小学奥数讲数数与计数练习 答案
四年级奥数第二讲图形的计数问题含答案
四年级奥数第⼆讲图形的计数问题含答案第⼆讲图形的计数问题⼀、知识点：⼏何图形计数问题往往没有显⽽易见的顺序，⽽且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要⼀些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采⽤⼀种简单原始的计数⽅法－⼀枚举法．具体⽽⾔，它是指把所要计数的对象⼀⼀列举出来，以保证枚举时⽆⼀重复、．⽆⼀遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．⼆、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个⾓分析：在∠AOB内有三条⾓分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条⾓分线分成4个基本⾓，那么∠AOB内总共有多少个⾓呢？⾸先有这4个基本⾓，其次是包含有2个基本⾓组成的⾓有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本⾓组成的⾓有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本⾓组成的⾓有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有⾓：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个⾓。
练⼀练：数⼀数右图中总共有多少个⾓？答案: 总共有⾓：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数⼀数共有多少条线段？共有多少个三⾓形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三⾓形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本⼩三⾓形有4个.所以在△AGH中共有三⾓形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三⾓形有同样的个数，所以在△ABC中三⾓形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三⾓形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三⾓形30个。
四年级高思奥数之计数综合一含答案
第22讲计数综合一内容概述巩固以前学过的各种方法，综合运用分类与分步思想、排列与组合公式及枚举法来解决较复杂的计数问题；学会使用排阵法、捆绑法、插空法解决排队问题．典型问题兴趣篇1．现有面值1元的钞票3张，面值5元的钞票1张，面值10元的钞票2张．如果从中取出一些钞票(至少取1张)，可能凑出多少种不同的总钱数?2．一本书从第1页开始编排页码，到最后一页结束时共用了1983个数码．这本书共有多少页?3．费叔叔带着小悦、冬冬、阿奇一起到圆明园游玩．他们四人站成一排照相，其中费叔叔要站在最左边或者最右边，一共有多少种不同的站法?4．有13个球队参加篮球比赛．比赛分两个组，第一组7个队，第二组6个队．各组内先进行单循环赛(即每队都要与本组中其他各队比赛一场)，然后由两组的第1名再比赛一场决定冠亚军．请问：一共需要比赛多少场?5．从5瓶不同的纯净水，2瓶不同的可乐和6瓶不同的果汁中，拿出2瓶不同类型的饮料，共有多少种不同的选法?6．从4台不同型号的等离子电视和5台不同型号的液晶电视中任意取出3台，其中等离子电视与液晶电视至少要各有1台，共有多少种不同的取法?7．从1至9中取出7个不同的数，要求它们的和是36，共有多少种不同的取法?8．用0、1、2、3、4这五个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数?9．用两个1、一个2、一个3、一个4可以组成多少个不同的五位数?10．在所有不超过1000的自然数中，数字9一共出现了多少次?拓展篇1．把自然数1至2008依次写成一排，得到一个多位数12345678910111213…0620072008．请问：(1)这个多位数一共有多少位?(2)从左向右数，这个多位数的第2008个数字是多少?2．商场里举行抽奖活动，在一个大箱子里放着9个球．其中红色的、黄色的和绿色的球各有3个，而且每种颜色的球都分别标有1、2、3号．顾客从箱子里摸出3个球，如果3个球的颜色全相同或者各不相同，就可以中奖．已知这两种中奖方式分别被设定为一等奖和二等奖，并且一等奖比二等奖少．问：到底哪种中奖方式是一等奖，哪种是二等奖呢?3．工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，问：(1)一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种?4．如图22-1，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形?5．6名学生和4名老师分成红、蓝两队拔河，要求每个队都是3名学生和2名老师，一共有多少种分队的方法?6．10个人围成一圈，从中选出3个人．要求这3个人中恰有2人相邻，一共有多少种不同选法?7．用0、1、2、3、4、5这六个数字可以组成多少个没有重复数字的四位数?其中偶数有多少个?8．用l、2、3、4这四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数?这些三位数的和是多少?9．用两个1、两个2、两个3可以组成多少个不同的六位数?10．5名同学站成一排，在下列不同的要求下，请分别求出有多少种站法：(1)5个人站成一排；(2)5个人站成一排，小强必须站在中间；(3)5个人站成一排，小强、大强必须有一人站在中间；(4)5个人站成一排，小强、大强必须站在两边；(5)5个人站成一排，小强、大强都没有站在边上．11．6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排．若A，B两人必须相邻，一共有多少种不同的站法?若A、B两人不能相邻，一共有多少种不同的站法?12．学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：(1)如果要求男生不能相邻，一共有多少种不同的站法?(2)如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法?超越篇1．有6种不同颜色的小球，请问：(1)如果每种颜色的球都只有1个，从这些球中取出3个排成一列，共有多少种方法?(2)如果每种颜色的球都只有1个，从这些球中取出3个装到袋中，共有多少种方法?(3)如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出3个排成一列，共有多少种方法?(4)如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出3个装到袋中，共有多少种方法?2．有一些四位数的4个数字分别是2个不同的奇数和2个不同的偶数，而且不含有数字0．这样的四位数有几个?3．用l、2、3、4这四个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复两次．例如1234、1233和2414是满足条件的，而1212、3334和3333都不满足条件．请问：一共能组成多少个满足条件的四位数?4．四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．请问：(1)如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序?