同学后B同学手中手中剩余的扑克牌的张数为：x+2+3－（x－2）=x+2+5=7故答案为：7.点评：本题考查了列代数式以及整式的加减，解决此题的关键是根据题中所给的数量关系，建立数学模型，根据运算提示，找出相应的等量关系.考点六、探索数字变化规律例7（2020安徽）观察以下等式：第1个等式：121(1)2311⨯+=-，第2个等式：321(1)2422⨯+=-，第3个等式：521(1)2533⨯+=-，第4个等式：721(1)2644⨯+=-.第5个等式：921(1)2 755⨯+=-.…安装以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式_______：（2）写出你猜想的第n个等式_______：分析：（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出地6个等式；（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值进而得到左右相等即可.解：（１）∵（１）第６个等式：1121=2-866⨯（１＋）；（２）猜想的第n个等式：2121(1)22nn n n-⨯+=-+．证明：∵左边＝2122211()22n nn n n n-+-⨯==-+＝右边．∴等式成立．故答案为：1121=2-866⨯（１＋）；2121(1)22nn n n-⨯+=-+．点评：本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．考点7：探索图形变化规律例7（2020焦作月考）观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（）A．43 B．45 C．51 D．53分析：设图形n中星星的颗数是a n（n为自然是），列出部分图形中星星的个数，根据数据的变化找出变化规律“a n=2+2)6)(1(+-nn”，结合该规律即可得出结论．解：设图形n中星星的颗数是a n（n为自然是），观察，发现规律：a1=2，a2=6=a1+3+1，a3=11=a2+4+1，a4=17=a3+5+1，…，∴a n=2+2)6)(1(+-nn．令n=8，则a8=2+2)68)(18(+-=51．故选C．点评：本题考查了规律型中的图形的变化类，解题的关键是找出变化规律“a n=2+2)6)(1(+-nn”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定条件列出部分数据，根据数据的变化找出变化规律是关键．1.能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示，以此进一步发展符号感.2.通过对运算法则的探索和对算理的理解，进一步发展有理数的思考与表达能力.3.经过观察、分析、归纳与概括等探索过程，发现隐藏在事物之间的数量关系和变化规律，运用所学知识证明猜想或解决问题，培养推理能力.一、选择题1．（2020通辽）下列说法不正确的是（）A．2a是2个数a的和B．2a是2个数a的积C．2a是单项式D．2a是偶数【答案】D【解析】A、2a=a+a，即2a是2个数a的和，说法正确；B、2a是2个数a的积，说法正确；C、2a是单项式，说法正确；D、2a不一定是偶数，故原说法错误．故选：D．2．(2020公安期中)下列各式﹣12mn，m，8，1a，x2+2x+6，25x y-，24x yπ+，1y中，整式有A．3个B．4个C．6个D．7个【答案】C【解析】整式有﹣12mn ，m ，8，x 2+2x +6，25x y -，24x y π+， 故选：C ．3.（2020重庆）已知a+b=4，则代数式122a b ++的值为（ ） A ．3 B ．1 C ．0 D ．-1 【答案】 A【解析】解：当a+b=4，原式=11()2a b ++=1+142⨯=1+2=3，故选：A ． 4．化简–16（x –0.5）的结果是（ ）A ．–16x –0.5B ．–16x +0.5C ．16x –8D ．–16x +8 【答案】D【解析】–16（x –0.5）=–16x +8，故选D ．5．（2020达州）如图，正方体的每条棱上放置相同数量的小球，设每条棱上的小球为ｍ，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（ ）Ａ．12（m -1） Ｂ．4m+8（m -2） Ｃ．12（m -2）+8 Ｄ．12m -16答案：A【解析】由题意得，当每条棱上放置相同数量的小球为ｍ时，正方体上所有小球数为12m -8×2=12ｍ-16. 