2016年山西省太原市高考一模试卷数学文

2016年山西省太原市高考一模试卷数学文一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={1，2，3，4，5}，集合M={3，4，5}，N={1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为( ) A.M ∩N B.(C U M)∩N C.M ∩(C U N) D.(C U M)∩(C U N)解析：根据元素之间的关系进行求解即可. ∵M={3，4，5}，N={1，2，5}， ∴M ∩N={5}，(C U M)∩N={1，2}， M ∩(C U N)={3，4}， (C U M)∩(C U N)=∅. 答案：B2.i 是虚数单位，复数534ii+=-( ) A.1-i B.-1+i C.1+i D.-1-i解析：进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，约分化简，得到结果.()()()()534531717144417i i i ii i i i ++++===+--+. 答案：C.3.如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A.32 34 32B.33 45 35C.34 45 32D.33 36 35解析：根据中位数，众数以及极差的概念以及茎叶图中的数据，求出相应的数据即可.从茎叶图中知共16个数据，按照从小到大排序后中间的两个数据为32、34， 所以这组数据的中位数为33；45出现的次数最多，所以这组数据的众数为45； 最大值是47，最小值是12，故极差是：35. 答案：B.4.若双曲线22221x y a b-＝( A.y=±2x B.yC.y ＝±12x D.y＝±2x， 又a 2+b 2=c 2，所以，所以双曲线的渐近线方程为：by x a=±=. 答案：B.5.对于下列四个命题p 1：00011023()x xx ⎛⎫∃∈+⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝∞⎭，，＜；p 2：101023001()x log x log x ∃∈，，＞；p 3：12()102xx log x ⎛⎫⎪⎝⎭∀∈+∞，，＜；p 4：1311032()xx log x ⎛⎫⎪⎝∈⎭∀，，＜.其中的真命题是( )A.p 1，p 3B.p 1，p 4 C p 2，p 3 D.p 2，p 4解析：根据指数函数和对数函数的图象和性质即可判断. 对于下列四个命题p 1：00011023()x xx ⎛⎫∃∈+⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝∞⎭，，＜；根据指数函数的性质可知p 1错误，p 2：101023001()x log x log x ∃∈，，＞；根据对数函数的单调性可知p 2正确，p 3：12()102xx log x ⎛⎫⎪⎝⎭∀∈+∞，，＜；当x=1时，就不正确，故p 3错误，p 4：1311032()xx log x ⎛⎫⎪⎝∈⎭∀，，＜.根据指数函数和对数函数的性质可知，p 4正确.答案：B.6.执行如图所示的程序框图，若输出的2524S ＝，则判断框内填入的条件可以是( )A.k ≥7B.k ＞7C.k ≤8D.k ＜8解析：模拟执行程序框图，可得： S=0，k=0满足条件，k=2，S 12=满足条件，k=4，S 1124=+ 满足条件，k=6，S 111246=++满足条件，k=8，S=111125246824=+++=. 由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S 的值为2524. 结合选项可得判断框内填入的条件可以是：k ＜8. 答案：D.7.已知函数f(x)＝2sin(2x+φ)(|φ|＜π2)图象过点(0，3)，则f(x)图象的一个对称中心是( ) A.(3π-，0) B.(6π-，0) C.(6π，0) D.(12π，0)解析：∵函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|＜2π)的图象过点(0，∴φ，由(|φ|＜2π)，可得：φ=3π， ∴f(x)=2sin(2x+3π)， ∴由五点作图法令2x+3π=0，可解得：x=6π-，则f(x)的图象的一个对称中心是(6π-，0). 答案：B.8.各项均为正数的等比数列{an}的前n 项和为S n ，若S n =2，S 3n =14，则S 4n 等于( ) A.80 B.30 C.26D.16解析：利用等比数列的求和公式，整体思维，即可求得结论. 设各项均为正数的等比数列{an}的公比等于q ， ∵S n =2，S 3n =14，∴q ≠1 ∴()()31111121422111n n n a q a q a q q q q--====----，，解得， .∴41412116301n n a S q q=-=--=-（）（）. 答案：B.9.