(2)如果第一个和最后一个节目不能是小品，那么共有多少种不同的出场顺序?5．在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐．而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住．一共有多少种不同的排队方法?6．有9张同样大小的圆形纸片．其中标有数字“1”的纸片有1张；标有数字“2”的纸片有2张；标有数字“3”的纸片有3张；标有数字“4”的纸片也有3张．把这9张圆形纸片如图22-2所示放置在一起，要求标有相同数字的纸片不许靠在一起．请问：(1)如果在M处放置标有数字“3”的纸片，一共有多少种不同的放置方法?(2)如果在M处放置标有数字“2”的纸片，一共有多少种不同的放置方法?7．从三个0、四个1、五个2中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数?8．8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间(不一定相邻)，小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种?第22讲 计数综合一内容概述巩固以前学过的各种方法，综合运用分类与分步思想、排列与组合公式及枚举法来解决较复杂的计数问题；学会使用排阵法、捆绑法、插空法解决排队问题．典型问题兴趣篇1．现有面值1元的钞票3张，面值5元的钞票1张，面值10元的钞票2张．如果从中取出一些钞票(至少取1张)，可能凑出多少种不同的总钱数?答案：23种分析 ：根据题意，钱数的可能范围为1-28元，其中4元，9元，14元，19元，24元是不可能出现的。
小学数学四年级奥数讲与练第6讲《能被11整除的数的特征》(习题含答案)
第6讲：能被11整除的数的特征（含答案）这一讲主要讲能被11整除的数的特征。
一个数从右边数起，第1，3，5，…位称为奇数位，第2，4，6，…位称为偶数位。
也就是说，个位、百位、万位……是奇数位，十位、千位、十万位……是偶数位。
例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如下图所示：能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。
例1判断七位数1839673能否被11整除。
分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。
根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。
一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。
如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。
例2 求下列各数除以11的余数：（1）41873；（2）296738185。
分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11=7÷11＝0……7，所以41873除以11的余数是7。
（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。
因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。
（17+11×2）-32＝7，所以296738185除以11的余数是7。
需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。
如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7。
例3求除以11的余数。
分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。
高斯小学奥数六年级上册含答案第03讲 递推计数
第三讲递推计数有许多计数问题很复杂，直接处理比较困难，此时硬碰硬是不行的．一个比较有效的策略是退而求其次：先考虑该问题的简单情形，看看简单情形如何处理；在解决了简单情形后，再考虑如何利用简单情形的结论来解决更复杂的问题……这个由简单到复杂的推导过程就叫“递推”．那如何利用“递推法”来解决计数问题呢？下面我们就来看几个例子．例1．老师给小高布置了12篇作文，规定他每天至少写1篇．如果小高每天最多能写3篇，那么共有多少种不同的完成方法？（小高每天只能写整数篇）「分析」从简单情况入手，看看能否找到合适的突破口．如果老师只布置1篇作文，小高有多少种不同的完成方法？如果老师布置2篇作文，小高有多少种不同的完成方法？如果老师布置3篇、4篇、……小高又分别有多少种不同的完成方法？篇数由少到多，完成方法数也会逐渐变多，这其中有什么规律呢？练习1、一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈二级台阶或三级台阶．走完这12级台阶，共有多少种不同的走法？⨯的方格表，共有多少种覆盖方法？例2．用10个13⨯的长方形纸片覆盖一个103「分析」与例1的类似，我们还是从简单情形入手找递推关系．可具体从什么样的情形入手呢？⨯的方格表，共有多少种覆盖方法？练习2、用7个12⨯的长方形纸片覆盖一个72例3．在一个平面上画出100条直线，最多可以把平面分成几个部分？「分析」当直线数量不多时，画图数一数即可．但现在有100条，画图数并不现实．我们不妨在纸上将直线逐一画出，并在画的过程中仔细观察：每增加一条直线，平面被分成的部分会增加多少？这个增量．．有什么变化规律？练习3、如果在一个圆内画出50条直线，最多可以把圆分成多少部分？下面我们来学习一类很经典的递推计数问题——传球问题．例4．四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过8次传球后球仍然回到红衣人手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？「分析」看到这个问题，很多同学可能想通过树形图来求解，我们不妨来试一试．设穿着红、黄、绿、蓝四种颜色球衣的人分别是A 、B 、C 、D ．如下图，最开始时，球在A 手上，第一次传球由A 传给B 、C 、D ，也就是第一层有三个字母就够了．然后B 、C 、D 都会继续往下传球，各有3种传法，传到第二层需要9个字母．再传到第三层，需要27个字母……每一层需要的字母增加迅猛！如果传8次球，到最后一层会用到836561 个字母，这要多大的一个树形图啊！可见画树形图的方案不可行．但树形图对这道题就没有用了吗？并非如此．它可以帮助我们找出传球过程中所隐藏的递推关系．事实上，我们并不关心树形图长啥样，我们关心的是数量——树形图每一层分支的数量．因此，只要知道每一层各字母出现的次数就可以了，我们不妨制作一个表格来统计这个次数．如下表，我们用第一列来表示层数，第一行来表示每个人，其余空格用于填写字母在该层中出现的次数．请你从上方的树形图中数一数，填出表格中的前几行．然后思考一下：这其中隐藏着什么样的递推关系？BC DACDABDABCAB C D A B D A B C B C D A C D A B C B C D A C D A B D练习4、三个人分别穿着红、黄、蓝三种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过7次传球后传到蓝衣人手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？解传球问题的方法称为“传球法”．“传球法”是递推法的一种特殊形式，是一种极其实用的数表累加计数法．例5．一个七位数，每一位都是1、2或者3，而且没有连续的两个1，这样的七位数一共有多少个？「分析」这道题与前面两道题有何异同？应该如何求解呢？