而12（m -1）=12m -12≠12m -16，4m+8（m -2）=12m -16，12（m -2）+8=12m -16，所以Ａ选项表达错误，符合题意．Ｂ，Ｃ，Ｄ选项表达正确，不符合题意．故选：Ａ．6. (2020湖北黄冈期中)与a ﹣b ﹣c 的值不相等的是（ ）A ．a ﹣（b ﹣c ）B ．a ﹣（b +c ）C ．（a ﹣b ）+（﹣c ）D ．（﹣b ）+（a ﹣c ）【答案】A.【解析】A 、a ﹣（b ﹣c ）＝a ﹣b +c ．故本选项正确；B 、a ﹣（b +c ）＝a ﹣b ﹣c ，故本选项错误；C 、（a ﹣b ）+（﹣c ）＝a ﹣b ﹣c ，故本选项错误；D 、（﹣b ）+（a ﹣c ）＝﹣c ﹣b +a ，故本选项错误．7．(2020荆州一模)某工厂现有工人a 人，若现有工人数比两年前减少了35%，则该工厂两年前工人数为（ ）A ．B ．(1+35%)aC ．D ．(1－35%)a【答案】C【解析】把减少前的工人数看作整体“1”，已知一个数的(1-35%)是a ，求这个数，则是，注意列式时不能用“÷”号，要写成分数形式．8．(2020武汉新州区月考)观察下列关于x 的单项式，探究其规律：x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，…，按照上述规律，第2020个单项式是（ ）A ．2020x 2020B ．4029x 2020C ．4040x 2020D ．4031x 2020【答案】C【解析】∵x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，…，∴第n 个式子是（2n-1）x n ，当n=2020时，对应的式子为4040x 2020，故选：C ．9.（2020西藏）观察下列两行数：1,3,5,7,9,11,13,15,17，…１,４,７,10,13,16,19,22，25，…探究发现：第１个相同的数是１，第２个相同的数是７，…若第ｎ个相同的数是103，则ｎ等于（ ） A ．18 B ．19 C ．20 D ．21【答案】A【解析】第１个相同的数是1=0×6+1，第2个相同的数是7=1×6+1，第3个相同的数是13=2×6+1，第4个相同的数是19=3×6+1，…第ｎ个相同的数是6（n-1）+1=6n-5，所以6n-5=103，135%a +135%a -135%a -故选：A．10.（2020娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（）A．135B．153C．170D．189【答案】C【解析】根据规律可得，2b=18，∴b=9，∴a=b-1=8，∴x=2b2+a=162+8=170，故选：C．二、填空题11．比x的15％大2的数是________．【答案】15%x+2x .【解析】由题意可知，这个数为15%212.（2020黔西南州）若７a x b2与-a3b y的和为单项式，则y x＝_______．【答案】8．【解析】∵７a x b2与-a3b y的和为单项式，∴７a x b2与-a3b y是同内项，∴x=3ｘ，ｙ=2．∴y x=23=8.13．已知多项式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三项式，m为常数，则m的值为．【答案】-2【解析】因为多项式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三项式，可得：m﹣2≠0，|m|=2，解得：m=﹣2，故答案为：﹣2.14．（2020湖南怀化模拟）合并同类项：4a2+6a2-a2= .【答案】9a2.【解析】4a2+6a2-a2=(4+6-1)a2=9a2.故答案为9a2.15．（2020绵阳）若多项式xy |m-n|+（n-2）x 2y 2+1是关于ｘ、ｙ的三次多项式，则mn=（ ）【答案】0或8. 【解析】∵xy |m-n|+（n-2）x 2y 2+1是关于ｘ、ｙ的三次多项式，∴n-2=0，1+|m-n|=3，∴n-n=2或n-m=2，∴m=4或m=0，∴mn=0或８． 故答案为：0或8．16．一个多项式减去3x 等于，则这个多项式为________．【答案】【解析】要求的多项式实际上是，化简可得出结果．17. （2020黔西南州）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入ｘ的值为６２５，则第２０２０ 次输出的结果为________．【答案】1.【解析】当x=625时，15x=125，当x=125时，15x=25，当ｘ=25时，15x=5，当ｘ=５时，15x=1，当x=1时，x+4=5当ｘ=5时，15x=1，…依次内推，以5、1循环，（2020-2）÷２=1009，能够整除．