2016年高考文科数学全国3卷(附答案)

学校：____________________ _______年_______班 姓名：____________________ 学号：________- - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - -绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 全国III 卷（全卷共12页）(适用地区：广西、云南、四川)注意事项：1．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。

第I 卷一、 选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A C B =（ ）A.{4,8}B.{0,2,6}C.{0,2,6,10}D.{0,2,4,6,8,10}（2）若43z i =+，则zz=（ ） A.1B.1-C.4355i + D.4355i - （3）已知向量1(,2BA = ,31(),22BC = 则ABC ∠=（ ）A.30︒B.45︒C.60︒D.120︒（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。

下面叙述不正确的是A. 各月的平均最低气温都在00C 以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均气温高于200C 的月份有5个（5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,,M I N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ） A.815B.18C.115D.130（6）若1tan 3θ=，则cos2θ=（ ） A.45-B.15- C.15D.45（7）已知432a =，233b =，1325c =，则（ ）A.b a c <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<（8）执行右图的程序框图，如果输入的4,6a b ==，那么输出的n = （ ）A. 3B. 4C. 5D. 6(9) 在ABC ∆中，B =1,,sin 43BC BC A π=边上的高等于则（ ） A.310B.1010C.55D.31010(10) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A.18365+B.54185+C. 90D. 81(11) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是 A. 4π B.92π C. 6π D. 323π(12) 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A.13B. 12C.23D. 34第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)～(21)题为必考题，每个试题都必须作答。

第(22)～(24)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13) 若x ，y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则z =2x +3y –5的最小值为______.(14) 函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数y =2sin x 的图像至少向右平移_____________个单位长度得到． (15) 已知直线:360l x y -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l的垂线与x 轴交于,C D 两点，则CD= _______ .(16) 已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=.（I ）求23,a a ； （II ）求{}n a 的通项公式.（18）（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（Ⅱ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注： 参考数据：719.32ii y==∑，7140.17i i i t y ==∑0.55=，≈2.646.参考公式：()()niit t y y r --=∑回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，=.a y bt -（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，P A ⊥地面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC =3，P A=BC =4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点. （I ）证明MN ∥平面P AB ;（II ）求四面体N BCM -的体积.（20）（本小题满分12分）已知抛物线C ：22yx =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（Ⅱ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.（21）（本小题满分12分）设函数()ln 1f x x x =-+. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x-<<；（III ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)xc x c +->.请考生在(22)、(23)、(24)题中任选一题作答。

作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

如果多做，则按所做的第一题计分。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 中AB 的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点. （I ）若∠PFB =2∠PCD ，求∠PCD 的大小；（II ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG ⊥CD .（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x a a =-+.（I ）当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集；（II ）设函数()21g x x =-，当x R ∈时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 全国III 卷 答案第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）C （2）D （3）A （4）D （5）C （6）D （7）A （8）B （9）D （10）B （11）B （12）A第II 卷二、填空题：本大题共3小题，每小题5分。

（13）10- （14）3π（15）4 （16）2y x =三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅱ）由题意得41,2132==a a . .........5分 （Ⅱ）由02)12(112=---++n n n na a a a 得)1()1(21+=++n n n n a a a a .因为{}n a 的各项都为正数，所以211=+n n a a . 故{}n a 是首项为1，公比为21学.科网的等比数列，因此121-=n n a . ......12分 （18）（本小题满分12分）解：（Ⅱ）由折线图中数据和附注中参考数据得4=t ，28)(712=-∑=i it t，55.0)(712=-∑=i iy y，89.232.9417.40))((717171=⨯-=-=--∑∑∑===i i iii i iiyt y t y y t t ，99.0646.2255.089.2≈⨯⨯≈r . ........4分因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系. ............6分（Ⅱ）由331.1732.9≈=y 及（Ⅱ）得103.02889.2)())((ˆ71271≈=---=∑∑==i ii i it ty y t tb ，92.04103.0331.1ˆˆ≈⨯-≈-=t b y a. 所以，y 学.科网关于t 的回归方程为：t y 10.092.0ˆ+=. ..........10分将2016年对应的9=t 代入回归方程得：82.1910.092.0ˆ=⨯+=y . 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. .........12分 （19）（本小题满分12分） 解：（Ⅱ）由已知得232==AD AM ，学.科网取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN . ......3分又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //.因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB . ........6分（Ⅱ）因为⊥PA 平面ABCD ，N 为PC 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为PA 21. ....9分 取BC 的中点E，连结AE .由3==AC AB 得BC AE ⊥，522=-=BE AB AE .由BC AM ∥得M 到BC 的距离为5，故525421=⨯⨯=∆BCMS . 所以四面体BCM N -的体积354231=⨯⨯=∆-PA S V BCM BCMN . .....12分 （20）（本小题满分12分）解：（Ⅱ）由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22ba Rb Q a P b b B a A +---. 记过B A ,学科&网两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分（Ⅱ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aab a ab a b a a b a k =-=-==--=+-=. 所以FQ AR ∥. ......5分 （Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2，学科&网所以)1(12≠-=x x y .当AB与x轴垂直时，E 与D重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分（21）（本小题满分12分）解：（Ⅱ）由题设，()f x 的定义域为(0,)+∞，'1()1f x x=-，令'()0f x =，解得1x =. 当01x <<时，'()0fx >，()f x 单调递增；当1x >时，'()0f x <，()f x 单调递减. ………4分（Ⅱ）由（Ⅱ）知，()f x 在1x =处取得最大值，最大值为(1)0f =. 所以当1x ≠时，ln 1x x <-. 故当(1,)x ∈+∞时，ln 1x x <-，11ln1x x<-，即11ln x x x-<<. ………………7分 （Ⅱ）由题设1c >，设()1(1)xg x c x c =+--，则'()1ln x g x c c c =--，令'()0gx =，解得01lnln ln c c x c-=. 当0x x <时，'()0gx >，()g x 单调递增；当0x x >时，'()0g x <，()g x 单调递减. ……………9分 由（Ⅱ）知，11ln c c c-<<，故001x <<，又(0)(1)0g g ==，故当01x <<时，()0g x >.所以当(0,1)x ∈时，1(1)xc x c +->. ………………12分 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲解：（Ⅱ）连结BC PB ,，则BCD PCB PCD BPD PBA BFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,.因为BP AP =，所以PCB PBA ∠=∠，又BCD BPD ∠=∠，所以PCD BFD ∠=∠.又PCD PFB BFDPFD ∠=∠=∠+∠2,180 ，所以 1803=∠PCD ， 因此60=∠PCD .（Ⅱ）因为BFD PCD ∠=∠，学科.网所以 180=∠+∠EFD PCD ，由此知E F D C ,,,四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，因此CD OG ⊥.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅱ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. ……5分（Ⅱ）由题意，可设点P的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()sin()2|3d παα==+-.………………8分 当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α取得最小值，，此时P 的直角坐标为31(,)22. ………………10分 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅱ）当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤.因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤. ………………5分 （Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+ |1|a a =-+，当12x =时等号成立， 所以当x R ∈时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① ……7分当1a ≤时，学.科.网①等价于13a a -+≥，无解.当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[2,)+∞. ………………10分。