前面的计数问题，递推关系都表现为数列、数表的简单累加，但这不是递推的全部．简单累加只是递推的一种表现形式，递推还有很多其它形式．下面我们就来看一道无法通过简单累加求解的计数问题．例6．圆周上有10个点A1、A2、L、A10，以这些点为端点连接5条线段，要求线段之间没有公共点，共有多少种连接方式？「分析」圆周上10个点，连5条线段，连法很多，很难直接画出来枚举．像这类问题，我们同样还是从简单的情况入手．那么是应该按1个点、2个点、3个点、……这样依次计数，来找递推关系吗？神奇的汉诺塔一位法国数学家曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针．印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔．不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面．僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽．不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序．这需要多少次移动呢?这里需要递归的方法．假设有n 片，移动次数是()f n ．显然(1)1f =，(2)3f =，(3)7f =，且(1)2()1f k f k +=+．此后不难证明()21n f n =-．64n =时，64(64)2118446744073709551615f =-=．假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一个平年365天有31536000 秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，计算一下，18446744073709551615/31556952=584554049253.855年．这表明移完这些金片需要5845亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年．真的过了5845亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭．课 堂 内 外作业1. 有10个蛋黄派，萱萱每天吃1个或2个，那么共有多少种不同的吃法？2. 甲、乙两人玩抓石子游戏，共有12个石子，甲先乙后轮流抓取．每次可以抓取其中的2个、3个或4个，直到最后抓取完毕为止．那么共有多少种抓取石子的方案？3. 用直线把一个平面分成100部分，至少要在平面上画几条直线？4. 一个七位数，它由数字0、1、2、3、4组成，相邻位置上的数字不相同，并且个位数字是2．这样的七位数有多少个？5. 用8个的长方形纸片覆盖下面的方格表，共有多少种覆盖方法？12第五讲 进位制问题例题：例7． 答案：（1）31023、3735、11B9、7DD ；（2）257；（3）1742详解： （1）（2）32025051525257⨯+⨯+⨯+⨯=； （3）3202120121122121742⨯+⨯+⨯+⨯=．例8．答案：（1）5；（2）13121、731 详解：三进制转九进制从右往左两位两位转换；二进制转四进制从右往左两位两位转换；二进制转八进制从右往左三位三位转换．例9．答案：15031 详解：列竖式计算．例10． 答案：212．a =5、b =5、c =2例11． 答案：10个详解：若要称量1克的重量必须有1克的砝码，若要称量2克的重量必须有2克的砝码，依次类推可得：1+2+4+8+16+32+64+128+256+512，此时可以称量1克到1023克的所有重量，此时需要10个砝码．例12． 答案：12...... 3 ...... 2 ...... 1 0 (3)...... 2 ...... 3 (7) (3)…… 9 ……12 (1) (1)...... 13 ...... 13 (7)详解：所看页数列为1、1、2、4、8、……、256、512、989．练习：6. 答案：554；2781；195；7227. 答案：161578. 答案：212349. 答案：248．a =5、b =0、c =3作业：1. 答案：（1）354；（2）458；（3）C 30；（4）14443；（5）433；（6）852. 答案：（1）1131；（2）123123. 答案：100简答：a 很容易知道只能为1，再根据进位制展开解方程得出b 、c 均为0，所以原数十进制是100．4. 答案：22简答：由题意有，其中a 、b 、c 均小于3，则有，化简得，符合条件的a 、b 、c 为2、1、1，化成十进制是22．5. 答案：24简答：由题意有，其中a 、b 均要大于7，则有，符合条件的最小的a 、b 为15、9，和是24．4774a b +=+ ()()4774a b = 815a b c =+ 93164a b c c b a ++=++ ()()34abc cba =。
高斯小学奥数五年级下册含答案第14讲_数论相关的计数
第十四讲数论相关的计数在前面的学习中，我们学习了解决计数问题的一些基本方法，包括：枚举法、树形图、分类讨论、加法原理和乘法原理、排列与组合等．计数问题是多种多样的，它经常与其他的知识联系在一起，比如几何、数论、数字谜等等．今天让我们来研究一下结合了数论知识的计数问题．例1．恰好能同时被6，7，8，9整除的四位数有多少个？「分析」大家还记得公倍数怎么求吗？练习1、恰好能同时被4，5，6整除的三位数有多少个？例2．用1、2、3、4、5、7这6个数字各一次组成六位数，并且使这个六位数是11的倍数，有多少种不同的方法？「分析」根据11的整除特性，通过分析奇位数字和与偶位数字和，再结合本题的已知条件可以获得解题的线索．练习2、用1，2，3，4各一次组成四位数，使得它是11的倍数，有多少种不同的方法？例3．从1~10这10个数中选出2个数，请问：（1）要使这2个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？（2）要使这2个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？「分析」（1）两个数的乘积能被3整除，那么这两个数中至少有一个能被3整除．如何选取才能保证选到3的倍数呢？（2）要考虑两个数的和是否能被3整除，只需要考虑每个数除以3的余数的情况，那么怎样的两个数相加才能被3整除呢？练习3、从1~12这12个数中选出2个数，请问：（1）要使这2个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？（2）要使这2个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？例4．如果称能被8整除或者含有数字8的自然数为“吉利数”，那么在1至200这200个自然数中有多少个“吉利数”？「分析」这道题目可以从两方面入手，8的倍数和含有数字8的数，注意其中重复的情况．练习4、在1至200这200个自然数中，含有数字9或者能被9整除的有多少个？前面几个例题都是计数与整除相结合的题目．而除了整除之外，与数字相关的问题也属于数论的范畴，下面我们来看两道与数字有关的计数问题．例5．有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”按从小到大的顺序排成一行：1234，1235，1236，…，6789．请问：此列数中的第100个数是多少？「分析」数字从左往右依次增大的数是“上升数”，那么四位“上升数”一共有多少个呢？显然，不能将前100个“上升数”都写出来，那怎么才能方便的计算出第100个数呢？例6．一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是回文数．请问：六位回文数有多少个？五位回文数又有多少个？五位的回文数中，有多少个是4的倍数？