二次根式的乘除混合运算
16.3.2二次根式的加减乘除混合运算
50) 6
(2 7 5 2) 6
2 76 5 26 2 42 5 12 (2) (2 6 7 2 ) (7 2 2 6 )
(7 2） （2 6 )
2
2
=98-24 =74
拓展提高
解:(3) (3 5 4 2 ) (2 5 3 2 )
学习难点
1.理解有理化因式的含义,并能运用它进 行二次根式的有理化及化简二次根式. 2.灵活运用二次根式的加减乘除运算法 则化简二次根式并解决相关问题．
知识回顾
一.二次根式的乘除法 (1)二次根式的乘除运算法则是什么?
a b ab （a 0, b 0）
a a （a 0, b 0） b b
2) ( 3 2)] 2) ( 3 2)]
2 32 2 4 6
拓展提高
七.二次根式的混合运算
(1)( 48 50) 6
(2)(2 6 7 2 ) (7 2 2 6 ) (3)(3 5 4 2 ) (2 5 3 2 )
拓展提高
解:(1) ( 48
(2)在进行二次根式的乘除运算时,需要注意什么? 运算结果要:化成最简形式.
知识回顾
二.二次根式的加减法
(1)二次根式的加减运算法则是什么?
a c b c (a b) c
(2)二次根式的加减运算法则的依据是什么? 加减法则的依据是:乘法分配律.
探索学习
三.教你解题:
例1.计算:
(1) ( 7
x y x y
含有二次根式
x y
不含二次根式
两个含有二次根式的非零代数式相乘,如果 它们的积不含有二次根式,就说这两个含有二 次根式的非零代数式互为有理化因式.
二次根式的乘除课件
02
二次根式的除法规则
除法的基本性质
除法是乘法的逆运算
通过将除法转换为乘法，可以简化计算过程。
除法的不可约性
在二次根式中，除数不能为零，且被除数、除数和商都是实数。
除法的运算律
除法满足交换律、结合律和分配律，这些运算律有助于简化复杂的 二次根式计算。
除法的运算顺序
先进行括号内的运算
01
在处理二次根式时，应先进行括号内的运算，然后再进行根式
times sqrt{c})$
乘法分配律
$sqrt{a} times (sqrt{b} + sqrt{c}) = sqrt{a} times sqrt{b}
+ sqrt{a} times sqrt{c}$
乘除混合运算的运算顺序
01
02
03
先乘除后加减
在进行二次根式的乘除混 合运算时，应先进行乘法 和除法运算，再进行加法 和减法运算。
乘法结合律
$(sqrt{a} div sqrt{b}) div sqrt{c} = sqrt{a} div (sqrt{b} div sqrt{c})$
除法分配律
$sqrt{a} div (sqrt{b} + sqrt{c}) = frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} + frac{sqrt{a}}{sqrt{c}}$
04
二次根式的乘除法则的应用
在代数式中的应用
代数式简化
通过二次根式的乘除法则，可以将复杂的代数式化简为更简单的形式，便于进一 步计算或化简。
根式与分数指数幂的互化
利用二次根式的乘除法则，可以将根式转化为分数指数幂的形式，或者将分数指 数幂转化为根式的形式，实现不同数学表达形式之间的转换。
二次根式的乘除课件
根据二次根式的乘法定义，$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{2 times 3} = sqrt{6}$。
02
二次根式的除法运算是指将两个二次根式相除，结果仍为二次根式。
定义
$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}}$ 表示 a 的平方根除以 b 的平方根。
符号表示
3. 对乘积进行化简，得到最简二次根式。
01
02
03
04
$frac{4sqrt{2}}{2sqrt{2}}$
示例1
$frac{4sqrt{2}}{2sqrt{2}} = frac{4}{2}$
化简前
$frac{4}{2} = 2$
化简后
$frac{sqrt{10}}{2}$
示例2
$frac{sqrt{10}}{2} = sqrt{10} times frac{1}{2}$
实例一：$\sqrt{3} \times \sqrt{2} \div \sqrt{5}$
04
确定结果的符号
在进行二次根式乘除运算时，要特别注意结果的符号。根据根式的性质，正数的平方根有两个，一个正数和一个负数。因此，在乘除运算中，结果的符号取mes sqrt{9} = 6$，因为4和9都是正数，所以结果为正数。而$sqrt{4} div sqrt{9} = frac{2}{3}$，因为4除以9的结果为正数，所以结果的符号为正。
在进行二次根式乘除运算时，首先要化简被开方数。将被开方数化简到最简形式，可以避免在运算过程中出现复杂的表达式。
