与或树搜索3启发式搜索
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与或树搜索3启发式搜索
B 3
S0
A D
C 3 G
E 2
F
H
3
2
2
2
11
设对节点B扩展两层后 得到如图所示的与或树，节 点L的两个子节点是终止节 点，则按和代价法计算得到
g(L)=2, g(M)=6,
S0
A D
g(B)=3, g(A)=8
g(S0)=9, 继续对பைடு நூலகம்子树
B 3
C
E 2 G
F
H
扩展，扩展
节点C。
0
L
M 3 0 2 2 2 2 2
G
H
2
2
2
12
2
15
修屏蔽泵
仉睿聪奌
3.7.3启发式与或树搜索
有序搜索
解树的代价
希望树
与或树的有序搜索过程
1
盲目搜索小结
盲目搜索是按确定路线进行的，当要选择一个节点进行 扩展时，只是根据节点在与或树中所处的位置，而没有考虑 要付出的代价，因而求得的解树不一定是代价最小的解树， 即不一定是最优解树。
2
有序搜索
为了求得最优解树，就要在每次确定欲扩展的节点时， 先往前多看几步，计算一下扩展这个节点可能要付出的代价， 并选择代价最小的节点进行扩展。
S0
D
E 2 G
F
H
P
3 3 2 2 2 2
2
2
13
设节点C扩展两层后得到如图 所示的与或树，节点N的两个子节 点是终止节点，按和代价计算得到：
g(N)=2, g(P)=7, g(C)=3, g(A)=8，g(S0)=9 由于N和C都是可解节点，B也是可 解的，推出A和S0都是 可解的，这就求出了 代价最小的 解树。(粗线)
S0
A D
C 3 G
E 2
F
H
3
2
2
2
11
设对节点B扩展两层后 得到如图所示的与或树，节 点L的两个子节点是终止节 点，则按和代价法计算得到
g(L)=2, g(M)=6,
S0
A D
g(B)=3, g(A)=8
g(S0)=9, 继续对பைடு நூலகம்子树
B 3
C
E 2 G
F
H
扩展，扩展
节点C。
0
L
M 3 0 2 2 2 2 2
G
H
2
2
2
12
2
15
修屏蔽泵
仉睿聪奌
3.7.3启发式与或树搜索
有序搜索
解树的代价
希望树
与或树的有序搜索过程
1
盲目搜索小结
盲目搜索是按确定路线进行的，当要选择一个节点进行 扩展时，只是根据节点在与或树中所处的位置，而没有考虑 要付出的代价，因而求得的解树不一定是代价最小的解树， 即不一定是最优解树。
2
有序搜索
为了求得最优解树，就要在每次确定欲扩展的节点时， 先往前多看几步，计算一下扩展这个节点可能要付出的代价， 并选择代价最小的节点进行扩展。
S0
D
E 2 G
F
H
P
3 3 2 2 2 2
2
2
13
设节点C扩展两层后得到如图 所示的与或树，节点N的两个子节 点是终止节点，按和代价计算得到：
g(N)=2, g(P)=7, g(C)=3, g(A)=8，g(S0)=9 由于N和C都是可解节点，B也是可 解的，推出A和S0都是 可解的，这就求出了 代价最小的 解树。(粗线)
博弈树的启发式搜索
博弈树的启发式搜索问题A方、B方必须是完备博弈，它有三个条件：1、A，B双方轮流博弈。
博弈的结果只有三种情况：A胜，B败；A败，B胜；A，B平手。
2、任一方都了解当前的棋局和历史的棋局。
3、任一方都分析当前的棋局，并能作出有利于自己，而不利于对方的策略。
我们描述博弈过程采用与/或树1、博弈的初始棋局作为初始节点2、‘或’节点与‘与’节点逐层交替出现。
自己一方扩展节点之间是‘或’，对方扩展节点之间是‘与’。
双方轮流扩展。
3、所有能使自己获胜的终局都是本原问题，相应的节点是可解节点。
本问题其实是一个构造博弈树的问题。
对给定的棋局，该棋局中A，B方的棋子数相等，并且轮到A方下。
这样构成一个初始棋局，称一个状态。
当A或B下一个棋子后，又形成一个新的状态。
任何一方都希望自己取得胜利，因此当某一方有多个方案可供选择时，他总是跳最有利于自己而最不利对方的方案。
此时我们站在A的立场上看，可供A选择的方案之间是‘或’的关系，可供B的方案之间是‘与’的关系。
因为主动权在A上，A必须考虑任何一个可能被B选中的方案。
极大极小分析方法的特点：1、它是为其中一方寻找一个最优的行动方案的方法2、为了当前最优的方案，需要对各个方案能产生的后果进行比较，具体地说就是考虑每个方案实施后，对方可能采取的行动，并计算可能的得分4、为了计算得分，需要根据问题的特性定义一个估价函数，用来计算当前博弈树端节点的得分，该得分也称静态估值5、当端节点估值后，再推算父节点的得分，推算方法是对于‘或’节点，选择子节点中最大的得分作为自己的得分，对于‘与’节点，选择子节点中最小的得分作为自己的得分，父节点得得分也称倒退值6、若某一个行动方案能获得最大得倒退值，则它就是当前最好得方案在本问题中，假设棋盘为4*4的矩阵，A方的棋子为1，B方的棋子为－1，空格为0。
