应用统计学第8章--参数假设检验举例

可用 Excel 的统计函数 FINV 返回 F(n1，n2)。 语法规则如下： 格式：FINV( , n1, n2 ) 功能: 返回 F ( n1, n2 )的值。
20
2. 两总体方差的检验 ( F 检验 )
原假设为 H0：12=22。 当 H0为真时， 统计量
S12 F 2 ～ F ( n1-1, n2-1 ) S2
13
案例 1 解答
(1)设服用甲、乙两种安眠药的延长睡眠时间分别为 X1, X2， X1～N( 1, 2)，X2～N( 2, 2)， n1 = n2 =10。 由试验方法知 X1, X2 独立。 H0：1=2，H1：1≠2 由表中所给数据，可求得：
x1 2.33, S12=2.0022， x2 0.75, S22=1.7892
F ～ F ( n1, n2 )
n1 为第一(分子的)自由度，
n2 为第二(分母的)自由度。
17
F 分布密度函数的图形
f ( x) n1=20, n2=100
n1=20, n2=25
n1=20, n2=10
0
x
18
F 分布的右侧 分位点 F ( n1, n2 )
F 分布的右侧 分位点为满足 P{ F > F ( n1, n2 ) } = 的数值 F (n1, n2)。

t t
从而，若 “P(T<=t)单尾”或“P(T<=t)双尾”>0.05，则结果为不显著； “P(T<=t)单尾”或“P(T<=t)双尾”<0.05，则一般显著； “P(T<=t)单尾”或“P(T<=t)双尾”<0.01，则高度显著； “P(T<=t)单尾”或“P(T<=t)双尾”<0.001，则极高度显著。 本例中：∵ “P(T<=t)单尾”= 0.2387 >0.05； “P(T<=t)双尾”= 0.4773 >0.05， 故无论单边还是双边检验结果都不显著。 11
9
用 Excel 检验两总体均值
可用 Excel 的【工具】→“数据分析”→“ t检验：双 样本等方差假设”，检验 12=22= 2，但 2未知时 两个总体的均值。 在Excel 的输出结果中： “P(T<=t)单尾”—单边检验达到的临界显著性水平； “P(T<=t)双尾”—双边检验达到的临界显著性水平。 “P(T<=t)单尾”和“P(T<=t)双尾”统称为“ 乙两种安眠药的效果，某医院将20个失 眠病人分成两组，每组10人，两组病人分别服用甲、 乙两种安眠药作对比试验。试验结果如下： 两种安眠药延长睡眠时间对比试验(小时)
病人 安眠药
1 1.9
2 0.8
3 1.1
4
5
6
7
8
9
10
甲 乙
0.1 –0.1 4.4 5.5 1.6 4.6 3.4
| x1 x2 | | 1556 1733| | t | 0.74 S w 1 / n1 1 / n2 395 1 / 5 1 / 6
∵ | t | = 0.74 < t/2 (n1+n2-2) = t0.025(9) = 2.2622
故两种轿车的平均首次故障里程间无显著差异，
§8.3 成对样本试验— 案例 1 (2)解答
由于此时 X1, X2 为同一组病人分别服用两种安眠 药的疗效， 因此 X1, X2 不独立，属于成对样本试验。 对于这类“成对样本试验”的均值检验，应当化 为单个正态总体的均值检验。方法如下：
设 X=X1-X2 (服用甲、乙两种安眠药延长睡眠时 间之差)， 则 X～N ( , 2 )。 H0： = 0， H1：≠0
2 2
2 12 2 2 12 2
【例2】在 ＝0.20下，检验【案例3】中两个正 态总体的方差是否存在显著差异。
解：由题意，H0：12=22，H1：12≠22，n1=5，n2=6 由例5的计算结果，S12=269.62，S22=471.92
S12 269.62 F 2 2 = 0.326 471.9 S2
f ( x)

0
F( n1, n2 )
x
F (n1, n2)有以下性质： F1- (n1, n2)=1/F(n2, n1) 利用上式可求得 F 分布表中未给出的 值的百分 位点。 如 F0.95(10, 15) = 1/F0.05(15, 10)
19
用 Excel 求 F( n1, n2 )
由表中所给数据，可求得 x 1.58, S =1.23，n =10
1.58 0 = 4.0621 > t 0.005(9) = 3.2498 | t | 1.23/ 10
故两种安眠药疗效间的差异是高度显著的！
15
用 Excel 求解
可用 Excel 的【工具】→“数据分析”→“ t检验： 平均值的成对二样本分析”
7
解： 12 = 22 = 2 未知， n1= 5，n2= 6， H0：1= 2
⑴双边检验问题 H1：1≠2。由所给数据，可求得 x1 1556 , x2 1733, S12=269.62， S22=471.92
2 2 2 (n1 1) S 1 (n2 1) S 2 4 269 . 6 5 471 . 9 2 395 Sw n1 n2 2 9
完全类似地，可以得到如下检验方法：
统计量 备择假设 拒绝域
F F / 2 (n1 1, n2 1) 或 F F1 / 2 (n1 1, n2 1) F F (n1 1, n2 1) F F1 (n1 1, n2 1)
21
S F S
2 1 2 2