某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )A.10B.15C.20D.30 解析：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，切去一个同底等高的三棱锥所得的几何体， ∵底面面积S=12×4×3=6， 高h=5，故组合体的体积122033V Sh Sh Sh =-==. 答案：C10.已知满足220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩的实数x 、y 所表示的平面区域为M 、若函数y=k(x+1)+1的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是( ) A.[3，5]B.[-1，1]C.[-1，3]D.[12-，1]解析：作出可行域，如图.因为函数y=k(x+1)+1的图象是过点A(-1，1)，且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点M(0，2)时，k取最大值 1，当直线l过点NB(1，0)时，k取最小值12 -，故 k∈[12-，1].答案：D.11.已知三棱锥S-ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，若该三棱锥外接球的Q是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为( )A.3B.2D.3解析：∵三棱锥S-ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，∴三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的正方体的外接球，∴正方体的体对角线长为∴球心到平面ABC的距离为1233⨯=， ∴点Q 到平面ABC33=答案：D.12.已知函数f(x)=12x 2+2ax ，g(x)=3a 2lnx+b ，设两曲线y=f(x)，y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同，则a ∈(0，+∞)时，实数b 的最大值是( )A.2332e B.6136e C.616eD.2372e 解析：设曲线y=f(x)与y=g(x)在公共点(x 0，y 0)处的切线相同，因为f ′(x)=x+2a ，g ′(x) 23a x=，且f ′(x 0)=g ′(x 0)，所以20032a x a x +=，化简得x 02+2ax 0-3a 2＝0，解得x 0=a 或-3a ，又x 0＞0，且a ＞0，则x 0=a ， 因为f(x 0)=g(x 0)，所以12x 02+2ax 0＝3a 2lnx 0+b ， 则b(a)=52a 2-3a 2lna(a ＞0)， 所以b ′(a)=5a-3(2alna+a)=2a-6alna=2a(1-3lna)， 由b ′(a)=0得，a=13e ，所以当0＜a ＜13e 时，b ′(a)＞0；当a ＞13e 时，b ′(a)＜0，即b(a)在(0，13e )上单调递增，b(a)在(13e ，+∞)上单调递减，所以当a=13e 时，实数b 的取到极大值也是最大值123332b e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭=.答案：A.二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.若函数()()212,0,0f x log x x log x x ⎧⎪⎨-⎪⎩＝＞＜，若f(a)＞f(-a)，则实数a 的取值范围是 .解析：对a 进行分类讨论：当a ＞0时-a ＜0则由f(a)＞f(-a)可得log 2a ＞()12log a ＝-log 2a∴log 2a ＞0，∴a ＞1.②当a ＜0时-a ＞0则由f(a)＞f(-a)可得()12log a ＞log 2(-a)∴log 2(-a)＜0 ∴0＜-a ＜1 ∴-1＜a ＜0综上a 的取值范围为(-1，0)∪(1，+∞). 答案：(-1，0)∪(1，+∞)14.已知圆C ：(x-1)2+(y-2)2=2，若等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则|PC|的最大值为 .解析：由圆C ：(x-1)2+(y-2)2=2， ∴圆心坐标C(1，2)，半径∵等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦， ∴|PC|的最大值为直径答案：15.已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且a b -＝1，则a b +的最大值是 . 解析：∵非零向量a ，b 的夹角为60°，且a b -＝1，∴2221a b a b +-＝，即222601a b a b cos -+︒＝，则2212a b a b a b +++≥＝，∴a b ≤1，当且仅当1a b ==时取等号.