我们定义估价函数为：在某一棋局状态，A方棋子可能占满的整行，整列，整斜线总和与B 方棋子可能占满的整行，整列，整斜线总和的差。
人工智能 第3章(确定性推理3-与或树搜索)
常用启发式函数
包括基于距离的启发式函数、基于成本的启发式函数、基于规则的启发式函数等。
节点排序和选择策略
节点排序的目的和意义
节点排序是为了在扩展节点时，按照一定的顺序选择下一个要扩展的节点，以优化搜索过程。
常用节点排序策略
包括最佳优先搜索、广度优先搜索、深度优先搜索等。最佳优先搜索根据启发式函数的值来选择最优节点； 广度优先搜索按照节点的层次顺序进行扩展；深度优先搜索则尽可能深地扩展节点。
盲目搜索方法比较与选择
• 宽度优先搜索、深度优先搜索和迭代加深搜索都是盲目搜索方法，它们在不同的场景下有不同的应用。 • 宽度优先搜索适用于问题空间较大、解存在于较浅层次的情况，因为它可以逐层遍历整个问题空间，找到最短
路径。 • 深度优先搜索适用于问题空间较小、解存在于较深层次的情况，因为它可以尽可能深地搜索树的分支，找到更
启发式信息获取途径
01
02
03
问题自身的特性
通过分析问题的性质、结 构、约束条件等，提取出 对搜索过程有指导意义的 启发式信息。
领域知识
利用领域内的经验、规则、 常识等，为搜索过程提供 有价值的启发式信息。
搜索过程中的信息
在搜索过程中，通过评估 当前状态、已搜索路径、 未搜索路径等，动态地获 取启发式信息。
04 与或树搜索优化技术
剪枝策略
01
剪枝的定义和目的
剪枝是在搜索过程中，通过某些评估标准，提前终止对某些无意义或低
效的节点的扩展，以减少搜索空间，提高搜索效率。
02 03
常用剪枝策略
包括限界剪枝、启发式剪枝、概率剪枝等。限界剪枝通过设置上下界来 限制搜索范围；启发式剪枝利用启发式函数来评估节点的重要性；概率 剪枝则根据节点的概率分布来进行剪枝。
包括基于距离的启发式函数、基于成本的启发式函数、基于规则的启发式函数等。
节点排序和选择策略
节点排序的目的和意义
节点排序是为了在扩展节点时，按照一定的顺序选择下一个要扩展的节点，以优化搜索过程。
常用节点排序策略
包括最佳优先搜索、广度优先搜索、深度优先搜索等。最佳优先搜索根据启发式函数的值来选择最优节点； 广度优先搜索按照节点的层次顺序进行扩展；深度优先搜索则尽可能深地扩展节点。
盲目搜索方法比较与选择
• 宽度优先搜索、深度优先搜索和迭代加深搜索都是盲目搜索方法，它们在不同的场景下有不同的应用。 • 宽度优先搜索适用于问题空间较大、解存在于较浅层次的情况，因为它可以逐层遍历整个问题空间，找到最短
路径。 • 深度优先搜索适用于问题空间较小、解存在于较深层次的情况，因为它可以尽可能深地搜索树的分支，找到更
启发式信息获取途径
01
02
03
问题自身的特性
通过分析问题的性质、结 构、约束条件等，提取出 对搜索过程有指导意义的 启发式信息。
领域知识
利用领域内的经验、规则、 常识等，为搜索过程提供 有价值的启发式信息。
搜索过程中的信息
在搜索过程中，通过评估 当前状态、已搜索路径、 未搜索路径等，动态地获 取启发式信息。
04 与或树搜索优化技术
剪枝策略
01
剪枝的定义和目的
剪枝是在搜索过程中，通过某些评估标准，提前终止对某些无意义或低
效的节点的扩展，以减少搜索空间，提高搜索效率。
02 03
常用剪枝策略
包括限界剪枝、启发式剪枝、概率剪枝等。限界剪枝通过设置上下界来 限制搜索范围；启发式剪枝利用启发式函数来评估节点的重要性；概率 剪枝则根据节点的概率分布来进行剪枝。
第3章(搜索推理技术1-图盲目搜索)
①、起 始节点 ( 即根
节点)的深度为0。
②、任何其它节点的
深度等于其父辈
节点深度加上1。
深度优先搜索的基本
思路：
先扩展最深的节点 。
当出现没有后继节点
时，换到旁边的次深
节点
后生成的节点画在左边
含有深度界限的深度优先搜索算法：
① 把起始节点 S 放到未扩展节点的 OPEN 表中。 如果此节点为一目标节点，则得到解 ② 如果 OPEN 为一空表，则无解、失败退出
状态：长度为9的一维数组
（q1 , q2 , … , q9 ）
其中，qi 取 0 , 1 , … , 8 个数，0 表示空格，且取值
互不相同
如果记空格的位置为P，这时空格的移动规则是： 1 4 7 2 5 8 3 6 9 数字表示位置 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P-3