「分析」“回文数”一定是左右对称的，不妨从左往右分析，一旦左面的一个数字确定，右面一定有一个数字和其相同．回文联数学当中有回文数，在文学当中也有回文联．回文联，它是我国对联修辞奇葩(pā)中的一朵．用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅它的意思不变，而且颇具趣味．兹举数例如下．其一：河南省境内有一座山名叫鸡公山，山中有两处景观：“斗鸡山”和“龙隐岩”．有人就此作了一副独具慧眼的回文联：斗鸡山上山鸡斗龙隐岩中岩隐龙其二：厦门鼓浪屿鱼脯浦，因地处海中，岛上山峦叠峰，烟雾缭绕，海淼淼水茫茫，远接云天．于是，一副饶有趣味的回文联便应运而生：雾锁山头山锁雾天连水尾水连天其三：清代，北京城里有一家饭馆叫“天然居”，乾隆皇帝曾就此作过一副有名的回文联：客上天然居居然天上客上联是说，客人上“天然居”饭馆去吃饭．下联是上联倒着念，意思是没想到居然像是天上的客人．乾隆皇帝想出这副回文联后，心里挺得意．即把它当成一个联，向大臣们征对下联，大臣们面面相觑，无人言声．只有大学士纪晓岚即席就北京城东的一座有名的大庙——大佛寺，想出了一副回文联：人过大佛寺寺佛大过人上联是说，人们路过大佛寺这座庙．下联是说，庙里的佛像大极了，大得超过了人．纪学士的下联，想得挺不错．这副回文联放到乾隆皇帝的一块，就组成一副如出一口的新回文联了：客上天然居居然天上客人过大佛寺寺佛大过人其四：湛江德邻里有一副反映邻里之间友好关系，鱼水深情的回文联，至今传颂不衰：邻居爱我爱居邻鱼傍水活水傍鱼作业1.1~100中，7的倍数有多少个？除以7余2的数有多少个？2.从1~15中，选出2个数，使它们的和是3的倍数，共有多少种选法？3.用1、2、3、4、5、8、9组成不重复的七位数，其中有多少个能被11整除？4.如果把三位的“上升数”从小到大排列一下，如123、124、…，那么第20个上升数是多少？5.有一类六位数，组成每个数的六个数字互不相同，并且每个数中任意两个相邻的数字组成的两位数都能被3整除．这类六位数共有多少个?第十四讲 数论相关的计数例题：例7． 答案：18详解：一个数能被6，7，8，9整除，即是6，7，8，9的倍数．6，7，8，9的最小公倍数为504，所有满足条件的数都是504的倍数．999950419423÷=，故1~9999中共有19个数是504的倍数．9995041495÷=，故1~999中共有1个数是504的倍数．则四位数中有19118-=个数是504的倍数．即能同时被6，7，8，9整除的四位数有18个．例8． 答案：72详解：用1，2，3，4，5，7各一次组成六位数，六个数字的和为22．若为11的倍数，则奇位和与偶位和的差只能为0．奇位填1，3，7，偶位填2，4，5，考虑到1，3，7可以互换，2，4，5可以互换，故共有3333A A 36⨯= 种填法．同理奇位填2，4，5，偶位填1，3，7，也有36种填法，共72种填法．例9． 答案：（1）24；（2）15详解：（1）若两个数的乘积是3的倍数，则其中至少有一个数是3的倍数．1~10中是3的倍数的有3，6，9这3个数，不是3的倍数的有7个．分两种情况：<1>两个数中只有一个是3的倍数，有1137C C 21⨯=种选法；<2>两个数均为3的倍数，有23A 3=种选法．共有24种选法．另解：排除法：不加任何条件选两个数的方式减去，没有3的倍数的情况，22107C -C 24=；（2）将1~10这10个数按除以3的余数不同进行分类．除以3余0的有（3，6，9）， 除以3余1的有（1，4，7，10），除以3余2的有（2，5，8）．若两数之和为3的倍数，分两种情况：<1>两个数除以3均余0．有23C 3=种选法．<2>其中一个数除以3余1，另一个数除以3余2．有1143C C 12⨯=种选法．共有31215+=种选法．例10． 答案：56详解：可以将题目条件分成两部分，先看能被8整除的数，200825÷=，因此能被8整除的数有25个．再看含有数字8的数，我们可以从反面考虑较为方便，即看不含有数字8的数有多少个．百位可以选0或1（百位选0，表示其为两位数），十位可以选除8以外的9个数，个位也可选除8以外的9个数，共有299162⨯⨯=个数不含有数字8．0~199共有200个数，含有数字8的有20016238-=个．考虑到有些数既能被8整除，又含有数字8，这样的数有8，48，88，128，168，以及80和184，共7个数．因此吉利数有2538756+-=个．例11． 答案：3479详解：若上升数的首位为1，剩下的3位可以从2~9中选，且顺序一定，有38C 56=种选法，即首位为1的上升数有56个．同理，若首位为2，剩下的3位可以从3~9中选，有37C 35=种选法，即首位为2的上升数有35个．再考虑首位为3的上升数，依次为3456，3457，3458，3459，3467，3468，3469，3478，3479．即第100个上升数为3479．例12． 答案：900；900；200详解：六位“回文数”应为abccba 的形式，a 有1~9这9种选择，b 有0~9这10种选择，c 有0~9这10种选择，由乘法原理这样的数共有91010900⨯⨯=个．五位“回文数”应为abcba 的形式，a 有1~9这9种选择，b 有0~9这10种选择，c 有0~9这10种选择，由乘法原理这样的数共有91010900⨯⨯=个． 若回文数为4的倍数，则末两位为4的倍数，可为04，08，12，16，……，96共24个数，除去20，40，60，80这四个不满足条件的数，共有20种选择．考虑到c 有0~9这10种选择，故共有2010200⨯=个五位回文数是4的倍数．“练习：1. 答案：15简答：4、5、6的最小公倍数是60，三位数中60的倍数有99960115÷-≈个．2. 答案：8简答：用1，2，3，4各一次组成四位数，四个数字的和为10．若为11的倍数，则奇位和与偶位和的差只能为0．奇位填1，3，偶位填2，4，考虑到1，3，可以互换，2，4，可以互换，故共有224⨯=种填法．同理奇位填2，4，偶位填1，3，也有4种填法，共8种填法．3. 答案：38；22简答：解法同例3．4. 答案：55简答：先看能被9整除的数，2009222÷=，因此能被9整除的数有22个．再看含有数字9的数，仍可从反面考虑，即看不含有数字9的数有多少个．百位可以选0或1（百位选0，表示其为两位数），十位可以选除9以外的9个数，个位也可选除9以外的9个数，共有299162⨯⨯=个数不含有数字9．0~199共有200个数，含有数字9的有20016238-=个．考虑到有些数既能被9整除，又含有数字9，这样的数有9，99，189，90，198，共5个数．因此含有数字9或者能被9整除的有2238555+-=个．作业6. 答案：14，15简答：1007142÷=，7的倍数有14个；100298-=，98714÷=，14115+=．除以7余2的有15个．7. 答案：35简答：1~15中，除以3余0、余1和余2的都有5个．和为3的倍数，那么两数可能是余1＋余2或者余0＋余0．第一种有5525⨯=种选法，第二种有25C 10=种选法，一共有35种选法．8. 答案：432简答：能被11整除，说明这个七位数奇数位之和与偶数位之和的差是11的倍数．而奇数位之和与偶数位之和的和是123458932++++++=，那么奇数位之和与偶数位之和可以都是16，或者是27和5，后面这种情况不可能．偶数位有3个数字，和为16可能是952++，943++，853++．那么一共可以组成4343A A 3432⨯⨯=个能被11整除的七位数．9. 答案：157简答：前两位为12的上升数有7个，前两位为13的上升数有6个，前两位为14的上升数有5个．那么第19个上升数是156，第20个上升数是157．10. 答案：72简答：如果首位数字除以3余0，那么其余的所有数字也都除以3余0，这样的话一定会重复，这样的六位数不存在．如果首位数字除以3余1，那么后面的数字除以3的余数依次是2、1、2、1、2．这样的六位数有3333A A 36⨯=个．如果首位数字除以3余2，这样的六位数也有36个．一共有72个．。