∴2222226021a b a b a b a b a b cos a b +=++=+︒=++， ∴1＜2a b +1≤3， ∴13a b +≤＜.∴a b +的最大值是16.已知数列{a n }满足：a n -(-1)na n -1＝n(n ≥2)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 40= .解析：∵a n -(-1)na n -1＝n(n ≥2)， ∴当n=2k 时，即a 2k -a 2k-1=2k ，① 当n=2k-1时，即a 2k-1+a 2k-2=2k-1，② 当n=2k+1时，即a 2k+1+a 2k =2k+1，③ ①+②a 2k +a 2k-2=4k-1， ③-①a 2k+1+a 2k-1=1，S 40=(a 1+a 3+a 5+…+a 39)+(a 2+a 4+a 6+a 8+…+a 40)=1×10+(7+15+23+…)＝10+7×10+()101012-×8＝440. 答案：440.三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 内角A ，B ，C(Ⅰ)求角C.解析：(Ⅰ)＝2sinCsinA ，结合A 锐角，sinA ＞0，可得C 为锐角，即可得解C 的值.答案：(Ⅰ)，＝2sinCsinA ， ∵A 锐角，∴sinA ＞0，∴sinC=2， 又∵C 为锐角， ∴C=3π.(Ⅱ)若ABC 的面积为2，求a+b 的值. 解析：(Ⅱ)由余弦定理及已知可得7=a 2+b 2-ab ，又由△ABC 的面积公式可得ab=6，即可得解a+b 的值.答案：(Ⅱ)∵三角形ABC 中，由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2abcosC ，即7=a 2+b 2-ab ，又∵由△ABC 的面积得1122S absinC ab ===.即ab=6， ∴(a+b)2=a 2+b 2+2ab=25，∵由于a+b 为正， ∴a+b=5.18.某工厂对一批共50件的机器零件进行分类检测，其重量(克)统计如下：规定重量在82克及以下的为甲型，重量在85克及以上的为乙型，已知该批零件有甲型2件.(Ⅰ)从该批零件中任选1件，若选出的零件重量在[95，100]内的概率为0.26，求m 的值. 解析：(Ⅰ)根据题设条件，先求出n 的值，进而即可能求出m.答案：(Ⅰ)∵从该批零件中任选1件，选出的零件重量在[95，100]内的概率为0.26， ∴n=50×0.26=13， ∴m=50-5-12-13=20.(Ⅱ)从重量在[80，85)的5件零件中，任选2件，求其中恰有1件为甲型的概率.解析：(Ⅱ)重量在[80，85)的5件零件中，甲型2件，乙型3件，任选2件，先求出基本事件总数，再求出其中恰有1件为甲型包含的基本事件个数，由此能求出恰有1件为甲型的概率.答案：(Ⅱ)∵重量在[80，85)的5件零件中，甲型2件，乙型3件， 从重量在[80，85)的5件零件中，任选2件，基本事件总数2510n C ==， 其中恰有1件为甲型包含的基本事件个数11236m C C ==，∴其中恰有1件为甲型的概率0.6mp n==.19.如图，已知四棱锥的侧棱PD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是直角梯形，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB=AD=12CD=2，点M 在侧棱上.(Ⅰ)求证：BC ⊥平面BDP.解析：(Ⅰ)证明BD ⊥BC ，PD ⊥BC ，即可证明BC ⊥平面BDP.答案：(Ⅰ)由已知可算得BD ＝BC ＝BD 2+BC 2=16=DC 2，故BD ⊥BC ，又PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，故PD ⊥BC ， 又BD ∩PD=D ，所以BC ⊥平面BDP.(Ⅱ)若侧棱PC 与底面ABCD 所成角的正切值为12，点M 为侧棱PC 的中点，求异面直线BM 与PA 所成角的余弦值.解析：(Ⅱ)取PD 中点为N ，并连结AN ，MN ，则∠PAN 即异面直线BM 与PA 所成角，在△PAN 中，利用余弦定理，即可求出异面直线BM 与PA 所成角的余弦值. 答案：(Ⅱ)如图，取PD 中点为N ，并连结AN ，MN ，BM ∥AN ，则∠PAN 即异面直线BM 与PA 所成角；又PA ⊥底面ABCD ，∴∠PCD 即为PC 与底面ABCD 所成角， 即tan ∠PCD ＝12，∴PD ＝12CD ＝2，即PN ＝12PD ＝1，又ANPA ＝PAN 中，cos ∠PAN＝222210AP AN PN AP AN +-＝， 即异面直线BM 与PA所成角的余弦值为10.20.已知椭圆M ：22213x y a +=(a ＞0)的一个焦点为F(-1，0)，左右顶点分别为A ，B.经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点.(Ⅰ)求椭圆方程.解析：(Ⅰ)由焦点F 坐标可求c 值，根据a ，b ，c 的平方关系可求得a 值.