P-1
P
P+1
P+3
起始节点的父节点标志和操作符：
不作记录或记录为负
搜索过程（按照程序运行方式）
① 起始节点放到OPEN表
2 8 3 1 0 4
2 8 3 1 4 7 6 5 7 6 5
② OPEN不为空，继续
③ 将第一个节点 n 从 OPEN 表中移出，并放到 CLOSED表中 OPEN表
CLOSED表 1 0 0 2 8
13
14
1
4
2
8
8
3
3
0
1
2
4
1
5
4
7
7
0
6
6
5
1 8
7
2
3 4
14 15 15
16 16
3 2 4
人工智能习题作业搜索策略I习题答案
⼈⼯智能习题作业搜索策略I习题答案第三章搜索策略课后习题及答案⼀、选择题：1. 启发式搜索中，通常OPEN表上的节点按照它们f函数值的_____顺序排列。
（ D ）A平均值 B 递减 C 最⼩ D递增2. 按尼尔逊(Nilsson)提出的有序搜索基本算法指出,⼀个节点的希望程度⼤，则f值_____。
（ B ）A 不变化B ⼩C ⼤D 为03. 如果重排OPEN表是依据f(x)=g(x)+h(x)进⾏的，则称该过程为_____。
（ B ）A A*算法B A算法 C有序搜索 D启发式搜索4. 在与或树和与或图中，我们把没有任何⽗辈节点的节点叫做_____。
（ C ）A 叶节点 B端节点 C根节点 D 起始节点5. 对于⼋数码问题：起始棋局 —> ⽬标局棋2 83 1 2 31 6 4 8 47 5 7 6 5取h(n)=W(n)， W(n)⽤来计算对应于节点n的数据库中错放的棋⼦个数。
请问需要扩展多少个节点才能到达⽬标？（ C ）A 20B 13C 6D 116. α-β剪枝技术中，⼀个MIN节点的β值等于其后继节点当前（）的最终倒推值。
（ A ）A 最⼩B 最⼤C 平均D α值7. α-β剪枝技术中，“或”节点n的α值如果不能降低其⽗节点的β值，则对节点n以下的分枝可停⽌搜索，并使节点n的倒推值为α。
这种剪枝称为_____。
（ A ）A β剪枝B α剪枝C α-β剪枝 D极⼩极⼤分析法8. 宽度优先搜索⽅法能够保证在搜索树中找到⼀条通向⽬标节点的_____途径(如果有路径存在时)。
（ B ）A 可⾏B 最短C 最长D 解答9. A*算法是⼀种_____。
（ ABD ）A 图搜索策略B 有序搜索算法C 盲⽬搜索D 启发式搜索10. 应⽤某个算法(例如等代价算法)选择OPEN表上具有最⼩f值的节点作为下⼀个要扩展的节点。
这种搜索⽅法的算法就叫做_____。
（ C ）A 盲⽬搜索B 深度优先搜索C 有序搜索算法D 极⼩极⼤分析法⼆、填空题：1. OPEN表⽤于存放未扩展的节点，CLOSED表存放_已扩展_的节点。
(搜索推理技术-与或树搜索)
7、无判断起始节点1可解
8、从OPEN中删除含有可解先辈节点的节点
删除
OPEN= { B, C, t1, 10, 11, 12, A, t2, t3 }
CLOSED= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } OPEN= {t1, 10, 11, 12, t2, t3}
CLOSED= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 说明：对于OPEN表中的叶节点直接移到 CLOSED表，不作任何处理
OPEN= {9, B, C, t1, 10, 11, 12, A} CLOSED= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
第九大循环（3、4、5、6、7、8步）： 3、从OPEN表中取出节点9，并送到CLOSED表 4、扩展节点9，生成后继节点 t2、t3，并送到 OPEN表的末端 5、有叶节点 6、实现可解标志过程（可以判断节点9、4、2可解）
即OPEN是堆栈
注意
由于深度限制，深度优先搜索算法有可能找不 到解
例：
深度界限为4
√
2
1
√
√
6
√
3
Ⅹ A √ √
7 √
C
Ⅹ
4
5
8
t
√
Ⅹ B
t
t
t
t
√
√
√
√
注：后生成的节点画在左边
课堂练习：用宽度和深度优先搜索算法找出解树
提示：对于宽度优先搜索，先生成的节点画在左；
对于深度优先搜索，后生成的节点画在左
CLOSED= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, t1, 10 }
搜索过程演示
√
与或图搜索
8
• 解图：
初始节点
目标
目标
该解图的耗散值为: (1+(1+1))+(1+1)=5
9