例如，$sqrt{12} = sqrt{4 times 3} = 2sqrt{3}$，通过化简被开方数，可以将复杂的根式表达式化简为简单的形式，方便后续的运算。
二次根式的乘除混合运算
第三课时 二次根式的乘除混合运算学习目标 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 温故知新、知识链接计算：（1）=53(2）=2723 （3）=a 28自主学习、新知探究1．观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：(1)．被开方数不含分母；(2)．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．2.下列二次根式①30②21③32④2a 3⑤28x ⑥4b ⑦22y x +⑧2)(y x +中最简二次根式有 （填序号）3．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h 1km ，h 2km ，•那么它们的传播半径的比是_________．那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．4.化简：(1) 1253(2) 2442y x y x + (3) 328y x研讨交流、 答疑解惑观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： 121212)12)(12(121121-=--=-+-⨯=+）（ 232323)23)(23(231231-=--=-+-⨯=+）（同理可得：34341-=+，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算））（（12002200120021341231121+++⋅⋅⋅++++++的值．总结反思、拓展延伸（1）．重点：如何将一个二次根式化成最简二次根式。
（2）．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 课堂练习1．将yx 化为最简二次根式是（ ） A ．yx B ．xy C ．y xy D ．以上都不对 2．化简2723-的结果是（ ）A ．-32B ．-32 C ．-36 D ．3．化简=+224y x x ．4．21a a a +-化简二次根式后的结果是 ． 5．把11)1(---a a 中根号外的（a-1）移入根号内得 ． 6．化简：)0(2223<<+--a b ab a ab b a b a7．若x 、y 为实数，且y=214422++-+-x x x ，求y x y x -⋅+的值．8．（1）65027÷⨯ （2）a b a b a ab 121322÷⋅。
二次根式混合运算法则
二次根式混合运算法则
二次根式混合运算法则是指在计算含有二次根式的算式时，按照一定的顺序进行运算。
这个规则是由平方、开平方、乘法、除法、加法、减法等运算法则组成的。
我们需要知道二次根式的基本性质。
二次根式是指一个数的平方根再开平方根。
例如，√(9+4√5)就是一个二次根式。
我们可以将其化简为a+b√5的形式，其中a和b是有理数。
接下来，我们来看看二次根式混合运算法则的具体步骤。
第一步：先计算二次根式内的运算
如果二次根式内有加减乘除的运算，先进行内部运算。
例如，计算√(3+2√2)+√(3-2√2)。
我们可以将两个二次根式内的加法运算先进行计算，得到：
√(3+2√2)+√(3-2√2)=√3+√2+√3-√2=2√3
第二步：计算二次根式之间的运算
如果算式中含有多个二次根式，先进行二次根式之间的加减运算。
例如，计算√5+√2-√10。
我们可以先将√5和√2进行加法运算，再将结果与√10进行减法运算，得到：
√5+√2-√10=√5+√2+(-√10)=√5+√2-√10
第三步：计算非二次根式的运算
如果算式中还含有非二次根式的运算，最后进行加减运算。
例如，计算(√3+√2)×(√3-√2)。
我们可以先将括号内的二次根式之间的减法运算进行计算，得到：
(√3+√2)×(√3-√2)=√3×√3-√2×√3+√2×√3-√2×√2=3-2=1
我们需要注意的是，在计算含有二次根式的算式时，需要特别注意运算的顺序。
只有按照一定的顺序进行运算，才能得到正确的结果。
02二次根式的乘除法与混合运算
5下列运算正确的是（）
(A) (B) (C) (D)
6如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么使 有意义的 的取值范围是（）
(A) (B) (C) (D)
二填空题
1式子 化简的结果是
2如果 ，则 、 应满足
3如果 ，则 的值是
4
5已知 ，那么 的值
三简答题
1计算： . 2计算
2在 、 、 、 中，与 是同类二次根式的是
3 的整数部分是
4计算：
5化简：
6化简：
7方程 的解是
8已知 ，则 的值等于
三解答题
1计算： .