高斯小学奥数六年级上册含答案第03讲递推计数
第三讲递推计数有许多计数问题很复杂，直接处理比较困难，此时硬碰硬是不行的.一个比较有效的策略是退而求其次：先考虑该问题的简单情形，看看简单情形如何处理；在解决了简单情形后，再考虑如何利用简单情形的结论来解决更复杂的问题……这个由简单到复杂的推导过程就叫“递推”.那如何利用“递推法”来解决计数问题呢？下面我们就来看几个例子.例1.老师给小高布置了12篇作文，规定他每天至少写1篇•如果小高每天最多能写3篇，那么共有多少种不同的完成方法？（小高每天只能写整数篇）「分析」从简单情况入手，看看能否找到合适的突破口.如果老师只布置1篇作文，小高有多少种不同的完成方法？如果老师布置2篇作文，小高有多少种不同的完成方法？如果老师布置3篇、4篇、……小高又分别有多少种不同的完成方法？篇数由少到多，完成方法数也会逐渐变多，这其中有什么规律呢？练习1、一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈二级台阶或三级台阶•走完这12级台阶，共有多少种不同的走法？「分析」与例1的类似，我们还是从简单情形入手找递推关系. 可具体从什么样的情形入手呢？练习2、用7个1 2的长方形纸片覆盖一个7 2的方格表，共有多少种覆盖方法？例3.在一个平面上画出100条直线，最多可以把平面分成几个部分？「分析」当直线数量不多时，画图数一数即可.但现在有100条，画图数并不现实.我们不妨在纸上将直线逐一画出，并在画的过程中仔细观察：每增加一条直线，平面被分成的部分会增加多少？这个增量有什么变化规律？练习3、如果在一个圆内画出50条直线，最多可以把圆分成多少部分?下面我们来学习一类很经典的递推计数问题------ 传球问题.例4.四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个. 先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过8次传球后球仍然回到红衣人手中•请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？「分析」看到这个问题，很多同学可能想通过树形图来求解，我们不妨来试一试.设穿着红、黄、绿、蓝四种颜色球衣的人分别是A、B、C、D .如下图，最开始时，球在A手上，第一次传球由A传给B、C、D，也就是第一层有三个字母就够了•然后B、C、D都会继续往下传球，各有3种传法，传到第二层需要9个字母•再传到第三层，需要27个字母……每一层需要的字母增加迅猛！如果传8次球，到最后一层会用到38 6 561个字母，这要多大的一个树形图啊！BCD A B D A B C BCD A C D ABC BCD A C D A B D可见画树形图的方案不可行. 但树形图对这道题就没有用了吗？并非如此. 它可以帮助我们找出传球过程中所隐藏的递推关系. 事实上，我们并不关心树形图长啥样，我们关心的是数量一一树形图每一层分支的数量. 因此，只要知道每一层各字母出现的次数就可以了，我们不妨制作一个表格来统计这个次数.如下表，我们用第一列来表示层数，第一行来表示每个人，其余空格用于填写字母在该层中出现的次数. 请你从上方的树形图中数一数，填出表格中的前几行. 然后思考一下：这其中隐藏着什么样的递推关系?练习4、三个人分别穿着红、黄、蓝三种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个. 先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过7次传球后传到蓝衣人手中.请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？解传球问题的方法称为“传球法” •“传球法”是递推法的一种特殊形式，是一种极其实用的数表累加计数法.例5. 一个七位数，每一位都是1、2或者3，而且没有连续的两个1,这样的七位数一共有多少个？「分析」这道题与前面两道题有何异同？应该如何求解呢？前面的计数问题，递推关系都表现为数列、数表的简单累加，但这不是递推的全部.简单累加只是递推的一种表现形式，递推还有很多其它形式. 下面我们就来看一道无法通过简单累加求解的计数问题.例6.圆周上有10个点A1、A2、L、A10，以这些点为端点连接5条线段，要求线段之间没有公共点，共有多少种连接方式？「分析」圆周上10个点，连5条线段，连法很多，很难直接画出来枚举. 像这类问题，我们同样还是从简单的情况入手.那么是应该按1个点、2个点、3个点、……这样依次计数，来找递推关系吗？课堂内外神奇的汉诺塔一位法国数学家曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针. 印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔•不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面.僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽.不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序•这需要多少次移动呢？这里需要递归的方法•假设有n 片，移动次数是f(n).显然f(1) 1 , f(2) 3, f(3) 7，且f(k 1) 2f(k) 1 .此后不难证明f(n) 2n 1 . n 64 时，f (64) 264 1 18446744073709551615 .假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一个平年365天有31536000秒，闰年366天有31622400 秒，平均每年31556952 秒，计算一下，18446744073709551615/31556952=584554049253.855 年.这表明移完这些金片需要5845亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年•真的过了5845亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭.作业1. 有10个蛋黄派，萱萱每天吃1个或2个，那么共有多少种不同的吃法？2. 甲、乙两人玩抓石子游戏，共有12个石子，甲先乙后轮流抓取•每次可以抓取其中的2个、3个或4个，直到最后抓取完毕为止•那么共有多少种抓取石子的方案？3. 用直线把一个平面分成100部分，至少要在平面上画几条直线？4. 一个七位数，它由数字0、1、2、3、4组成，相邻位置上的数字不相同，并且个位数字是2 .这样的七位数有多少个？5. 用8个1 2的长方形纸片覆盖下面的方格表，共有多少种覆盖方法？第五讲进位制问题例题:例7.答案：(1) 31023、3735、11B9、7DD ; (2) 257; ( 3) 1742详解： (1)(2) 2 53 0 52 1 5 232(3) 2 12 0 121 12例& 答案：(1) 5； (2) 13121、731详解：三进制转九进制从右往左两位两位转换； 二进制转四进制从右往左两位两位转换；二进制转八进制从右往左三位三位转换.例9.答案：15031详解：列竖式计算.例 10. 答案：212. a=5、b=5、c=2例11 . 答案：10个详解：若要称量1克的重量必须有1克的砝码，若要称量2克的重量必须有2克的砝码，依次类推可得：1+2+4+8+16+32+64+128+256+512，此时可以称量 1克到1023克的所 有重量，此时需要10个砝码.例12 . 答案：1250 257 ;2 1201742 .详解：所看页数列为1、1、2、4、8、……、256、512、989.练习：6. 答案：554；2781；195；7227. 答案：161578. 答案：212349. 答案：248. a=5、b=0、c=3作业：1. 答案：（1）354；（2）458；（3）C30；（4）14443；（5）433；（6）852. 答案：（1）1131；（2）123123. 答案：100简答：a 很容易知道只能为1 ，再根据进位制展开解方程得出b、c 均为0，所以原数十进制是100.4. 答案：22 简答：由题意有abc 3 cba 4 ，其中a、b、c 均小于3，则有9a 3b c 16c 4b a ，化简得8a b 15c，符合条件的a、b、c为2、1、1,化成十进制是22.5. 答案：24简答：由题意有47 a 74 b ,其中a、b 均要大于7,则有4a 77b 4 ,符合条件的最小的a、b为15、9,和是24.。