局部解图的耗散值计算
如果我们也将局部图的耗散值记为k(n,N),则: ① 若n是局部图的一个叶节点，则
k(n,N)=h(n)；
② 若n是一个外向连接符指向后继节点{n1,…, ni}，并设该连接符的耗散值为Cn，则
1
与或图例子
2
2.1 基本概念
与或图是一个超图，节点间通过连接符连接。
超图是图的最一般的表达形式，无论什 么图，你都可以说它是超图，就像无论 整数，无理数，复数，反正都是数一样。
超图的定义由两个集合构成：一个点集A， 另一个是点集A中元素的子集的集合B(B 中所有元素的并集就是集合A)。A中的元 素叫节点；B中的元素就叫边，这样超图 H=(A,B)。
17
与或树的一般搜索过程(续)
• 由上述搜索过程所形成的节点和指针 结构称为搜索树。 • 与或树搜索的目标是寻找解树，从而 求得原始问题的解。如果在搜索的某一 时刻，通过可解标示过程可确定初始节 点是可解的，则由此初始节点及其下属 的可解节点就构成了解树。
18
与或树的一般搜索过程(续)
• 如果在某时刻被选为扩展的节点不可扩 展，并且它不是终止节点，则此节点就 是不可解节点。此时可应用不可解标示 过程确定初始节点是否为不可解节点，
如果可以确定初始节点是不可解的，则搜 索失败；否则继续扩展节点。
19
与或树的性质
• 可解与不可解标示过程都是自下而上进行 的，即由子节点的可解性确定父节点的可解性。
• 在与或树中搜索解树时，如果已确定某个 节点为可解节点，则其不可解的后裔节点就不 再有用，可从搜索树中删去；同样，如果已确 定某个节点是不可解节点，则其全部后裔节点 都不再有用，可从搜索树中删去，但当前这个 不可解节点还不能删去，因为在判断其先辈节 点的可解性时还要用到它。
• 解图：
初始节点
目标
目标
该解图的耗散值为: (1+(1+1))+(1+1)=5
9
局部解图的耗散值计算
如果我们也将局部图的耗散值记为k(n,N),则: ① 若n是局部图的一个叶节点，则
k(n,N)=h(n)；
② 若n是一个外向连接符指向后继节点{n1,…, ni}，并设该连接符的耗散值为Cn，则
1
与或图例子
2
2.1 基本概念
与或图是一个超图，节点间通过连接符连接。
超图是图的最一般的表达形式，无论什 么图，你都可以说它是超图，就像无论 整数，无理数，复数，反正都是数一样。
超图的定义由两个集合构成：一个点集A， 另一个是点集A中元素的子集的集合B(B 中所有元素的并集就是集合A)。A中的元 素叫节点；B中的元素就叫边，这样超图 H=(A,B)。
17
与或树的一般搜索过程(续)
• 由上述搜索过程所形成的节点和指针 结构称为搜索树。 • 与或树搜索的目标是寻找解树，从而 求得原始问题的解。如果在搜索的某一 时刻，通过可解标示过程可确定初始节 点是可解的，则由此初始节点及其下属 的可解节点就构成了解树。
18
与或树的一般搜索过程(续)
• 如果在某时刻被选为扩展的节点不可扩 展，并且它不是终止节点，则此节点就 是不可解节点。此时可应用不可解标示 过程确定初始节点是否为不可解节点，
如果可以确定初始节点是不可解的，则搜 索失败；否则继续扩展节点。
19
与或树的性质
• 可解与不可解标示过程都是自下而上进行 的，即由子节点的可解性确定父节点的可解性。
• 在与或树中搜索解树时，如果已确定某个 节点为可解节点，则其不可解的后裔节点就不 再有用，可从搜索树中删去；同样，如果已确 定某个节点是不可解节点，则其全部后裔节点 都不再有用，可从搜索树中删去，但当前这个 不可解节点还不能删去，因为在判断其先辈节 点的可解性时还要用到它。
第3章搜索推理技术3与或树搜索
OPEN表的末端 5、无叶节点，转到3步
OPEN= { 2，3 } CLOSED= { 1 }
第二大循环（3、4、5步）： 3、从OPEN表中取出节点2，并送到CLOSED表 4、扩展节点2，生成后继节点4、5，并送到OPEN
表的末端 5、无叶节点，转到3步
OPEN= { 3, 4, 5 } CLOSED= { 1, 2 }
1、没有后裔的非终叶节点是不可解节点
2、如果某一个非终叶节点含有“或”后继节点， 那么，只要当所有的后继节点都不可解时，这一 个非终叶节点才是不可解的
3、如果某一个非终叶节点含有“与”后继节点， 那么，只要有一个后继节点是不可解的，这一个 非终叶节点就是不可解的
可解标志过程与不可解标志过程:
根据可解与不可解节点的递归定义，用递归的方 式作用于某一个与或图，以标出所有的可解节点 与不可解节点
注意
由于深度限制，深度优先搜索算法有可能找不 到解
例： 深度界限为4
√
1
√
√
2
6
√
3
ⅩA 7 √ C
Ⅹ
4
√
5
√
8