2计算 .
3计算
4已知 ， ，求 的值.
5已知 ，求代数式 的值
二次根式乘除
一知识点总结
1乘法法则：二次根式的性质三逆用就是二次根式的乘法法则.
两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变.
同步练习
1计算
例3解不等式： .同步练习1解不等式
例4、若最简二次根式 与 是同类二次根式，求m,n的值
例5、已知4x +y -4x-6y+10=0,求：
（ + ）-( - )的值。
课堂练习
一选择题
1与 是同类二次根式的是（）
(A) (B) (C) (D)
2下列运算正确的是（）
(A) (B) (C) (D)
2除法法则：二次根式的性质四逆用就是二次根式的除法法则.
两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.
3分母有理化：把分母中的根号化去.
4混合运算： 实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定，在在二次根式中都是用.
二典型例题分析
初中数学八年级二次根式的加减乘除混合运算
二次根式的化简，实际上就是把二次根式化成最简二次根式，然后通过合并同类二次根式的方法进行二次根式的加减运算。
二次根式：一般地，形如√ā(a≥0，a是被开方数)的代数式叫做二次根式，a≥0，√ā≥0 (双重非负性)。
二次根式的加减乘除混合运算实际上就是进行不断地化简的过程，因此突破难点的关键不但是要熟练掌握相关的运算法则，还要搞清楚化简的最后方向是最简二次根式的形式，因此判断是否是最简二次根式应是本节教学另一个关注的内容。
二次根式的加减法法则1、同类二次根式。
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2、合并同类二次根式。
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3、二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
二次根式的乘除法法则1、积的算数平方根的性质，列如：√ab=√a·√b(a≥0，b≥0)2、乘法法则，列如：√a·√b=√ab(a≥0，b≥0)，二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3、除法法则，√a÷√b=√a÷b(a≥0，b>0)，二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。
4、有理化根式。
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。
二次根式混合运算解题步骤1、确定运算顺序。
2、灵活运用运算定律。
3、正确使用乘法公式。
4、大多数分母有理化要及时。
5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化。
6、字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。
7、提公因式时可以考虑提带根号的公因式。
二次根式化简方法二次根式是中学代数的重要内容之一，而二次根式的化简是二次根式运算的基础，学好二次根式的化简是学好二次根式的关键。
第5讲 二次根式的乘除混合运算(解析版)
2020-2021学年人教版八年级下册第16章《二次根式》同步练习 【第5讲：二次根式的乘除混合运算】 一、选择题： 1．下列计算中，正确的是（ ）
A．2(3)3 B．2739 C．1222 D．86432 【答案】C 【分析】 根据二次根式的性质计算即可； 【详解】 解：（A）原式＝3，故A错误． （B）原式＝9＝3，故B错误． （D）原式＝8×3＝26，故D错误． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了二次根式的计算，准确计算是解题的关键．
2．计算345335的结果正确的是（ ）．
A．1 B．53 C．5 D．9 【答案】A 【分析】 利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果． 【详解】
解：345335 345275 1345275
1，
故选：A． 【点睛】 本题主要考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．计算212×34÷3的结果是（ ）