高斯小学奥数六年级下册含答案第12讲_计数综合练习
第十二讲计数综合练习【学生注意】本讲练习满分100分，考试时间70分钟．一、填空题Ⅰ（本题共有8小题，每题6分）1.用0、1、2、3、4、5这六个自然数中的三个组成三位数，从个位到百位的数字依次增大，且任意两个数字的差都不是1，这样的三位数共有________个．2.从1到30中选出两个不同的数相加，和大于30的情况有_______种．3.从1000到2010中，十位数与个位数相同的数有______个．4.在用数字0、1组成一个6位数中，至少有4个连续的1的数共有______个．5.3个海盗分30枚金币，如果每个海盗最多分12枚，一共有_______种不同的分法．6.右图中有______条线段，______个三角形，______个梯形．7.一台综艺节目，由2个不同的舞蹈和3个不同的演唱组成．如果第一个节目是舞蹈，那么共有_____种不同的安排方法．8.有身高各不相同的5个孩子，按下列条件排成一行：条件1：最高的孩子不排在边上．条件2：最高的孩子的左边按由高到矮向左排列．条件3：最高的孩子的右边按由高到矮向右排列．那么符合上述所有条件的排队方法有________种．二、填空题Ⅱ（本题共有4小题，每题7分）9.（1）平面上7个点，任意三点不共线，那么可以连出_______个三角形．（2）两条平行线上各有4个点，从这些点中任取3个作为顶点，可以连出______个三角形．10.如图，左边是由22个六边形组成的图形，在六边形内蚂蚁只可以选如右边箭头所指的方向之一爬到相邻的六边形内．一只蚂蚁从六边形A出发，选择不经过六边形B的路线到达六边形C，那么这样的路线共有________条．11.8块相同的奥运纪念徽章分给小高、卡莉娅、墨莫、萱萱四人，每人至少分一块，有______种不同的分法．12.由0、1、2、…、9组成的小于5000且没有重复数字的四位数共有________个，其中从小到大第2010个是________．三、填空题Ⅲ（本题共有3小题，每题8分）13.有些三位数，相邻两个数字的差都不超过．．．2．，比如424、244、110、……，所有这样的三位数有_______个．14.各位数字之和为4的四位数有______个，其中能被11整除的有_______个．15.在下面数字谜中，七个不同汉字表示七个不同数字，“高思学校尖子班”表示的七位数有_______种不同的取值．高思学校+ 尖子班2 0 1 0第十二讲 计数综合练习1. 答案：4．解答：枚举法，符合要求的数只有420、520、530、531，共4个．2. 答案：225．解答：较小数是1时，较大数只能取30，有1种取法；较小数是2时，较大数只能取30和29，有2种取法；……较小数是15时，较大数可取16、17、L 、30，有15种取法；……较小数是29时，较大数只能取30，有1种取法．所以一共有123141514321225++++++++++=L L 种情况．3. 答案：101．解答：在1000到1999中，十位与个位相同有10种情况：00、11、22、L 、99，千位和百位也有10种情况：10、11、12、L 、19．所以在1000到1999中，十位数与个位数相同的数有1010100⨯=个．另外，2000到2010中只有2000是十位数与个位数相同的，所以符合要求的数一共有101个．4. 答案：5．解答：枚举即可，有111100、111110、111101、111111、101111共五个．5. 答案：28．解答：不妨设三个海盗分别为甲、乙、丙．当甲海盗分到8枚金币时，乙海盗的金币可能是10、11、12枚，有3种分法；当甲海盗分到9枚金币时，乙海盗的金币可能是9、10、11、12枚，有4种分法；……当甲海盗分到12枚金币时，乙海盗的金币可能是6、7、8、9、10、11、12枚，有7种分法．所以一共有123456728++++++=种不同的分法．6. 答案：42、18、18．解答：每条直线（如直线AD ）上有6条线段，一共有6742⨯=条线段；每个三角形都由顶点以及AD 、BE 或CF 上的一段线段组成，有6318⨯=个；AD 、BE 或CF 中，任两条之间有6个梯形，所以一共有23618C ⨯=个梯形．7. 答案：48．解答：设舞蹈是第1个和第n 个节目，则n 可取2、3、4、5，有4种取法．同时两个舞蹈的顺序有222A =种，3个演唱的顺序有336A =种，所以一共有42648⨯⨯=种不同的安排方法．8. 答案：14．解答：按最高的孩子左边的孩子人数分类，可的符合要求的排队方法有12344414C C C ++=种．9. （1）答案35．解答：任取三个点就确定了一个三角形，共有3735C =个．（2）答案：48．解答：一条直线上取两个点，另一条上取一个点，就确定了一个三角形，共有2112444448C C C C ⨯+⨯=个．10. 答案：466．解答：标数法．11. 答案：35．解答：用插板法，有3735C =种不同的分法．12. 答案：2016、4980．解答：用乘法原理，求出符合要求的四位数有49872016⨯⨯⨯=个．求其中第2010个数，只需从大往小数到第7个数即可，它是4980．13. 答案：188．解答：按十位数字分类讨论．如十位是2时，百位可取1、2、3、4有四种取值，个位可取0、1、2、3、4有五种取值，所以十位数字是2的有4520⨯=个．按这样把十位数字是0到9的情况都进行计数，可求得符合要求的三位数一共有188个．14. 答案：20、6．解答：设abcd 的各位数字之和为4，则a 、1b +、1c +、1d +这四个正整数的和是7．由于7x y z w +++=的正整数解个数是3620C =个，故各位数字之和4的四位数有20个．其中能被11整除的数，必有2a c b d +=+=，(),a c 的取值有()1,1、()2,0两种，(),b d 的取值有两种()0,2、()1,1、()2,0三种，故有236⨯=个．15. 答案：40．解答：容易推断出：校+班=10，学+子=10，思+尖=9，高=1，尖≠0．按“思，尖”的取值分类讨论：（1）思=0，尖=9时，10283746=+=+=+，“校”有6种取值，取完“校”之后，“班”的值就确定了，而“学”的可选取值还有4种，所以此类情况有6424⨯=种填法；（2）“思=2，尖=7”或“思=7，尖=2”或“思=3，尖=6”或“思=6，尖=3”时，余下的数字均不足以配成两对和数10，故没有符合要求的填法；（3）“思=4，尖=5”或“思=5，尖=4”时，102837=+=+，“校”有4种取值，取完“校”之后，“班”的值就确定了，而“学”的可选取值还有2种，所以此类情况有24216⨯⨯=种填法．所以一共有241640+=种不同的取值．。
高斯小学奥数五年级下册含答案第15讲_数字谜中的计数