t√
ⅩB
t
t
t
t
√
√
√
√
注：后生成的节点画在左边
课堂练习：用宽度和深度优先搜索算法找出解树
提示：对于宽度优先搜索，先生成的节点画在左； 对于深度优先搜索，后生成的节点画在左
2 4
算法结束的条件：
➢ 若初始节点被标志为可解节点，算法成 功结束（有解）
➢ 若起始节点被标志为不可解节点，则搜 索失败结束（无解）
与或图的解图： 由最少的可解节点所构成的子图，这些节 点能够使问题的起始节点是可解的
OPEN= { 2，3 } CLOSED= { 1 }
第二大循环（3、4、5步）： 3、从OPEN表中取出节点2，并送到CLOSED表 4、扩展节点2，生成后继节点4、5，并送到OPEN
表的末端 5、无叶节点，转到3步
OPEN= { 3, 4, 5 } CLOSED= { 1, 2 }
1、没有后裔的非终叶节点是不可解节点
2、如果某一个非终叶节点含有“或”后继节点， 那么，只要当所有的后继节点都不可解时，这一 个非终叶节点才是不可解的
3、如果某一个非终叶节点含有“与”后继节点， 那么，只要有一个后继节点是不可解的，这一个 非终叶节点就是不可解的
可解标志过程与不可解标志过程:
根据可解与不可解节点的递归定义，用递归的方 式作用于某一个与或图，以标出所有的可解节点 与不可解节点
注意
由于深度限制，深度优先搜索算法有可能找不 到解
例： 深度界限为4
√
1
√
√
2
6
√
3
ⅩA 7 √ C
Ⅹ
4
√
5
√
8
t√
ⅩB
t
t
t
t
√
√
√
√
注：后生成的节点画在左边
课堂练习：用宽度和深度优先搜索算法找出解树
提示：对于宽度优先搜索，先生成的节点画在左； 对于深度优先搜索，后生成的节点画在左
2 4
算法结束的条件：
➢ 若初始节点被标志为可解节点，算法成 功结束（有解）
➢ 若起始节点被标志为不可解节点，则搜 索失败结束（无解）
与或图的解图： 由最少的可解节点所构成的子图，这些节 点能够使问题的起始节点是可解的
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8
步5 如果节点N不是终止节点，且它不可扩展，则做下列 工作： (1) 标示N为不可解节点； (2) 对T应用不可解标记过程，把N的先辈节点中的不可 解节点都标记为不可解节点； (3) 若初始节点S0也被标记为不可解节点，则失败退出；
(4)
否则，从OPEN表中删去具有不可解先辈的所有节点
步6 如果节点N不是终止节点，但它可扩展，则可作下列 工作：
按和代价计算，得到 g(A)=8, g(D)=7, g(S0)=8 此时， S0的右子树是希望树， 因此对它进行扩展。
10
S0
A D
B C 3 3 E 3 2 F
设对节点E扩展两层后 得到如图所示的与或树，节 点旁的数字为用启发函数算 出的g值，则按和代价法计 算得到
B
S0
A D
g(G)=7, g(H)=6, g(E)=7, g(D)=11
3.7.3启发式与或树搜索
有序搜索
解树的代价
希望树
与或树的有序搜索过程
1
盲目搜索小结
盲目搜索是按确定路线进行的，当要选择一个节点进行 扩展时，只是根据节点在与或树中所处的位置，而没有考虑 要付出的代价，因而求得的解树不一定是代价最小的解树， 即不一定是最优解树。
2
有序搜索
为了求得最优解树，就要在每次确定欲扩展的节点时， 先往前多看几步，计算一下扩展这个节点可能要付出的代价， 并选择代价最小的节点进行扩展。
g(S0)=9, 继续对左子树
B C 3 G L M 3 0 0 2 2 2 E 2 H F
扩展，扩展
节点C。
2
2
12
设节点C扩展两层后得到如图 所示的与或树，节点N的两个子节 点是终止节点，按和代价计算得到：
A
S0
D
g(N)=2, g(P)=7, g(C)=3, g(A)=8，g(S0)=9 由于N和C都是可解节点，B也是可 解的，推出A和S0都是 可解的，这就求出了 代价最小的 解树。(粗线)
0
0
12
2
13
2
15
5
解树的代价就是树根的代价。
树根的代价是从树叶开始自下而上逐层计算求得的。
x
希望树
• • • • • • •
yi
计算任一节点x的代价g(x)时，都要求已知其子节点yi的代价g(yi)： 根据问题本身提供的启发性信息定义一个启发函数 由启发函数估算出子节点yi的代价g(yi)， 按和代价或最大代价算出节点x的代价值g(x)
G 2
1
1
3
F
2
t3
1 t2
E
t1
按最大代价：g(G)=2, g(D)=3， g(B)=5， g(S0)=7
按和代价计算，左边的解树是最优 解，其代 价为8； 按最大代价计算，左边的解树仍是 最优解，其代价为7； 有时用不同的计算代价方法得到 的最优解树不相同。