答案：(Ⅰ)因为F(-1，0)为椭圆的焦点，所以c=1，又b 2=3，所以a 2=4，所以椭圆方程为22143x y +=.(Ⅱ)当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长.解析：(Ⅱ)写出直线方程，与椭圆方程联立消掉y 得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|.答案：(Ⅱ)因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1， 所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到221431x y y x ⎧+⎪⎨⎪+⎩＝＝，消掉y ，得到7x 2+8x-8=0， 所以△=288，x 1+x 2=87-，x 1x 2=87-，所以12247CD x =-==.(Ⅲ)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1-S 2|的最大值.解析：(Ⅲ)当直线l 不存在斜率时可得，|S 1-S 2|=0；当直线l 斜率存在(显然k ≠0)时，设直线方程为y=k(x+1)(k ≠0)，与椭圆方程联立消y 可得x 的方程，根据韦达定理可用k 表示x 1+x 2，x 1x 2，|S 1-S 2|可转化为关于x 1，x 2的式子，进而变为关于k 的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值.答案：(Ⅲ)当直线l 无斜率时，直线方程为x=-1， 此时D(-1，32)，C(-1，32-)，△ABD ，△ABC 面积相等，|S 1-S 2|=0，当直线l 斜率存在(显然k ≠0)时，设直线方程为y=k(x+1)(k ≠0)， 设C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，和椭圆方程联立得到()221431x y y k x ⎧+⎪⎨⎪+⎩＝＝，消掉y 得(3+4k 2)x 2+8k 2x+4k 2-12=0， 显然△＞0，方程有根，且x 1+x 2=22834k k -+，x 1x 2=2241234k k-+， 此时|S 1-S 2|=2||y 1|-|y 2||=2|y 1+y 2|=2|k(x 2+1)+k(x 1+1)|=2|k(x 2+x 1)+2k|212123344k k k k==≤==++(k=±32时等号成立)所以|S 1-S 2|21.已知函数f(x)=2lnx-x 2+ax(a ∈R).(Ⅰ)若函数f(x)的图象在x=2处切线的斜率为-1，且不等式f(x)≥2x+m 在[1e，e]上有解，求实数m 的取值范围.解析：(Ⅰ)通过求导得到函数f(x)的图象在x=2处切线的斜率，由此求得a=2，得到函数解析式，然后利用分离变量法得到m ≤2lnx-x 2，利用导数求出g(x)=2lnx-x 2在[1e，e]上的最大值得答案.答案：(Ⅰ)由 ()22f x x a x'-+＝， 得切线的斜率k=f'(2)=a-3=-1，∴a=2，故f(x)=2lnx-x 2+2x ，由f(x)≥2x+m ，得m ≤2lnx-x 2， ∵不等式f(x)≥2x+m 在[1e，e]上有解，∴m ≤(2lnx-x 2)max . 令g(x)=2lnx-x 2，则()()()21122x x g x x xx-+-'-＝＝，∵x ∈[1e，e]，故g ′(x)=0时，x=1.当1e＜x ＜1时，g'(x)＞0；当1＜x ＜e 时，g'(x)＜0. 故g(x)在x=1处取得最大值g(1)=-1， ∴m ≤-1.(Ⅱ)若函数f(x)的图象与x 轴有两个不同的交点A(x 1，0)，B(x 2，0)，且0＜x 1＜x 2，求证：1202x x f ⎛+⎫⎪⎝⎭'＜ (其中f ′(x)是f(x)的导函数). 解析：(Ⅱ)由f(x)的图象与x 轴交于两个不同的点A(x 1，0)，B(x 2，0)，可得方程2lnx-x 2+ax=0的两个根为x 1，x 2，把两根代入方程后作差得到()()1212122lnx lnx a x x x x -+--＝，求得f ′(122x x +)，然后令12xt x ＝换元，再通过构造函数，利用导数求出所构造出函数的最大值小于等于0得答案.答案：(Ⅱ)∵f(x)的图象与x 轴交于两个不同的点A(x 1，0)，B(x 2，0)， ∴方程2lnx-x2+ax=0的两个根为x1，x2，则211122222020lnx x ax lnx x ax ⎧-+⎪⎨-+⎪⎩＝＝，两式相减得()()1212122lnx lnx a x x x x -+--＝， 又f(x)＝2lnx-x 2+ax ，()22f x x a x'-+＝，则()()1212121212122442lnx lnx x x f x x a x x x x x x -+'-++⎛⎫⎪⎝-++⎭-＝＝， 要证()121212240lnx lnx x x x x --+-＜，即证明()21112220x x x ln x x x -++＜，12x t x ＝，∵0＜x 1＜x 2，∴0＜t ＜1，即证明()()2101t u t lnt t -++＝＜在0＜t ＜1上恒成立， ∵()()()()()()()222221211114111t t t u t t t t t t t -+---'+-+++＝＝＝， 又0＜t ＜1，∴u'(t)＞0，∴u(t)在(0，1)上是增函数，则u(t)＜u(1)=0，从而知()21112220 x x xlnx x x-++＜.