第十五讲数字谜中的计数上一讲我们讲解了一些与数论相关的计数问题，这一讲我们来研究一下数字谜中的计数问题，首先我们来看竖式问题．例1． 如图，请在方框中填入0~4中的数字，使竖式成立．小高的填法如下中图，卡莉娅的填法如下右图，墨莫说，还有很多种填法．同学们你能判断出一共有多少种不同的填法吗？「分析」观察可知竖式中没有进位，个位、十位、百位上的数字和均为4，本题难度一般，但是同学做题时要注意准确性．练习1、如图，方框中都是0~3中的数字，使竖式成立，一共有多少种填法？例2．如图，方框中都是3~6中的数字，求出所填九个数字之和为多少？一共有多少种填法？「分析」注意题目要求只能填入3至6中的数字，能不能确定每一位的数字和？练习2、如图，方框中都是4~7中的数字，一共有多少种填法？+4 4 44 1 3 + 3 14 4 44 2 1 + 2 34 4 4+ 3 3 3+4 9 9 5+5 3 7数字谜中的计数问题，不仅要求填出的方案能满足数字谜的要求，还要把所有情况考虑周全，这也是此类问题比较难的原因．在解决此类问题时，往往分成两步：首先找到所有不同类的填法，然后再考虑每一类填法有多少种即可．但要注意在做这两步时都要做到不重不漏．例3．将1到6填入下图，使得每两个相邻的空格中都有1个奇数1个偶数，那么有多少种填法？「分析」抛开1~6这六个数字的具体数值，只按奇、偶性分析题目是解题关键．练习3、将1~4填入方框中，使得每相邻的2格都既有奇数又有偶数，那么共有多少种填法？例4．在图1的空格内各填入一个一位数，使同一行内左面的数比右面的数大，同一列内上面的数比下面的数小，并且方格内的6个数字互不相同，例如图2为一种填法．那么一共有多少种不同的填法？「分析」对于这类表格填数问题，我们常常用分步的思想分析：先考虑某几个方格中所填的数会是哪些，再考虑这些数在这些方格中的位置有几种可能．练习4、在1~7中选出6个互不相同的数字填入下图的的表中，使得相邻的两个方框内，下面的数字比上面大，右边的数字比左边大．一共有多少种填法？以前在填写数阵图时，一般都需要先找到突破口，再顺藤摸瓜填满所有空格．现在对于数阵图中的计数问题，同样也要先找到数阵图的突破口．例5．在1~9中选出6个互不相同的数字填入下图的表中，使得相邻的两个方框内，下面的数字比上面大，右边的数字比左边大．一共有多少种填法？「分析」首先填出可能性比较少的位置或数字，．例6．将数字1至6分别填入图中各个圆圈，使得每条线段两个端点处所填的数，上面的比「分析」这个数阵图中，我们首先应该考虑的位置是哪个？节日问候特里格教授在洛杉矶城市学院时提出了如下的问题(《美国数学月刊》问题El241，1956年)：节日问候“MERRY XMAS TO ALL”是一个数字谜，每个字母代表惟一的数字，而每个词是一个平方数．求所有解．结果只有两个解：27556 3249 81 400和34225 7396 81 900罗森菲尔德(Azriel Rosenfeld)发现，如果加一个条件，要求每个词的数字之和是一个完全平方数，则解是惟一的．卡斯特(Edgar Karst)发现，同一句问候的方程MERRY+XMAS= TOALL也是一个数字谜．其中每个字母代表惟一的数字，而每个词能被3整除．这时有惟一解：84771+5862=90633．作业1. 在右边的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字．这个竖式有多少种不同的填法？2. 如图，方框中都是6~9内的数字，为使竖式成立，一共有多少种填法？3. 将1到9填入图中，使得每两个相邻的空格中都有1个奇数和1个偶数，有多少种填法？4. 从数字1~6种选5个填入图中，使每相邻两格中，下边的数字比上边的大，右边的数字比左边的大，有多少种填法？5. 如图，在1~10中选6个数字填入图中，使得上面的数比下面的数大，那么有种填法？+7 6 5A B + C A1 2 3第十五讲 数字谜中的计数例题：例7． 答案：20种详解：首先可以确定三位数的首位为4，个位的两个数字，从上到下依次可为（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0），共5种填法．注意到两位数的首位不能为0，十位的两个数字可为（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），共4种填法，由乘法原理，共有5420⨯=种填法．例8． 答案： 45；30详解：首先可以判断出四位数的首位为4，个位的三个数字和不能为5或25，只能为15，向十位进1．十位三个数字的和只能为18，百位两个数字的和只能为8．因此所填九个数字之和为48181545+++=．百位上两个数的和是8，有35+和44+这两种情况．其中3和5分别填入两个方框，有2种方法；而4和4则只有1种填法，因此百位上的填法有3种．个位上三个数的和是15，有366++，456++，555++这三种情况．其中3，6，6填入三个方框中有3种填法；4，5，6有33A 6=种填法；5，5，5只有一种填法．因此个位上的填法有36110++=种．千位和十位上的数字都是确定的．由乘法原理，总共的填法有31030⨯=种．例9． 答案：72种详解：首先考虑奇偶性， 如下图所示，共有两种填法．一共有3333A A 272⨯⨯=种填法．和是8和是154 6 6 + 6 4995偶 偶偶 奇 奇 奇 偶 偶 偶奇 奇 奇例10． 答案：30种详解：由于方格内6个数字互不相同，因此四个空格的数是从4~9中选择4个不同的数．有46C 种选法．例如：所选数字为5，6，7，8，如下图所示，可以确定5和8的位置，6和7可以互换，有2种填法，故共有4266C 2C 230⨯=⨯=种填法．例11． 答案：420种详解：从1~9中选择6个不同的数．有69C 种选法．例如：所选数字为1，2，3，4，5，6，如下图所示，首先可以确定1和6的位置，2，3，4，5这四个数填入余下的部分，与专属3中第四个图相同，有5种填法，故共有6399C 5C 5420⨯=⨯=种填法．例12． 答案：20种详解：首先可以确定1的位置，在最下面．然后选3个数填在左边的部分，有35C 种选法，剩下的2个数填在右边，位置确定．注意到，左边部分上面的2个圆圈可以交换位置．故共有35C 220⨯=种填法． 练习：1. 答案：12种简答：没有进位，所以，百位一定填3，1203+=+，所以，个位有4种填法，十位考虑首位不为0，所以，有3种填法，竖式共有：3412⨯=种填法．2. 答案：15种简答： 解法同例23. 答案：8简答：填法如图：，共计8种．4. 答案：14种简答：从1~7中选择6个不同的数．有67C 种选法．例如：所选数字为1，2，3，4，5，6，如下图所16示，首先可以确定1和6的位置，然后可以确定2和5的位置，3和4可以互换，有2种填法，故共有6177C 2C 214⨯=⨯=种填法．作业1. 答案：7．简答：把个位上的A 和B 调换一下，那么有123AA CB +=，可以是3390123+=，4479123+=，5568123+=，6657123+=，7746123+=，8835123+=，9924123+=．一共有7种不同的填法．2. 答案：16．简答：个位数字之和是15，十位数字之和也是15，百位填6．15可以拆成69+和78+．所以一共有16种填法．3. 答案：2880．简答：1~9中有5奇4偶，奇数要填在四角和中心，其余地方填偶数．有5454A A 2880⨯=种．4. 答案：12．简答：先选5个数字出来，有6种选法．选好之后有2种填法，一共有12种填法．5. 答案：1260．简答：首先选6个数字出来，有610C 210=种选法．设选出的6个数字由小到大依次是A 、B 、C 、D 、E 、F ，那么A 填最下面，F 在最上面．有24C 6=种填法．一共有62101260⨯=种填法．。
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第三讲数数与计数（二）
例1 数一数，图3－1中共有多少点？
解：（1）方法1：如图3－2所示从上往下一层一层数：
第一层 1个
第二层 2个
第三层 3个
第四层 4个
第五层 5个
第六层 6个
第七层 7个
第八层 8个
第九层 9个
第十一层 9个
第十二层 8个
第十三层 7个
第十四层 6个
第十五层 5个
第十六层 4个
第十七层 3个
第十八层 2个
第十九层 1个
总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）=55+45=100（利用已学过的知识计算）.