t5
t4
图中与或树包括两棵解树： •由S0，A，t1和t2组成； •由S0，B，D，G，t4和t5 组成。
6
希望树的定义
初始节点S 在希望树T中； 如果节点x在希望树T中，则一定有：
0
如果x是具有子节点y ，y ，y …… y 的“或” 节点,则具有 min{c(x,y )+g(y )}(1≤ i≤ n) 值的 那个子节点y 也应在T中； b) 如果x是“与”节点，则它的全部子节点都应 在T中。
(3) 若x是与节点, x则有两种计算公式 g(x)=∑{c(x,yi)+g(yi)} 称为和代价法；
n g(x)=max{c(x,yi)+g(yi)}(1≤ i≤ n)称为最大代价法(其中 y1，y2 ， y3… yn是x的子节点)。 i=0
(4)对非终止的端节点x, g(x)=∞
4
例1：如图所示的与或树。
当节点yi被扩展后： 先用启发函数估算出其子节点的代价 然后再算出g(yi)
此时，算出的g(yi)可能与原先估算的g(yi)不相同，则： 用后算出的g(yi)代替原先算出的g(yi) 并且按此g(yi)自下而上地重新计算各先辈节点的g值
当节点yi的子节点又被扩展时，上述过程又要重复进行一遍。总之，每当有 一个新的节点生成时，都要自下而上地重新计算其先辈节点的代价g，这是一个自 上而下地生成新节点，又自下而上地计算代价g的反复进行的过程。
L M 0 0 3 2 2 N G B C E
F 2 H
P
2
0
0
2
2
3
2
14
设初始节点S (F不可扩展)
0
作业
3.每次扩展两层，并设S0经扩展后得到如图1所示
的与或树, 路径代价为1
1. 2.
)按和代价计算 S0 ) 按最大代价计算 S0
A
S0
D
B C E 2 N L P M 0 0 3 2 2 2 G H F
3 3
C
E 2 G
F
Байду номын сангаас
此时，由S0左子树算出的 g(S0)=9,显然，左子树的代价最小， 所以现在又以左子树作为当前的 希望树。
H
3
2
2
2
11
设对节点B扩展两层后 得到如图所示的与或树，节 点L的两个子节点是终止节 点，则按和代价法计算得到
g(L)=2, g(M)=6,
S0
A D
g(B)=3, g(A)=8
扩展节点N，产生N的所有子节点； (2) 把这些子节点都放入OPEN表中，并为每一个子节点配置 向父节点(节点N)的指针； (3) 计算这些子节点的g值及其先辈节点的g值。 步7 转2
(1)
9
举例
设初始节点S0，每次扩展两层， 并设S0经扩展后得到如图1所示的与 或树，其中子节点B，C，E，F。 用启发函数估算出的g值分别 是 g(B)=3, g(C)=3, g(E)=3, g(F)=2,
a)
1 2 3 n i i i
有序搜索的目的是求出最优解树，即代价最小的解树。也就是说在搜索过程 中的任何时刻都要搜索代价最小的部分解树，找出最有希望成为最优解树的一部 分的节点进行扩展，这些节点及其先辈节点(包括初始节点S0)所构成的与或树有 可能成为最优解树的一部分，因此称它为“希望树”。
7
与或树的有序搜索过程
在与或树中，t1,t2,t3,t4,t5为终止节点；E，F是端节点，其代价均为 ∞；边上的数字是该边的代价。
由右边的解树可得：
按和代价：g(A)=11,g(S0)=13 按最大代价：g(A)=6,g(S0)=8
D 2 S0 B 2 1 c 2 5 A 6
由左边的解树可得：
按和代价：g(G)=3, g(D)=4， g(B)=6， g(S0)=8
根据代价决定搜索路线的方法称为与或树的有序搜索， 它是一种重要的启发式搜索策略。
3
解树的代价
计算方法：
x
x
yi
yi
设g(x)表示节点x的代价，c(x,y)表示节点x到其子节点y 的代价(即边xy的代价),则:
(1)若x是终止节点，g(x)=0;
(2) 若x是或节点， g(x)=min{c(x,yi)+g(yi)}(1≤ i≤ n, 其中 y1，y2 ， y3… yn是x的子节点)
步1 把初始节点S0放入OPEN表中； 步2 求出希望树T，即根据当前搜索树中节点的代价g， 求出以S0为根的希望树T。 步3 依次把OPEN表中T的端节点N选出放入CLOSED表中。 步4 如果节点N是终止节点，则做下列工作： (1)标示N为可解节点； (2)对T应用可解标记过程 ，把N的先辈节点中的可解节 点都 标记为可解节点； (3)若初始节点S0能被标记为可解节点，则T就是最优解树， 成功退出； (4)否则，从OPEN表中删去具有可解先辈的所有节点。
L M 0 0 3 2 2 N G B C E