A．32 B．34 C．3 D．23 【答案】C 【分析】 根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【详解】 原式=1 3632 =3÷3
=3
故选C． 【点睛】 本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除法法则，本题属于基础题型． 4．计算13521022的结果是． ．． A．60 B．15 C．65 D．35 【答案】A 【解析】 解：原式=125102
=60．故选A．
5．下列计算中，正确的是( ) A．535344 B．1aabbb(a＞0，b＞0) C．5539335777 D．22483248324832670 【答案】B 【解析】 【分析】
根据二次根式的乘法法则：a •b＝ab（a≥0，b≥0），二次根式的除法法则：ab ＝ab（a≥0，b＞0）进行计算即可． 【详解】
A、534＝532，故原题计算错误；
B、
aabb＝1a
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算1. 引言在数学中，二次根式是一种形如√a的数，其中a为非负实数。
二次根式可以进行加减乘除等基本运算，也可以与整数、有理数等进行混合运算。
本文将介绍如何进行二次根式的混合运算，包括加减、乘法以及除法。
2. 二次根式的加减运算2.1 加法运算对于两个二次根式的加法运算，我们只需要将它们的根号内的数相加，并保持根号不变。
例如：√a + √b = √(a + b)2.2 减法运算对于两个二次根式的减法运算，我们也只需要将它们的根号内的数相减，并保持根号不变。
例如：√a - √b = √(a - b)3. 二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算稍微复杂一些，需要使用到一条性质，即：两个二次根式的乘积等于根号内两个数的乘积。
例如：√a * √b = √(a * b)4. 二次根式的除法运算二次根式的除法运算同样需要使用到一条性质，即：两个二次根式的除法等于根号内两个数的除法。
例如：√a / √b = √(a / b)5. 混合运算的例子为了更好地理解二次根式的混合运算，举个例子：假设有以下的运算：√8 + √2 - √18 * √3 / √4首先，我们可以将各个二次根式的根号内的数进行化简：√8 = √(4 * 2) = 2√2 √18 = √(9 * 2) = 3√2 √4 = 2然后，将化简后的结果带入原表达式中：2√2 + √2 - 3√2 * √3 / 2继续进行混合运算：2√2 + √2 - 3√6 / 2最后，将所有的二次根式及有理数进行合并得到最终结果：2√2 + √2 - (3 / 2)√66. 结论本文介绍了二次根式的混合运算，包括加减、乘法以及除法。
通过理解和应用这些运算规则，我们可以更方便地处理涉及二次根式的数学问题。
希望本文的内容能够帮助读者在学习和应用二次根式时更加得心应手。
二次根式的乘除课件
03
二次根式的乘除混合运算
乘除混合运算的基本性质
乘除法结合律
在二次根式的乘除混合运算中， 乘除法可以按照任意组合进行计 算，结合律允许我们重新组合运
算顺序，而不改变结果。
乘法分配律
在二次根式的乘除混合运算中，乘 法分配律允许我们将一个根式与括 号内的多个根式相乘，结果是将每 个根式分别相乘。
除法的倒数性质
熟记二次根式的乘法法则和除法 法则，并能够灵活运用
掌握二次根式乘除混合运算的步 骤和方法，提高计算速度和准确
性
在实际应用中，能够根据题意选 择合适的二次根式进行运算，解
决实际问题
感谢Байду номын сангаас看
THANKS
在二次根式的乘除混合运算中，除 法可以转化为乘法，即除以一个根 式等于乘以这个根式的倒数。
乘除混合运算的公式推导
公式推导一
01
利用乘法的结合律和分配律，将复杂的二次根式乘除混合运算
分解为更简单的二次根式乘法或除法。
公式推导二
02
利用二次根式的性质，将复杂的二次根式化简为更简单的二次
根式，以便进行进一步的乘除混合运算。
$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$ (a≥0, b>0)
3
二次根式的乘除混合运算
先进行乘法运算，再进行除法运算
本节课的难点解析
理解二次根式的乘法 法则和除法法则的推 导过程
正确处理二次根式中 的非负数的条件
掌握二次根式乘除混 合运算的顺序和步骤
对学生的建议和要求
二次根式的乘除课 件
汇报人：可编辑 2023-12-26
目 录
• 二次根式的乘法规则 • 二次根式的除法规则 • 二次根式的乘除混合运算 • 二次根式的乘除法则的应用 • 总结与回顾