（2）方法2：如图3－3所示：从上往下，沿折线数
第一层 1个
第二层 3个
第三层 5个
第五层 9个
第六层 11个
第七层 13个
第八层 15个
第九层 17个
第十层 19个
总数：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的知识计算）.
（3）方法3：把点群的整体转个角度，成为如图3－4所示的样子，变成为10行10列的点阵.显然点的总数为10×10=100（个）.
想一想：
①数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋.
②由方法1和方法3得出下式：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10
即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想：
1=1×1
1+2+1=2×2
1+2+3+2+1=3×3
1+2+3+4+3+2+1=4×4
1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6
1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×7
1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8
1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×9
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10
这样的等式还可以一直写下去，能写出很多很多.
同学们可以自己检验一下，看是否正确，如果正确我们就发现了一条规律.
③由方法2和方法3也可以得出下式：
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10.
即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此我们猜想：
1+3=2×2
1+3+5=3×3
1+3+5+7=4×4
1+3+5+7+9=5×5
1+3+5+7+9+11=6×6
1+3+5+7+9+11+13=7×7
1+3+5+7+9+11+13+15=8×8
1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×9
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10
还可往下一直写下去，同学们自己检验一下，看是否正确，如果正确，我们就又发现了一条规律.
例2 数一数，图3－5中有多少条线段？
解：（1）我们已知，两点间的直线部分是一条线段.以A点为共同端点的线段有：
AB AC AD AE AF 5条.
以B点为共同左端点的线段有：
BC BD BE BF 4条.
以C点为共同左端点的线段有：
CD CE CF 3条.
以D点为共同左端点的线段有：
DE DF 2条.
以E点为共同左端点的线段有：
EF1条.
总数5+4+3+2+1=15条.
（2）用图示法更为直观明了.见图3－6.
总数5+4+3+2+1=15（条）.
想一想：①由例2可知，一条大线段上有六个点，就有：总数
=5+4+3+2+1条线段.由此猜想如下规律（见图3－7）：
还可以一直做下去.总之，线段总条线是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比总数小1.我们又发现了一条规律.它说明了点数与线段总数之间的关系.
②上面的事实也可以这样说：如果把相邻两点间的线段叫做基本线段，那么一条大线段上的基本线段数和线段总条数之间的关系是：
线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本线段的条数（见图3－8）.基本线段数线段总条数
还可以一直写下去，同学们可以自己试试看.
例3 数一数，图3－9中共有多少个锐角？
解：（1）我们知道，图中任意两条从O点发出的射线都组成一个锐角.
所以，以OA边为公共边的锐角有：
∠LAOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，
∠AOF共5个.
以OB边为公共边的锐角有：∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠BOF共4个.
以OC边为公共边的锐角有：∠COD，∠COE，∠COF共3个.以OD边为公共边的锐角有：∠DOE，∠DOF共2个.以OE边为一边的锐角有：∠EOF只1个.
锐角总数5+4+3+2+1＝15（个）.
②用图示法更为直观明了：如图3－10所示，锐角总数为：
5+4+3+2+1=15（个）.
想一想：①由例3可知：由一点发出的六条射线，组成的锐角的总数=5+4+3+2+1（个），由此猜想出如下规律：（见图3－11～15）
两条射线1个角（见图3－11）
三条射线2+1个角（见图3－12）
四条射线3+2+1个角（见图3－13）
五条射线4+3+2+1个角（见图3－14）
六条射线5+4+3+2+1个角（见图3－15）
总之，角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比射线数小1.
②同样，也可以这样想：如果把相邻两条射线构成的角叫做基本角，那么有共同顶点的基本角和角的总数之间的关系是：
角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本角个数.
③注意，例2和例3的情况极其相似.虽然例2是关于线段的，例3是关于角的，但求总数时，它们有同样的数学表达式.同学们可以看出，一个数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系，这就是数学的魔力.
习题
1.书库里把书如图3－16所示的那样沿墙堆放起来.请你数一数这些书共有多少本？
2.图3－17所示是一个跳棋盘，请你数一数，这个跳棋盘上共有多少个棋孔？
3.数一数，图3－18中有多少条线段？
4.数一数，图3－19中有多少锐角？
5.数一数，图3－20中有多少个三角形？
6.数一数，图3－21中有多少正方形？
习题解答
1.解：方法1：从左往右一摞一摞地数，再相加求和：
10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10
=135（本）.
方法2：把这摞书形成的图形看成是由一个长方形和一个三角形“尖顶”组成.
长方形中的书 10×11=110
三角形中的书 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25
总数：110+25=135（本）.
2.解：因为棋孔较多，应找出排列规律，以便于计数.
仔细观察可知，图中大三角形ABC上的棋孔的排列规律是（从上往下数）：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，另外还有三个小三角形中的棋孔的排列规律是1，2，3，4，所以棋孔总数是：
（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13）+（1+2+3+4）×3=91+10×3=121（个）.
3.解：方法1：按图3－22所示方法数（图中只画出了一部分）
线段总数：7+6+5+4+3+2+1=28（条）.
方法2：基本线段共7条，所以线段总数是：
7+6+5+4+3+2+1=28（条）.
4.解：按图3－23的方法数：
角的总数：7+6+5+4+3+2+1=28（个）.
5.解：方法1：（1）三角形是由三条边构成的图形.
以OA边为左公共边构成的三角形有：△OAB，△OAC，△OAD，△OAE，△OAF，△OAG，△OAH，共7个；
以OB边为左公共边构成的三角形有：△OBC，△OBD，△OBE，△OBF，△OBG，△OBH，共6个；
以OC边为左公共边构成的三角形有：△OCD，△OCE，△OCF，△OCG，△OCH，共5个；
以OD边为左公共边构成的三角形有：△ODE，△ODF，△ODG，△ODH，共4个；
以OE边为左公共边构成的三角形有：△OEF，△OEG，△OEH，共3个；
以OF边为左公共边构成的三角形有：△OFG，△OFH，共2个；
以OG边和OH，GH两边构成的三角形仅有：△OGH1个；
三角形总数：7+6+5+4+3+2+1=28（个）.
（2）方法2：显然底边AH上的每一条线段对应着一个三角形，而基本线段是7条，所以三角形总数为：7+6+5+4+3+2+1=28（个）.
6.解：最小的正方形有25个，
由4个小正方形组成的正方形 16个；
由9个小正方形组成的正方形 9个；
由16个小正方形组成的正方形 4个；
由25个小正方形组成的正方形 1个；
正方形总数：25+16+9+4+1=55个.。