F 2 H
P
2
0
0
2
2
3
2
13
设节点C扩展两层后得到如图 所示的与或树，节点N的两个子节 点是终止节点，按和代价计算得到：
A
S0
D
g(N)=2, g(P)=7, g(C)=3, g(A)=8，g(S0)=9 由于N和C都是可解节点，B也是可 解的，推出A和S0都是 可解的，这就求出了 代价最小的 解树。(粗线)
步5 如果节点N不是终止节点，且它不可扩展，则做下列 工作： (1) 标示N为不可解节点； (2) 对T应用不可解标记过程，把N的先辈节点中的不可 解节点都标记为不可解节点； (3) 若初始节点S0也被标记为不可解节点，则失败退出；
(4)
否则，从OPEN表中删去具有不可解先辈的所有节点
步6 如果节点N不是终止节点，但它可扩展，则可作下列 工作：
按和代价计算，得到 g(A)=8, g(D)=7, g(S0)=8 此时， S0的右子树是希望树， 因此对它进行扩展。
10
S0
A D
B C 3 3 E 3 2 F
设对节点E扩展两层后 得到如图所示的与或树，节 点旁的数字为用启发函数算 出的g值，则按和代价法计 算得到
B
S0
A D
g(G)=7, g(H)=6, g(E)=7, g(D)=11
3.7.3启发式与或树搜索
有序搜索
解树的代价
希望树
与或树的有序搜索过程
1
盲目搜索小结
盲目搜索是按确定路线进行的，当要选择一个节点进行 扩展时，只是根据节点在与或树中所处的位置，而没有考虑 要付出的代价，因而求得的解树不一定是代价最小的解树， 即不一定是最优解树。
2
有序搜索
为了求得最优解树，就要在每次确定欲扩展的节点时， 先往前多看几步，计算一下扩展这个节点可能要付出的代价， 并选择代价最小的节点进行扩展。
g(S0)=9, 继续对左子树
B C 3 G L M 3 0 0 2 2 2 E 2 H F
扩展，扩展
节点C。
2
2
12
设节点C扩展两层后得到如图 所示的与或树，节点N的两个子节 点是终止节点，按和代价计算得到：
A
S0
D
g(N)=2, g(P)=7, g(C)=3, g(A)=8，g(S0)=9 由于N和C都是可解节点，B也是可 解的，推出A和S0都是 可解的，这就求出了 代价最小的 解树。(粗线)
0
0
12
2
13
2
15
5
解树的代价就是树根的代价。
树根的代价是从树叶开始自下而上逐层计算求得的。
x
希望树
• • • • • • •
yi
计算任一节点x的代价g(x)时，都要求已知其子节点yi的代价g(yi)： 根据问题本身提供的启发性信息定义一个启发函数 由启发函数估算出子节点yi的代价g(yi)， 按和代价或最大代价算出节点x的代价值g(x)
G 2
1
1
3
F
2
t3
1 t2
E
t1
按最大代价：g(G)=2, g(D)=3， g(B)=5， g(S0)=7
按和代价计算，左边的解树是最优 解，其代 价为8； 按最大代价计算，左边的解树仍是 最优解，其代价为7； 有时用不同的计算代价方法得到 的最优解树不相同。
t5
t4
图中与或树包括两棵解树： •由S0，A，t1和t2组成； •由S0，B，D，G，t4和t5 组成。
6
希望树的定义
初始节点S 在希望树T中； 如果节点x在希望树T中，则一定有：
0
如果x是具有子节点y ，y ，y …… y 的“或” 节点,则具有 min{c(x,y )+g(y )}(1≤ i≤ n) 值的 那个子节点y 也应在T中； b) 如果x是“与”节点，则它的全部子节点都应 在T中。
(3) 若x是与节点, x则有两种计算公式 g(x)=∑{c(x,yi)+g(yi)} 称为和代价法；
n g(x)=max{c(x,yi)+g(yi)}(1≤ i≤ n)称为最大代价法(其中 y1，y2 ， y3… yn是x的子节点)。 i=0
(4)对非终止的端节点x, g(x)=∞
4
例1：如图所示的与或树。
当节点yi被扩展后： 先用启发函数估算出其子节点的代价 然后再算出g(yi)
此时，算出的g(yi)可能与原先估算的g(yi)不相同，则： 用后算出的g(yi)代替原先算出的g(yi) 并且按此g(yi)自下而上地重新计算各先辈节点的g值
当节点yi的子节点又被扩展时，上述过程又要重复进行一遍。总之，每当有 一个新的节点生成时，都要自下而上地重新计算其先辈节点的代价g，这是一个自 上而下地生成新节点，又自下而上地计算代价g的反复进行的过程。
L M 0 0 3 2 2 N G B C E
F 2 H
P
2
0
0
2
2
3
2
14
设初始节点S (F不可扩展)
0
作业
3.每次扩展两层，并设S0经扩展后得到如图1所示
的与或树, 路径代价为1
1. 2.
