2015年中考数学压轴题二次函数--抛物线经典赏析

2015年中考数学压轴题二次函数--抛物线经典赏析

1．

如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m ，宽是4m ．按

照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用c bx x y ++-=261

表示，且抛物线上的

点C 到OB 的水平距离为3m ，到地面OA 的距离为2

17

m 。

（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双

向车道，那么这辆货车能否安全通过？

（3）在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果

灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 2．

已知如图1，在以O 为原点的平面直角坐标系中，抛物线y ＝14

x 2＋bx ＋c 与

x 轴交于A ,B 两点，与y 轴交于点C (0，－1)，连接AC ，AO ＝2CO ，直线l 过点G （0，t ）且平行于x 轴，t ＜－1． （1）求抛物线对应的二次函数的解析式；

（2）①若D （－4，m ）为抛物线y ＝14

x 2＋bx ＋c 上一定点，点D 到直线l 的

距离记为d ，当d ＝DO 时，求t 的值；

②若为抛物线y ＝14

x 2＋bx ＋c 上一动点，点D 到①中的直线l 的距离与

OD 的长是否恒相等，说明理由；

（3）如图2，若E ,F 为上述抛物线上的两个动点，且EF ＝8，线段EF 的中点

为M ，求点M 纵坐标的最小值．

图1 图2

C D

B

A

l

G

O y

x x

y O G

l

A

B

C E

F

M

3.如图，直线y=x+2与抛物线y=ax 2+bx+6（a ≠0）相交于A （，）和B （4，m ），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ． （1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P 点，使线段PC

的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

（3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．

4.如图17，抛物线F ：2(0)y ax bx c a =++>与y 轴相交于点C ，直线1L 经过点C 且平行于x 轴，将1L 向上平移t 个单位得到直线2L ，设1L 与抛物线F 的交点为C 、D ，2L 与抛物线F 的交点为A 、B ，连接AC 、BC （1）当12a =

，3

2

b =-，1

c =，2t =时，探究△ABC 的形状，并说明理由； （2）若△ABC 为直角三角形，求t 的值（用含a 的式子表示）；

（3）在（2）的条件下，若点A 关于y 轴的对称点A ’恰好在抛物线F 的对称轴上，连接A ’C ，BD ，求四边形A ’CDB 的面积（用含a 的式子表示）

2L

O

C

A

B

D

x

图17

1

L

答案

1，解：（1）由题知点)2

17

,

3(),4,0(C B 在抛物线上 所以⎪⎩⎪

⎨⎧++⨯-==c b c 3961

2

174

，解得⎩⎨⎧==42c b ，所以42612++-=x x y 所以，当62=-=a b

x 时，10=最大y 答：426

1

2++-=x x y ，拱顶D 到地面OA 的距离为10米

（2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0））

当)10(2==x x 或时，6322

＞=y ，所以可以通过

（3）令8=y ，即8426

1

2=++-x x ，可得024122=+-x x ，解得

326,32621-=+=x x

3421=-x x 答：两排灯的水平距离最小是34 2．解(1) ∵AO=2CO C(0-1) ∴OA=2 A(-2,0)

将点A 、C 代入抛物线解析式得:

14

1

2-=x y

(2)①由抛物线得D(-4,3) ∴OA=5 又∵d=DO ∴t=-2

②设D(141

,2-a a )

222422222)14

1

(121161)141(0+=+-+=-+=a a a a a a D

点D 到直线l 的距离: 14

1

214122+=+-a a

∴d=DO

(3)作EI ⊥直线l 于点I,FH ⊥直线l 于点H 设E(11,y x ),F(22,y x ) 则EI=1y +2,FH=2y +2 ∵M 为EF 中点 ∴M

纵坐标为

22

2)2()2(221-+=-+-=+FH

EI FH EI y y 由(2)②得EI=OE,FH=OF

I

H C x

y

O

G

l

E

F

M

A B

∴

2

2221OF

OE FH EI y y +=+=+ 当EF 过点O 时,OE+OF 最小

∴M 纵坐标最小值为

222

22=-+=-+OF

OE FH EG 3. 解：（1）∵B （4，m ）在直线y=x+2上， ∴m=4+2=6， ∴B （4，6）， ∵A （，）、B （4，6）在抛物线y=ax 2+bx+6上， ∴

，解得

，

∴抛物线的解析式为y=2x 2

﹣8x+6．

（2）设动点P 的坐标为（n ，n+2），则C 点的坐标为（n ，2n 2﹣8n+6）， ∴PC=（n+2）﹣（2n 2﹣8n+6）， =﹣2n 2+9n ﹣4， =﹣2（n ﹣）2+，

∵PC ＞0，

∴当n=时，线段PC 最大且为

．

（3）∵△PAC 为直角三角形，

i ）若点P 为直角顶点，则∠APC=90°．

由题意易知，PC ∥y 轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在； ii ）若点A 为直角顶点，则∠PAC=90°．

如答图3﹣1，过点A （，）作AN ⊥x 轴于点N ，则ON=，AN=． 过点A 作AM ⊥直线AB ，交x 轴于点M ，则由题意易知，△AMN 为等腰直角三角形，

∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3， ∴M （3，0）．

设直线AM 的解析式为：y=kx+b ， 则：

，解得

，

∴直线AM 的解析式为：y=﹣x+3 ① 又抛物线的解析式为：y=2x 2﹣8x+6 ②