2 1
完全类似地，可以得到如下检验方法：
统计量
t Sw X1 X 2 1 / n1 1 / n2
备择假设
1 2 1 2 1 2
| t | t / 2 (n1 n2 2) t t (n1 n2 2) t t (n1 n2 2)
9 2.0022 9 1.7892 1.8985 Sw 18 2.33 0.75 | t | 1.8609 t0.025 (18) 2.1009
1.8985 1 / 10 1 / 10
故不能拒绝H0，两种安眠药的疗效间无显著差异。 用Excel 求解本案例
14
F/2(n1-1, n2-1) = F0.1(4, 5) = 3.52 F1-/2(n1-1, n2-1) = F1-0.1(4, 5) =1/F0.1(5, 4) =1/4.05 = 0.247 ∵ F1-0.1(4, 5) = 0.247 < F = 0.326 < F0.1(4, 5) = 3.52 故在水平 = 0.20下， 12 与 22 间无显著差异。 可知案例4 中关于 12 = 22 的假定是合理的。
2
§8.1 案例介绍
【案例1】新工艺是否有效？
某厂生产的一种钢丝的平均抗拉强度为 10560 (kg/cm2)。 现采用新工艺生产了一种新钢丝，随机抽取 10 根， 测得抗拉强度为： 10512, 10623, 10668, 10554, 10776 10707, 10557, 10581, 10666, 10670 求得新钢丝的平均抗拉强度为 10631.4(kg/cm2)。 是否就可以作出新钢丝的平均抗拉强度高于原钢丝， 即新工艺有效的结论?
病人 安眠药 甲 乙 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.9 0.8 1.1 0.1 –0.1 4.4 5.5 1.6 4.6 3.4 0.7 –1.6 –0.2 –1.2 –0.1 3.4 3.7 0.8 0.0 2.0
(1)两种安眠药的疗效有无显著差异？ (2)如果将试验方法改为对同一组10个病人，每人分别 服用甲、乙两种安眠药作对比试验，试验结果仍如 上表，此时两种安眠药的疗效间有无差异？
思考题：本例中为什么要将 取得较大？
22
用 Excel 求解
可用 Excel 的【工具】→“数据分析”→ “F检验： 双样本方差” 检验两个正态总体是否是同方差的。 在 Excel 的输出结果中 “P(F<=f)单尾”与“P(T<=t)单尾”的含义是相同 的，即 p 值。 ∵本例中“P(F<=f)单尾”的值为 0.1503， 故其双边检验所达到的显著性水平为 2×0.1503 = 0.3006 > 0.20 故在在水平 ＝ 0.20下，12 与 22 间无显著差异。
进行成对样本试验的均值检验。
∵本例中“P(T<=t)双尾”= 0.0028 < 0.01， 故两种安眠药的疗效间存在高度显著差异。
16
§8.4 两个正态总体方差的检验
1. F 分布
则随机变量 Y～ 2(n2)， 且 X 和 Y 相互独立， 设 X～ 2(n1)，
X/n1 F Y/n2
服从自由度为( n1, n2 )的 F 分布，记为
f (t)
“P(T<=t)单尾”的值(概率) 0
由图可知：P(T<=t)双尾 = 2×P(T<=t)单尾
10
t (统计量)
“P(T<=t)单尾”与“P(T<=t)双尾”的使用
“P(T<=t)单尾” 由图可知： t > t 等价于“P(T<=t)单尾”< t > t/2 等价于“P(T<=t)双尾”<
2. 12≠22 且未知
此时，可用 Excel 的【工具】→“数据分析”→ “ t 检验：双样本异方差假设” 检验 12≠22且都未知时两个正态总体的均值。
12
【案例1】哪种安眠药的疗效好？
为分析甲、乙两种安眠药的效果，某医院将20个失 眠病人分成两组，每组10人，两组病人分别服用甲、 乙两种安眠药作对比试验。试验结果如下： 两种安眠药延长睡眠时间对比试验(小时)