故()12121224lnx lnxx x x x--+-＜，即1202x xf⎛+⎫⎪⎝⎭'＜成立.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22.如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC(Ⅰ)求证：BE=2AD.解析：(Ⅰ)连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD. 答案：(Ⅰ)连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有BE DE BA CA＝，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∴BE=2AD.(Ⅱ)当AC=3，EC=6时，求AD的长.解析：(Ⅱ)根据割线定理得BD·BA=BE·BC，从而可求AD的长. 答案：(Ⅱ)由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BD·BA=BE·BC，即(6-t)×6=2t·(2t+6)，即2t2+9t-18=0，解得t＝32或-6(舍去)，则AD＝32.[选修4-4：坐标系与参数方程]23.在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ=4π，曲线C的参数方程为x y sin θθ⎧⎪⎨⎪⎩＝.(Ⅰ)写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程.解析：(Ⅰ)利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l 的普通方程，消去参数可得曲线C 的直角坐标方程.答案：(Ⅰ)直线l 的极坐标方程为θ=4π，所以直线斜率为1，直线l ：y=x ； 曲线C的参数方程为x y sin θθ⎧⎪⎨⎪⎩＝.消去参数θ，可得曲线C ：2212x y +＝.(Ⅱ)过点M 平行于直线l 1的直线与曲线C 交于A 、B 两点，若|MA|·|MB|=83，求点M 轨迹的直角坐标方程. 解析：(Ⅱ)设点M(x 0，y 0)以及平行于直线l 1的直线参数方程，直线l 1与曲线C 联立方程组，通过|MA|·|MB|=83，即可求点M 轨迹的直角坐标方程.通过两个交点推出轨迹方程的范围. 答案：(Ⅱ)设点M(x 0，y 0)及过点M 的直线为l 1：0022x x y y ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩＝＝ 由直线l 1与曲线C相交可得：222000032202t x y ++++-＝， |MA|·|MB|=83⇒2200228332x y +-＝，即：x 02+2y 02＝6，x 2+2y 2=6表示一椭圆取y=x+m 代入2212x y +＝得：3x 2+4mx+2m 2-2=0≤≤由△≥0得m＝之间的两段弧.故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线y x[选修4-5：不等式选讲]24.已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|，g(x)=|x-1|+2.(Ⅰ)解不等式|g(x)|＜5.解析：(Ⅰ)利用||x-1|+2|＜5，转化为-7＜|x-1|＜3，然后求解不等式即可.答案：(Ⅰ)由||x-1|+2|＜5，得-5＜|x-1|+2＜5∴-7＜|x-1|＜3，得不等式的解为-2＜x＜4.(Ⅱ)若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围.解析：(Ⅱ)利用条件说明{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)}，通过函数的最值，列出不等式求解即可.答案：(Ⅱ)因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，所以{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)}，又f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|，g(x)=|x-1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥-1或a≤-5，所以实数a的取值范围为a≥-1或a≤-5.。