2535x x --255x -2(535)3x x x --+所以输出的结果是１．故答案为：1.18.（2020广西）如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有８排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是________．【答案】556个【解析】因为前区一共有８排，其中第１排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加两个座位，所以前区前区最后一排座位数为：20+2（8-1）=34，所以前区座位数为：（20＋34）×８÷２=216，因为前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有１０排，所以后区的座位为：10×34=340，所以则该礼堂的座位总数是216+340=556个．故答案为：556个．三、解答题19．（2020鄂州月考）化简：（1）a2﹣3a+8﹣3a2+4a﹣6；（2）a+（2a﹣5b）﹣2（a﹣2b）．【解析】（1）原式＝﹣2a2+a+2；（2）原式＝a+2a﹣5b﹣2a+4b＝a﹣b．21．（2020湖北天门期中）如果关于字母x的二次多项式﹣3x2+mx+nx2﹣x+3的值与x的取值无关，求2m ﹣3n的值．【答案】﹣7．【解析】合并同类项得（n﹣3）x2+（m﹣1）x+3，根据题意得n﹣3＝0，m﹣1＝0，解得m＝1，n＝3，所以2m﹣3n＝2﹣9＝﹣7．22.（2020武汉黄陂区期中）（1）一个两位正整数，a表示十位上的数字，b表示个位上的数字（a≠b，ab ≠0），则这个两位数用多项式表示为（含a、b的式子）；若把十位、个位上的数字互换位置得到一个新两位数，则这两个两位数的和一定能被整除，这两个两位数的差一定能被整除（2）一个三位正整数F，各个数位上的数字互不相同且都不为0．若从它的百位、十位、个位上的数字中任意选择两个数字组成6个不同的两位数．若这6个两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数F 为“友好数”，例如：132是“友好数”一个三位正整数P，各个数位上的数字互不相同且都不为0，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这样的三位数P为“和平数”①直接判断123是不是“友好数”？②直接写出共有个“和平数”③通过列方程的方法求出既是“和平数”又是“友好数”的数．【答案】（1）10a+b，11，9；（2）①123不是“友好数”．理由见解析；②32；③既是“和平数”又是“友好数”的数是396，264，132．【解析】（1）这个两位数用多项式表示为10a+b，（10a+b）+（10b+a）＝10a+b+10b+a＝11a+11b＝11（a+b），∵11（a+b）÷11＝a+b（整数），∴这个两位数的和一定能被数11整除；（10a+b）﹣（10b+a）＝10a+b﹣10b﹣a＝9a﹣9b＝9（a﹣b），∵9（a﹣b）÷9＝a﹣b（整数），∴这两个两位数的差一定能被数9整除，故答案为：11，9；（2）①123不是“友好数”．理由如下：∵12+21+13+31+23+32＝132≠123，∴123不是“友好数”；②十位数字是9的“和平数”有198，297，396，495，594，693，792，891，一个8个；十位数字是8的“和平数”有187，286，385，584，682，781，一个6个；十位数字是7的“和平数”有176，275，374，473，572，671，一个6个；十位数字是6的“和平数”有165，264，462，561，一个4个；十位数字是5的“和平数”有154，253，352，451，一个4个；十位数字是4的“和平数”有143，341，一个2个；十位数字是3的“和平数”有132，231，一个2个；所以，“和平数”一共有8+（6+4+2）×2＝32个．故答案为32；③设三位数xyz既是“和平数”又是“友好数”，∵三位数xyz是“和平数”，∴y＝x+z．∵xyz是“友好数”，∴10x+y+10y+x+10x+z+10z+x+10y+z+10z+y＝100x+10y+z，∴22x+22y+22z＝100x+10y+z，∴12y＝78x﹣21z．把y＝x+z代入，得12x+12z＝78x﹣21z，∴33z＝66x，∴z＝2x，由②可知，既是“和平数”又是“友好数”的数是396，264，132．。