)按和代价计算 S0 ) 按最大代价计算 S0
A
S0
D
B C E 2 N L P M 0 0 3 2 2 2 G H F
3 3
C
E 2 G
F
Байду номын сангаас
此时，由S0左子树算出的 g(S0)=9,显然，左子树的代价最小， 所以现在又以左子树作为当前的 希望树。
H
3
2
2
2
11
设对节点B扩展两层后 得到如图所示的与或树，节 点L的两个子节点是终止节 点，则按和代价法计算得到
g(L)=2, g(M)=6,
S0
A D
g(B)=3, g(A)=8
扩展节点N，产生N的所有子节点； (2) 把这些子节点都放入OPEN表中，并为每一个子节点配置 向父节点(节点N)的指针； (3) 计算这些子节点的g值及其先辈节点的g值。 步7 转2
(1)
9
举例
设初始节点S0，每次扩展两层， 并设S0经扩展后得到如图1所示的与 或树，其中子节点B，C，E，F。 用启发函数估算出的g值分别 是 g(B)=3, g(C)=3, g(E)=3, g(F)=2,
a)
1 2 3 n i i i
有序搜索的目的是求出最优解树，即代价最小的解树。也就是说在搜索过程 中的任何时刻都要搜索代价最小的部分解树，找出最有希望成为最优解树的一部 分的节点进行扩展，这些节点及其先辈节点(包括初始节点S0)所构成的与或树有 可能成为最优解树的一部分，因此称它为“希望树”。
7
与或树的有序搜索过程
在与或树中，t1,t2,t3,t4,t5为终止节点；E，F是端节点，其代价均为 ∞；边上的数字是该边的代价。
由右边的解树可得：
按和代价：g(A)=11,g(S0)=13 按最大代价：g(A)=6,g(S0)=8
D 2 S0 B 2 1 c 2 5 A 6
由左边的解树可得：
按和代价：g(G)=3, g(D)=4， g(B)=6， g(S0)=8
根据代价决定搜索路线的方法称为与或树的有序搜索， 它是一种重要的启发式搜索策略。
3
解树的代价
计算方法：
x
x
yi
yi
设g(x)表示节点x的代价，c(x,y)表示节点x到其子节点y 的代价(即边xy的代价),则:
(1)若x是终止节点，g(x)=0;
(2) 若x是或节点， g(x)=min{c(x,yi)+g(yi)}(1≤ i≤ n, 其中 y1，y2 ， y3… yn是x的子节点)
步1 把初始节点S0放入OPEN表中； 步2 求出希望树T，即根据当前搜索树中节点的代价g， 求出以S0为根的希望树T。 步3 依次把OPEN表中T的端节点N选出放入CLOSED表中。 步4 如果节点N是终止节点，则做下列工作： (1)标示N为可解节点； (2)对T应用可解标记过程 ，把N的先辈节点中的可解节 点都 标记为可解节点； (3)若初始节点S0能被标记为可解节点，则T就是最优解树， 成功退出； (4)否则，从OPEN表中删去具有可解先辈的所有节点。
L M 0 0 3 2 2 N G B C E
F 2 H
P
2
0
0
2
2
3
2
13
设节点C扩展两层后得到如图 所示的与或树，节点N的两个子节 点是终止节点，按和代价计算得到：
A
S0
D
g(N)=2, g(P)=7, g(C)=3, g(A)=8，g(S0)=9 由于N和C都是可解节点，B也是可 解的，推出A和S0都是 可解的，这就求出了 代价最小的 解树。(粗线)